计量经济学第九章异方差

2 2
四、异方差的补救措施
（一）加权最小二乘法 1.当 2i已知时： 考虑双变量PRF，
Y i B 1 B 2 X i ui (7)
var(ui ) i2
其中，Y为被解释变量，X为解释变量。假设误差方差 对模型（７）考虑如下变换：
i
Yi B 1(
是已知的。
i
1
) B2 (
ln ei2 B1 B2 ln X i vi
2
(3)
(4)检验零假设 B 0 ，即不存在异方差。如果 ln X i 和 ln ei2 之 间是统计显著的，则拒绝零假设：不存在异方差。

例子：利用方程(2)来说明帕克检验。把从该回归方程中得到的残差 用于模型（３），得到如下结果：
ln ei2 3.412 0.938 ln salesi se (4.972)
三、异方差的诊断
与多重共线性的情况一样，并没有诊断异方差的确定办法，只能借助一 些诊断工具判断异方差的存在。主要有：
1.根据问题的性质 2.残差的图形检验
(1)残差图可以是关于观察值与残差的散点图，也可以是残 ˆ 的散点图。这些图可以帮 差与解释变量，残差与估计值 Y i 助我们判断同方差假设或者是CLRM其他假设是否满足。 例子可参见美国行业利润，销售量和R&D支出。 由该例中关于观察值与残差的散点图可以得出结论，该模 型存在异方差。 2 e (2)此外，还可以利用残差的平方 i 与观察值或解释变量或 ei2 估计值的散点图来判断是否存在异方差。一般来说， 与变量 X 之间的散点图主要有如下样式。（见下一页） 图a到图c中，图a中残差平方与X之间没有可识别的系统模 式，所以不存在异方差；而图b到图e中两者都呈现出系统 关系，所以都可能存在异方差。
假定要了解研究与发展与销售的关系，有如下模型：
R & Di B1 B2 Salesi ui (1)
该模型的最小二乘回归结果如下:
R & Di 266.19 0.0309 Salesi se (1002.96) (0.008)
t (0.27) (3.70) R 0.46
t (0.686) (0.452) (2.075) R
2
0.2119
(4)
在５％的显著水平下（单边检验），估计的斜率系数是统 计不显著的。所以接受原假设：原始模型中不存在异方差。 但可惜的是，帕克检验本身也存在比较严重的问题，那就 是在回归方程(3)中，误差项本身也可能存在异方差。所 以除了进行帕克检验外，还应该用其他检验方法进行判断。 4.格莱泽检验(Glej下残差图（如下）。
从图中可以看到，残差的绝对值随销售额的增加而增加。因为残差可以 近似地看作随机误差项，所以可以得出结论，该模型存在异方差。 由于观察值是按照销售额升序排列的，这就等同于间接地将残差对销售额 作图
1988年美国研究与发展支出费用（百万美元）
二、异方差的后果
如果CLRM其他假设保持不变，放松同方差假定，异方差则有 如下后果：
1.OLS估计量仍是线性无偏估计量。 2.异方差情况下，OLS估计量不再有效。 ˆ 2 即 ei2 / d. f . ， 3.OLS估计量的方差通常是有偏的。偏差的产生是由于 2 不再是真实 的无偏估计量。 4.建立在t分布和F分布之上的置信区间和假设检验不再可靠。如果沿用 传统的假设检验方法，则很可能得出错误的结论。
(6)
(3)求辅助回归方程(6)的 R 2 值。在不存在异方差（即式(6) 中所有斜率系数都为零）的零假设下，怀特证明了从方程 2 (6)中得到的 R 2 值与样本容量的积服从 分布，自由度等 于方程(6)中解释变量的个数（不包括截距项）。 2 n R2 k 1 (4)如果从方程(5)中得到的 值超过了所选显著水平下的 2 临界值，或者说计算 值的p值很低，则拒绝零假设。否 则，不能拒绝零假设。
第九章 异方差
上海立信会计学院
主要内容： 1.异方差的性质 2.异方差的后果 3.异方差的诊断 4.异方差的补救措施
总体回归函数中随着解释变量的变化，随机误差项的方差不变，这
称为同方差性。而如果随着解释变量的变化，随机误差项的取值不同， 则称为异方差性。
一、异方差
异方差可以表示为：
Var (ui ) i2 常数
假设的 ei2 模式
3.帕克检验 假如存在异方差，而且方差可能与一个或者多个解释变量 系统相关，那么可以用帕克检验对是否存在异方差做出判 断，帕克检验的步骤如下： (1)在不考虑异方差的情况下，做原模型的最小二乘回归。 (2)从原始回归方程中求得残差 ei ，并求其平方，再取对数 形式。 (3)利用原始模型中的一个解释变量作如下形式的回归，如 果有多个解释变量，则对每一个解释变量作形如下式的回 ˆ 的回归。 归，或者做 ei2 对Ｙ的估计值 Y i
格莱泽检验实质上与帕克检验类似。从原始模型获得残差后，格莱泽 建议做 ei 的绝对值 ei 对X的回归。其具体回归函数如下：
ei B1 B2
X i vi
ei B 1 B 2 Xi v i
ei B1 B2 (
1 ) vi Xi
每种情形下的零假设都为：H0:B2=0。如果拒绝零假设， 则表明可能存在异方差。 例子：如研发支出 但应注意的是，格莱泽检验同帕克检验存在同样的缺陷。 5.怀特一般异方差检验
例如：在一个双变量线性回归模型中，应变量Y是个人储蓄，解释变量 X是个人可支配收入或税后收入(PDI)。画出Y的方差如下图：
图a 同方差
图b 异方差
注意：研究发现，异方差问题多存在于截面数据(cross-
sectional data)而非时间序列数据。 例子：美国行业利润，销售量和R&D支出
下表给出了美国18个行业1988年的销售、利润和研究与发展(R&D)支出的 数据。(见本章ppt第6页)
假定有如下模型：
Yi B1 B2 X 2i B3 X 3i ui (5)
怀特检验步骤如下： (1)首先用普通最小二乘法估计回归模型(5)，获得残差。 (2)然后做如下辅助回归，
2 2 e2 A A X A X A X A X 1 2 2i 3 3i 4 2i 5 3i A 6 X 2i X 3i vi
Yi u 1 B1 ( ) B2 ( i ) Xi Xi Xi B1 ( 1 ) B2 vi Xi
很容易证明，以上变换后的方程的随机误差项是同方差的，因 此，可以用OLS法估计以上方程。
误差方差与 X 成比例的图示
2
（二）重新设定模型 有时候，我们也可以通过重新选择一个新的函数形式来 消除异方差。比较常用的是改变原来的变量线性模型(LIV)， 而改为对数线性模型形式。比如原来的方程形式是如方程(7) 的变量线性形式，那么可以变换成如下的对数线性形式，
i
Xi
)
i
ui
(8)
令
vi
i
ui
可以证明，新的随机误差项 vi是同方差的。因此，变换后的模型（８） 不存在异方差问题，因而可以用常规OLS方法估计。
注意：此方法称为加权最小二乘法（WLS）
2.当 i2 未知时 实践中很难获得真实误差方差的信息。因此，要使用WLS法， i2 必须对 进行特殊、合理的假设，通过对原始模型变换，使 得变化后的模型满足同方差假定，然后运用OLS法。 以双变量模型为例，对这个未知的误差方差作如下假设， 然后运用WLS法。 (1)误差方差与 X i 成比例
用OLS方法估计模型后，把回归的残差对解释变量X作图，如果观察到图 形与下图相似，则表明误差方差与解释变量X线性相关，即 Var (ui ) E(ui2 ) 2 X i 那么，对方程(7)做如下变换
Yi Xi B1 B1 1 B2 Xi 1 B2 Xi Xi Xi ui Xi (9)
ln Yi B1 B2 ln X i ui 这种变换可以在一定程度上消除异方差。因为对数变换压缩 了变量的度量程度，把两个变量值间的10倍差异缩小为２倍 差异。
X i vi
误差方差与X成比例的图示
很容易证明变形后回归方程的随机误差项是同方差的，因此， 可以应用OLS法估计式(9)。 (2)误差方差与 X 成比例 如果估计的残差呈现类似下图的模型，则表明误差方差与X 之间呈现如下关系： E (ui2 ) 2 X i2
2 i
在这种情况下，把方程两边同除以 X i ，变换如下：