高一数学3月月考试题 理
甘肃省定西市临洮县临洮中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题(含答案解析)
甘肃省定西市临洮县临洮中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．23n k+ C ．()(2222n +++ 二、多选题9．ABC 的内角A 、B A ．710．对任意向量a 、bA ．2ω=B ．函数()f x 的单调增区间为C ．函数()f x 的图象关于7,012π⎛ ⎝D ．函数()f x 的图象可由2cos y =12．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，三、填空题四、解答题17．已知θ是第三象限角，(1)求sin 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)求3πcos 4θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．18．已知向量(2,2)a =-，(1)若||3a tb +=，求t 的值；(2)若a tb - 与c垂直，求t 19．如图，缉私艇在A 处通过卫星发现正东方相距船正以102nmile/h 的速度往它的东北方向的公海逃窜，此时距离公海（1）为了尽快将走私船截获，缉私艇应该往哪个方向进行追缉？（2）缉私艇能否在该走私船进入公海前将其截获？20．已知函数()3sin 2cos23f x x x =++．(1)求()f x 的单调递增区间及对称中心坐标；(2)将()y f x =的图象上的各点__________得到y =程()g x m =有解，求实数m 的取值范围．参考答案：8．D【分析】根据对称性可得线段的长度关系以及点共线，再由向量的加法法则可求解9．AB【分析】由正弦定理可得b 【详解】在△ABC 中，a =由正弦定理可得sin sin a b A =因为0sin 1B <≤，所以0<所以b 可以为7，8，故选：AB.10．ABC2。
2021-2022学年山东省东营市广饶县第一中学高一下学期3月月考(线上)数学试题(解析版)
2021-2022学年山东省东营市广饶县第一中学高一下学期3月月考（线上）数学试题一、单选题1．()sin 600-︒的值为（ ）A B ．C ．12D ．12-【答案】A【分析】根据任意角的周期性，结合诱导公式求()sin 600-︒的值.【详解】由题设，()sin 600sin(2360120)sin120-︒=-⨯︒-︒=︒=故选：A2．化简以下各式:①AB BC CA ++；②AB AC BD CD -+-；③OA OD AD -+；④NQ QP MN MP ++-，结果为零向量的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【分析】由向量的加法三角形法则和向量加法三角形法则可得. 【详解】0AB BC CA ++=；0AB AC BD CD CB BD DC -+-=++=； 0OA OD AD DA AD -+=+=；0NQ QP MN MP NQ QP PM MN ++-=+++=.故选：D3．已知1cos ,,0222ππαα⎛⎫⎛⎫+=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan α等于（ ）A．B C ．D 【答案】C【分析】利用诱导化简，再利用同角公式计算作答.【详解】由1cos 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭得：1sin 2α-=，即1sin 2α=-，因,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则cos α==所以sin tan cos ααα==故选：C4．已知在平行四边形ABCD 中，(2,6)AD =，(4,4)AB =-，对角线AC 与BD 相交于点,M BM =（ ）A ．(2,5)--B ．()3,1C ．(2,5)-D ．(1,5)-【答案】B【分析】根据向量减法的运算法则即可计算：()1122BM BD AD AB ==-. 【详解】()()113,122BM BD AD AB ==-=. 故选：B.5．已知1sin cos 5αα+=-，()0,απ∈，则tan α=（ ）A ．34B ．43C ．43-D ．34-【答案】D【分析】根据已知条件可得出关于sin α、cos α的方程组，解出sin α、cos α的值，可求得tan α的值.【详解】因为()0,απ∈，则sin 0α>，由已知可得221sin cos 5sin cos 1sin 0ααααα⎧+=-⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩，解得3sin 54cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 因此，sin 3tan cos 4ααα==-. 故选：D.6．二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示季节变迁的24个特定节令.现行的二十四节气是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的.每个节气对应地球在黄道上运动15︒所到达的一个位置.根据描述，从冬至到雨水对应地球在黄道上运动的弧度数为 （ ）A ．3π-B ．512π-C ．512π D ．3π 【答案】D【解析】根据条件，得到从夏至到立秋对应地球在黄道上运动的角度415⨯，即可求解. 【详解】根据题意，立秋时夏至后的第三个节气， 故从从夏至到立秋对应地球在黄道上运行了41560⨯=. 故选：D7．直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足2BP PC =，点M 、N 在过点P 的直线上，若AM mAB =，AN nAC =，()0,0m n >>，则下列结论错误的是（ ） A ．12m n+为常数 B ．m n +的最小值为169C ．2m n +的最小值为3D ．m 、n 的值可以为12m =，2n = 【答案】B【分析】作出图形，由2BP PC =可得出1233AP AB AC =+，根据三点共线的结论得出123m n+=，结合基本不等式可判断出各选项的正误，即可得出结论. 【详解】如下图所示：由2BP PC =，可得()2AP AB AC AP -=-， 1233AP AB AC ∴=+， 若AM mAB =，AN nAC =，()0,0m n >>， 则1AB AM m=，1AC AN n =，1233AP AM AN m n∴=+， M 、P 、N 三点共线，12133m n ∴+=，123m n∴+=， 故A 正确； 所以12m =，2n =时，也满足123m n +=，则D 选项正确；()122255223333333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当m n =时，等号成立，C 选项成立；()1221113333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当n时，即m =n =时等号成立，故B 选项错误. 故选：B8．P 是ABC 所在平面上一点，满足:2PA PB PC AB ++=，ABC 的面积是1S ，PAB △的面积是2S ，则（ ） A ．124S S = B ．123S S = C ．122S S = D ．12S S【答案】B【分析】根据2PA PB PC AB ++=得出3AP BC =，所以AP ∥BC 并且方向一样，由此可得出三角形面积关系. 【详解】解：由题意得：22()PA PB PC AB AP PB ++==+3AP BC ∴=AP ∴∥BC 并且方向一样 设AP 与BC 的距离为h 11,22PABABCSAP h S BC h =⋅=⋅又3BC AP =121,33PABABCSS S S ∴==故选：B 二、多选题9．下列说法错误的是（ ） A ．与735°终边相同的角是15°B ．若一扇形的圆心角为15°，半径为3cm ，则扇形面积为23cm 4πC ．设α是锐角，则角2α为第一或第二象限角D ．设α是第一象限，则2α为第一或第三象限角 【答案】ABC【分析】令终边相同的角的关系可判断A ，利用角的范围或特例可判断CD 的正误，利用公式计算扇形的面积后可判断B.【详解】对于A ，735375360︒-︒=︒，故375︒与735︒终边也相同，故A 错误. 对于B ，扇形面积为221812m 323c ππ⨯⨯=，故B 错误.对于C ，如果4πα=，则22πα=，此时2α为轴线角，故C 错误.对于D ，因为α是第一象限，故22,2k k k Z ππαπ<<+∈，故,24k k k Z απππ<<+∈，故2α为第一或第三象限角，故D 正确. 故选：ABC.10．有下列说法其中正确的说法为 A ．若a b ，b c ，则a c ：B ．若230OA OB OC ++=，AOC S ∆，ABC S ∆分别表示AOC ∆，ABC ∆的面积，则:1:6AOC ABC S S ∆∆=；C ．两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向；D ．若a b ，则存在唯一实数λ使得a b =λ 【答案】BC【解析】A 选项错误，例如0b =，推不出a c ∥，B 选项利用向量可确定O 点位置，可知O 到AC 的距离等于B 到AC 距离的16,故正确，C 选项两边平方根据向量的数量积的性质可知夹角为π，结论正确，D 选项错误，例如0b =.【详解】A 选项错误，例如0b =，推不出a c ∥，B 选项,设AC 的中点为M, BC 的中点为D, 因为230OA OB OC ++=，所以2220OM OD ⨯+=,即2OM OD =-,所以O 是MD 的三等分点，可知O 到AC 的距离等于D 到AC 距离的13,而B 到AC 的距离等于D 到AC 距离的2倍，故可知O 到AC 的距离等于B 到AC 距离的16，根据三角形面积公式可知正确，C 选项两边平方可得22||||a b a b -⋅= ，所以cos ,1a b <>=-，即夹角为π，结论正确，D 选项错误，例如0b =. 故选B C.【点睛】本题主要考查了向量共线，向量的夹角，向量的数量积，向量的线性运算，属于中档题.11．下面的命题正确的有（ ） A ．方向相反的两个非零向量一定共线 B ．单位向量都相等C ．若a ，b 满足||||a b >且a 与b 同向，则a b >D ．“若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，且AB DC =”⇔“四边形ABCD 是平行四边形” 【答案】AD【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可. 【详解】对于A ，由相反向量的概念可知A 正确；对于B ，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B 错误； 对于C ，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C 错误； 对于D ，若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，且AB DC =， 可得//AB DC ，且AB DC =，故四边形ABCD 是平行四边形； 若四边形ABCD 是平行四边形，可知//AB DC ，且AB DC =， 此时A 、B 、C 、D 是不共线的四点，且AB DC =，故D 正确. 故选：AD.12．已知角θ和ϕ都是任意角，若满足2,2k k Z πθϕπ+=+∈，则称θ与ϕ“广义互余”.若()1sin 4πα+=-，则下列角β中，可能与角α“广义互余”的有（ ）A ．sin β=B ．()1cos 4πβ+=C ．tan β=D ．tan β=【答案】AC【分析】由题可得1sin 4α=，根据诱导公式化简计算判断每个选项即可. 【详解】若α与β广义互余，则2()2k k Z παβπ+=+∈，即2()2k k Z πβπα=+-∈．又由()1sin 4πα+=-，可得1sin 4α=．对于A ，若α与β广义互余，则sin sin(2)cos 2k πβπαα=+-==由sin β=α与β可能广义互余，故A 正确； 对于B ，若α与β广义互余，则1cos cos(2)sin 24k πβπαα=+-==，由()1cos 4πβ+=可得 1cos 4β=-，故B 错误；对于C ，综上可得sin β=1cos 4β=，所以sin tan cos βββ==C 正确，D 错误． 故选：AC ． 三、填空题13．若(1,1),(1,2)a b ==-，则与a b -同方向的单位向量是______．【答案】 【分析】用a b -除以它的模可得．【详解】由已知(2,1)a b -=-，5a b -=，所以与a b -同方向的单位向量是25(5a b a b-=-．故答案为： 14．1cos 123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5sin 12πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ________ 【答案】13【分析】因为51212ππθθ-++=2π ，所以结合三角函数的诱导公式求值；【详解】因为51212ππθθ-++=2π，由诱导公式得：5sin 12πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin --212ππθ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（） =1cos 123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 故答案为1 3【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数中的恒等变换应用，关键是“拆角配角”思想的应用，是中档题．15．已知()2,3A ，()4,3B -，点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =，则点P 的坐标为___________. 【答案】()8,15- 【分析】由题 可得12AB BP =，可得2OP OB AB =+，即求． 【详解】点P 在线段AB 的延长线上，且3||||2AP PB =， ∴12AB BP =， ∴2(4OP OB AB =+=,3)2(2-+,6)(8-=,15)-． 所以点P 的坐标为()8,15-. 故答案为：()8,15-.16．已知α为第二象限角，则cos sin =______.【答案】sin cos αα-【分析】先由题意，得到sin 0α>，cos 0α<，再根据同角三角函数基本关系化简，即可得出结果.【详解】因为α为第二象限角，所以sin 0α>，cos 0α<，因此cos sin cos sin =1sin 1cos cos sin 1sin 1cos sin cos cos sin αααααααααα--=⋅+⋅=-++-=-. 故答案为：sin cos αα-.【点睛】本题主要考查三角函数的化简问题，熟记同角三角函数基本关系即可，属于常考题型. 四、解答题17．已知tan 3α=，分别求下列各式的值．(1)4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+(2)sin cos αα(3)222sin sin cos 3cos αααα+- 【答案】(1)57；(2)310； (3)95. 【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，将关于正余弦的齐次式化成正切，再代值计算作答.【详解】(1)因为tan 3α=，所以4sin 2cos 4tan 243255cos 3sin 53tan 5337αααααα--⨯-===+++⨯.(2)因为tan 3α=，所以2222sin cos tan 33sin cos sin cos tan 13110αααααααα====+++. (3)因为tan 3α=，所以2222222sin sin cos 3cos sin 2sin sin cos co 3c s os αααααααααα+--+=+22222tan tan 323339tan 1315ααα+-⨯+-===++.18．已知扇形的圆心角为α，所在圆的半径为r . （1）若0120α=， 6r =，求扇形的弧长；（2）若扇形的周长为24，当α为多少弧度时，该扇形面积S 最大？并求出最大面积. 【答案】（1）4π；（2）2rad ，36.【详解】试题分析：（1）由已知利用弧长公式即可计算得解．（2）根据扇形的弧长与半径的关系，建立等式，然后根据面积公式转化成关于r 的二次函数，通过解二次函数最值即可得到结论． 试题解析：（1）∵021201201803a ππ==⨯=， 6r =,∴2•643l r παπ==⨯= （2）设扇形的弧长为l ，则224l r +=，即242l r =-（012r <<）, 扇形的面积()()2211•242?1263622S l r r r r r r ==-=-+=--+，所以当且仅当6r =时， S 有最大值36， 此时242612l =-⨯=,∴1226l r α=== .rad 19．如图所示，△ABC 中，,AB a AC b ==，2AE AB =，3AF AC =.线段,BF CE 相交于点P .(1)用向量a 与b 表示BF 及CE ； (2)若AP xAB y AC =+，试求实数,x y 的值.【答案】(1)13BF b a =-，12CE a b =-；(2)25x =，15y =.【分析】（1）根据向量加法、数乘、相反向量的几何意义，将BF 、CE 用,AB AC 表示即可.（2）由题图知(1)AP AB AF λλ=+-，(1)AP AC AE μμ=+-，结合已知条件求得,λμ，根据平面向量的基本定理可得,x y 的值. 【详解】(1)由题设，1133BF BA AF AC AB b a =+=-=-，1122CA AE AB AC a b CE =+=-=-. (2)设FP FB λ=，EP EC μ=所以(1)AP AB AF λλ=+-，(1)AP AC AE μμ=+-且0,1λμ<<，所以1132AB AC AC AB λμλμ--+=+，则1213μλλμ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，可得2515λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以2155AP AB AC =+，故25x =，15y =.20．已知α为第三象限角，且3sin()cos()tan()22()sin()tan(2)2f ππαααπαπαπα---+=+-．（1） 化简()f α； （2） 若323απ=-，求()f α的值． （3） 若26()f α=，求cos()πα+的值．【答案】（1）sin α-；（2（3）15 【详解】试题分析：（1）由诱导公式可化简得到；（2）因为()sin ,f αα=-∴32322()()()sin()333f f sin απππ=-===（3）由题意可得sin α=，由同角三角函数基本关系式可得1cos 5α=- 试题解析：（1）(cos )(sin )(tan )()(cos )(tan )f αααααα-⋅⋅-=⋅- sin α=-；（2）3232322()()sin()sin()sin()3333f f αππππ=-=--===；（3）()sin f αα=-=∴sin α=， 又α为第三象限角，∴1cos 5α===-， ∴1cos()cos 5παα+=-=． 【解析】1. 诱导公式；2. 同角三角函数基本关系式21．已知1e →，2e →是平面内两个不共线的非零向量，122AB e e →→→=+，12BE e e λ→→→=-+，122EC e e →→→=-+，且,,A E C 三点共线. （1）求实数λ的值；（2）若()12,1e →=，()22,2e →=-，求BC →的坐标；（3）已知()3,5D ，在（2）的条件下，若,,,A B C D 四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标.【答案】（1）32-；（2）()7,2--；（3）(10,7). 【分析】（1）根据平面向量的加法运算，得出12(1)AE AB BE e e λ→→→→→=+=++，再利用A ，E ，C 三点共线，利用向量的共线定理可知存在实数k ，使得AE k EC →→=，解出λ的值，即可得出结果；（2）根据平面向量坐标的加法运算，得出12132BC BE EC e e →→→→→=+=--，可求出BC →的坐标； （3）由平行四边形的性质，可知AD BC →→=，设(,)A x y ，则(3,5)AD x y →=--，计算得出A 点的坐标.【详解】解：（1）由题可知，122AB e e →→→=+，12BE e e λ→→→=-+，122EC e e →→→=-+，121212(2)()(1)AE AB BE e e e e e e λλ→→→→→→→→→∴=+=++-+=++， A ，E ，C 三点共线，∴存在实数k ，使得AE k EC →→=，即1212(1)(2)e e k e e λ→→→→++=-+，得12(12)(1)k e k e λ→→+=--．1e →，2e →是平面内两个不共线的非零向量，∴1201k k λ+=⎧⎨=-⎩，解得：12k =-，32λ=-. （2）已知()12,1e →=，()22,2e →=-，()()()12136,31,17,22BC BE EC e e →→→→→=+=--=--+-=--. （3）,,,A B C D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，且()3,5D ，∴AD BC →→=，设(,)A x y ，则(3,5)AD x y →=--，(7,2)BC →=--， ∴3752x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得107x y =⎧⎨=⎩，即点A 的坐标为(10,7)． 22．已知：关于x的方程221)0x x m -+=的两根为sin θ和cos θ，(0,2)θπ∈．求： （1）tan sin cos tan 11tan θθθθθ+--的值； （2）m 的值；（3）方程的两根及此时θ的值．【答案】（1；（2）m =；（3）方程的两个根分别为12θ的值为6π 或3π．. 【分析】（1）由题意得sin cos sin cos 2m θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再根据三角函数的恒等变换化简tan sin cos tan 11tan θθθθθ+-- 为sin cos θθ+，从而求得结果． （2）由sin cos θθ+、sin cos 2m θθ=以及同角三角函数的基本关系可得21m +=，由此解得m 的值． （3）由以上可得，sin cos θθ+=、sin cos θθ=，解得sin θ 和cos θ 的值，从而求得故此时方程的两个根及θ的值．【详解】解：（1）由于关于x的方程221)0x x m -+=的两根为sin θ和cos θ，故有sin cos sin cos 2mθθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴22tan sin cos sin cos (sin cos )(sin cos )sin cos tan 11tan sin cos cos sin sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ+-+=+==+=-----（2）由sin cos θθ+=sin cos 2m θθ=，222sin 2sin cos cos θθθθ∴++=，即21m +=，解得m =． （3）由以上可得，sin cos θθ+、sin cos θθ=1sin 2θ=，cos θ=或者sin θ=1cos 2θ=． 故此时方程的两个根分别为12θ的值为6π 或3π． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，同角三角函数的基本关系的应用，三角函数的恒等变换，根据三角函数的值求角，属于中档题．。
四川省成都市2023-2024学年高一下学期三月月考数学试题含答案
成都高2023级高一（下期）学科素养检测数学试题（答案在最后）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.下列各式中，值为12的是（）A.22cos 151︒- B.2sin75cos75︒︒C.cos18cos42sin18sin42︒︒+︒︒ D.tan30tan151tan30tan15︒+︒-︒︒【答案】B 【解析】【分析】利用二倍角公式和两角和与差的三角函数公式，结合特殊角三角函数值逐项判断即可.【详解】22cos 151cos302︒-=︒=，故A 错误；12sin75cos75sin150sin302︒︒=︒=︒=，故B 正确；()()1cos18cos42sin18sin42cos 1842cos 242︒︒+︒︒=︒-︒=-︒≠，故C 错误；()tan30tan15tan 301511tan30tan15︒+︒=︒+︒=-︒︒，故D 错误，故选:B.2.已知向量(2,1)a =- ，(,3)b m = ，且//a b，那么a b - 等于（）A.(8,2)--B.7,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.(4,2)- D.1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由向量平行的坐标表示求参数，再应用向量线性运算的坐标表示求a b -的坐标.【详解】由题设321m =-，故6m =-，则(2,1)(6,3)(4,2)a b -=---=-.故选：C3.函数sin y x x =+，x ∈R 的最大值为（）A.1 B.C.12D.2【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数为π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦型函数的最值可求得结果.【详解】πsin 2sin 3y x x x ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭ ，当ππ2π,Z 32x k k +=+∈，即π2π,Z 6x k k =+∈时，sin y x x =+取得最大值2.故选：D.4.已知函数()()πsin R,0,02f x A x x ωϕωϕ⎛⎫=+∈><<⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则正数A 值为（）A.B.2C.D.32【答案】B 【解析】【分析】根据图像可得函数的周期，从而可求ω，再根据对称轴可求ϕ，结合图像过()0,1可求A .【详解】由图像可得11π5π2π1212T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故2π2πω==，而16π2π1223x ==时，函数取最小值，故2π3π22π,Z 32k k ϕ⨯+=+∈，故π2π,Z 6k k ϕ=+∈，而π02ϕ<<，故6πϕ=，因为图像过()0,1，故16πsin A =，故2A =，故选：B.5.函数cos |tan |y x x =⋅（3π02x ≤<且π2x ≠）的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据题意可将函数化简为πsin ,02πsin ,π23πsin ,π2x x y x x x x ⎧≤<⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≤<⎪⎩，从而可求解.【详解】由题意cos ·tan y x x =，3π02x ≤<，化简得πsin ,02πsin ,π23πsin ,π2x x y x x x x ⎧≤<⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≤<⎪⎩，根据函数sin y x =的图象和性质，可得cos ·tan y x x =在π02x ≤<内为增函数且y 为正值，在ππ2x <<内为增函数且y 为负值，在3ππ2x ≤<内为减函数且y 为负值，故C 正确.故选：C.6.在ABC 中，π1,4,3AB AC BAC ==∠=，点D 为边BC 上靠近B 的三等分点，则AD BC ⋅ 的值为（）A.163-B.163C.4- D.4【答案】B 【解析】【分析】利用AB 、AC表示向量AD 、BC ，利用平面向量数量积的运算性质可求得AD BC ⋅ 的值.【详解】如下图所示：()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，由平面向量数量积的定义可得π1cos 14232AB AC AB AC ⋅=⋅=⨯⨯=，因此，()()()22112233AD BC AB AC AC AB AC AB AC AB ⋅=+⋅-=+⋅- ()22116422133=⨯+-⨯=.故选：B.7.已知,a b 是夹角为120︒的两个单位向量，若向量a b λ+ 在向量a上的投影向量为2a，则λ=（）A.2-B.2C.3-D.3【答案】A 【解析】【分析】由投影向量计算公式可得答案.【详解】a b λ+ 在向量a 上的投影向量为()22a b a a a a λ+⋅=⇒()22a b a aλ+⋅= .⇒()2o 1cos1201222a b a a a b λλλλ+⋅=+⋅=-=⇒=-.故选：A8.已知0ω>，函数()πsin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭满足()π2f x f x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且在区间ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰好存在两条对称轴，则ω的最大值为（）A.443 B.563C.463D.203【答案】A 【解析】【分析】由已知条件得出周期的范围，即得ω的范围，由()()2πf x f x -=-得函数图象的一个对称中心是π(,0)4，则44,Z 3k k ω=-∈，结合ω的范围可得答案.【详解】函数的最小正周期为2πT ω=，则2πT ω=，在区间ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰好存在两条对称轴，π3ππ66-=，所以262π3T T ≤<，即ππ3π6ωω≤<，解得618ω≤<，因为()()2πf x f x -=-，所以)πππ()[()]π2(444f x f x f x +=--=--，所以点π(,0)4是函数图象的一个对称中心，则π()sin()0ππ443f ω=+=，得ππ,Z π43k k ω+=∈，即44,Z 3k k ω=-∈，因0ω>，则*N k ∈，且ω随k 的增大而增大，当4k =时，44183ω=<，当5k =时，18563ω=>，则ω的最大值为443.故选：A.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知向量a =，(cos ,sin )b αα= ，则下列结论正确的是（）A.若//a b，则tan α=B.若a b ⊥ ，则3tan 3α=-C.若a与b的夹角为π3，则||3a b -= D.若a与b 方向相反，则b在a上的投影向量的坐标是13(,)22--【答案】ABD 【解析】【分析】利用向量共线的坐标表示判断A ；利用垂直的坐标表示判断B ；利用数量积的运算律求解判断C ；求出投影向量的坐标判断D.【详解】向量a =，(cos ,sin )b αα= ，对于A ，由//a b，得sin αα=，因此tan α=，A 正确；对于B ，由a b ⊥cos 0αα+=，因此tan 3α=-，B 正确；对于C ，a 与b的夹角为π3，||2,||1a b == ，12112a b ⋅=⨯⨯= ，因此||a b -== ，C 错误；对于D ，a 与b 方向相反，则b 在a上的投影向量为211,||222a b a a a ⎛⎫⋅=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭，D 正确.故选：ABD10.设函数()()cos f x x ωϕ=+，其中0ω>，若对任意的,64ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x 在[]0,2π上有且仅有4个零点，则下列ω的值中不满足条件的是（）A.136ω=B.116ω=C.54ω=D.34ω=【答案】ACD 【解析】【分析】利用换元思想转化为cos y t =在[ϕ，2]πωϕ+上有4个零点，则需满足79222ππωϕπ+< ，进而根据ϕ的取值范围得到ω的取值范围即可．【详解】解：设t x ωϕ=+，则2ϕπωϕ+ ，所以cos y t =在[ϕ，2]πωϕ+上有4个零点，可知79222ππωϕπ+< ，所以974242ϕϕωππ-<- ，又[,]64ππϕ∈，所以97644224ππωππ-<- ，即53817ω< ，满足的只有B ，故选：ACD ．11.下列结论正确的是（）A.2(sin2cos2)14sin4ααα-=-B.1sin347cos148sin77cos582+=C.1sin2cos2tan 1sin2cos2θθθθθ+-=++D.若3cos25θ=，则4417sin cos 25θθ+=【答案】CD 【解析】【分析】根据同角函数的基本关系、和差公式、倍角公式逐一判断即可.【详解】222s (sin c 2cos2)1s sin 2co 2s in 2in 2os 24ααααααα==+---，故A 错误；()sin347cos148sin77cos58sin13cos32cos13sin 32sin 13322+=︒︒+︒︒=︒+︒= ，故B 错误；221sin2cos22sin 2sin cos tan 1sin2cos22cos 2sin cos θθθθθθθθθθθ+-+==+++，故C 正确；若3cos25θ=，则()()2442222221117sin cos sin cos 2sin cos 1sin 211cos 22225θθθθθθθθ+=+-=-=--=，故D 正确；故选：CD12.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O 是ABC 内一点，BOC ，AOC ，AOB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，且0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.以下命题正确的有（）A.若230OA OB OC ++=，则::1:2:3A B C S S S =B.若2OA OB == ，56AOB π∠=，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S =C.若O 为ABC 的内心，3450OA OB OC ++= ，则π2C ∠=D.若ABC 的垂心O 在ABC 内，AD ，BE ，CF 是ABC 的三条高，则0OD OE OF OA OB OC AD BE CF⋅+⋅+⋅= 【答案】ACD 【解析】【分析】运用奔驰定理，结合三角形内心、垂心的性质可判断个选项的对错.【详解】对A ：由奔驰定理得，A 对；对B ：因为15π22sin 126C AOB S S ==⨯⨯⨯= ，且::2:3:4A B C S S S =，所以2391444A B C S S S ++=++=即94ABC S = ，故B 错误；对C ：设ABC 内切圆半径为r ，3450OA OB OC ++=⇒::3:4:5A B C S S S =，所以111·:·:·3:4:5222BC r AC r AB r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即::3:4:5a b c =，所以ABC 为直角三角形，且π2C ∠=，故C 对；对D ：因为O 为ABC 的垂心，且AD 为BC 边上的高，所以OBC A ABC ABC S S OD AD S S == ，同理B ABCS OEBE S = ，C ABCS OFCF S = ，所以OD OE OF OA OB OC AD BE CF ⋅+⋅+⋅= 0A B C ABCS OA S OB S OC S ⋅+⋅+⋅=，故D 对.故选：ACD【点睛】关键点点睛：正确运用给出的奔驰定理，是解决该问题的关键.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.设向量(),4a x =- ，()1,b x =- ，向量a 与b 的夹角为锐角，则x 的范围为______.【答案】0x >且2x ≠【解析】【分析】根据已知可得0a b ⋅>，且,a b 不共线，求解即可.【详解】向量(),4a x =- ，()1,b x =- ，由a b∥得，()1(4)0x x ⨯--⨯-=，所以2x =±.由已知得，π0,2a b << ，所以cos ,0a b a b a b ⋅=>，即0a b ⋅> ，且,a b 不共线.则()()1450a b x x x ⋅=⨯+-⋅-=>，所以0x >.又,a b不共线，则2x ≠±.所以x 的取值范围为0x >且2x ≠.故答案为：0x >且2x ≠.14.已知ππ,,42k k Z αβαβπ⎛⎫+=-≠+∈ ⎪⎝⎭，则()()1tan 1tan αβ--=__________.【答案】2【解析】【分析】根据两角和的正切公式，化简得到tan tan tan tan 1αβαβ+=-，代入即可求解.【详解】因为π4αβ+=-，可得tan tan πtan()tan()11tan tan 4αβαβαβ++==-=--，所以tan tan tan tan 1αβαβ+=-，由()()1tan 1tan 1(tan tan )tan tan 2αβαβαβ--=-++=.故答案为：2.15.设函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中ϕ∈R .若()π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的x ∈R 恒成立，则()f x 的增区间是__________.【答案】πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.【解析】【分析】先根据条件，求出函数的解析式，再求函数的增区间.【详解】由题意：π6f ⎛⎫⎪⎝⎭为函数的最大值，所以π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以ππ22π62m ϕ⨯+=+，m ∈Z ⇒π2π6m ϕ=+，m ∈Z .由πππ2π22π2π262n x m n -+≤++≤+（,Z m n ∈）⇒()()πππ2π36n m x n m -+-≤≤+-（,Z m n ∈）.可记为πππ2π36k x k -+≤≤+，Z k ∈.故答案为：πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.16.水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点(3,A -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设点P 的坐标为(,)x y ，其纵坐标满足()sin()y f t R t ωϕ==+（0t ≥，0ω>，π2ϕ<），①π3ϕ=-②当(]0,60t ∈时，函数()y f t =单调递增③当100t =时，6PA =④当(]0,60t ∈时，()f t 的最大值为则上面叙述正确的是________．【答案】①③【解析】【分析】根据题意，结合条件可得,ωϕ的值，从而求得函数()f x 的解析式，然后根据正弦型函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】由题意，6R ==，120T =，所以2ππ60T ω==，又点(3,A -代入()f t 可得6sin ϕ-=，解得sin 2ϕ=-，又π2ϕ<，所以π3ϕ=-，故①正确；因为()ππ6sin 603f t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当(]0,60t ∈时，πππ2π,60333t ⎛⎤-=∈- ⎥⎝⎦，所以函数()f t 先增后减，故②错误；当100t =时，ππ4π6033t -=，P 的纵坐标为y =-3x =-，所以336PA =--=，故③正确；当(]0,60t ∈时，点P 到x 轴的距离的最大值为6，故④错误；所以说法正确的是①③故答案为:①③四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，点E 在AB 上，且2,BE EA AD =与CE 交于点O ，设AO AD λ= .（1）求λ的值；（2）当5,3AB AC ==时，求AO BC ⋅ 的值.【答案】（1）12λ=（2）4-【解析】【分析】（1）根据三点共线的知识求得λ.（2）根据向量数量积的运算求得AO BC ⋅.【小问1详解】依题意()1113122222AO AD AB AC AB AC AE AC λλλλλλ==⨯+=+=+ ，由于,,E O C 三点共线，所以31121,222λλλλ+===.【小问2详解】由（1）得12AO AD = ，所以()()111222AO BC AD BC AB AC AC AB ⋅=⋅=⋅⋅+⋅- ()()22221135444AC AB =-=-=- .18.已知在平面直角坐标系xOy 中，向量()3,4a =r ．（1）若向量b 满足10b = ，且b a ⊥r r ，求b 的坐标；（2）若向量c 满足c = ，且a 与c 的夹角为6π，求2a c - 与a 的夹角的余弦值．【答案】（1）()8,6b =- 或()8,6b =-r（2）13-【解析】【分析】(1)先假设b 的坐标，再根据条件列方程即可；(2)先假设c 的坐标列方程求出代数关系，再用数量积的方法求夹角.【小问1详解】设(),b m n = ，则有22100340m n m n ⎧+=⎨+=⎩解得86m n =±⎧⎨=⎩ ，即()8,6b =- 或()8,6b =-r ；【小问2详解】设(),c x y =，则有2212345cos 6x y x y π⎧+=⎪⎨+=⨯⎪⎩，得22123415x y x y ⎧+=⎨+=⎩…①()232,42a c x y -=-- ，设向量2a c - 与a 的夹角为θ，则有：()2cos 2a a c a a c θ--+--+==-将①代入上式得cos 13θ=-；综上，()8,6b =- 或()8,6b =-r ，2a c - 与a 夹角的余弦值为1313-.19.在条件：①()()2sin 2024πcos 2024παα-=+；②sin cos 5αα+=-；③4sin 25α=-中任选一个，补充在下面的题目中，并求解.已知()0,πα∈，且满足条件___________.（1）求3sin 4cos cos sin αααα+-的值；（2）若,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且cos 10β=-，求αβ+的值.【答案】（1）53（2）7π4【解析】【分析】（1）根据条件，先求出tan α，再求齐次式的值.（2）先确定两角和的取值范围，再确定两角和的三角函数值，可得角的大小.【小问1详解】若选①，则原式可化为：2sin cos -=αα⇒1tan 2α=-.若选②，则22sin cos 5sin cos 1αααα⎧+=-⎪⎨⎪+=⎩，且()0,πα∈，所以sin 0α>⇒sin 5cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1tan 2α=-.若选③，则2242sin cos 5sin cos 1αααα⎧=-⎪⎨⎪+=⎩且()0,πα∈，所以sin 0α>⇒sin 5cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1tan 2α=-.所以总有1tan 2α=-.所以1343sin 4cos 3tan 4521cos sin 1tan 312αααααα⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭===--+.【小问2详解】由（1）可知，sin α，cos 5α=-，且π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且cos 10β=-，所以10sin 10β=，所以：()π,2παβ+∈，且()cos αβ+cos cos sin sin αβαβ=-25310510510510⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22=.所以7π4αβ+=.20.已知向量(cos ,sin )a x x =，,2cos )b x x x =- ，设函数()f x a b =⋅ .（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若函数πππ()626212x x g x f x af af ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在区间[0,]π上的最大值为6，求实数a 的值.【答案】（1）π7π,ππ1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈（2）3-或【解析】【分析】（1）根据向量的数量积运算及恒等变换可求()f x 的表达式，再由正弦函数的单调性求解即可；（2）由已知可求()2sin 22(sin cos )g x x a x x =+-，利用换元πsin cos )4t x x x =-=-，把问题转化为二次函数在给定区间的最值问题，通过对称轴与区间的关系分类讨论求解即可．【小问1详解】因为(cos ,sin )a x x = ，,2cos )b x x x =- ，所以22()2sin cos =sin22f x a b x x x x x x =⋅=+ π=2sin(2)3x +由ππ32π2π2π,Z 232k x k k +≤+≤+∈得π7πππ,Z 1212k x k k +≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为π7π,ππ1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈【小问2详解】πππ()626212x x g x f x af af ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2sin 22sin 2sin()2sin 22(sin cos )2x a x a x x a x x =+-+=+-，令πsin cos 4t x x x =-=-，因为[0,]x π∈，所以ππ[,]444x 3π-∈-，[t ∈-且2sin 21x t =-，所以2222(1)22()222a a y t at t =-+=--++，当2a >即a >t =时y 有最大值，此时26-+=，解得a =不合题意；当12a -≤≤即2a -≤≤，当2a t =时y 有最大值，此时2262a +=，解得a =当12a ->即2a <-，当1t =-时y 有最大值，此时26a -=，解得3a =-符合题意；综上，a 的值为3-或21.如图，扇形OPQ 的半径1OP =，圆心角3POQ π∠=，点C 是圆弧PQ 上的动点（不与P Q 、点重合），现在以动点C 为其中一个顶点在扇形中截出一个四边形，下面提供了两种截出方案，如果截出的两个四边形面积的最大值之差的绝对值不大于13，则称这两个四边形为“和谐四边形”.试问提供的两种方案截出的两个四边形是否是“和谐四边形”？请说明理由.【答案】截出的这两个四边形为“和谐四边形”，理由见解析【解析】【分析】方案一：连接OC ，假设,0,3COP πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，用三角函数表示ABCD S AB BC =⋅四边形33sin 2366πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，由三角函数的性质即可求出ABCD S 四边形的最大值，方案二：连接OC ，假设,0,3COP πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，过点C 作CM OP ⊥，CN OQ ⊥，用三角函数表示出ΔΔ1sin 23OPC OQC OPCQ S S S πθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭四边形，由三角函数的性质即可求出OPCQ S 四边形的最大值，得出13ABCD OPCQ S S -<四边形四边形即可得出结论.【详解】方案一：连接OC ，假设,0,3COP πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，则sin cos AD BC OB θθ===，，又tan 3AD OA π=，所以tan 3AD OA π==，cos AB OB OA θ∴=-=-，211cos2cos sin sin cos sin222ABCD S AB BC θθθθθθ-⎛∴=⋅=⋅=⋅= ⎝四边形33sin 2366πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，6πθ∴=时，()max 6ABCD S ∴=四边形；方案二：连接OC ，假设,0,3COP πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，过点C 作CM OP ⊥，CN OQ ⊥，则sin CM θ=，sin 3CN πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1sin 23OPC OQC OPCQ S S S πθ⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭ 四边形，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，6πθ∴=时，()max 12OPCQ S ∴=四边形；1326ABCD OPCQ S S --== 四边形四边形，而3110636--=<，即13ABCD OPCQ S S -<四边形四边形，所以截出的这两个四边形为“和谐四边形”.22.已知函数()sin cos f x x x =-．（1）求方程()cos 2f αα=在[]0,2π上的解集；（2）设函数()()3ln 2F x f x x =+；（i ）证明：()y F x =有且只有一个零点；（ii ）记函数()y F x =的零点为0x ，证明：00211ln sin 2333x x -<+<．【答案】（1）π5π3π,π,,442⎧⎫⎨⎬⎩⎭（2）（i ）证明见详解（ii ）证明见详解【解析】【分析】（1）利用余弦二倍角公式化简方程，再结合辅助角公式即可（2）（i ）根据三角函数的性质分区间研究函数的性质，利用零点存在定理可证明；（ii ）然后利用换元法求值域即可证明.【小问1详解】22sin cos cos 2cos sin ααααα-==-所以(cos sin )(sin cos 1)0αααα-++=.所以cos sin 0αα-=或sin cos 1αα+=-当sin cos 0αα-=时,cos 0α≠，则tan 1α=，又[0,2π]x ∈，所以π5π,44x =当sin cos 1αα+=-，则π2sin 42α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，又ππ9π[0,2π],,444x x ⎡⎤∈+∈⎢⎥⎣⎦.所以π5π44x +=或7π4，所以3ππ,2x =所以方程()cos 2f αα=在[0,2π]上的解集为π5π3π,π,,442⎧⎫⎨⎬⎩⎭【小问2详解】（i ）设3π3()sin cos ln ln ,(0,)242F x x x x x x x ⎛⎫=-+=-+∈+∞ ⎪⎝⎭当3π0,4x 纟çÎúçú棼，则πππ,442x ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，此时π4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在3π0,4⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增3ln 2y x =在3π0,4⎛⎤ ⎥⎝⎦也单调递增，所以()F x 在3π0,4⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增π3ππππ3π3πln 0,ln 1ln 04242242222F F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<=-+=+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()F x 在3π0,4x 纟çÎúçú棼时有唯一零点当3π5ππ3,0,ln 04442x x x ⎛⎫⎛⎫∈->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()0F x >所以()F x 在3π5π,44x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭没有零点当5π,4x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，5π53e 44>⨯>，所以33ln 22x >>()0F x >所以()F x 在5π,4x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭没有零点综上,3()sin cos ln 2F x x x x =-+在(0,)+∞有唯一零点0x （ii ）记函数()y F x =的零点为0x ，所以0003sin cos ln 02x x x -+=，且0ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()0002ln cos sin 3x x x =-所以()()00000000012122ln sin 2cos sin sin 2cos sin sin cos 33333x x x x x x x x x +=-+=-+令000πcos sin 4t x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，因为0ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以(1,0)t ∈-又20012sin cos t x x =-，则2001sin cos 2t x x -=所以220012211221ln sin 2(1),33323333t x x t t -⎛⎫+=+⋅=--+∈- ⎪⎝⎭【点睛】方法点睛：含有三角函数、指数对数的零点问题，一般要根据三角函数图像特点划分区间，分段研究.。
精品解析：福建省同安第一中学2022-2023学年高一3月第一次月考数学试题(解析版)
同安一中2021~2022学年下学期第一次月考高一数学试题（本卷满分150分,考试时长120分钟）第Ⅰ卷 选择题一，单项选择题（本题共8小题,每小题5分,共40分）1. 已知集合{20}M x x =-<,{N x y ==,则M N = （ ）A. {1}x x >-B. {12}x x -≤<C. {}12x x -<< D. R【结果】B 【思路】【思路】化简集合,M N ,即得解.【详解】解：由题得(,2),[1,)M N =-∞=-+∞,所以[1,2)M N =- .故选：B 2. 已知复数2a ii+-是纯虚数（i 是虚数单位）,则实数a 等于（ ）A. −2 B. 2C.12D. −1【结果】C 【思路】【思路】依据复数地运算法则,化简复数为21255a ai -++,依据复数地概念,列出方程,即可求解.【详解】依据复数地运算法则,可得()()()()2222a i i a i i i i +++=--+21255a a i -+=+,因为复数2a i i +-是纯虚数,所以2105a -=且205a +≠,解得12a =.故选：C ．3. 下面函数中,既是奇函数,又是增函数地是A. ()2log f x x= B. ()1f x x =+ C. ()lg f x x= D. ()3f x x=【思路】【思路】依据要求对给出地四个选项分别进行判断,进而可得结果．【详解】选项A 中,函数()f x 为非奇非偶函数,在定义域上为增函数,所以不合题意。
选项B 中,函数()f x 为非奇非偶函数,在定义域上为增函数,所以不合题意。
选项C 中,函数()f x 为偶函数,在(),0∞-上为减函数,在()0,∞+上为增函数,所以不合题意。
选项D 中,函数()f x 为奇函数,在定义域上为增函数,所以符合题意．故选D ．【点睛】解答本题关键是熟知所给函数地性质,然后再依据要求进行判断,考查对基础知识地掌握情况和判断能力,属于基础题．4. 已知a →,b →为非零向量,则“0a b →→∙>”是“a →与b →夹角为锐角”地A. 充分而不必要款件 B. 必要而不充分款件C. 充分必要款件 D. 既不充分也不必要款件【结果】B 【思路】【详解】依据向量数量积地定义式可知,若0a b ⋅> ,则a 与b 夹角为锐角或零角,若a 与b夹角为锐角,则一定有0a b ⋅> ,所以“0a b ⋅> ”是“a 与b夹角为锐角”地必要不充分款件,故选B.5. 已知(1,)a n = ,(1,)b n =-．若2a b - 与b垂直,则||a＝（ ）A. 1C. 2D. 4【结果】C 【思路】【思路】由向量垂直坐标表示可得n 2＝3,再依据向量模长地坐标运算求||a即可.【详解】由题设得：(2)a b -⋅ 220b a b b =⋅-= .故222(1)(1)0n n --+=,解得n 2＝3.所以,||2a ==.的的6. 长江某地南北两岸平行,一艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸,假设游船在静水中地航行速度1v地大小为114/v km h = ,水流地速度2v 地大小为24/v km h = .设1v 和2v地夹角为()0180θθ︒<<︒,北岸地点'A 在A 地正北方向,游船正好到达'A 处时,cos θ=（ ）A.B. C.27D. 27-【结果】D 【思路】【思路】用向量表示速度,依据向量地平行四边形法则,由题意可得2v v ⊥,即可求解.【详解】设船地实际速度为v ,1v 和2v地夹角为θ,北岸地点A '在A 地正北方向,游船正好到达A '处,则2v v ⊥,∴21421)47(v cos cos v θπθ=--=-=-=- .故选：D.【点睛】本题主要考查平面向量在物理中应用问题,解题关键是依据向量地平行四边形法则及物理性质求解,考查数形结合思想和转化思想,属于基础题.7. 在ABC 中,角A B C ，，地对边分别为a b c ，，,面积为S ,若cos cos 2a B b A bc +=,且cos S A =,则A =（ ）A.6π B.4πC.3πD.23π【结果】C 【思路】【思路】依据正弦定理以及三角形地面积公式进行求解即可．【详解】解：cos cos 2a B b A bc += ,∴由正弦定理得sin cos sin cos 2sin A B B A b C +=,即sin()sin 2sin A B C b C +==,的由sin 0C >,得21b =,12b =,cos S A =,∴1cos sin 2S A bc A ==,即sin A A =,即sin tan cos A A A==则3A π=,故选：C ．8. 在OAB 中,2OA OB ==,AB =动点P 位于直线OA 上,当PA PB →→⋅得到最小值时,PBA ∠地正弦值为（ ）【结果】C 【思路】【思路】建立平面直角坐标系,写出坐标表示PA PB →→⋅,利用二次函数求出最小值时P 地坐标,最后利用向量地夹角公式求解即可.【详解】建立如图所示平面直角坐标系：则((0,1)A B O ,设(,)P x y ,因为动点P 位于直线OA 上,直线OA 地方程为：1y x =+,所以22(,),)3PA PB x y x y x y →→⋅=--⋅--=-+222244931)2(334x x x x x =-++=+-=+-,当x =时,PA PB →→⋅得到最小值94-,此时3(4P,3(),(4BP BA →→==-,所以cos BP BA PBA BP BA→→→→⋅∠====⋅又因为(0,)PBA π∠∈,所以sin PBA ∠=故选：C.二，多项选择题（本大题共4小题,每小题5分,共20分,其中每题全都选对得5分,选对但不全得2分,有选错得0分）9. 已知复数4732iz i+=+,则下面结论中正确地是（ ）A. z 地虚部为i B. 2z i=-C. |z |=D. z 在复平面内对应地点位于第四象限【结果】BC 【思路】【思路】由复数地除法运算逐项排除可得结果.【详解】()()()()4732472613232323213i i i iz i i i i +-++====+++-,对于A ,z 地虚部为1,故错误。
数学高一月考试题及答案
数学高一月考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x)=2x^2+3x-5，则f(-2)的值为：A. 3B. -3C. -1D. 12. 在等差数列{a_n}中，若a_3=7，a_5=11，则公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 53. 已知圆的方程为x^2+y^2-6x-8y+25=0，该圆的半径为：A. 2B. 4C. 5D. 64. 若sinθ=1/3，且θ为第一象限角，则cosθ的值为：A. 2√2/3B. √2/3C. √6/3D. 2√6/35. 函数y=x^3-3x+2在x=1处的导数为：B. 1C. 2D. 36. 集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则A∩B的元素个数为：A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知等比数列{a_n}的首项a_1=2，公比q=3，那么a_5的值为：A. 162B. 486C. 729D. 9728. 若直线y=2x+1与圆x^2+y^2=25相切，则该直线与x轴的交点坐标为：A. (-1/2, 0)B. (1/2, 0)C. (-1, 0)D. (1, 0)9. 函数f(x)=x^2-2x+3的最小值为：A. 2B. 1C. 0D. -110. 已知向量a=(3, -4)，向量b=(-2, 6)，则向量a与向量b的夹角A. 0°B. 90°C. 180°D. 45°二、填空题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的零点为x_0，则f'(x_0)的值为________。
2. 已知数列{a_n}满足a_1=2，a_{n+1}=2a_n+1，那么a_4的值为________。
3. 圆心在原点，半径为5的圆的方程为________。
4. 若sinα=3/5，且α为第二象限角，则cosα的值为________。
5. 函数y=|x-2|+|x+3|的最小值为________。
2021-2022学年安徽省滁州市定远县高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】
2021-2022学年安徽省滁州市定远县高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．设集合{}11A x x =-≤≤，{}220B x x x =-<，则A B =（ ）A ．{}10x x -≤<B ．{}01x x <≤C ．{}12x x ≤<D ．{}12x x -≤<【答案】B【分析】先解出集合B ，再直接计算交集.【详解】因为{}11A x x =-≤≤，{}{}22002B x x x x x =-<=<<，所以{}01A B x x ⋂=<≤．故选：B ．2．已知m ∈R ，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上是减函数”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件【答案】B【详解】试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B ．【解析】1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.3．已知()lg ,0,0x x x f x a b x ->⎧=⎨+≤⎩且(0)2,(1)4f f =-=，则((2))f f -=A ．-1B ．2C ．3D ．-3【答案】A【详解】∵(),0,0x lgx x f x a b x ->⎧=⎨+≤⎩且且()()02,14f f =-=，()0102(1)4f a b f a b -⎧+∴⎨-+⎩＝＝＝＝ ，解得113a b ，，== ∴(),011,03x lgx x f x x ->⎧⎪=⎨⎛⎫+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，2121102101013f f f f lg -∴-=+=-==-=-（）（），（（））（）．故选A ．4．设2334a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3423b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2323c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．b<c<a B ．a c b << C ．b a c << D ．c b a <<【答案】A【解析】由幂函数23y x =的单调性，求得a c >，又由指数函数2()3xy =的单调性，求得c b >，即可得到答案.【详解】由幂函数23y x =在(0,)+∞为单调递增函数，因为3243>，所以23233()2()34>，即a c >，又由指数函数2()3x y =为单调递减函数，因为3243>，所以23342()2()33>，即c b >，综上可知，实数,,a b c 的大小关系为b<c<a ，故选A.【点睛】本题主要考查了指数式的比较大小问题，其中解答中熟练应用指数函数和幂函数的单调性是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5．函数()11x x e f x e +=-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由()f x 的解析式判断其奇偶性，并确定图象的渐近线，即可确定函数的大致图象. 【详解】由()12111x x x e f x e e +==+--知：1y =为()f x 的一条渐近线，可排除A 、B ； 11)1)((1x x x x e e f x e f e x --++=--=---=且定义域为0x ≠，则()f x 为奇函数，可排除C.故选：D.6．已知π(0,)2α∈，π2cos()33α+=-，则cos α=（ ）A B C D 【答案】B【分析】由π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得ππ5π,336α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，求得πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，由πcos cos 33παα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦求得结果．【详解】因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π,336α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以πsin 3α⎛⎫+== ⎪⎝⎭所以ππππππcos cos cos cos sin sin 333333αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2132=-⨯=． 故选：B ．7．已知0ω>，函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．35,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．35,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,周期23T ππω=≥,解得:6ω≤,令322,242k x k k Z ππππωπ+<+<+∈可得115(2)(2),44k x k k Z ππππωω+<<+∈，由于函数()f x 在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，可得15(2,4)2k πππω+≥1(234)k πππω+≤，分析即得解【详解】函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,0ω>∴ 周期22()233T ππππω=≥⨯-=,解得: 6ω≤又函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的减区间满足:322,242k x k k Z ππππωπ+<+<+∈ 解得：115(2)(2),44k x k k Z ππππωω+<<+∈ 由于函数()f x 在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减故15(2,4)2k πππω+≥1(234)k πππω+≤即356,442k k ωω≥+≤+又06ω<≤，故0k = ∴则ω的取值范围是:3425⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故选：B8．已知函数()10,0 lg ,0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，函数()()()()24g x f x f x t t R =-+∈，若函数()g x 有四个零点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[)3,4 B ．[)lg5,4C ．[){}3,4lg5⋃D ．(]3,4-【答案】A【分析】做出()f x 的图象，判断()f x m =的根的情况，根据()0g x =的根的个数判断240m m t -+=的根的分布，利用二次函数的性质列出不等式组解出t 的范围.【详解】解：作出函数()10,0lg ,0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩的图象如图，令()f x m =，则()0g x =化为240m m t -+=， 由图象可知当m 1≥时，()f x m =有两解，∵()g x 有四个零点，∴240m m t -+=在[1，＋∞）有两个不等实数根，∴2164021140t m t ∆=->⎧⎪>⎨⎪-+≥⎩，解得34t ≤<， ∴实数t 的取值范围是[)3,4. 故选：A.【点睛】本题考查了函数零点的个数判断，基本初等函数的性质，属于中档题. 9．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()1f x f x =-+，当102x ≤≤时，()f x x =结论错误的是（ ）A ．方程()f x x a -+=0最多有四个解B ．函数()f x 的值域为[C ．函数()f x 的图象关于直线12x =对称D ．f (2020)=0 【答案】A【解析】由已知可分析出函数的对称轴以及周期，值域，进而可以判断B ，C ，D 是否正确，而选项A ，需将方程根的问题转化为函数的零点问题进行求解即可． 【详解】由()(1)f x f x =-+可得：(1)(2)f x f x +=-+， 则()(2)f x f x =+，所以函数()f x 的周期为2， 所以(2020)(0)0f f ==，D 正确，排除D ； 再由()(1)f x f x =-+以及()()f x f x =--， 所以()(1)f x f x -=+，则函数()f x 的对称轴为12x =，C 正确，排除C ；当012x时，()[0f x ，又函数是奇函数，102x -时，()[f x =0]，即1122x -时()[f x ∈， 又因为函数()f x 的对称轴为12x =，所以1322x 时()[f x ∈，所以1322x -时()[f x ∈又因为函数()f x 的周期为2，所以函数()f x 的值域为[，B 正确，排除B ；故选：A ．【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的奇偶性、函数的奇偶性、函数的对称性，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m ，筒车的轴心O 到水面的距离为1m ，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现（即0P 时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M 从0P 运动到点P 时所用时间为t （单位：s ），且此时点P 距离水面的高度为h （单位：m ）.若以筒车的轴心O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy （如图2），则h 与t 的函数关系式为（ ）A ．2sin 1156h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞B ．2sin 1156h t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞C ．2sin 16h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞D ．2sin 16h t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞【答案】A【解析】首先先求以OP 为终边的角为156t ππ-，再根据三角函数的定义求点P 的纵坐标，以及根据图形表示()h t . 【详解】06xOP π∠=，所以0OP 对应的角是6π-， 由OP 在()t s 内转过的角为226015t t ππ⨯=， 可知以Ox 为始边，以OP 为终边的角为156t ππ-，则点P 的纵坐标为2sin 156t ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以点P 距水面的高度()h m 表示为()t s 的函数是2sin 1156h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键读懂题意，并能抽象出函数关系，关键是求以OP 在()t s 内转过的角为226015t t ππ⨯=，再求以OP 为终边的角为156t ππ-.11．如图，设A ，B 两点在河的两岸，测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A ，B 两点间的距离为（ ）A ．502mB ．503mC ．252mD ．2522m 【答案】A【分析】求出角B 后，根据正弦定理可解得结果. 【详解】1804510530B ∠=--=， 由正弦定理得sin sin AB ACACB B=∠∠，∴250sin 25021sin 2AC ACBAB B⨯⋅∠===∠，故A ，B 两点的距离为502m . 故选：A.【点睛】本题考查了正弦定理，考查了三角形的内角和定理，属于基础题.12．如图，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB a =，AD b =，E 为BF 的中点，则AE =（ ）A ．4255a b +B ．2455a b +C ．4233a b +D ．2433a b +【答案】A【解析】把向量AE 分解到,AB AD 方向，求出分解向量的长度即可得答案 【详解】设BE m =，则22AE BF BE m ===， 在Rt ABE ∆中，可得5AB m =．如图，过点E 作EH AB ⊥于点H ，则222555m EH m m ==，且//EH AD ，则222545(2)55AH m m m ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．所以45AH AB =，25HE AD =．所以42425555AE AH HE AB AD a b =+=+=+．故选：A【点睛】本题主要考查了向量的三角形法则以及勾股定理。
2023-2024学年重庆高一下册3月月考数学试题(含解析)
2023-2024学年重庆高一下册3月月考数学试题一、单选题1．sin 74sin 46sin16sin 44-= （）A ．12B ．12-C ．2D ．【正确答案】A【分析】转化sin 74cos16,sin 46cos 44== ，再利用两角和的余弦公式即得解【详解】由题意，1sin 74sin 46sin16sin 44cos16cos 44sin16sin 44cos602-=-==故选：A本题考查了三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式综合，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题2．函数()24sin 1f xx x =+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】根据奇偶性，结合特殊点，即可求解.【详解】函数()24sin 1f xx x =+的定义域为R ， ()()()()224sin 4sin 11x xf x f x x x --==-=-+-+，∴函数()f x 是奇函数，排除AC ；当π2x =时，2π4102π12f ⨯⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此时图像在x 轴的上方，排除B.故选：D 3．已知4sin ,,52πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan α的值是（）A ．34-B ．43-C ．34D ．43【正确答案】B【分析】由同角三角函数的平方关系和商数关系，结合,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即得解【详解】由题意，4sin ,,52πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭3cos 5α∴=-sin 4tan cos 3∴==-ααα故选：B4．已知函数()()cos 2f x x ϕ=+，则“π2ϕ=”是“()f x 是奇函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】先由()f x 是奇函数求出ϕ的取值集合，再根据逻辑条件判断即可.【详解】()f x 是奇函数等价于cos(2)cos(2)x x ϕϕ-+=-+，即cos(2)cos(π2)x x ϕϕ-+=--，故2π22π,Z x x k k ϕϕ-+=--+∈，所以ππ,Z 2k k ϕ=+∈.则“π2ϕ=”是“()f x 是奇函数”的充分不必要条件.故选：A.5．已知角α满足π1cos 33α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝（）A ．79-B ．79C．9-D．9【正确答案】A【分析】利用凑角方法，并利用诱导公式和二倍角的余弦公式转化计算.【详解】∵π1cos 33α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴πππsin 2sin2632αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2ππ27cos 22cos 113399αα⎛⎫⎛⎫=-=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A.6．若1sin cos 2αα+=，则44sin cos αα+=（）A ．52B ．18C ．716D ．2332【正确答案】D【分析】将已知等式平方，利用二倍角公式得出sin 2α的值，由同角三角函数的关系化简求值即可．【详解】1sin cos 2αα+=，两边平方得11sin 24α+=，即3sin 24α=-则()24422222123sin cos sin cos 2sin cos 1sin 2232ααααααα+=+-=-=故选:D7．已知函数()cos (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间π3,π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围为（）A ．80,9⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．(]1,2C ．(]0,1D ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦【正确答案】A【分析】先由周期大于等于单调区间的长度的2倍，求得ω的初步范围，然后结合余弦函数的单调性进一步确定ω的范围，得到答案.【详解】由题意有2ππT ω=≥，可得02ω<≤，又由πππ5π3436ω<+≤，必有3πππ43ω+≤，可得809ω<≤.故选：A8．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x +=--，若(1)1f >，(2023)2sin f t =，则实数t 的取值范围是（）A ．π2π2π,2π,33k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z B ．2ππ2π,2π,33k k k ⎛⎫-+-+∈ ⎪⎝⎭Z C ．π5π2π,2π,66k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭ZD ．5π2π,2π,66k k k π⎛⎫-+-+∈ ⎪⎝⎭Z 【正确答案】D【分析】根据()f x 为奇函数，(2)(2)f x f x -=--推出()f x 是周期函数，周期为4，利用周期得(2023)(1)(1)2sin f f f t =-=-=，根据(1)1f >推出1sin 2t <-，再利用单位圆可求出结果.【详解】因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(2)(2)f x f x -=--，又因为(2)(2)f x f x +=--，所以(2)(2)f x f x +=-，(4)()f x f x +=，所以()f x 是周期函数，周期为4，所以(2023)(45061)(1)f f f =⨯-=-=(1)f =-，因为(1)1f >，所以(2023)1f <-，即2sin 1t <-，1sin 2t <-，根据单位圆中的三角函数线可得：5ππ2π2π66k t k -+<<-+，Z k ∈，故选：D二、多选题9．下列各式中，值为12的是（）A ．2sin15cos15B ．2π2cos112-C D ．2tan22.51tan 22.5-【正确答案】AD【分析】利用二倍角公式，逐项分析、计算判断作答.【详解】对于A ，12sin15cos15sin302==，A 正确；对于B ，2ππ12cos 1cos 1262-=>，B 错误；对于C 1cos152=> ，C 错误；对于D ，22tan22.512tan22.511tan451tan 22.521tan 22.522=⨯=⨯=--，D 正确．故选：AD10．下列不等式中成立的是（）A ．πsin1sin 3<B ．15π4πsinsin 75>C ．2πcoscos 23>D ．()cos 70sin18->︒︒【正确答案】AD【分析】由三角函数的诱导公式化简，然后根据正弦、余弦函数的单调性比较各选项中角的大小关系，从而得出函数值的大小关系.【详解】对A ，因为ππ0132<<<，sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以πsin1sin 3<，故A 正确；对于B ，15ππsinsin 77=，4πππsin sin sin 557=>，故B 错误；对C ，因为π2π2π23<<<，cos y x =在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以2πcos cos 23<，故C 错误；对于D ，()cos 70cos 70sin 20sin18-︒=︒=︒>︒，故D 正确.故选：AD.11．已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．直线4π3x =是函数()f x 图象的一条对称轴B ．函数()f x 在区间π7π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．将函数()f x 图像上的所有点向左平移π6个单位长度，得到函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．若()π6f x a f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭对任意的π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则10a <-.【正确答案】AC【分析】利用三角函数对称轴的性质即可验证选项A ，利用函数的单调性即可验证选项B ，利用图像平移的特性验证选项C ，将问题转化为求最值即可得D 选项.【详解】函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ：4π8ππsin 1336f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对于B ：由于π7π,412x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以ππ2,π63x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故函数在该区间上有增有减，故B 错误；对于C ：将函数π()sin(2)6f x x =-的图像上的所有点向左平移π6个单位，得到函数sin 2sin(2)666y x x ⎡ππ⎤π⎛⎫=+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图像，故C 正确；对于D ：函数()π6f x a f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，整理得π1sin(262a x <--，即求出函数()π1sin(2)62g x x =--的最小值即可，由于π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当0x =时取得最小值1-，故1a <-，故D 不正确．故选：AC ．12．设函数()sin 2sin cos xf x x x=+，则（）A ．()f x 的一个周期为πB ．()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上有最大值4D ．()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =【正确答案】BD【分析】利用诱导公式化简可得()()πf x f x +=-，可判断选项A ；利用换元法和函数的单调性，可判断选项B 和C ；利用诱导公式化简可得()π2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可判断选项D ．【详解】对A ：()()()()()()sin 2πsin 22πsin 2πsin πcos πsin cos sin cos x x xf x f x x x x xx x+++===-=-+++--+，故π不是()f x 的周期，A 错误；对B ：令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则2sin 22sin cos 1x x x t ==-，则211t y t t t-==-，∵ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()πππ0,,sin 0,1424x x ⎛⎫⎛⎫+∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π4t x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且(π0,4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y t t =-在()0,∞+上单调递增，故()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，B 正确；对C ：∵π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()π0,π4x +∈，∴(]πsin 0,14x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则(π4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y t t =-在(上单调递增，且|2x y ，∴1y t t =-在(上最大值为2，即()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎝⎭上有最大值2，C 错误；对D ：()()πsin 2sin π2πsin 22ππ2cos sin sin cos sin cos 22x x x f x f x x x x xx x ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭-=== ⎪++⎛⎫⎛⎫⎝⎭-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =，D 正确.故选：BD.结论点睛：若()()f m x f n x +=-，则()f x 关于直线2m nx +=对称，特别地()()2f x f a x =-，则()f x 关于直线x a =对称；若()()2f m x f n x b ++-=，则()f x 关于点,2m n b +⎛⎫⎪⎝⎭对称，特别地()()20f x f a x +-=，则()f x 关于点(),0a 对称.三、填空题13．对任意实数0a >且1a ≠，函数31x y a -=+的图象经过定点P ，且点P 在角θ的终边上，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.【正确答案】15-##0.2-【分析】函数过定点()3,2P 得到2tan 3θ=，再利用和差公式计算得到答案.【详解】函数31x y a -=+的图象经过定点()3,2P ，点P 在角θ的终边上，故2tan 3θ=，21πtan 113tan 241tan 513θθθ--⎛⎫-===- ⎪+⎝⎭+.故15-14．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象关于直线π6x =对称，则π()4f =__________.【分析】根据函数的最小正周期得到=2ω，利用对称轴得到ϕ，然后代入计算即可求解.【详解】因为函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，所以2π=2T ω=，又因为直线π6x =是函数的一条对称轴，所以ππ2+=π,Z 62k k ϕ⨯+∈，解得：ππ,Z 6k k ϕ=+∈，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=，则函数π()2sin(2)6f x x =+，所以ππππ()2sin(22cos 4466f =⨯+==故答案为15．设()cos 24cos f x x x =+，若对任意实数x 都有()a f x ≤成立，则实数a 的取值范围是__________．【正确答案】(],3-∞-【分析】将问题转化为min ()a f x ≤，然后利用换元法将()f x 转化为二次函数，利用二次函数的性质求最小值即可.【详解】若对任意实数x 都有()a f x ≤成立，则min ()a f x ≤，又2()cos 24cos 2cos 4cos 1f x x x x x =+=+-，令[]cos ,1,1x t t =∈-，()2()241g t f x t t ∴==+-，[]1,1t ∈-，其对称轴为1t =-，故函数()g t 在[]1,1-上单调递增，()min ()12413f x g =-=--=-，3a ∴≤-.故答案为.(],3-∞-16．已知函数1,0sgn()0,01,0x x x x -<⎧⎪==⎨⎪>⎩，关于函数()sgn(π)sin f x x x =-有如下四个命题：①()f x 在ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减；②()1lg2lg 2f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③()f x 的值域为[]11-，；④()f x 的图象关于直线πx =对称.其中所有真命题的序号是__________.【正确答案】②③④【分析】根据函数的概念求出sin ,π()sgn(π)sin 0,πsin ,πx x f x x x x x x -<⎧⎪=-==⎨⎪>⎩，画出函数的图象，结合图象逐项进行判断即可.【详解】依题意可得sin ,π()sgn(π)sin 0,πsin ,πx x f x x x x x x -<⎧⎪=-==⎨⎪>⎩，作出()f x 的部分图象，如图所示，由图可知，()f x 在ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，1(lg 2)(lg )2f f =-，()f x 的值域为[1,1]-，()f x 的图象关于直线πx =对称，故所有真命题的序号是②③④.故②③④.四、解答题17．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,4cos 5α=.(1)求sin 2α的值;(2)求sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【正确答案】(1)2425【分析】（1）由40,,cos 25παα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，算得sin α，接着利用二倍角公式，即可得到本题答案；（2）利用和角公式展开，再代入sin ,cos αα的值，即可得到本题答案.【详解】(1)因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,4cos 5α=,所以3sin 5α==.所以24sin 22sin cos 25ααα==；(2)sin cos 42210πααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.本题主要考查利用同角三角函数的基本关系，和差公式以及二倍角公式求值，属基础题.18．已知()()()πsin 2πcos 2πcos tan π2f ααααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭.(1)求4π3f ⎛⎫⎪⎝⎭；(2)已知()ππ4,225f αα-<<=，求tan α．【正确答案】(1)4π1()32f =-；(2)3tan 4α=±【分析】（1）根据三角函数诱导公式化简，再代入求值；（2）由()45f α=得到4cos 5α=，再根据角的范围分情况求得结果.【详解】（1）解：()()()sin sin sin tan f ααααα-⋅-=⋅＝cos α∴4π1()32f =-（2）因为()45f α=，所以4cos 5α=当π02α≤<时，3sin 5α==，所以sin 3tan cos 4ααα==，当π02α-<<时，3sin 5α==-，所以sin 3tan cos 4ααα==-，所以3tan 4α=±．19．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=.(1)求sin()αβ+的值；(2)求tan β的值.【正确答案】(1)5(2)2【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系进行计算求解.（2）利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式进行求值.【详解】（1）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈，又因为cos()5αβ+=-，所以sin 5)(αβ+==.（2）由（1）有：sin()tan()2cos()αβαβαβ++==-+，又4tan 3α=，所以42tan()tan 3tan tan[()]241tan()tan 1(2)3αβαβαβααβα--+-=+-===+++-⨯.20．已知函数()π2sin23f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 在π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；(2)若123f β⎛⎫= ⎪⎝⎭，求πcos 23β⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【正确答案】(1)ππ,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和7π5π,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)79-【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由π5π,66x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦可求得π23x +的取值范围，结合正弦型函数的单调性可求得函数()f x 在π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；（2）由已知可得出π1sin 33β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得πcos 23β⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】（1）解：由题意得()31πcos2sin2sin2cos2sin2sin 222223f x x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，因为π5π,66x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，所以[]20,2πx π3+∈，令ππ0232x ≤+≤，解得ππ612x -≤≤，令3ππ22π23x ≤+≤，解得7π5π126x ≤≤，所以函数()f x 在π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为ππ,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和7π5π,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）解：由（1）知π1sin 233f ββ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22ππππcos 22cos 12cos 13632βββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2π272sin 11399β⎛⎫=+-==- ⎪⎝⎭.21．已知函数21()cos cos 2f x x x x =+-．(1)解不等式1()2f x ≥，其中ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．(2)在锐角ABC 中，π3A =，求()()f B f C +的取值范围．【正确答案】(1),63ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦(2)1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得到ππ7π2,626x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，然后解不等式sin 212π6x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭+，可得ππ5π2266x <+≤求解即可；（2）利用已知条件求出角B 的取值范围，利用三角恒等变换化简得出()()πsin 26f B f C B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的基本性质可求得()()f B f C +的取值范围.【详解】（1）()1cos 211π2sin 2cos 2sin 2222226x x x x x x f +⎛⎫+-=+=+ ⎝=⎪⎭ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ7π2,626x ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭1()2f x ≥ ，即sin 212π6x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭+，ππ5π2266x ∴<+≤，解得ππ,63x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故不等式1()2f x ≥的解集为ππ,63⎛⎤ ⎥⎝⎦.（2）由题意可得π02,π2B A B ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩且π3A =，可得ππ62B <<，∵π,π3A A B C =++=，∴2π3C B =-，πππ4π()()sin 2sin 2sin 2sin π266636f B f C B C B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π11sin 2cos 22cos 2cos 22cos 2622B B B B B B B ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭πsin 26B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵ππ62B <<，则ππ5π2666B <-<，∴1()()sin 2,162f B fC B π⎛⎫⎛⎤+=-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦．故()()f B f C +的取值范围为1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦.22．设a ∈R ，函数()2πsin cos ,,π2f x x x a x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭.(1)讨论函数()f x 的零点个数；(2)若函数()f x 有两个零点12,x x ，求证.123π2x x +<【正确答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数()f x 的零点个数；（2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明123π2x x +<.【详解】（1）()2cos cos 1f x x x a =--++，令()0f x =，即2cos cos 1x x a +=+，π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()21cos 1,0,,0,04t x t t f x ⎡⎫=∈-+∈-=⎪⎢⎣⎭即21t t a +=+，10a +≥或114a +<-即[)5,1,4a ∞∞⎛⎫∈--⋃-+ ⎪⎝⎭时，21t t a +=+无解；114a +=-即54a =-时，21t t a +=+仅有一解12t =-，此时x 仅有一解2π3；1104a -<+<即514a -<<-时，21t t a +=+有两解12t =-±1cos 2x =-()f x 有两个零点；综上，[)5,1,4a ∞∞⎛⎫∈--⋃-+ ⎪⎝⎭时，()f x 无零点，54a =-时，()f x 有一个零点，5,14a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()f x 有两个零点；（2）()f x 有两个零点时，令1122cos ,cos t x t x ==，则12,t t 为21t t a +=+两解，则121t t +=-，则12cos cos 1x x +=-，则221122cos 2cos cos cos 1x x x x ++=，由12π,,π2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得12cos 0,cos 0x x <<，则122cos cos 0x x >，则2212cos cos 1x x +<，则2221223πcos sin cos 2x x x ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，由2π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得223ππ3π,π,cos 0222x x ⎛⎫⎛⎫-∈-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则123πcos cos 2x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，由cos y x =在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，可得123π2x x <-，则123π2x x +<.函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．。
2021-2022学年江苏省无锡市太湖高级中学高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】
2021-2022学年江苏省无锡市太湖高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．在矩形中，，，则（ ）ABCD 3AB =4=AD AB AC AD ++= A ．5B ．6C ．8D ．10D【分析】只需用几何法直接求对角线的长度即可.【详解】由题意 ， ；AC AB AD =+ 210AB AC AD AC ++=== 故选：D.2．如图，在中，设，，若点E 在上，且，则ABCD AB a = AD b = CD 2CE ED ==（ ）BEA ．B ．C ．D ．23a b - 23a b -+13a b -+ 13a b - B【分析】运用平面向量基本定理，结合平面向量加法的运算性质、平行四边形的性质进行求解即可.【详解】因为，所以，2CE ED = 23CE CD=在中，，ABCD ,CD BA BC AD == 所以，22223333BC CE AD CD AD BA BE AD AB b a=+=+=+=-=-故选：B3．设，向量，，，若，则,x y R ∈()1,2a =()3,4b =()5,6c =c xa yb =+ （ ）x y +=A ．B ．C ．1D ．33-1-C【分析】利用向量的坐标公式计算即可.【详解】向量，，，()1,2a =()3,4b =()5,6c =c xa yb =+ ，∴()()()5,61,23,4x y =+，解得.53624x yx y =+⎧∴⎨=+⎩12x y =-⎧⎨=⎩则.1x y +=故选：C4．设向量，，且，则向量与的夹角为(,1)a x =(1,b = a b ⊥a b A ．B ．C ．D ．6π3π23π56πD【详解】向量，，且，则(),1a x =(1,b =a b ⊥0,a bx x ⋅=== ,a =-(0,4)=()014(a b⋅=⨯+⨯=- ,设向量与的夹角为，则4,2a b =a b θ ，，选D.cos θ=50,6πθπθ≤≤∴= 5．在△ABC 中，△ABC 的最小角为（ ）7,a b c ===A．B ．C ．D ．3π6π4π12πB【分析】由小边对小角原理判断三边大小可知最小，求即可.C cos C 【详解】由三角形边角关系可知，角C 为△ABC 的最小角，则cos C =，所以C =.222π22a b c C ab +-=<<6π故选：B .本题考查由余弦定理求解最小角，属于基础题6．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则必为ABC cos cAb <ABC （ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形A【分析】由正弦定理得到，得出，进而sin cos sin C A B <sin cos 0A B <，即可求解.sin 0,0cos A B ><【详解】因为，由正弦定理可得，即，cos cAb <sin cos sin C A B <sin cos sin C A B <又因为，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+所以，即，sin cos cos s co si in s n A B A B A B +<sin cos 0A B <因为，所以，,(0,)A B π∈sin 0,0cos A B ><所以，所以为钝角三角形.(,)2B ππ∈ABC 故选：A.7．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，，且D ABC 4b c ==120A =︒是边上的动点(不含端点)，则的取值范围是（ ）BC ()()DA DB DA DC+⋅+A ．B ．C ．D ．[8,10)-[16,40)-[8,40)-[16,48)-C【分析】以BC 所在直线为轴，以BC 的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标x y 系，利用向量数量积的坐标运算求出即可求解.()()DA DB DA DC +⋅+【详解】解：以BC 所在直线为轴，以BC 的中垂线为轴建立如图所示的平面直角x y 坐标系，因为，，所以，，，设，4b c ==120A =︒()0,2A ()B -()C (),0D x，(x ∈-则，，，(),2DA x =-(),0DB x =--(),0DC x =-所以，()()()()22,22,248DA DB DA DC x x x +⋅+=--⋅=-因为，所以，(x ∈-()248[8,40)x-∈-所以的取值范围是，()()DA DB DA DC +⋅+[8,40)-8．已知O 为锐角三角形的外心，，则的值为ABC 2340OA OB OC ++=cos ACB ∠（ ）ABC ．D ．1434A【分析】根据平面向量数量积的定义和运算运算性质，结合余弦的二倍角公式、三角形外心的性质进行求解即可.【详解】设锐角三角形的外接圆的半径为，即，ABC R OA OB OC R ===，22223404(23)164912OA OB OC OC OA OB OC OA OB OA OB ++=⇒=-+⇒=++⋅ ，显然是锐角，2221164912cos cos 04R R R R R AOB AOB ⇒=++⋅⋅⋅∠⇒∠=>AOB ∠因为O 为锐角三角形的外心，所以O 在锐角三角形内部，ABC ABC 由圆的性质可知：，显然是锐角，12ACB AOB ∠=∠ACB ∠211cos 2cos 1cos 44AOB ACB ACB ∠=⇒∠-=⇒∠=故选：A 二、多选题9．下列说法中错误的为（ ）A ．若，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是()1,2a =()1,1b =a ab l + λ5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底()12,3e =-213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．若，则在方向上的投影向量的模为//a b a b aD ．非零向量和满足，则与的夹角为a b a b a b==- a a b + 60︒ACD【分析】对于A ，由与的夹角为锐角，可得且与不共线，a ab l + ()0a a b λ⋅+> a a b l +从而可求出的取值范围，对于B ，判断两个向量是否共线，对于C ，由可得与λ//a b a可能同向，也可能反向，然后利用数量积的几何意义求解即可，对于D ，由b，可得，从而可求出，，再利用向量的夹角公式可a a b=- 22b a b=⋅ ()a a b⋅+ a b+【详解】对于A ，，，与的夹角为锐角，(1,2)a = (1,1)b = a a b l + ，∴()(1,2)(1,2)142350a a b λλλλλλ⋅+=⋅++=+++=+>且（时与的夹角为），所以且，故A 错误；0λ≠=0λa a b l + 0︒53λ>-0λ≠对于B ，向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B12(2,3)4e e =-=正确；对于C ，若，当与反向时，则在方向上的投影为，故C 错误；//a b a b a b a- 对于D ，因为，两边平方得，则，a ab =- 22b a b=⋅()2232a a b a a b a ⋅+=+⋅=a + 故，cos ,a a b +[]0,π得与的夹角为，故D 项错误．a ab +6π故选：ACD10．等边三角形中，，，与交于F ，则下列结论正确ABC BD DC = 2EC AE =AD BE 的是（ ）A ．B ．()12AD AB AC=+2133BE BA BC=+C ．D ．1344AFAB AE=+ 1123BF BA BC=+ ABC【分析】根据向量线性运算，求得各选项的表达式，由此判断出正确选项.【详解】如下图所示：选项A ：，为中点，，A 正确；BD DC = D ∴BC ()12AD AB AC∴=+选项B ：，B 正确；()11213333BE BA AE BA AC BA AB BC BA BC=+=+=++=+选项C ：,,由于三点共线，，故2EC AE = 13AE AC∴=,,E F B BF BE λ= ，设()()1113AF AE AB AC ABλλλλ=+-=+- ，由此可得，()111222AF xAD x AB AC xAB xAC==+=+11332411122x x x λλλ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩，C 正确；()111111332224444AF AD AB AC AB AE AB AE∴==⨯+=+⨯=+ 选项D ：，D()111111++222224BF BA AF BA AD BA BD BA BA BC BA BA BC⎛⎫=+=+=-=-=+ ⎪⎝⎭错误.故选：ABC.11．已知的重心为G ，点E 是边上的动点，则下列说法正确的是（ ）ABC BC A ．A BG CGG +=B ．若，则的面积是面积的2133AE AB AC=+ EAC ABC 23C ．若，，则2AB AC ==3BC =76AB AG ⋅=D ．若，，则当2AB AC ==3BC =EA EB ⋅ BCD【分析】根据三角形重心的向量性质判断A ，由向量的线性运算求得与的关系，EC BC 判断B ，由数量积的定义计算判断C ，设，计算数量积后求最小值，从而可计BE x =算出判断D ．AE 【详解】因为的重心为G ，所以，所以，A 错；ABC 0GA GB GC ++=AG BG CG +=- 2133AE AB AC=+32AE AB AC ⇒=+ 2()2AE AB AC AE BE EC ⇒-=-⇒= ，B 正确；23EC BC ⇒=23EAC BACS S ⇒= ，， 是等腰三角形，，2AB AC ==3BC =ABC 332sin 24BAG ∠==是锐角，BAG ∠cos BAG ∠==AG =，C 正确；7cos 26AB AG AB AG BAG ⋅=∠==设，，(03)BE x x =≤≤3cos 4B =2223()cos()2(4EA EB AE BE AB BE BE AB BE BE AB BE B x x x π⋅=⋅=+⋅=⋅+=-+=⋅-+ ，22339(2416x x x =-=--所以时，取得最小值，34x =EA EB ⋅916-此时， D 正确．BE ==故选：BCD ．12．在的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是（ ）ABC A ．若，则B ．若，22ab c =04C π<<2a b c +=03C π<≤C ．若，则D ．若，则为锐角三角()2a b c ab +<2C π>444a b c +=ABC 形ABD【分析】根据题目所给的条件，运用余弦定理以及基本不等式可以得出结论.【详解】对于A ，，22ab c =由余弦定理（当且仅当 时等号成立），222322cos 224ab aba b ab C ab ab +--=≥=>a b = 故A 正确；对于B ， ， ，22224a b ab c ++=22224a b abc ++=由余弦定理，()22222223131144222cos 2222a b ab a b a b ab ab ab C ab ab ab +++-+--==≥=当且仅当 时等号成立，故B 正确；a b =对于C ，依条件有，，()a b c ab≤+<24abc c <由余弦定理 （当且仅当 时等222222744cos 02228ab aba b ab a b c C ab ab ab +--+-=>≥=>a b =号成立），故C 错误；对于D ，， ，()()222222220a b c a b +-=>222a b c +>并且 ，由三角形大边对大角得 ,,c a c b >>,C A C B ∠>∠∠>∠由余弦定理 ，222cos 02a b c C ab +-=>角C 是锐角，所以角A 和角B 也是锐角，故D 正确；故选：ABD.三、填空题13．已知，是两个不共线的向量，若与共线，则的a b()m a kb k R =-+∈ 32n a b =- k 值为_________．23【分析】根据题意得到，列出方程组，即可求解.λ= m n 【详解】由题意，向量与共线，m a kb =-+ 32n a b =-可得，即，可得，解得.λ= m n (32)a kb a b λ-+=- 312k λλ=-⎧⎨=-⎩23k =故答案为.2314．设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且，则角ABC cos a C b =的大小为_________．A 6π30【分析】由正弦定理得，化简得到2sin 2sin cos B C A C =，进而求得的值，即可求解.2cos sin 0A C C =cos A【详解】因为，可得的，cos a C b =2cos 2a C b =由正弦定理得，2sin 2sin cos B C A C =因为，2sin 2sin()2sin cos 2cos sin B A C A C A C =+=+化简得，2cos sin 0A C C =又因为，可得，所以(0,)C π∈sin 0C >cos A =又由，可得.(0,)A π∈6A π=故答案为.6π15．在中，，，，若对任意的实ABC (,2)AB m m =+ (cos ,sin )AC αα= (,)m α∈∈R R 数t ，恒成立，则面积的最小值是_________AB t AC AB AC-≥- ABC 0.512【分析】由对任意的实数t ，恒成立，可得，根据AB t AC AB AC CB-≥-= BC AC ⊥向量的模长公式以及勾股定理，求出、，从而根据即可求解.AC 12ABCBC S AC =【详解】解：因为对任意的实数t ，恒成立，AB t AC AB AC CB-≥-=所以由向量减法的几何意义可知，点B 到直线AC 的最短距离为BC ，所以，BC AC ⊥因为，，(,2)AB m m =+ (cos ,sin )AC αα=所以，1AC ==AB ==所以，即面积的最小1212ABC AC C S B ===≥ ABC 值是，12故答案为.12四、双空题16．已知的外接圆圆心为O ．且，，则ABC 2AO AB AC =+ 2OA AB == _________，向量在向量上的投影向量的模长为_________AB AC ⋅=CA CB ； .03【分析】根据平面向量的加法运算性质，结合平面向量数量积的运算性质、投影向量的定义进行求解即可.【详解】由，22AO AB AC AO OB OC OB A C AO O O ⇒=++==+⇒+所以点共线，因为的外接圆圆心为O ．B C O 、、ABC 所以是圆O 的直径，故，BC 900BAC AB AC AB AC ︒∠=⇒⊥⇒⋅= 因为，所以，，2OA = 4BC =21sin 3042ACB ACB ︒∠==⇒∠=向量在向量上的投影向量的模长为：CA CB，cos 3CA ACB ⋅∠== 故；03五、解答题17．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC a =，，求边c 和的面积．b =30B =︒ABCc =ABC c =ABC 【分析】利用余弦定理可得，再利用三角形面积计算公式即可得出．c【详解】∵，，a =b =30B =︒∴，2222cos b a c ac B =+﹣∴，化为，解得．226230c c cos =+-⨯ 240c -+=c =当∴S △ABC =c =1sin 2ac B当∴S △ABC =c =1sin 2ac B18．设向量()()()122121a b c ===-，，，，，（1）若向量 与向量 平行，求 的值； a b λ-c λ（2）若向量 与向量互相垂直，求 的值.b c μ+b c μ- μ（1）；（2）1或.54λ=1-【分析】(1)根据平面向量的坐标运算，结合平行向量的判定定理求解即可；(2)根据平面向量的坐标运算，结合向量垂直的判定定理求解即可.【详解】（1），()122a b λλλ-=--， 向量 与向量 平行， a b λ- c ()512225404λλλλ∴-+-=-=⇒=（2）因为 ，()()()212221b c μμμμμ+=+-=-+，，， ，()()()221221b c μμμμμ-=--=+-，，，因为 与 互相垂直，所以 ，b c μ+ b c μ- ()()b c b c μμ+⋅-= 即，()()()()411110μμμμ-+++-=，解得 或 .()()3110μμ∴-+=1μ=1-19．如图，在中，点D 是边上一点，ABC BC 14,6,10AB BD AD ===(1)求的大小；ADC ∠(2)若的面积为，求边的长．ABCAC (1)；3π(2)【分析】（1）运用余弦定理，结合诱导公式进行求解即可；（2）根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式进行求解即可.【详解】(1)，因为，14,6,10AB BD AD ===所以，222100361961cos 221062AD BD AB ADB AD BD ∠+-+-===-⋅⋅⨯⨯；1cos cos()cos 23ADC ADB ADB ADC π∠π∠∠∠=-=-=⇒=(2)由正弦定理可知：，10sin sin sin sin AD AB ABD ABD ADB ABD =⇒=∠=∠∠∠因为的面积为ABC 所以，于是，114142BC BC ⨯⋅=⇒=1468CD BC BD =-=-=由余弦定理可知：.AC ===20．如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x 轴、y 轴正Ox Oy 60︒12,e e 方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标12OP xe ye =+ (),x y OP 系中的坐标，记，已知在该坐标系下Oxy (),OP x y =(1,2),(2,3)a b ==-(1)计算的大小a b+ (2)求与的夹角大小a b + aθ(1)，a + (2) .60θ︒=【分析】题目给出的是非直角坐标系，与直角坐标系不同的是，当两向量垂直的时候，其数量积不为0；（1）将向量 用基底 表示，按照模的运算法则即可；a b +12,e e （2）求出向量 的模，用向量夹角公式计算即可.a【详解】(1)依题意，1212122233a b e e e e e e +=++-=- ，()()2222212121239231023cos 607a b a be e e e e e ︒+=+=-=+-⨯=-⨯⨯=；a + (2)，()22221212122447a e e e e ee =+=++= ，()2212123251cos 72a b a e e e e a b aθ+-+====+ ；60θ︒=综上，，.a + 60θ︒=21．如图，在中，已知，，，点D 是上一点，满ABC 1CA =2CB =60ACB ∠=︒AB 足，点E 是边上一点，满足AD AB λ= CB BE BC λ=(1)当时，求12λ=AE CD⋅(2)是否存在非零实数，使得？若存在，求出的值：若不存在，请说明理λAE CD ⊥λ由(1)14(2)存在非零实数，使得23λ=AE CD⊥【分析】（1）当时，、分别是，的中点，则、12λ=D E BC AB 12AE AC CB=+ ，然后根据已知条件即可求解；1()2CD CA CB =+AE CD ⋅ （2）假设存在非零实数，使得，利用、为基底分别表示出和λAE CD ⊥ CB CA CD，AE由求出值即可．0AE CD ⋅=λ【详解】(1)解：当时，，，12λ=12AD AB = 12BE BC = 、分别是，的中点，D ∴E BC AB ，，∴12AE AC CE AC CB =+=+ 1()2CD CA CB =+∴11()()22AE CD AC CB CA CB ⋅=+⋅+ 211112244AC CA AC CB CB CA CB=⋅+⋅+⋅+；221111112cos12021cos6022244=-⨯+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯14=(2)解：假设存在非零实数，使得，λAE CD ⊥ 由，得，AD AB λ=()AD CB CA λ=- ；∴()(1)CD CA AD CA CB CA CB CA λλλ=+=+-=+-又，BE BC λ= ；∴()()(1)AE AB BE CB CA CB CB CA λλ=+=-+-=-- ∴222(1)(1)(1)AE CD CB CB CA CB CA CA λλλλλ⋅=--⋅+-⋅-- ，解得或（不合题意，舍去）24(1)(1)(1)λλλλλ=--+---2320λλ=-+=23λ=0λ=，所以存在非零实数，使得．23λ=AE CD ⊥22．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A ，B ，C 满足1233OC OA OB=+(1)求证：A ，B ，C 三点共线，并求和值．AC CB(2)已知，，，若函数(1,cos )A x (1cos ,cos )B x x +,03x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的最小值为，求实数m 的值()223f x OA OC m AB⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭3-(1)证明见解析，2AC CB→→=(2)52【分析】(1) 化简得，进而可得的值；2BC CA = AC CB（2）先求出，再换元利用二次函数的图像和性质求实数2()cos 2cos 1f x x m x =-+的值.m 【详解】(1)由题意知，，即，32OC OA OB =+2()OC OB OA OC -=- 所以，则，为公共点，所以A ，B ，C 三点共线，2BC CA = //BC CAC 则.2AC CB= (2)易知，，，(1,cos )OA x = (1cos ,cos )OB x x =+(cos ,0)AB x →=则，，2(1cos ,cos )3OC x x →=+cos AB x=所以，2()cos 2cos 1f x x m x =-+令，cos t x =则，，其对称轴方程是.()222()211g t t mt t m m =-+=-+-1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t m =当时，的最小值为，解得（舍）；12m <()g t 15324g m ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭174m =当时，的最小值为，解得（舍）；112m ≤≤()g t ()213g m m =-=-2m =±当时，的最小值为，解得.1m >()g t (1)1213g m =-+=-52m =综上可知，实数的值为.m 52。
四川省成都市2023-2024学年高一下学期三月月考数学试题含答案
高2023级高一下期数学3月月考（答案在最后）一、单选题（共8题，每题5分）1.75cos 75的值是（）A.2B.12C.34D.【答案】A 【解析】【分析】由已知利用二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函数值即可求解．【详解】解：175cos 7522===．故选：A ．2.下列说法错误的是（）A.CD DC=B.1e ，2e 是单位向量，则12e e =C.若AB CD > ，则AB CD>D.任一非零向量都可以平行移动【答案】C 【解析】【分析】利用向量的有关概念即可.【详解】对于A 项，因为CD DC =-，所以||||CD DC = ，故A 项正确；对于B 项，由单位向量的定义知，121e e ==，故B 项正确；对于C 项，两个向量不能比较大小，故C 项错误；对于D 项，因为非零向量是自由向量，可以自由平行移动，故D 项正确．故选：C ．3.函数sin y x x =+，x ∈R 的最大值为（）A.1 B.C.12D.2【答案】D 【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数为π2sin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据正弦型函数的最值可求得结果.【详解】πsin 2sin 3y x x x ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭ ，当ππ2π,Z 32x k k +=+∈，即π2π,Z 6x k k =+∈时，sin y x x =+取得最大值2.故选：D.4.若函数()()sin f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A.2sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B.2sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C.2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.2sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】结合三角函数的的图象，分析三角函数的性质。
确定函数的解析式.【详解】如图：易知：2A =，2πππ4362T =-=⇒2πT =，即2π2πω=⇒1ω=.由π2sin 26ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭⇒π2π3k ϕ=+，Z k ∈，0k =时，π3ϕ=.所以：()π2sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：C5.已知sin 0αα-=，则cos 2=α（）A.13-B.0C.13D.3【答案】A 【解析】【分析】由弦切互化可得tan α=，进而由余弦的二倍角公式以及齐次式的计算即可求解.【详解】由sin 0αα-=可得tan α=，故222222cos sin 1tan 121cos 2cos sin 1tan 123ααααααα---====-+++，故选：A6.已知α为锐角，且π3cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5πsin 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.35B.45-C.45D.45±【答案】C 【解析】【分析】先利用同角三角函数的基本关系求πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用诱导公式把5πsin 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭用πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭来表示即可得到答案.【详解】因为α为锐角，且π3cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以π6α+也是锐角，所以π4sin 65α⎛⎫+== ⎪⎝⎭.5πππ4sin sin πsin 6665ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即5π4sin 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故选：C.7.函数()cos 26cos 1f x x x =-+的值域为（）A.9,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B.9,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C.[4,8]- D.9,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】用余弦的二倍角公式化函数为关于cos x 的二次函数，结合二次函数性质可得值域．【详解】2239()2cos 6cos 2(cos 22f x x x x =-=--，因为1cos 1x -≤≤，所以4()8f x -≤≤．即值域为[4,8]-，故选：C ．8.设函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为T .若2π3πT <<，且对任意x ∈R ，()π03f x f ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，则ω=（）A.23B.34C.45D.56【答案】B 【解析】【分析】由2π3πT <<可得213ω<<，由对任意x ∈R ，()π03f x f ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，可得()min π03f x f ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，计算即可得.【详解】由()π03f x f ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，且()[]1,1f x ∈-，故π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即有()πππ2π342k k ω⋅+=+∈Z ，解得()364k k ω=+∈Z ，又2π3πT <<，0ω>，故2π2π3πω<<，即213ω<<，综上，34ω=.故选：B.二、多选题（共3题，每题6分﹔选错0分，若答案有三个.每个选项2分.若答案为两个，每个选项3分）9.下列各式中，值为12的是（）A.5sin6π B.2sin15cos15︒︒ C.22cos 151︒- D.tan2102︒【答案】ABD 【解析】【分析】根据诱导公式sin(-)sin παα=可判断A ；由二倍角的正弦公式sin22sin cos ααα=可计算B ；由二倍角的余弦公式2cos22cos 1αα=-可判断C ；由诱导公式tan()tan παα+=可计算D.【详解】对于A ：51sinsin(-sin 6662ππππ===，所以A 正确;对于B ：12sin15cos15sin302==，所以B 正确;对于C ：22cos 151cos302-==，所以C 不正确;对于D ：1tan210tan(180********))=+=⨯== ，所以D 正确，故选：ABD.10.已知函数()π3cos 262f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则下列选项正确的是（）A.函数()f x 的最小正周期为πB.点π,32⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心C.将函数()f x 图象向左平移π6个单位长度，所得到的函数为偶函数D.函数()f x 在区间π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增【答案】AB 【解析】【分析】利用余弦型函数的周期公式即得A 项，运用代入检验法将π22x +看成整体角，结合余弦函数图象对称性易得B 项，运用平移变换得到函数后，利用偶函数定义即可判C 项，将π26x +看成整体角，结合余弦函数图象单调性即可判断D 项，【详解】对于A 项，函数()f x 的最小正周期为2π2ππ||2Tω===，故A 项正确；对于B 项，当π3x =-时，ππ262x +=-，而πcos 02⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故点π,32⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心，即B 项正确；对于C 项，函数()f x 图象向左平移π6个单位长度，得到()πππcos 2cos 2sin 2662222g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由于()()()33sin 2sin 22sin 222g x g x x x x ⎡⎛--=--+--+= ⎢⎥ ⎣⎦⎝⎭不恒为零，故该函数不是偶函数，即C 项错误；对于D 项，当π,06x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，πππ2,666z x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，函数cos y z =在区间ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上没有单调性，故D 项错误.故选：AB .11.函数π()sin()(0,0,||2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则（）A.π()3sin(26f x x =+B.()f x 的图象向右平移2π3个单位长度后得到的新函数是奇函数C.()f x 的图象关于点4π(,0)3-对称D.若方程3()2f x =在()0,m 上有且只有6个根，则10π(3π,3m ∈【答案】AD【解析】【分析】根据给定的函数图象，利用函数()f x 的解析式，再利用正弦函数的图象性质逐项判断即得.【详解】由图象得，3A =，3(0)3sin 2f ϕ==，而π||2ϕ<，则π6ϕ=，π()3sin()6f x x ω=+，由()f x 的图象过点5π(,0)12，得()5πππ2πZ 126k k ω+=+∈，解得()242Z 5k k ω=+∈，而()f x 的周期T 有5212T π>，即25212ππω>，解得1205ω<<，因此2ω=，π()3sin(2)6f x x =+，A 正确；函数()f x 的图象向右平移23π个单位长度后得到的新函数是2π(3y f x =-4ππ7π3sin(2)3sin(2)366x x =-+=-，非奇非偶函数，B 错误；4π5π()3sin()332f -=-=-，C 错误；显然π4π7π10π3(0)()(π)((2π)()(3π)()33332f f f f f f f f ========，若方程3()2f x =在(0,)m 上有且只有6个根，则10π(3π,]3m ∈，D 正确.故选：AD三、填空题（共3题，每题5分）12.若,αβ为锐角，且83sin ,cos 175αβ==，则cos()αβ+=_____．【答案】1385【解析】【分析】通过平方关系求出cos α和sin β的值，再根据两角和的余弦公式即可得解.【详解】因为,αβ为锐角，且83sin ,cos 175αβ==，所以154cos ,sin 175αβ==，所以1538413cos()cos cos sin sin 17517585αβαβαβ+=-=⨯-⨯=．故答案为：1385.13.sin47sin17cos30cos17︒︒︒︒-=______．【答案】12##0.5【解析】【分析】注意所求式中角的关系，对47 进行拆角为3017+ ，利用和角公式化简即得.【详解】由sin 47sin17cos30cos17- sin(3017)sin17cos30cos17+-=sin 30cos17cos30sin17sin17cos30cos17+-= sin 30cos171sin 30.cos172===故答案为：1.214.关于函数()cos 2sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎝⎭⎝⎭有下列三个结论，①2π是函数()f x 的周期；②函数()f x 在[0,]x π∈的所有零点和为1312π；③函数()f x 的值域[1,1]-；其中所有正确结论的编号是___________．【答案】①③【解析】【分析】根据三角函数的性质，函数零点的定义，以及值域的求法即可判断各结论的真假．【详解】对①，因为函数cos 2sin 222323f x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+--+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∣cos 2sin 2()33x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以2π是函数()f x 的周期，①正确;对②，令()0f x =，则tan 213x π⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，解得234x k πππ-=±+，即1242x k ππ=+或71242x k ππ=+，Z k ∈，而[0,]x π∈，所以24x π=，724π，1324π，1924π，故函数()f x 在[0,]x π∈的所有零点和为53π，②错误；对③，设cos 2sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2212cos 2sin 21|sin 41333y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=--≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∣，所以11y -≤≤，③正确．故答案为：①③【点睛】本题主要考查三角函数的性质的应用，函数零点的理解，以及值域的求法应用，属于中档题．四、解答题（15题13分，16和17题15分，18和19题17分）15.已知1 tan42πα⎛⎫+=⎪⎝⎭.（1）求tanα的值；（2）求2sin2cos1cos2ααα-+的值.【答案】（1）1 3-（2）5 6-【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换的正切和角公式求解即可.（2）结合二倍角公式进行化简，再结合弦切互化即可求值.【小问1详解】因为1tan42πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以1tan1tan41tan2πααα+⎛⎫+==⎪-⎝⎭，解得1tan3α=-.【小问2详解】因为222sin2cos2sin cos cos2sin cos15tan1cos22cos2cos26ααααααααααα---===-=-+所以2sin2cos1cos2ααα-+的值为56-.16.化简求值（1）已知π1πcos,0,232x x⎛⎫⎛⎫+=-∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求tan2x的值（2）已知ππ0,,,022αβ⎛⎫⎛⎫∈∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且3cos(),sin510αββ-==-．求α【答案】（1）7；（2）π4.【解析】【分析】（1）先求得tan x =，再由倍角公式求tan 2x 的值；（2）先求得sin(),cos αββ-的值，再求得()sin sin ααββ=-+的值，从而可求得α的值.【小问1详解】由π1cos 23x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得1sin 3x =，因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 3x =，tan x =，故22tan tan 211tan 718x x x ===--.【小问2详解】因为ππ0,,22αβ⎛⎫⎛⎫∈∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()0,παβ-∈，所以472sin()510αββ-==所以()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ=-+=-+-43(5105102=+-=因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π4α=.17.一个大风车的半径为8米，风车按逆时针方向匀速旋转，并且12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，设风车开始旋转时其翼片的一个端点P 在风车的最低点，求：（1）点P 离地面距离h （米)与时间t （分钟）之间的函数关系式；（2）在第一圈的什么时间段点P 离地面的高度超过14米？【答案】（1）()8sin()1062h t t ππ=-+，0t ；（2）48t <<．【解析】【分析】（1）设()sin()h t A t b ωϕ=++，由题意求得各参数值，得解析式；（2）解不等式()14h t >可得．【详解】（1）设()sin()h t A t b ωϕ=++，由题意得：8A =，12T =，10b =；则26T ππω==，当0=t 时，2h =，即sin 1ϕ=-；因此，2πϕ=-；因此，()8sin()1062h t t ππ=-+，0t ；（2）由题意：()14h t >，即：8sin(101462t ππ-+>；则：1cos 62t π<-；又因为012t ，所以48t <<．18.已知数2()2sin 1(0)6212x f x x πωπωω⎛⎫⎛⎫=+++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的相邻两对称轴间的距离为2π.（1）求()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域；（3）对于第（2）问中的函数()g x ，记方程4()3g x =在4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的根从小到大依次为12,,n x x x ，若m =1231222n n x x x x x -+++++ ，试求n 与m 的值.【答案】（1）()2sin 2f x x=（2）[-（3）205,3n m π==【解析】【分析】（1）先整理化简得()2sin f x x ω=，利用周期求得2ω=，即可得到()2sin 2f x x =；（2）利用图像变换得到()sin()243g x x π=-，用换元法求出函数()g x 的值域；（3）由方程4()3g x =，得到2sin(433x π-=，借助于正弦函数sin y x =的图象，求出n 与m 的值.【小问1详解】由题意，函数21())2sin ()1626f x x x ππωω⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦)cos()2sin()2sin 6666x x x x ππππωωωω=+-+=+-=因为函数()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为2π，所以T π=，可得2ω=.故()2sin 2f x x=【小问2详解】将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，可得2sin(2)3y x π=-的图象.再把横坐标缩小为原来的12，得到函数()2sin(43y g x x π==-的图象.当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，24,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当432x ππ-=-时，函数()g x 取得最小值，最小值为2-，当433x ππ-=时，函数()g x ，故函数()g x 的值域⎡-⎣.【小问3详解】由方程4()3g x =，即42sin(4)33x π-=，即2sin(433x π-=，因为4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得4,533x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，设43x πθ=-，其中,53πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即2sin 3θ=，结合正弦函数sin y x =的图象，可得方程2sin 3θ=在区间,53ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有5个解，即5n =，其中122334453,5,7,9θθπθθπθθπθθπ+=+=+=+=，即12233445443,445,447,44933333333x x x x x x x x ππππππππππππ-+-=-+-=-+-=-+-=解得1223344511172329,,,12121212x x x x x x x x ππππ+=+=+=+=所以m =()()()()1212345233445223220x x x x x x x x x x x x x π=++++++++++++= .综上，2053n m π==，【点睛】（1）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题；（2）求y =A sin(ωx +φ)+B 的值域通常用换元法；19.已知函数ππ()4sin cos 11212f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0ω>．（1）若()()1212min π(),2f x f x f x x x ≤≤-=，求()f x 的对称中心；（2）若24ω<<，函数()f x 图象向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，π3x =是()g x 的一个零点，若函数()g x 在[,]m n （,R m n ∈且m n <）上恰好有8个零点，求n m -的最小值；（3）已知函数π()cos 22(0)6h x a x a a ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，在第（2）问条件下，若对任意1π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在2π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12h x g x =成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()ππ1Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭,（2）10π9（3）[)2,0-【解析】【分析】（1）利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，可得ω，整体代入法求()f x 的对称中心；（2）由图象平移变换得到函数()g x ，结合π03g ⎛⎫= ⎪⎝⎭和24ω<<，得3ω=，根据()g x 的零点个数可得35T n m T <-<，要使n m -最小，则,m n 恰好为()g x 的零点，由此求n m -的最小值；（3）根据已知，在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()h x 的值域是()g x 值域的子集，求出这两个值域，由包含关系构造不等式示结果.【小问1详解】函数πππ()4sin cos 12sin 2112126f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若()()1212min π(),2f x f x f x x x ≤≤-=，则1x 与2x 是相邻的最小值点和最大值点，()f x 的最小正周期为2ππ2⨯=，由2ππ2ω=，解得1ω=，得π()2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令()π2πZ 6x k k +=∈，解得()ππZ 122k x k =-+∈，此时()1f x =，所以()f x 的对称中心为()ππ1Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭,.【小问2详解】()πππ122sin 212sin 2π16666g x f x x x ωωω⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，π2π12ππ2sin π12sin 1033636g ωωω-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，ππ1sin 362ω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以()ππ7π2πZ 366k k ω+=+∈或()ππ11π2πZ 366k k ω+=+∈解得()36Z k k ω=+∈或()56Z k k ω=+∈，又24ω<<，得3ω=，所以()52sin 6π16g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，函数最小正周期3π2π6T ==，令()0g x =，即51sin 6π62x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得()11ππZ 93k x k =+∈或()22πZ 3k x k =∈，若()g x 在[,]m n 上恰好有8个零点，则35T n m T <-<，要使n m -最小，则,m n 恰好为()g x 的零点，n m -的最小值为ππ10π3399⨯+=.【小问3详解】由（2）知，()52sin 6π16g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，设()h x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为A ，()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为B ，若对任意1π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在2π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12h x g x =成立，则A B ⊆，当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，5π5π2π6,663x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，[]5πsin 61,16x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则[]1,3B =-，当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，πππ2,663x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，π1cos 2,162x ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则3,2A a a ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦，由A B ⊆可得1332a a -≥-⎧⎪⎨-≤⎪⎩，又a<0，解得20a -≤<，所以实数a 的取值范围为[)2,0-.【点睛】方法点睛：1.若()g x 在[,]m n 上恰好有8个零点，要使n m -最小，则需要,m n 恰好为()g x 的零点；2.1π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在2π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12h x g x =，则在定义区间内()h x 的值域是()g x 值域的子集.。
2021-2022学年上海市七宝中学高一下学期3月月考数学试卷(含详解)
七宝中学2021学年第二学期高一年级3月练习数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分60分，每题5分）1.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=__________2.函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________．3.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==，则角C =__________.4.已知ω>0,0ϕπ<<,直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图象的两条相邻的对称轴,则ϕ=.5.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.6.若向量a 与b共线，且1==a b r r ，则+= a b ______．7.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为，12,cos 4b c A -==-，则a 的值为___________．8.若不等式()πsin π06x a b x ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-恒成立，则a b +的值等于______．9.已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>,x ∈R ,若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为________．10.已知函数()tan()(0,2f x A x πωϕωϕ=+><，()y f x =的部分图像如下图，则()24f π=____________.11.函数2π()4coscos()2sin ln(1)22x f x x x x =---+的零点个数为_________．12.给出下列四个命题：①在ABC 中，若π2C >，则sin cos A B <；②已知点()0,3A ，则函数sin y x x =-的图象上存在一点P ，使得1PA =；③函数2cos 2cos y x b x c =++是周期函数，且周期与b 有关，与c 无关；其中真命题的序号是______．（把你认为是真命题的序号都填上）二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A.f (x )=│cos 2x │B.f (x )=│sin 2x │C.f (x )=cos│x │D.f (x )=sin│x │14.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A.3144AB AC -B.1344AB AC -C .3144+AB ACD.1344+AB AC15.某人驾驶一艘小游艇位于湖面A 处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21 方向，且塔顶的仰角为81 ，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B 处，此时测得塔底位于北偏西39 方向，则该塔的高度约为（）A.265米B.279米C.292米D.306米16.已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（）A.1()()4y f x g x =+- B.1()()4y f x g x =--C.()()y f x g x = D.()()g x y f x =三、解答题（本大题共有4题，满分70分）17.某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ35π6sin()A x ωϕ+055-0（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值．18.在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝2A ．（1）求cos A 的值；（2）求c 的值．19.为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD ，30AB m =，15AD m =．为保护D 处的一棵古树，有关部门划定了以D 为圆心、DA 为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB 边上的点E ，出线口为CD 边上的点F ，施工要求EF 与封闭区边界相切，EF 右侧的四边形地块BCFE 将作为绿地保护生态区（计算长度精确到0.1m ，计算面积精确到20.01m ）（1）若20ADE ∠=︒，求EF 的长；（2）当入线口E 在AB 上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？20.已知函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经如下变换得到：先将()g x 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移π2个单位长度．（1）求函数()f x 的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x 的方程()()f x g x m +=在[)0,2π内有两个不同的解α，β．求实数m 的取值范围；（3）在第（2）的条件下，证明：()22cos 15m αβ-=-．七宝中学2021学年第二学期高一年级3月练习数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分60分，每题5分）1.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=__________【答案】35-##0.6-【解析】【分析】根据已知直线得到tan θ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出2cos θ的值，然后根据二倍角余弦公式即可求解．【详解】根据题意可知：tan 2θ=，所以22222cos 11cos sin cos tan 15θθθθθ===++，所以213cos 22cos 12155θθ=-=⨯-=-.故答案为：35-.2.函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________．【答案】 2π.【解析】【分析】将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.【详解】函数()2sin 2f x x ==142cos x -,周期为2π【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.3.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==，则角C =__________.【答案】23π【解析】【分析】根据正弦定理到35a b =，75c a =，再利用余弦定理得到1cos 2C =-，得到答案.【详解】3sin 5sin A B =，则35a b =，2b c a +=，故75c a =.根据余弦定理：22222294912525cos 32225a a a abc C ab a a +-+-===-⋅，故23C π=.故答案为：23π.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.4.已知ω>0,0ϕπ<<,直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图象的两条相邻的对称轴,则ϕ=.【答案】4π【解析】【详解】因为直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图象的两条相邻的对称轴，所以5244T πππ=-=，所以22T ππω==，1ω=，所以()sin()f x x φ=+，又因为4x π=是()f x 的一条对称轴，所以,42k k Z ππϕπ+=+∈，而0φπ<<，所以4πφ=．5.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.【答案】1【解析】【详解】由题意知：()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+=()()sin[]2sin cos x x ϕϕϕϕ++-+=()sin cos x ϕϕ++()cos sin x ϕϕ+-()2sin cos x ϕϕ+=()cos sin x ϕϕ+-()sin cos x ϕϕ+=()sin[]x ϕϕ+-=sin x ，即()sin f x x =，因为x R ∈，所以()f x 的最大值为1.考点：本小题主要考查两角和与差的三角函数、三角函数的最值的求解，熟练公式是解答好本类题目的关键.6.若向量a 与b共线，且1==a b r r ，则+= a b ______．【答案】0或2【解析】【分析】由题可知a 与b相等或互为相反向量，据此即可求a b + 【详解】 向量a 与b 共线，且a b = ，∴a 与b相等或互为相反向量，当a 与b相等时，22a a b ==+ ，当a 与b互为相反向量时，0=0a b =+ ．故答案为：0或2．7.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为，12,cos 4b c A -==-，则a 的值为___________．【答案】8【解析】【详解】试题分析：因,故,由题设可得,即,所以,所以,应填.考点：余弦定理及三角形面积公式的运用．【易错点晴】本题的设置将面积与余弦定理有机地结合起来,有效地检测了综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.求解时先借助题设条件和三角形的面积公式及余弦定理探究出三边的关系及,先求出,在运用余弦定理得到.8.若不等式()πsin π06x a b x ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-恒成立，则a b +的值等于______．【答案】56【解析】【分析】作出y ＝πsin π6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在[－1，1]上的图像，作出符合题意的y ＝x a b --的图像即可求出a 、b ，从而得到答案．【详解】设函数y=πsin π6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，(),,x a b x a f x x a b x a b x a -+-<⎧=--=⎨--⎩，下面分析它们的性质，以作出它们的图像.①对函数y=πsin π6x ⎛⎫+⎪⎝⎭，[]1,1x ∈-时，π5π7ππ[,666x +∈-，∴当5πππ066x -+ 或π7πππ66x + ，即116x -- 或516x时，πsin π06x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；当π0ππ6x <+<，即1566x -<<时，πsin π06x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭．②对(),,x a b x a f x x a b x a b x a -+-<⎧=--=⎨--⎩，则()f x 在(),a -∞上单调递减，在(),a +∞上单调递增，且()f x 的图像关于直线x a =对称.若不等式()πsin π06x a b x ⎛⎫--+⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-恒成立，则当116x --或516x时，0x a b -- ；当1566x -<<时，0x a b -- ．为使f (x )满足上述条件，其图像仅能如图所示：15066f f ⎛⎫⎛⎫∴-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1516623a -+∴==，又5510663f b ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则12b =，115326a b ∴+=+=﹒故答案为：56﹒9.已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>,x ∈R ,若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为________．【答案】π2【解析】【详解】由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤,且()222πsin cos sin 14f ωωωω⎛⎫=+=⇒+= ⎪⎝⎭,所以2ππ422ωω+=⇒=考点:本题主要考查三角函数的性质.10.已知函数()tan()(0,2f x A x πωϕωϕ=+><，()y f x =的部分图像如下图，则()24f π=____________.【解析】【分析】先求出周期，从而可得ω，代入38x π=函数值为0，结合已知ϕ的范围，可求得ϕ，最后由(0)1f =可得A ．【详解】由题意3()2882T πππ=-⨯=，∴22T ππωπ===，又3tan(2)08πϕ⨯+=，3()4k k Z πϕπ+=∈，而2πϕ<，∴4πϕ=，(0)tan(20)14f A π=⨯+=，1A =，∴()tan(2)4f x x π=+，∴(tan(2)tan 242443f ππππ=⨯+==．【点睛】本题考查正切函数的图象与性质，解题时必须掌握正切型函数的周期、零点等知识．本题属于基础题型．11.函数2π()4coscos()2sin ln(1)22x f x x x x =---+的零点个数为_________．【答案】2【解析】【详解】因为2π()4coscos()2sin ln(1)22x f x x x x =---+所以函数的零点个数为函数与图象的交点的个数，函数与图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数有2个零点．考点：二倍角的正弦、余弦公式，诱导公式，函数的零点．12.给出下列四个命题：①在ABC 中，若π2C >，则sin cos A B <；②已知点()0,3A ，则函数3sin y x x =-的图象上存在一点P ，使得1PA =；③函数2cos 2cos y x b x c =++是周期函数，且周期与b 有关，与c 无关；其中真命题的序号是______．（把你认为是真命题的序号都填上）【答案】①③【解析】【分析】根据三角形为锐角三角形，结合三角函数的单调性，可判断①；化简3sin y x x =-，结合其图象，可判断②；谈论b 是否为0，分析函数的周期情况，判断③.【详解】对于①，在ABC 中，若π2C >，则π2A B +<,故π022A B π<<-<，故sin sin()cos 2A B B π<-=,故①正确；对于②，3sin 2cos()6y x x x π=-=+，作出其靠近y 轴部分图象如图示：由图象可知，函数3sin y x x =-的图象上不存在点P ，使得1PA =，故②错；对于③，当0b =时，211cos cos 222y x c x c =+=++，该函数的周期为π，与c 无关，当0b ≠时，211cos 2cos cos 22cos 22y x b x c x b x c =++=+++，该函数的周期为2π，与c 无关，故函数2cos 2cos y x b x c =++是周期函数，且周期与b 有关，与c 无关，③正确，故答案为：①③二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A.f (x )=│cos 2x │B.f (x )=│sin 2x │C.f (x )=cos│x │D.f (x )=sin│x │【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．【详解】因为sin ||y x =图象如下图，知其不是周期函数，排除D ；因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ，作出cos 2y x =图象，由图象知，其周期为2π，在区间(,)42ππ单调递增，A 正确；作出sin 2y x =的图象，由图象知，其周期为2π，在区间(,)42ππ单调递减，排除B ，故选A ．【点睛】利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数；14.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A.3144AB AC -B.1344AB AC -C.3144+AB ACD.1344+AB AC【答案】A 【解析】【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BD =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+ ，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC=+=+=++1113124444BA BA AC BA AC=++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.15.某人驾驶一艘小游艇位于湖面A 处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21 方向，且塔顶的仰角为81 ，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B 处，此时测得塔底位于北偏西39 方向，则该塔的高度约为（）A.265米B.279米C.292米D.306米【答案】C 【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出该塔的高度．【详解】如图所示，△ABC 中，AB ＝1000，∠ACB ＝21°+39°＝60°，∠ABC ＝90°﹣39°＝51°；由正弦定理得，10005160AC sin sin =︒︒，所以AC 10005160sin sin ⋅︒=︒；Rt △ACD 中，∠CAD ＝18°，所以CD ＝AC •tan 18°10005160sin sin ⋅︒=⨯︒tan 18°10000.77710.8660⨯=⨯0.3249≈292（米）；所以该塔的高度约为292米．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的边角关系的应用问题，也考查了计算能力，是基础题．16.已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（）A.1()()4y f x g x =+- B.1()()4y f x g x =--C.()()y f x g x = D.()()g x y f x =【答案】D【解析】【分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解.【详解】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ；对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，210221642y ππ⎛⎫'=⨯++⨯> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C.故选：D.三、解答题（本大题共有4题，满分70分）17.某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ35π6sin()A x ωϕ+055-0（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值．【答案】（Ⅰ）π()5sin(26f x x =-；（Ⅱ）π6．【解析】【详解】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-．数据补全如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ12π37π125π613π12sin()A x ωϕ+0505-0且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(26f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-．因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k Z ∈．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k Z ∈．由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k Z ∈．由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6．考点：“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．18.在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝2A ．（1）求cos A 的值；（2）求c 的值．【答案】（1）3；（2）．【解析】【详解】(1)因为a ＝3，b ＝，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得sin a A ＝sin 2A.所以2sin cos sin A A A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝33.又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B)＝sin Acos B ＋cos Asin B ＝9.所以c ＝sin sin a CA＝5.19.为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD ，30AB m =，15AD m =．为保护D 处的一棵古树，有关部门划定了以D 为圆心、DA 为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB 边上的点E ，出线口为CD 边上的点F ，施工要求EF 与封闭区边界相切，EF 右侧的四边形地块BCFE 将作为绿地保护生态区（计算长度精确到0.1m ，计算面积精确到20.01m ）（1）若20ADE ∠=︒，求EF 的长；（2）当入线口E 在AB 上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）23.3m（2）AE =2255.14m .【解析】【分析】（1）作DH EF ⊥，结合三角函数的顶柜表示出EF ，即可求出结果；（2）设ADE θ∠=，结合三角函数的顶柜表示出,AE FH ，然后表示出面积，结合诱导公式以及正切的二倍角公式进行化简，进而结合不等式即可求出结果.【小问1详解】作DH EF ⊥，垂足为H ，连接DE ，则EF EH HF =+15tan 2015tan 50=+ 23.3m ≈，【小问2详解】设ADE θ∠=，则()15tan ,15tan 902AE FH ==-θθ，2ADEF ADE DFHS S S =+ ()1121515tan 1515tan 90222=⨯⨯⨯+⨯⨯- θθ15130tan 152tan 2⎛⎫=+ ⎪⎝⎭θθ2151tan 30tan 1522tan ⎛⎫-=+⨯ ⎝⎭θθθ22513tan 4tan ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭θθ，因为tan 0θ>，所以13tan tan +≥θθ，当且仅当13tan tan θθ=，即3tan 3θ=时，等号成立，此时2ADEF S =，且15tan AE ==θ，所以最大面积为222531530255.14m 2⨯-≈.20.已知函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经如下变换得到：先将()g x 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移π2个单位长度．（1）求函数()f x 的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x 的方程()()f x g x m +=在[)0,2π内有两个不同的解α，β．求实数m 的取值范围；（3）在第（2）的条件下，证明：()22cos 15mαβ-=-．【答案】（1）()2sin f x x =；对称轴方程为(Z)2x k k ππ=+∈（2）(（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律可得：()2sin f x x =，从而可求对称轴方程．（2）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得()())f x g x x ϕ+=+（其中sin ϕ=cos ϕ=，从而可求|1<，即可得解．（3）由题意可得sin()αϕ+=sin()βϕ+=．当0m ≤<可得2()αβπβϕ-=-+，当0m <<时，可得32()αβπβϕ-=-+，利用三角函数诱导公式以及倍角公式即可证明结论.【小问1详解】将()cos g x x =的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到2cos y x =的图象，再将2cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到2cos()2y x π=-的图象，故()2sin f x x =，从而函数()2sin f x x =图象的对称轴方程为(Z)2x k k ππ=+∈．【小问2详解】()()2sin cos ))f xg x x x x x x ϕ+=+=+=+（其中sin ϕ=cos ϕ=依题意，sin()x ϕ+=[0，2)π内有两个不同的解α，β，当且仅当|1<，故m 的取值范围是(．【小问3详解】因为α，β)x m ϕ+=在区间[0，2)π内的两个不同的解，所以sin()αϕ+=，sin()βϕ+=．当0m ≤<2()2παβϕ+=-，即2()αβπβϕ-=-+；当0m <<时，32()2παβϕ+=-，即32()αβπβϕ-=-+；所以2222cos()cos 2()2sin ()1115m αββϕβϕ-=-+=+-=-=-．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
四川省眉山市2016-2017学年高一数学3月月考试题 理（无答案）
一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．请将答案写到答题卡规定的位置上．） 1．化简ββαβ
βαsin )sin(cos )cos(⋅++⋅+为( )
A ．)2cos(βα+
B ．αcos
C ．αsin
D ．)2sin(βα
+
2．已知D 、E 、F 分别是ΔABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式中不正确的是( ) A ．FD DA FA += B ．0FD DE EF ++= C ．DE DA EC += D ．DE DA FD += 3．
15sin 75sin 15sin 75sin 22⋅++的值是( )
A ．
23 B ． 4
3
1+ C ． 45 D ．
26 4．已知向量(3,4)(sin ,cos ),αα==a b ，且a ∥b ，则tan α等于( )
A ．34-
B ．3
4
C ．43-
D ．43 5．在ABC ∆中，90A ∠=︒，(,1),(2,3)AB k AC ==，则k 的值为( )
A ．5
B ．5-
C ．
3
2
D ．32
-
6．设s ，t 是非零实数，,i j 是单位向量，当两向量,s i t j ti s j +-的模相等时，,i j 的夹
角是( ) A ．6
π B ．
4
π
C ．
3π D ．2
π
7．如图,E F G H 、、、分别是四边形ABCD 的所在边的中点,若
()()0AB BC BC CD +⋅+=，则四边形EFGH 是( )
A ．平行四边形但不是矩形
B ．正方形
C ．矩形
D ．菱形 8．已知α为第二象限的角，sin α=
1
2
， β为第一象限的角，cos β=35． 则 tan(2)αβ- 的
G A F
H
D
C
E
值为( ) A ．
4825339+ B ．4825339- C ．4825339+- D ．48253
39
--
9．已知O 为原点，点(,0)(0,)A a B a 、其中常数0>a ，点P 在线段AB 上，且
AP =t AB (10≤≤t )，则OA ·OP 的最大值为( )
A ．a
B ．2a
C ．3a
D ．2a
10．已知1(2,1)P -， 2(0,5)P ，点P 在线段12P P 的延长线上，且12||2||PP PP =， 则点P 的坐标( )
A ．(4,7)-
B ．(2,11)-
C ．(4,7)- 和(2,11)-
D ．(2,11)-和(1,2) 11．
2sin50sin80(1tan 60tan10)
1sin100
+++=( )
A ．2
B ．
12 C ． 2 D ．
2
2
12．设向量a ，b ，c 满足｜a ｜＝｜b ｜＝1， a ⋅b ＝1
2
，(a －c )⋅(b －c )＝0，则｜c ｜的最大值是( )
A.
2
1
3+ B.
2
1
3- C. 3 D. 3
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在△ABC 中，若cos cos sin sin 0B C B C -≥，则这个三角形的形状一定不会是_______三角形（填“锐角”，或“直角”，或“钝角”）．
14．已知｜a ｜＝｜b ｜＝2, a 与b 的夹角为060，则a+b 在a 方向上的投影为_____． 15．已知函数2()cos(2)sin 3
f x x x π
=+
+，则()f x 的最小正周期为 ．
16．若函数()sin 3cos 2,[0,2]f x x x x π=++∈，且关于x 的方程()m f x =有两个不等实数
根α，β，则sin()αβ+= ．
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17．（本小题满分10分）已知｜a ｜＝1，｜b ｜＝2，a 与b 的夹角为060． （1）求 a ⋅b 及(a －b )⋅(a+b )的值；（2）求｜a －b ｜的值．.
18．（本小题满分12分）已知向量((),2cos ),(sin cos ,1)m f x x n x x ==+且//m n ． （2）若函数求函数()f x 的解析式．
（2）若函数()f x 的图象向下方平移1个单位，然后保持纵坐标不变，横坐标缩小到原来的一
半，得到函数()g x 的图象．求函数()g x 在[0,
]8
x π
∈上的最大值及相应的x 值．
19．（本小题满分12分）已知向量 a ＝(cos ,sin )αα， b ＝(cos ,sin )ββ，|a － b |= 1． （1）求cos()αβ-的值； （2）若02
2
π
π
βα-<<<<
，且1
sin 7
β=-
，求sin α的值．
20．（本小题满分12分）已知0x π-<<，1
sin cos 5
x x +=
． （1）求sin cos x x -的值； （2）求
22
3sin 2sin cos cos 22221
tan tan x x x x x x
-++
的值．
21．（本小题满分12分）如图，已知ABC ∆的面积为14，D 、E 分别为边AB 、BC 上的点，且
AD DB :=BE EC :21=:，AE 与CD 交于P ．设存
在
λ和μ使AP AE λ=，PD CD μ=，AB a =，
BC b = ．
（1）求λ及μ；
（2）用a ，b 表示向量BP ； （3）求PAC ∆的面积．
P E
D
B
A
C
22．（本小题满分12分）在锐角ABC ∆中，60A =．
（1）求 sin sin sin A B C ++ 的取值范围； （2）求 sin sin sin A B C 的取值范围．。