二次根式总复习
二次根式知识点总结复习整理
二次根式知识点总结1. 二次根式的概念二次根式的定义： 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，a 才有意义．2. 二次根式的性质1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2.)0()(2≥=a a a注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2≥=a a a3. ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．3. 最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式4. 二次根式计算——分母有理化1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用a a a =⋅来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如b a +与b a -，b a +与b a -，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。
3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；5. 二次根式计算——二次根式的乘除1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
)0,0(≥≥⋅=b a b a ab2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
二次根式复习
第十六章 二次根式考点一：二次根式的概念与性质：1a ≥0）的式子叫做二次根式。
其中a 为被开方数，为非负数。
“”为二次根号。
2、二次根式的性质：①双重非负性：__________________ ②())0__(__________2≥=a a③⎪⎩⎪⎨⎧==____________________________________2a 例题1：（利用被开方数的非负性求字母的范围或值。
）x 取何值时，下列式子有意义？①2)1(--x ②x x -+-44 ③358-x x ④112-+x x变式：①象限。
）在第（有意义，则若式子_____,1b a P aba +-②若x ，y 为实数，且y＋x +y 的值。
例题2：（利用二次根式的性质进行化简求值） ①4124)2(22+-+-x x x 化简②的取值范围。
求若x x x x ,03962=+-+-2210b b -+=，则221||a b a +-＝______________.变式：b a c c b a ABC c b a ---+-∆2,,2）（的三边长，化简为已知：考点2：二次根式的乘除次根式。
计算结果要化成最简二反之：则二次根式的除法：若成立，则反之：若，则二次根式的乘法：若⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>≥==≥≥≥⋅==⋅≥≥)0,0(,0__,00,0______,0,0b a b a b a b a b a b a b a b a ab b a b a 最简二次根式：①_______________________________________________________________. ②_______________________________________________________________.例题3：计算与化简61211÷① yx x y 233⋅② ③)0,0(96223≥≥++b a ab b a a )(ab b a ab ÷④ ⑤yx x 327 ⑥⎪⎭⎫⎝⎛⨯÷-5431821834变式：化简：①a a 1- ②a a 1- ③5116 ④23b a -变式：比较5334与的大小。
中考数学总复习第5课 二次根式
的值为
()
A．－15
B．15
C．－125
D.125
解析：由二次根式的定义，得 2x－5≥0 且 5－2x≥0，∴x
≥5且 2
x≤52，∴x＝52，∴y＝－3，∴2xy＝2×52×(－3)＝－
15.
答案：A
【预测演练 1－3】 化简：( 3－x)2－ x2－10x＋25.
解析：∵3－x≥0，∴x≤3，原式＝3－x－|x－5|＝3－x－ (5－x)＝3－x－5＋x＝－2.
解析：(1)4 1－ 8＝4× 2－2 2＝2 2－2 2＝0.
2
2
(2)原式＝( 2＋1)( 2－1)× 2＝(2－1)× 2＝ 2.
(3)原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1]
＝18－1－8＋4 2－1＝8＋4 2.
(4)原式＝( 10－3)2013·( 10＋3)2013·( 10＋3)
∴a＝m 2＋2n 2，b＝2m n . 这样，小明找到了把部分 a＋b 2的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决问题： (1)当 a，b，m，n 均为正整数时，若 a＋b 3＝(m＋n 3)2，用含 m，n 的
式子分别表示 a，b 得，a＝________，b＝________； (2)利用所探索的结论，找一组正整数 a，b，m，n 填空： ______＋______ 3＝(______＋______ 3)2； (3)若 a＋4 3＝(m＋n 3)2 且 a，b，m，n 均为正整数，求 a 的值．
解析：x－3≥0, ∴x≥3.
答案：x ≥3
【预测演练 1－1】
等式 2k－1＝ k－3
数 k 的取值范围是
2k－1成立，则实 k－3
()
二次根式知识点总复习含答案
二次根式知识点总复习含答案一、选择题1．a 的取值范围为() A ．0a >B ．0a <C ．0a =D ．不存在 【答案】C【解析】试题解析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知：a≥0，且-a≥0． 所以a=0．故选C ．2．已知n n 的最小值是（ ）A ．3B ．5C ．15D ．45【答案】B【解析】【分析】由题意可知45n 是一个完全平方数，从而可求得答案．【详解】=∵n∴n 的最小值为5．故选：B ．【点睛】此题考查二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键．3． ）A ．±3B ．-3C ．3D ．9【答案】C【解析】【分析】进行计算即可．【详解】，故选：C.【点睛】此题考查了二次根式的性质，熟练掌握这一性质是解题的关键.4．若x 、y 4y =，则xy 的值为( )A ．0B ．12C ．2D ．不能确定 【答案】C 【解析】 由题意得，2x −1⩾0且1−2x ⩾0，解得x ⩾12且x ⩽12， ∴x =12， y =4，∴xy =12×4=2. 故答案为C.5．若m 与18是同类二次根式，则m 的值不可以是（ ）A ．18m =B ．4m =C ．32m =D ．627m = 【答案】B【解析】【分析】 将m 与18化简，根据同类二次根式的定义进行判断． 【详解】解：18=32A. 18m =时，12==84m ，是同类二次根式，故此选项不符合题意； B. 4m =时，=2m ，此选项符合题意C. 32m =时，=32=42m ，是同类二次根式，故此选项不符合题意；D. 627m =时，62==273m ，是同类二次根式，故此选项不符合题意 故选：B【点睛】本题考查二次根式的化简和同类二次根式的定义，掌握二次根式的化简法则是本题的解题关键.6．已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简|a +b |-2()b a -，其结果是（ ）A ．2a -B ．2aC ．2bD ．2b -【答案】A【解析】【分析】，再结合绝对值的性质去绝对值符号，再合并同类项即可．【详解】解：由数轴知b ＜0＜a ，且|a|＜|b|，则a+b ＜0，b-a ＜0，∴原式=-（a+b ）+（b-a ）=-a-b+b-a=-2a ，故选A ．【点睛】．7．的结果是 A ．－2B ．2C ．－4D ．4【答案】B【解析】22=-=故选:B8．有意义，那么直角坐标系中 P(m,n)的位置在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】【分析】先根据二次根式与分式的性质求出m,n 的取值，即可判断P 点所在的象限.【详解】依题意的-m≥0，mn ＞0，解得m ＜0，n ＜0，故P(m,n)的位置在第三象限，故选C.【点睛】此题主要考查坐标所在象限，解题的关键是熟知二次根式与分式的性质.9．已知n 是一个正整数，135n 是整数，则n 的最小值是（ ）． A ．3 B ．5 C ．15 D ．25 【答案】C 【解析】【分析】 【详解】解：135315n n =，若135n 是整数，则15n 也是整数，∴n 的最小正整数值是15，故选C ．10．50·a 的值是一个整数，则正整数a 的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的乘法法则计算得到52a ，再根据条件确定正整数a 的最小值即可．【详解】∵50·a =50a =52a 是一个整数，∴正整数a 是最小值是2．故选B.【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，灵活应用二次根式的乘法法则化简．11．若x 2+在实数范围内有意义，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+2≥0，再解不等式即可．【详解】2x +∴被开方数x+2为非负数，∴x+2≥0，解得：x≥-2.故答案选D.本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件. 12．有意义时，a的取值范围是（）A．a≥2B．a＞2 C．a≠2D．a≠－2【答案】B【解析】解：根据二次根式的意义，被开方数a﹣2≥0，解得：a≥2，根据分式有意义的条件：a﹣2≠0，解得：a≠2，∴a＞2．故选B．13．a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≥1C．a＝1 D．a≤1【答案】B【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可得a﹣1≥0，再解不等式即可．【详解】由题意得：a﹣1≥0，解得：a≥1，故选：B．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．14．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A B C D【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的定义即可求解.【详解】=2，故不是最简二次根式；故选C.此题主要考查最简二次根式的识别，解题的关键是熟知最简二次根式的定义.15．在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．3x >B ．3x ≠C ．3x ≥D ．0x ≥【答案】C【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件是被开方式大于等于0，列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【详解】在实数范围内有意义，∴x-3≥0，解得x≥3．故选：C ．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．16．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）A B C D【答案】D【解析】【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【详解】A 、被开方数含分母，故A 不符合题意；B 、被开方数含开的尽的因数，故B 不符合题意；C 、被开方数是小数，故C 不符合题意；D 、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D 符合题意． 故选：D ．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．17．实数,a b ||a b + ）A ．2a -B ．2b -C ．2a b +D ．2a b - 【答案】A【解析】【分析】 2,a a = 再根据去绝对值的法则去掉绝对值，合并同类项即可．【详解】 解：0,,a b a b ＜＜＞0,a b ∴+＜22||a a b b a a b b ∴++=+++()a a b b =--++a ab b =---+2.a =-故选A ．【点睛】本题考查的是二次根式与绝对值的化简运算，掌握化简的法则是解题关键．18．下列运算正确的是( )A 532=B 822=C 114293=D ()22525-=-【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质，结合算术平方根的概念对每个选项进行分析，然后做出选择．【详解】 A ．532≠A 错误； B ．8222-2=2=，故B 正确；C ．137374=993=，故C 错误； D ．()225255-2-=,故D 错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和二次根式的化简，熟练掌握运算和性质是解题的关键．19．有意义的条件是（ ）A ．x>3B ．x>-3C ．x≥3D ．x≥-3 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式被开方数大于等于0即可得出答案．【详解】根据被开方数大于等于0有意义的条件是+30≥x解得：-3≥x故选：D【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．20．下列计算正确的是( )A 6=B =C ．2=D 5=- 【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的混合运算顺序和运算法则逐一计算可得．【详解】A ====C.=，此选项计算错误；5=，此选项计算错误；故选：B ．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．。
二次根式章节分类总复习 八年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义
第02讲 《二次根式》章节分类总复习考点一 二次根式有意义的条件 知识点睛：1. 二次根式的定义：非负数a 的算术平方根a 叫做二次根式 ☆：二次根式的判断不需要化简，直接根据定义判断即可， 易错类型：因为24=，误认为4不是二次根式2. 二次根式有意义的条件a 中a 叫做被开方数，其中二次根式有意义的条件就是a ≥0；☆1：当二次根式和分式结合时，要注意分式的分母≠0 ☆2：a 的双重非负性⎩⎨⎧≥≥0.0.本身②被开方数①a a ；故有：a 前无“-”，a 本身值不可能是负的 类题训练1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：，，，（x ＞0），，，﹣，，（x ≥0，y ≥0）．【分析】一般地，我们把形如 （a ≥0）的式子叫做二次根式．结合所给式子即可作出判断． 【解答】解：符合二次根式的定义；是三次根式；是分式，不是二次根式； （x ＞0）符合二次根式的定义； 是二次根式； 是四次根式； ﹣符合二次根式的定义； 是分式，不是二次根式；（x ≥0，y ≥0）符合二次根式的定义．2．（2021春•下城区期末）已知二次根式，当x ＝1时，此二次根式的值为（ ） A ．2 B ．±2 C ．4D ．±4【分析】将x的值代入二次根式，然后利用二次根式的性质化简求解．【解答】解：当x＝1时，原式＝，故选：A．3．（2021春•阳谷县期末）已知是整数，则正整数n的最小值是【分析】因为是整数，且＝2，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6．【解答】解：∵＝2，且是整数，∴2是整数，即6n是完全平方数；∴n的最小正整数值为6．故答案为：6．4．（2021秋•普陀区期中）若是二次根式，那么x的取值范围是．【分析】二次根式要求被开方数是非负数，即10﹣5x≥0，从而解得x的取值范围．【解答】解：∵是二次根式，∴10﹣5x≥0，∴x≤2．故答案为：x≤2．5．（2021春•余杭区期中）当x＝时，的值最小．【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：当x＝3时，此时2x﹣6＝0，的最小值为0，故答案为：36．已知二次根式．（1）求x的取值范围；（2）求当x＝﹣2时，二次根式的值；（3）若二次根式的值为零，求x的值．【分析】（1）根据二次根式的定义得出3﹣x≥0，解之可得答案；（2）将x＝﹣2代入计算可得；（3）当被开方数为0时，二次根式的值即为0，据此列出关于x的方程求解可得．【解答】解：（1）根据题意，得：3﹣x≥0，解得x≤6；（2）当x＝﹣2时，＝＝＝2；（3）∵二次根式的值为零，∴3﹣x＝0，解得x＝6．7.已知x、y为实数，且满足，求5x+|2y﹣1|﹣的值．【分析】先根据二次根式的性质列出不等式组，求出x的取值，再把x的值代入所求代数式即可解答．【解答】解：则；＝＝2．考点二二次根式相关概念知识点睛：1.最简二次根式：满足以下2个条件的二次根式成为最简二次根式①被开方数的因数是整数，因式是整式；②不含开的尽方的因数或因式☆：判断最简二次根式，被开方数的字母部分次数最高为1次，且不含分母二次根式的运算，最后结果都要求必须化为最简二次根式2.同类二次根式：所含被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式类题训练1．（2021秋•桐柏县期中）下列二次根式中的最简二次根式是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．【解答】解：A、原式＝3，故A不符合题意．B、原式＝3，故B不符合题意．C、是最简二次根式，故C符合题意．D、原式＝2，故D不符合题意．故选：C．2．把下列根式化成最简二次根式．（1）5（2）6（3）（a＞0）（4）（n＜0）【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（3）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（4）直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：（1）5＝5×2＝10；（2）6＝6×＝6×＝；（3）（a＞0）＝5a；（4）（n＜0）＝×＝﹣．3．（2021春•岳麓区校级期末）下列式子能与合并的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、＝＝4，能与合并，符合题意；B 、＝2，不能与合并，不符合题意；C 、＝，不能与合并，不符合题意；D 、＝，不能与合并，不符合题意；故选：A ． 4．如果最简二次根式与2是同类二次根式，则a ＝ ．【分析】根据同类二次根式的定义列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：∵最简二次根式与2是同类二次根式，∴3a ﹣8＝17﹣2a ， 解得，a ＝5， 故答案为：5．考点三 二次根式的运算知识点睛：二次根式乘法公式：()）（③②）（①0b ,0··)0()0(022≥≥=⎩⎨⎧≤-≥==≥=a b a b a a a a a a a a a a 二次根式除法公式：()()()()ba b a c b a b a b a c ba ca aa ab b ab b a b a b a ba ba --=-+-=+=≥==≥=)0(1)0,0()0,0(＞＞变形公式：＞④类题训练1．（2021秋•拱墅区期中）下列计算正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】根据平方根的性质、立方根的性质以及绝对值的性质即可求出答案． 【解答】解：A 、原式＝0.3，故A 不符合题意．公式①、②、③常用于以下两种题型：（1）化简求值（2）无理数比较大小常见比较大小的三种方式：（1）利用近似值比较大小（2）把系数移到根号内比较（3）分别平方，然后比较大小以上方法注意两数的正负号公式④及其变形常用于分母有理化的化简，即分式的分子分母同乘分母的无理化因式，使分母变为整数。
二次根式知识点总复习附答案
二次根式知识点总复习附答案一、选择题1. 有意义，那么x 的取值范围是（）【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于 【详解】x+5 解得 x>5.故答案选：C. 【点睛】本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的 条件.——在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（）V 6x 7A. x>5【答案】C【解析】 B . x>-5 C. x >5 D . x <5x 的不等式，求出x 的取值范围即可.2.已知 A . 4【答案】B . 6 2xJ 5 X 2的结果是（C. 4D . 2x 6c x2可得｛5 25 x =x-1+5-x=4，故选A.A .3时，二次根 m—5x 7式的值为，贝y m B. 晅2等于（）【答案】【解解：把x=-3代入二次根式得，原式 =m /io ，依题意得：mjio = J 5，故 =75 m=J io弓.故选B .4.若式子则化简•/ 6x 7是被开方数，••• 6x 70,又•••分母不能为零，7x > —；6故答案为：B. 【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0； 二次根式的被开方数是非负数，解题的关键是熟练掌握其意义的条件 .5.下列计算结果正确的是（ ）A. J 3 2= 3 B. 736 = ±6 C. 巧 +72 =5/5 D. 3 + 2 罷=5^3【答案】A 【解析】 【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断. 【详解】故选A . 【点睛】考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.6 •把a j —1中根号外的因式移到根号内的结果是 （）A .7B . x > 一6 7A. x A6【答案】B 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于 0,分母不等于0列式计算即可得解.C. x67D . XV —6•- 6x 7 0，解得, A 、 B 、 C 、D 、原式=卜3|=3，正确； 原式=6,错误； 原式不能合并，错误；原式不能合并，错误.B . T a D. v a【答案】A 【解析】 【分析】 由二次根式 a j —1知a 是负数，根据平方根的定义将 a 移到根号内是a 2，再化简根号内的因式即可. 【详解】1 ••• — 0,且 a 0,a••• a<0,a/I >,故选：A. 【点睛】此题考查平方根的定义，二次根式的化简，正确理解二次根式的被开方数大于等于a 的取值范围是解题的关键 7.下列运算正确的是( A . 2 込-73=1B .(- 逅)2=2C. 7(-11)2= ± 11 D .(32-22=432-422=3 - 2=1【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和加减运算法则判断即可【详解】根据二次根式的性质 （ja ）2=a （a>0 ,可知（-42）2=2，所以B 选项正确;a(a>0)a|= 0(a=0)，可知(-11)2 =| - 11|=11，所以 C 选项错 a(a<0)误;D 、根据二次根式的性质，可知 厶廿 =49~4=4^，所以D 选项错误.故选B . 【点睛】根据二次根式的加减，可知 2 J 3 - J 3= J 3，所以A 选项错误; (a)20得到根据二次根式的性质 77性质和运算法则计算是解题关键5 J 5 2x 3，则2xy 的值为（）【答案】A 【解析】 试题解析:2x 5 {5 2xx 解得{ya ，故③正确;故选：B . 【点睛】此题主要考查了的二次根式的性质 （苗）=a （a>0 ,a(a>0)0(a=0)，正确利用 a(a< 0)A .15B . 15C.15 15D.—22.52xy=2 X 2.5 &3) 故选A .=-15,9.如果 ab 0, a b 0，那么给出下列各式①>/ah£ a ；正确的是（）A .①②【答案】B .②③C.①③D .①②③【分析】 由题意得 0 ,然后根据二次根式的性质和乘法法则逐个判断即可.【详解】 解：••• ab••• a 0, b a b1，故②正确;- = 1;②a••• j a 和j b 无意义，故①错误;b a b a1本题考查了二次根式的性质和乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键. 10.下列各式中，不能化简的二次根式是( 【答案】C B . 5/0.3 D . 718 【解析】 【分析】 A 、B 选项的被开方数中含有分母或小数； 9 ;因此这三个选项都不是最简二次根式•所以只有 【详解】 D 选项的被开方数中含有能开得尽方的因数 C 选项符合最简二次根式的要求. 解: 卩返，被开方数含有分母，不是最简二次根式; N 2 2J 03 笑，被开方数含有小数，不是最简二次根式； 10 J 18 ，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 所以，这三个选项都不是最简二次根式. 故选：C . 【点睛】 在判断最简二次根式的过程中要注意： (1) 在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式; (2) 在二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数)，不是最简二次根式. 如果幕的指数大于或等于2，也11.已知a 1 J 2，则a,b 的关系是 A . a b ab 1 C. D . a b【答案】 D【解析】【分析】根据a 和 b 的值去计算各式是否正确即可. 【详解】A. a b 1 1 721逅1 1丘占1 V 211,错误；B. abB . 22，错误;1 V 212. 下列计算正确的是( A . 718 x/3 6 C. 2 罷 732【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的混合运算顺序和运算法则逐一计算可得. 【详解】A. 尿 43 J 18 3 J 6，此选项计算错误；B. 廳 J 22^2 42 72，此选项计算正确；C. 2 J 3 43 逅，此选项计算错误；D.J ( 5)25，此选项计算错误；故选：B . 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运 算法则.13. J 50 •a 的值是一个整数，则正整数 a 的最小值是(根据二次根式的乘法法则计算得到 5殛，再根据条件确定正整数 a 的最小值即可.【详解】••• J 50 •a ==5^2^ 是一个整数,•••正整数a 是最小值是2. 故选B. 【点睛】C. ab 1 迈1 1，错误;D. a b1 1 D . 1 1血严20,正确;1 72故答案为： 【点睛】本题考查了实数的运算问题,掌握实数运算法则是解题的关键.B.丽>/2 >/2D . J ( 5)25A . 1【答案】B 【解析】【分析】B . 2C. 3D . 5本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，灵活应 用二次根式的乘法法则化简.【解析】 【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，是逐个检查定义中的两个条件 不含分母 ②被开方数不含能开的尽方的因数或因式，据此可解答 .【详解】(1) A 被开方数含分母，错误. (2) B 满足条件，正确.(3) C 被开方数含能开的尽方的因数或因式(4) D 被开方数含能开的尽方的因数或因式 所以答案选B. 【点睛】14.如果 J (X 1)2x!，那么x 的取值范围是()A. x>1【答案】AB . x>1C. x wiD . x<16【解析】 【分析】根据等式的左边为算术平方根，结果为非负数，即 【详解】x-1>0求解即可.由于二次根式的结果为非负数可知： x-1 >0解得，x>1 故选A. 【点睛】本题利用了二次根式的结果为非负数求x 的取值范围.15.使代数式j a 岛有意义的a 的取值范围为 nn A . a 0【答案】C【解析】B . a 0C. D .不存在试题解析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于 所以a=0.故选C. 0，可知:16.下列各式中，是最简二次根式的是【答案】B B. J 5C. V T8①被开方数 ，错误.本题考查最简二次根式的定义，掌握相关知识是解题关键7X 的被开方数XV 0,无意义; 故选：C. 【点睛】17.计算 2412 —3J 2的结果是（ 4A .渥 2 【答案】A 【解析】2 C.- 33 D . 4【分析】 根据二次根式的运算法则，按照运算顺序进行计算即可. 【详解】 旦3424 (2 - 3)J 12 3 2 4 -3/2 6 區 2 . 故选：A . 【点睛】 此题主要考查二次根式的运算，根据运算顺序准确求解是解题的关键. 18.下列各式中是二次根式的是（ A .乘B .厂 D. T X (XV 0)【答案】C 【解析】 【分析】 根据二次根式的定义逐一判断即可. 【详解】 V s 的根指数为3, /〒的被开方数-72 的根指数为2, A 、B 、C 、 不是二次根式; 1V 0,无意义;且被开方数2> 0,是二次根式; D 、【解析】【分析】 先利用积的乘方得到原式=［（J 3 2）（乘 2）］2017（J 3 2）2，然后根据平方差公式和完全平方公式计算. 【详解】 解：原式=[(732) (73 2)]2017(品 2)2=(3 4)2017(3 4^3 4)1 (7 4^3)443 7故选：C. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的 乘除运算，再合并即可•在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根 式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.D 、符合二次根式的除法法则，正确.故选D .本题考查了二次根式的定义: 形如j a （a>0叫二次根式.19.计算点2）2017（丽 2）2019的结果是（）A . 2+运【答案】C B .C. 4/3 7 D . 7 4/320.下列各式中，运算正确的是（ ）A 、 a 6a 3a 2C. 2佢 3込 5^5【答案】D 【解析】 【分析】利用同底数幕的除法、幕的乘方、二次根式的加法和二次根式的除法法则计算. 【详解】解：A 、a 6+3=a 3，故不对；B 、 （ a 3） 2=a 6,故不对； C 、 2运和3 73B . D ./ 3、2(a )76 73 72。
二次根式总复习
a (a≥0)的式子叫做二次根式.
a 中，被开方数必须非负，即a≥0，
注意：
（1）二次根式
同时
a 具有双重非负性。
（ 1） ( a ) 2 = a ì ï a, a ³ 0 2 （ 2） a = a = í ï î - a, a < 0
（2）其中的被开方数a可以是数，也可以是代数式 （3）、两个公式
x 彻0且x
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方法技巧 对代数式是否有意义或求函数的自变量的取值范围， 一般从以 下几个方面考虑：(1)当字母在分母上时，必须满足的条件是分母 不等于零；(2)当字母在二次根式的被开方数中时，必须满足的条 件是被开方数大于或等于零；(3)零指数幂、负整数指数幂的底数 不等于零；(4)在实际问题中求字母的取值范围时，要同时考虑实 际问题有意义．
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考点7：二次根式的混合运算 1、合并同类二次根式的方法
与合并同类项类似,把同类二次根式的 系数相加减,做为结果的系数,根号及根 号内部都不变。
2、二次根式加减运算的步骤: (1)把各个二次根式化成最简二次根式 (2)把各个同类二次根式合并. 注意:不是同类二次根式的二次根式 (如
2019/3/1032、二次根的运算 （1）、算术平方根的积
即：算术平方根的积，等于各被开方数积的
算术平方根.
公式为：a ? b
ab (a 吵 0, b 0)
（2）、积的算术平方根 即：积的算术平方根，等于积中各因式 算术平方根的积。
公式为：ab = a 壮b (其中a 0, b ? 0)
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（3）原式
=- -
1 ?( a b) 2 a- b
初中数学二次根式知识点总复习含解析(1)
初中数学二次根式知识点总复习含解析(1)一、选择题 1．若1x +有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．1x >-B ．0x ≥C ．1x ≥-D ．任意实数【答案】C【解析】【分析】要是二次根式a 有意义，被开方数a 必须是非负数，即a≥0，由此可确定被开方数中字母的取值范围.【详解】若1x +有意义,则10x +≥,故1x ≥-故选:C【点睛】考核知识点:二次根式有意义条件.理解二次根式定义是关键.2．下列各式中计算正确的是（）A ．268+=B ．2323+=C ．3515⨯=D ．42= 【答案】C【解析】【分析】结合选项，分别进行二次根式的乘法运算、加法运算、二次根式的化简、二次根式的除法运算，选出正确答案．【详解】解：A. 2和6不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；B.2和3不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；C. 3515⨯=，计算正确，故本选项正确；D.42=1，原式计算错误，故本选项错误． 故选：C.【点睛】本题考查二次根式的加减法和乘除法，在进行此类运算时，掌握运算法则是解题的关键．3．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a |＋2(a b )-的结果是（ ）A ．2a+bB ．-2a+bC ．bD ．2a-b【答案】B【解析】【分析】 根据数轴得出0a <，0a b -<，然后利用绝对值的性质和二次根式的性质化简．【详解】解：由数轴可知：0a <，0b >，∴0a b -<， ∴()()22a a b a b a a b +-=-+-=-+， 故选：B ．【点睛】本题考查了数轴、绝对值的性质和二次根式的性质，根据数轴得出0a <，0a b -<是解题的关键．4．下列式子为最简二次根式的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】【详解】解：选项A ，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式， A 符合题意； 选项B ，被开方数含能开得尽方的因数或因式，B 不符合题意；选项C ，被开方数含能开得尽方的因数或因式， C 不符合题意； 选项D ，被开方数含分母， D 不符合题意，故选A ．5．已知n 135n 是整数，则n 的最小值是（ ）．A ．3B ．5C ．15D ．25【答案】C【解析】【分析】【详解】 解：135315n n =Q 135n 15n 也是整数，∴n 的最小正整数值是15，故选C ．6．下列各式计算正确的是( )A ．2＋b ＝2bB 523=C ．(2a 2)3＝8a 5D ．a 6÷ a 4＝a 2【解析】解：A ．2与b 不是同类项，不能合并，故错误；B 不是同类二次根式，不能合并，故错误；C ．（2a 2）3=8a 6，故错误；D ．正确．故选D ．7．x 的取值范围是（ ）A ．x ＜1B ．x ≥1C ．x ≤﹣1D ．x ＜﹣1【答案】B【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件判断即可．【详解】解：由题意得，x ﹣1≥0，解得，x ≥1，故选：B ．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟悉掌握是关键.8．m 的值不可以是（ ）A ．18m =B ．4m =C ．32m =D ．627m = 【答案】B【解析】【分析】【详解】A. 18m =，是同类二次根式，故此选项不符合题意；B. 4m = ，此选项符合题意C. 32m =，是同类二次根式，故此选项不符合题意；D. 627m =3，是同类二次根式，故此选项不符合题意 故选：B本题考查二次根式的化简和同类二次根式的定义，掌握二次根式的化简法则是本题的解题关键.9．下列计算正确的是（）A．+=B．﹣=﹣1 C．×=6 D．÷=3【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．【详解】解：A、B与不能合并，所以A、B选项错误；C、原式= ×=，所以C选项错误；D、原式==3，所以D选项正确.故选：D.【点睛】本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．10．如果一个三角形的三边长分别为12、k、7221236k k-+|2k﹣5|的结果是()A．﹣k﹣1 B．k+1 C．3k﹣11 D．11﹣3k【答案】D【解析】【分析】求出k的范围，化简二次根式得出|k-6|-|2k-5|，根据绝对值性质得出6-k-（2k-5），求出即可．【详解】∵一个三角形的三边长分别为12、k、72，∴72-12＜k＜12+72，∴3＜k＜4，21236k k-+，=()26k--|2k-5|，=6-k-（2k-5），=-3k+11，=11-3k ，故选D ．【点睛】本题考查了绝对值，二次根式的性质，三角形的三边关系定理的应用，解此题的关键是去绝对值符号，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．11．若x +y ＝，x ﹣y ＝3﹣的值为（ ）A ．B ．1C ．6D ．3﹣【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质解答．【详解】解：∵x+y ＝，x ﹣y ＝3﹣，==1．故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式的运用，解题的关键是熟练掌握平方差公式进行解题．12．下列计算正确的是( )A ．3=B =C ．1=D 2= 【答案】D【解析】【分析】根据合并同类二次根式的法则及二次根式的乘除运算法则计算可得．【详解】A 、=，错误；BC 、22=⨯=D 2==，正确； 故选：D ．本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类二次根式的法则及二次根式的乘除运算法则．13．下列各式中，是最简二次根式的是( )A B C D【答案】B【解析】【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，是逐个检查定义中的两个条件①被开方数不含分母②被开方数不含能开的尽方的因数或因式，据此可解答.【详解】（1）A被开方数含分母，错误.(2)B满足条件，正确.(3) C被开方数含能开的尽方的因数或因式,错误.(4) D被开方数含能开的尽方的因数或因式,错误.所以答案选B.【点睛】本题考查最简二次根式的定义，掌握相关知识是解题关键.14．下列计算正确的是（）A．=B=C．=D-=【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则逐一计算可得.【详解】A、-B、，此选项正确；C、=（D、=【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算顺序和运算法则.15．计算20172019(32)(32)+-的结果是( ) A ．2+3B ．32-C ．437-D ．743- 【答案】C 【解析】【分析】先利用积的乘方得到原式= 20172[(32)(32)](32)+-⋅-，然后根据平方差公式和完全平方公式计算．【详解】 解：原式=20172[(32)(32)](32)+-⋅-=2017(34)(3434)-⋅-+1(743)=-⨯-437=-故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．16．实数,a b 在数轴上对应的点位置如图所示，则化简22||a a b b +++的结果是（ ）A ．2a -B ．2b -C ．2a b +D ．2a b -【答案】A【解析】【分析】2,a a = 再根据去绝对值的法则去掉绝对值，合并同类项即可．【详解】解：0,,a b a b Q ＜＜＞ 0,a b ∴+＜22||a a b b a a b b ∴++=+++()a a b b =--++a ab b =---+2.a =-故选A ．【点睛】本题考查的是二次根式与绝对值的化简运算，掌握化简的法则是解题关键．17．当实数x 41y x =+中y 的取值范围是( ) A ．7y ≥-B ．9y ≥C ．9y <-D ．7y <-【答案】B【解析】【分析】根据二次根式有意义易得x 的取值范围，代入所给函数可得y 的取值范围．【详解】解：由题意得20x -≥，解得2x ≥， 419x ∴+≥，即9y ≥．故选：B ．【点睛】本题考查了函数值的取值的求法；根据二次根式被开方数为非负数得到x 的取值是解决本题的关键．18．有意义的条件是（ ）A ．x>3B ．x>-3C ．x≥3D ．x≥-3 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式被开方数大于等于0即可得出答案．【详解】根据被开方数大于等于0有意义的条件是+30≥x解得：-3≥x故选：D【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．19．如果m 2+m =0，那么代数式（221m m ++1）31m m +÷的值是（ ）AB ．C + 1D + 2【答案】A【解析】【分析】先进行分式化简，再把m 2+m =. 【详解】 解：（221m m ++1）31m m+÷ 223211m m m m m+++=÷ 232(1)1m m m m +=⋅+ ＝m 2+m ，∵m 2+m =0，∴m 2+m =∴原式=故选：A ．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．20．n 的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．8D ．3 【答案】C【解析】【分析】如果实数n 取最大值，那么12－n22，从而得出结果．【详解】2时，n 取最大值,则n ＝8，故选：C【点睛】本题考查二次根式的有关知识，解题的关键是理解”的含义．。
二次根式复习
二次根式（一）（1）注：二次根式的双重非负性是指:⎩⎨⎧____________________________________（2）注：分母有理化的两种类型⎩⎨⎧____________________________________（3）几个二次根式 ，则称他们为同类二次根式。
判断同类二次根式的过程是： （4）二次根式的性质①20,a ≥=若则；③= (0,0)a b ≥≥()()a a a⎧==⎨-⎩0,0)a b =≥ （5）二次根式的运算①加减法：先化为 ，在合并同类二次根式；②乘法：应用公式； ③除法：应用公式④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。
（二）1.那么x 取值范围是（） A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2 2. 下列各式属于最简二次根式的是（ ） A3.） A ．①和③ B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 4. x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义 （1； （2（33.判别下列二次根式中，哪些是同类二次根式：0),3b - 4. 化简与计算2)x7)2m -⑤22-；⑥(1. 若式子12--x x 有意义，则x 的取值范围为（ ） A ．x ≤2 B ．x ≤2且x ≠1 C ．x ≥2 D ．x ≥1 2. 若，则x-y 的值为（ ）A ．-1 B ．1 C ．2D ．33. 如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4. 如果等式（x+1）0=1和()x x 32232-=-同时成立，那么需要的条件是（ ）A ．x ≠-1B ．x ＜32且x ≠-1 C ．x ≤32或x ≠1 D ．x ≤32且x ≠-1 5. 若x ＜2，化简()x x -+-322的正确结果是（）A ．-1B ．1C ．2x-5D ．5-2x6. 如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简()b a b a -++2的结果等于（）A ．-2bB ．2bC ．-2aD ．2a7. 下列根式xy 2、8、2ab 、53xy 、y x +、21中，最简二次根式的个数是（）A ．2个B ．3个C ．6个D ．5个 8. 若624m -与432-m 可以合并，则m 的值不可以是（ ）A ．1320B ．2651 C ．813 D ．479. 下面有四对二次根式：y x 58和xy 2，xy 2和224yx ，xy 2和y x 321，2xy 和yx xy +，其中同类二次根式共有（ ）A ．0对 B ．1对 C ．2对 D ．3对10. 在下列各式中，二次根式b a -的有理化因式是（） A ．b a +B ．b a + C ．b a - D ．b a -11. 已知a=12+，b=121-，则a 与b 的关系是（）A ．a=bB ．ab=1C ．a=-bD ．ab=-112计算：()()()02013201222323232----+⋅- ()()1211612220133121-+⨯-+++⎪⎭⎫⎝⎛- 13. 先化简，再求值：242122+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x x (x−2−，其中x ＝−4+3．11+-÷x 15. 如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）。
2024年中考数学复习专题讲义：二次根式(含答案)
2024年中考数学复习专题讲义：二次根式知识点讲解1、二次根式的定义 一般地，形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式。
2、二次根式的基本性质①2a =(a ≥0)； a = (a ≥0)； a = (a 取全体实数)。
3、二次根式的乘除(1)二次根式的乘法：①ab b a =⋅； ②b a ab ⋅= (a ≥0， b ≥0)。
(2)二次根式的除法：= = (a ≥0， b ＞0)。
4、最简二次根式 最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
5、二次根式的加减二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
专题练习一、选择题1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A ．√12B ．√8C ．√13D ．√0.22．若二次根式√x +2有意义，则x 的取值范围是（ ）．A ．x >−2B ．x ≥−2C ．x <−2D ．x ≥23．化简√(−3)2的结果是（ ）A ．−3B ．±3C ．3D ．94．估计(√27−√6)÷√3的值应在（ ）A ．0到1之间B ．1到2之间C ．2到3之间D ．3到4之间5．下列计算错误的是（ ）A ．3√2−√2=3B ．√60÷√5=2√3C ．√25a +√9a =8√aD ．√14×√7=7√26．若 x =√m −√n,y =√m +√n ，则 xy 的值是( ）.A ．2√mB ．m −nC ．m +nD ．2√n 7．计算：√12×√13−√8÷√2的结果是（ ） A ．2 B ．0 C ．-2 D ．−√28．用四张大小一样的长方形纸片拼成一个正方形 ABCD (如图)，它的面积是 48， 已知长方形的一边长 AE =3√3， 图中空白部分是一个正方形，则这个小正方形的周长为( )A ．2√3B ．4√3C ．8√3D ．16√3二、填空题9．化简√3= 10．若√a +√3=3√3，则a = ． 11．计算(2√2+1)(2√2−1)的结果等于 ．12．若二次根式√x+3x 有意义，则x 的取值范围为 ．13．当m ＝ 时，二次根式√m −2取到最小值．三、解答题14．计算 （1）√16÷√2−√13×√6； （2）32√4x +2√x 9−x √1x +4√x4．15．已知2x =+2y =（1）试求22x y +的值； （2）试求x y y x-的值． 16．某居民小区有一块形状为长方形ABCD 的绿地，长方形绿地的长BC 为√162m ，宽AB 为√128m （即图中阴影部分），长方形花坛的长为(√13+1)m ，宽为(√13−1)m ，（1）长方形ABCD 的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？17．已知x=2−√3，y=2+√3．（1）求x2+y2−xy的值；（2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax−by的值．参考答案1．C2．B3．C4．B5．A6．B7．B8．C9．√33 10．1211．712．x ≥−3且x ≠013．214．解：（1）原式=√16÷2−√13×6＝2√2−√2=√2；（2）原式＝3√x +23√x −√x +2√x=143√x ．15．（1）解：∵2x =， 2y =∴x+y=22+，xy=(22+=1 ∴()2222242114x y x y xy +=+-=-⨯= ；（2）解：∵2x =+，2y =-∴x+y=22+，x-y=((2222--=+=xy=(22=1∴()()22x y x yx y x yy x xy xy+---====16．（1）解：长方形ABCD的周长=2(√162+√128)=2(9√2+8√2)=34√2(m)，答：长方形ABCD的周长是34√2m；（2）解：购买地砖需要花费=50[9√2×8√2−(√13+1)(√13−1)]=50(144−13+1)=50×132=6600（元）答：购买地砖需要花费6600元．17．（1）解：∵x=2−√3，y=2+√3，∴xy=(2−√3)(2+√3)=4−3=1，(x−y)2=(2−√3−2−√3)2=(−2√3)2=12，∴x2+y2−xy=(x−y)2+xy=12+1=13；（2）解：∵1<3<4，∴1<√3<2，∴3<2+√3<4，∴2+√3的整数部分是3，∴b=3，∵1<√3<2，∴−2<−√3<−1，∴0<2−√3<1，∴2−√3的整数部分是0，小数部分=2−√3−0=2−√3，∴a=2−√3，∴ax−by=(2−√3)(2−√3)−3(2+√3)=7−4√3+6−3√3=13−7√3，∴ax−by的值为13−7√3．）解：①(30x -2)x -②0020x x -22))(2)x -，又232x -+30x -+代数式当2x =时，代数式。
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总复习（一）二次根式
知识点：
1.二次根式的有关概念：
（1）形如 的 式子叫做二次根式. （即一个 的算术平方根叫做二次根式 二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零
（2）代数式：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、平方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。
（3）最间二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
(4）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
2.二次根式的性质：
（1）双重非负性
3.二次根式的运算：
二次根式乘法法则
二次根式除法法则
二次根式的加减： (一化，二找，三合并 )
（1）将每个二次根式化为最简二次根式；
（2）找出其中的同类二次根式；
（3）合并同类二次根式。
0()a a ≥ ≥0 2(2))(0)
a a (= ≥ a =2(3) (4)(0,0)a
b a b = ≥ ≥
(5)(00)a a b b = ≥> (0,0)a b a b ⨯= ≥≥ (0,0)a a b b
= ≥>
Ps:类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。
二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用
填空题：
1、n 24是整数，则正整数n 的最小值是（ ）
A.4
B.5
C.6
D.7
2、下列各式中，不是二次根式的是（ ） A.45 B.π-3 C.
22+a D.21
3、若使二次根式 21
+-x x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）
A ．x ≥-2
B ．x ＞-2
C ．x>-2 且x ≠1
D ．x ≤-2
4、(1)若 2)(11y x x x +=---，则x-y 的值为（ ）
A ．-1
B ．1
C ．2
D ．3
(2)若实数a 、b 满足
1112
2+-+-=a a a b ，则a+b 的值是（ ） 5、（1）已知a 为实数，那么 2a -等于（ ）
A ．a
B ．-a
C ．-1
D ．0
（2）若 a a -=-1)1(2，则a 的取值范围是（ ）
A ．a ＞1
B ．a ≥1
C ．a ＜1
D ．a ≤1
(3)若)3(692a a a --=+-，则a 的取值范围是（ ）
A.a>3
B.a<3
C.a ≥3
D.a ≤3
（4）如果代数式ab 1+a 有意义，则直角坐标系中点A （a ，b ）的位置（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
6、（1）已知a ＜0，那么| 2a -2a|可化简为（ ）
A ．-a B.a C.-3a D.3a
（2）如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置
如图所示，那么化简|a-b|+ 2)(b a +的结果等于
（ ） A.-2b B.2b C.-2a D.2a
7、下列根式中3,
8,,2,543a x b a a ，最简二次根式的个数是（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1
8、下列各式中正确的是（ ）
A ．2-2=-4
B ．（33）2=35 C. 1)12)(12(=-+ D ．x 8÷x 4=x 2
9、（1）若)6(6-=-∙x x x x ，则（ ）
A ．x ≥6
B ．x ≥0
C ．0≤x ≤6
D ．x 为一切实数
（2）1a 3-a 1
3-=--a a 成立的条件是（ ） A.a ≠1 B.a ≥3且a ≠1 C.a ＞1 D.a ≥3 10、已知实数a 满足|2008-a|+=a ，那么a-20082的值是（ ） A.2009 B.2008 C.2007 D.2009
11、化简20092009)23()23(+-的结果是（ ） A.-1 B.23- C.23+ D.23--
12、(1)把
)2(1
2---的根号外的（-2）移到根号内的结果是（ ）
(2)把b b 1-的根号外的因式移到根号内的结果是（ ）
A.b -
B.b --
C.b
D.b -
13、（1）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的为（ ）
A ．和
B ．和
C ．和
D ．和
（2）（填空）如果最简二次根式83-a 和a 217-同类二次根式， 则a=（ ）
（3）如果最简根式63-a 与4+a 是同类二次根式，那么使x a 24-有意义的x 的取值范围是（ ）
A ．x ≤10
B ．x ≥10
C ．x ＜10
D ．x ＞10
14、下列计算正确的是（ ） A.228=- B. 14931227=-=- C.()()
15252=+- D.23226=- 简答题：1、（1）先化简，在求值：21244422--++++--x x x x x x x 其中x=2-2
（2）（x-1-）÷，其中x=3-
2、(1)若1＜x ＜4，则|x −5|+
2)1(-x 的值为？
(2)若3，ｍ，5为三角形三边，化简：-
3、已知：实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：
4、计算题：
123
23-24-27314)
3218)(1223(33
)154276485(2)3352()3352(12
2∙+-÷+--+）、、、、 5、 )3()23(235a b b a b a b ÷-∙（其中a>0 ,b>0）
5、找规律：
;23231;12)12)(12(12121-=+-=-+-=+...,343
41-=+=+=+9910019
101)1(
（2）从计算结果找出规律：
（3）利用此规律计算：
()
12006200520061...341231121+⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++的值。