平面向量基础知识练习,基础巩固题
（完整版）平面向量基本概念练习题
（完整版）平面向量基本概念练习题第二章平面向量§2.1 平面向量的实际背景及基本概念班级___________姓名____________学号____________得分____________一、选择题1．下列物理量中，不能称为向量的是（）A ．质量B ．速度C ．位移D ．力 2．设O 是正方形ABCD 的中心，向量AO OB CO OD u u u r u u u r u u u r u u u r 、、、是（）A ．平行向量B ．有相同终点的向量C ．相等向量D ．模相等的向量3．下列命题中，正确的是（）A ．|a | = |b |?a = bB ．|a |> |b |?a > bC ．a = b ?a 与b 共线D ．|a | = 0?a = 04．在下列说法中，正确的是（）A ．两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同;B ．模为0的向量与任一非零向量平行;C ．向量就是有向线段;D ．若|a |=|b |，则a =b5．下列各说法中，其中错误的个数为（）（1）向量AB u u u r 的长度与向量BA u u u r 的长度相等;（2）两个非零向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反;（3）两个有公共终点的向量一定是共线向量;（4）共线向量是可以移动到同一条直线上的向量;（5）平行向量就是向量所在直线平行A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 *6．△ABC 中，D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 的中点，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段所表示的向量中，与EF u u u r 共线的向量有（）A ．2个B ．3个C ．6个D ．7个二、填空题7．在(1)平行向量一定相等；(2)不相等的向量一定不平行；(3)共线向量一定相等；(4)相等向量一定共线；(5)长度相等的向量是相等向量；(6)平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，说法错误的是_______________________．8．如图，O 是正方形ABCD 的对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 是正方形，在图中所示的向量中，（1）与AO u u u r 相等的向量有_________________________；（2）与AO u u u r 共线的向量有_________________________；（3）与AO u u u r 模相等的向量有_______________________；（4）向量AO u u u r 与CO u u u r 是否相等？答：_______________．9．O 是正六边形ABCDEF 的中心，且AO =u u u r a ，OB =u u u r b ，AB =u u u r c ，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 为端点的向量中：（1）与a 相等的向量有；（2）与b 相等的向量有；（3）与c 相等的向量有．*10．下列说法中正确是_______________（写序号）（1）若a 与b 是平行向量，则a 与b 方向相同或相反；（2）若AB u u u r 与CD u u u r 共线，则点A 、B 、C 、D 共线；（3）四边形ABCD 为平行四边形，则AB u u u r =CD u u u r ；（4）若a = b ，b = c ，则a = c ；（5）四边形ABCD 中，AB DC =u u u r u u u r 且||||AB AD =u u u r u u u r ，则四边形ABCD 为正方形；（6）a 与b 方向相同且|a | = |b |与a = b 是一致的；三、解答题11．如图，以1×3方格纸中两个不同的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？O A B C D E F12．在如图所示的向量a 、b 、c 、d 、e 中（小正方形边长为1）是否存在共线向量？相等向量？模相等的向量？若存在，请一一举出．13．某人从A 点出发向西走了200m 达到B 点，然后改变方向向西偏北600走了450m 到达C 点，最后又改变方向向东走了200m 到达D 点（1）作出向量AB u u u r 、BC u u u r 、CD u u u r （1cm 表示200m ）；（2）求DA u u u r 的模．*14．如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“马”，开始下棋时它位于A 点，这只“马”第一步有几种可能的走法？试在图中画出来；若它位于图中的P 点，则这只“马”第一步有几种可能的走法？它能否走若干步从A 点走到与它相邻的B 点处？。
平面向量小题测试答案
6.1平面向量的概念（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·黑龙江·齐齐哈尔三立高级中学有限公司高一阶段练习）下列物理量中哪个是向量（）A．质量B．功C．温度D．力2．（2022·全国·高一课时练习）给出下列说法：①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等.其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个-，，则向量AB的长度是（）3．（2022·山东菏泽·高一期中）数轴上点A，B分别对应11A．0 B．1 C．2 D．34．（2022·全国·高一课时练习）下列说法错误的是（）A．向量CD与向量DC长度相等B．单位向量都相等C．0的长度为0，且方向是任意的D．任一非零向量都可以平行移动5．（2022·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）下列说法正确的是（）A．单位向量均相等B．单位向量1e=C．零向量与任意向量平行D．若向量a，b满足||||=，则a ba b=±6．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期中）下列关于零向量的说法正确的是（）A．零向量没有大小B．零向量没有方向C．两个反方向向量之和为零向量D．零向量与任何向量都共线7．（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（）A．向量AB与向量BA的长度相等B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C．零向量没有方向D．向量的模是一个正实数8．（2022·山东聊城一中高一期中）下列命题中正确的个数是（）①起点相同的单位向量，终点必相同；A B C D四点必在一直线上；②已知向量AB CD∥，则,,,∥；③若,∥∥，则a ca b b c④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2022·山东东营·高一期中）设点O是正三角形ABC的中心，则向量AO，BO，CO是（）A ．相同的向量B ．模相等的向量C ．共起点的向量D ．共线向量二、多选题10．（2022·全国·高一课时练习）下列结论中正确的是（ ） A ．a 与b 是否相等与a ，b 的方向无关 B ．零向量相等，零向量的相反向量是零向量 C ．若a ，b 都是单位向量，则a b =D ．向量AB 与BA 相等11．（2022·全国·高一课时练习）下列结论中正确的是（ ） A ．若a b =，则a b = B ．若,a b b c ==，则a c =C ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB DC =”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件D ．“a b =”的充要条件是“a b =且a b ∥” 三、填空题12．（2022·全国·高一课时练习）下列各量中，是向量的是___________.（填序号） ①密度；②体积；③重力；④质量.13．（2022·全国·高一课时练习）已知圆O 的周长是2π，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，π,6BAC CD AB ∠=⊥于点D ，则CD =___________. 14．（2022·全国·高一课时练习）已知O 是正方形ABCD 的中心，则向量,,,AO OB CO OD 是___________.（填序号）①平行向量；②相等向量；③有相同终点的向量；④模都相等的向量.15．（2022·全国·高一课时练习）“AB CD ∥”是“A ，B ，C ，D 四点共线”的________条件． 16．（2022·北京市第十二中学高一期末）已知向量()1,a k =，()2,4b =，且a 与b 共线，则实数k =______.17．（2022·江苏·南京航空航天大学附属高级中学高一期中）已知()3,4a =，()4,2b =-，若2a b -与2ka b +为共线向量，则实数k ＝__________．18．（2022·全国·高一课时练习）设空间中有四个互异的点A ､B ､C ､D ，若()()20DB DC DA AB AC +-⋅-=，则ABC 的形状是___________.19．（2022·全国·高一专题练习）已知1e ，2e 是两个不共线的向量，而2125(1)2a k e k e =+-，1223b e e =+是两个共线向量，则实数k =________．20．（2022·山东菏泽·高一期中）已知A 、B 、C 是不共线的三点，向量m 与向量AB 是平行向量，与BC 是共线向量，则m ＝________. 四、解答题21．（2022·全国·高一专题练习）在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AD 、BC 的中点，如图．(1)写出与向量FC 共线的向量； (2)求证：BE FD =．22．（2022·全国·高一专题练习）在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b a =；(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使5c =，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？23．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，2,,3AE AD AB a AC b ===.(1)用,a b 表示,,,,AD AE AF BE BF ； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．24．（2022·全国·高一课前预习）如图，设O 是▱ABCD 对角线的交点，则(1)与OA 的模相等的向量有多少个？ (2)与OA 的模相等，方向相反的向量有哪些？ (3)写出与AB 共线的向量．【能力提升】一、单选题 1．（2022·吉林·白城市通榆县毓才高级中学有限责任公司高一阶段练习）已知空间向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ）A ．、、ABC B ．B CD 、、 C ．A B D 、、 D ．A C D 、、2．（2022·内蒙古大学满洲里学院附属中学高一期末）给出下列命题： ①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若A B C D ，，，是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a 与b 同向，且a b >，则a >b ； ④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中假命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．43．（2022·全国·高一单元测试）已知I 为ABC 所在平面上的一点，且,,AB c AC b BC a ===.若0aIA bIB cIC ++=，则I 是ABC 的（ ） A ．重心B ．内心C ．外心D ．垂心4．（2022·陕西渭南·高一期末）设e 是单位向量，3AB e =，3CD e =-，3AD =，则四边形ABCD 是（ ） A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形 5．（2022·浙江丽水·高一期末）若,a b 为非零向量，则“a a bb =”是“,a b 共线”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．（2022·全国·高一课时练习）在ABC 中，若BC a CA b AB c ===，，，且a b b c c a ⋅=⋅=⋅，则ABC 的形状为 A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．以上都不对7．（2022·安徽·芜湖一中高一阶段练习）过ABC ∆内一点M 任作一条直线，再分别过顶点,,A B C 作l 的垂线，垂足分别为,,D E F ，若0AD BE CF ++=恒成立，则点M 是ABC ∆的A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心二、多选题8．（2022·广西贺州·高一期末）以下选项中，能使//a b 成立的条件有（ ） A ．a b = B ．0a =或0b = C ．2a b =-D ．a 与b 都是单位向量9．（2022·全国·高一单元测试）下列叙述中错误的是（ ） A ．若a b =，则32a b >B ．若//a b ，则a 与b 的方向相同或相反C ．若//a b ，//b c ，则//a cD ．对任一非零向量a ，||aa 是一个单位向量 三、填空题10．（2022·上海市向明中学高一期末）P 在线段12PP 的反向延长线上（不包括端点），且12PP PP λ=，则实数λ的取值范围是___________. 11．（2022·全国·高一课时练习）已知G 为ABC 内一点，且满足0AG BG CG ++=，则G 为ABC 的________心．12．（2022·陕西渭南·高一期末）若a 为任一非零向量，b 为单位向量，给出下列说法： ①a b >； ②a b ∥； ③0a >； ④1b =±；⑤若0a 是与a 同向的单位向量，则0a b =. 其中正确的说法有______个.13．（2022·全国·高一课时练习）如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别为线段BC ，CD 的中点，若12MN AM BN λλ=+，12,R λλ∈，则12λλ+的值为___________.14．（2022·全国·高一课时练习）如图，已知ABC 的面积为214cm ，D E ，分别为边AB ，BC 上的点，且::2:1AD DB BE EC ==，AE CD ，交于点P ，则APC △的面积为 _____2cm .四、解答题15．（2022·全国·高一课时练习）设1e ，2e 是两个不共线的向量，如果1232AB e e =-，124BC e e =+，1289CD e e =-.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定λ的值，使122e e λ+和12e e λ+共线；(3)若12e e λ+与12e e λ+不共线，试求λ的取值范围.16．（2022·全国·高一课时练习）情境 我们应该熟悉如下结论：已知A ，B ，C ，O 为平面内不同在一条直线上的四点，则A ，B ，C 三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m ，n ，使OC mOA nOB =+，且1m n +=． 问题：怎样证明上述的结论呢？17．（2022·全国·高一课时练习）已知向量13(3,1),,22a b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.(1)求与a 平行的单位向量c ；(2)设()23,x a t b y k ta b =++=-⋅+，若存在[0,2]t ∈，使得x y ⊥成立，求k 的取值范围.。
高中数学6.4《平面向量的应用》基础过关练习题
第六章 6.4 6.4.1 6.4.2A 级——基础过关练1．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )A ．40 NB ．10 2 NC ．20 2 ND ．10 3 N【答案】B 【解析】|F 1|＝|F 2|＝|F |cos 45°＝102，当θ＝120°时，由平行四边形法则知|F 合|＝|F 1|＝|F 2|＝10 2 N.2．(2020年北京期末)已知正方形ABCD 的边长为1，设AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a －b ＋c|等于( )A ．0B ．2C ．2D ．22【答案】C 【解析】如图，a ＋b ＝c ，则|a －b ＋c|＝|2a|.又|a|＝1，∴|a －b ＋c|＝2.故选C ．3．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点【答案】D 【解析】∵OA →·OB →＝OB →·OC →，∴(OA →－OC →)·OB →＝0.∴OB →·CA →＝0.∴OB ⊥AC ．同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ，∴O 为三条高的交点．4．(2020年深圳期中)已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N ，合力与F 1的夹角为60°，那么F 2的大小为( )A ．5 3 NB ．5 NC ．10 ND ．5 2 N【答案】A 【解析】由题意可知对应向量如图．由于α＝60°，∴F 2的大小为|F 合|·sin60°＝10×32＝5 3 N ．故选A ．5．已知直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＝2，DC ＝1，AB ∥DC ，则当AC ⊥BC 时，AD ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】建立平面直角坐标系，如图所示．设AD ＝t (t ＞0)，则A (0,0)，C (1，t )，B (2,0)，则AC →＝(1，t )，BC →＝(－1，t )．由AC ⊥BC 知AC →·BC →＝－1＋t 2＝0，解得t ＝1，故AD ＝1.6．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60 m ，若牵绳与行进方向夹角为30°，纤夫的拉力为50 N ，则纤夫对船所做的功为________J.【答案】1 5003 【解析】所做的功W ＝60×50×cos 30°＝1 5003(J)．7．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则y 与x 的函数关系式为________．【答案】y ＝－12x ＋2 【解析】OP →·OA →＝(x ，y )·(1,2)＝x ＋2y ＝4，∴x ＋2y －4＝0，则y＝－12x ＋2.8．在四边形ABCD 中，已知AB →＝(4，－2)，AC →＝(7,4)，AD →＝(3,6)，则四边形ABCD 的面积是________．【答案】30 【解析】BC →＝AC →－AB →＝(3,6)＝AD →，又因为AB →·BC →＝(4，－2)·(3,6)＝0，所以四边形ABCD 为矩形．又|AB →|＝42＋(－2)2＝25，|BC →|＝32＋62＝35，所以S ＝|AB→||BC →|＝25×35＝30.9．如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长．解：设AD →＝a ，AB →＝b ，则BD →＝a －b ，AC →＝a ＋b ，而|BD →|＝|a －b|＝a 2－2a·b ＋b 2＝1＋4－2a·b ＝5－2a·b ＝2，所以5－2a·b ＝4.所以a·b ＝12.又|AC →|2＝|a ＋b|2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝1＋4＋2a·b ＝6，所以|AC →|＝6，即AC ＝ 6.10．质量m ＝2.0 kg 的木块，在平行于斜面向上的拉力|F|＝10 N 的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s |＝2.0 m 的距离(g 取9.8 N/kg)．(1)分别求物体所受各力对物体所做的功；(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？解：(1)木块受三个力的作用，重力G ，拉力F 和支持力F N ，如图所示．拉力F 与位移s 方向相同，所以拉力对木块所做的功为W F ＝F·s ＝|F|·|s |cos 0°＝20(J)．支持力F N 的方向与位移方向垂直，不做功，所以W N ＝F N ·s ＝0.重力G 对物体所做的功为W G ＝G·s ＝|G||s |cos(90°＋θ)＝－19.6(J)．(2)物体所受各力对物体做功的代数和为W ＝W F ＋W N ＋W G ＝0.4(J)．B 级——能力提升练11．△ABC 中，若动点D 满足CA →2－CB →2＋2AB →·CD →＝0，则点D 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心【答案】A 【解析】取AB 的中点E ，则CA →2－CB →2＋2AB →·CD →＝(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＋2AB →·CD →＝2CE →·BA →＋2AB →·CD →＝2AB →·(CD →－CE →)＝2AB →·ED →＝0，∴AB ⊥ED ，即点D 在AB 的垂直平分线上．∴点D 的轨迹一定通过△ABC 的外心．12．如图，用两根分别长52米和10米的绳子，将100 N 的物体吊在水平屋顶AB 上，平衡后，G 点距屋顶距离恰好为5米，绳子的重量忽略不计，则A 处所受力的大小为( )A ．1202－50 6 NB ．1502－50 6 NC ．1203－50 2 ND ．1503－50 2 N【答案】B 【解析】如图，由已知条件可知AG 与垂直方向成45°角，BG 与垂直方向成60°角．设A 处所受力为F a ，B 处所受力为F b ，物体的重力为G ，∠EGC ＝60°，∠EGD ＝45°，则有|F a |·cos 45°＋|F b |cos 60°＝G ＝100①，且|F a |·sin 45°＝|F b |sin 60°②.由①②解得|F a |＝1502－50 6.故选B ．13．(2020年太原月考)在△ABC 中，若AD →＝13AB →＋12AC →，记S 1＝S △ABD ，S 2＝S △ACD ，S 3＝S △BCD ，则下列结论正确的是( )A ．S 3S 1＝23B ．S 2S 3＝12C ．S 2S 1＝23D ．S 1＋S 2S 3＝163【答案】C 【解析】如图，作AE →＝13AB →，AF →＝12AC →，则AD →＝AE →＋AF →，∴四边形AEDF是平行四边形．∴S △ADE ＝S △ADF .设△ABD 的边AB 上的高为h 1，△ACD 的边AC 上的高为h 2，则12|AE →|h 1＝12|AF →|h 2，∴13·⎝⎛⎭⎫12|AB →|h 1＝12·⎝⎛⎭⎫12|AC →|h 2.∴13S 1＝12S 2.∴S 2S 1＝1312＝23.故选C ．14．如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2，6)，则AC 和OB 的交点P 的坐标为________．(3,3) 【解析】设P (x ，y )，OB →＝(4,4)，OP →＝(x ，y )，由于OB →∥OP →，所以x －y ＝0.AC →＝(－2,6)，AP →＝(x －4，y )，由于AP →∥AC →，所以6(x －4)＋2y ＝0.可得x ＝3，y ＝3，故P 的坐标是(3,3)．15．已知P ，Q 为△ABC 内的两点，且AQ →＝14AC →＋12AB →，AP →＝12AC →＋14AB →，则△APQ 的面积与△ABC 的面积之比为________．【答案】316 【解析】如图，根据题意，P ，Q 为△ABC 中位线DE ，DF 的中点，PQ ＝12EF ＝14BC ，而A 到PQ 的距离是到BC 距离的34，根据三角形的面积公式可知，S △APQ ＝316S △ABC ．16．若a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R .(1)t 为何值时，共起点的三个向量a ，t b ，13(a ＋b )的终点在一条直线上？(2)若|a|＝|b|且a 与b 的夹角为60°，t 为何值时，|a －t b |最小？解：(1)由题意得a －t b 与a －13(a ＋b )共线，则设a －t b ＝m ⎣⎡⎦⎤a －13(a ＋b )，m ∈R ，化简得⎝⎛⎭⎫23m －1a ＝⎝⎛⎭⎫m 3－t b .因为a 与b 不共线，所以⎩⎨⎧23m －1＝0，m 3－t ＝0，解得⎩⎨⎧m ＝32，t ＝12.所以当t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )三个向量的终点在一条直线上．(2)因为|a|＝|b|，所以|a －t b |2＝(a －t b )2＝|a |2＋t 2|b |2－2t |a||b |cos 60°＝(1＋t 2－t )|a |2＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫t －122＋34·|a |2.所以当t ＝12时，|a －t b |有最小值32|a |.17．某人骑车以每小时a 千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来；而当速度为每小时2a 千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向．解：设a 表示此人以每小时a 千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a .设实际风速为v ，那么此时人感到风速为v －a ，设OA →＝－a ，OB →＝－2a ，PO →＝v .因为PO →＋OA →＝P A →，所以P A →＝v －a ，这就是感到由正北方向吹来的风速．因为PO →＋OB →＝PB →，所以PB →＝v －2a .于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是PB →.由题意∠PBO ＝45°，P A ⊥BO ，BA ＝AO ，从而，△POB 为等腰直角三角形，所以PO ＝PB ＝2a ，即|v |＝2a .所以实际风速是每小时2a 千米的西北风．C 级——探索创新练18．在△ABC 中，AC ＝BC ＝33AB ＝1，且CE →＝xCA →，CF →＝yCB →，其中x ，y ∈(0,1)，且x ＋4y ＝1.若M ，N 分别为线段EF ，AB 中点，则线段MN 的最小值为________．【答案】77【解析】如图，连接CM ，CN ，∵等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝1，AB ＝3，∴∠ACB ＝120°.∴CA →·CB →＝|CA →|·|CB →|cos 120°＝－12.又CM 是△CEF 的中线，∴CM →＝12(CE→＋CF →)＝12(xCA →＋yCB →)．同理可得CN →＝12(CA →＋CB →)，∴MN →＝CN →－CM →＝1－x 2CA →＋1－y 2CB →.∴MN→2＝(1－x )24＋(1－x )(1－y )2×⎝⎛⎭⎫－12＋(1－y )24.由x ＋4y ＝1，得1－x ＝4y ，代入上式得MN →2＝214y 2－32y ＋14.又x ，y ∈(0,1)，∴当y ＝17时，MN →2取得最小值17，此时|MN →|的最小值为77，即线段MN 的最小值为77.。
平面向量经典练习题(含答案)
高中平面向量经典练习题【编著】黄勇权一、填空题1、向量a=（2，4），b=（-1，-3），则向量3a-2b的坐标是。
2、已知向量a与b的夹角为60°，a=（3，4），|b | =1，则|a+5b | = 。
3、已知点A（1，2），B（2，1），若→AP=（3，4），则→BP= 。
4、已知A（-1，2），B（1，3），C（2，0），D（x，1），若AB与CD共线，则|BD|的值等于________。
5、向量a、b满足|a|=1，|b|= 2 ，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为________。
6、设向量a，b满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6 ，则a·b＝。
7、已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是。
8、在△ABC中，D为AB边上一点，→AD =12→DB，→CD =23→CA + m→CB，则m= 。
9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥（2a+b），则a与b的夹角是。
10、在三角形ABC中，已知A（-3，1），B（4，-2），点P（1，-1）在中线AD上，且→AP= 2→PD，则点C的坐标是（）。
二、选择题1、设向量→OA=（6，2），→OB=（-2，4），向量→OC垂直于向量→OB，向量→BC平行于→OA，若→OD +→OA=→OC，则→OD坐标=（）。
A、（11，6）B、（22，12）C、（28，14）D、（14，7）2、把A（3,4）按向量a（1,-2）平移到A',则点A'的坐标（）A、（4 , 2）B、（3，1）C、（2，1）D、（1，0）3、已知向量a，b，若a为单位向量, 且 | a| = | 2b| ,则（2a+ b）⊥（a-2b），则向量a与b的夹角是（）。
A、90°B、60°C、30°D、0°4、已知向量ab的夹角60°，| a|= 2，b=（-1，0），则| 2a-3b|=（）A、 15B、 14C、 13D、 115、在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|2·→0C ＋→CD|＝4，则,|→BC+→CD|＝______.A、12B、8C、4D、26题、7题、8、若向量a＝(3,4)，向量b＝(2,1)，则a在b方向上的投影为________．A、2B、4C、8D、169题、10、已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则→AE·→BD＝.A、-1B、1C、-2D、2三、解答题1、在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，求→AB·→AC的值。
平面向量的基本概念及线性运算练习题(基础、经典、好用)
平面向量的基本概念及线性运算一、选择题1．(2013·湛江质检)若a ＋c 与b 都是非零向量，则“a ＋b ＋c ＝0”是“b ∥(a ＋c )”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC→＋BA →＝2BP →，则( ) A.P A →＋PB→＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.P A →＋PB→＋PC →＝0 3．下列命题中是真命题的是( )①对任意两向量a 、b ，均有：|a |－|b |＜|a |＋|b |；②对任意两向量a 、b ，a －b 与b －a 是相反向量；③在△ABC 中，AB→＋BC →－AC →＝0； ④在四边形ABCD 中，(AB→＋BC →)－(CD →＋DA →)＝0. A ．①②③ B ．②④ C ．②③④ D ．②③4．已知A 、B 、C 三点共线，点O 在该直线外，若OB →＝λOA →＋μOC →，则λ＋μ的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．35．(2013·佛山调研)已知e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，则a 与b 共线的条件是( )A ．λ＝0B ．e 2＝0C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2或λ＝0二、填空题6．如图4－1－2所示，向量a －b ＝________(用e 1，e 2表示)．图4－1－27．(2013·揭阳模拟)已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA→＋OB →＋OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于________．8．已知向量a ，b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是________(将正确的序号填在横线上)．①2a －3b ＝4e ，且a ＋2b ＝－3e ；②存在相异实数λ、μ，使λa ＋μb ＝0；③xa ＋yb ＝0(实数x ，y 满足x ＋y ＝0)；④若四边形ABCD 是梯形，则AB→与CD →共线． 三、解答题图4－1－39．(2013·清远调研)如图4－1－3所示，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，求实数m 的值． 10．设a ，b 是不共线的两个非零向量．(1)若OA→＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A 、B 、C 三点共线． (2)若AB→＝a ＋b ，BC →＝2a －3b ，CD →＝2a －kb ，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值． 11．设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB→|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)．求点P 的轨迹，并判断点P 的轨迹通过下述哪一个定点： ①△ABC 的外心；②△ABC 的内心；③△ABC 的重心；④△ABC 的垂心．解析及答案一、选择题1．【解析】 若a ＋b ＋c ＝0，则b ＝－(a ＋c )，∴b ∥(a ＋c )；若b ∥(a ＋c )，则b ＝λ(a ＋c )，当λ≠－1时，a ＋b ＋c ≠0，因此“a ＋b ＋c ＝0”是“b ∥(a ＋c )”的充分不必要条件．【答案】 A2．【解析】 由BC→＋BA →＝2BP →知，点P 是线段AC 的中点， 则PC →＋P A →＝0.【答案】 B3．【解析】 ①假命题．∵当b ＝0时，|a |－|b |＝|a |＋|b |.∴该命题不成立．②真命题，这是因为(a －b )＋(b －a )＝0，∴a －b 与b －a 是相反向量．③真命题．∵AB→＋BC →－AC →＝AC →－AC →＝0. ④假命题．∵AB→＋BC →＝AC →，CD →＋DA →＝CA →， ∴(AB→＋BC →)－(CD →＋DA →)＝AC →－CA →＝AC →＋AC →≠0， ∴该命题不成立．【答案】 D4．【解析】 因为A 、B 、C 三点共线，所以AB→＝kAC →， ∴OB→－OA →＝k (OC →－OA →)，所以OB →＝OA →＋kOC →－kOA →， ∴OB→＝(1－k )OA →＋kOC →，又因为OB →＝λOA →＋μOC →，所以λ＝1－k ，μ＝k ，所以λ＋μ＝1. 【答案】 B5．【解析】 若e 1与e 2共线，则e 2＝λ′e 1，∴a ＝(1＋λλ′)e 1，此时a ∥b ，若e 1与e 2不共线，设a ＝μb ，则e 1＋λe 2＝μ·2e 1，∴λ＝0，1－2μ＝0.【答案】 D二、填空题6．【解析】 由图知，a －b ＝BA →＝e 1＋(－3e 2)＝e 1－3e 2. 【答案】 e 1－3e 27．【解析】 由OA→＋OB →＋OC →＝0，知点O 为△ABC 重心，又O 为△ABC 外接圆的圆心，∴△ABC 为等边三角形，A ＝60°.【答案】 60°8．【解析】 由①得10a －b ＝0，故①对．②对．对于③当x ＝y ＝0时，a 与b 不一定共线，故③不对．若AB ∥CD ，则AB→与CD →共线，若AD ∥BC ，则AB →与CD →不共线，故④不对． 【答案】 ①②三、解答题9．【解】 如题图所示，AP→＝AB →＋BP →， ∵P 为BN 上一点，则BP→＝kBN →， ∴AP→＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →)， 又AN →＝13NC →，即AN →＝14AC →， 因此AP →＝(1－k )AB →＋k 4AC →， 所以1－k ＝m ，且k 4＝211，解得k ＝811.则m ＝1－k ＝311.10．【解】 (1)证明 AB →＝OB →－OA →＝a ＋2b ，AC→＝OC →－OA →＝－a －2b . 所以AC→＝－AB →，又因为A 为公共点， 所以A 、B 、C 三点共线．(2)AC→＝AB →＋BC →＝(a ＋b )＋(2a －3b )＝3a －2b ， 因为A 、C 、D 三点共线，所以AC→与CD →共线． 从而存在实数λ使AC →＝λCD →，即3a －2b ＝λ(2a －kb )，解得λ＝32，k ＝43，所以k ＝43.11．【解】 如图，记AM →＝AB →|AB →|，AN →＝AC →|AC→|，则AM →，AN →都是单位向量， ∴|AM→|＝|AN →|，AQ →＝AM →＋AN →，则四边形AMQN 是菱形，∴AQ 平分∠BAC . ∵OP →＝OA →＋AP →，由条件知OP →＝OA →＋λAQ →， ∴AP →＝λAQ →(λ∈[0，＋∞))，∴点P 的轨迹是射线AQ ，且AQ 通过△ABC 的内心．。
平面向量基本定理基础训练题(含详解)
平面向量基本定理基础训练题（含详解)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在ABC 中，E 是AC 的中点，3BC BF =，若AB a =，AC b =，则EF =（ ）A ．2136a b - B ．1133a b +C ．1124a b D ．1133a b -2．如图，已知AB a =，AC b =，3BD DC =，用a 、b 表示AD ，则AD 等于（ ）A ．34a b + B ．3144a b + C ．1144a b +D ．1344a b +3．已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足0OA OB OC ++=，则下列结论正确的是( ) A ．1233OA AB BC =+ B ．2133OA AB BC =+ C ．1233OA AB BC =- D ．2133OA AB BC =-- 4．在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则31m n+的最小值是 A ．9 B ．10 C ．11D ．125．在等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，2AB DC =，E 为BC 的中点，则（ ）A ．3142AE AB AD →→→=+B ．3122AE AB AD →→→=+C ．1142AE AB AD →→→=+D ．3144AE AB AD →→→=+6．在平行四边形ABCD 中，若4CE ED =，则BE =（ ）A ．45AB AD -+ B ．45AB AD - C ．45AB AD -+D ．34AB AD -+二、填空题7．在正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM AN λμ=+，则实数λμ+=_______.8．已知ABC ，若点D 满足34AB ACAD +=，且()BD CD λλ=∈R ，则λ=________．参考答案1．A 【解析】 【分析】根据向量的运算法则计算得到答案. 【详解】1223EF EC CF AC CB =+=+()12212336AC AB AC AB AC =+-=-2136a b =-. 故选：A . 【点睛】本题考查了向量的基本定理，意在考查学生的计算能力和转化能力. 2．D 【解析】分析：用向量的加法法则表示出AD ，再由数乘与减法运算可得． 详解：由题意34AD AB BD a BC =+=+3()4a AC AB =+-3()4a b a =+-1344a b =+， 故选D ．点睛：本题考查平面向量基本定理，考查平面向量的线性运算，解题时抓住向量线性运算的运算法则（加法、减法、数乘等）就可以把任一向量用基底表示出来． 3．D 【解析】 【分析】由0OA OB OC ++=可知，所以O 为ABC ∆的重心，运用向量的加法运算，21()32OA AB AC →→→=-⨯+,整理后可求结果.【详解】因为0OA OB OC ++=，所以O 为ABC ∆的重心，所以211121()()()323333OA AB AC AB AC AB AB BC AB BC →→→→→→→→→→=-⨯+=-+=-++=--.故选:D. 【点睛】本题考查了向量加法的运算,考查了向量的线性表示,考查了平面向量的基本定理,属于基础题. 4．D 【解析】 【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件首先确定,m n 的关系，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可知：3AP mAB nAC mAB nAE =+=+，,,A B E 三点共线，则：31m n +=，据此有：()3131936612n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当11,26m n ==时等号成立. 综上可得：31m n+的最小值是12.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5．A 【解析】 【分析】根据题意，选基底AB →，AD →表示向量AE →即可求解. 【详解】由等腰梯形ABCD 中，2AB DC =，E 为BC 的中点可知，AE AB BE →→→=+,①12AE AD DC CE AD AB CE→→→→→→→=++=++②①+②得：322AE AD AB →→→=+,即3142AE AB AD →→→=+，故选：A 【点睛】本题主要考查了向量的加法，向量的基底，属于容易题. 6．A 【解析】 【分析】由4,CE ED =得45CE CD =，在BEC △中，利用向量加法可得. 【详解】44,,5CE ED CE CD =∴=4455BE BC CE AD CD AB AD ∴=+=+=-+故选：A. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算. 用已知向量表示某一向量的两个关键点:(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． 7．43【解析】 【分析】由题意结合平面向量线性运算法则可得22AC AB AB A A D D μλλμ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝+⎭⎝⎭，由平面向量基本定理可得1212μλλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即可得解.【详解】由题意画出图形，如图所示：由题意可得()()AC AB BM A AM AN D DN λμλμ=++++=11112222AB BC AD DC AB AD AB AD λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22AB AD μλλμ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又AC AB AD =+，所以1212μλλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，从而3()22λμ+=，即43λμ+=. 故答案为：43.【点睛】本题考查了平面向量线性运算法则、平面向量基本定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 8．13-【解析】【分析】根据题意，利用平面向量的基本定理，化简即可得到结论. 【详解】由34AB ACAD+=，可得43AD AB AC=+，所以，33AD AD AB AC+=+，即()3AD AB AC AD-=-，所以，3BD DC=，故13BD CD=-．故答案为：1 3 -.【点睛】本题考查平面向量的基本定理，属于基础题．。
高中数学必修二6.1《平面向量的概念》高频考点练习题目含答案解析
第六章平面向量及其应用6.1 平面向量的概念课后篇巩固提升必备知识基础练1.有下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中,不是向量的个数是( )A.1B.2C.3D.4,又有方向,所以它们是向量;而质量、路程和功只有大小,没有方向,所以它们不是向量,故不是向量的个数是3.2.在同一平面上,把向量所在直线平行于某一直线的一切向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是( ) A.一条线段 B.一条直线C.圆上一群孤立的点D.一个半径为1的圆,而向量所在直线平行于同一直线,所以随着向量模的变化,向量的终点构成的是一条直线.3.如图所示,在正三角形ABC 中,P ,Q ,R 分别是AB ,BC ,AC 的中点,则与向量PQ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( )A.PR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QR ⃗⃗⃗⃗⃗B.AR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与RC⃗⃗⃗⃗⃗ C.RA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CR ⃗⃗⃗⃗⃗ D.PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QR ⃗⃗⃗⃗⃗,方向相同,因此AR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与RC ⃗⃗⃗⃗⃗ 都是和PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量. 4.若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |且BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 的形状为 ( )A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 知,AB=CD 且AB ∥CD ,即四边形ABCD 为平行四边形.又因为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以四边形ABCD 为菱形.5.(多选题)(2021福建福清期中)下列说法正确的是( )A.若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |且BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 是菱形B.在平行四边形ABCD 中,一定有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗C.若a =b ,b =c ,则a =cD.若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥cA,由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,知AB=CD 且AB ∥CD ,即四边形ABCD 为平行四边形,又因为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以四边形ABCD 为菱形,故A 正确;对于B,在平行四边形ABCD 中,对边平行且相等,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向相同,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故B 正确;对于C,由向量相等的定义知,当a =b ,b =c 时,有a =c ,故C 正确;对于D,当b =0时不成立,故D 错误.故选ABC .6.(多选题)设点O 是正方形ABCD 的中心,则下列结论正确的是( ) A.AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线 D.AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =BO⃗⃗⃗⃗⃗图,∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同,长度相等,∴选项A 正确; ∵BO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向相反, ∴BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,选项B 正确; ∵AB ∥CD ,∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线, ∴选项C 正确; ∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BO ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向不同,∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠BO⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴选项D 错误. 7.如图,四边形ABCD ,CEFG ,CGHD 都是全等的菱形,HE 与CG 相交于点M ,则下列关系不一定成立的是( )A.|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |B.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与FH ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线C.BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线D.DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与EC⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,直线BD 与EH 不一定平行,因此BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不一定与EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,C 项错误. 8.如图所示,4×3的矩形(每个小方格的边长均为1),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,试问: (1)与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量共有几个? (2)与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且模为√2的向量共有几个? (3)与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同且模为3√2的向量共有几个?与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量共有5个(不包括AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 本身). (2)与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且模为√2的向量共有24个. (3)与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同且模为3√2的向量共有2个. 关键能力提升练9.已知a 为单位向量,下列说法正确的是( ) A.a 的长度为一个单位长度 B.a 与0不平行C.与a 共线的单位向量只有一个(不包括a 本身)D.a 与0不是平行向量已知a 为单位向量,∴a 的长度为一个单位长度,故A 正确;a 与0平行,故B 错误;与a 共线的单位向量有无数个,故C 错误;零向量与任何向量都是平行向量,故D 错误. 10.(多选题)如图,在菱形ABCD 中,∠DAB=120°,则以下说法正确的是( )A.与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量只有一个(不包括AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 本身) B.与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的模相等的向量有9个(不包括AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 本身) C.BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模为DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 模的√3倍 D.CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线项,由相等向量的定义知,与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量只有DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故A 正确;B 项,因为AB=BC=CD=DA=AC ,所以与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模相等的向量除AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 外有9个,故B 正确;C 项,在Rt △ADO 中,∠DAO=60°,则DO=√32DA ,所以BD=√3DA ,故C 正确;D 项,因为四边形ABCD 是菱形,所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,故D 错误.11.给出下列四个条件:①a =b ;②|a |=|b |;③a 与b 方向相反;④|a |=0或|b |=0.其中能使a ∥b 成立的条件是 .(填序号)a =b ,则a 与b 大小相等且方向相同,所以a ∥b ;若|a |=|b |,则a 与b 的大小相等,而方向不确定,因此不一定有a ∥b ;方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若a 与b 方向相反,则有a ∥b ;零向量与任意向量平行,所以若|a |=0或|b |=0,则a ∥b .12.如图,四边形ABCD 和ABDE 都是边长为1的菱形,已知下列说法: ①AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 都是单位向量; ②AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ; ③与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量有3个(不包括AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 本身); ④与AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量有3个(不包括AE⃗⃗⃗⃗⃗ 本身); ⑤与向量DC⃗⃗⃗⃗⃗ 大小相等、方向相反的向量为DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ . 其中正确的是 .(填序号)由两菱形的边长都为1,故①正确;②正确;③与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故③错误;④与AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量是EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故④正确;⑤正确.13.已知在四边形ABCD 中,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,tan D=√3,判断四边形ABCD 的形状.在四边形ABCD 中,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB DC ,∴四边形ABCD 是平行四边形. ∵tan D=√3,∴∠B=∠D=60°.又|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴△ABC 是等边三角形. ∴AB=BC ,故四边形ABCD 是菱形.学科素养创新练14.如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成,方格纸中有两个定点A ,B ,点C 为小正方形的顶点,且|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5.(1)画出所有的向量AC⃗⃗⃗⃗⃗ ;⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值与最小值.(2)求|BC⃗⃗⃗⃗⃗ 如图所示.(2)由(1)所画的图知,⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值√12+22=√5;①当点C位于点C1或C2时,|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最大值√42+52=√41.②当点C位于点C5或C6时,|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为√41,最小值为√5.∴|BC。
平行向量基本定理题型练习-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
第六章 6.3.1 平行向量基本定理【基础篇】题型1 平面向量基本定理的理解1．已知{e 1，e 2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能．．作为基底的一组是( )A ．2e 1－e 2和2e 2－4e 1B ．e 1＋e 2和e 1－2e 2C ．e 1－2e 2和e 1D ．e 1＋e 2和2e 2＋e 12．(多选)如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列叙述中正确的有( ) A ．λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内的任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数λ，μ有无数多对C ．若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)D ．若存在实数λ，μ使λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝03．如图所示，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅰ，Ⅰ，Ⅰ(不包括边界)．若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅰ部分，则实数a ，b 满足( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0题型2 向量相等4． 如图所示，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点．若DE →＝λ2AB →＋2μAD→(λ，μ∈R )，则λ＋μ等于( )A ．1B ．－1C .14D .185．设E 为△ABC 的边AC 的中点，BE →＝mAB →＋nAC →，则m ＋n ＝________.题型3 平面向量的分解6．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，设AB →＝a ，AF →＝b ，则AC →＝( )A ．a ＋2bB ．2a ＋3bC ．2a ＋bD .32a ＋b7．如图，在△ABC 中，点D 是线段AB 上靠近A 的三等分点，点E 是线段CD 的中点，则( )A .AE →＝16AB →＋12AC →B.AE →＝13AB →＋12AC →C.AE →＝16AB →－12AC →D.AE →＝13AB →－12AC →8．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，用向量a 和b 表示c ，则c ＝________．9．在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，DC 边的中点，BE ，BF 分别与AC 交于R ，T 两点，ET →＝xAB →＋yAD →(x ，y ∈R )，则x ＋y ＝( ) A .16B .13C .23D .56【提升篇】1．如果{a ，b }是一个基底，那么下列不能作为基底的是( ) A ．a ＋b 与a －bB ．a ＋2b 与2a ＋bC ．a ＋b 与－a －bD ．a 与－b2．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB .若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →＝( ) A .13a ＋23b B .23a ＋13b C .35a ＋45bD .45a ＋35b3．(多选)[浙江宁波九校2022高一期末]在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC 与BD 交于M .设AB →＝a ，AD →＝b ，则下列结论正确的有( ) A .AC →＝12a ＋bB .BC →＝－12a ＋bC .BM →＝－13a ＋23bD .EF →＝－14a ＋b4．如图，在△ABC 中，D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BC →＝3BD →，EC →＝λAE →，F 是AD ，BE 的交点．若AF →＝35AD →，则λ＝( )A ．2B ．3C ．6D ．75．某中学八角形校徽由两个正方形叠加组合而成，体现“方方正正做人”之意，又体现南开人“面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神．如图的多边形，由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转45°后的正方形组合而成．已知向量n ，k ，则向量a ＝( )A ．3k ＋2nB ．3k ＋(2＋2)nC ．(2＋2)k ＋(2＋2)nD ．(2＋2)k ＋(1＋2)n6．(多选)[湖北孝感2022高一期末]已知△ABC 中，O 是BC 边上靠近B 的三等分点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N .设AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，其中m >0，n >0，则下列结论正确的是( ) A .AO →＝23AB →＋13AC →B.AO →＝13AB →＋23AC →C ．2m ＋n ＝3D ．m ＋2n ＝37．在等腰梯形ABCD 中，DC →＝2AB →，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，记DA →＝a ，DC →＝b .若用a ，b 表示DF →，则DF →＝________.8．在△ABC 中，AD →＝12AB →，BE →＝23BC →.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________.9．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．10．如图，在正△ABC 中，点G 为边BC 的中点，边AB ，AC 上的动点D ，E 分别满足AD →＝λAB →，AE →＝(1－2λ)AC →，λ∈R .设DE 的中点为F ，记|FG →||BC →|＝R(λ)，则R(λ)的取值范围为________．11．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，F ，G 分别是AD ，BC 的四等分点⎝⎛⎭⎫AF ＝14AD ，BG ＝14BC .设AB →＝a ，AD →＝b . (1)用a ，b 表示EF →，EG →.(2)如果|b |＝2|a |，EF ，EG 有什么位置关系？用向量的方法证明你的结论．12．如图所示，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M .过点M 的直线l与OA ，OB 分别交于点E ，F . (1)试用OA →，OB →表示向量OM →；(2)设OE →＝λOA →，OF →＝μOB →，求证：1λ＋3μ是定值．13．如图，在直角梯形OABC 中，OA ∥CB ，OA ⊥OC ，OA ＝2BC ＝2OC ，M 为AB 上靠近B的三等分点，OM 交AC 于点D ，P 为线段BC 上的动点． (1)用OA →和OC →表示OM →； (2)求OD DM；(3)设OB →＝λCA →＋μOP →，求λμ的取值范围．答案及解析【详解】对于A 选项，因为2e 2－4e 1＝－2(2e 1－e 2)，所以2e 1－e 2和2e 2－4e 1共线，A 选项不满足条件；对于B 选项，设e 1＋e 2＝λ(e 1－2e 2)＝λe 1－2λe 2，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，－2λ＝1，无解，故e 1＋e 2和e 1－2e 2不共线，B 选项能作为基底；同理可知e 1－2e 2和e 1不共线，e 1＋e 2和2e 2＋e 1也不共线，C ，D 选项均能作为基底．故选A.2．【答案】AD【详解】由平面向量基本定理可知，A ，D 正确．对于B ，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于C ，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，λ有无数个．故选AD.3．【答案】B【详解】取第Ⅰ部分内一点画图易得a >0，b <0.4．【答案】D【详解】因为E 为AO 的中点，所以AE →＝14AC →＝14(AB →＋AD →)，所以DE →＝AE →－AD →＝14(AB →＋AD →)－AD →＝14AB →－34AD →.又因为DE →＝λ2AB →＋2μAD →，所以⎩⎨⎧λ2＝14，2μ＝－34，解得⎩⎨⎧λ＝12，μ＝－38，所以λ＋μ＝18，故选D.5．【答案】－12【详解】因为BE →＝BA →＋AE →＝－AB →＋12AC →＝mAB →＋nAC →，所以m ＝－1，n ＝12，所以m ＋n ＝－12.6．【答案】C【详解】在正六边形ABCDEF 中，连接FC ，则FC ∥AB ，FC ＝2AB ，所以AC →＝AF →＋FC →＝AF →＋2AB →＝2a ＋b .故选C.【详解】由题图知AE →＝12AD →＋12AC →＝16AB →＋12AC →.故选A.8．【答案】a －2b【详解】因为a ，b 不共线，设c ＝xa ＋yb (x ，y ∈R)，则xa ＋yb ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2)＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2.又因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，所以c ＝a －2b .9．【答案】D 【详解】如图所示，设CT →＝μCA →＝2μCF →＋μCB →(μ∈R)．因为F ，T ，B 共线，所以3μ＝1，解得μ＝13.所以AT →＝23AC →，所以ET →＝AT →－AE →＝23AC →－AE →＝23AB →＋16AD →.又ET →＝xAB →＋yAD →，所以x ＝23，y ＝16，所以x ＋y ＝56.故选D.【详解】由题意知，a 与b 不共线，根据平行四边形法则，可知A ，B ，D 选项中的两个向量都可以作为基底，而a ＋b 与－a －b 共线，不能作为基底．2．【答案】B【详解】∵CD 平分∠ACB ，∴|CA →||CB →|＝|AD →||DB →|＝2.∴AD →＝2DB →＝23AB →＝23(CB →－CA →)＝23(a －b )．∴CD→＝CA →＋AD →＝b ＋23(a －b )＝23a ＋13b .3．【答案】ABD【详解】由题意得，AC →＝AD →＋DC →＝b ＋12a ，故A 正确；BC →＝BA →＋AC →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a ，故B 正确；由△CMD ∽△AMB ，且CD ＝12AB 得AM →＝23AC →，则BM →＝BA →＋AM →＝－a ＋23AC →＝－a ＋23b ＋13a ＝23b －23a ，故C 错误；EF →＝EA →＋AD →＋DF →＝－12a ＋b ＋14a ＝b －14a ，故D 正确．故选ABD.4．【答案】A【详解】由题意得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →.因为B ，E ，F 三点共线，所以AF →＝kAB →＋(1－k )AE →＝kAB →＋1－k λ＋1AC →.因为AF →＝35AD →，所以kAB →＋1－k λ＋1AC →＝35⎝⎛⎭⎫23AB →＋13AC →，则⎩⎨⎧k ＝25，1－k λ＋1＝15.解得λ＝2，故选A.5．【答案】D【详解】根据题意可得|n |＝|k |，已知该图形是由以正方形中心为中心逆时针旋转45°后的正方形与原正方形组合而成，如图，由对称性可得|AB |＝|BC |＝|CD |＝|DE |＝|EQ |＝|QF |，|CE |＝|EF |＝|FG |＝2|AB |＝2|n |. 由图可知点B ，C ，E ，Q 共线，点Q ，F ，G 共线，所以BQ →＝BC →＋CE →＋EQ →＝(2＋2)k ， QG →＝QF →＋FG →＝(1＋2)n ，所以a ＝BG →＝BQ →＋QG →＝(2＋2)k ＋(1＋2)n .故选D.6．【答案】AC【详解】AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →，A 正确，B 错误．因为AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，所以AO →＝23AB →＋13AC →＝2m 3AM →＋n 3AN →.又因为M ，O ，N 三点共线，所以2m 3＋n3＝1，故2m ＋n ＝3，C 正确，D 错误．故选AC.7．【答案】14a ＋38b【详解】DE →＝12DB →＋12DC →＝12(DA →＋AB →)＋12DC →＝34DC →＋12DA →，∴DF →＝12DE →＝38DC →＋14DA →，即DF →＝14a ＋38b .8．【答案】12【详解】DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，又DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，所以λ1＋λ2＝12.9．【答案】78【详解】∵E ，F 是AD 的两个三等分点，D 是BC 的中点，∴BF →＝BD →＋DF →，CF →＝CD →＋DF →＝DF →－BD →，BA →＝BD →＋DA →＝BD →＋3DF →，CA →＝CD →＋DA →＝3DF →－BD →.∴BA →·CA →＝9|DF →|2－|BD →|2＝4， BF →·CF →＝|DF →|2－|BD →|2＝－1， 解得|DF →|2＝58，|BD →|2＝138.又∵BE →＝BD →＋DE →＝BD →＋2DF →，CE →＝CD ＋DE →＝2DF →－BD →，∴BE →·CE →＝4|DF →|2－|BD →|2＝208－138＝78.10．【答案】⎣⎡⎦⎤12，74 【解析】设正△ABC 的边长为2，则AB →·AC →＝2×2×cos π3＝2，|BC →|＝2. FG →＝AG →－AF →＝12(AB →＋AC →)－12(AD →＋AE →)＝12(1－λ)AB →＋λAC →，所以|FG →|＝ （1－λ）2＋4λ2＋2λ（1－λ）＝3λ2＋1.又0≤1－2λ≤1，0≤λ≤1，所以0≤λ≤12，因此|FG →|＝3λ2＋1∈⎣⎡⎦⎤1，72，R(λ)＝3λ2＋12∈⎣⎡⎦⎤12，74.11．【答案】(1)由已知，得AE →＝EB →＝12a ，AF →＝BG →＝14b ， 所以EF →＝EA →＋AF →＝14b －12a ， EG →＝EB →＋BG →＝14b ＋12a . (2)EF 与EG 互相垂直．证明如下：EF →·EG →＝⎝⎛⎭⎫14b ＋12a ·(14b －12a )＝116b 2－14a 2， 因为|b |＝2|a |，所以EF →·EG →＝0，即EF ⊥EG ，所以EF 与EG 互相垂直．12．【答案】(1)【解】由A ，M ，D 三点共线可得存在实数m ，使得OM →＝mOA →＋(1－m )OD →，又OD →＝12OB →，故OM →＝mOA →＋1－m 2OB →. 由C ，M ，B 三点共线可得存在实数n ，使得OM →＝nOC →＋(1－n )OB →，又OC →＝14OA →，故OM →＝n 4OA →＋(1－n )OB →. 由题意知OA →，OB →不共线，则⎩⎨⎧m ＝14n ，1－m 2＝1－n ，解得⎩⎨⎧m ＝17，n ＝47，故OM →＝17OA →＋37OB →. (2)【证明】由E ，M ，F 三点共线，可设OM →＝kOE →＋(1－k )OF →(k ∈R)，由OE →＝λOA →，OF →＝μOB →，得OM →＝kλOA →＋(1－k )μOB →.由(1)知OM →＝17OA →＋37OB →， 则⎩⎨⎧kλ＝17，（1－k ）μ＝37，即⎩⎨⎧λ＝17k ，3μ＝7－7k ，所以1λ＋3μ＝7，故1λ＋3μ是定值． 13．【答案】(1)依题意CB →＝12OA →，AM →＝23AB →， ∴AM →＝23(OB →－OA →)＝23(OC →＋CB →)－23OA →＝23OC →－13OA →， ∴OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋⎝⎛⎭⎫23OC →－13OA →＝23OA →＋23OC →.(2)设OD →＝tOM →(t ∈R)．由(1)可知OD →＝23tOA →＋23tOC →. 又A ，C ，D 三点共线，∴23t ＋23t ＝1，解得t ＝34，故OD DM ＝3. (3)由题意得OB →＝OC →＋CB →＝OC →＋12OA →， 已知P 是线段BC 上的动点，设CP →＝xOA →⎝⎛⎭⎫0≤x ≤12. ∵OB →＝λCA →＋μOP →＝λ(OA →－OC →)＋μ(OC →＋CP →)＝(λ＋μx )OA →＋(μ－λ)OC →，又OC →，OA →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧μ－λ＝1，λ＋μx ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ－1，μ＝32＋2x. 又0≤x ≤12，∴1≤x ＋1≤32，∴1≤μ≤32. 可知λμ＝μ(μ－1)＝⎝⎛⎭⎫μ－122－14在区间⎣⎡⎦⎤1，32上单调递增， 当μ＝1时，(λμ)min ＝0，当μ＝32时，(λμ)max ＝34， 故λμ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，34.。
平面向量最全面基础题(含详解答案)
平面向量最全面基础题一、填空题1．下列命题中正确的有________.(填序号)①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若 =a b r r ，则a b =r r ；③若AB DC =u u u r u u u r ，则,,,A B C D 四点构成平行四边形；④在▱ABCD 中，一定有AB DC =u u u r u u u r ；⑤若a b =r r ，b c =r r ，则a c =r r； ⑥若//a b r r ，//b c r r ，则//a c r r ；2．已知点A(1,3)，B(4,−1)，则与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同的单位向量的坐标为____________. 3．在等边三角形ABC 中，2AB =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则CE AF ⋅=u u u r u u u r __________．4．已知矩形ABCD 的边长为2AB =，3BC =，E 为BC 边上靠近点B 的三等分点，则AE AC →→⋅=__________．5．如图，在平行四边形ABCD 中，AO a →→=，DO b →→=，用向量,a b →→表示向量CB →=______.6．已知|a r |＝3，|b r |＝4，求|a b -r r |的取值范围_____．7．设向量,a b v v 不平行,向量2a b λ-r r 与2a b +rr 平行,则实数λ=___________. 8．已知向量(),12OA k =u u u v ，()4,5OB =u u u v ，(),10OC k =-u u u v ，且A 、B 、C 三点共线，则k =_______9．已知向量()2,6a =-v ，()3,b m =v ，若a b a b +=-v v v v，则m =______. 10．如图，在ABC ∆中，13AD AB =u u u r u u u r ，点E 为CD 的中点.设CA a =u u r r ，CB b =u u u r r ，则AE =u u u r ______（用a r ，b r 表示）.11．如图所示，直角坐标系中网格小正方形的边长为1，若向量a r 、b r 、c r 满足(2)0a tb c +⋅=r r r ，则实数t 的值为_______．12．已知向量a r 与b r 的夹角为60︒，2a =r ，3b =r ，则32a b -=r r __________.13．已知(2,1)a =r ，(3,4)b =r ，则a r 在b r 的方向上的投影为________．14．已知5,3a b ==r r ，且12a b ⋅=-r r ，则向量a r 在向量b r 上的投影等于______二、解答题15．已知向量()2,0a =r ，()1,4b =r .（1）若向量ka b +r r 与2a b +r r 垂直，求k 的值；（2）若向量ka b +r r 与2a b +r r 的夹角为锐角，求k 的取值范围； （3）求a b +r r 和2a b -r r夹角的余弦值. 16．已知向量()3,2a =v ，(1,3)b =v －，()5,2c =v ．(1)求62a b c v v v ＋－；(2)求满足a mb nc v v v＝＋的实数m ，n ； (3)若()//(2)a kc b a v v v v ＋－，求实数k .17．在平面直角坐标系中，已知向量2a =r ，3b =r ，且326a b -=r r .（1）求向量,a b r r 的夹角θ；（2）求()()22a b a b +⋅-r r r r 的值.。
平面向量基础题(含解析)
12
0
，解得
m
4
．
故选：C.
3．A
【分析】运用向量的共线定理求解.
【详解】解：因为 a / /b ，
所以
b
a
，
R
，
2 故 (2,m,n) (1,1,2) ，即 m ，
n 2
m 2
解得
n4
， mn 2 .
故选：A.
4．C
【分析】由已知先求出
b
，然后利用
cos
a, b
a b ab
）
A． 0,1,0
B．
0,
1 2
,
1 2
C．1
18．已知向量
a
1,
x
,
b
2,
y
，若
a
/
/b
，则（
）
D． 2 2
A．
x y
1 2
B．
x y
1 2
C． 2x y 0
D． 2x y 0
19．如图所示，在
ABC
中，
BD
6DC
，则
AD
（
）
A．
1 7
AB
6 7
AC
B．
6 7
AB
1 7
a
与
b
共线，则（
）
D． 3
A．
2
B．
2
C． 2
7．已知向量
a
3,1
，
b
3,
2
，
c
1,
4
，则
cos
a,
b
c
（
D． 2 ）
A． 5
B． 5
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1. 下列四个命题中，正确命题的个数是 个
① 共线向量是在同一条直线上的向量
② 若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点
③ 与已知非零向量共线的单位向量是唯一的
④ 若四边形ABCD 是平行四边形，则AB 与CD ，BC 与AD 分别共线.
2. 以下四个命题中不正确的是 .
(1). 若a 为任意非零向量，则a ∥0 (2). | a+b |=|a |+|b |
(3). a =b ，则|a |=|b |，反之不成立 (4). 任一非零向量的方向都是惟一的
3．已知4||,6||==AC AB ，则||BC 的取值范围为
4. 已知A 、B 、C 三点不共线，O 是△ABC 内的一点，若OA +OB +OC =0，则O 是△ABC 的
5. 若向量a ，b 满足关系a +b =b ,则a = ,|a +b | = 。
6. 化简：（1）（CD AB -）－(BD AC -)= .
7. 若|AB |=8，|AC |=5，则|BC |的取值范围是
8. 已知a 、b 是非零向量,则|a -b |=|a |+|b |时,应满足条件 .
9. （1）23(),++==0若则x x a x .
（2）若2()3(),+--==0则x a x b x .
10.已知AM 是△ABC 的BC 边上的中线，若AB =a ,AC =b ，则AM 等于 11.已知在平行四边形ABCD 中，AC =a ,BD =b ,则AB = .
12.△ABC 中, AE =
51AB ,EF ∥BC 交AC 于F 点，设AB =a ,AC =b ,则a ，b 表示向量BF 是 .
13.设两个非零向量1e 和2e 不共线，如果AB =21e +32e ，BC =61e +232e , CD =41e -82e ，求证：A 、B 、D 三点共线.
14.若向量a =(x-2,3)与向量b =(1,y+2)相等，则x= ，y=
15．已知｜a ｜=10, b =(3,-4),且a ∥b ,求a .
16． 已知a =(3,2), b =(-2,1), c =(7,-4),用a ，b 表示c .
17.已知a =(1,2), b =(x,1)，当a +2b 与2a -b 共线时，x 值为
18.若向量a =(1,2), b =(x ,1), u =a +2b ,v =2a -b ,且u ∥v ，则x = .
19．已知点(0,0),(1,2),(4,5)O A B 及OP OA t AB =+ ，试问：
（1）t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？
（2）四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由. 20．已知a 、b 、c 是三个非零向量，则下列命题中真命题是
(1)｜a ·b ｜＝｜a ｜·｜b ｜⇔a ∥b ；(2) a ，b 反向⇔a ·b =-｜a ｜·｜b ｜； (3) a ⊥b ⇔｜a +b ｜=｜a -b ｜；(4)｜a ｜＝｜b ｜⇔｜a ·b ｜＝｜b ·c ｜. 21.已知｜a ｜＝｜b ｜＝1，｜a +b ｜＝1，则｜a -b ｜=
22.已知｜a ｜=5,｜b ｜=4,且a 与b 的夹角为60°，问当且仅当k 为何值时，向量k a -b 与a +2b 垂直?
23. 已知a =(-3,-1), b =(1, 3)，那么a ，b 的夹角θ=
24.已知向量a =(3,-2), b =(m+1,1-m)，若a ⊥b ，则m 的值为
25.已知向量｜a ｜=5,且a =(3,x-1),x ∈N,与向量a 垂直的单位向量是 26．在△ABC 中,三边长AB =7，BC =5，AC =6，则AB ·BC =
27．已知向量a =)sin ,(cos θθ，向量b =)1,3(-，则|2a －b |的最大值是 28．向量a 、b 满足（a －b ）·（2a+b ）=－4，且|a |=2，|b |=4，则a 与b 夹角的余弦值等于 .
29．已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1,|b |=2,|c |=3,则(a +2b －c )２＝ .。