☆整式的乘法讲义
七年级数学讲义(整式乘法)
七年级数学讲义（第二讲 整式的乘法）思维导图重难点分析重点分析：1.单项式乘单项式结果还是单项式，相乘时把系数和相同字母分别相乘，即转化为数的运算和同底数幂的运算.2.单项式乘多项式、多项式乘多项式，实际上是运用了乘法的分配律，转化为单项式的乘法，其结果还是多项式，所以幂的运算法则是单项式相乘的基础，而单项式相乘的法则是整式乘法运算的基础. 难点分析：1.几个单项式相乘，积的符号由负因式的个数决定．2.单项式与多项式、多项式与多项式相乘时，根据乘法分配律不要漏乘．3.对于整式的混合运算，其运算顺序与数的运算顺序相同，即先乘方开方，再乘除，最后算加减．例题精析例1、下列运算中正确的有 ．①6x 2·3x=18x 3；②2a(-3a 2b)=-6a 3b ；③2x 2·3x 3·(-2xy)2=10x 7y 2； ④2ab ·6a ·3a -2=b ；⑤(-2m 3n 2)·(-m 2)·m -3=2m 2n 2． 思路点拨：根据单项式乘单项式的法则及幂的运算法则分别计算． 解题过程：方法归纳：本题考查了单项式与单项式相乘以及幂的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．易错误区：注意不要出现以下错误：（1）对幂的运算法则理解不透，混淆运算法则导致计算错误；（2）积的符号不要弄错，当算式中有负数或负因式出现时，积的符号由负数或负因式的个数决定；（3）运算顺序不要弄错，应先算幂的乘方再相乘；（4）只在一个单项式里出现的因式或字母，要连同它的指数一起写在积里，不要把它漏掉．例2、计算： （1）-5ab 2·(-107a 2bc-152ac 2)； （2）(21ab-b 2+43)·(-2a)2； （3）5x(x 2-2x+4)-x 2(5x-3)；（4）(2a 2-b)(a-4b)-(a+3b)(a-4b).思路点拨：根据运算法则运算，对于多项式乘多项式或混合运算，先根据法则去括号，再合并同类项. 解题过程：方法归纳：单项式与多项式、多项式与多项式相乘时，不要漏乘，混合运算注意符号. 易错误区：加减乘除混合运算时，要注意积是一个整体，要加括号，然后根据去括号法则去括号后再合并同类项.例3、长方形的长、宽分别为acm ，bcm ，如果长方形的长和宽各增加2cm ，那么： （1）新长方形面积比原长方形面积增加了多少平方厘米?(2)如果新长方形的面积是原长方形面积的2倍，求(a-2)(b-2)的值. 思路点拨：（1）利用长方形的面积公式即可求解;(2)a,b 的值是无法求出的，但是把ab-2a-2b 看成一个整体，问题就迎刃而解了. 解题过程：方法归纳：本题考查了多项式乘法的应用，读懂题意，运用多项式乘法的法则计算即可． 易错误区：利用多项式的乘法求一些代数式的值时，往往会用到整体思想.例4、我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b ）（a+b ）=2a 2+3ab+b 2就能用图1或图2等图形的面积表示.（1）请你写出图3所表示的一个等式： ； （2）试画出一个图形，使它的面积能表示（a+b ）（a+3b ）.图1 图2 图3思路点拨：（1）由题意得长方形的面积=长×宽，即可将长和宽的表达式代入，再进行多项式的乘法，即可得出等式；（2）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的长和宽的表达式，即可画出图形. 解题过程：方法归纳：本题考查了多项式的乘法的运用，是一道多项式的乘法与图形的面积相结合的创新题型.易错误区：图形中有正方形和长方形几种形状、大小不同的图形，每个图形的边长都有一定的关系，要理清楚.探究提升例、已知（2x-3）（x2+mx+n）的展开项不含x2和x项，求m+n的值.思路点拨：多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.本题可先利用多项式乘法法则把多项式展开，由于展开后不含x2和x项，则含x2和x项的系数为0，由此可以列出关于m，n的方程组，解方程组即可以求出m，n，从而得到m+n的值.解题过程：方法归纳：本题考查了多项式相乘法则以及多项式的展开项的定义，应用的数学方法是待定系数法.待定系数法的一般步骤：（1）设出待定系数（题中的m和n）；（2）根据恒等条件列出关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程（组）求出待定系数.本题注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0，这是本题列出方程组的依据.易错误区：本题含有字母系数（待定系数），展开后找同类项是易错点，要注意2mx2与-3x2，2nx与-3mx是同类项可以合并.一、选择题1.计算(2a－3b)(2a＋3b)的正确结果是( )A．4a2＋9b2B．4a2－9b2C．4a2＋12ab＋9b2D．4a2－12ab＋9b22.若(x＋a)(x＋b)＝x2－kx＋ab，则k的值为( )A．a＋b B．－a－b C．a－b D．b－a3.计算(2x－3y)(4x2＋6xy＋9y2)的正确结果是( )A．(2x－3y)2B．(2x＋3y)2C．8x3－27y3D．8x3＋27y34.(x2－px＋3)(x－q)的乘积中不含x2项，则( )A．p＝q B．p＝±q C．p＝－q D．无法确定5.若0＜x＜1，那么代数式(1－x)(2＋x)的值是( )A．一定为正B．一定为负C．一定为非负数D．不能确定6.计算(a2＋2)(a4－2a2＋4)＋(a2－2)(a4＋2a2＋4)的正确结果是( )A．2(a2＋2) B．2(a2－2) C．2a3D．2a67.方程(x＋4)(x－5)＝x2－20的解是( )A．x＝0 B．x＝－4 C．x＝5 D．x＝408.若2x2＋5x＋1＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c，那么a，b，c应为( )A．a＝2，b＝－2，c＝－1 B．a＝2，b＝2，c＝－1C．a＝2，b＝1，c＝－2 D．a＝2，b＝－1，c＝29.若6x2－19x＋15＝(ax＋b)(cx＋d)，则ac＋bd等于( )A．36 B．15 C．19 D．2110.(x＋1)(x－1)与(x4＋x2＋1)的积是( )A．x6＋1 B．x6＋2x3＋1 C．x6－1 D．x6－2x3＋1二、填空题1.(3x－1)(4x＋5)＝_________．2.(－4x－y)(－5x＋2y)＝__________．3.(x＋3)(x＋4)－(x－1)(x－2)＝__________．4.(y－1)(y－2)(y－3)＝__________．5.(x3＋3x2＋4x－1)(x2－2x＋3)的展开式中，x4的系数是__________．6.若(x＋a)(x＋2)＝x2－5x＋b，则a＝__________，b＝__________．7.若a2＋a＋1＝2，则(5－a)(6＋a)＝__________．8.当k＝__________时，多项式x－1与2－kx的乘积不含一次项．9.若(x2＋ax＋8)(x2－3x＋b)的乘积中不含x2和x3项，则a＝_____，b＝_______．10.如果三角形的底边为(3a＋2b)，高为(9a2－6ab＋4b2)，则面积＝__________．三、解答题1、计算下列各式(1)(2x＋3y)(3x－2y) (2)(x＋2)(x＋3)－(x＋6)(x－1)(3)(3x2＋2x＋1)(2x2＋3x－1) (4)(3x＋2y)(2x＋3y)－(x－3y)(3x＋4y)2、求(a＋b)2－(a－b)2－4ab的值，其中a＝2009，b＝2010．3、求值：2(2x－1)(2x＋1)－5x(－x＋3y)＋4x(－4x2－52y)，其中x＝－1，y＝2．四、探究创新乐园1、若(x2＋ax－b)(2x2－3x＋1)的积中，x3的系数为5，x2的系数为－6，求a，b．2、根据(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，直接计算下列题(1)(x－4)(x－9) (2)(xy－8a)(xy＋2a).五、数学生活实践一块长ac m，宽bc m的玻璃，长、宽各裁掉1 c m后恰好能铺盖一张办公桌台面(玻璃与台面一样大小)，问台面面积是多少?六、思考题：请你来计算：若1＋x＋x2＋x3＝0，求x＋x2＋x3＋…＋x2012的值．1.【贺州】下列运算中正确的是( ).A.(x2)3+(x3)2=2x6B.（x2）3·(x2)3=2x12C.x4·(2x)2=2x6D.(2x)3·(-x)2=-8x52.【台湾】若2x3-ax2-5x+5=（2x2+ax-1）（x-b）+3，其中a，b为整数，则a+b的值为( ).A.-4B.-2C.0D.43.【怀化】当x=1，y=51时，3x （2x+y ）-2x （x-y ）= . 4.【兴化】已知a+b=2，ab=-7，则（a-2）（b-2）= . 5.观察下列各式：（x-1）（x+1）=x 2-1；（x-1）（x 2+x+1）=x 3-1；（x-1）（x 3+x 2+x+1）=x 4-1； ……（1）根据以上规律，则（x-1）（x 6+x 5+x 4+x 3+x 2+x+1）= ;（2）你能否由此归纳出一般性规律：（x-1）（xn+x n-1+…+x+1）= ;（3）根据（2）求出1+2+22+…+234+235的结果．6.观察下列等式： 12×231＝132×21; 13×341＝143×31; 23×352＝253×32; 34×473＝374×43; 62×286＝682×26; ……以上每个等式中等号两边的数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同的规律，我们称这类等式为“数字对称等式”.(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”： ①52× ＝ ×25； ② ×396＝693× ；(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a ，个位数字为b ，且2≤a ＋b ≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a ，b)，并证明.7、知6x 2-7xy-3y 2+14x+y+a=（2x-3y+b ）（3x+y+c ），试确定a ，b ，c 的值.。
整式的乘除讲义
整式的乘除讲义知识总结：1、知识框图单项式式多项式同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方幂运算同底数幂的除法零指数幂负指数幂整式的加减单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘整式的乘法多项式与多项式相乘整式运算平方差公式完全平方公式单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式一、同底数幂的乘法1、n个相同因式（或因数）a相乘，记作a n，读作a的n次方（幂），其中a为底数，n为指数，a n的结果叫做幂。
2、底数相同的幂叫做同底数幂。
3、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即：a m﹒a n=a m+n。
4、此法则也可以逆用，即：a m+n = a m﹒a n。
5、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。
二、幂的乘方1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。
（a m）n表示n个a m相乘。
2、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
（a m）n =a mn。
3、此法则也可以逆用，即：a mn =（a m）n=（a n）m。
三、积的乘方1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。
2、积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。
即（ab）n=a n b n。
3、此法则也可以逆用，即：a n b n =（ab）n。
四、三种“幂的运算法则”异同点1、共同点：（1）法则中的底数不变，只对指数做运算。
（2）法则中的底数（不为零）和指数具有普遍性，即可以是数，也可以是式（单项式或多项式）。
（3）对于含有3个或3个以上的运算，法则仍然成立。
2、不同点：（1）同底数幂相乘是指数相加。
（2）幂的乘方是指数相乘。
（3）积的乘方是每个因式分别乘方，再将结果相乘。
五、同底数幂的除法1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：a m ÷a n =a m-n（a ≠0）。
2、此法则也可以逆用，即：a m-n = a m ÷a n（a ≠0）。
整式的乘除讲义整章
一 整式的乘除一、同底数幂的乘法1．同底数幂的乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即：m n m na a a +⋅=（m ，n 都是正整数）。
这个公式的特点是：左边是两个或两个以上的同底数幂相乘，右边是一个幂，指数相加。
注意：（1）同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数.（2） 在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算.公式拓展： p n m a a a ⋅⋅= 。
【典型例题】例1：计算：（1）821010⨯； （2）23x x ⋅-（-）（）； （3）32)(x x -⋅例2：计算：（1）)()()(32b a a b b a +⋅+⋅+ （2）23x 2y y x -⋅（）（2-）（3）)()()(25y x x y y x -⋅-⋅- （4）n 2n 1n a a a a ++⋅⋅⋅总结()()(),n nn a n a a n ⎧⎪-=⎨-⎪⎩为偶数,为奇数 ()()()()()n n n b a n a b b a n ⎧-⎪-=⎨--⎪⎩为偶数为奇数 例3、计算：31213)(2x x x x x x n n n ⋅+⋅--⋅-+ 4236)()()()(a a a a -⋅-⋅-⋅-例4：已知x 22m +=，用含m 的代数式表示x 2。
【变式练习】(1) –ｘ2·(-ｘ3) (2) –ａ·(-ａ)2·ａ3(3) –ｂ2·(-ｂ)2·(-ｂ)3 (4) ｘ·(-ｘ2)·(-ｘ)2·(-ｘ3)·(-ｘ)3(5) 1+-•n n x x x (6)x 4－m ·x 4+m ·(-x)(7) x 6·(-x)5-(-x)8 ·(-x)3 (8) -ａ3·(-ａ)4·(-ａ)52 逆用同底数幂的法则逆用法则为：n m n m a a a•=+（m 、n 都是正整数） 【典型例题】1．（1）已知x m =3，x n =5，求x m+n 。
北师大版七年级数学下册 第一章 整式的乘除(二) 讲义(无答案)
第一章整式的乘除（二）一、整式的乘法1. 单项式与单项式相乘：法则：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．例：(-5a2b2)·(-4 b2c)·(-ab)= [(-5)×(-4)×(-1)]·(a2·a)·(b2·b2)·c=-30a3b4c2.单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．用字母表示：a(b+c+d)= ab + ac + ad例：= (-3x2)·(-x2)+(-3x2)·2 x一(-3x2)·1=3.多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．用字母表示：( a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd例：(m+n)(a+b)= (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb+nb二、乘法公式1. 平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
（a＋b）（a－b）＝a2－b2例：①(x-4)(x+4) = ( )2 - ( )2 =________；②(-m+n )( m+n ) = ( ) ( )=___________________；③=( ) ( )=___________；④(2a+b+3)(2a+b-3) =( )2-( )2=______________= ；⑤(2a—b+3)(2a+b-3)=（）（）=( )2-( )2⑥ ( m +n )( m -n )( m 2+n 2 ) =( )( m 2+n 2 ) = ( )2 -( )2 =_______； ⑦ (x +3y )( ) = 9y 2-x 22. 完全平方公式： 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）们的 积的2倍。
七年级数学整式的乘法(学生讲义)
七年级数学整式的乘法(学生讲义)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第2章：整式的乘除与因式分解一、基础知识1.同底数幂的乘法：m n m n=，（m,n都是正整数），即同底数幂相乘，底a a a+数不变，指数相加。
2.幂的乘方：()m n mn=，（m,n都是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数a a相乘。
3.积的乘方：()n n n=，（n为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个ab a b因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
4.整式的乘法：（1）单项式的乘法法则：一般地，单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．（2）单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．可用下式表示：m(a+b+c)=ma+mb+mc(a、b、c都表示单项式)（3）多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．5.乘法公式：（1）平方差公式:平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积等于这两个数的平方差”，即用字母表示为：(a+b)(a－b)=a2－b2；其结构特征是：公式的左边是两个一次二项式的乘积，并且这两个二项式中有一项是完全相同的，另一项则是互为相反数，右边是乘式中两项的平方差.（2）完全平方公式：完全平方公式可以用语言叙述为“两个数和（或差）的平方，等于第一数的平方加上（或减去）第一数与第二数乘积的2倍，加上第二数的平方”，即用字母表示为：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a－b)2=a2－2ab+b2；其结构特征是：左边是“两个数的和或差”的平方，右边是三项，首末两项是平方项，且符号相同，中间项是2ab，且符号由左边的“和”或“差”来确定. 在完全平方公式中，字母a、b都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的数，也可以取一个单项式、一个多项式或代数式.如(3x+y－2)2＝(3x+y)2－2×(3x+y)×2+22＝9x2+6xy－12x+y2－4y+4，或者(3x+y－2)2＝(3x)2+2×3x (y－2)+ (y－2)2＝9x2+6xy－12x+y2－4y+4.前者是把3x+y看成是完全平方公式中的a，2看成是b；后者是把3x看成是完全平方公式中的a，y－2看成是b.（3）添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都变号。
整式的乘法(基础)知识讲解
整式的乘法（基础）责编：杜少波【学习目标】1. 会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算．2. 掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算.【要点梳理】【高清课堂 397531 整式的乘法 知识要点】要点一、单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.要点二、单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即()m a b c ma mb mc ++=++.要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.要点三、多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++. 【典型例题】类型一、单项式与单项式相乘【高清课堂397531 整式的乘法 例1】1、计算：（1）221323ab a b abc ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭； （2）121(2)(3)2n n x y xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭； （3）232216()()3m n x y mn y x -⋅-⋅⋅-．【思路点拨】前两个题只要按单项式乘法法则运算即可，第（3）题应把x y -与y x -分别看作一个整体，那么此题也属于单项式乘法，可以按单项式乘法法则计算．【答案与解析】解： （1）221323ab a b abc ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭22132()()3a a a b b b c ⎡⎤⎛⎫=⨯-⨯⋅⋅⋅⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦442a b c =-．（2）121(2)(3)2n n x y xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭121(2)(3)()()2n n x x x y y z +⎡⎤⎛⎫=-⨯-⨯-⋅⋅⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦413n n x y z ++=-．（3）232216()()3m n x y mn y x -⋅-⋅⋅- 232216()()3m n x y mn x y =-⋅-⋅⋅- 22321(6)()()[()()]3m m n n x y x y ⎡⎤=-⨯⋅⋅-⋅-⎢⎥⎣⎦3352()m n x y =--．【总结升华】凡是在单项式里出现过的字母，在其结果里也应全都有，不能漏掉． 举一反三：【变式】（2014•甘肃模拟）计算：2m 2•（﹣2mn ）•（﹣m 2n 3）．【答案】解：2m 2•（﹣2mn ）•（﹣m 2n 3）=[2×（﹣2）×（﹣）]（m 2×mn×m 2n 3）=2m 5n 4．类型二、单项式与多项式相乘2、 计算：（1）21242233ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）22213(6)32xy y x xy ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭； （3）2222340.623a ab b a b ⎛⎫⎛⎫+--⎪⎪⎝⎭⎝⎭； 【答案与解析】解：（1）21242233ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 212114(2)23223ab ab ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+--+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 232221233a b a b ab =-+-． （2）22213(6)32xy y x xy ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭ 2222213(6)(6)()(6)32xy xy y xy x xy ⎛⎫=--+-+-- ⎪⎝⎭23432296x y xy x y =-+．（3）2222340.623a ab b a b ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2222334253a ab b a b ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 222222223443423353a a b ab a b b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 42332444235a b a b a b =--+． 【总结升华】计算时，符号的确定是关键，可把单项式前和多项式前的“＋”或“－”号看作性质符号，把单项式乘以多项式的结果用“＋”号连结，最后写成省略加号的代数和．举一反三：【变式1】224312(6)2m n m n m n ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭．【答案】 解：原式2224232211222m n m n m n +⨯⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭26262262171221244m n m n m n m n m n =-+=-．【变式2】若n 为自然数，试说明整式()()2121n n n n +--的值一定是3的倍数．【答案】解：()()2121n n n n +--＝222223n n n n n +-+=因为3n 能被3整除，所以整式()()2121n n n n +--的值一定是3的倍数． 类型三、多项式与多项式相乘3、计算：（1）(32)(45)a b a b +-；（2）2(1)(1)(1)x x x -++；（3）()(2)(2)()a b a b a b a b +--+-；（4）25(21)(23)(5)x x x x x ++-+-．【答案与解析】解：（1）(32)(45)a b a b +-221215810a ab ab b =-+-2212710a ab b =--．（2）2(1)(1)(1)x x x -++22(1)(1)x x x x =+--+41x =-．（3）()(2)(2)()a b a b a b a b +--+-2222(2)(2)a ab b a ab b =---+-222222a ab b a ab b =----+2ab =-．（4）25(21)(23)(5)x x x x x ++-+-322(5105)(2715)x x x x x =++---32251052715x x x x x =++-++32581215x x x =+++．【总结升华】多项式乘以多项式时须把一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，刚开始时要严格按法则写出全部过程，以熟悉解题步骤，计算时要注意的是：（1）每一项的符号不能弄错；（2）不能漏乘任何一项．4、（2016春•长春校级期末）若（x +a ）（x +2）=x 2﹣5x +b ，则a +b 的值是多少？【思路点拨】根据多项式与多项式相乘的法则把等式的左边展开，根据题意列出算式，求出a 、b 的值，计算即可．【答案与解析】解：（x +a ）（x +2）=x 2+（a +2）x +2a ，则a +2=﹣5，2a=b ，解得，a=﹣7，b=﹣14，则a +b=﹣21．【总结升华】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 举一反三：【变式】求出使(32)(34)9(2)(3)x x x x +->-+成立的非负整数解．【答案】不等式两边分别相乘后，再移项、合并、求解．解：22912689(6)x x x x x -+->+-， 229689954x x x x -->+-，229699854x x x x --->-，1546x ->-，4615x <． ∴ x 取非负整数为0，1，2，3．。
整式的乘法讲义(沈上楠)
整式的乘法讲义(沈上楠)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1泽仕学堂学科教师辅导讲义 学员姓名:魏君如、沈上楠 辅导科目：数学 年级：初一 学科教师：张先安 授课日期及时段课 题 整式的乘法重点、难点、考点 1.掌握多项式与多项式相乘的法则.2.探索多项式的乘法法则，灵活地进行整式的乘法运算.学习目标1：掌握多项式与多项式的乘法运算，并能运用法则进行简单的运算；2：通过对算法的探索过程发展学生发现、猜想、验证的数学思维；教学内容 单项式与单项式相乘1．回忆单项式的概念：（1）怎样的式子是单项式单项式y x 23的系数是 ，次数是 ；其中字母x 的指数是 ，字母y 的指数是 ．（2）单项式23b a -的系数是 ，次数是 ；其中字母a 的指数是 ，字母b 的指数是 ． （3）回忆：同底数幂的乘法法则是底数不变，指数 ：例如：=⋅23x x ．2．问题：光的速度约为3×105千米／秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗（1）怎样计算（3×105）×（5×102）计算过程中用到哪些运算律及运算性质（2）如果将上式中的数字改为字母，比如25bc ac ⋅怎样计算这个式子概括：单项式与单项式相乘的法则：.3．利用法则进行运算的操作步骤：试一试：计算 bc a b a 22352⋅-）（ 解：bc a b a 22352⋅-）（ =[]c b b a a ⋅⋅⋅⨯-）（223)((52) 根据是： . = . 根据是： .4．计算：（1）3223a a ⋅ （2）()23289xy y x ⋅- （3）)3)(5(2a b a --用科学记数法表示的数可以看成一个单项式【课堂探究】例1 计算：（1）3253x x ⋅ （2）)2(42xy y -⋅ （3）b a ab 3)2(⋅-（4）()()c b b a 23245-⋅- （5）)105()103(53⨯⨯⨯（结果用科学记数法表示）例2 计算：（1）)4()3(32x y x -⋅ （2）()2233)2(3b a ab b a -+-⋅ （3）()2322)2(3ab a b a b a ⋅---⋅例3 卫星绕地球表面做圆周运动的速度（即第一宇宙速度）约为3109.7⨯米/秒，则卫星运行2103⨯秒所走的路程约是多少（结果用科学记数法表示）【随堂检测】1. 选择题：（1）下列计算中，正确的是（ ）A . 62322b a b a ab =⋅B . 5322363)2(b a b a ab -=⋅-C . b a b a a 4224)2(-=⋅-D . 54322)(b a b a ab =⋅-（2）下列计算中，不正确．．．的是（ ） A . 62322y x y x xy =⋅ B . 5322384)2(y x y x xy -=⋅-C . y x y x x 4229)3(=⋅-D . 36323)(y x y x y x -=⋅-【课堂小结】1. 单项式与单项式相乘的法则： ；2. 单项式×单项式结果是配套习题1、下列计算中，正确的是（ ）A ．2322642b a ab a =⋅B ．1243743a a a =⋅C ．1032623x x x =⋅D ．32101.0x x x =⋅ 2．用科学记数法表示()()621015102⨯⨯⨯的结果应为（ ）A ．81030⨯B ．7100.3⨯C ．9100.3⨯D ．10100.3⨯3．计算()y x y x n ⋅⋅-225的结果是（ ）A ．225y x n +-B ．325y x n +-C ．3425y x n +D ．2225y x n +4．下列计算中，正确的是（ ）A ．62322b a b a ab =⋅B ．()26223)(b a b a b a =--C ．b a b a a 4224)2(-=⋅-D ．53223)(b a b a ab -=⋅-5．下面计算的对不对如果不对，应当怎样改正（1）623623a a a =⋅ （2）422632x x x =⋅（3）2221243x x x =⋅ （4）15531535y y y =⋅ 6. 计算（1）xy x 362⋅ （2）)3(22ab ab -⋅ （3）23)3()2(a a -⋅-（4）322)(4xy y x -⋅ （5）()()c b b a 23245-⋅- （6）)108.3()104(35⨯⨯⨯7. 小明的步长为a cm ，他量得一间屋子长15步，宽14步，这间屋子的面积有 2cm .8．如图所示，计算变压器铁心片的面积．（单位：cm ）单项式与多项式相乘1.回忆多项式的概念：（1）什么叫做多项式（2）多项式232x x --是 次 项式；它的项分别为 ；其中二次项系数为 ，一次项的系数为 ，常数项为 ；多项式x x 2342-+按x 的降幂排列为 ； （3）去括号：()=-x x 22 ； =+--)123(2x x .（4）计算：x x x x x x 156222233+-++-= ；整式的加减实质上就是 .a b c m （5）乘法分配律: =++)(c b a m ；2.问题：（1）三家连锁店以相同的价格m （单位：元/瓶）销售某种商品，它们在一个月内的销售量（单位：瓶）分别是a 、b 、c ．你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗方法1： 方法2：归纳:由上面做法你能得出一个结论:（2）如图，长方形的长为)(c b a ++，宽为m ，请你用两种不同的方法求出图中长方形的面积，你可以得出什么结论方法1： 方法2：将m 看成一个单项式，()c b a ++看成一个多项式，则我们能得出一个运算法则.归纳概括：单项式与多项式相乘的法则：【课堂探究】例1 计算（1）)25(3b a a -⋅ （2）)13()4(2+⋅-x x （3）ab ab ab 21)232(2⋅- （4）)6()3(x y x -⋅-例2 计算：（1）()1232+-⋅x x x （2）)123()2(2+-⋅-x x x （3） ()222243y xy x y x +--例3计算：（1） ()()65322--⋅-a a a （2）3221)846(⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-+x x x【课堂拓展】例4 化简：()()()52312122--++-x x x x x x例5 先化简，再求值: )52(3)1(2)1(--++-x x x x x x ，其中2-=x【课堂小结】1. 单项式与多项式相乘的法则： ；2. 单项式×多项式 的结果还是多项式 ，它的项数与原多项式的项数 ．配套习题1．选择题（1）化简()()a a a a --+11的结果是（ ）A ．a 2B ．22aC ．0D ．a a 222-（2）()c b a a a 54323+--的计算结果是（ ）A ．ac ab a a 10863++-B ．ac ab a a 108623-+-C ．ac ab a a 108633-+-D ．abc ab a a 108623++-（3）如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别是2x （0>x ）和4，那么阴影部分的面积为（ ）A ．42+xB ． 42-xC ．42-xD ． 22-x2．填空题（1）计算：=-⋅)23(222y x x ； =-+-⋅-)32()2(2x x x ；（2）=⨯⨯⨯)103()102(26 ．（结果用科学记数法表示）（3）()=++c b a m ；()=--a x a 23 ；（4）()=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+-x x x 218642 . =--⋅-)132()2(2x x x ； （5）卫星绕地球表面做圆周运动的速度约为3109.7⨯米/秒，则卫星运行3102⨯秒所走的路程约为 米．（用科学记数法表示）（6）一个边长为xcm 的正方形地砖，被裁掉cm 4宽的长条．则剩下部分的面积为 2cm ．（7）一个长方形的长、宽、高分别是43-x ，x 2，x ，它的体积是 ；3．计算：（1）)21(22-x x （2）)2.02(5+-⋅b a ab （3）)9()94322(2a a a -⋅-- （4）22)2()4(b b a -⋅-（5）)12(322--+x x x x （6）()()343222--+-a a a a a4．先化简，再求值:（1）)1()1(22-+--x x x x x ，其中21=x ． （2）()b ab b a ab ---352，其中62-=ab ．p q a b ｂq ｂp ap aq 5．先化简，再求值：)1(3)1(2)13(222--+++-x x x x x x x 其中3-=x6．要建一个长方形鸡栏，有可利用的围栏共60m ，设一边长为x m ，请用含x 的代数式表示该鸡栏面积．再自选一些x 值计算其面积，并探究x 由小到大变化时，鸡栏面积会怎样变化整式的乘法 多项式与多项式相乘1.复习单项式与多项式相乘法则：（1）()2-x x （2）()b ab a 22-- （3）()()x y xy x 222-⋅+-2.探索多项式与多项式相乘法则：（1）如图，为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a 米、宽m 米的长方形绿地，增长了b 米， 加宽了n 米．你能用两种方法表示这块绿地现在的面积吗解: 方法一:方法二:（2）计算：① c b a )(+= ② ))((n m b a ++（提示：把n m +看作① 中的c ,然后利用单项式与多项式相乘法则进行计算概括： 多项式与多项式相乘的法则：.【课堂探究】例1 计算：（1）()()132++x x （2）()()y y 8--x x （3）()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+22x y x y xy （4）()()y x y x 52-+例2 计算：（1）)3)(2(n m n m -+ （2）()22y x - （3）)3)(3(b a b a -+例3 计算：（1）)4)(12(2--x x （2）)52)(3(2-+x x （3）))((22y xy x y x +-+例4计算：（1）()22)2)(3(22--+-+a a a a a （2）()()y x y x y x -++-2)(例5 化简求值：)12()3)(2(22-+-+-x x x x x ，其中3-=x ．【随堂检测】1．下列计算中，正确的是（ ）A ．222))(2(b a b a b a +=++B ． 2232))(2(b ab a b a a b -+-=--C ． 222))(2(b a b a b a --=-+-D ． 2232))(2(b ab a b a b a --=-+2．下列多项式相乘结果为1832--a a 的是（ ）A ． )9)(2(+-a aB ． )2)(9(+-a aC ． )3)(6(-+a aD ． )6)(3(-+a a配套习题1．下列多项式相乘的结果为1832--x x 的是（ ）A ．()()92+-x xB ．()()92-+x xC ．()()63+-x xD ．()()63-+x x2．若()()10522++=--mx x x x ，则=m ________．3．如果12=+a a ，那么()()=+-65a a ________．4．如果q x +与2+x 的积中不含x 的一次项，则q 的值___ _．5．三个连续偶数，若中间的一个是n ，则它们的积是_ __．6.计算：(1)22)2()(b b a -⋅- (2)x(x+5) （3）()()65++x x（4）()()4343-+x x （5）()()3212++x x （6）2)2(y x +7．计算：()()1122++--x x x x x8．计算：()()()()83232+--+-x x x x9．化简求值：()()()()3134-----a a a a ，其中31=a ．【拓展延伸】1．若n 是正整数，试说明：式子)2)(3()7(---+n n n n 的值被6整除．2．通过计算下列各式，寻找规律：（1）计算:①)3)(2(++x x = ；② )1)(4(+-x x = ；③)2)(4(-+y y = ； ④ )3)(5(--y y = ；由上面计算的结果找规律：=++))((q x p x ( ) +2( )+x ( )（2）试用上述规律直接计算下列各式：① ()()=+-15x x ； ② ()()=--43x x ； ③ ()()=++73x x三、本次课后作业：主任签字：泽仕学堂教务处。
整式乘法因式分解讲义
【整式乘法、因式分解讲义】一. 教学内容：幂的运算和整式乘法二. 学习要点：1. 掌握幂的三种运算，并能灵活运用其解决一些数学问题。
2. 掌握进行整式乘法的方法。
三. 知识讲解：（一）幂的运算1. 同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
（m 、n 为正整数）； n m n m a a a ⋅=+。
推广：（m 、n 、p 为正整数）2. 幂的乘方幂的乘方底数不变，指数相乘。
（m 、n 为正整数）；n m mn a a )(=推广：（m 、n 、p 为正整数）3. 积的乘方积的乘方是把积中每一个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。
（m 为正整数）；m m m ab b a )(=推广：（m 为正整数）（二）整式的乘法1. 单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘，用它们系数的积作为积的系数，相同字母的幂相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。
2. 单项式乘以多项式单项式乘以多项式就用这个单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加，如。
3. 多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
如：（三）乘法公式重点：理解掌握平方差公式，两数和的完全平方公式的结构特征，正确地应用公式。
1. 平方差公式：它的结构特征是：①左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一个完全相同，另一个互为相反数。
②右边是乘式中两个项的平方差。
③公式中的a ，b 可以是任意一个整式（数、字母、单项式或多项式）2. 两数和的完全平方公式：两数差的完全平方公式：它们的结构特征是：①左边是两个相同的二项式相乘。
②右边是二次三项式，首尾两项分别是二项式两项的平方，中间一项是二项式中两项积的2倍。
③式中的a ，b 可以是数，单项式或多项式。
（四）因式分解重点：理解因式分解的含义，会用提公因式法和公式法进行因式分解。
1. 因式分解把一个多项式化为几个整式的乘积形式，就是因式分解。
14.1 整式的乘法讲义 教师版
14.1 整式的乘除教学目标：整式的乘除是建立在有理数的运算、运算律以及整式加减法的基础上，通过引入同底数幂的乘除法则、幂的乘方法则、积的乘方法则给出整式的乘除运算。
教学重难点：教学重点：多项式的乘除法和乘法公式教学难点：多项式的乘除法以及有关“数”的表示形式的教学。
学习多项式的乘除法要归结为学好单项式的乘除，而单项式的运算又要以幂的运算为基础，所以幂的运算时本章的教学关键。
知识点一：同底数幂的乘法（重点）（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．am•an=a m+n（m，n是正整数）（2）推广：am•an•ap=a m+n+p（m，n，p都是正整数）在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）²与（a2b2）³，（x-y）2与（x-y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．【例题】计算（x﹣y）3•（y﹣x）=（）A．（x﹣y）4 B．（y﹣x）4C．﹣（x﹣y）4 D．（x+y）4【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算．【解答】解：（x﹣y）3•（y﹣x）=﹣（x﹣y）3•（x﹣y）=﹣（x﹣y）3+1=﹣（x﹣y）4．故选：C．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质．解题时，要先转化为同底数的幂后，再相乘．【变式1】5x=8，5y=6，则5x+y=．【分析】利用同底数幂的乘法的逆运算把5x+y化为5x×5y，即可求得答案．【解答】解：∵5x=8，5y=6，∵5x+y=5x×5y=8×6=48，故答案为：48．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键．【变式2】阅读理解：乘方的定义可知：a n=a×a×a×…×a（n个a相乘）．观察下列算式回答问题：32×35=（3×3）×（3×3×3×3×3）=3×3×…×3=37（7个3相乘）42×45=（4×4）×（4×4×4×4×4）=4×4×…×4=47（7个4相乘）52×55=（5×5）×（5×5×5×5×5）=5×5×…×5=57（7个5相乘）（1）20172×20175=；（2）m2×m5=；（3）计算：（﹣2）2016×（﹣2）2017．【分析】（1）根据同底数幂的乘法可以解答本题；（2）根据同底数幂的乘法可以解答本题；（3）根据同底数幂的乘法可以解答本题．【解答】解：（1）20172×20175=20177，故答案为：20177；（2）m2×m5=m7，故答案为：m7；（3）（﹣2）2016×（﹣2）2017=（﹣2）2016+2017=（﹣2）4033=﹣24033【点评】本题考查同底数幂的乘法，解答本题的关键是明确同底数幂乘法的计算方法．知识点二：幂的乘方（重点）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（a m）n=a mn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别。
整式的乘法(基础)知识讲解.doc
整式的乘法（基础）责编：某老师【学习目标】1. 会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算．2. 掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算.【要点梳理】【高清课堂 397531 整式的乘法 知识要点】要点一、单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.要点二、单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即()m a b c ma mb mc ++=++.要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.要点三、多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++. 【典型例题】类型一、单项式与单项式相乘【高清课堂397531 整式的乘法 例1】1、计算：（1）221323ab a b abc ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭； （2）121(2)(3)2n n x y xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭； （3）232216()()3m n x y mn y x -⋅-⋅⋅-．【思路点拨】前两个题只要按单项式乘法法则运算即可，第（3）题应把x y -与y x -分别看作一个整体，那么此题也属于单项式乘法，可以按单项式乘法法则计算．【答案与解析】解： （1）221323ab a b abc ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭22132()()3a a a b b b c ⎡⎤⎛⎫=⨯-⨯⋅⋅⋅⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦442a b c =-．（2）121(2)(3)2n n x y xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭121(2)(3)()()2n n x x x y y z +⎡⎤⎛⎫=-⨯-⨯-⋅⋅⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 413n n x y z ++=-．（3）232216()()3m n x y mn y x -⋅-⋅⋅-232216()()3m n x y mn x y =-⋅-⋅⋅- 22321(6)()()[()()]3m m n n x y x y ⎡⎤=-⨯⋅⋅-⋅-⎢⎥⎣⎦ 3352()m n x y =--．【总结升华】凡是在单项式里出现过的字母，在其结果里也应全都有，不能漏掉． 举一反三：【变式】（2014•甘肃模拟）计算：2m 2•（﹣2mn ）•（﹣m 2n 3）．【答案】解：2m 2•（﹣2mn ）•（﹣m 2n 3）=[2×（﹣2）×（﹣）]（m 2×mn×m 2n 3）=2m 5n 4．类型二、单项式与多项式相乘2、 计算：（1）21242233ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）22213(6)32xy y x xy ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭； （3）2222340.623a ab b a b ⎛⎫⎛⎫+--⎪⎪⎝⎭⎝⎭； 【答案与解析】 解：（1）21242233ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 212114(2)23223ab ab ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+--+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 232221233a b a b ab =-+-． （2）22213(6)32xy y x xy ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭2222213(6)(6)()(6)32xy xy y xy x xy ⎛⎫=--+-+-- ⎪⎝⎭g 23432296x y xy x y =-+．（3）2222340.623a ab b a b ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2222334253a ab b a b ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭222222223443423353a a b ab a b b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 42332444235a b a b a b =--+． 【总结升华】计算时，符号的确定是关键，可把单项式前和多项式前的“＋”或“－”号看作性质符号，把单项式乘以多项式的结果用“＋”号连结，最后写成省略加号的代数和．举一反三： 【变式1】224312(6)2m n m n m n ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭． 【答案】解：原式2224232211222m n m n m n +⨯⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭ 26262262171221244m n m n m n m n m n =-+=-．【变式2】若n 为自然数，试说明整式()()2121n n n n +--的值一定是3的倍数．【答案】解：()()2121n n n n +--＝222223n n n n n +-+= 因为3n 能被3整除，所以整式()()2121n n n n +--的值一定是3的倍数．类型三、多项式与多项式相乘3、计算：（1）(32)(45)a b a b +-；（2）2(1)(1)(1)x x x -++；（3）()(2)(2)()a b a b a b a b +--+-；（4）25(21)(23)(5)x x x x x ++-+-．【答案与解析】解：（1）(32)(45)a b a b +-221215810a ab ab b =-+-2212710a ab b =--．（2）2(1)(1)(1)x x x -++22(1)(1)x x x x =+--+41x =-．（3）()(2)(2)()a b a b a b a b +--+-2222(2)(2)a ab b a ab b =---+-222222a ab b a ab b =----+2ab =-．（4）25(21)(23)(5)x x x x x ++-+- 322(5105)(2715)x x x x x =++---32251052715x x x x x =++-++32581215x x x =+++．【总结升华】多项式乘以多项式时须把一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，刚开始时要严格按法则写出全部过程，以熟悉解题步骤，计算时要注意的是：（1）每一项的符号不能弄错；（2）不能漏乘任何一项．4、（2016春•长春校级期末）若（x +a ）（x +2）=x 2﹣5x +b ，则a +b 的值是多少？【思路点拨】根据多项式与多项式相乘的法则把等式的左边展开，根据题意列出算式，求出a 、b 的值，计算即可．【答案与解析】解：（x +a ）（x +2）=x 2+（a +2）x +2a ，则a +2=﹣5，2a=b ，解得，a=﹣7，b=﹣14，则a +b=﹣21．【总结升华】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 举一反三：【变式】求出使(32)(34)9(2)(3)x x x x +->-+成立的非负整数解．【答案】不等式两边分别相乘后，再移项、合并、求解．解：22912689(6)x x x x x -+->+-， 229689954x x x x -->+-，229699854x x x x --->-，1546x ->-，4615x <． ∴ x 取非负整数为0，1，2，3．。
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整式的乘法新课导入1. 我们知道a ·a ·a 可以写作a ³，读作a 的三次方或a 的立方。
同样，a ·a ·a ·……·a ·a(共n 个a)可以写作n a ，读作a 的n 次方，其中a 表示底数，正整数n 表示指数，a 的n 次乘方的结果叫做a 的n 次幂。
请完成下表：3²+43=（3×3）+（3×3×3×3）=63 423+=63（-2）3×（-2）4= = （-2）43+==+24a a = 24+a =由上表左右两列的结果，你发现什么规律吗？ 一般的，如果m,n 是正整数，那么 m a ·na =（a·a·a……a·a）·（a·a·a……·a） m 个a n 个a = a ·a ·a ……·a (m+n)个a= nm a +同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
m a ·na =n m a +（m,n 都是正整数）思考：三个或三个以上同底数的幂相乘，是否也符合上述法则？2a ·3a ·5a = ma ·n a ·p a =2. 幂的乘方 35是5的三次幂，（35）²可以看做是35的2次幂，即5的3次幂的平方，这就是幂的乘方。
请完成下表： 23)5(=35·35=335+=65 24)3(= = ==-43])2([ = = 53)a (= = =由上表可知，幂的乘方，底数不变，指数相乘，即nm a )(=mn a 。
（m,n 是正整数）3. 积的乘方观察)53()53()53(2⨯∙⨯=⨯=（33⨯）∙（55⨯）=2253∙按照上述计算，你能归纳出积的乘法法则吗？积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即nn n b a ab ∙=)(。
（n 为正整数）4. 整式的乘法（1） 单项式与单项式相乘例：一长方形的长是2a,宽是3b ，它的面积是2a ·3b ，如何计算2a ·3b ？运用乘法交换律和结合律计算可得 2a ·3b=（2×3）·（a ·b ） =6ab同样，6a ²·4ab=(6×4)( a a ∙2)·b=243a b 一般的，单项式与单项式相乘有如下法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式。
（2）单项式与多项式相乘一长方形的长是a+3,宽是2b，它的面积是（a+3）·2b.如何计算（a+3）·2b？a 3如图，可以看到长方形能分成两个小长方形，它们的面积和为2ab+6b.因此这个长方形的面积是（a+3）·2b=2ab+6b一般的，单项式与多项式相乘有如下法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。
如（p+q）·b=bp+bq或b·（p+q）=bp+bq(3)多项式与多项式相乘小明所在学校的操场是一个长方形，长是a米，宽是b米，如下图所示，为了使学校的体育设施更加完善，现决定长宽b+n大长方形的边长分别是a+m和b+n，它的总面积为（a+m）（b+n）,）？如图，将大长方形分成4个小长方形，这样它的面积为四个小长方形的面积和ab+an+bm+mn因此操场改善后的实际面积是（a+m）（b+n）= ab+an+bm+mn这里的a+m,b+n 都是多项式，（a+m ）·（b+n ）是多项式与多项式相乘。
一般的，多项式与多项式相乘有如下法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以两一个多项式的每一项，再把所得积相加。
字母表示即为： （a+m ）（b+n ）= ab+an+bm+mn练习一、用乘法公式计算(1) (-m+5n)(-m-5n) (2) (3x-1)(3x+1)(3) (x+6)2（4） (y-5)2(5) (-2x+5)2 (6) (x-y)2(7) (y+3x)(3x-y) (8) (-2+ab)(2+ab)(8) (2x-3)2(9) (-2x+3y)(-2x-3y)3423(10) (m-3)(m+3) (11) (x+6y)2(12)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) (13)(x+1)(x-3)-(x+2)2+(x+2)(x-2)(14) (a+2b-1)2(15) (2x+y+z)(2x-y-z)（16）22)2()2()2)(12(+---+-x x x x（17）1241221232⨯- （18）(2x ＋3)(2x －3)－(2x-1)2（19）(2x ＋y ＋1)(2x ＋y －1) （20）)3)(12(--x x二、判断正误：对的画“√”，错的画“×”.121213(1)(a-b)(a+b)=a 2-b 2； （ ） (2)(b+a)(a-b)=a 2-b 2； （ ）(3)(b+a)(-b+a)=a 2-b 2；（ ） (4)(b-a)(a+b)=a 2-b 2； （ ）(5)(a-b)(a-b)=a 2-b 2；（ ） (6)(a+b)2=a 2+b 2； （ ）(7)(a-b)2=a 2-b 2； （ ） (8)(a+b)2=(-a-b)2； （ ）(9)(a-b)2=(b-a)2. （ ） 三、 填空题 1. ______________)3)(32(=-+y x y x ； 2．_______________)52(2=+y x ； 3.______________)23)(32(=--y x y x ；4.______________)32)(64(=-+y x y x ；5. ________________)221(2=-y x ； 6．____________)9)(3)(3(2=++-xx x ；7．___________1)12)(12(=+-+x x ；8. 4))(________2(2-=+x x ；9．_____________)3)(3()2)(1(=+---+x x x x ；10．____________)2()12(22=+--x x ；11．224)__________)(__2(yx y x -=-+；12.______________))(1)(1)(1(42=++-+x a x x x13. 如果多项式92+-mx x 是一个完全平方式，则m 的值是 。
14.如果多项式k x x ++82是一个完全平方式，则k 的值是 。
15．()()_________22=--+b a b a ；16.()__________222-+=+b a ba四、由已知计算1、已知12,3-==+ab b a ，求下列各式的值． （1）22bab a +- （2） 2)(b a -．2、．已知________,60,172=+==+yx xy y x 2则五、计算 若13a a +=,则221aa+的值是多少？六、应用图a 是一个长为2 m 、宽为2 n 的长方形, 沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形, 然后按图b 的形状拼成一个正方形。
图a图b(1)你认为图b 中的阴影部分的正方形的边长等于 。
(2)请用两种不同的方法求图b 中阴影部分的面积。
方法1： 方法2： (3)观察图b 你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗?代数式: ()(). , ,22mn n m n m -+(4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若5,7==+ab b a ，求2)(b a -的值。
七.阅读填空。
（1）. ①(x-1)(x+1)＝x 2-1 ②（x-1）(12++x x)＝x3-1③（x-1）(x 3+12++x x)＝x4-1④（x-1）(x 4+x 3+12++x x)＝x 5-1（2）.根据上述规律，并用你发现的规律直接写出下列各题的结果。
①（x-1）(x 6+x 5+x 4+x 3+12++x x)＝②若（x-1）∙Φ=12008-x，求Φ，Φ＝。