泛函分析重要内容
泛函分析课件
泛函分析课件泛函分析是数学中的一门重要学科，它研究的是无限维空间中的函数和算子。
在实际应用中，泛函分析广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
本文将介绍泛函分析的基本概念和主要内容，以及其在实际应用中的一些例子。
一、泛函分析的基本概念泛函分析的基本概念包括向量空间、线性映射、内积、范数等。
向量空间是泛函分析的基础，它是一组满足一定条件的向量的集合。
线性映射是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的函数，它保持向量空间的加法和数乘运算。
内积是向量空间中的一种运算，它是一个函数，将两个向量映射到一个实数。
范数是向量空间中的一种度量，它衡量向量的大小。
二、泛函分析的主要内容泛函分析的主要内容包括线性算子、连续性、紧性、谱理论等。
线性算子是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的线性映射，它在泛函分析中起到了重要的作用。
连续性是指在一个向量空间中，如果两个向量足够接近，它们的映射也应该足够接近。
紧性是指一个映射将有界集映射到有界集，且将紧集映射到紧集。
谱理论是研究线性算子谱性质的一门学科，它对于解析和估计线性算子的特征值和特征向量具有重要意义。
三、泛函分析在实际应用中的例子泛函分析在实际应用中有许多例子，下面将介绍其中的几个。
首先是量子力学中的波函数，它是一个复数函数，描述了量子系统的状态。
泛函分析提供了一种理论框架，可以对波函数进行分析和计算。
其次是信号处理中的傅里叶变换，它将一个信号分解成一系列正弦和余弦函数的叠加。
泛函分析提供了一种数学工具，可以对信号进行分析和处理。
再次是优化问题中的拉格朗日乘子法，它是一种求解约束优化问题的方法。
泛函分析提供了一种理论基础，可以对优化问题进行建模和求解。
最后是经济学中的效用函数，它描述了个体对不同商品或服务的偏好程度。
泛函分析提供了一种数学工具，可以对效用函数进行分析和计算。
综上所述，泛函分析是一门重要的数学学科，它研究的是无限维空间中的函数和算子。
泛函分析的基本概念包括向量空间、线性映射、内积、范数等。
泛函分析重要内容
们同意前人的提法，认为线性泛函与无穷维空间上引进坐标的思想有关，而对偶理论则有如无穷维线性空间上的解析几何学。
距离线性空间SS1. 选择公理，良序定理，佐恩引理有序集的定义：（1）若a在b之先，则b便不在a之先。
（2）若a在b之先，b在c之先，则a在c之先。
这种先后关系记作良序集：A的任何非空子集C都必有一个属于C的最先元素。
良序集的超限归纳法：（1）为真，这里是A中最先的元素。
2）对一切,为真，则亦真那么对一切皆真。
选择公理设N={N}是一个非空集合构成的族，则必存在定义在N上的函数f，使得对一切N都有部分有序称元素族X是部分有序的，如果在其中某些元素对（a,b）上有二元关系，它据有性质：例如X中包换关系在部分有序集下，有上界、极大元和完全有序其中完全有序的C：。
例如在复数域中，按大小关系定义两个复数的关系，则复平面是部分有序的，实轴、虚轴是完全有序的。
佐恩引理设X非空的部分有序集，如果X的任何完全有序子集都有一个上界在X中，则X必含有极大元。
从现代观点来看，泛函分析研究的主要是研究实数域或者复数域上的完备赋范线性空间。
SS2. 线性空间，哈迈尔（Hamel）基线性空间的定义：加法交换、加法结合、有零元，有负元、有单位元等。
线性流形：线性空间中的非空子集，如果它加法封闭、数乘封闭。
线性流形的和M+N：所有形如m+n的元素的集合，其中m∈M, n∈N。
线性流形的直和：如果M∩N={θ},则以代替M+N如果,则称M与N是代数互补的线性流形。
于是有下述定理：定理设M,N是线性空间X的线性流形，则当且仅当对每个x∈X都有唯一的表达式x=m+n, m∈M,n∈N.定理若，则dimX=dimM+dimNHamel基的定义：设X是具有非零元的线性空间，X的子集H称为X的Hamel基，如果（1）H是线性无关的。
（2）H张成的线性流形是整个空间。
则有Hamel基和线性无关子集的关系：定理设X是线性空间，S是X中任意的线性无关子集，则存在X的一个Hamel基使得推论任何非零线性空间必有Hamel基由定理，可有定理设M是线性空间X的线性流形，则必有线性流形使得，即N是M的代数补。
泛函分析,泛函分析简介
泛函分析,泛函分析简介泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。
它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和极限理论。
它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。
泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。
1概述泛函分析(FunctionalAnalysis)是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。
泛函分析是由对函数的变换(如傅立叶变换等)的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。
使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。
巴拿赫(StefanBanach)是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家维多·沃尔泰拉(VitoVolterra)对泛函分析的广泛应用有重要贡献。
2拓扑线性空间由于泛函分析源自研究各种函数空间，在函数空间里函数列的收敛有不同的类型(譬如逐点收敛，一致收敛，弱收敛等等)，这说明函数空间里有不同的拓扑。
而函数空间一般是无穷维线性空间。
所以抽象的泛函分析研究的是一般的(无穷维的)带有一定拓扑的线性空间。
拓扑线性空间的定义就是一个带有拓扑结构的线性空间，使得线性空间的加法和数乘都是连续映射的空间。
巴拿赫空间这是最常见，应用最广的一类拓扑线性空间。
比如有限闭区间上的连续函数空间，有限闭区间上的k次可微函数空间。
或者对于每个实数p，如果p≥1，一个巴拿赫空间的例子是“所有绝对值的p次方的积分收敛的勒贝格可测函数”所构成的空间。
(参看Lp空间) 在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。
对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。
微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。
数学的泛函分析分支
数学的泛函分析分支泛函分析是数学中的一个重要分支，它研究的是无限维的函数空间及其上的算子。
泛函分析的研究对象往往是函数的函数，是更抽象更广义的数学对象。
本文将介绍泛函分析的基本概念、主要研究内容及其在数学和应用领域的重要性。
一、泛函分析的基本概念在介绍泛函分析的基本概念之前，我们先来回顾一下函数空间的概念。
函数空间是指一组具有特定性质的函数的集合，常用的函数空间有$L^p$空间、连续函数空间$C(X)$等。
泛函分析的研究对象就是这些函数空间及其上的算子。
泛函是一种将函数映射到复数域上的映射，即一个泛函是一个函数的函数，它把一个函数映射到一个复数。
泛函的定义域通常是一个函数空间，而值域是复数域。
泛函分析的核心问题就是研究这些泛函的性质、连续性、可微性等。
二、主要研究内容泛函分析的主要研究内容包括：线性空间、拓扑空间、度量空间等基本概念；距离、内积、拓扑及其性质；泛函的连续性、可微性、极值问题等；线性算子、线性泛函、自伴算子、紧算子等；泛函分析与现代数学其他分支的关系等。
在泛函分析的研究中，我们常常会用到一些重要的定理和工具。
比如，泛函分析中的典型定理有泛函空间的Hahn-Banach定理、泛函空间的开映射定理和闭图像定理等。
此外，我们还会利用拓扑和测度理论、泛函分析与概率论、泛函分析与偏微分方程等工具进行研究。
三、泛函分析的重要性泛函分析在数学研究中起到了重要的作用。
首先，在数学的其他分支中，如偏微分方程、最优化理论等领域中都有广泛的应用。
其次，在物理学、工程学、经济学等应用科学领域中也有重要的应用。
泛函分析提供了描述这些应用的数学模型和工具，使得我们能够更好地理解和解决实际问题。
此外，泛函分析还与纯数学的其他分支有着密切的联系。
在纯数学的研究中，泛函分析经常与测度论、概率论、调和分析等交叉，相互借鉴，推动了数学的发展。
因此，泛函分析是现代数学中一门重要而且有影响力的学科。
总结起来，泛函分析作为数学的一个重要分支，研究的是无限维的函数空间及其上的算子。
泛函分析总结范文高中
泛函分析是现代数学分析的一个重要分支，它主要研究的是函数构成的函数空间以及这些空间上的线性算子。
相较于高中数学中的实变函数和复变函数，泛函分析更多地关注函数之间的相互关系和映射性质，为解决实际问题提供了新的视角和方法。
一、泛函分析的基本概念1. 函数空间：泛函分析研究的对象是函数，这些函数构成一个集合，称为函数空间。
常见的函数空间有实值函数空间、复值函数空间、有界函数空间、连续函数空间等。
2. 线性算子：函数空间上的线性算子是一种映射，它将一个函数映射到另一个函数，同时满足线性性质。
线性算子是泛函分析的核心概念，如积分算子、微分算子、傅里叶变换等。
3. 范数：范数是度量函数空间中函数“大小”的一种方式。
一个函数空间的范数满足以下性质：非负性、齐次性、三角不等式和归一性。
4. 内积：内积是度量函数空间中函数“夹角”的一种方式。
一个函数空间的内积满足以下性质：非负性、齐次性、共轭对称性和三角不等式。
二、泛函分析的主要理论1. 线性算子的谱理论：研究线性算子的特征值和特征向量，以及这些特征值和特征向量的性质。
2. 线性算子的有界性：研究线性算子是否具有有界性，以及有界性的条件。
3. 线性算子的连续性：研究线性算子是否具有连续性，以及连续性的条件。
4. 线性算子的可逆性：研究线性算子是否具有可逆性，以及可逆性的条件。
5. 线性算子的对偶性：研究线性算子的对偶算子，以及对偶算子的性质。
三、泛函分析的应用1. 微分方程：泛函分析为微分方程的求解提供了新的方法，如泛函微分方程、积分方程等。
2. 积分方程：泛函分析为积分方程的求解提供了新的方法，如变分法、迭代法等。
3. 函数论：泛函分析为函数论的研究提供了新的工具，如傅里叶分析、Sobolev空间等。
4. 线性代数：泛函分析为线性代数的研究提供了新的视角，如无穷维线性空间、线性算子等。
总之，泛函分析是一门具有广泛应用前景的数学分支。
通过对函数空间、线性算子、范数、内积等基本概念的研究，泛函分析为解决实际问题提供了新的思路和方法。
《泛函分析》课程标准
《泛函分析》课程标准英文名称：Functional Analysis 课程编号：407012010适用专业：数学与应用数学学分数：4一、课程性质泛函分析属于数学一级科下的基础数学二级学科，在数学与应用数学专业培养方案中学科专业教育平台中专业方向课程系列的一门限选课程。
二、课程理念1、培育理性精神，提高数学文化素养基础数学研究数学本身的内在规律，是整个数学学科的基础，它在数学学科其他领域、物理学、工程及社会科学中都有着广泛的应用。
《泛函分析》课程是数学与应用数学本科学生的专业课程之一，是数学分析、高等代数、实变函数等基础课程的后继课程，是研究生学习的基础，。
它不仅在数学学科占有十分重要的地位，而且在其他学科领域也有广泛的应用，掌握泛函分析的方法对学生更好地理解基础课程的理论将有很大的益处。
该课程培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力，体现知识、能力和素质的统一，符合应用型人才培养的目标要求。
2、良好的学习状态，提高综合解题能力本课程面对的是数学与应用数学专业四年级的学生。
学生刚刚结束教育实习，准备考研的学生进入紧张复习阶段，另一部分学生开始准备找工作。
《泛函分析》这门课内容比较抽象，课时又少，所以，如何让学生安保持良好的学习状态，是本门课要面对的一个重要问题，也是学生要面对的一个具体问题。
需要师生共同努力去正确面对才能顺利完成本门课的教学任务。
为学习研究生课程和现代数学打下必要的基础；进一步提高学生的数学素养。
3、内容由浅入深本课程的框架结构是根据教学对象和教学任务来安排的：“度量空间”泛函分析的基本概念之一，十分重要。
首先，引入度量空间的概念，并在引入度量的基础上定义了度量空间中的极限、稠密集、可分空间、连续映照、柯西点列、完备度量空间，对于一般的度量空间，给出了度量空间的完备化定理，并证明了压缩映照原理。
然后，在度量空间上定义线性运算并引入范数，就得到线性赋范空间以及巴拿赫空间。
在赋范空间上定义线性算子及线性泛函，并讨论相关性质。
泛函分析知识总结
泛函分析知识总结泛函分析是数学中一个重要的分支领域，它研究的是无穷维空间和函数的性质。
在泛函分析中，我们考虑的对象是函数空间，而不是具体的函数。
泛函分析广泛应用于数学、物理学、工程学等领域。
1.线性空间与拓扑空间：泛函分析的基础是线性空间的理论。
线性空间是指具有加法和数乘运算，同时满足线性结构条件的集合。
泛函分析还引入了拓扑空间的概念，拓扑空间是指在线性空间的基础上引入了距离、收敛等概念，并给出了一些性质。
2.范数与内积：范数和内积是泛函分析中常用的两个概念。
范数是定义在线性空间上的一种非负实值函数，它满足正定性、齐次性和三角不等式。
范数可以用来度量向量的大小。
内积是将两个向量映射到实数的一个运算，它满足对称性、线性性和正定性。
3.完备性和紧性：完备性是指一个空间中的柯西序列收敛于空间内的一个点。
完备性是一个重要的性质，它可以用来判断一个空间是否是可度量空间，即能够定义距离的空间。
紧性是指一个空间内的每个序列都存在收敛的子序列。
紧性常用于分析序列在空间内的收敛性。
4.泛函空间和对偶空间：泛函分析中经常考虑的是函数空间，函数空间是指由一类满足特定条件的函数构成的空间。
常用的函数空间有连续函数空间、可积函数空间等。
函数空间还可以定义内积、范数等结构。
对偶空间是一个线性空间的对偶空间，它由该线性空间上的线性函数构成。
5.泛函的连续性和收敛性：泛函分析研究的是空间到实数域的映射，所以泛函的连续性和收敛性是一个重要的问题。
在泛函分析中，我们定义了一个泛函的连续性，当且仅当对于任意给定的序列，如果其收敛于一个点，那么其映射的泛函值也会收敛于该泛函值。
类似地，我们还可以定义泛函的收敛性。
6.算子：算子是泛函分析中一个重要的概念，它是一种将一个空间映射到另一个空间的映射。
线性算子是指满足线性性质的映射，而有界算子是指满足一定范围内的性质的映射。
算子可以是线性差分方程、微分算符等。
7.泛函分析在物理学和工程学中的应用：泛函分析在物理学和工程学中有广泛的应用。
《泛函分析》教学大纲
《泛函分析》教学大纲一、课程概述《泛函分析》是数学专业的研究生核心课程之一，主要介绍泛函空间中线性算子、拓扑空间、紧算子、测度及积分、特征值问题等内容。
本课程的学习目标是让学生掌握泛函分析的基本理论和方法，培养学生独立分析和解决问题的能力。
二、教学目标1.掌握泛函空间的基本概念及性质；2.熟悉线性算子的定义、性质和范数；3.熟练运用拓扑空间的知识进行分析；4.理解紧算子的定义、性质和应用；5.熟悉测度及积分的基本概念和性质；6.能够解决特征值问题并应用于实际问题。
三、教学内容及课时安排1.泛函空间的基本概念与性质（3课时）1.1线性空间的定义和基本性质1.2赋范线性空间的定义和范数1.3内积空间的定义和内积2.线性算子的定义、性质和范数（3课时）2.1线性算子的定义和性质2.2算子的闭图像定理2.3范数的定义和性质3.拓扑空间及其性质（4课时）3.1拓扑空间的概念和性质3.2开集、闭集和邻域的定义3.3连通性、紧性与局部紧性4.紧算子的定义、性质和应用（4课时）4.1紧算子的定义和性质4.2 Arzelà-Ascoli定理4.3 Fredholm算子的性质和应用5.测度及积分的基本概念和性质（4课时）5.1测度的定义和性质5.2积分的定义和性质5.3可测函数的性质和分解6.特征值问题及其应用（4课时）6.1特征值问题的定义和基本性质6.2特征值问题的解法6.3特征值问题在物理和工程学中的应用四、教学方法1.讲授与讨论相结合，理论和实例相结合，拓展学生的思维；2.通过实例分析和讲解提高学生的应用能力；3.鼓励学生进行课外阅读和综合研究，提高学生的自主学习能力；4.组织学生进行小组讨论和展示，提高学生的合作和表达能力。
五、考核方式1.平时表现（10%）：包括课堂参与、作业完成情况等；2.课程论文（30%）：要求学生选择一个泛函分析领域的研究课题进行深入阅读和分析，并撰写一篇学术论文；3.期末考试（60%）：考核学生对泛函分析的理论知识和应用能力。
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们同意前人的提法，认为线性泛函与无穷维空间上引进坐标的思想有关，而对偶理论则有如无穷维线性空间上的解析几何学。
Chp.1 距离线性空间SS1. 选择公理，良序定理，佐恩引理有序集的定义：（1）若a在b之先，则b便不在a之先。
（2）若a在b之先，b在c之先，则a在c之先。
这种先后关系记作良序集：A的任何非空子集C都必有一个属于C的最先元素。
良序集的超限归纳法：（1）为真，这里是A中最先的元素。
2）对一切,为真，则亦真那么对一切皆真。
选择公理设N={N}是一个非空集合构成的族，则必存在定义在N上的函数f，使得对一切N都有部分有序称元素族X是部分有序的，如果在其中某些元素对（a,b）上有二元关系，它据有性质：例如X中包换关系在部分有序集下，有上界、极大元和完全有序其中完全有序的C：。
例如在复数域中，按大小关系定义两个复数的关系，则复平面是部分有序的，实轴、虚轴是完全有序的。
佐恩引理设X非空的部分有序集，如果X的任何完全有序子集都有一个上界在X中，则X必含有极大元。
从现代观点来看，泛函分析研究的主要是研究实数域或者复数域上的完备赋范线性空间。
SS2. 线性空间，哈迈尔（Hamel）基线性空间的定义：加法交换、加法结合、有零元，有负元、有单位元等。
线性流形：线性空间中的非空子集，如果它加法封闭、数乘封闭。
线性流形的和M+N：所有形如m+n的元素的集合，其中m∈M, n∈N。
线性流形的直和：如果M∩N={θ},则以代替M+N如果,则称M与N是代数互补的线性流形。
于是有下述定理：定理2.1 设M,N是线性空间X的线性流形，则当且仅当对每个x∈X都有唯一的表达式x=m+n, m∈M,n∈N.定理2.2 若，则dimX=dimM+dimNHamel基的定义：设X是具有非零元的线性空间，X的子集H称为X的Hamel基，如果（1）H是线性无关的。
（2）H张成的线性流形是整个空间。
则有Hamel基和线性无关子集的关系：定理2.3 设X是线性空间，S是X中任意的线性无关子集，则存在X的一个Hamel基使得推论任何非零线性空间必有Hamel基由定理2.3，可有定理2.4 设M是线性空间X的线性流形，则必有线性流形使得，即N是M的代数补。
SS3 距离空间（度量空间），距离线性空间定义了距离（满足正定性、对称性和三角不等式的映射）d(x,y)的空间即为距离空间，记为<X,d>按距离收敛：设距离空间<X,d>中的点列使得,则称按d(·，·)收敛到x，简记为距离线性空间：设赋有距离d(·,·)的线性空间X满足（1）（2）距离线性空间的例子例1 有界序列空间（m）设X代表所有有界数列的集合，设定义加法和数乘：以及距离：则它是一个线性距离空间例2 收敛序列空间（c）元素、加法、数乘和距离定义同上，序列有极限。
例3 本质有界可测函数空间定义加法和数乘：(x+y)(t)=x(t)+y(t), (ax)(t)=ax(t)以及距离：d(x,y)=essup|x(t)-y(t)|例4 所有序列空间（s）元素、加法和数乘定义同例1，距离例5 空间设X代表满足条件的所有数列的集合，加法和数乘同例1，距离为SS4 距离空间中的拓扑，可分空间<X,d>中，球、开集、邻域、闭集、内点、内部的概念同拓扑。
其中，极限点的概念相当于拓扑学中的聚点，连续函数的定义和拓扑也是一致的。
稠密：设<X,d>是距离空间，S包含于X称为稠密的，如果任给.空间X称为可分的，如果X内有一个可数的稠密集。
例5、所有序列空间（s）是可分的；有界序列空间（m），例3是可分的。
SS5 完备距离空间完备性：称<X,d>是完备的，若对任意的柯西序列都收敛。
例C[0,1]:所有复值连续函数的集合，是完备的。
定义与例3相同的加法和数乘，定义距离d(x,y)=max|x(t)-y(t)|，则它是线性距离空间，称为连续函数空间完备化：对距离空间<X,d>，若有完备的距离空间,使X等距于，即有,且T(x)是中的稠密子集，则为X的完备化。
进一步，有定理定理5.1任何距离空间都存在完备化SS6 列紧性列紧：<X,d>中集合M是列紧的，如果M中任何序列都有收敛子列。
闭的列紧集称为自列紧集。
ε-网：对<X,d>中的M,N，ε为给定正数，若对M中的任一点x，必存在N中的一点x'使得d(x,x')<ε，则N是M的ε-网。
完全有界：距离空间X中的集合M是完全有界的，若对人给的ε>0，总存在由有限元组成的M的ε-网。
定理6.1：在距离空间中，列紧性蕴含完全有界性；若更设X完备，则列紧性与完全有界性等价。
定理6.2：在距离空间中，任何完全有界集是可分的。
定理6.3：在距离空间中，紧（紧致）性和自列紧性等价。
等同连续：设F是一族从<X,d>到<Y,ρ>的函数，若任给都有ρ<f(x),f'(x))<ε, 当d(x,x')<δ,则称F是等同连续的。
定理6.4：（阿尔采拉-阿斯科利）是列紧的必须且只需F是一致有界且等同连续的。
定理6.5：（蒙泰尔）设是区域Ω上一致有界的解析函数列，则与任何完全位于Ω内的有界区域D（D 的闭包在Ω内），恒有f的子序列在D上一致收敛。
SS7 赋范线性空间满足范数三公理的从X到R的映射‖·‖称为范数，这样的赋范线性空间记为<X,‖·‖>。
赋范线性空间X中，‖x‖是x的连续函数。
线性算子设T是从到的函数（映射），若对一切x,y∈X和数a,b都有T(ax+by)=aT(x)+bT(y)，则称T是X到Y的线性算子。
如果还存在常数C>0，使对一切x∈X都有,则T是有界的如上的C的下确界称为T的范数，记为‖T‖定理7.1设X,Y是赋范线性空间，T是从X到Y的线性算子，则下述等价：（1）T在X某点连续；（2）T在X中所有点连续；（3）T是有界的。
线性算子的值域、满射的线性算子、单射的线性算子，逆算子这些定义是显然的。
其中有界线性算子的逆算子一般未必有界，若有界则称为有界可逆的。
定义在从线性空间X到复数域C的线性算子函数，称为线性泛函。
命题7.2 有限维赋范线性空间中点收敛等价于坐标收敛命题7.3 有限维赋范线性空间与同维度实数域线性同构且同胚。
Riesz引理：设M是赋范线性空间X的真子空间，则对任给的正数且根据这个引理，我们知道任何赋范线性空间X，若球B(x,r)是列紧的，则X必是有限维的。
Chp.2 希尔伯特空间SS1内积空间定义设X是复线性空间，如果对任给的x,y∈X都恰有一个复数，记为(x,y)，与之对应，并且这个对应有下列四条性质：(1)(2)(3)(4)对任意的x,y∈X和a∈C,则称(x,y)是x与y的内积，称X为具有内积的内及空间。
正交的定义：(x,y)=0进一步可以构建正规正交集，并且向欧几里得空间那样构建二范数‖x‖。
定理1.1给出内及空间X中的正规正交集{x}，则对任何x∈X.贝塞尔不等式施瓦茨不等式定理1.2每个内积空间X按二范数称为赋范线性空间名义命题1.1 内积(x,y)是x,y的二元连续函数，即当x,y有极限时，内积也有极限。
命题1.2 设点集M在内积空间X中稠密，若有x'∈X使(x,x')=0, 对任意x∈X,则x'=0须知，内积空间中向量的范数有着异于其它赋范线性空间中向量范数的独特性质。
命题1.3 平行四边形法则是否每个赋范线性空间X都能赋以内积(x,y)使得原来的范数‖x‖总可以表成为呢？可以证明：X能赋以内积的充要条件是X中的范数满足平行四边形法则。
例1在空间C[0,1]不是内积空间。
只需取x(t)=1,y(t)=t,考虑‖x+y‖和‖x-y‖即可。
（C[0,1]是完备的）定义1.3 若内积空间是完备的，则称H为希尔伯特空间例2 空间的全体形成的线性空间，是希尔伯特空间。
例3 空间是希尔伯特空间。
（注意到上两例同时也是线性距离空间）命题1.4 内积空间X的完备化是希尔伯特空间。
SS2 正规正交基现设H表示非零希尔伯特空间正规正交基：设S是H中的正规正交集，如果H中没有其他的正规正交集真包含S，则称S为H的正规正交基。
这等价于：命题2.1 设S是H中的正规正交集，则S是H的正规正交基充要条件是H中没有非零元与S中每个元正交。
定理2.1若H可分，则H必有一个可数的正规正交基。
定理2.2每个非零的希尔伯特空间都有正规正交基定理2.3设是H的一个正规正交基，则对任何的x∈X,都有推论每个可分的希尔伯特空间都与l^2同构。
SS3射影定理，弗雷切特-利亚茨表现定理设M是希尔伯特空间H的线性流形，定义，称其为M的正交补，二者的交为{0}，它也是H的子空间。
定理3.1（射影定理）设M是希尔伯特空间H的子空间，则每个x∈X都可以唯一地表成：称这个由x与M唯一确定的y为x在M上的正交射影。
命题3.1 设M是H的线性流形，则.设表示希尔伯特空间H上全体连续线性泛函按逐点定义的加法和数乘形成的线性空间，对,按这个范数，它也是完备的赋范线性空间，称其为H的共轭空间或对偶空间。
定理3.2 弗雷切特-利亚茨表现定理设使f可表为定义3.1 设φ(x,y)是从H×H到C中的函数，据有性质：(1)(2)则称它是H上的双线性泛函定理3.3设φ(x,y)是H上的有界的共轭双线性泛函，则恰有H上一个有界线性算子A，使得φ(x,y)=(Ax,y)SS4 希尔伯特共轭算子（伴随算子），拉克斯-米尔格拉姆定理希尔伯特共轭算子设H1,H2都是希尔伯特空间，T是从H1到H2的有界线性算子。
称T^*为T的希尔伯特共轭算子，也称伴随算子，即由其定义可见总之，对于这样的一个有界线性算子，总有它的伴随算子使得上式成立，且由其唯一确定。
例1 对于一个矩阵算子，它的共轭转置就是它的希尔伯特共轭算子。
Chp.3 巴拿赫空间上的有界线性算子SS1 有界线性算子算子的范数：设X,Y是赋范线性空间，以下记从X到Y的全体有界线性算子集合为L(X,Y),而L(X,X)简记为L(X).设A∈L(X,Y)，我们知道A的范数为‖A‖=sup‖Ax‖/‖x‖，其中x不为零。
命题1.1 两个L(X,Y)中算子和的范数小于范数的和，数乘算子的范数等于算子范数的数乘。
命题1.2 设X是赋范线性空间，Y是巴拿赫空间，则L(X,Y)也是巴拿赫空间。
命题1.3 算子积的范数小于范数的积。
范数A强于范数B，指A的收敛蕴含了B的收敛；如果互相都强于互相，则称二者是等价的。
算子的逆命题1.5 设X,Y都是赋范线性空间，A:X->Y是线性映射，那么A是单射的，且定义在R(A)上的算子A'是连续的，充分必要条件是存在常数m>0使得‖Ax‖≥m‖x‖,对任意的X中的x。