复变函数(2.2.5)--总复习第二章解析函数
复变函数与积分变换知识点总复习
解析函数 f (z) 的导数仍为解析函数, 它的 n阶
导数为:
f
(n)
( z0
)
n! 2πi
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
(n 1,2,)
其中C 为在函数 f (z) 的解析区域 D内围绕 z0 的
任何一条正向简单闭曲线, 而且它的内部全含于 D.
8.调和函数与解析函数的关系
调和函数
满足 Laplace
但u iv不是解析函数。
证明：
因为 u x
2x,
2u x 2
2,
u y
2 y,
2u y 2
2,
2u 2u 2 2 0,所以，u是调和函数。 x2 y2
同理 2v 6x2 y 2y3 , 2v 6x2 y 2y3 , x2 (x2 y2 )3 y2 (x2 y2 )3
2v x 2
解：u(x, y) a ln(x2 y2 ),v(x, y) arct an y ,则 x
u 2ax , u 2ay , v y , v x , x x2 y2 y x2 y2 x x2 y2 y x2 y2 在区域x 0内连续，且 u v , v u 在区域x 0上成立时，2a 1, x y x y 即，当a 1 时，函数f (z)在区域x 0内是解析的。
Байду номын сангаас
而 u y2, u 2xy, v 2xy, v x2,在复平面上
x
y
x
y
处处连续，当x y 0时满足C R方程，
故f (z)仅在(0,0)点可导，在复平面上处处不解析。
2）因为f (z) x2 iy,则u(x, y) x2, v(x, y) y,
复变函数-总复习
复变函数Complex Function⚫第一章复数与复变函数⚫第二章解析函数⚫第三章复变函数积分⚫第四章复变函数项级数⚫第五章留数及其应用主要内容复数形如 z = x+iy , 其中x 和y 是任意两个实数.=x z Re(), =y z Im()z 的共轭复数记作: ，z =+⇒z x iy =−z x iy共轭复数的性质:+=−=z z z z z i z 2Re(); 2Im()⎝⎭+ ⎪⎛⎫−i i 1117)(()()+−=−i i i 1117714)(=⎣⎦−⎡⎤i 21727)(=−i 2277)(=i .−+−i i i i 121)(()()−+⋅=++−i i i ii i i i 1111)()(−=+−+i i 2111=−−i 2231复数的四则运算: 和 差 积 商复数的几何表示向量的长度==+z r x y22复数的模=z rei θ指数表示式三角表示式=+z r i cos sin θθ)(其中r = |z |, = Arg zθ复数的表示方法幅角的主值：满足−<≤πθπ的复数z 的幅角称为辐角的主值.θ=z arg 0)Arg arg 2 0,1,2,.π=+=±±z z k k (复数的幅角θθθθθθ⋅=⋅+++=⋅+ez z r r i r r i [cos()sin()](12212)1212112θθθπ=⎝⎭ ⎪==+⎛⎫+++r e n n w z r i k k n ni k k nncos sin 22121ππ)(复数的方根=θ−θ+θ−θ=θ−θe z r r i z r r i [cos()sin()]21)22121211(12复数乘积和商θθθ=+=r e z r n i n n n n i n [cos()sin()]()θθθ=+=ei r z r i (cos sin )+=z 1604例1: 解方程ππ⎝⎭⎪=+⎛⎫++i k k 4416cos sin 2241ππππ⎝⎭⎪=+⎛⎫++i k k 442cos sin22ππ=k (0,1,2,3)复数的乘幂=−z 164解:幅角的主值).=+=±±πz z k k ,Arg arg 2 0,1,2(满足−<≤πθπ的复数z 的幅角称为辐角的主值.记做:=z arg 0θ例2: 的幅角主值=−+z i 13ππππ−−+=+=−+=i 133arg 13arctan 32)(的幅角主值=−z 3π−=arg(3)例3: 证明+=++z z z z z z 2Re ,121212222)(并由此证明+≤+z z z z .1212证明：+=++z z z z z z ()1212122)(=+++z z z z z z z z 11221212+=++z z z z z z 2Re 121212222)(≤++z z z z 2121222=++=+z z z z z z 2121212222)(+=z z z z z z ()2Re 121212)(≤x z=z zz2⇒+≤+z z z z .1212例4: 映射 ,求圆周的象.=+z w z 1=z 2令=+=+z x iy w u iv ,,映射=+1w z z⇒+=++−+u iv x iy x iyx y22,解：于是=++u x x x y 22 ,=−+v y y x y 22,=z 2⇒==u x v y 44,53⇒==x u y v53,44+=u v 25914422+=x y 422映射=w f z (), w 称为z 的象，z 称为w 的原象两个特殊的映射==w zw z (2)(1)2复变函数的极限与连续性定理2: 设 =+f z u x y iv x y ()(,)(,),则 f (z )在处连续 =+z x iy 000的充分必要条件是 u x y (,),v x y (,)都在x y (,)00点连续.结论：arg z 在原点与负实轴上不连续.=→f z f z z z lim ()()00复变函数连续复变函数的极限=→f z A z z lim ()0定理1:=+=+=+f z u x y iv x y A u iv z x iy ,(,),,00000)()(设函数=⇔==→→→→→f z A u x y u v x y v y y y y z z x x x x lim lim ,,lim ,000)()()(−+=+x yi x y f z x x x yi ()= ()22++==x y x y u v x xy , 22222=y kx方法1: 沿++==→→→→x k x k u x y x y y x x 1lim ,lim 1000022222 )(依赖于k ，故极限不存在。
复变函数 第二章
解 (1) 设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则
u 1 x v 0 x
u 0
y v
1
u x
v y
y
故 w z在全平面不可导，不解 析。
2020/12/16
张晓斌编辑(47页)
z0
x iy
x 2yi 1
lim z0
x yi
2
当y 当x
0, x 0, y
0时 0时
不存在!
故函数f (z) x 2 yi处处不可导，但处处连续.
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5
(2)求导公式与法则
----实函数中求导法则的推广
① 常数的导数 c=(a+ib)=0.
z0
小, f (z0 ) z 是函数 w f (z)的改变量 w 的 线性部分. f (z0 ) z 称为函数 w f (z)在点 z0 的微分, 记作 dw f (z0 ) z.
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如果函数在 z0 的微分存在, 则称函数 f (z) 在 z0 可微.
f (z0 ), 所以f (z)在z0连续
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13
4.微分的概念:
复变函数微分的概念在形式上与一元实变 函数的微分概念完全一致. 定义 设函数 w f (z)在 z0 可导, 则 w f (z0 z) f (z0 ) f (z0 ) z (z)z, 式中 lim (z) 0, (z)z 是 z 的高阶无穷
u v v u x y x y
复变函数复变函数2
z0
)或
dw dz
z z0
.
应该注意：上述定义中z 0的方式是任意的。
容易证明： 可导
可微 ；可导
连续。
如果 f (z) 在区域D内处处可导, 就说 f (z) 在Ｄ内可导.
例1 求 f (z) = z2 的导数。
[解] 因为 lim f (z Δ z) f (z) lim (z Δ z)2 z2
§2.2 解析函数和调和函数的关系
定义1 实函数u(x, y)为区域D内的调和函数：
u(x, y)在区域D内有二阶连续偏导数，
且满足u uxx uyy 0
(称为调和方程或Laplace方程)
定理1：f (z) u(x, y) iv(x, y)是区域D内的解析函数
u与v是区域D内的调和函数
f (z)在区域D内解析：f (z)在D内处处解析.
函数在一点解析 在该点可导。反之不一定成立。
在区域内： 解析 可导 .
例如 f (z) = z2 在整个复平面上解析；w f (z) z 2
仅在原点可导，故在整个复平面上不解析；
f (z) = x +2yi 在整个复平面上不解析。
例4 讨论函数 f (z)=1/z 的解析性.
是区域内的正交 曲线族。
(正交：两曲线在交点处的切线垂直 )
证：u ( x,
y)
C1在( x,
y)处切线的斜率ku
ux uy
，
v(x,
y)
C2在(x,
y)处切线的斜率kv
vx vy
ku kv
ux uy
vx vy
C
R
vy uy
uy vy
1,
得证。
例如 f z z2 x2 y2 i2xy, f z 2z 0z 0.
复变函数第二章 解析函数
第 一 节 解 析 函 数 的 概 念
( 5)
f ( z ) ′ g ( z ) f ′ ( z ) − f ( z ) g ′ ( z ) , g (z) ≠ 0 = 2 g ( z) g ( z)
( 6)
{
f g ( z )
}
′
= f ′ ( w ) g ′ ( z ) , 其中w = g ( z )
dw 可见：可导 ⇔ 可微， f ′ ( z0 ) = 且 dz
z = z0
如果f ( z ) 在区域D内每一点可微，
则称f ( z ) 在D内可微.
记作 dw = f ′ ( z ) dz
第 一 节 解 析 函 数 的 概 念
二、解析函数 定义 1o 如果f ( z ) 在z0 及z0的某邻域内处处可导，
设w = f ( z ) 定义于区域D, z0 ∈ D , z0 + ∆ z ∈ D
f ( z0 + ∆ z ) − f ( z0 ) 如果 lim 存在 ∆ z →0 ∆z 则 称 f ( z ) 在 z0点 可 导 ， 而 极 限 值 为 f ( z ) 在 z0点 dw 的导数，记作 f ′ ( z0 ) 或 dz z = z0
∴ ∆ u = a ∆ x − b ∆ y + o1 ∆ v = b∆ x + a ∆ y + o2
反之，不成立。
( 2)
( 3)
f ( z ) 在区域D内解析
⇔ f ( z ) 在 区 域 D内 可 导 。
f ( z ) 在 z0 解析 ⇔
f ( z ) 在 z0的某邻域 N δ ( z0 )内解析。
第 一 节 解 析 函 数 的 概 念
复变函数2 解析函数
u x = 1, u y = 0 , v x = 0 , v y = − 1 ⇒ u x ≠ v y u y ≠ − v x
故 w = z 在复平面内处处不可导, 处处不解析；
2) 由w = z Re(z) = x2 + ixy, 得u = x2, v = xy, 所以
u x = 2 x , u y = 0, vx = y , v y = x
f ( z )在z0的某邻域内可导. f ( z )在z 0 解析：
z 0 称为解析点， 否则称为奇点 。
f ( z )在D内处处解析. f ( z )在区域D内解析：
函数在一点解析 ⇒ 在该点可导。 反之不一定成立。 在区域内： 解析 ⇔ 可导 . 例如 f (z) =
2
z2
在整个复平面上解析； w = f ( z) = z
证明：f ( z )在D内解析 ⇒
u x = v y , v x = −u y ,
⇒ u xx = v xy , u yy = −v xy ⇒ u xx + u yy = 0. 同样可得 vxx + v yy = 0.
且u, v有任意阶连续偏导数
注：逆定理显然不成立，即 对区域D内的任意两个调和函数 u, v, f ( z ) = u + iv 不一定是解析函数 . 例如： f ( z ) = z 2 = x 2 − y 2 + i 2 xy 是解析函数，
当且仅当 x = y = 0时, u x = v y , u y = − v x , 因而函数仅在z = 0可导, 但在复平面内任何地方都不 解析.
例题3 f ( z ) = u + iv是区域D内的解析函数， 且 f ′( z ) ≠ 0
复变函数复习资料
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z xx y y z x ππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 当x=0 arg=+-二分之拍4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+” 5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x i y x i y z x i y x x y y y x y x i z x i y x i y x i y x y x y+-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z eθθ+=；()121122i z z e z z θθ-= 3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
(最新整理)(完整版)复变函数解析函数
成立, 则称当z趋于z0时, f(z)以A为极限，并记做 limf(z)A 或 f(z) A (z z0 ).
zz0
注意: 定义中zz0的方式是任意的.
几何意义
y
(z)
v
w f(z)
z0 d
o
xo
(w)
e
A
u
几何意义: 当变点z一旦进
入z0 的充分小去 心邻域时,它的象
点f(z)就落入A的
(最新整理)(完整版)复变函数解析函数
2021/7/26
1
第二章 解析函数
2.1 复变函数的概念 2.2 解析函数的概念 2.3 解析的充要条件 2.4 初等函数
2.1 复变函数的概念、极限与连续性
复变函数的概念
1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射
1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似
0)
A
zz0 g(z) l i mg(z) zz0
B
zz0
以上定理用极限定义证!
例1
证明 wx2yi(xy2)在平面上处处 . x2 y, x y2在平面上处处有极限
例2
求 f(z)zz
z 在 z0时的极 . 限 z
f(z)2(xx22yy22)在(0,0)处极限不 . 存在
例3
证 明 f(z)Rez z在z0时 的 极 限.不 存
y (z)
v (w)
w z2
2
o
x
o
u
y (z)
v (w)
w z2
w z2
o
6
x w z2 o
3
u
x2 y2 4
3. 反函数或逆映射
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解
( ) 1 + i = e (1-i)
= e ( 1-i) Ln( 1+i)
(
1-
i
)
� � �ln
2+
i � � �p4
+
2 kp
�� � �� �
= e� � �ln
2
+
p 4
+
2 kp
� � �+ i
� � �-
ln
2
+
p 4
+
2 kp
� � �
=
2e
p 4
+
2kp
���cos
�p ��4
-
具有无穷多值，在除去原点和负实轴的平面上处处解析
且
(
Lnz
)
ﾶ=
1 z
.
( 3) ab = ebLna 是多值的，在除去原点和负实轴的平面上
处处解析；
( ) 整幂次幂 zn 是单值解析的，且zn ﾶ= nzn-1.
( 4) sin z =
e iz
- e-iz 2i
;
cosቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz =
e
iz
+e 2
- iz
证 argf(z)=C 证证 tan(argf(z))=u/v=tanC=k 证证证证 v=ku. k=0 证证证证证证证证 . k ﾶ 0 证证 vx = kux = kv y , v y = kuy = -kvx .
( ) 1 + k 2 vx = 0 � vx = 0, ux = 0. � f ﾶ( z) = 0
( 3) f ( z) = sin xchy + i cos xshy.
解 ( 1) Q z ﾶ 0，z 不可导， z 可导，所以二者的乘积不
所以f ( z) = zz可n ( n导�Z.,n > 1) 仅在零点可导，处处不解析
( 2) f ( z) = x3 - y3 + 2x2 y2i ﾶ u = x3 -y3 , v = 2x2 y2
不解析 .
三、复变初等函数
( 1) exp z = e x ( cos y + i sin y) , 是在复平面上处处解析的单
值函数，且(ez )ﾶ= ez . 其周期为2p i.
主讲教师：吴慧卓
( 2) Lnz = ln z + iArgz = ln z + i(arg z + 2kp ) ( k = 0,ﾶ1, ﾶ2,L) .
;在
复
平
面
上
处
处
解
析
，
且
( sin z) ﾶ= cos z, ( cos z) ﾶ= - sin z 其周期为2p . , 为无界函数 .
主讲教师：吴慧卓
例 1 判断下列函数何处可导，何处解析 .
( 1) f ( z) = zzn ( n �Z, n > 1) ; ( 2) f ( z) = x3 - y3 + 2x2 y2i;
ln
2
���+
i
sin
�p ��4
-
ln
2 ������, k ﾶ Z
故主值为
p
2e 4
���cos
�p ��4
-
ln
2
���+
i
sin
�p ��4
-
ln
2 ������, k ﾶ Z
主讲教师：吴慧卓
， 且u
和
v
满足
C-R
方程
ﾶu
.ﾶx
=
ﾶv ﾶy
,
ﾶu ﾶy
=
-
ﾶv ﾶx
.
主讲教师：吴慧卓
(3) 利用函数可导、解析的充要条件：
即 验证 u 和 v 是否满足 C-R 方程，以及 u 和 v 是否可
并有求导公式
f
ﾶ( z )
=
ﾶu ﾶx
+
i
ﾶv ﾶx
(4) 如果 f(z) 解析， g(z) 不解析，则 f(z)g(fz()z在) ﾶ 0
;
( 3)
az + b
cz + d (c,d 至少有一个不为
0)
解 ( 1) f ﾶ( z) = ( z5 ) + iz ﾶ= 5z4 + i, 故 f(z) 在复平面上处处解析
( 2) z ﾶ 0, ﾶi
时
,f(z)
处处可导，且f ﾶ(
z)
=
-
3z2
(z2 z2
+1
+ 1)
2
故 f(z) 在除去0, ﾶi 的复平面上处处解析 .
的邻域内处处可导 , 则称 zf0(z) 在
如果 f(z) 在区域 D 内处处解析，则称 f(z) 在 D 内解析
注意 函数在一点解析与在一点可导不等价 , 解析要求高 .
：
函数在区域内解析与在区域内可导等价 .
二、函数可导与解析的判定方法
(1) 利用定义、求导公式或求导法判定函数的可导
性(2). 利用函数可导、解析的充分条件：一阶偏导连续
( 3) c = 0, d ﾶ 0,
f
(
z)
=
a d
z
+
b d
�
f
ﾶ(
z)
=
a d
故 f(z) 在复平面上处处解析
c ﾶ 0, d = 0,
f
(
z)
=
az + cz
b�
f
ﾶ(
z)
=
-
b cz 2
( z �0)
主讲教师：吴慧卓
例 3 设f ( z) = my3 + nx2 y + i ( x3 + ) lxy2 为解析函数，试确定
即当 l = n = -3, m时= ，-1 f(z) 为解析函数 .
主讲教师：吴慧卓
例 4 设 f(z)=u+iv 在区域 D 内解析，且 argf(z) 在 D 内为
证证 f(z) 证区域 D 内为常数 .
证明 证证 f(z) 证 D 内解析，则 u,v 在 D 内可微，且满足
ux = vy , uy = -vx .
总复习
第二章 解析函数
主讲教师：吴慧卓
第二章 解析函数
教学要求
1. 理解复变函数的导数与复变函数解析的概念 . 2. 掌握复变函数解析的充要条件 . 3. 了解指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、
双曲函数的定义及它们的主要性质 .
主讲教师：吴慧卓
一、函数 f(z) 解析的概念
若 处
解f(z析) 在.z0
} ﾶu
ﾶx
求
解= 3方x2程, ﾶﾶu组y =，-3得y2，ﾶﾶxv33=xy
2 = 4x2 y
2 = 4 xy2
4xy
2
,
ﾶv ﾶy
=
�
4x 2
x
y.
=
y
=
0; x
=
y
=
3 4
主讲教师：吴慧卓
\ f ( z)
仅在
(0,0)
点
和 � � �43
，43
� � �
点可导，复平面上处处不解
( 3) f ( z) = sin xchy + i cos xshy � u = sin xchy, v = cos xshy
l, m, n 的值 . 解 u = my3 + nx2 y, v = x3 + lxy2 ,
ﾶu ﾶx
=
2nxy,
ﾶu ﾶy
=
3m y 2
+ nx2 ,
ﾶv ﾶx
=
3x2
+
ly
2
,
ﾶv ﾶy
=
2lxy.
2nxy = 2lxy, 3my2 + nx2 = -3x2 - ly2 .
解得 l = n = -3, m = -1
由第 12 讲例 4 知， f(z)=C.
主讲教师：吴慧卓
例 5 求解下列方程 ( 1) 1 + ez = 0; ( 2) shz = i.
解 ( 1) 1 + ez = 0 � ez = -1 � z = Ln( -1)
� z = ln -1 + i arg ( -1) + 2kp i,( k = 0, �1, �2,L)
� z = p i + 2kp i,( k = 0, �1, �2,L)
( 2)
shz
=
i
� ez
- e-z 2
=
i
� e2z - 2iez - 1 = 0
� ez = i � z = Lni
� z = i(p2 + 2kp ), ( k = 0, �1, �2,L)
主讲教师：吴慧卓
例 6 试求下列函数( 1 + i ) ( 的 1-i) 值及主值 .
ﾶu ﾶx
=
cos
xchy,
ﾶu ﾶy
=
sin
xshy，
ﾶv ﾶx
=
- sin
xshy,
ﾶv ﾶy
=
cos
xchy.
四个偏导均连续，且满足 C-R 方程，故 f(z) 处处可导，
处处解析 .
主讲教师：吴慧卓
例 2 指出下列函数的解析性区域，并求出其导数 .
(1)z5 + iz;
(2) z (
1
) z2 + 1