一次函数与函数的区别
沪科版数学八年级上册12.2.2一次函数的图像与性质课件(共19张PPT)
12.2 一次函数12.2.2 一次函数的图像与性质
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.掌握一次函数图像的画法并清楚b的含义.2.掌握一次函数y=kx+b(k≠0)与y=kx图像的区别与联系.
掌握一次函数图像的画法并清楚b的含义.
掌握一次函数y=kx+b(k≠0)与y=kx图像的区别与联系.
直线y＝3(x－1)在y轴上的截距是 ( )A．1 B．－1 C．3 D．－3
仿例2
将函数y＝－3x的图象沿y轴向上平移2个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为 ( )A．y＝－3x＋2 B．y＝－3x－2C．y＝－3(x＋2) D．y＝－3(x－2)
随堂练习
对于函数y=7x , y随x的（ ）而增.
增大
下列函数中，y的值随x值的增大而增大的函数是( ) A. y = -2x B. y = -2x+1 C. y = x-2 D. y = -
-4
-2
0
2
4
y=2x+3
-4+3
-2+3
0+3
2+3
4+3
描点、连线:
由此可见，一次函数 y=2x+3 的图像是平行于直线 y=2x 的一条直线.
y=2x
y=2x+3
知识归纳
直线 y＝kx+b与y轴交于点(0,b),b叫做 直线 y=kx+b在y轴上的截距,简称截距．直线 y＝kx+b可以看作是由直线 y=kx 平移 个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.
图象
性质
同学们再见！
一次函数的定义和性质
一次函数的定义和性质一次函数是指形如y=ax+b的函数，其中a和b为常数，且a不等于零。
它也被称为线性函数，因为它的图像是一条直线。
一次函数是数学中的基础概念之一，具有一些重要的性质和应用。
一. 定义一次函数是指以x为自变量，以y为因变量的函数，其表达式为y=ax+b，其中a和b为实数，且a不等于零。
其中，a称为一次项的系数，b称为常数项。
当x取不同的值时，y的取值也相应地发生变化，这种对应关系可以通过一条直线来表示。
二. 图像特征1. 直线特征：一次函数的图像总是一条直线，因此它具有线性特征；2. 斜率特征：一次函数的斜率表示为常数a，描述了图像在x轴正方向上的倾斜程度。
斜率为正时，表示图像向上倾斜；斜率为负时，表示图像向下倾斜；3. 截距特征：一次函数的截距表示为常数b，描述了图像与y轴的交点位置。
截距为正时，表示图像与y轴正半轴交于正值点；截距为负时，表示图像与y轴负半轴交于负值点。
三. 性质1. 单调性：一次函数的单调性由斜率的正负决定。
当a大于零时，函数单调递增；当a小于零时，函数单调递减；2. 定义域和值域：一次函数的定义域为所有实数；值域为所有实数，即函数的取值范围没有限制；3. 零点：一次函数的零点即为函数的根，表示当x取某个值时，函数的值等于零。
对于一次函数，当且仅当x=-b/a时，函数的值为零；4. 最值：一次函数没有最大值和最小值，因为它的图像是一条直线；5. 平移：通过给定一次函数的表达式，可以进行平移操作来得到新的函数。
平移操作可以在x轴和y轴上分别进行，通过改变常数a和b的值，可以使图像在平面上发生移动。
四. 应用一次函数在现实生活中有着广泛的应用，例如：1. 财务收入：一些经济指标和统计数据的变化趋势可以通过一次函数来表示，如年度收入的增长率；2. 运动模型：一次函数可以表示一些常见的运动模型，如匀速运动的位移和速度关系；3. 经济学模型：在经济学中，一次函数可以用来表示供求关系、成本和收益关系等；4. 工程预测：一次函数可以用来进行工程测量、预测物理量的变化趋势等。
1.2.1函数的概念
请完成下面的区间和集 合形式的互写
(3)无穷大在使用时也要注意“正负”－， 和写前写后,如错误的有“ 3，－ ”
2 （1）求函数的定义域 . （2）求 f (3), f ( ) 的值 3 （3）当a>0时，求 f (a), f (a 1)的值 解（1） x 3有意义的实数x的集合是{x|x≥-3} 1 x 2 有意义的实数x的集合是{x|x≠2} 所以 这个函数的定义域就是 {x | x 3} {x | x 2} {x | x 3, x 2}
y ax 2 bx c
二次函数 (a 0)
例、下列函数哪个与函数y=x相等
(1) y (
x)
2
2
(2) y 3
( 4) y
x3
x2
也叫分 段函数 定义域都是实数集R，但是当x<0时，它的对应关系为y=－x
-x，x<0
所以和y=x（x∈R）不相等 （4） y
x2
解（1） y ( x ) x( x 0) ，这个函数与y=x（x∈R） 对应一样，定义域不同，所以和y=x （x∈R）不相等 （2）y 3 x3 x( x R) 这个函数和y=x （x∈R） 对应关系一样 ，定义域都是实数集R，所以和y=x （x∈R）相等 x，x≥0 （3） 这个函数和y=x（x∈R）
（6）函数除了用f(x)表示，还可以用其他符号 表示如:g(x),h(x),G(x)等等
(7)x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 , y叫函数值，y的取值范围 C={f(x)|x∈A}叫做函数
的值域，值域C是集合B的子集怎么理解？
例如： A {0,1,2} , B {0,2,4,5} , f : A B
二次函数与一次函数的像比较
二次函数与一次函数的像比较函数是数学中的重要概念，用于描述数值之间的关系。
而在函数中，二次函数和一次函数是常见的两种类型。
本文将从图像、特点和应用等方面比较二次函数和一次函数的像。
通过对二者的对比，我们可以更好地理解它们之间的异同点。
一、图像比较1. 二次函数二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不等于0。
二次函数的图像为抛物线。
当a大于0时，二次函数的抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点是二次函数的最值点。
此外，二次函数的对称轴为x = -b/2a。
2. 一次函数一次函数的一般形式为y = mx + b，其中m和b为常数，且m不等于0。
一次函数的图像为直线。
直线的斜率m决定了直线的倾斜方向和倾斜程度。
当m大于0时，直线向上倾斜；当m小于0时，直线向下倾斜。
直线与x轴的交点为一次函数的零点。
通过观察二次函数和一次函数的图像，我们可以发现二次函数的图像更加曲线，而一次函数的图像则更加直线。
二、特点比较1. 二次函数- 二次函数是二次多项式函数，其次数为2。
- 二次函数的导数为一次函数，即二次函数的斜率是线性变化的。
- 二次函数的平均变化速率是不断变化的，即其增长速度或减少速度不是固定的。
- 二次函数的零点可以通过解一元二次方程得到。
2. 一次函数- 一次函数是一次多项式函数，其次数为1。
- 一次函数的导数为常数，即一次函数的斜率是恒定不变的。
- 一次函数的平均变化速率是固定的，即其增长速度或减少速度是恒定的。
- 一次函数的零点可以通过解一元一次方程得到。
通过比较二次函数和一次函数的特点，我们可以看出它们在斜率、变化速率以及求解零点等方面存在显著区别。
三、应用比较1. 二次函数- 二次函数广泛应用于物理学、经济学和工程学等领域，用于描述抛物线的运动轨迹、成本、利润等变化规律。
- 二次函数在凸优化理论中有重要应用，用于描述凸优化问题的目标函数或约束条件。
一次函数揭秘一次函数的定义和性质
一次函数揭秘一次函数的定义和性质一次函数揭秘：一次函数的定义和性质一次函数，也称为线性函数，是数学中最简单、最重要的函数之一。
它的函数表达式为 y = ax + b，其中 a 和 b 是实数，并且a ≠ 0。
本文将深入探讨一次函数的定义和性质，帮助读者更好地理解和应用一次函数。
一、一次函数的定义一次函数是指其函数图像为一条直线的函数。
在一次函数的函数表达式中，x 是自变量，y 是因变量。
其中，a 代表斜率，决定了函数图像的斜率和方向；b 代表截距，决定了函数图像与 y 轴的交点位置。
当a > 0 时，函数图像呈现正斜率，向上倾斜；当 a < 0 时，函数图像呈现负斜率，向下倾斜。
二、一次函数的性质1. 变化率恒定：一次函数的斜率 a 表示了函数图像的变化率。
具体来说，a 的绝对值越大，函数图像变化的速率就越快；a 的绝对值越小，函数图像变化的速率就越慢。
当 a = 0 时，函数图像为一条水平直线，不变化。
2. 函数图像经过定点：一次函数的截距 b 决定了函数图像与 y 轴的交点位置。
当 b = 0 时，函数图像经过原点；当b ≠ 0 时，函数图像与y 轴有一个截距点。
这个截距点的纵坐标为 b，横坐标为 0。
3. 一次函数的图像特点：一次函数的图像是一条直线，具有直线的一些特点。
例如，两点确定一条直线，可以利用函数图像上的两个点得到函数的具体表达式；一次函数的图像关于 y 轴对称，可以通过将 x 取负得到关于 y 轴对称的点，并连接这两个点得到函数图像。
三、一次函数的应用1. 行程与距离关系：一次函数可以应用于行程与距离之间的关系。
例如，当一个物体以一定速度匀速运动时，其行进的距离与时间的关系可以用一次函数来表示。
2. 成本与产量关系：一次函数也可以应用于企业的成本与产量之间的关系。
例如，当产量固定的情况下，成本可以通过一次函数来表示，这样就可以帮助企业进行成本控制和预测。
3. 温度变化关系：一次函数还可以应用于温度变化之间的关系。
数学知识点一次函数的定义和性质
数学知识点一次函数的定义和性质一次函数的定义和性质一次函数是数学中常见的函数形式，其定义和性质对于数学学习和实际应用有着重要的意义。
本文将重点介绍一次函数的定义、图像特点、斜率和截距等方面的性质。
一、定义一次函数，又被称为线性函数，是指函数的最高次幂项为一次幂的函数。
一次函数的一般形式为：f(x) = ax + b，其中，a和b是常数，a为函数的斜率，b为函数的截距。
二、图像特点一次函数的图像呈现为一条直线，具有以下特点：1. 直线的斜率决定了直线的倾斜程度，斜率为正值表示直线向右上方倾斜，斜率为负值表示直线向右下方倾斜，斜率为零表示直线水平。
2. 直线的截距表示了直线和y轴的交点位置，当截距为正值时，直线在y轴的上方，当截距为负值时，直线在y轴的下方，截距为零时，直线经过原点(0,0)。
三、斜率的性质一次函数的斜率是函数的重要属性，具有以下性质：1. 斜率为正表示函数图像呈现上升趋势，斜率越大，上升趋势越陡峭；斜率为负表示函数图像呈现下降趋势，斜率越小，下降趋势越陡峭。
2. 斜率为零表示函数图像是水平的，此时函数的增减性为不变，图像在横轴上水平延伸。
3. 两条平行直线的斜率相等。
四、截距的性质一次函数的截距也是其重要的性质，具有以下特点：1. y轴截距表示函数图像和y轴的交点位置，当截距为正值时，直线在y轴的上方，当截距为负值时，直线在y轴的下方，截距为零时，直线经过原点(0,0)。
2. x轴截距表示函数图像和x轴的交点位置，即当f(x)=0时，解得的x值。
五、一次函数的应用一次函数的应用非常广泛，特别是在实际问题中，如直线运动、成本、利润等方面。
通过建立一次函数模型，可以帮助我们分析和解决问题。
六、总结通过对一次函数的定义和性质的介绍，我们了解到一次函数是以一次幂为最高幂的函数形式，其图像是一条直线。
函数的斜率决定了直线的倾斜程度，而截距则表示了直线与坐标轴的交点位置。
一次函数在数学学习和实际应用中起着重要的作用。
一次函数与正比例函数的关系
一次函数与正比例函数的关系
一次函数和正比例函数都是数学中常见的函数类型。
它们之间有着紧密的联系，但也存在一些区别。
一次函数是指形如y = kx + b 的函数，其中k 和b 是常数，x 和y 分别表示自变量和因变量。
这种函数的图像呈直线，且斜率k 决定了直线的斜率和方向，截距b 决定了直线和y 轴的交点。
正比例函数是指形如y = kx 的函数，其中k 是常数，x 和y 分别表示自变量和因变量。
这种函数的图像呈直线，且经过原点，斜率k 决定了直线的斜率和方向。
可以发现，正比例函数是一种特殊的一次函数，其中截距 b 等于零。
因此，正比例函数可以看成是一次函数的一种特殊情况。
区别在于，一次函数的截距可以为任意值，因此其图像可以和y 轴有交点，而正比例函数则必须经过原点。
此外，一次函数的斜率可以为任意值，而正比例函数的斜率为常数。
总之，一次函数和正比例函数之间存在着密切的联系，但也有一些细微的区别。
在实际应用中，需要根据具体情况来选择使用哪种函数。
一次函数详解
一次函数
一次函数的定义
一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，且k≠0）
的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。当b=0 时，一次函数y=kx(k≠0），又叫做正比例函数 (正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括 正比例函数)。
析式
形式是y=kx+b，判断一个函数是否是一次函数， 就是判断是否能化成这种形式。 注：一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零) ① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数
图像
一次函数y=kx+b在直角坐标系中 的图像是一条直线。k是斜率(反 映直线对x轴的倾斜度)。
k>0时，图像从左到右上升，y随x 的增大而增大，经过的象限如图：
k<0时，图像从左到右下降，y 随x的增大而减小，经过的象限 如图：
性质
在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足 等式：y=kx+b（k≠0）。
一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴 总是交于(-b/k，0)，正比例函数的图像都是过 原点的。
最值
一般情况，一次函数没有最大值或最小值，但 是当自变量的取值范围有限制时，在端点可以 取到最大值或最小值。在应用题中要特别注意 自变量的取值范围。
过定点
正比例函数y=kx，过(0，0)，(1，k) 一次函数y=kx+b，过(0，b)，(-b/k，0) 例如直线y=kx-k，此时b=-k，套用(-b/k，0)，可知y=kx-k 过定点(1，0)。 这种题也可以这样理解，对于y=kx-k，当x确定时y与k值有 关，所以y不确定，想过定点(x1，y1)，需要使y与k无关。 由于参数k是字母，可以把它当作关于k的方程，即y=(x-1)k。 该方程有无数个解(无论k取何值，(x1，y1)都满足这个方程)
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一次函数与函数的区别
一次函数与函数是数学中常见的两个概念，它们在数学表达和解决实际问题中起到了重要的作用。
虽然它们都属于函数的范畴，但是它们之间存在一些明显的区别。
一次函数，又称为线性函数，是指函数的表达式中只包含了一次幂的变量。
一次函数的一般形式可以表示为y=ax+b，其中a和b为常数，且a不等于0。
一次函数的图像通常是一条直线，其斜率决定了直线的倾斜程度，截距则决定了直线与y轴的交点。
而函数则是一种更为广义的概念，它可以包含任意次幂的变量，也可以包含其他的数学运算和常数。
函数可以用来描述各种各样的数学关系，如指数函数、对数函数、三角函数等等。
函数的定义域和值域可以是实数集、复数集，甚至更加广泛的数学结构。
从定义的角度来看，一次函数是函数的一个特例，它限定了函数的表达式只包含一次幂的变量。
而函数则是一种更为一般化的描述方式，可以包含多项式、指数、对数、三角等各种类型的表达式。
因此，函数的概念更加抽象和灵活，可以适用于更多不同的数学问题。
从图像的角度来看，一次函数的图像是一条直线，具有明显的倾斜特征。
而函数的图像则因其定义和表达式的不同而具有各种各样的形态，可以是曲线、抛物线、螺旋线等等。
函数的图像形态反映了
函数的性质和特点，可以通过图像来研究函数的变化规律和数学性质。
从应用的角度来看，一次函数常常用于描述线性关系，例如物体的匀速直线运动、经济学中的成本和收益关系等。
一次函数的简单性和直观性使得它在实际问题中具有广泛的应用。
而函数则可以适用于更加复杂的问题，如量子力学、统计学、图论等领域。
函数的灵活性和多样性使得它可以更好地描述和解决各种实际问题。
一次函数和函数虽然都属于数学中的函数范畴，但是它们之间存在着明显的区别。
一次函数是函数的一个特例，它限定了函数的表达式只包含一次幂的变量，图像为一条直线。
而函数则是一种更为广义的概念，可以包含任意次幂的变量和其他数学运算，图像形态多样。
一次函数在描述线性关系方面具有简洁性和直观性，而函数则适用于更加复杂的数学问题。
无论是一次函数还是函数，它们在数学中都扮演着重要的角色，为我们解决实际问题提供了有效的工具和方法。