【100所名校】2019届湖北省仙桃中学高三8月考试数学试题(解析版)

好教育云平台 名校精编卷 第1页（共6页）好教育云平台 名校精编卷 第2页（共6页）2019届湖北省仙桃中学高三8月考试数学试题 数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题 1．“1a <-”是“直线30ax y +-=的倾斜角大于4π”的 A ． 充分而不必要条件 B ． 必要而不充分条件 C ． 充分必要条件 D ． 既不充分也不必要条件 2．已知集合A ={(x,y )|x,y 为实数，且x 2+y 2=1}，B ={(x ，y)|x ，y 为实数，且x +y =1}，则A ∩B 的元素个数为 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 3．设α、β为两个不同的平面，直线l ⊂α，则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的 A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充要条件 D ． 既不充分也不必要条件 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ． 43 B ． 52 C ． 73 D ． 53 5．已知三棱锥S −ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且AB =SA =SB =SC =2，则该三棱锥的外接球的体积为A ． 8√627πB ． 4√39πC ． 4√327πD ． 32√327π 6．已知A ，B 为抛物线y 2=4x 上异于原点的两个点，O 为坐标原点，直线AB 斜率为2，则ΔABO 重心的纵坐标为 A ． 2 B ． 43 C ． 23 D ． 1 7．抛物线24x y =的焦点坐标是 A ． ()0,2 B ． ()0,1 C ． ()2,0 D ． ()1,0 8．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 A ． 78 B ． 89 C ． 67 D ． 1 9．若不等式|a −2x |≤x +3对任意x ∈[0,2]恒成立，则实数a 的取值范围是 A ． (－1,3) B ． [－1,3] C ． (1.3) D ． [1,3] 10．函数y =log 2x +log x (2x )的值域是 A ． (－∞,－1] B ． [3,+∞) C ． [－1,3] D ． (－∞,－1]∪[3,+∞) 11．函数y =x +cosx 的大致图象是 A ． B ． C ． D ． 12．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()1f x f x +=-,且当[]0,1x ∈时, ()31x f x =-,则函数()()2log g x f x x =-的零点个数是 此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号好教育云平台 名校精编卷 第3页（共6页）好教育云平台 名校精编卷 第4页（共6页）A ． 2B ． 4C ． 6D ． 8二、填空题13．已知ab >0,2a +b =5，则2a+1+1b+1的最小值为__________．14．球的内接圆柱的底面积为4π，侧面积为12π，则该球的表面积为____15．若抛物线x 2=2py (p >0)在点（1,2）处的切线也与圆x 2+y 2−2x +2y +2−a =0相切，则实数a 的值为_____.16．()f x 是定义在R 上的周期为3奇函数，当01x <<时， ()4x f x =，则()762f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭__________．三、解答题17．已知命题p ：方程x 2m+6+y 2m−7=1表示双曲线，命题q ：∃x ∈R ，mx 2+2mx +2m −1≤0.（Ⅰ）若命题q 为真，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若p ∨q 为真，¬q 为真，求实数m 的取值范围.18．“共享单车”的出现，为我们提供了一种新型的交通方式.某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度，从交通拥堵不严重的A 城市和交通拥堵严重的B 城市分别随机调查了20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图：（1）根据茎叶图，比较两城市满意度评分的平均值的大小及方差的大小（不要求计算具体值，给出结论即可）；（2）若得分不低于80分，则认为该用户对此种交通方式“认可”，否则认为该用户对此种交通方式“不认同”，请根据此样本完成此列联表，并据此样本分析是否有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关；（3）若此样本中的A 城市和B 城市各抽取1人，则在此2人中恰有一人认可的条件下，此人来自B 城市的概率是多少？ A B 合计 认可 不认可 合计 附：K 2=n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ) P (K 2≥k 0) 0.050 0.010 0.001 k 0 3.841 6.635 10.828 19．如图，在四棱锥P ABCD -中， 90ABC ACD ∠=∠=， BAC ∠ 60CAD =∠=， PA ⊥平面ABCD ， 2,1PA AB ==.设,M N 分别为,PD AD 的中点. （1）求证：平面CMN ∥平面PAB ； （2）求三棱锥P ABM -的体积. 20．抛物线y 2=2px (p >0)上的点p 到点F (p 2,0)的距离与到直线x =0的距离之差为1，过点M (p,0)的直线l 交抛物线于A ，B 两点. （1）求抛物线的方程； （2）若∆ABO 的面积为4√3，求直线l 的方程. 21．已知函数f (x )=x 3+bx 2+2x −1,b ∈R ， （1）设g (x )=f (x )+1x 2，若函数g (x )在(0,+∞)上没有零点，求实数b 的取值范围； （2）若对∀x∈[1,2]，均∃t ∈[1,2]，使得et −lnt −4≤f (x )−2x ，求实数b 的取值范围. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =4cos φy =3sin φ (φ为参数)，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2cos θ. (1)分别写出曲线C 1的普通方程及曲线C 2的直角坐标方程； (2)若点M 为曲线C 1上的一动点，点N 为曲线C 2上的一动点，求|MN|的最小值.好教育云平台 名校精编卷 第5页（共6页） 好教育云平台 名校精编卷 第6页（共6页）23．已知函数f (x )=|x −a |−|2x −1|．(Ⅰ)当时a =2，求f (x )+3≥0的解集；(Ⅱ)当x ∈[1,3]时，f (x )≤3恒成立，求a 的取值范围好教育云平台 名校精编卷答案 第1页（共12页）好教育云平台 名校精编卷答案 第2页（共12页）2019届湖北省仙桃中学高三8月考试数学试题数学 答 案参考答案1．A 【解析】设直线30ax y +-=的倾斜角为θ，则tan a θ=-. 若1a <-，得1tan θ>，可知倾斜角θ大于4π； 由倾斜角θ大于4π得1a ->，或0a -<，即1a <-或0a >，所以“1a <-”是“直线30ax y +-=的倾斜角大于4π”的充分而不必要条件，故选A.2．C【解析】【分析】观察两集合发现，两集合表示两点集，要求两集合交集元素的个数即为求量函数图象交点的个数，所以联立两函数解析式，求出方程组的解，有几个解就有几个交点即为两集合交集的元素个数.【详解】联立两集合中的函数关系式得：{x 2+y 2=1x +y =1 ，解得{x =0y =1 或{x =1y =0 ，故A ={(0,1),(1,0)}，元素个数为2，故选C.【点睛】该题是一道关于集合运算和求集合中元素个数的题目，需要运用集合中元素的字母满足的方程组进行求解，也可以利用圆与直线的位置关系来求解.3．A【解析】由线面垂直的判定定理可知，l ⊂α时，l ⊥β能推出α⊥β，而α⊥β不能推出l ⊥β，故“l ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件，故选A.4．A【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是如下图所示的组合体，其体积，故选A.考点：1.三视图；2.多面体的体积. 5．D 【解析】 【分析】 根据三棱锥S −ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，SA =SB =SC ，可得S 在面ABC 上的射影为AB 中点H ，SH ⊥平面ABC ，在面SHC 内作SC 的垂直平分线MO 与SH 交于O ，则O 为SABC 的外接球球心，OS 为球半径，由此可得该三棱锥的外接球的体积. 【详解】 因为三棱锥S −ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，SA =SB =SC ， 所以S 在ABC 上的射影为AB 中点H ，所以SH ⊥平面ABC ， 所以SH 上任意一点到A,B,C 的距离相等， 因为SH =√3,CH =1，在面SHC 内作SC 的垂直平分线MO 与SH 交于O ， 则O 为S −ABC 的外接球球心， 所以SO 2=OC 2=(√3−SO)2+CH 2， 即R 2=(√3−R)2+1，解得R =√3， 所以该三棱锥的外接球的体积为V =43πR 3=43π3√3=32√3π27，故选D. 【点睛】好教育云平台 名校精编卷答案 第3页（共12页）好教育云平台 名校精编卷答案 第4页（共12页）该题考查的是有关球的体积的问题，涉及到的知识点是三棱锥的外接球，在解题的过程中，需要明确几何体的外接球的特征，注意思考球心所处的位置，建立相应的等量关系，求得半径，利用公式求得体积.6．C【解析】试题分析：设A(y 124,y 1),B(y 224,y 2)，则y 1−y 2y 124−y 224=2⇒y 1+y 2=2，因此ΔABO 重心的纵坐标为y 1+y 2+03=23，选C.考点：直线与抛物线位置关系7．B 【解析】242,2x y py p ==∴=，焦点坐标为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，即为()0,1，故选B.8．B【解析】由题意可知S =11×2+12×3+13×4+⋯+18×9=1−12+12−13+13−14+⋯+18−19=1−19=89.故选B.9．B【解析】【分析】由题意可得f(x)=|a −2x |的图象在x ∈[0,2]上恒位于直线y =x +3的下方或在直线y =x +3上，数形结合可得{a 2<0f(2)=|4−a |≤5 或{a 2≥0f(2)=|a −4|≤5f(0)=|a |≤3，分别求其解集，再取并集，即得所求.【详解】由不等式|a −2x |≤x +3对任意x ∈[0,2]时恒成立，可得f(x)=|a −2x |的图象在[0,2]上恒位于直线y =x +3的下方或在直线y =x +3上，如图所示：所以{a 2<0f(2)=|4−a |≤5 或{a 2≥0f(2)=|a −4|≤5f(0)=|a |≤3，解得−1≤a <0或0≤a ≤3，故实数a 的范围是[−1,3]，故选B.【点睛】 该题考查的是有关参数的取值范围，涉及到的知识点有绝对值不等式的解法，数形结合的思想以及分类讨论的思想，注意对问题的正确转化是解题的关键. 10．D 【解析】 【分析】 根据对数运算可以先将函数解析式化简为：y =log 2x +1log 2x +1的形式，再由基本不等式得出函数的值域. 【详解】 因为y =log 2x +log x (2x)=log 2x +log x 2+1=log 2x +1log 2x +1， 令t =log 2x ，因为x >0且x ≠1，所以t ≠0， 所以t +1t ≥2或t +1t ≤−2， 所以y =t +1t +1∈(−∞,−1]∪[3,+∞)，故选D. 【点睛】 该题考查的是有关对数型函数的值域问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有换元法，基本不等式，注意函数的定义域是解题的关键. 11．B 【解析】 由于f (x )=x +cosx,∴f (−x )=−x +cosx ，∴f (−x )≠f (x )，且f (−x )≠−f (x )， 故此函数是非奇非偶函数，排除A,C ；又当x =π2时，满足x +cosx =x ，即f (x )的图象与直线y =x 的交点中有一个点的横坐标为π2，排除D ， 故选B ． 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及x →0+,x →0−,x →+∞,x →−∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除 12．C 【解析】由题意()()()21f x f x f x +=-+=,所以()f x 周期为2, 当[]0,1x ∈时, ()31x f x =-,且偶函数()f x ,即函数图象关于y 轴对称, 分别画出y = ()f x 和y =2log x 的图象,观察可得交点个数为6个,好教育云平台 名校精编卷答案 第5页（共12页）好教育云平台 名校精编卷答案 第6页（共12页）即函数()()2g x f x log x =-的零点个数是6个,本题选择C 选项.点睛：函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．13．98【解析】2a+1+1b+1 =42a+2+1b+1=(42a+2+1b+1)(2a+2+b+1)8=18[5+4(b+1)2a+2+(2a+2)b+1]≥18[5+2√4(b+1)2a+2⋅(2a+2)b+1]=98 ，当且仅当4(b+1)2a+2=(2a+2)b+1,2a +b =5⇒{a =53b =53时取等号点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14．25π【解析】【分析】根据题的条件，求得内接圆柱的底面半径与圆柱的高，结合几何体的特征，求得球的半径，然后利用球的表面积公式求得结果.【详解】因为球的内接圆柱的底面积为4π，侧面积为12π，所以圆柱的底面半径为2，高为3，所以外接球的半径为R ，有4R 2=32+42，所以球的半径为R =52，所以球的表面积为S =4πR 2=25π，故答案是25π.【点睛】 该题考查的是有关球的表面积问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有球的内接圆柱的相关内容，会利用轴截面中相关的边长，找出其关系，求得球的半径，得到结果. 15．917 【解析】 【分析】 首先根据抛物线所过的一个点，求得抛物线的方程，从函数的角度去求其切线，对函数求导，代入求得直线的斜率，利用点斜式写出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求得参数的值，得到结果. 【详解】 ∵抛物线x 2=2py (p >0)过点（1,2）可得p =14 ∴抛物线可化为y =2x 2，从而由y ′=4x 知切线斜率为K =4， ∴切线方程为y −2=4(x −1)即4x −y −2=0 又∵圆的方程可化为(x −1)2+(y +1)2=a (a >0)且圆与抛物线也相切 ∴|4−(−1)−2|√17=√a, 解得a =917 【点睛】 该题考查的是有关曲线的切线问题，涉及到的知识点有抛物线的方程的求解，利用导数的几何意义求曲线的切线方程，圆与直线的位置关系，点到直线的距离公式，正确应用公式是解题的关键. 16．2- 【解析】∵()f x 是定义在R 上的周期为3奇函数，当01x <<时， ()4x f x =，∴7712222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()600f f ==，则()7622f f ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，故答案为2-. 17．(1) m ≤1;(2) 1<m <7. 【解析】试题分析：（Ⅰ）分类讨论及结合一元二次不等式的性质进行求解即可； （Ⅱ）若p ∨q 为真，¬q 为真，则p 为真命题，q 为假命题，建立不等式关系求解即可．试题解析： （Ⅰ）∵命题q 为真，当m>0时，Δ=(2m)2−4m(2m−1)≥0，∴0≤m≤1，故0<m≤1；当m=0时，−1≤0，符合题意；当m<0时，mx2+2mx+2m−1≤0恒成立.综上，m≤1.（Ⅱ）若p为真，则(m+7)(m−6)<0，即−7<m<6.∵若p∨q为真，¬q为真，∴p真q假，∴{m>1−6<m<7，解得1<m<7.18．⑴见解析；⑵见解析；⑶34【解析】【分析】（1）根据茎叶图，即可比较两城市满意度评分的平均值和方差；（2）求出k2，与临界值比较，即可得出结论；（3）利用列举法确定基本事件，即可求出来自不同城市的概率.【详解】（Ⅰ）A城市评分的平均值小于B城市评分的平均值；A城市评分的方差大于B城市评分的方差；（Ⅱ）A B合计认可 5 10 15 不认可15 10 25 合计20 20 40K2=40×(5×10−10×15)220×20×15×25≈2.667<3.841所以没有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关；（Ⅲ）设事件M：恰有一人认可；事件N：来自B城市的人认可；事件M包含的基本事件数为5×10+10×15=200，事件M∩N包含的基本事件数为10×15=150，则所求的条件概率P(N|M)=P(N∩M)P M=150200=34.【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有茎叶图的识别，独立性检验，随机事件发生的概率，在解题的过程中，熟练掌握基础知识是解题的关键.19．（1）证明见解析（2）三棱锥P ABM-的体积33V=【解析】试题分析：（1）由中位线定理可得MN∥PA⇒MN∥平面PAB. 再证得60ACN BAC CN∠=∠=∥ABCN∥平面PAB⇒平面CMN∥平面PAB；（2）由（1）知，平面CMN∥平面PAB⇒点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离⇒33M PAB C PAB P ABCV V V V---====.试题解析：（1）证明：∵,M N分别为,PD AD的中点，则MN∥PA. 又∵MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴MN∥平面PAB.在Rt ACD∆中，60,CAD CN AN∠==，∴60ACN∠=.又∵60BAC∠=，∴CN∥AB.∵CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CN∥平面PAB.又∵CN MN N⋂=，∴平面CMN∥平面PAB.（2）由（1）知，平面CMN∥平面PAB，∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离.由已知，1AB=，90ABC∠=，60BAC∠=，∴3BC=，∴三棱锥P ABM-的体积113132323M PAB C PAB P ABCV V V V---====⨯⨯⨯⨯=.20．⑴y2=4x；⑵y=x−2或y=−x−2；好教育云平台名校精编卷答案第7页（共12页）好教育云平台名校精编卷答案第8页（共12页）【解析】【分析】（1）根据题中的条件，列出相应的式子，求得对应的参数，求得抛物线的方程；（2）先分类讨论，分直线的斜率不存在与存在两种情况，设出直线的方程，利用题中所给的条件，建立相应的等量关系式，求得结果.【详解】（1）设P(x0,y0)，由定义知|PF|=x0+p2，∴(x0+p2)−x0=1，∴p=2，故抛物线方程为y2=4x；（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由（1）知M(2，0)若直线l的斜率不存在，则方程为x=2，此时|AB|=4√2，所以∆ABO的面积为4√2，不满足，所以直线l的斜率存在；设直线l的方程为y=k(x−2)，带入抛物线方程得：k2x2−4(k2+1)x+4k2=0∆=16(k2+1)2−16k2>0所以x1+x2=4+4k2，x1x2=4，所以|AB|=√1+k24√2k2+1k2，点O到直线l的距离为d=√1+k2，所以12√1+k24√2k2+1k22=4√3，解得：k=±1直线l的方程为y=x−2或y=−x−2.【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线的综合题，涉及到的知识点有抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，弦长公式，点到直线的距离，三角形的面积，正确应用公式是解题的关键.21．⑴(−2√2，+∞)；⑵[e−4，+∞)【解析】【分析】（1）求出g(x)的最小值，根据最小值大于0，求出b的取值范围即可；（2）问题转化为et−lnt≤x3+bx2+3，设ℎ(t)=et−lnt,t∈[1,2]，得到ℎ(t)≥e，问题转化为e≤x3+bx2+3对x∈[1,2]恒成立，根据函数的单调性求出b的取值范围即可.【详解】⑴∵g(x)=x+2x +b≥2√2+b(x>0)，∴g(x)min=2√2+b∴g(x)在(0，+∞)上没零点⟺g(x)min=2√2+b>0⟺b>−2√2∴b∈(−2√2，+∞)⑵∵et−lnt−4≤f(x)−2x⟺et−lnt≤x3+bx2+3设ℎ(t)=et−lnt，t∈[1，2]∵ℎ‘(t)=e−1t≥0对t∈[1，2]恒成立则ℎ(t)在t∈[1，2]上单调递增∴ℎ(t)≥ℎ(1)=e则e≤x3+bx2+3对x∈[1，2]恒成立∴b≥−(x+3−ex2)对x∈[1，2]恒成立设m(x)=−(x+3−ex2)，x∈[1，2]∵m′(x)=−1+6−2ex3≤5−2e<0，∴m(x)在x∈[1，2]递减∴m(x)≤M(1)=e−4∴b≥e−4,即b∈[e−4，+∞)【点睛】该题考查的是有关导数的应用的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的最值，利用导数研究恒成立问题求参数的范围，正确求导是解题的关键.22．⑴C1：x216+y29=1；C2：(x−1)2+y2=1；⑵3√427−1【解析】【分析】（1）利用同角三角函数平方关系进行消参，求得曲线C1的普通方程，根据极坐标和直角坐标互化公式求解，即可得到曲线C2的直角坐标方程；（2）利用已知，曲线C2是以A(1,0)为圆心，半径为1的圆，得到|MN|≥|MA|−1，借助于三角函数的取值情况进行求解即可.【详解】⑴由题意可知曲线C1的普通方程x216+y29=1曲线C2的直角坐标方程(x−1)2+y2=1⑵因为曲线C2是以A(1,0)为圆心，半径为1的圆，所以|MN|≥|MA|−1又|MA|=√2+(3sinφ)2=√7cos2φ−8cosφ+10=√7(cosφ−47)2+547≥3√427好教育云平台名校精编卷答案第9页（共12页）好教育云平台名校精编卷答案第10页（共12页）从而可知|MN|的最小值为3√427−1【点睛】该题考查的是有关参数方程与极坐标的问题，涉及到的知识点有参数方程向普通方程的转化，极坐标方程向直角坐标方程的转化，以及有关距离的最值的求解问题，正确应用相关的公式是解题的关键.23．⑴{x|−4≤x≤2}；⑵a∈[−3，5]【解析】【分析】（1）问题转化为解关于x的不等式组，求出不等式的解集即可；（2）根据x的范围，去掉绝对值符号，从而求出a的范围即可.【详解】⑴当a=2时，由f(x)≥−3，可得|x−2|−|2x−1|≥−3，①{x<122−x+2x−1≥−3或②{12≤x<22−x−2x+1≥−3或③{x≥2x−2−2x+1≥−3解①得：−4≤x<12解②得：12≤x<2解③得：x=2综上所述，不等式的解集为{x|−4≤x≤2}⑵若当x∈[1，3]时，f(x)≤3成立，即|x−a|≤3+|2x−1|=2x+2故−2x−2≤x−a≤2x+2即−3x−2≤−a≤x+2∴−2−2≤a≤3x+2对x∈[1，3]时成立故a∈[−3，5]【点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有绝对值不等式的解法，有关恒成立求参数的取值范围，在解题的过程中，注意等价转化是正确解题的关键.好教育云平台名校精编卷答案第11页（共12页）好教育云平台名校精编卷答案第12页（共12页）。