函数的奇偶性和周期性教案

函数的奇偶性和周期性教案
【教学目标】1．了解函数奇偶性定义，懂得判断一些函数的奇偶性；
2．理解奇（偶）函数图象的特性； 3．了解几类常见函数的周期
【教学重点】奇（偶）函数的性质
【教学难点】分段函数和抽象函数奇偶性的判断
【例题设置】例1（偶函数的性质），例2（分段函数奇偶性的判断），例3（抽象函数
奇偶性的判断
【教学过程】 一、例题引入
〖例1〗 定义在[2,]a -上的偶函数()g x ，当0x ≥时，
()g x 单调递减．(1)()g m g m -<，求实数m 的取值范围．
解：∵定义在[2,]a -上的函数()g x 为偶函数
∴区间[2,]a -关于y 轴对称，即20a -+=，解得2a =，并且(|1|)()g m g x -= ∴(1)()(|1|)(||)g m g m g m g m -<⇔-< …………① 又∵当0x ≥时，()g x 单调递减
∴不等式①等价于0|1|2
0||2|1|||
m m m m ≤-≤⎧⎪
≤≤⎨⎪->⎩
，解得112m -≤<
∴实数m 的取值范围为1
[1,]2
-
★点评：本题应用了偶函数的一个性质(|1|)()g m g x -=，从而避免了一场“大规模”的分类讨论．
二．要点回顾
函数的奇偶性（应优先考虑定义域）： 1．定义：（设函数()y f x =的定义域为D ）
⑴ 如果对于任意的x D ∈，有()()f x f x -=，那么()y f x =叫做偶函数，其图象关
于y 轴对称，在其对应的区间内有相反的单调性．．．．．．．．．．．．．．．
． ⑵ 如果对于任意的x D ∈，有()()f x f x -=-，那么()y f x =叫做奇函数，其图象关
于原点轴对称，在其对应的区间内有相．．．．．．．．．．同．的单调性．．．．
． ★注意：具有奇偶性的函数，其定义域必关于y 轴（或原点）对称．
2．奇偶性的等价条件
()f x 为偶函数()()()()0f x f x f x f x ⇔-=⇔--=⇔(||)()f x f x =()1()f x f x -⇔=
()f x 为奇函数()
()()()()()()01()
f x f x f x f x f x f x f x f x -⇔-=-⇔=--⇔-+=⇔
=-
3．判断函数奇偶性的步骤：
⑴ 判断函数的定义域是否关于y 轴（或原点）对称（该步很关键且容易被遗漏）； ⑵ 对()f x 进行化简，若已是最简形式，可跳过该步骤； ⑶ 判断()f x -与()f x 的关系．
★注：亦可根据函数的图象判断其奇偶性（但不能用来证明奇偶性）．
〖例2〗 判断下列各函数的奇偶性：
⑴ 221
()lg lg f x x x
=+
⑵
()(f x x =-⑶220
()0
x x x f x x x x ⎧+<=⎨-+>⎩
解：⑴ 函数的定义域(,0)(0,)-∞+∞ 关于y 轴对称，且22()lg lg 0f x x x =-= ∴()f x 既为奇函数也为偶函数
⑵ 由
101x
x
+≥-得原函数定义域为[1,1)-关于y 轴不对称 ∴()f x 既非奇函数也非偶函数
⑶ 函数的定义域(,0)(0,)-∞+∞ 关于y 轴对称
当0x <时，0x ->，则22()()()()f x x x x x f x -=---=-+=- 当0x >时，0x -<，则22()()()()f x x x x x f x -=--=-+=-
综上所述，对任何x ∈(,0)(0,)-∞+∞ 都有()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数． ★点评：分段函数的性质的讨论通法为“分类讨论”．
〖例3〗 ()f x 是定义在R 上的函数，对于任意,x y R ∈，()()f x y f x y ++-
2()()f x f y =恒成立，且(0)0f ≠,试判断()f x 的奇偶性.
解：∵对于任意,x y R ∈，()()f x y f x y ++-2()()f x f y =恒成立 令0x y ==，得(0)(0)2(0)(0)f f f f +=⋅，且(0)0f ≠，∴(0)1f =
令0x =，得()()2(0)()f y f y f f y +-=，即()()f y f y -=．故()f x 是偶函数． ★点评：抽象函数是近几年高考的热点，研究这类函数的根本方法是“赋值”，解题中要灵活应用题目条件赋值转化． 4．奇（偶）函数的性质（补充） ⑴ 奇函数的反函数仍是奇函数；
（()0f x ≠）
（
()0f x ≠）
⑵ 若奇函数()f x 在0x =处有定义，则(0)0f = ⑶ 已知2012()n n f x a a x a x a x =++++ ，则
当0240a a a ==== （即偶数次项系数都为0）时，()f x 为奇函数； 法1350a a a ==== （即奇数次项系数都为0）时，()f x 为偶函数． ⑷ 函数()0f x =（定义域D 关于y 轴对称）既为奇函数也为偶函数； ⑸ 奇（偶）函数的导函数为偶（奇）函数；（文科不给，理科证明如下）
已知：()f x 为奇函数． 求证：()f x '为偶函数 ∵()f x 为奇函数 ∴()()f x f x -=-
证法一：两边同时求导得：
()()f x f x ''--=-，即()()f x f x ''-=
∴()f x '为偶函数
⑹ 若()()f x g x 、都是奇（偶）函数，则()()f x g x ±为奇（偶）函数；()()f x g x ⋅为
偶函数；
()
()
f x
g x （()0g x ≠）为偶函数； ⑺ 若()()f x g x 、中一个为偶函数，一个为奇函数，则()()f x g x ⋅为奇函数；
()()
f x
g x （()0g x ≠）为偶函数；
三、函数周期性复习 1．定义：如果对于任意的．．．x D ∈（D 为()f x 的定义域）
，有()()f x T f x +=，那么()y f x =具备周期性，T 叫做函数的一个周期．
2．几种常见的函数周期 ⑴ sin()y A x ωϕ=+ 2||T π
ω= ⑵ cos()y A x ωϕ=+ 2||
T πω=
⑶ tan()y A x ωϕ=+
||
T πω=
证法二： ∴0()()
()lim
x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆ 0()()
()lim
x f x x f x f x x
∆→-+∆--'-=∆ 0()()
lim
x f x x f x x
∆→--∆+=∆ 0()()
lim ()x f x x f x f x x
-∆→-∆-'==-∆
注意()
f x '-与[()]f x '
-的区别
思考：
周期函数的定义域是否都为
R ？
函数2((2,21))y x k x k k =+∈+ 其中k Z ∈，其周期为2
⑷ cot()y A x ωϕ=+ ||
T πω=
⑸ 若对任意的．．．x D ∈，都有()()f x h f x h +=-，则()f x 的周期2T h =
推广：若对任意的．．．x D ∈，都有()()f x a f x b +=+，则()f x 的周期||T b a =- ⑹ 若对任意的．．．x D ∈，都有()()f x h f x +=-，则()f x 的周期2T h =
⑺ 若对任意的．．．x D ∈，都有1
()()
f x h f x +=，则()f x 的周期2T h = ⑻ 若对任意的．．．x D ∈，都有()()f x T f x -=，则()f x 的周期为T
【课堂小结】
1．“定义域必关于y 轴（或原点）对称”是函数具有奇偶性的必要条件； 2．()f x 为偶函数⇔(||)()f x f x =；
3．若奇函数()f x 在0x =处有定义，则(0)0f =．在大题中要给出证明： 由()f x 为奇函数知(0)(0)f f =-，故(0)0f =
【教后反思】。