哈尔滨工业大学运筹学教案教案_图论2

的一个不含圈的支撑子图Gk，于是Gk是G的一个支撑
树。
（一）破圈法
（二）避圈法 在图中任取一条边e1，找一条与e1不构成圈的边e2， 再找一条与{e1，e2}不构成圈的边e3。一般设已有{e1， e2，…，ek}，找一条与{e1，e2，…，ek}中任何一些边 不构成圈的边ek+1，重复这个过程，直到不能进行为 止。
证明：必要性 因T是连通的，故任两个点之
间至少有一条链。但如果某两个点之间有两条链
的话，那么图T中含有圈，这与树的定义矛盾，从 而任两个点之间恰有一条链。
充分性 设图T中任两个点之间恰有一条链， 那么易见T是连通的，如果T中含有圈，那么这个 圈上的两个顶点之间有两条链，这与假设矛盾，
故T不含圈，于是T是树。
证明：（1）→（2） 由于T是树，由定义知T连通且无圈。只须证明m=n-1。 归纳法：当n=2时，由于T是树，所以两点间显然有且 仅有一条边，满足m=n-1。 假设 n=k-1时命题成立，即有k-1个顶点时，T有 k-2条边。 当n=k时，因为T连通无圈，k个顶点中至少有一 个点次为1。设此点为u，即u为悬挂点，设连接点u的 悬挂边为[v，u]，从T中去掉[v，u]边及点u ，不会影 响T的连通性，得图T’，T’为有k-1个顶点的树，所以 T’有k-2条边，再把（ v，u）、点u加上去，可知当T 有k个顶点时有k-1条边。
现证v1是悬挂点，即d（v1）=1。
反证法：如d（v1）≥2，则存在边[v1，vm]，使m≠2，
v1
若vm不在µ 上，
v2
vk
vm
那么（vm，v1，v2，…，vk）比µ链边数多一条， 与µ 是边数最多的链矛盾。 若vm在µ 上
v1
v2
vm
vk
（v1，v2，…， vm， v1）是圈，与T是树矛盾。 所以必有d（v1）=1，即v1是悬挂点。 同理可证：vk也是悬挂点。所以T至少有两个悬挂点。
定理2 图T=（V，E）， p=n， q=m，则下列关于
树的说法是等价的。 （1）T是一个树。 （2）T无圈，且m=n-1。 （3）T连通，且m=n-1。 （4）T无圈，但每加一条新边即得唯一一个圈。 （5）T连通，但每丢掉一条边就不连通。 （6）T中任意两点，有唯一链相连。
边数=点数-1
先证明（6）→（1）
（2）
v3
v3
（3）
v2
e1
e8
v1
e2
e5
v4
e7
v3
（4）
v2
e1
v1
e2
e5
v4
e7
v3
（5）
三、最小支撑树问题 定义3 设有连通图G=（V，E），G的任一边ek=[vi，vj] 有一个非负权w（ek）=wij（wij≥0）,T=（V，E’） 是G的一个支撑树，称
w(T )
为树T的权。
如果T是最小树，则 W T ' W T .因 此 w e w e ' 。 于是得证。
（一）避圈法（Kruskal）
思想：在图中取一条最小权的边，以后每一步中，总 从未被选取的边中选一条权最小的边，并使 之与已选取的边不构成圈（每一步中，如果有
两条或两条以上的边都是最小权的边，则从中
（2）→（3） 只须证T是连通图。 反证法 设T不连通，可以分为l个连通分图（l≥2），
设第i个分图有ni个顶点，
n
i 1
l
i
n
因为第i个分图是树，所以有ni-1条边，l个分图 共有边数为：
(n
i 1
l
i
1) n l n 1
与已知矛盾。所以T为连通图。 （3）→（4）、（4）→（5）、（5）→（6）、 及（6）→（1）的证明略。
二、图的支撑树
定义2 设图T=[V，E’]是图G=（V，E）的支撑 子图，如果T是一个树，则称T是G的一个支撑树。
v3 v1 v2
（a）
v5 v6 v 1
v4
v3
v5
v6
v2
（b）
v4
（b）是（a）的一个支撑树。
定理3
图G有支撑树的充分必要条件是图G是连通的。
证明：必要性是显然的。 充分性： 设G是连通的，如果G不含圈，则G本身是 一个树，从而是它自身的一个支撑树。 现设G含图，从圈中任意去掉一条边，得G的一 个支撑子图G1，如G1不含圈，则G1是G的一个支撑树； 如G1含圈，则从G1中任取一圈，从圈中再任意去掉一 条边，得G的一个支撑子图G2，如此重复，终可得G
[ vi , v j ]T
w
ij
如果支撑树T*的权w（T*）是G的所有支撑树的权 中最小的，则称T*是G的最小支撑树（简称最小树）。 即
w(T *) min w(T )
T
最小树问题，即求网络G的最小支撑树。
定理 设T是网络G=(V,E,W)的支撑树，则对于 任意一条树上的边，e ∈T,唯一决定一个G的割 (e上的其他边都不属于 ) 集 (e),除了e外， T，如 果T是G的最小支撑树，则e是 (e) 的最小边。 证明: 设T-e 有两个连通子图，它们的顶点集合 (e)=[V1,V2],且 e’∈ (e) 。 分别是V1和V2， 因为T’=T-｛e｝∪｛e’｝ 是连通的，它也是 W T ' W T w e w e ' G的支撑树，而且：
v3
v1 v2
v5 v6v1
v3 v1
v3 v1 v2
v3

v5
v4 v5
v6 v1 v2 v4
v2 v5
v6
v3 v1
v3
v2
例题 破圈法求解
e1
v2
e3 e4
e8
v1
e2
e5
v4
e7 e6
v5
v2
e1
v3
e8 e4
（1）
v2
e1
e8
v1
e2
e5
v4
e7 e6
v5 v1
e2
e5
v4
e7 e6
v5
第二节
一、树及其性质
最小树问题
定义1： 无圈的连通图称为树。树一般用T表示。 定理1： 任给树T=（V，E），若P（T）≥2，则
T中至少有两个悬挂点。
证明：设 µ =（v1，v2，…，vk）是G中含边数最多的 一条初等链，因 p（T ）≥2，并且T是连通的，故链 µ 中至少有一条边，从而v1与vk是不同的 。
任选一条）。
v3
6
5 7
v5
4 3 4
v3
6
5 7
v5
4 3
v1
1 5
v6
v1
1
v6
4
5
v2 v3
6
2 5
v4
v2 v3
4 6
2 5
v4
v5
3
4
v5
4 3 4
v1
1
5
7
v6
v1
1
5
7
v6
v2
2
v4
v2
2
v4
v3
6
5
7
v5
4 3 4
v3
6
5
7
v5
4 3 4
v1
1 5