八年级下册数学二次根式重点难点题型全覆盖附详细答案
二次根式知识点及典型例题(含答案)
4、不会比较根式的大小5、不会利用二次根式的非负性6、对最简二次根式的条件掌握不牢八、经典例题例1、求下列各数的平方根与算术平方根（ ）A.36B.81121 C.2-（5） D.41【答案】A.2=36±（6）∴36的平方根为6±，即6± ∴36的算术平方根为6，即B.2981=11121±（）∴81121的平方根为911±，即911±∴81121的算术平方根为911，即911 C.25=25±（）∴2-（5）的平方根为5±，即5± ∴2-（5）的算术平方根为5，即D.()241=41±∴41的平方根为 ∴41【解析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，解答本题注意解题步骤的规范书写，不是完全平方数的正数，它的平方根只能用含有根号的形式表示．练习1、计算：（1 （2）【答案】（1）211=121（2）20.9=0.810.9±表示121的算术平方根，表示0.81的平方根，、的意义是解答本题的关键例2、如果一个正数的平方根为3a-5和2a-10，求这个正数【答案】由题意得，3a-5+2a-10=0得a=3∴3a-5=4∴这个数为24=16【解析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，而互为相反数的两个数相加为0，故(3a-5)+(2a-10)=0.求出a后，可知3a-5与2a-10的值，在考虑哪个正数的平方根是3a-5,2a-10的值即可。
练习1、x为何值时，下列各式有意义。
【答案】解：A.10x-≥，即1x≥有意义B.10x-≥且0x≥，即01x≤≤有意义C.10x+>，即1x>-D.230x+≥，即x都有意义【解析】a≥例3、【答案】解252736<<<<即56<<的整数部分是5【解析】处在哪两个完全平方数之间.例4、:x y【答案】解：33y-1和互为相反数3y-1∴和1-2x互为相反数3y-1+1-2x=0∴:=3:2x y∴互为相反数，则a和b互为相反数，所以本题中3y-1与1-2x 互为相反数例5、实数0.5的算术平方根等于（）.D.1 2【答案】C【解析】理解算术平方根的意义，把二次根式化成最简形式是解答本题的关键.例6、的算术平方根是（）A. 4±B. 4C. 2±D. 2【答案】D【解析】4的算术平方根，4的算术平方根为2.例7、根据下列运算正确的是（）3=2 C. (x+2y)2=x2+2xy+4y2 D. A.x6+x2=x3 B.√−8√18−√8=√2【答案】解：A、本选项不能合并，错误；3=-2，本选项错误；B、√-8C、（(x+2y)2=x2+2xy+4y2，本选项错误；D、√18-√8=3√2-2√2=√2，本选项正确．故选D【解析】此题考查了完全平方公式，合并同类项，以及负指数幂，幂的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．例8、）【答案】B综合练习简单1. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．<1 B．≥1 C．≤－1 D．<－1【答案】B【解析】由二次根式的意义，知：x－1≥0，所以x≥1.2.如果代数式有意义，那么x的取值范围是（）A．x≥0 B．x≠1 C．x＞0 D．x≥0且x≠1【答案】D解：根据题意得：x≥0且x﹣1≠0．解得：x≥0且x≠1．故选D．【解析】代数式√x有意义的条件为：x﹣1≠0，x≥0．即可求得x的范围．x-13.要使式子2-x有意义，则x的取值范围是（）A．x＞0 B．x≥﹣2 C．x≥2 D．x≤2【答案】D解：根据题意得，2﹣x≥0，解得x≤2．【解析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．4. 下列计算正确的是（）=√2 D.3+2√2=5√2 A.4√3-3√3=1 B.√2+√3=√5 C.2√12【答案】C【解析】 A、4√3-3√3=√3，原式计算错误，故本选项错误；B、√2与√3不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项错误；=√2，计算正确，故本选项正确；C、2√12D、3+2√2≠5√2，原式计算错误，故本选项错误；根据二次根式的化简及同类二次根式的合并，分别进行各选项的判断即可．5. 若，则＝【答案】6【解析】原方程变为：，所以，，由得：＝3，两边平方，得：＝7，所以，原式＝7－1＝6中等题1.结果是。
八年级数学下册第十六章二次根式知识点梳理(带答案)
八年级数学下册第十六章二次根式知识点梳理单选题1、√2×√8=（）A．4√2B．4C．√10D．2√2答案：B分析：直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．解：√2×√8=√16=4．故选B．小提示：此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．2、如果最简二次根式√3x−5与√x+3是同类二次根式，那么x的值是（）A．1B．2C．3D．4答案：D分析：根据最简二次根式的定义：二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．∵最简二次根式√3x−5与√x+3是同类二次根式，∴3x−5=x+3，∴x=4，故选：D．小提示：本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．3、二次根式√2x+4中的x的取值范围是（）A．x＜﹣2B．x≤﹣2C．x＞﹣2D．x≥﹣2答案：D分析：根据“二次根式有意义满足的条件是被开方数是非负数”，可得答案．由题意，得2x+4≥0，解得x ≥-2，故选：D ．小提示：本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．4、已知a ＝√5−2，b ＝2+√5，则a ，b 的关系是（ ）A ．相等B ．互为相反数C ．互为倒数D ．互为有理化因式答案：A分析：求出a 与b 的值即可求出答案．解：∵a ＝√5−2=√5+2(√5+2)(√5−2)＝√5+2，b ＝2+√5， ∴a ＝b ，故选：A ．小提示：本题考查了分母有理化，解题的关键是求出a 与b 的值，本题属于基础题型．5、已知：a=2−√3，b=2+√3，则a 与b 的关系是（ ）A ．相等B ．互为相反数C ．互为倒数D ．平方相等答案：C 因为a ×b =2−√32+√3=1,故选C.6、计算√8+√18的值等于（ ） A ．√26B ．4√2C ．5√2D ．2√2+2√3答案：C 分析：根据二次根式的运算法则即可求出答案．解：原式=2√2+3√2=5√2故选C ．小提示：本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则.7、已知max {√x,x 2,x}表示取三个数中最大的那个数，例如：当x ＝9时，max {√x,x 2,x}=max{√9,92,9}＝81．当max {√x,x 2,x}=12时，则x 的值为（ ） A ．−14B ．116C ．14D ．12答案：C分析：利用max {√x,x 2,x}的定义分情况讨论即可求解．解：当max {√x,x 2,x}=12时，x≥0①√x ＝12，解得：x ＝14，此时√x ＞x ＞x 2，符合题意； ②x 2＝12，解得：x ＝√22；此时√x ＞x ＞x 2，不合题意； ③x ＝12，√x ＞x ＞x 2，不合题意； 故只有x ＝14时，max {√x,x 2,x}=12． 故选：C ．小提示：此题主要考查了新定义，正确理解题意分类讨论是解题关键．8、下列各式中，无意义的是（ ）A ．√(−3)2B ．√(−3)33C ．√−32D ．√−(−3)答案：C分析：根据二次根式的被开方数是非负数判断即可．解：A ．原式=√9=3，故该选项不符合题意；B ．原式=−3，故该选项不符合题意；C ．原式=√−9，−9是负数，二次根式无意义，故该选项符合题意；D ．原式=√3，故该选项不符合题意；故选：C ．小提示：本题考查了二次根式有意义的条件，立方根，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．9、观察下列等式：第1个等式：a 1=1+√2=√2−1， 第2个等式：a 2=√2+√3=√3−√2，第3个等式：a3=√3+2=2−√3，第4个等式：a4=2+√5=√5−2，按照上述规律，计算：a1+a2+a3+⋯+a n=（）A．√n+1−1B．√n+1−√n C．√n+1D．√n−1答案：A分析：首先根据题意，可得a1=1+√2=√2−1，a2=√2+√3=√3−√2，a3=√3+2=2−√3，a4=2+√5=√5−2⋯⋯a n=√n+1+√n=√n+1−√n，再相加即可得解．解：第1个等式：a1=1+√2=√2−1，第2个等式：a2=√2+√3=√3−√2，第3个等式：a3=√3+2=2−√3，第4个等式：a4=2+√5=√5−2，……第n个等式：a n=√n+1+√n=√n+1−√n，∴a1+a2+a3+⋯⋯+a n=√2−1+√3−√2+2−√3+⋯+√n+1−√n=√n+1−1，故A正确．故选：A．小提示：本题主要考查了数字的变化规律以及分母有理化，首先要理解题意，找到规律，并进行推导得到答案．10、如图，数轴上的点可近似表示(4√6−√30)÷√6的值是( )A．点A B．点B C．点C D．点D答案：A分析：先化简原式得4−√5，再对√5进行估算，确定√5在哪两个相邻的整数之间，继而确定4−√5在哪两个相邻的整数之间即可．原式=4−√5，由于2＜√5＜3，∴1＜4−√5＜2．故选：A．小提示：本题考查实数与数轴、估算无理数的大小，解题的关键是掌握估算无理数大小的方法．填空题11、若a+6√3=(m+n√3)2，当a，m，n均为正整数时，则√a的值为__________．答案：2√7或2√3##2√3或2√7分析：先利用完全平方公式将(m+n√3)2展开，再根据等式左右两边对应项相等得到关于m、n的方程组，进而可求解．解：∵a+6√3=(m+n√3)2=m2+3n2+2√3mn，∴a=m2+3n2，2mn=6，∵a、m、n均为正整数，∴m=1，n=3，或m=3，n=1，当m=1，n=3时，a=12+3×32=28，则√a=√28=2√7；当m=3，n=1时，a=32+3×12=12，则√a=√12=2√3．所以答案是：2√7或2√3．小提示：本题主要考查了完全平方公式在二次根式混合运算中的运用，熟记完全平方公式，以及分类讨论思想的运用，是解答的关键．12、将√45化为最简二次根式，其结果是 __．2答案：3√102分析：将分母有理化后进行化简即可．解：√452=√45×22×2=√3×3×5×22×2=3√102，所以答案是：3√102．小提示：本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法解决本题的关键．13、已知√x+5有意义，如果关于x的方程√x+5+a=3没有实数根，那么a的取值范围是__．答案：a>3．分析：把方程变形为√x+5=3−a，根据方程没有实数根可得3−a<0，解不等式即可．解：由√x+5+a=3得√x+5=3−a，∵√x+5有意义，且√x+5⩾0，∴方程√x+5=3−a没有实数根，即3−a<0，∴a>3，所以答案是：a>3．小提示：本题考查了二次根式的性质，解题关键是利用二次根式的非负性确定a的取值范围．14、如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即4+3=7，则（1）用含x的式子表示m＝___；（2）当y＝2时，n的值为_____．答案：32x 11 4分析：（1）根据题意，可以用含x的式子表示出m；（2）根据图形，可以用x的代数式表示出y，列出关于x的分式方程，从而可以求得x的值，进而得到n的值．解：（1）由图可得m=1x +12x=32x，所以答案是：32x；（2）∵y=m+n=(1x +12x)+(12x+3)=2x+3，y=2，∴2x+3=2，解得，x=−2，∴n=12x +3=114，所以答案是：114．小提示：本题考查了分式的加减、解分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式及分式方程及求出方程的解．15、√27+√3的结果是_________．答案：4√3分析：直接化简二次根式进而合并得出答案．原式=3√3+√3=4√3．所以答案是：4√3.小提示：此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．解答题16、在一个边长为（√3+√5）cm的正方形内部挖去一个边长为（√5−√3）cm的正方形（如图所示），求剩余阴影部分图形的面积．答案：4√15( cm2)．分析：用大正方形的面积减去小正方形的面积即可求出剩余部分的面积．解：剩余部分的面积为：（√3+√5）2-（√5-√3）2，=(√3+√5+√5−√3)(√3+√5−√5+√3)，=2√5×2√3，=4√15( cm2)．小提示：此题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算法则和平方差公式是解本题的关键．17、计算：(1)(4√12−2√20)−(√48+√5)(2)(√48−√27)÷√3+√6×2√3答案：(1)4√3−5√5(2)1+6√2分析：(1)直接化简二次根式，进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；(2)直接化简二次根式，再利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．(1)(4√12−2√20)−(√48+√5)=(8√3−4√5)−(4√3+√5)=8√3−4√5−4√3−√5=4√3−5√5(2)(√48−√27)÷√3+√6×2√3=(4√3−3√3)÷√3+6√2=√3÷√3+6√2=1+6√2小提示：此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．18、已知a满足|2021−a|+√a−2022=a．(1)√a−2022有意义，a的取值范围是______；则在这个条件下将|2021−a|去掉绝对值符号可得|2021−a|=______．(2)根据（1）的分析，求a−20212的值．答案：(1)a≥2022；a−2021(2)a−20212=2022分析：（1）先根据二次根式有意义的条件求出a的范围，再根据绝对值的性质化简；（2）去掉绝对值符号，然后根据二次根式的性质求解即可．（1）解：∵√a−2022有意义，∴a−2022≥0，∴a≥2022，∴2021−a<0，∴|2021−a|=a−2021；所以答案是：a≥2022；a−2021；（2）∵|2021−a|+√a−2022=a，∴a−2021+√a−2022=a，∴√a−2022=2021，∴a−2022=20212，∴a−20212=2022．小提示：本题考查了绝对值的意义，二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，能求出a≥2022是解此题的关键．。
(完整版)八年级下册数学--二次根式知识点整理
二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。
如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。
如25 可以写作 5 。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。
练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。
二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。
（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。
初二数学二次根式试题答案及解析
初二数学二次根式试题答案及解析1.计算（1）（2）【答案】（1）；（2）2.【解析】（1）根据二次根式的乘除法则运算；（2）根据二次根式有意义的条件得到-（a+2）2≥0，得到a=-2，然后把a=-2代入原式进行计算．试题解析：（1）原式===（2）∵-（a+2）2≥0，∴a=-2，原式==3-5+4=2．【考点】二次根式的混合运算．2.计算：【答案】.【解析】先进行二次根式的乘法运算得到原式=3﹣3+2+2+1，然后合并即可．试题解析：原式=3﹣3+2+2+1=.【考点】二次根式的混合运算.3.化简的结果是（）A．-3B．3C．±3D．【答案】B．【解析】.故选B．【考点】二次根式化简.4.下列变形中，正确的是………（）A．(2)2＝2×3＝6B．C．D．【答案】D.【解析】A、(2)2＝4×3＝12，故本选项错误；B、，故本选项错误；C、，故本选项错误；D、，正确.故选D.【考点】二次根式的化简与计算.5.当1≤x≤5时，【答案】4．【解析】根据x的取值范围，可判断出x-1和x-5的符号，然后再根据二次根式的性质和绝对值的性质进行化简．试题解析：∵1≤x≤5，∴x-1≥0，x-5≤0．故原式=（x-1）-（x-5）=x-1-x+5=4．考点: 二次根式的性质与化简．6.有一个数值转换器，原理如下：当输入的x=64时，输出的y等于（）A．2B．8C．D．【答案】D．【解析】由图表得，64的算术平方根是8，8的算术平方根是．故选D．【考点】算术平方根．7.下列计算正确的是（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】根据根式运算法则.不是同类项不能合并同类项【考点】根式运算.8.=________________．【答案】6【解析】由题, .,由题, .【考点】二次根式的化简.9.函数中自变量x的取值范围是．【答案】x≥4【解析】二次根式有意义的条件：二次根号下的数为非负数，二次根式才有意义．由题意得，．【考点】二次根式有意义的条件点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握二次根式有意义的条件，即可完成.10.的平方根是（）A．4B．±4C．±2D．2【答案】C【解析】一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，其中正的平方根叫它的算术平方根.，平方根是±2，故选C.【考点】平方根点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握平方根的定义，即可完成．11.函数y=中，自变量x的取值范围是。
八年级下册二次根式知识点总结和练习题及答案
二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。
但与都是非负数，即，。
因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七：二次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．ab a·b a≥0，b≥0b ba ab≥0，a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律与结合律，乘法对加法的分配律以与多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．《二次根式》练习题（一）一、选择题（共12分）1．在根式15、22b-a 1b a -、3ab 、631、b a a 221中，最简二次根式有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．在二次根式32，-256，611，4951和232中，与6是同类根式的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．在下列各式中，等号不成立的是（ ）A ．a-1＝-aaB ．2x y ＝y 4x 2(x ＞0)C ．32a -＝a 2a -D ．(x+2xy +y)÷(x +y )＝x +y 4．在下列各式的化简中，化简正确的有（ ）①3a ＝a a ②5x x -x ＝4x x ③6a2ba＝ab 2b 3a ④24+61＝106A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5．已知二条线段的长分别为2cm 、3cm ，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是（ ）A ．1cmB ．5cmC ．5cmD ．1cm 或5cm6．已知a ＜0，化简：aa a 22+的结果是 （ ）A ．1B ．-1C ．0D ．2a二、填空题（每题2分，共20分）7．52-的绝对值是__________，它的倒数__________ 8．当x ___________时，x311--是二次根式． 9．当x ______时，52+x 有意义，若xx-2有意义，则x ______。
八年级数学下册《二次根式》知识点+解题技巧+章节测试(含答案)
五、求值：（每小题 7 分，共 14 分）
3 2
3 2
x3 xy2
25．已知 x＝
，y＝
，求
的值．
3 2
3 2
x4 y 2x3y2 x2 y3
x
2x x2 a2
1
26．当 x＝1－ 2 时， 求
＋
＋
的值．
x2 a2 x x2 a2 x2 x x2 a2
x2 a2
六、解答题：（共 20 分）
＝______．
ab c2d 2
1
1
12．比较大小：－ _________－ ．
27
43
13．化简：(7－5
2
2018
) ·(－7－5
2
2017
) ＝______________．
14．若
x 1＋
y
3
2
2
＝0，则(x－1) ＋(y＋3) ＝____________．
15．x，y 分别为 8－ 11 的整数部分和小数部分，则 2xy－y2＝____________．
四、巧配方，独占鳌头
例 4. 计算 分析：因为
都有意义，所以
所以
所以
解：原式
五、整体代入，别开生面
例 5. 已知
，求下列各式的值。
（1）
（2）
分析：根据 x、y 值的特点，可以求得
，如果能将所求的值的
式子变形为关于
或 xy 的式子，再代入求值要比直接代入求值简单得多。
解：因为 所以 （1）
（2） （也可以将
1
32
2、【提示】
＝
＝－（ 3 ＋2）．【答案】×．
32 34
3、【提示】 (x 1)2 ＝|x－1|， ( x 1)2 ＝x－1（x≥1）．两式相等，必须 x≥1．但等式左边 x 可取任
最新人教版八年级数学下册 二次根式知识点归纳及题型总结
最新人教版八年级数学下册二次根式知识点归纳及题型总结二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a\geq 0$）的式子叫做二次根式。
2.二次根式的双重非负性：$\sqrt{a}\geq 0$，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
3.二次根式的同底同指数相加减：$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$，$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a-b}$。
4.积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$。
5.商的算术平方根的性质：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$b\neq 0$）。
6.若$a\geq 0$，则$\sqrt{a^2}=|a|$。
知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。
2) 注意每一步运算的算理。
3) 乘法公式的推广：$(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2=a+b\pm2\sqrt{ab}$。
2.二次根式的加减运算：先化简，再运算。
3.二次根式的混合运算1) 明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里。
2) 整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。
例题：1.下列各式中一定是二次根式的是（）。
A。
$-3$；B。
$x$；C。
$x^2+1$；D。
$x-1$2.$x$取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
1）$\sqrt{-15+x}$；（2）$\frac{1}{\sqrt{x+4}}$3）$\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1}$；（4）$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$5）$3-\sqrt{x+1}$；（6）$\frac{2x}{\sqrt{x+1}}$7）若$x(x-1)=\frac{1}{4}$，则$x$的取值范围是（）。
初二数学下册(人教版)第十六章二次根式16.1知识点总结含同步练习及答案
− − 1 2
)
C．√6 D．√8
B．√4
答案： C 解析： A 中被开方数含有分母，不是最简二次根式；B 中被开方数含有小数，不是最简二次根式；D 中
被开方数含有因数 25，能开方，所以不是最简二次根式，C 是最简二次根式．
− − − − 2. 若使二次根式 √− x − 2 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 (
A．x ⩾ 2
答案： A
)
D．x ⩽ 2
B．x > 2
C．x < 2
− − − − 3. 二次根式 √− x − 1 中字母 x 的取值范围是 (
A．x < 1
答案： D
)
C．x > 1 D．x ⩾ 1
B．x ⩽ 1
4. 已知实数 a 在数轴上的位置如图所示，则化简 |1 − a| + √a2 的结果为 (
− −
⎧ a, ⎩
最简二次根式与同类二次根式 一个二次根式满足被开方数不含有分母，且不含有能开得尽方的因数或因式，叫做最简二次根 式（simplest quadratic radical）． 几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次 根式．
−a,
a > 0, a 次根式满足被开方数不含有分母，且不含有能开得尽方的因数或因式．
√
下列根式中，与 √2 是同类二次根式的是（ ） − A. √6 B. √8 C. √9 D. √− 12 解：B．
四、课后作业
（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）
1. 下列二次根式中，最简二次根式是 ( A．√
− −
)．
A．1
答案： A
B．−1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
八年级下册数学二次根式重点难点题型全覆盖附详细答案一、单选题（共16题；共32分）1.如果最简根式√3a−8与√17−2a是同类二次根式，那么使√4a−2x有意义的x的取值范围是（）A. x≤10B. x≥10C. x＜10D. x＞102.等式成立的条件是().A. B. C. D.3.已知是正整数，则实数n的最大值为（）A. 12B. 11C. 8D. 34.要使二次根式√3−2x有意义，则x的取值范围是（）A. x⩾32B. x⩽32C. x⩾23D. x⩽235.下列根式中，最简二次根式是()A. √x5B. √12xC. √7x3D. √x2+16.x取什么值时，√4+5x有意义（）A. x＞45B. x=45C. x≥45D. x≥-457.实数a在数轴上的位置如图所示，则√(a−4)2+ √(a−11)2化简后为（）A. 7B. −7C. 2a−15D. 无法确定8.下列二次根式不能与√27合并的是（）A. √48B. √18C. √113D. −√759.下列二次根式中, 是最简二次根式的是（）A. B. C. D.10.如果 √x−1x−3=√x−1√x−3，x 的取值范围是（ ）A. 1≤x≤3B. 1<x≤3C. x≥3D. x>3 11.如果 √(2a −1)2=1−2a ，则（ ）A. a ＜ 12 B. a≤ 12 C. a ＞ 12 D. a≥ 12 12.已知 a =√5−2 ， b =√5+2 ，则 √a 2+b 2+7 的值为（ ）A. 5B. 6C. 3D. 4 13.若 √a(5−a)=√a ·√5−a ，则( )A. a≤5B. a≥0C. 0≤a≤5D. a≥5 14.下列计算正确的是( )A. 3√2⋅4√2=12√2B. √(−9)×(−4)=√−9×√−4=6C. −3√23=√(−3)2×23=√6 D. √132−122=√(13+12)(13−12)=5 15.把二次根式 a√−1a 化简为（ ）A. −√−aB. √−aC. −√aD. √a 16.有下列各式:① √(−4)⋅(−9)=√−4⋅√−9=6 ；② √(−4)⋅(−9)=√4⋅√9=6 ；③ √52−42=√5+4⋅√5−4=3 ;④ √52−42=√52⋅√42=1 .其中,计算正确的有( ).A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（共8题；共8分）17.若x 、y 都为实数，且y =2008√x −5+2007√5−x +1 ，则x 2+y =________. 18.若成立，则x 满足________19.若x ＜2，则 √x 2−4x +4 ________．20.若|a −2|+√b −3+(c −4)2=0，则a-b+c=________ ． 21.已知 √x ﹣ √x =2，则 √x 2+1x 2+14 的值为________．22.下列二次根式，不能与 √12 合并的是________（填写序号即可）． ① √48 ； ② -√125 ； ③ √113 ； ④ √32 ； ⑤ √18 ．23.已知a ，b ，c 为三角形的三边，则√(a +b −c)2+√(b −c −a)2+√(b +c −a)2 = ________ 。
24.若实数x ，y ，m 满足等式 √3x +5y −3−m +(2x +3y −m)2 =√x +y −2−√2−x −y ，则m+4的算术平方根为 ________．三、计算题（共11题；共135分）25.已知y＜√x−2+ √2−x+3，化简|y﹣3|﹣√y2−8y+16．26.计算（1）√18+15√50−4√12（2）√45+√5√5√15×√125（3）(2√3−2)(2√3+2)- (√2−1)2 27.计算：（1）(√6+2√15)×√3−√92×√83（2）|−√−233|−√214−√(−1)20003（3）√18+√6√2(1−√3)0（4）(√24−√12)(√18+√6)+2√12×√34÷5√228.计算：（1）√3(√2−√3)−√24−|√6−3|（2）9√3+7√12−5√48+2√13（3）(2√3−1)(2√3+1)−(1−2√3)229.小明在解决问题：已知a=2+√3，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：∵a=2+√3= √3(2+√3)(2−√3=2﹣√3∴a﹣2=﹣√3∴（a﹣2）2=3，a2﹣4a+4=3∴a2﹣4a=﹣1∴2a2﹣8a+1=2（a2﹣4a）+1=2×（﹣1）+1=﹣1 请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简√2+1+√3+√2+√4+√3+…+√100+√99（2）若a=√2−1，求4a2﹣8a+1的值．30.有这样一类题目：将√a±2√b化简，如果你能找到两个数m，n，使m2+n2=a，且mn= √b，则a±2 √b，变成m2+n2+2mn=（m±n）2开方，从而使得√a±2√b化简．例如：化简√3±2√2因为3±2 √2=1+2±2 √2=12+（√2）2+2 √2=（1+ √2）2，所以√3±2√2= √(1±√2)2=|1± √2|= √2±1．仿照上例化简下列各式：（1）√4+2√3；（2）√13−2√42．31.阅读下面计算过程：√2+1=√2−1)(√2+1)(√2−1)=√2−1；√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2；√5+2=√5−2)(√5+2)(√5−2)=√5−2.求：（1）√7+√6的值.（2）√n+1+√n（n为正整数）的值.（3）√2+1√3+√2√4+√3√100+√99的值.32.化简：√7−4√3+ √7+4√3．33.已知a＝2+√3，求a2−9a−3−√a2−4a+4a2−2a的值．34.计算：（1）(2√32−√12)×(12√8+√23)（2）(−√3)×(−√6)+|√2−1|＋(5－2π)0；（3）|2－√3|＋(π－1)0＋√122－12－1；（4）( √5－√3＋√2)( √5＋√3－√2)．35.计算（1）√12−√127+√48（2）√24× √13-4× √18×(1- √2)0-( √23)-1（3）(2 √48-3 √27)÷ √3-( √2- √3)2四、解答题（共6题；共42分）36.如果√(a−5)2+│b-2│=0，求以a、b为边长的等腰三角形的周长.37.先阅读下面材料，然后再根据要求解答提出的问题:设a、b是有理数，且满足a+√2b=3−2√2，求b a的值？解: 由题意得: (a−3)+(b+2)√2=0，因为a、b都是有理数，所以a-3、b+2也是有理数，由于√2是无理数，所以a-3＝0、b+2＝0，所以a＝3、b＝-2，所以b a=(−2)3=−8，问题: 设x、y都是有理数，且满足x2−2y+√5y=8+4√5，求x+y的值，38.观察下列格式，√5−12-√5−1，√8−22√8−2，√13−32√13−3，√20−42−√20−4…（1）化简以上各式，并计算出结果；（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．39.若最简二次根式√2a+5a+1与√3b+4a是同类二次根式，求a2016+b2016的值．40.若x，y是实数，且y= √4x−1+ √1−4x+3，求3 √xy的值．41.对于“化简并求值：1a +√1a2+a2−2，其中a= 15”，甲、乙两人的解答不同．甲的解答是：1a + √1a2+a2−2= 1a+ √(1a−a)2= 1a+ 1a﹣a= 2a﹣a= 495；乙的解答是：1a + √1a2+a2−2= 1a+ √(1a−a)2= 1a+a﹣1a=a= 15．（1）________的解答是错误的；（2）错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质：________．（3）化简并求值：|1﹣a|+ √1−8a+16a2，其中a=2．五、综合题（共9题；共87分）42.将根号外的数移入根号内并化简：（1）；（2）43.【知识链接】有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．例如：√2的有理化因式是√2；1﹣√x2+2的有理化因式是1+ √x2+2．分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：1+√2= √2−1)(√2+1)(√2−1)= √2﹣1，√3+√2= √3−√2)(√3+√2)(√3−√2)= √3﹣√2．（1）【知识理解】填空：2 √x的有理化因式是________；直接写出下列各式分母有理化的结果：①√7+√6=________；②3√2+√17=________．（2）【启发运用】计算：1+√2+√3+√2+2+√3+…+√n+1+√n．44.观察下列等式：①√2+1=√2−1(√2+1)(√2−1)=√2−1；②√3+√2=√3−√2(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2；③√4+√3=√4−√3(√4+√3)(√4+√3)=√4−√3；…回答下列问题：（1）仿照上列等式，写出第n个等式：________；（2）利用你观察到的规律，化简：2√3+√11；（3）计算：1+√2√2+√3√3+2…3+√10．45.观察下列各式及其验算过程：√2+23=2 √23，验证：√2+23= √2×3+23= √233=2 √23；√3+38=3 √38，验证：√3+38= √8×3+38= √338=3 √38（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想√4+415的变形结果并进行验证．（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．46.先阅读下列解答过程，然后再解答：形如√m+2√n的化简，只要我们找到两个正数a,b，使a+b=m，ab=n，使得(√a)2+ (√b)2=m，√a×√b=√n，那么便有：√m±2√n=√(√a±√b)2=√a±√b(a>b)例如：化简√7+4√3解：首先把√7+4√3化为√7+2√12，这里m=7,n=12，由于4+3=7,4×3=12，即：(√4)2+(√3)2=7，√4×√3=√12，所以√7+4√3=√7+2√12=(√(√4+√3)2=2+√3。