高中数学第三章三角恒等变换3.3几个三角恒等式学案苏教版4教案
(完整版)高中数学第三章三角恒等变换3.3几个三角恒等式教案苏教版4解析
2
2
(1) 证明：由二倍角公式，得
αα
α
α α 2sin 2 cos 2
2tan 2
2t
sin α＝ 2sin
2 cos
2
＝
cos
2α 2
＋
sin
2α 2
＝
1＋
tan
2α ＝1＋ t 2
2，
α
2tan
2
2t
tan α＝
＝
2.
1－
tan
2α 2
1－ t
再由同角三角函数间的关系，得
2t sin α 1＋t 2 1－t 2 cosα＝ tan α ＝ 2t ＝ 1＋t 2.
科学发现是从问题开始的， 没有问题就不可能有深入细致的观察． 为了让学生经历一个
完整的探索发现过程， 教科书从三角函数运算的角度提出了研究课题． 这是从数学知识体系
的内部发展需要提出问题的方法．用这种方法提出问题可以更好地揭示知识间的内在联系，
体会推理论证和逻辑思维在数学发现活动中的作用．
从运算的角度提出问题， 还可以帮助学
由此，有 1
sin αcosβ＝ 2[sin( α＋β ) ＋sin( α－β )] ． ①的左边已经是两个正弦的和， 因此， 只要进行简单的变形， 就可以回答 sin α＋ sin β
＝？这个问题了．
令 α＋β＝θ，α－β＝φ，代入①得
sin
θ＋
sin
φ＝ 2sin
θ＋φ 2
cos θ－φ 2
，
2
方程要求得确定解，必须有两个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含
sin αcosβ 的
公式，列出 sin( α－β ) ＝sin αcosβ－ cosαsin β 后，解相应地以 sin αcosβ，cosαsin β
高中数学第3章三角恒等变换3.3几个三角恒等式学案苏教版必修4
3.3 几个三角恒等式1．能运用所学知识，推导积化和差与和差化积公式、万能公式．(重点) 2．能利用所学公式进行三角恒等变换．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 降幂公式阅读教材P 121例3，完成下列问题． sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2，tan 2α＝1－cos 2α1＋cos 2α.1．若cos α＝－35，且π＜α＜3π2，则cos α2＝________.【解析】 ∵π＜α＜3π2，∴π2＜α2＜3π4，∴cos α2＝－1＋cos α2＝－55. 【答案】 －552．若tan α2＝3，则cos α＝________.【解析】 ∵tan2α2＝1－cos α1＋cos α＝9，∴cos α＝－45.【答案】 －45教材整理2 积化和差与和差化积公式 阅读教材P 126链接以上内容，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B ．( ) (2)cos(A ＋B )－cos(A －B )＝2sin A cos B ．( ) (3)cos(α＋β)cos(α－β)＝cos 2α－cos 2β.( ) 【解析】 (1)正确．(2)cos(A ＋B )－cos(A －B )＝－2sin A sin B ，故错． (3)cos(α＋β)cos(α－β)＝12(cos 2α＋cos 2β)，故错．【答案】 (1)√ (2)× (3)× 教材整理3 万能公式阅读教材P 126～P 127的“链接”内容，完成下列问题．设tan α2＝t ，则sin α＝2t 1＋t 2，cos α＝1－t 21＋t 2，tan α＝2t1－t2.1．若tan α＝3，则sin 2α＝________，cos 2α＝________.【解析】 ∵tan α＝3，∴sin 2α＝2tan α1＋tan 2α＝35，cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－45. 【答案】 35 －452．若tan α＝1，则tan α2＝________.【解析】 tan α＝2tanα21－tan 2α2，∴tan 2 α2＋2tan α2－1＝0，解得tan α2＝－1± 2.【答案】 －1± 2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]【精彩点拨】 先降幂；再和差化积，或积化和差求解．【自主解答】 原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 100°2＋12(sin 70°－sin 30°)＝1＋12(cos 100°－cos 40°)＋12sin 70°－14＝34＋12(－2sin 70°sin 30°)＋12sin 70°＝34－12sin 70°＋12sin 70°＝34.套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来.[再练一题]1．已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求sin(α＋β)的值.【导学号：06460081】【解】 ∵cos α－cos β＝12，∴－2sin α＋β2sin α－β2＝12.①又∵sin α－sin β＝－13，∴2cos α＋β2sin α－β2＝－13.②∵sin α－β2≠0，∴由①②，得－tan α＋β2＝－32，即tan α＋β2＝32.∴sin(α＋β)＝2sin α＋β2cos α＋β2sin 2α＋β2＋cos 2α＋β2＝2tan α＋β21＋tan 2α＋β2＝2×321＋94＝1213.设tan 2＝t ，求证：1＋sin θ＋cos θ＝2(t ＋1)．【精彩点拨】 利用万能公式，分别用t 表示sin θ，cos θ，代入待证等式的左端即可证明．【自主解答】 由sin θ＝2tan θ21＋tan 2θ2及cos θ＝1－tan 2θ21＋tan 2θ2，得1＋sin θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan θ221＋tan2θ2＝＋t21＋t2， 1＋sin θ＋cos θ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1＋tan θ21＋tan2θ2＝＋t1＋t2， 故1＋sinθ1＋sin θ＋cos θ＝12(t ＋1)．在万能代换公式中不论α的哪种三角函数包括sin α与cos α都可以表示成tanα2＝t 的“有理式”，将其代入式子中，就可将代数式表示成t 的函数，从而就可以进行相关代数恒等式的证明或三角式的求值.[再练一题]2．已知cos θ＝－35，且180°＜θ＜270°，求tan θ2.【解】 ∵180°＜θ＜270°，∴90°＜θ2＜135°，∴tan θ2＜0.由cos θ＝1－tan 2θ21＋tan 2θ2，得1－tan2θ21＋tan2θ2＝－35，解得tan2θ2＝4. 又tan θ2＜0，∴tan θ2＝－2.[探究共研型]探究【提示】 把f (x )化成A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式． 探究2 在上述转化过程中，要用到哪些公式？【提示】 降幂公式：sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2.辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋θ)，其中tan θ＝ba.求函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24的最小值，并求其单调减区间．【精彩点拨】化简f x的解析式→fx ＝A ωx ＋φ＋B→ωx ＋φ的范围→求最小值，单调减区间【自主解答】 f (x )＝53·1＋cos 2x 2＋3·1－cos 2x2－2sin 2x＝33＋23cos 2x －2sin 2x ＝33＋4⎝⎛⎭⎪⎫32cos 2x －12sin 2x＝33＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos 2x －cos π3sin 2x ＝33＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∵π4≤x ≤7π24， ∴π6≤2x －π3≤π4. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22.∴当2x －π3＝π4，即x ＝7π24时，f (x )取最小值为33－2 2.∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递增，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递减．1．研究函数性质的一般步骤： (1)对函数式化简；(2)借用函数图象，运用数形结合法研究函数的性质． 2．对三角函数式化简的常用方法： (1)降幂化倍角； (2)升幂角减半；(3)利用f (x )＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a ，化为“一个角”的函数．[再练一题]3．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．【解】 (1)∵f (x )＝3sin 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－12cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，∴T ＝2π2＝π. (2)当f (x )取得最大值时， sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }．[构建·体系]1．sin 37.5°cos 7.5°＝________.【解析】 原式＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝12(sin 45°＋sin 30°)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12＝2＋14. 【答案】2＋142．化简：sin 15°＋cos 65°cos 15°＋sin 65°＝________.【解析】 原式＝sin 15°＋sin 25°cos 15°＋cos 25°＝2sin 20°cos 5°2cos 20°cos 5°＝tan 20°.【答案】 tan 20° 3．已知sin α＝55，cos α＝255，则tan α2等于________． 【导学号：06460082】【解析】 因为sin α＝55>0，cos α＝255>0， 所以α的终边落在第一象限，α2的终边落在第一、三象限．所以tan α2>0，故tan α2＝1－cos α1＋cos α＝1－2551＋255＝5－2.【答案】 5－24．已知tan α＝－12，则sin 2α的值等于________．【解析】 sin 2α＝2sin α·cos αcos 2α＋sin 2α＝2tan α1＋tan 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝－45.【答案】 －455．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋3，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤0，π3上的最小值与最大值．【解】 (1)f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋3 ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋4.所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)∵0＜x ≤π3，∴π6＜2x ＋π6≤5π6，当x ＝π3时，2x ＋π6＝5π6，函数f (x )取得最小值为5.当x ＝π6时，2x ＋π6＝π2，函数f (x )取得最大值为6.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(二十八) 几个三角恒等式(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题 1．有下列关系式：①sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ； ②cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ； ③sin 3θ－sin 5θ＝－12cos 4θcos θ；④sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcos θ； ⑤sin x sin y ＝12[cos(x －y )－cos(x ＋y )]．其中正确的等式有________．(填序号) 【解析】 只有⑤正确． 【答案】 ⑤2．若A ＋B ＝120°，则sin A ＋sin B 的最大值是________． 【解析】 sin A ＋sin B ＝2sin A ＋B2cosA －B2＝3cosA －B2≤3，∴最大值为 3. 【答案】33．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的最大值是________．【解析】 y ＝2sin x cos π3＝sin x ≤1，∴最大值为1.【答案】 14．求sin 35°－sin 25°cos 35°－cos 25°的值为________．【解析】 原式＝2sin 5°cos 30°－2sin 30°sin 5°＝－cos 30°sin 30°＝－2cos 30°＝－2×32＝－ 3. 【答案】 － 35．若α是第三象限角且sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝－513，则tan α2＝________. 【导学号：06460083】【解析】 易知sin α＝－513，α为第三象限角， ∴cos α＝－1213.∴tan α2＝sin α2cos α2＝2sin α2cosα22cos2α2＝sin α1＋cos α＝－5131＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝－5. 【答案】 －56．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝________.【解析】 cos(α＋β)cos(α－β)＝12(cos 2α＋cos 2β)＝12[(2cos 2α－1)＋(1－2sin 2β)]＝cos 2α－sin 2β. ∴cos 2α－sin 2β＝13.【答案】 137．若cos 2α－cos 2β＝m ，则sin(α＋β)sin(α－β)＝________.【解析】 sin(α＋β)sin(α－β)＝－12(cos 2α－cos 2β)＝－12(2cos 2α－1－2cos 2β＋1)＝cos 2β－cos 2α＝－m .【答案】 －m8．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6cos x 的最小值是________．【解析】 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6cos x ＝12sin2x －π6＋sin －π6＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－14，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－1时，y 取得最小值为－34.【答案】 －34二、解答题9．化简：－sin α－cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22－2cos α(－π<α<0)．【解】 原式＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2 α2－2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22×2sin 2 α2＝2sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2 ＝sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2 α2－cos 2 α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2.因为－π<α<0，所以－π2<α2<0，所以sin α2<0，所以原式＝－sin α2cos α－sin α2＝cos α. 10．求函数f (x )＝sin x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最小正周期与最值． 【解】 f (x )＝sin x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝sin x ·2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6 ＝－sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6 ＝－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋14. ∴最小正周期为T ＝2π2＝π. ∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－1,1]， ∴f (x )max ＝34，f (x )min ＝－14. [能力提升]1．sin 220°＋cos 280°＋3sin 20°cos 80°的值是________．【解析】 原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 160°2＋32(sin 100°－sin 60°)＝1－12(cos 40°＋cos 20°)＋32cos 10°－34＝1－cos 30°cos 10°＋32cos 10°－34＝14. 【答案】 142．直角三角形中两锐角为A 和B ，则sin A sin B 的最大值为________．【解析】 ∵A ＋B ＝π2，sin A sin B ＝12[cos(A －B )－cos (A ＋B )]＝12cos(A －B )， 又－π2＜A －B ＜π2，∴0＜cos(A －B )≤1， ∴sin A sin B 有最大值12. 【答案】 123．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tan α21－tan α2＝________. 【解析】 ∵α是第三象限角，∴α2为第二、四象限角，∴tan α2＜0， ∴tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1＋451－45＝－3， ∴原式＝1－31＋3＝－12. 【答案】 －124．如图331，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．图331【解】 在直角三角形OBC 中，OB ＝cos α，BC ＝sin α.在直角三角形OAD 中，DA OA ＝tan 60°＝ 3.∴OA ＝33DA ＝33sin α， ∴AB ＝OB －OA ＝cos α－33sin α. 设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AB ·BC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－33sin αsin α ＝sin αcos α－33sin 2α＝12sin 2α－36(1－cos 2α) ＝12sin 2α＋36cos 2α－36 ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2α＋12cos 2α－36＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6－36.∵0<α<π3， ∴当2α＋π6＝π2，即α＝π6时，取最大值36.∴当α＝π6时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为36.。
高中数学 第3章 三角恒等变换 3.3 几个三角恒等式学案 苏教版必修4-苏教版高二必修4数学学案
§3.3 几个三角恒等式学习目标 1.理解积化和差、和差化积、万能公式的推导过程.2.掌握积化和差、和差化积、万能公式的结构特征.3.能利用所学三角公式进行三角恒等变换．知识点一 积化和差与和差化积公式思考1 如何用sin(α＋β)，sin(α－β)表示sin αcos β和cos αsin β？答案 ∵⎩⎪⎨⎪⎧sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，∴sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β， 即sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．同理得cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．思考2 若α＋β＝θ，α－β＝φ，则如何用θ，φ表示α，β？ 答案 α＝θ＋φ2，β＝θ－φ2.梳理 (1)积化和差公式sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]．sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]．(2)和差化积公式 sin α＋sin β＝2sin α＋β2cosα－β2.sin α－sin β＝2cos α＋β2sinα－β2.cos α＋cos β＝2cosα＋β2cosα－β2.cos α－cos β＝－2sin α＋β2sinα－β2.知识点二 万能代换公式思考 结合前面所学倍角公式，能否用tan α2表示sin α？答案 sin α＝2sin α2cos α2＝2sin α2cosα2cos2α2＋sin2α2＝2tanα21＋tan 2α2，即sin α＝2tanα21＋tan 2α2.梳理 万能公式 (1)sin α＝2tanα21＋tan 2 α2.(2)cos α＝1－tan 2α21＋tan 2 α2.(3)tan α＝2tanα21－tan 2 α2.知识点三 半角公式思考1 我们知道倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用α2替换α，结果怎样？答案 结果是cos α＝2cos2α2－1＝1－2sin2α2＝cos2α2－sin2α2.思考2 根据上述结果，试用sin α，cos α表示sin α2，cos α2，tan α2.答案 ∵cos2α2＝1＋cos α2，∴cos α2＝±1＋cos α2，同理sin α2＝±1－cos α2，∴tan α2＝sinα2cosα2＝±1－cos α1＋cos α.思考3 利用tan α＝sin αcos α和倍角公式又能得到tan α2与sin α，cos α怎样的关系？答案 tan α2＝sin α2cos α2＝sin α2·2cos α2cos α2·2cosα2＝sin α1＋cos α，tan α2＝sinα2cos α2＝sin α2·2sin α2cos α2·2sinα2＝1－cos αsin α.梳理 半角公式 (1)sin α2＝±1－cos α2. (2)cos α2＝±1＋cos α2. (3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.特别提醒：(1)半角公式中，根号前面的符号由α2所在的象限相应的三角函数值的符号确定．(2)半角与倍角一样，也是相对的，即α2是α的半角，而α是2α的半角．1．若α≠k π，k ∈Z ，则tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α恒成立．( √ )2．cos αsin β＝12[]sin (α＋β)＋sin (α－β).( × )类型一 积化和差与和差化积公式 命题角度1 积化和差公式的应用 例1 求下列各式的值． (1)sin37.5°cos7.5°； (2)sin20°·sin40°·sin80°；(3)sin20°cos70°＋sin10°sin50°. 解 (1)sin37.5°cos7.5°＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)] ＝12(sin45°＋sin30°)＝2＋14. (2)sin20°·sin40°·sin80°＝－12[cos 60°－cos(－20°)]·sin80°＝－14sin80°＋12sin80°cos20°＝－14sin80°＋12×12(sin100°＋sin60°)＝－14sin80°＋14sin80°＋38＝38.(3)sin20°cos70°＋sin10°sin50°＝12[sin 90°＋sin(－50°)]－12[cos 60°－cos(－40°)] ＝12－12sin50°－14＋12cos40°＝14. 反思与感悟 在运用积化和差公式时，如果形式为异名函数积时，化得的结果应用sin(α＋β)与sin(α－β)的和或差；如果形式为同名函数积时，化得的结果应用cos(α＋β)与cos(α－β)的和或差．跟踪训练1 化简：4sin(60°－θ)·sin θ·sin(60°＋θ)． 解 原式＝－2sin θ·[cos 120°－cos(－2θ)]＝－2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－cos2θ＝sin θ＋2sin θcos2θ＝sin θ＋sin3θ－sin θ ＝sin3θ.命题角度2 和差化积公式的应用例2 已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求sin(α＋β)的值．解 因为cos α－cos β＝12，所以－2sinα＋β2sinα－β2＝12.① 又因为sin α－sin β＝－13，所以2cosα＋β2sinα－β2＝－13.②因为sinα－β2≠0，所以由①②得－tanα＋β2＝－32，即tanα＋β2＝32. 所以sin(α＋β)＝2sinα＋β2cosα＋β2sin 2 α＋β2＋cos 2α＋β2＝2tanα＋β21＋tan 2 α＋β2＝2×321＋94＝1213.反思与感悟 和差化积公式对于三角函数式的求值、化简及三角函数式的恒等变形有着重要的作用，应用时要注意只有系数的绝对值相同的同名函数的和与差才能直接运用推论化成积的形式，如果是一正弦与一余弦的和或差，可先用诱导公式化成同名函数后，再运用推论化成积的形式．跟踪训练2 求sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°的值．解 方法一 原式＝12(1－cos40°)＋12(1＋cos100°)＋sin20°·cos50°＝1＋12(cos100°－cos40°)＋12(sin70°－sin30°)＝34－sin70°·sin30°＋12sin70°＝34. 方法二 原式＝(sin20°＋cos50°)2－s in20°·cos50° ＝(2sin30°·cos10°)2－12(sin70°－sin30°)＝cos 210°－12cos20°＋14＝1＋cos20°2－12cos20°＋14＝34.类型二 利用万能公式化简求值例3 (1)已知cos θ＝－35，并且180°＜θ＜270°，求tan θ2的值；(2)已知2sin θ＋cos θsin θ－3cos θ＝－5，求3cos2θ＋4sin2θ的值．解 (1)∵180°＜θ＜270°， ∴90°＜θ2＜135°，∴tan θ2＜0.∵cos θ＝1－tan 2θ21＋tan 2 θ2＝－35，∴tan2θ2＝4，∴tan θ2＝－2. (2)∵2sin θ＋cos θsin θ－3cos θ＝－5，∴2tan θ＋1tan θ－3＝－5，∴tan θ＝2. 又cos2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35，sin2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝45， ∴3cos2θ＋4sin2θ＝－95＋165＝75.反思与感悟 (1)万能公式是三角函数中的重要变形公式，“倍角”的正弦、余弦、正切都可以表示为“单角”的正切的有理式的形式．(2)万能公式左右两边的角的取值范围不同，在解三角函数方程时，要避免漏解．跟踪训练3 已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3，求sin2θ－2cos 2θ的值．解 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3，∴1＋tan θ1－tan θ＝3，∴tan θ＝12.sin2θ－2cos 2θ＝sin2θ－cos2θ－1 ＝2tan θ1＋tan 2θ－1－tan 2θ1＋tan 2θ－1 ＝45－35－1＝－45. 类型三 三角恒等式的证明例4 求证：1＋sin4θ－cos4θ2tan θ＝1＋sin4θ＋cos4θ1－tan 2θ.证明 要证原式，可以证明1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ＝2tan θ1－tan 2θ. ∵左边＝sin 4θ＋(1－cos 4θ)sin 4θ＋(1＋cos 4θ)＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ2sin 2θcos 2θ＋2cos 22θ＝2sin 2θ(cos 2θ＋sin 2θ)2cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝tan 2θ， 右边＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ， ∴左边＝右边，∴原等式成立．反思与感悟 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 跟踪训练4 证明：sin α＋11＋sin α＋cos α＝12tan α2＋12.证明 ∵左边＝2tanα21＋tan2α2＋11＋2tan α21＋tan 2 α2＋1－tan 2α21＋tan 2α2＝tan2α2＋2tan α2＋11＋tan 2α2＋2tan α2＋1－tan2α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α2＋122tan α2＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α2＋1＝12tan α2＋12＝右边， ∴原等式成立.1．若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为________．答案63解析 由题意知α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α2>0，cos α2＝1＋cos α2＝63. 2．已知α－β＝2π3，且cos α＋cos β＝13，则cos(α＋β)＝________________________.答案 －79解析 cos α＋cos β＝2cos α＋β2cosα－β2＝2cos π3cos α＋β2＝cos α＋β2＝13，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×19－1＝－79.3．已知sin α2－cos α2＝－55，450°＜α＜540°，则tan α2＝________.答案 2解析 对已知等式两边平方，得sin α＝45，又450°＜α＜540°，∴cos α＝－35，∴tan α＝－43，又tan α＝2tanα21－tan 2α2，且α2∈(225°，270°)，∴tan α2＝2.4．化简：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－tan α2·(1＋cos α)1－cos α(0＜α＜π)．解 ∵tan α2＝sin α1＋cos α，∴(1＋cos α)tan α2＝sin α.又∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α，且1－cos α＝2sin 2α2，∴原式＝－sin α－sin α2sin 2α2＝－2sin α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－22sin α2cosα2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2.∵0＜α＜π，∴0＜α2＜π2，∴sin α2＞0.∴原式＝－22cosα2.1．本节重点学习了积化和差公式、和差化积公式及万能公式等，一定要清楚这些公式的形式特征．同时要理解公式间的关系，立足于公式推导过程中记忆公式． 2．三角恒等式的证明类型(1)绝对恒等式：证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，通过三角恒等变换，使等式的两边化异为同．(2)条件恒等式：条件恒等式的证明要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当的途径，常用代入法、消元法、两头凑法．一、填空题1．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2＝________.答案 －12解析 ∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35，tan α2＝sin α1＋cos α＝－351－45＝－3.原式＝1－31＋3＝－12.2．已知2sin x ＝1＋cos x ，则tan x2＝________.答案 12解析 由2sin x ＝1＋cos x ，得12＝sin x 1＋cos x ＝2sin x 2cosx22cos 2x 2＝tan x2.3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，若cos B ＋cos C ＝sin B ＋sin C ，则△ABC 为________三角形．(填三角形的形状)答案 直角解析 由cos B ＋cos C ＝sin B ＋sin C ，得2cosB ＋C2cosB －C2＝2sinB ＋C2cosB －C2，两边同除以2cosB －C2，得sinB ＋C2＝cosB ＋C2，即tanB ＋C2＝1，∵0＜B ＋C ＜π，∴0＜B ＋C 2＜π2， ∴B ＋C 2＝π4，即B ＋C ＝π2，∴A ＝π2， ∴△ABC 为直角三角形． 4．若π＜α＜2π，则1－cos (α－π)2＝________.答案 －cos α2解析 ∵π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π，∴cos α2＜0，原式＝1＋cos α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2.5．若tan θ＝3，则sin2θ－cos2θ的值是________． 答案 75解析 因为tan θ＝3，所以sin2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2×31＋32＝35，cos2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－321＋32＝－45，所以sin2θ－cos2θ＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝75. 6．若tan θ＋1tan θ＝m ，则sin2θ＝________.答案 2m解析 因为tan θ＋1tan θ＝m ，即tan 2θ＋1tan θ＝m ，所以sin2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2m. 7．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜θ＜π，则tan θ2＝________. 答案 5解析 由sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎝⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，解得m ＝0或8，当m ＝0时，sin θ＜0，不符合π2＜θ＜π. ∴m ＝0舍去，故m ＝8，sin θ＝513，cos θ＝－1213， tan θ2＝1－cos θsin θ＝1＋1213513＝5. 8．若cos 2α－cos 2β＝m ，则sin(α＋β)sin(α－β)＝________.答案 －m解析 sin(α＋β)sin(α－β)＝－12(cos2α－cos2β) ＝－12(2cos 2α－1－2cos 2β＋1)＝cos 2β－cos 2α＝－m . 9．函数f (x )＝sin x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋tan x tan x 2的最小正周期是________． 答案 2π 解析 f (x )＝sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2tan 2 x 21－tan 2x 2 ＝sin x ·1＋tan 2 x 21－tan 2 x 2＝sin x ·sin 2 x 2＋cos 2 x 2cos 2 x 2－sin 2 x 2＝sin x cos x＝tan x . 因为函数f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π2且x 2≠k π＋π2，k ∈Z ， 即x ≠k π＋π2且x ≠2k π＋π，k ∈Z .显然有f (0)＝0， 而f (π)无意义，所以T ＝2π.10．已知α，β为锐角，且α－β＝π6，则sin αsin β的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 解析 ∵α－β＝π6，∴sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)] ＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos (α＋β)－32＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2β＋π6－32. ∵α，β为锐角，且α－β＝π6， ∴0＜π6＋β＜π2，即0＜β＜π3，∴π6＜2β＋π6＜5π6， ∴－32＜cos ⎝⎛⎭⎪⎫2β＋π6＜32， ∴0＜－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2β＋π6－32＜32， ∴sin αsin β的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32. 11．若α是第三象限角，且sin(α＋β)cos β－sin β·cos(α＋β)＝－513，则tan α2＝________.答案 －5解析 ∵sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝sin[(α＋β)－β]＝sin α＝－513， 又∵α是第三象限角，∴cos α＝－1213. ∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213－513＝－5. 二、解答题12．求证：tan 3x 2－tan x 2＝2sin x cos x ＋cos2x. 证明 ∵左边＝tan 3x 2－tan x 2＝sin 3x 2cos 3x 2－sin x 2cos x 2＝sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos 3x 2cos x 2＝sin x cos 3x 2cos x 2＝2sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2 ＝2sin x cos x ＋cos 2x ＝右边． ∴原等式成立．13．已知在△ABC 中，A ＞C ，且B ＝60°，能否利用log 4sin A ＋log 4sin C ＝－1求出A 和C 的大小？若能，请求出；若不能，请说明理由． 解 ∵在△ABC 中，A ＞C ，B ＝60°，∴A ＋C ＝120°.①∵log 4sin A ＋log 4sin C ＝－1，∴sin A sin C ＝14. ∵sin A sin C ＝12[cos(A －C )－cos(A ＋C )]， ∴12[cos(A －C )－cos(A ＋C )]＝14， ∴cos(A －C )＝12＋cos(A ＋C )＝12＋cos120°＝0. 又∵0°＜A －C ＜180°，∴A －C ＝90°. ②由①②，得A ＝105°，C ＝15°.。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.3 几个三角恒等式导学案 苏教版必修4(2021年最新整理)
高中数学第三章三角恒等变换3.3 几个三角恒等式导学案苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章三角恒等变换3.3 几个三角恒等式导学案苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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3。
3 几个三角恒等式课堂导学三点剖析1。
三角函数恒等式应用举例【例1】 运用三角函数变换证明tan 2α=ααααcos 1sin sin cos 1+=-. 思路分析：由于角不一致，首先应统一角度，即运用倍角公式设法将tan2α变成角α的三角函数.证明：tan 2α=2cos2sin αα =αααααsin cos 12cos2sin 22sin 22-=. tan 2α=2cos2sin αα=.cos 1sin 2cos 22cos 2sin 22ααααα+= ∴tan 2α=αααcos 1sin sin cos 1+=-a 成立。
温馨提示这组公式的结构特征是用cosα与sinα表示2α的正切值,可称为半角公式. 2．三角函数变换的应用【例2】 将下列各式化简为Asin(ωx+φ）的形式：（1）cosx —sinx ；(2）3sinx+3cosx ；(3)3sinx-4cosx;（4)asinx+bcosx(ab≠0).思路分析：本题主要考查两角和（差）的正余弦公式的恒等变形。
解：（1）cosx —sinx=-（sinx-cosx ） =2-(22sinx-22cosx) =2-（sinxcos 4π-cosxsin 4π） =2-sin(x —4π).本题化简结果不唯一,也可这样变换：cosx —sinx=2(22cosx —22sinx ） =2（sinxcos 43π+cosxsin 43π）=2sin （x+43π).（2)3sinx+3cosx=23(23sinx+21cosx ） =23（sinxcos 6π+cosxsin 6π) =23sin(x+6π).(3)3sinx —4cosx=5（53sinx 54-cosx ）令cosφ=53,φ为第一象限角，则sinφ=54。
高中数学 第3章 三角恒等变换 3.3 几个三角恒等式课前导引 苏教版必修4(2021年整理)
高中数学第3章三角恒等变换3.3 几个三角恒等式课前导引苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第3章三角恒等变换3.3 几个三角恒等式课前导引苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.3 几个三角恒等式课前导引问题导入如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形.C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形。
记∠COP=α,当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？最大面积是多少？思路分析：在Rt△OBC 中，OB=cos α,BC=sin α.在Rt△OA D 中，OA DA=tan 3π=3, 所以OA=33DA=33BC=33sin α.所以AB=OB —OA=cos α33-sin α.设矩形ABCD 的面积为S,则 S=AB·BC=（cosα33-sin α）·sinα=sin α·cosα33-sin 2α=21sin2α-63（1—cos2α）=21sin2α+63cos2α—63=31 (23sin2α+21cos2α）-63=31sin （2α+6π）-63. 由于0＜α＜3π, 所以当2α+6π=2π， 即α=6π时，S max =636331=-。
因此,当α=6π时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为63. 知识预览1.万能代换设tan 2α=t ，则sinα=212t t +，cosα=2211t t +-,tanα=212t t -。
高中数学 第3章 三角恒等变换 3.3 几个三角恒等式目标
1 3.3 几个三角恒等式一览众山小诱学导入三角函数的变换是解决三角函数有关问题的主要工具，在某种意义上讲，能否熟练地掌握变换的一般方法与技巧是能否解决三角问题的标志.从总体上讲，三角函数的变换是在“求同变异”的过程中完成的，因此，准确地分析条件与结论，进而选择适当的方法去解决这种差异，是我们考虑问题的出发点，从而使问题的解决有着明确的思维方向.虽然我们已经学过了几类三角函数恒等变换的公式和等式，但只有这些公式或等式还是有诸多问题不能得到解决，还需要引入几个常见的三角恒等式，以解决更多的三角函数变换的问题. 问题:根据你所学的三角公式和等式，利用tan 2α表示sinα？导入：综合利用二倍角公式和同角三角函数关系式来求解.由二倍角公式不难得出sinα=2sin 2αcos 2α，然后将等式右边分母视为“sin 22α+cos 22α”，再利用同角三角函数关系式即可求解.温故知新1.两角和与差的三角公式有哪些?答:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ；cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ. sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ；sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+；tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-. 2.二倍角公式有哪些？答:sin2α=2sin αcos α,cos2α=cos 2α-sin 2α,tan2α=αα2tan 1tan 2-. 3.二倍角余弦公式有哪些变形？答:cos2α=2cos 2α-1,cos2α=1-2sin 2α,cos 2α=22cos 1α+,sin 2α=22cos 1α-.。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 3.3 几个三角恒等式》
1．公式的常见变形11＋co α＝2co2错误!；1－co α＝2in2错误!；21＋in α＝in错误!＋co错误!2；1－in α＝in错误!－co错误!23tan 错误!＝错误!＝错误!2．辅助角公式a in ＋b co ＝错误!in＋φ，其中in φ＝错误!，co φ＝错误!【思考辨析】判断下面结论是否正确请在括号中打“√”或“×”1＝3in ＋4co 的最大值是7×2设α∈π，2π，则错误!＝in错误!×3在非直角三角形中有：tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C．√4设错误!错误!错误!错误!α∈0，π．∴00，∴00∴错误!tan ＋错误!≥2错误!＝错误!当tan ＝错误!，即＝错误!时取等号即函数的最小值为错误!15．已知函数f＝2co2ω－1＋2错误!co ωin ω0＜ω＜1，直线＝错误!是f图象的一条对称轴．1试求ω的值；2已知函数＝g的图象是由＝f图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移错误!个单位长度得到的，若g错误!＝错误!，α∈错误!，求in α的值．解f＝2co2ω－1＋2错误!co ωin ω＝co 2ω＋错误!in 2ω＝2in错误!1由于直线＝错误!是函数f＝2in错误!图象的一条对称轴，∴in错误!＝±1∴错误!ω＋错误!＝π＋错误!∈Z，∴ω＝错误!＋错误!∈Z．又0＜ω＜1，∴－错误!＜＜错误!又∵∈Z，从而＝0，∴ω＝错误!2由1知f＝2in错误!，由题意可得g＝2in错误!，即g＝2co 错误!∵g错误!＝2co错误!＝错误!，∴co错误!＝错误!又α∈错误!，∴错误!＜α＋错误!＜错误!，∴in错误!＝错误!∴in α＝in错误!＝in错误!co 错误!－co错误!in 错误!＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!。
高中数学 3.3 几个三角恒等式教案 苏教版必修4
3．3几个三角恒等式(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)能够推导“和差化积”及“积化和差”公式，并对此有所了解．(2)能较熟练地运用公式进行化简、求值、探索和证明一些恒等关系，进一步体会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会如何综合利用这些公式解决问题．(3)揭示知识背景，培养学生的应用意识与建模意识．2．过程与方法让学生自己导出“和差化积”及“积化和差”公式，领会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；同时让学生初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题．通过例题讲解，总结方法．通过做练习，巩固所学知识．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，使学生对三角恒等变形公式的意义和作用有一个初步的认识；理解并掌握三角函数各个公式的灵活变形，体会公式所蕴涵的和谐美，增强学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力，●重点难点重点：积化和差公式、和差化积公式、万能公式及半角公式的推导．难点：综合运用公式进行三角恒等变换．(教师用书独具)●教学建议1．关于积化和差公式的教学建议教师首先让学生复习两角和与差的正、余弦公式，观察公式左边的结构形式，如：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.引导学生自己导出三角函数的积化和差公式及sin αcos β＝12[sin(α－β)＋sin(α＋β)]等等．2．关于和差化积问题的教学建议教师要强调把两个三角函数式的和差化为积的形式，最后结果应是几个三角函数式的积的最简形式．●教学流程错误!⇒错误!⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握利用三角函数的积化和差与和差化积公式进行三角函数式的求值计算的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握解决三角函数式化简问题中的化简技巧及化简要求.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握三角恒等式证明的基本思路和方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.能运用所学知识，推导积化和差与和差化积公式、万能公式．2.能利用所学公式进行三角恒等变换．(重点、难点)积化和差与和差化积公式【问题导思】利用两角和与差的正弦公式能否用sin(α＋β)与sin(α－β)表示sin αcos β和cos α·sin β？【提示】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋β＝sin αcos β＋cos αsin βsin α－β＝sin αcos β－cos αsin β，∴sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β，即sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．同理得cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．积化和差公式sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]和差化积公式sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2sin α－sin β＝2cos α＋β2sin α－β2cos α＋cos β＝2cos α＋β2cos α－β2cos α－cos β＝－2sin α＋β2sin α－β2万能代换公式【问题导思】结合前面所学倍角公式，能否用tan α2表示sin α？【提示】 sin α＝2sin α2cos α2＝2sin α2cosα2cos2α2＋sin2α2＝2tanα21＋tan 2α2，即sin α＝2tanα21＋tan 2α2. 设tan α2＝t ，则sin α＝2t 1＋t 2，cos α＝1－t 21＋t 2，tan α＝2t1－t 2.三角函数式求值问题 求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.【思路探究】 首先将三角函数化为余弦形式，代入特殊值后进行积化和差． 【自主解答】 原式＝cos 10°cos 30°cos 50° cos 70°＝32cos 10°cos 50°cos 70° ＝32[12(cos 60°＋cos 40°)·cos 70°] ＝38cos 70°＋34cos 40°cos 70° ＝38cos 70°＋38(cos 110°＋cos 30°) ＝38cos 70°＋38cos 110°＋316＝316.1．三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角．(1)给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数．(2)给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的角运算及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用．同时也要注意变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．(3)给值求角关键是先求出该角的某一三角函数式的值，其次判断该角在对应区间的单调性，从而达到解题的目的．2．求值主要方法有：①消去法；②方程法；③比例性质法等．求sin 220°＋cos 250°＋sin 20°·cos 50°的值．【解】 法一 原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 100°2＋12(sin 70°－sin 30°)＝1＋12(cos 100°－cos 40°)＋12sin 70°－14＝34＋12(－2sin 70°sin 30°)＋12sin 70°＝34－12sin 70°＋12sin 70°＝34.法二令x＝sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°，y＝cos220°＋sin250°＋cos 20°sin 50°，则x＋y＝2＋sin 70°，①x－y＝－cos 40°＋cos 100°＋sin(－30°)＝－2sin70°sin 30°－12，即x－y＝－12－sin 70°，②①＋②得2x＝2－12＝32，∴x＝34.即sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°＝34.三角函数式化简问题化简(1tanα2－tanα2)(1＋tan α·tanα2)．【思路探究】题目中有角α2，也有角α，利用正切的半角公式的有理表达式可以把α2的三角函数转化为α的三角函数，然后将角α的正切转化为α的正、余弦函数，化简即得．【自主解答】(1tanα2－tanα2)(1＋tan αtanα2)＝(1＋cos αsin α－1－cos αsin α)(1＋sin αcos α·1－cos αsin α)＝2cos αsin α(1＋1－cos αcos α)＝2cos αsin α·1cos α＝2sin α.1．三角恒等变换常用技巧：(1)常值代换；(2)切化弦，弦化切；(3)降幂变倍角，升幂变半角；(4)角的变换；(5)公式的正用、逆用和变形用．2．对于三角函数式的化简有下面的要求：(1)能求出值的应求出值；(2)使三角函数种数尽量少；(3)使三角函数式中的项数尽量少；(4)尽量使分母不含有三角函数；(5)尽量使被开方数不含三角函数．化简：cos2A＋cos2(2π3＋A)＋cos2(4π3＋A)．【解】 原式＝1－cos 2A2＋1－cos 4π3＋2A 2＋1－cos 8π3＋2A2＝32－12[cos 2A ＋cos(4π3＋2A )＋cos(8π3＋2A )] ＝32－12[cos 2A ＋2cos(2π＋2A )cos 2π3] ＝32－12[cos 2A －cos(2π＋2A )]＝32.三角恒等式的证明 求证：sin αsin(60°＋α)sin(60°－α)＝14sin 3α.【思路探究】 恒等式的左边是函数积的形式且各三角函数的角不一样，应根据积化和差公式对左边变形整理，进行角的统一．【自主解答】 左边＝sin α[－12(cos 120°－cos 2α)]＝14sin α＋12sin αcos 2α ＝14sin α＋14[sin 3α＋sin(－α)]＝14sin 3α＝右边， ∴原等式成立．1．当对三个或三个以上的正弦或余弦函数因式的积通过积化和差公式进行化简时，选择因式的依据是使两因式的和或差是特殊角或与其他因式的角相同或相关．2．证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证．在△ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＝4cos A 2·cos B 2cos C2.【证明】 由A ＋B ＋C ＝180°， 得C ＝180°－(A ＋B )， 即C 2＝90°－A ＋B 2. ∴cos C 2＝sin A ＋B 2.∴sin A ＋sin B ＋sin C＝2sin A ＋B 2·cos A －B 2＋sin(A ＋B )＝2sin A ＋B 2·cos A －B 2＋2sin A ＋B 2·cos A ＋B 2＝2sin A ＋B 2(cos A －B 2＋cos A ＋B 2)＝2cos C 2·2cos A 2·cos(－B2) ＝4cos A2cos B 2cos C2. ∴原等式成立.进行三角恒等变换时忽略角的取值范围致误已知α为第三象限角，且cos α2＞0，tan α＝3，求tan α2的值．【错解】 ∵tan α＝3， ∴2tan α21－tan 2α2＝3，∴3tan2α2＋2tan α2－3＝0， ∴tan α2＝－13＋103或tan α2＝－13－103.【错因分析】 本题由于忽略角的取值范围而导致错误，应对α2的范围进行讨论．【防范措施】 在进行三角恒等变换时，忽略了角的取值范围，出现前、后取值范围不一致的情况．【正解】 ∵tan α＝3，所以2tanα21－tan 2α2＝3，∴3tan2α2＋2tan α2－3＝0， ∴tan α2＝－13＋103或tan α2＝－13－103.∵cos α2＞0，α为第三象限角， ∴α2为第四象限角， 所以tan α2＜0，∴tan α2＝－13－103.1．三角函数式化简结果的三大要求 (1)能求值的求值；(2)不能求值的要保证三角函数的种类最少、项数最少、次数最低； (3)分式的分母中尽量不含根号． 2．三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简； (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边右边＝1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，一直到探求出已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．1．sin 105°＋sin 15°＝________.【解析】 原式＝2sin 105°＋15°2·cos 105°－15°2＝2sin 60°cos 45°＝62.【答案】622．sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°的值是________．【解析】原式＝12[sin 90°＋sin(－50°)]－12[cos 60°－cos(－40°)]＝12－12sin 50°－14＋12cos 40° ＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14. 【答案】 143．化简cos α＋cos(120°－α)＋cos(120°＋α)＝________. 【解析】 cos α＋cos(120°－α)＋cos(120°＋α) ＝cos α＋2cos αcos 120° ＝cos α－cos α＝0. 【答案】 04．求证：(1)sin(α＋β)·sin(α－β)＝cos 2β－cos 2α； (2)cos α－cos βsin α＋sin β＝tan β－α2. 【证明】 (1)∵左边＝－12[cos 2α－cos 2β]＝－12[(2cos 2α－1)－(2cos 2β－1)]＝cos 2β－cos 2α＝右边， ∴原等式成立．(2)∵左边＝－2sin α＋β2sin α－β22sin α＋β2cos α－β2＝－sinα－β2cosα－β2＝－tan α－β2＝tan β－α2＝右边，∴原等式成立.一、填空题1．sin 37.5°cos 7.5°＝________.【解析】 原式＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝12(sin 45°＋sin30°)＝12×(22＋12)＝2＋14.【答案】2＋142．化简：sin 15°＋cos 65°cos 15°＋sin 65°＝________.【解析】 原式＝sin 15°＋sin 25°cos 15°＋cos 25°＝2sin 20°cos 5°2cos 20°cos 5°＝tan 20°.【答案】 tan 20°3．函数f (x )＝sin(2x －π3)cos(2x ＋π3)的周期是________．【解析】 ∵f (x )＝12[sin 4x ＋sin(－2π3)]＝12sin 4x －34， ∴T ＝2π4＝π2.【答案】 π24．(2013·临沂高一检测)求值：sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80 °＝________. 【解析】 sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80° ＝2sin 30°cos(－10°)＋sin 60°－sin 80°＝2×12×sin 80°＋32－sin 80°＝32.【答案】325．已知α－β＝2π3，且cos α＋cos β＝13，则cos(α＋β)等于________．【解析】 ∵cos α＋cos β＝13，∴2cos α＋β2cos α－β2＝13，∵α－β＝23π，∴cos α－β2＝12.∴cos α＋β2＝13则cos(α＋β)＝2cos 2(α＋β2)－1＝－79.【答案】 －796．已知等腰三角形顶角的余弦值等于45，则这个三角形底角的正弦值为________．【解析】 设该等腰三角形顶角为α，底角为β，则有α＋2β＝π，β＝π2－α2，∴sin β＝sin(π2－α2)＝cos α2.∵2cos2α2－1＝cos α，∴cos α2＝cos α＋12＝31010. 【答案】310107．直角三角形中两锐角为A 和B ，则sin A sin B 的最大值为________．【解析】 ∵A ＋B ＝π2，sin A sin B ＝12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12cos(A －B )， 又－π2＜A －B ＜π2，∴0＜cos(A －B )≤1，∴sin A sin B 有最大值12.【答案】 128.1sin 40°＋cos 80°sin 80°＝________. 【解析】 原式＝2cos 40°＋cos 80°sin 80°＝cos 40°＋2cos 60°cos 20°sin 80°＝cos 40°＋cos 20°sin 80°＝2cos 30°cos 10°sin 80°＝2cos 30°＝ 3.【答案】 3 二、解答题9．已知θ∈(π，32π)且sin θ2＝35，求：(1)sin θ1＋cos θ；(2)sin θ＋2cos θ. 【解】 ∵sin θ2＝35，θ∈(π，32π)，∴θ2∈(π2，34π)．∴cos θ2＝－1－sin 2 θ2＝－ 1－352＝－45.设t ＝tan θ2＝sinθ2cos θ2＝35－45＝－34.(1)sin θ1＋cos θ＝2t 1＋t 21＋1－t 21＋t2＝2t 2＝t ＝－34. (2)sin θ＋2cos θ＝2t 1＋t 2＋2·1－t 21＋t 2＝2t ＋2－2t21＋t2＝2×－34＋2－2×－3421＋－342＝－25.10．求函数f (x )＝sin x [sin x －sin(x ＋π3)]的最小正周期与最值．【解】 f (x )＝sin x [sin x －sin(x ＋π3)]＝sin x ·2cos(x ＋π6)sin(－π6) ＝－sin x cos(x ＋π6) ＝－12[sin(2x ＋π6)＋sin(－π6)] ＝－12sin(2x ＋π6)＋14. ∴最小正周期为T ＝2π2＝π. ∵sin(2x ＋π6)∈[－1,1]， ∴f (x )max ＝34，f (x )min ＝－14. 11．已知3tan(α－π12)＝tan(α＋π12)，求证：sin 2α＝1. 【证明】 ∵3tan(α－π12)＝tan(α＋π12)， ∴3sin α－π12cos α－π12＝sin α＋π12cos α＋π12. ∴3sin(α－π12)cos(α＋π12)＝sin(α＋π12)cos(α－π12)． ∴32(sin 2α－sin π6)＝12(sin 2α＋sin π6)． ∴3sin 2α－32＝sin 2α＋12，∴sin 2α＝1.(教师用书独具)求函数f (x )＝sin 52x 2sin x 2－12的值域． 【思路探究】 先通分，再将sin 52x －sin x 2和差化积，约去分母sin x 2，再变形为只含一个三角函数符号的形式．然后在函数f (x )的定义域内求值域．【自主解答】 f (x )＝sin 5x 2－sin x 22sin x 2＝sin3x2＋x－sin3x2－x2sinx2＝2cos3x2sin x2sinx2＝2cos3x2cosx2＝cos(3x2＋x2)＋cos(3x2－x2)＝cos 2x＋cos x＝2cos2x＋cos x－1＝2(cos x＋14)2－98.∵sinx2≠0，∴x2≠kπ，即x≠2kπ(k∈Z)．∴－1≤cos x＜1.当cos x＝－14时，f(x)min＝－98，当cos x趋于1时，f(x)趋于2.故函数f(x)的值域是[－98，2)．通过和差化积、积化和差等三角变换，改变函数式结构，并最终使函数解析式中只含一个三角函数符号，是上述变换过程的基本内容．一般对同名异角三角函数的和或差，可考虑和差化积；对异角正、余弦函数的积，可考虑积化和差．已知函数f(x)＝sin(2x－π6)＋2sin2(x－π12)(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．【解】(1)f(x)＝sin(2x－π6)＋2sin2(x－π12)＝sin(2x－π6)＋1－cos(2x－π6)＝sin(2x－π6)－sin[π2－(2x－π6)]＋1＝sin(2x－π6)－sin(－2x＋2π3)＋1＝2cos－π6＋2π32sin4x－π6－2π32＋1＝2sin(2x－5π12)＋1，∴f(x)的最小正周期T＝π.(2)由(1)知：当sin(2x－5π12)＝1时，f(x)max＝2＋1，此时，2x－5π12＝2kπ＋π2，即x＝kπ＋11π24(k∈Z)，∴当f (x )取最大值时，x 的取值集合是：{x |x ＝k π＋11π24，k ∈Z }.。
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3.3 几个三角恒等式
典题精讲
例1 (江苏高考卷，14) cot20°cos10°+3sin10°tan70°-2cos40°=__________ 思路分析：本题方法不拘泥,要注意灵活运用公式. 解：cot20°cos10°+3sin10°tan70°-2cos40° =︒
︒︒+︒︒︒70cos 70sin 10sin 320sin 10cos 20cos -2cos40° =︒
︒︒+︒︒20sin 20cos 10sin 310cos 20cos -2cos40° =
︒︒+︒︒20sin )10sin 310(cos 20cos -2cos40° =
︒
︒︒+︒︒︒20sin )30cos 10sin 30sin 10(cos 20cos 2-2cos40° =︒︒︒-︒︒20sin 40cos 20sin 240sin 20cos 2=2. 绿色通道：在求解三角函数的问题中,要注意这样的规律,即要“三看”： (1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化，(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称,就可以使用.
变式训练 1
(福建高考卷，理1) tan15°+cot15°等于( ) A.2 B.32 C.4 D.3
34 思路解析：原式=︒=︒︒︒+︒=︒︒+︒︒30sin 2
1115cos 15sin 15cos 15sin 15sin 15cos 15cos 15sin 22=4. 答案：C
变式训练 2
计算：cos 12πcos 3
πcos 125π. 思路分析:通过观察、分析已知式子中各角的特点，可先将cos
125π转化为sin 12π，然后再利用二倍角的正弦公式进行求解.将非特殊角转化为特殊角是求值常用的方法.
解：原式=21cos 12πsin 12π=41sin 6π=8
1. 例2 若sin α=
55,sin β=1010,且α,β是锐角，求α+β的值. 思路分析：可先求出α+β的某种三角函数值.但应当注意对α+β的角的范围进行讨论. 解：∵α,β是锐角，
∴cos α=,552)55(12=-cos β=10
103)1010(12=-. ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=
22. 又∵sin α=55＜21,sin β=1010＜2
1，∴0°＜α＜30°,0°＜β＜30°. ∴0°＜α+β＜60°.∴α+β=45°.
黑色陷阱：此题在解出sin(α+β)=2
2时，易误认为α+β=45°或α+β=135°.忽视了sin α,sin β的取值对α,β范围的进一步限制.
变式训练
已知cos(α+
4π)=53,2π≤α＜23π，求cos(2α+4
π)的值. 思路分析:先将cos(2α+4
π)变形为用已知角或有关的角来表示.本题若不注意cos(α+4π)=53对α+4π的限制，在求sin(α+4π)时将会出现两种情况. 解：cos(2α+4π)=cos2αcos 4π-sin2αsin 4π=2
2(cos2α-sin2α). ∵
2π≤α<23π，∴43π≤α+4π<4
7π. 又∵cos(α+4π)>0，∴23π<α+4π<47π. ∴sin(α+4
π)=)4(cos 12πα+--=-54. ∴cos2α=sin(2α+
2π)=2sin(α+4π)cos(α+4
π)=2524-. sin2α=-cos(2π+2α)=1-2cos 2(α+4π)=257. ∴原式=
22×(2524--257)=50231-.
例3 (2006陕西高考卷，理17) 已知函数f(x)=3sin(2x-6
π)+2sin 2(x-12π)(x∈R ). (1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求使函数f(x)取得最大值的x 的集合.
思路分析：对于形如asin α+bcos α(a,b 不同时为0)的式子可先引入辅助角变为Asin(α+φ)的形式，再进行三角函数的化简,求周期和最值等.
解:(1) f(x)=3sin(2x-6
π)+1-cos2(x-12π) =2[23sin2(x-12π)-21cos2(x-12
π)]+1 =2sin[2(x-
12π)-6
π]+1 =2sin(2x-3
π)+1,∴T=22π=π. (2)当f(x)取最大值时,sin(2x-3π)=1,有2x-3π=2k π+2
π, 即x=k π+12
5π(k∈Z ). ∴所求x 的集合为{x∈R|x= k π+12
5π,k∈Z }. 黑色陷阱：忽视题目中角与角的关系，即(2x-6π)与(x-12π)是二倍角的关系，思维受阻，同时在三角变换上出现计算错误.
变式训练
(2005重庆高考卷，文17) f(x)=)2sin(42cos 1x x
++π-asin 2x cos(π-2
x )的最大值为2，试确定常数a 的值.
思路分析:首先分析已知函数式的特点和角的特点，然后根据三角关系式对f(x)进行化简，再来确定常数.
解：f(x)=)2sin(42cos 1x x
++π-asin 2x cos(π-2
x ) =x x cos 4cos 22+asin 2x cos 2x =21cosx+2
a sinx =4
412
a +sin(x+φ)(其中tan φ=a). 由题意有41+4
2
a =4，解得a=±15. 问题探究
问题1 对于三角函数的求值问题可归纳哪些类型?
导思:三角函数的求值问题可归纳为三种类型：给角求值、给值求值、给值求角.需要注意的是以上无论哪种计算,每一步都要注意所给条件，特别是隐含条件对角的范围的限制而引起的值的范围的变化.
探究:(1)给角求值，一般所给的角都是非特殊角，需仔细观察所给角与特殊角的关系，结合公式转化为特殊角的三角函数求解.
(2)给值求值，实质上也是“给角求值”，关键也是把所求角用已知角或特殊角的形式表示.
(3)给值求角，实质上是“给值求值”，关键是根据条件求出所求角的某种三角函数值，再结合所求角的范围求出角.
问题2 求解有关三角函数的最值问题，总结起来有哪些方法？
导思:关于三角函数的最值问题一般归结为四种类型，需要注意的是无论哪种方法都要注意角的取值范围引起的某些变量的变化范围.
探究:关于三角函数的最值问题一般归结为四种类型：
(1)形如y=asin 2x+bsinxcosx+ccos 2x 的函数,先降幂再化为Acos(ωx+φ)+B 的形式，利用
sin α的有界性求最值；
(2)形如y=d x c b x a ++sin sin 或y=d
c b x a ++cos cos 的函数,利用反函数法解出sin α、cos α，利用sin α、cos α的有界性求最值；
(3)可化为形如y=a(sinx-b)2+c 或y=a(cosx-b)2+c 的形式的函数，利用换元法转化为二次函
数在特定区间上的最值问题；
(4)利用(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx 和换元法转化为关于sinx+cosx 的最值问题.。