江苏省盐城市时杨中学期中考试试题 高三数学(含附加题部分)
江苏省盐城市时杨中学高三上学期期中考试(数学)
江苏省盐城市时杨中学高三上学期期中考试（数学）一．填空题（本题共14小题，每小题5分，共70分）1．设集合M={－1，1}，N ={x |21＜12+x ＜4，Z x ∈}，则M ⋂N= 。
2．设x x y cos =，则='y ________________。
3．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且212+++=n n n S S S ，则公比q = 。
4．关于x 的一元二次方程0152=--ax x 有两个不同的实根，一根位于区间)0,1(-，另一根位于区间)2,1(，则实数a 的取值范围为 。
5．已知31)3sin(=+απ，且)0,2(πα-∈则=αsin ________。
6．已知函数)1(2-x f 的定义域为[0，3]，则函数)(x f y =的定义域为 7．已知1414log 7,log 5,a b ==则用,a b 表示35log 28= 。
8．若)(x f 为偶函数且在（0,∞-）上是减函数，又0)2(=-f ,则0)(<⋅x f x 的解集为____________.9．(文科做) 已知向量a 和b的夹角是1且2||=a ，5||=b ，则= 。
（理科做）已知数列{}n a 满足）（，n n n a a n a a -==+111,则数列{}n a 的通项公式=n a 。
10．给定映射),2(),(:xy y x y x f +→，点（61,61-）的原象是 。
11．已知曲线 xe y =在点P 处的切线经过原点，则此切线的方程为 12．等差数列{}n a 满足4737a a =，且10a >，当前n 项和n S 最大时，n =13．函数122+=x xy 的值域为 。
14．已知,23,53cos πθπθ<<-=且则2cos 2sin θθ+的值为_______。
二、解答题(本题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．) 15．（本题满分14分）记函数f （x ）=132++-x x 的定义域为A ，g （x ）=lg ［（x －a －1）（2a －x ）］（a ＜1）的定义域为B .（1）求A ；（2）若B ⊆A ，求实数a 的取值范围.16．（本题满分14分）数列{a n }中，a 1=8，a 4=2，且满足a n +2－2a n +1+a n =0（n ∈N *）. （1）求数列{a n }的通项公式. （2）设b n =)12(1n a n -（n ∈N *），S n =b 1+b 2+…+b n ，是否存在最大的整数m ，使得任意的n 均有S n ＞32m 总成立？若存在，求出m ；若不存在，请说明理由.17．（本题满分15分）已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ．（1）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； （2）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围．18．（本题满分15分）已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．19．（本题满分16分）若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）.（1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？本题满分16分）已知数列{}n a 中，11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-(20)n q ≠≥，．（1）设1()n n n b a a n +=-∈*N ，证明{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）若3a 是6a 与9a 的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的n ∈*N ，n a 是3n a +与6n a +的等差中项．附加题部分（选物理的考生做）1．（本题10分）极坐标方程52sin42=θρ化为直角坐标方程是 。
【数学】江苏省盐城市2021届高三上学期期中考试数学试卷+含答案
12
3
值为 1 ；③函数 f (x) 的一条对称轴为 x＝ 这三个条件中任选一个补充在下面的问题
2
12
中，并完成解答．
已知函数 f (x) 满足
，在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，
若 a＜b， f (A) f (B) ．试问：这样的锐角△ABC 是否存在，若存在，求角 C；若不存在，
（2）若 x (0， )， f (x) ＞0 恒成立，求 m 的取值范围．
18．（本小题满分 12 分）
设 f (x) sin(x ) ，其中 为正整数， ，当 ＝0 时，函数 f (x) 在[ ，
2
5
]单调递增且在[ ， ]不单调．
5
33
（1）求正整数 的值；
（2）在①函数 f (x) 向右平移 个单位得到奇函数；②函数 f (x) 在[0， ]上的最小
．
43
2
14．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，AD 为边 BC 上的中线，若 b＝4c＝
4
且
AB
AD
2
AB
，则
cosA＝
；中线 AD 的长为
．
15．若an 是单调递增的等差数列，且 aan 4an ，则数列an 的前 10 项和为
．
16．若函数 f (x) 1 x2 b ln x ax 在(1，2)上存在两个极值点，则 b(3a＋b＋9)的取值范围 2
A．376
B．382
C．749
D．766
8．设 x，y (0， )，若 sin(sinx)＝cos(cosy)，则 cos(sinx)与 sin(cosy)的大小关系为
A．＝
2023-2024学年江苏省盐城中学高三年级模拟考试数学试题+答案解析(附后)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年江苏省盐城中学高三年级模拟考试数学试题的。
1.若集合，，则( )A. B.C.D.2.若是关于x 的 实系数方程的一个虚数根，则( )A. ， B. ，C. ，D. ，3.若，则( )A. B.C.D.4.已知，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.若函数在R 上无极值，则实数a 的取值范围( )A. B.C.D. 6.设，是双曲线的两个焦点，O 为坐标原点，P 是C 的左支上一点，且，则的面积为( )A.B.C. 8D.7.数列中，，，使对任意的为正整数恒成立的最大整数k 的值为( )A. 1209B. 1211C. 1213D. 12158.对于一个古典概型的样本空间和事件A ，B ，C ，D ，其中，，，，，，，，则( )A. A 与B 不互斥B. A 与D 互斥但不对立C. C 与D 互斥D. A 与C相互独立二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知，则( )A. B.C. D.10.已知函数的一条对称轴为，则( )A. 的最小正周期为B.C. 在上单调递增D.11.平行六面体中，各棱长均为2，设，则( )A. 当时，B. 的取值范围为C. 变大时，平行六面体的体积也越来越大D. 变化时，和BD总垂直12.已知曲线C是平面内到定点和定直线的距离之和等于4的点的轨迹，若在曲线C上，则下列结论正确的是( )A.曲线C关于x轴对称B. 曲线C关于y轴对称 C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某产品有5件正品和3件次品混在了一起产品外观上看不出有任何区别，现从这8件产品中随机抽取3件，则取出的3件产品中恰有1件是次品的概率为__________.14.已知单位向量，，满足，则的值为__________.15.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，设C是一个“0，1数列”，定义数列为数列C中每个0都变为“1，0，1”，每个1都变为“0，1，0”所得到的新数列.例如数列，1，则数列，0，1，0，1，已知数列，1，0，1，0，记数列，，2，3，，则数列的所有项之和为__________;数列的所有项之和为__________.16.在中，，P为内部一动点含边界，在空间中，若到点P的距离不超过1的点的轨迹为L，则几何体L的体积等于__________.四、解答题：本题共6小题，共70分。
江苏省盐城市2019届高三上学期期中考试数学Word版试卷
▲ 条件 .（选填 “充分不必
9.在 ABC 中， AB 2 ， AC 1， A ，点 D 为 BC 上一点，若 AB AD 2 AC AD 3
则 AD = ▲ ． 10.若函数 f ( x) sin3 x m 0 m 1 的所有正零点构成公差为 d (d 0) 的等差数列，
则
d ▲．
11.如图，在四边形 ABCD 中， A ， AB 2 ， AD 3 ，分别延长 CB 、 CD 至点 E 、 3
3.若钝．角 的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点
3 P(m, ) ，则 tan =
2
▲．
4.在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ，若 a 3， b 5， c 7 ，则角 C = ▲ ．
5.已知向量 m (1, 1)， n (cos ,sin ) ，其中 [0, ] .若 m / /n ，则 = ▲ ．
6.设等差数列 { an } 的前 n 项和为 Sn ，若 a3 6 ， S7 49 ，则公差 d = ▲ ． 7.在平面直角坐标系中，曲线 y ex 2x 1在 x 0 处的切线方程是 ▲ ．
8.设函数 f (x)
k 1
k
2x 2x
，则
k
1 是函数 f (x) 为奇函数的
要、必要不充分、既不充分又不必要、充要 ”之一）
▲．
二、解答题： 本大题共 6 小题， 计 90 分解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤，
请把答案写在答题纸的指定区域内 .
15. (本小题满分 14 分 )
1
若函数 f x
π
sin ax
b (a 0, b
3
高点之间的距离为 π．
江苏省盐城市2023-2024学年高三上学期期中数学试题含答案
盐城市2024届高三年级第一学期期中考试数学试题（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上第I 卷（选择题 共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{P x y==，{Q y y==，则P Q = （）A.∅B.[)0,+∞ C.[)1,−+∞ D.[)1,+∞2.若复数z 满足2zz =，则z 为（）A.1B.C.2D.43.数列{}n a 满足21n n a a +=，*n ∈N ，则“12a =”是“{}n a 为单调递增数列”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.如图，某炮兵从地平面A 处发射一枚炮弹至地平面的另一处B ，假设炮弹的初始速度为0v ，发射方向与地平面所成角为02παα<<，根据物理知识可知，在不计空气阻力的情况下，弹飞行过程中的水平距离()0cos x v t α=，竖直距离()201sin 2y v t gt α−，其中t 为炮弹的飞行时间，g 为重力加速度，对于给定的初始速度0v ，要使炮弹落地点的水平距离AB 最大，则发射角α应为（ ）A.6πB.4πC.3πD.512π5.若函数()()sin 06f x x πωω=+>在0,3π上单调，则ω的取值范围是（ ）A. ()1,+∞B. [)1,+∞C. ()0,1D. (]0,16.在各项为正数的无穷等差数列{}n a 中，公差0d ≠，若数列11n n a a +的前n 项和为n S ，则（ ）A. 2212n n nS a +=B. 2212n n n S a +>C. 2212n n nS a +<D.以上均不对A.7.若0x >，1y >，则341y x x y +−的最小值为（ ） A.1D.12B.4C.88.已知114422a −=−，1ln 22b =，1c =− ） A. b c a >>B. b a c >>C. a b c >>D. c b a >>二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在复数范围内，方程210x x ++=的两根记为1x ，2x ，则（ ） A. 121x x +=B. 121x x =C. 12x x −=D. 12x10.在ABC △中，4AB AC AB AC +=−= ，4AB CB ⋅=则（ ）A. 3B π=B. 2A π=C. AC =D. ABC △的面积为11.已知数列{}n a 满足12nn n a a k −+=，*n ∈N ，2n ≥，则（ ） A.当0k =且10a ≠时，{}n a 是等比数列 B.当1k =时，13n a−是等比数列C.当2k =−时，()2n n a−是等差数列D.当3k =−且13a =−时，()33n na− −是等比数列 12.在ABC △中，若()*A nB n =∈N ，则（ ）A.对任意的2n ≥，都有sin sin A n B <B.对任意的2n ≥，都有tan tan A n B <C.存在n ，使sin sin A n B >成立D.存在n ，使tan tan A n B >成立第Ⅱ卷（非选择题 共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若不等式22x x a −≤对任意[]0,3a ∈都成立，则实数x 的取值范围为____________.14.在ABC △中，已知3AB =，4AC =，3BC =，则BA BC ⋅的值为_____________.15.若函数()()32,f x x ax bx a b =++∈R 有三个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，1322x x x +=，则a b +的最大值为__________.16.若ABC △内一点P 满足PAB PBC PCA α∠=∠=∠=，则称点P 为ABC △的勃罗卡点，α为ABC △的勃罗卡角.在等腰ABC △中，AB AC =，若勃罗卡点P 满足PBPC PA PB==，则ABC ∠与勃罗卡角α的正切值分别为__________、___________（第1空2分，第2空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（10分）已知奇函数()f x 偶函数()g x 满足()()e x f x g x +=. （1）求()g x 的最小值； （2）求函数()()()f x h xg x =的值域. 18.（12分）已知正项递增等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，且391S =，1381a a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n a 的个位数为n b ，求数列{}n n a b 的前2n 项和2n T . 19.（12分）若函数()2sin 3f x x πω=+在()0,π上恰有两个零点，其中*ω∈N . （1）求ω的值； （2）若()65f x =，求sin 12x π−的值.20.（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足c =()2cos cos 0a c B b C ++=.（1）若4A π=，求ABC △的面积；（2）若点D 满足2AD DC = ，BCD △的面积是，求sin sin ABDCBD∠∠的值. 21.（12分）“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”，“大衍数列”来源于《乾坤谱》，用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.“大衍数列”{}n a 的前几项分别是：0，2，4，8，12，18，24，…，且{}n a 满足11,2,1,21,n n n a n n k a a n n k −−+= =+−+ 其中*k ∈N . （1）求2k a （用k 表示）； （2）设数列{}n b 满足：2,2,21,21,n n n a n k b a n k = =+=− 其中*k ∈N ，n T 是{}n b 的前n 项的积，求证：2ln n T n n ≤−，*n ∈N .22.（12分）已知()()e 1x f x x =−. （1）求函数()()e e g x f x x =+−的最大值；（2）设()()12f x f x t ==，12x x ≠，求证：1221etx x t +<−−.参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 【答案】D 【解析】{}11Px x x =≤−≥或，{}0Q y y =≥，[)1,P Q =+∞ ，选D. 2. 【答案】B【解析】2zz =，则2z z =，∴z = B.3. 【答案】A【解析】12a =，则{}n a 一定是单调增数列，充分{}n a 是单调增数列，则1a 不一定是2，不必要，选A.4. 【答案】B【解析】()201sin 02B y v t gt α=−=，∴0sin 12v t gα=， ()22000sin cos sin 2cos 12B v v x v tg g αααα===， 当22πα=，即4πα=时，AB 取最大值，选B.5. 【答案】D 【解析】03x π<<，则6636x ππππωω<+<+，()f x 在0,3π单调，则362πππω+≤，∴01ω<≤，选D.6. 【答案】B 【解析】111111n n n n a a d a a ++=− ，2121121121111122nn n n nd n S d a a d a a a a +++ =−== {}n a 为各项为正数的无穷等差数列，0d >，2110n a a +>>，221121n n a a a ++>，221212122n n n n nS a a a ++=>，选B.7. 【答案】C【解析】341y x t x y +=−，则()24440y tx y x tx −+++=， 0≥△，∴()()244160tx x tx +−+≥，()24416tx x −≥，244tx x −≥，448t x x≥+≥，选C. 8. 【答案】C【解析】112223222222a −−+−−，2213122c a ==<，∴. c a <. 在B ，C 中选，比较a ，b 大小1x >时ln x <，则111244ln 222−<−，即b a <，选C 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 【答案】BC【解析】121x x +=−，121x x =，A 错，B 对.()()221212124143x x x x x x −=+−=−=−，12x x −=C 对12x x −，D 错，选BC.10. 【答案】ABC【解析】222222AB AB AC AC AB AB AC AC ++=−⋅+ ，∴0AB AC ⋅= ，2A π=，B 对2cos 4AB CB BA BC B BA ⋅===，2BA =，4BC =，AC =，A 对，C对，ABC S =△，D 错选ABC.11. 【答案】ACD【解析】对于A ，120n n a a −+=，12n n a a −=−，10a ≠，∴12nn a a −=−，∴{}n a 为等比数列，A 对. 对于B ，121n n a a −+=，∴121n n a a −=−+，1112122333n n n a a a −−−=−+=−−， 1103a −=时13n a−不是等比数列，B 错.对于C ，()122nn n a a −+=−，则()()12122nn nna a −+=−−，则()()11122nn nn a a −−−=−−， ∴()2n n a −是以1为公差的等差数列，C 对. 对于D ，()123nn n a a −+=−，则()()12133nn nna a −+=−−，则()()12133nn nna a−=−+−− ()()()()111123223233333333nn n n nn n n a a a a −−−− −=−−=−−=− −−−−()113332033a −−=−=−≠−−，∴()33n na− −是以23为公比的等比数列，D 对，选ACD. 12. 【答案】AD【解析】方法一：当3A B =时，3n =，取12B π=，则4A π=，tan 1A=，tan 2B=(3tan 32B =−，则tan 3tan A B >，B 错，D 对.000A B C πππ<< << << ，∴000nB B B nB ππππ<<<<<−−< ，∴01B n π<<+， ()sin sin f x nx n x =−，01x n π<<+，()()cos cos cos cos 0f x n nx n x n nx x ′=−=−<，()f x 在()0,π ，∴()()00f x f <=，∴sin sin nB n B <，∴sin sin A n B <，A 对，C 错 选AD.方法二：对于A ，由01nB B B n ππ+<⇒<<+，∴01n B nB n ππ<<<<+， 构造()sin xf x x=，易如()f x 在()0,π上 ， ∴()()sin sin sin sin nB Bf nB f B nB n B nB B<⇒<⇒<， 即sin sin A n B <，A 正确，C 错 对于B ，取2n =，2A π<且2A π→，4B π→，∴tan A →+∞，tan tan A n B >，B 错，D 正确.选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 【答案】[]0,2【解析】22a x x ≥−对[]0,3a ∀∈都成立，则202x x ≥−，∴02x ≤≤.14. 【答案】-8【解析】2229169822AB AC BC BA AC AB AC AB AC AB AC +−+−⋅=−⋅=−⋅=−=−⋅ .15. 【答案】18【解析】()()20f x x x ax b =++=有三个根，其中有一个根为0，又123x x x <<满足1322x x x +=，则20x =，∴1320x x +=，1x ，3x 是2y x ax b =++的两根，则13x x a +=−，13x x b =，∴3a x =，232b x =−， 22333311112221688a b x x x x +=−+=−−++≤.16.【解析】设PA x =，则PB =，3PC x =，令AB AC y ==则22232cos x x y xy α=+−，22296cos x x y xy α=+−，则222222cos 086cos 0x y xy x y xy αα −+−= +−= ，∴2222636cos 086cos 0x y xy x y xy αα −+−= +−=∴221420x y −=，∴y =.cos α=. sin α=，tan α=cos PAC ∠sin PAC ∠tan PAC ∠−.()55tan tan 145BAC PAC α∠=+∠===. 23BAC π∠=，6ABC π∠=，tan ABC ∠四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 【解析】（1）∵()()e x f x g x +=①，∴()()()()e e x x f x g x f x g x −−−+−=⇒−+=②， ∴()()e e 2e e 2x xx x f x g x −− −= + =，()1g x ≥，()min 1g x =. （2）∴()222e e e 121e e e 1e 1x x x x x x xh x −−−−===−+++ ∵2e11x+>，∴2202e 1x <<+，∴()11h x −<<，即()h x 的值域为()1,1−. 18. 【解析】（1）∵等比数列{}n a 正项递增，设{}n a 公比为q ，1q >， ∴12391a a a ++=，且213281a a a ==，29a =，∴1382a a +=， ∴29982982909q q q q q+=⇒−+=⇒=. （2）19n n a −=，211n b −=，29n b =∴222122212122999829n n n n n n n a b a b −−−−−+=+⋅=⋅，∴()()2821814181118140n nn T −==−−. 19. 【解析】 （1）∵0x π<<，∴333x πππωωπ<+<+，∵()f x 在()0,π上恰有两个零点， ∴5823333ππωππω<+≤⇒<≤， ∵*ω∈N ，∴2ω=. （2）()62sin 235f x x π=+=，∴3sin 235x π+=，233cos 212sin sin 6512512x x x πππ−=⇒−−=⇒−=20. 【解析】（1）∵()()2cos cos 02sin sin cos sin cos 0a c B b C A C B B C ++=⇒++=， ∴()2sin cos sin 02sin cos sin 0A B B C A B A ++=⇒+=，1cos 2B =−，23B π=. ∵4A π=，∴12C π=，∴2sin sin c aa C A=⇒⇒=，∴1262ABC S =⋅⋅=+△（2）∵BCD S =△，2AD DC =，∴ABC S =△∴1122a a ⋅⇒=.在ABD △和CBD △中分别由正弦定理sin sin 1sin sin 2ADAB ABD CD BC CBD = ∠∠⇒ = ∠∠①②sin 1sin sin 2sin ABD BC ABDCBD AB CBD∠∠⇒⋅==⇒=∠∠②①. 21. 【解析】（1）2221222222242k k k k a a k a k k a k ++=++=+++=++22242k k a a k +⇒−=+，∴224264222kk k a a a a a a a a −=+−+−+⋅⋅⋅+−2426104222k k k k ⋅=+++⋅⋅⋅+−==. （2）由（1）知222k a k =，()22212222212222k k a a k k k k k −−=+−=−+−=−，2k ≥ 而10a =也满足上式，∴22122k a k k −=−，∴221,21,2n n n a n n = − 为偶数为奇数 ， ∴22,2,21n n n k b n n k == =− ，∴2n b n =，∴()212n T n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅()ln 2ln1ln 2ln n T n =++⋅⋅⋅+，而ln 1n n ≤−（当且仅当1n =时取“=”） ()()2012ln1ln 2ln 222n n n n +−++⋅⋅⋅+≤⋅=−，*n ∈N ， ∴2ln n T n n ≤−，*n ∈N ，证毕!22. 【解析】（1）()()1e e e x g x x x =−+−，()()e 1e e e e x x x g x x x ′=+−+=−， 当1x <时，()0g x ′>，()g x ；当1x >时，()0g x ′<，()g x ∴()()max 10g x g ==.（2）()()e 1e e x x x f x x x ′=−−=−， ()f x 在(),0−∞上 ；()0,+∞上 ，()()max 01f f x ==，由()()12120f x f x t x x ==⇒<<（这里不妨设12x x <），()0,1t ∈ 且由（1）知()e e 0f x x +−≤恒成立，∴()222e 0e e 0f x ex t x +−≤⇒+−≤，∴21e t x ≤− 要证：1221et x x t +<−−，只需证122x t <−， 而1x ，()22,0t −∈−∞且()f x 在(),0−∞上⇔证：122f x f t <−，即证：()22e 32t t t −<−即证()22e 321t t t−−>，()0,1t ∈ 令()()22e 32t t g t t −−=，()()2222e 4630t t t g t t −−+−′=<， ∴()g t 在()0,1上 ，∴()()11g t g >=，证毕!。
盐城高三数学期中考试卷
盐城高三数学期中考试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 下列函数中，为偶函数的是（）A. y = x^2B. y = x^3C. y = sin(x)D. y = cos(x)2. 已知函数f(x) = 2x + 1，若f(a) = 5，则a的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 函数y = x^2 - 4x + 4的最小值是（）A. 0B. 1C. 2D. 34. 已知数列{an}满足a1 = 1，an = 2an-1 + 1，求a3的值是（）A. 5B. 7C. 9D. 115. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的点积为（）A. -2B. 0C. 2D. 46. 已知圆C的方程为x^2 + y^2 = 4，圆心为(0, 0)，半径为2，点P(1, 1)到圆心的距离是（）A. √2B. √3C. 2D. 37. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4 = 20，S8 = 60，则a1 + a2 + a3 + a4的值为（）A. 10B. 15C. 20D. 258. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x，求f'(x)的值为（）A. 3x^2 - 6x + 4B. x^2 - 6x + 4C. 3x^2 - 3x + 4D. x^2 - 3x + 49. 已知复数z = 1 + i，求|z|的值为（）A. √2B. 2C. √3D. 310. 已知直线l的方程为y = 2x + 3，求直线l与x轴的交点坐标为（）A. (-3/2, 0)B. (-1.5, 0)C. (1.5, 0)D. (3/2, 0)二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。
）11. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 8，求函数的对称轴方程为________。
2021-2022学年江苏省盐城市高三(上)期中数学试卷(附详解)
2021-2022学年江苏省盐城市高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.集合M=[−1,1]，N={x|x2−2x≤0}，则M∪N=()A. [−1,1]B. [0,1]C. [−1,2]D. [−1,0]2.设f(x)=x+9x(x∈R)，则“x>0”是“f(x)>6”的()条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分又不必要3.若复数z=a+bi(a,b∈R)满足z⋅z−=z2，则()A. a=0，b≠0B. a≠0，b=0C. a=0D. b=04.已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=a n4，则a6的值为()A. 220B. 224C. 21024D. 240965.下列向量一定与向量a⃗|a⃗ |−b⃗|b⃗|垂直的是()A. a⃗|a⃗ |+b⃗|b⃗|B. a⃗|b⃗|−b⃗|a⃗ |C. a⃗+b⃗D. a⃗−b⃗6.已知sin(2θ−π6)=−13，θ∈(0,π2)，则sin(θ+π6)=()A. √63B. √33C. √23D. 137.若函数y=sin2x与y=sin(2x+φ)在(0,π4)上的图象没有交点，其中φ∈(0,2π)，则φ的取值范围是()A. [π,2π)B. [π2,π] C. (π,2π) D. [π2,π)8.函数f(x)=lnx−m(x−1)x+1的零点最多有()个A. 4B. 3C. 2D. 1二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.设等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列数列一定是等比数列的有()A. a1+a2，a2+a3，a3+a4，…B. a1+a3，a3+a5，a5+a7，…C. S2，S4−S2，S6−S4，…D. S3，S6−S3，S9−S6，…10. 如图，点A 是单位圆O 与x 轴正半轴的交点，点P 是圆O 上第一象限内的动点，将点P 绕原点O 逆时针旋转π3至点Q ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )的值可能为( )A. −1B. −√32C. −√22D. −1211. 已知函数f(x)=√1+cosx +√1−cosx ，下列说法正确的有( )A. 函数f(x)是偶函数B. 函数f(x)的最小正周期为2πC. 函数f(x)的值域为(1,2]D. 函数f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为π212. 若正实数x ，y 满足lny −lnx >y −x >siny −sinx ，则下列不等式可能成立的有( )A. 0<x <1<yB. y >x >1C. 0<y <x <1D. 0<x <y <1三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2x ，则g(2)+g(−2)=______． 14. 试写出一个先减后增的数列{a n }的通项公式：a n =______．15. 若一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，设p =12(a +b +c)，则该三角形的面积S =√p(p −a)(p −b)(p −c)，这就是著名的“秦九韶−海伦公式”，若△ABC 的周长为8，AB =2，则该三角形面积的最大值为______．16. 函数f(x)=ln(1+x)在x =0处的切线方程为______.由导数的几何意义可知，当x无限接近于0时，ln(1+x)x的值无限接近于1.于是，当x 无限接近于+∞时，(1+2x )x 的值无限接近于______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象Γ与y 轴交点的纵坐标为√32，Γ在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π12．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[0,π2]上的值域．18.已知数列{a n}是首项为1−2i(i为虚数单位)的等差数列，a1，√5，a3成等比数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)设{a n}的前n项和为S n，求|S10|.19.在△ABC中，点D在边BC上，AD为∠A的角平分线，AC=AD=√10，CD=2．(1)求sin∠BAC的值；(2)求边AB的长．20.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1={2n+1(a n+1),n=2k−1,k∈N∗a n2n+1,n=2k,k∈N∗．(1)求证：a2n+1−a2n−1=2；(2)设b n=a2n−1+a2n，求{b n}的前n项和S n．2n21.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=cosB，b=cosA．(1)求证：存在△ABC，使得c=1；(2)求△ABC面积S的最大值．22.设函数f(x)=e x−x2+mln(x+2)−2．(1)求证：当m=0时，f(x)>0在x∈(2,+∞)上总成立；(2)求证：不论m为何值，函数f(x)总存在零点．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合M=[−1,1]，N={x|x2−2x≤0}=[0,2]，∴M∪N=[−1,2]．故选：C．求出集合N，由此能求出M∪N．本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：x>0，则f(x)=x+9x ≥2√x⋅9x=6，当且仅当x=3时取等号．∴“x>0”是“f(x)>6”的必要不充分条件，故选：B．利用基本不等式、简易逻辑的判定方法即可判断出结论．本题考查了基本不等式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：∵z=a+bi，∴z−=a−bi，z2=(a+bi)2=a2−b2+2abi，∴z⋅z−=(a+bi)(a−bi)=a2+b2，∵z⋅z−=z2，∴{2b2=02ab=0，解得b=0，a∈R．故选：D．根据已知条件，结合复数的乘法法则，以及复数的相等性准则，即可求解．本题主要考查复数的乘法法则，以及复数的相等性准则，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：数列{a n }满足a 1=2，a n+1=a n 4，则a 2=24，a 3=a 24=216， a 4=a 34=264，a 5=a 44=2256，a 6=a 54=21024， 故选：C ．利用数列的递推关系式，依次求解数列的项即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列项的求法，是基础题．5.【答案】A【解析】解：∵a⃗ |a ⃗ |和b⃗ |b ⃗ | 都是单位向量，(a ⃗ |a ⃗ |+b⃗ |b⃗ | )⋅(a ⃗ |a ⃗ |−b⃗ |b⃗ | )=(a⃗ |a ⃗ |)2−(b⃗ |b ⃗ |)2=1−1=0，故与向量a⃗ |a ⃗ |−b ⃗ |b⃗ |垂直的是a⃗ |a ⃗ |+b⃗ |b⃗ |， 而其它向量与向量a⃗ |a ⃗ |−b⃗ |b⃗ |的乘积不等于零， 故选：A ．由题意利用两个向量垂直的性质，单位向量的定义和性质，得出结论． 本题主要两个向量垂直的性质，单位向量的定义和性质，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：∵0<θ<π2，∴−π6<2θ−π6<5π6，又∵sin(2θ−π6)=−13<0， ∴−π6<2θ−π6<0，∴0<θ<π12，∴π6<θ+π6<π4， ∴cos(2θ−π6)=2√23， sin2(θ+π6)=sin(2θ+π3)=sin(2θ−π6+π2)=cos(2θ−π6)=2√23， 即2sin(θ+π6)⋅cos(θ+π6)=2√23，sin(θ+π6)⋅√1−sin2(θ+π6)=√23，解得：sin(θ+π6)=√33，故选：B．根据θ的范围和已知条件，找出2θ−π6的范围，再求出cos(2θ−π6)值，再求解sin(θ+π6)的值．本题考查了三角函数之间的关系及整体思想，计算较复杂属于中档题．7.【答案】A【解析】解：∵函数y=sin2x与y=sin(2x+φ)在(0,π4)上的图象没有交点，其中φ∈(0,2π)，由2x∈(0,π2)，可得sin2x∈(0,1)，∴2x+φ∈(φ,π2+φ)，sin(2x+φ)∈[−1,0]，∴π+2kπ≤φ≤2kπ+2π，k∈Z．结合φ∈(0,2π)，令k=0，求得π≤φ≤2π．综上，π≤φ<2π，故选：A．由题意利用正弦函数的图象、正弦函数的定义域和值域，求得φ的取值范围．本题主要考查正弦函数的图象、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：由f(x)=lnx−m(x−1)x+1，∴x∈(0,+∞)，f′(x)=x2+(2−2m)x+1x(x+1)2，令g(x)=x2+(2−2m)x+1，①则m≤1时，因为x∈(0,+∞)，g(x)=x2+(2−2m)x+1>0，f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，又∵f(1)=0，∴f(x)在R上有且只有一个零点，②当m∈(1,2]时，Δ=4m2−8m=4m(m−2)≤0，f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，又∵f(1)=0，∴f(x)在R上有且只有一个零点，③当m>2时，x2+(2−2m)x+1=0有两个正根，x1=m−1−√m2−2m，x2=m−1+√m2−2m，由x1x2=1，∴0<x1<1，x2>1，当0<x<x1时，g(x)>0，f(x)>0，f′(x)单调递增，当x1<x<x2，g(x)<0，f(x)>0，f′(x)单调递减，当x>x2时，g(x)>0，f(x)>0，f′(x)单调递增，∵1∈(x1,x2)，f(1)=0，∴f(x)在(x1,x2)上有一个零点，且f(x1)>0，f(x2)<0，又∵e m>1，0<e−m<1，且f(e m)=m−m(e m−1)e m+1=2me m+1>0，f(e−m)=−m−m(e−m−1)e−m+1=−2me−m+1<0，∴f(x)在(0,x1)，(x2,+∞)上各有一个零点，综上所述：当m<2时，f(x)有且只有1个零点，当m>2时，f(x)有3个零点．∴f(x)最多有3个零点．故选：B．由题意对函数求导，建立新的函数，再讨论m的范围，得零点个数．本题考查函数的零点与方程的关系，属于难题．9.【答案】BD【解析】解：若等比数列{a n}的公比q=−1，则a1+a2=0，所以此时a1+a2，a2+a3，a3+a4，…不能构成等比数列，选项A错误；同理可得q=−1时，S2=0，选项C错误；而a1+a3，a3+a5，a5+a7，…是以q2为公比的等比数列，S3，S6−S3，S9−S6，…也是以q2为公比的等比数列，其首项均不等于0，所以选项BD正确．故选：BD．考虑{a n}公比为−1的情况，对选项进行逐项判断即可．本题考查等比数列的性质，解题的关键在于考虑{a n}公比为−1的情况，属于基础题．10.【答案】ABC【解析】解：由题意可知，OA =OP =OQ =1，∠POQ =π3， 设∠AOP =θ(0<θ<π2)，则∠AOQ =θ+π3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =1×1×cos(θ+π3)−1×1×cosθ=cos(θ+π3)−cosθ=cosθcos π3−sinθsin π3−cosθ=−12cosθ−√32sinθ=−sin(θ+π6)，∵0<θ<π2，∴π6<θ+π6<2π3，∴sin(θ+π6)∈(12,1]，即−sin(θ+π6)∈[−1,−12), ∴OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )∈[−1,−12)， ∴OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )的值可能为−1，−√32，−√22， 故选：ABC ．设∠AOP =θ(0<θ<π2)，则∠AOQ =θ+π3，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12cosθ−√32sinθ=−sin(θ+π6)，结合θ的范围求出−sin(θ+π6)的范围，从而判断出正确选项．本题主要考查了任意角的三角函数的定义，考查了考查了两角和的正弦函数和余弦函数，同时考查了向量数量积的运算，属于中档题．11.【答案】AD【解析】解：函数f(x)=√1+cosx +√1−cosx ， 所以f(x)≥0，则[f(x)]2=1+cosx +1−cosx +2√(1+cosx)(1−cosx)=2+2|sinx|>0， 所以f(x)=√2+2|sinx|，对于A ，因为f(x)的定义域为R ，关于原点对称， 又f(−x)=√2+2|sin(−x)|=√2+2|sinx|=f(x)， 所以函数f(x)为偶函数， 故选项A 正确；对于B ，因为函数y =|sinx|的最小正周期为π，所以函数f(x)=√2+2|sinx|的最小正周期为π，故选项B错误；对于C，因为−1≤sinx≤1，则0≤|sinx|≤1，所以2≤2+2|sinx|≤4，故√2≤√2+2|sinx|≤2，所以函数f(x)的值域为[√2,2]，故选项C错误；对于D，因为函数f(x)的最小值正周期为π，又函数f(x)的对称轴方程为x=kπ2,k∈Z，故函数f(x)图象的相邻的两条对称轴之间的距离为π2，故选项D正确．故选：AD．先将函数f(x)的解析式进行化简变形，利用偶函数的定义，即可判断选项A，利用三角函数的周期性，即可判断选项B，利用正弦函数的有界性，即可判断选项C，由周期性以及正弦函数的对称性，求出对称轴方程，即可判断选项D．本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的周期性、对称性、奇偶性以及值域的求解，涉及了三角函数图象与性质的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．12.【答案】AD【解析】解：x>0，y>0，lny−lnx>y−x>siny−sinx，∴lny−y>lnx−x，①且y−siny>x−sinx②．令f(x)=lnx−x(x>0)，g(x)=x−sinx(x>0)，则f′(x)=1x −1=1−xx，当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，∴当0<x<y<1，或1<y<x时①成立，故D正确，C错误，B错误，A可能正确，也可能错误；③又∀x∈(0,+∞)，g′(x)=1−cosx≥0恒成立，∴g(x)在(0,+∞)上单调递增，∴当y >x >0时，②成立，故D 正确，A 正确；④ 综合③④，得以上不等式可能成立的有AD ， 故选：AD ．由已知得lny −y >lnx −x ，且y −siny >x −sinx ，分别构造函数f(x)=lnx −x(x >0)，g(x)=x −sinx(x >0)，求导，研究两个函数的单调情况即可作出正确选择． 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化思想，考查构造法的应用及运算求解能力，属于中档题．13.【答案】174【解析】解：奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2x ， 所以f(−x)+g(−x)=g(x)−f(x)=(12)x ， 联立得，g(x)=2x +(12)x2，则g(2)+g(−2)=174．故答案为：174．结合奇函数与偶函数定义及已知等式可求g(x)，进而可求g(2)+g(−2)． 本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值，属于基础题．14.【答案】n 2−4n(答案不唯一)【解析】解：根据题意，若数列{a n }先减后增，结合二次函数的性质分析，数列的通项公式可以为a n =n 2−4n ； 故答案为：n 2−4n(答案不唯一)．由数列的函数特性，结合二次函数的性质分析可得答案．本题考查数列的函数特性以及数列的表示方法，涉及数列的通项公式，属于基础题．15.【答案】2√2【解析】解：因为△ABC 的周长为8，c =2，p =12(a +b +c)=4，a +b =6， 所以三角形的面积S =√4(4−a)(4−b)(4−2)=√8ab −64，又6=a +b ≥2√ab ，可得ab ≤9，当且仅当a =b =3时等号成立，所以三角形的面积S =√8ab −64≤√8×9−64=2√2，当且仅当a =b =3时等号成立，故该三角形面积的最大值为2√2． 故答案为：2√2．由题意可求S =√8ab −64，利用基本不等式可求ab ≤9，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．16.【答案】y =x e 2【解析】解：由f(x)=ln(1+x)，得f′(x)=11+x ， 则f′(0)=1，又f(0)=0，∴函数f(x)=ln(1+x)在x =0处的切线方程为y =x ； 当x 无限接近于0时，ln(1+x)x的值无限接近于1，而(1+2x )x =[(1+2x )x 2]2=[e x 2ln(1+2x )]2=e2(ln(1+2x )2x)，当x 无限接近于+∞时，2x 无限接近于0，则ln(1+2x)2x无限接近于1，∴当x 无限接近于+∞时，(1+2x )x 的值无限接近于e 2． 故答案为：y =x ；e 2．求出函数f(x)=ln(1+x)的导函数，可得f′(0)=1，再由f(0)=0，利用直线方程的斜截式可得函数f(x)=ln(1+x)在x =0处的切线方程；把(1+2x )x 变形，结合x 无限接近于0时，ln(1+x)x的值无限接近于1得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)由题意知f(0)=√32，即sinφ=√32， ∵0<φ<π2，∴φ=π3， 此时f(x)=sin(ωx +π3)，∵Γ在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为π12．∴由五点对应法得π12ω+π3=π2，∴π12ω=π6，∴ω=2，∴f(x)=sin(2x+π3).(2)当x∈[0,π2]时，2x∈[0,π]，∴2x+π3∈[π3,4π3]，则当2x+π3=4π3时，f(x)取得最小值此时f(x)=sin4π3=−√32，当2x+π3=π2时，f(x)取得最大值此时f(x)=sinπ2=1，即函数的值域为[−√32,1]．【解析】(1)根据条件求出ω和φ的值即可．(2)求出角的范围，利用三角函数的有界性进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用条件求出函数的解析式，求出角的范围，利用三角函数的有界性是解决本题的关键，是中档题．18.【答案】解：(1)设等差数列公差为d，因为a1，√5，a3成等比数列，所以a1a3=5，所以(1−2i)(1+2d−2i)=5，若d为实数，则{2d−3=5−4i−4id=0，无解；若d为虚数，则{2d−4i=0−3−4id=5，解得d=2i，所以a n=1−2i+(n−1)×2i=1+2(n−2)i，即a n=1+2(n−2)i；(2)|S10|=|a1+(a2+a10)×92|=|1−2i+1+1+(10−2)2i2×9|=|10+70i|=√102+702=50√2．【解析】(1)设公差为d，由条件可得(1−2i)(1+2d−2i)=5，分d为实数和d为虚数两种情况求解；(2)由(1)数列每一项均为复数，所以所求为复数的模，化简S10=10+70i，代入模长公式计算．本题考查了等差等比的综合运算，复数的运算，属于综合题．19.【答案】解：(1)设∠DAC=α，△ADC中，由余弦定理得，cosα=10+10−42×√10×√10=45，所以sinα=35，所以sin∠BAC=sin2α=2sinαcosα=2×45×35=2425；(2)过A作AE⊥CD，垂足为E，设AB=x，由角平分线性质得，ABAC =BDCD，所以x√10=BD2，所以BD=√105x，Rt△ACE中，CE=1，AC=√10，AE=3，Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2，即x2=9+(1+√105x)2，整理得，3x2−2√10x−50=0，解得AB=x=5√103．【解析】(1)由已知结合余弦定理先求cos∠DAC，然后结合同角平方关系及二倍角正弦公式可求；(2)设AB=x，结合角平分线性质先表示BD，然后结合勾股定理可求AB．本题主要考查了余弦定理，同角平方关系，二倍角公式，还考查了角平分线性质，属于中档题．20.【答案】证明：(1)由题设有a2k=22k(a2k−1+1)，a2k+1=a2k22k+1，故a2k22k=a2k−1+1，所以a2k+1=a2k−1+1+1，即a2n+1−a2n−1=2，解：(2)由(1)可得{a2n−1}为等差数列且首项为a1=1，公差为2，故a2n−1=1+(n−1)×2=2n−1，故a2k=22k(a2k−1)=2k×22k=k⋅22k+1，故b n=2n−1+n×22n−12n=2n−1+4n，故S n=n(1+2n−1)2+4(1−4n)1−4=n2+4n+1−43．【解析】(1)由题设有a2k=22k(a2k−1+1)，a2k+1=a2k22k+1，化简后可得所需证明的递推关系，(2)利用(1)的结果可得b n=2n−1+4n，利用分组求和法可求S n．本题考查数列的递推公式，及数列的求和公式，考查学生的运算能力，属于中档题．21.【答案】(1)证明：因为a=cosB，b=cosA，由正弦定理可得，asinA =bsinB，所以cosBsinA =cosAsinB，则sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，在△ABC中，因为A，B∈(0,π)，且A+B<π，所以2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=π2，当A+B=π2时，C=π2，所以c2=cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1，则c=1，故存在△ABC，使得c=1；(2)解：①当A+B=π2时，S△ABC=12cosAcosB=12sinAcosA=14sin2A≤14，所以△ABC面积的最大值为14；②当A=B时，S△ABC=12cos2Asin(π−2A)=12cos2Asin2A=sinAcos3A，故S△ABC2=sin2Acos6A=(1−cos2A)cos6A，令x=cos2A，则x∈(0,1)，所以S△ABC2=f(x)=(1−x)x3，则f′(x)=−x3+3(1−x)x2=x2(3−4x)，令f′(x)=0，解得x=34，当0<x <34时，f′(x)>0，则f(x)单调递增， 当34<x <1时，f′(x)<0，则f(x)单调递减， 所以当x =34时，f(x)取得最大值f(34)=3343，即当cos 2A =34，即A =π6时，△ABC 的面积取得最大值3√316．因为3√316>14，故△ABC 面积S 的最大值为3√316．【解析】(1)利用正弦定理结合已知条件，得到cosB sinA =cosAsinB ，利用三角恒等变换得到sin2A =sin2B ，从而得到A =B 或A +B =π2，当A +B =π2时，即可求得c =1，从而证明结论；(2)当A +B =π2时，求出△ABC 的面积的最大值，当A =B 时，表示出△ABC 的面积，令x =cos 2A ，则x ∈(0,1)，构造函数f(x)=(1−x)x 3，利用导数研究函数的单调性，求解函数的最值，比较即可得到答案．本题考查了利用导数研究函数单调性以及函数最值的应用，解三角的应用，正弦定理以及三角形面积公式的运用，三角恒等变换的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．22.【答案】证明：(1)当m =0时，f(x)=e x −x 2−2，f′(x)=e x −2x ， f″(x)=e x −2，当x ∈(2,+∞)时，f″(x)=e x −2>0恒成立，即f′(x)单增， 又f′(2)=e 2−4>0，则f′(x)>f′(2)>0恒成立，即f(x)单增， 又f(2)=e 2−6>0， 则f(x)>f(2)>0．(2)由题知，f(−l)=e −1−3<0，当m ≥0时，f(2)=e 2−6+mln4>0恒成立， 由零点存在定理知，函数f(x)总存在零点；当m <0时，f′(x)=e x −2x +mx+2，f″(x)=e x−2−m(x+2)2，>0，则f′(x)在[1,+∞)上单增，易知，f″(x)单增，且f″(1)=e−2−m9根据f′(x)的解析式，存在x1∈[x0,+∞)，使f′(x)>0，f(x)单增，根据f(x)的解析式，存在x1→+∞，使f(x1)>0，由零点存在定理知，函数f(x)总存在零点．【解析】(1)当m=0时，f(x)=e x−x2−2，二次求导，根据导数正负情况判断原函数的单调性，从而证得结论；(2)由题知，f(−1)=e−1−3<0，只需证明无论m为何值，函数f(x)总能取到正值，由零点存在定理即可证得结论．本题考查零点存在性定理，导数的综合应用，属于难题．。
江苏省盐城中学数学高三上期中经典测试卷(含答案解析)
一、选择题1．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*nn n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为（ ） A ．49B ．50C ．99D ．1002．设实数x ，y 满足22413x xy y x y ++=+-，则代数式2413xy y x y ++-（ ）A ．有最小值631B ．有最小值413C ．有最大值1D ．有最大值20213．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸4．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．165．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B ，则a b +=（ ）A ．-3B ．1C ．-1D ．36．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为 （ ） A ．10 kmBkmC．D．7．已知数列{}n a 的通项公式为()*21log N 2n n a n n +=∈+，设其前n 项和为n S ，则使5n S <-成立的自然数n ( )A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值318．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦9．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，c =，30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )A ．37B ．34 C ．32或372D ．34或37210．已知数列{an}的通项公式为an ＝2()3nn 则数列{an}中的最大项为( ) A ．89B ．23C ．6481D ．12524311．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ） A ．34B ．56C ．78D ．2312．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形13．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ）A ．2B ．92C ．143D ．514．若a ，b ，c ，d∈R，则下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若a ＞b ，c ＞d ，则a+c ＞b+d C ．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则c d a b> D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d15．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1B ．6C ．7D ．6或7二、填空题16．若变量x ，y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z ＝2x +y 的最大值是_____．17．已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．18．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a 使得122m n a a a ⋅=，则14m n+的最小值为__________．19．对一切实数x ，不等式2||10x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_______ 20．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 21．不等式211x x --<的解集是 ． 22．设a ＞0,b ＞0． 若关于x,y 的方程组1,{1ax y x by +=+=无解，则+a b 的取值范围是 ．23．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 24．在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________． 25．若已知数列的前四项是2112+、2124+、2136+、2148+，则数列前n 项和为______. 三、解答题26．已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--=．（1）求A ．（2）若2a =，ABC △的面积为3，求b ，c ．27．如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距()533+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？28．设数列{}n a 满足12a = ，12nn n a a +-= ；数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2132nS n n （） （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b = ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．29．已知n S 是数列{}n a 的前n 项之和，*111,2,n n a S na n N +==∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设211(1)n n n n a b a a ++=-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和n T ，若112019n T +<，求正整数n 的最小值．30．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为21200800002y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．A 2．B 3．B 4．C 5．A 6．D 7．A 8．A 9．C 10．A 11．A 12．D14．B15．B二、填空题16．5【解析】【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求得最优解的坐标把最优解的坐标代入目标函数得结论【详解】作出变量满足的可行域如图由知所以动直线的纵截距取17．【解析】【分析】利用余弦定理得到进而得到结合正弦定理得到结果【详解】由正弦定理得【点睛】本题考查解三角形的有关知识涉及到余弦定理正弦定理及同角基本关系式考查恒等变形能力属于基础题18．【解析】【分析】由求得由可得结合为正整数讨论四种情况可得的最小值【详解】设等比数列的公比为由可得到由于所以解得或因为各项全为正所以由于存在两项使得所以可得当时;当时；当时;当时;综上可得的最小值为故19．－2+）【解析】【分析】根据题意分x=0与x≠0两种情况讨论①x=0时易得原不等式恒成立②x≠0时原式可变形为a≥-（|x|+）由基本不等式的性质易得a的范围综合两种情况可得答案【详解】根据题意分两20．【解析】【详解】总费用为当且仅当即时等号成立故答案为30点睛:在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得21．【解析】【分析】【详解】由条件可得22．【解析】试题分析：方程组无解等价于直线与直线平行所以且又为正数所以（）即取值范围是考点：方程组的思想以及基本不等式的应用23．【解析】【分析】先利用累加法求出an＝33+n2﹣n所以设f（n）由此能导出n＝5或6时f（n）有最小值借此能得到的最小值【详解】解：∵an+1﹣an＝2n∴当n≥2时an＝（an﹣an﹣1）+（a24．【解析】【分析】【详解】试题分析：考点：正余弦定理解三角形25．【解析】【分析】观察得到再利用裂项相消法计算前项和得到答案【详解】观察知故数列的前项和故答案为：【点睛】本题考查了数列的通项公式裂项相消求和意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用三、解答题27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦,把1n =代入上式可得123a =≠.综上可得3,1{2,2n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数.数列{}n b 的前50项和为()()503235749224650S =--+++++++++()()24349252503224922++=--⋅+⋅=.故A 正确.考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.2．B解析：B 【解析】【分析】先利用条件把413x y +-进行等量代换，再利用换元法，结合二次函数区间最值求解. 【详解】设y t x=，则222222221114113xy y xy y x x xy y x xy y t t x y ++==-=-+++++++-， ()222222441(1)01313x tx t x x tx t t x t x ++=+-⇒++-++=， 10(3)(31)033t t t ∆≥⇒--≤⇒≤≤. 221314121,13,1,911313t t t t ⎡⎤⎡⎤++∈-∈⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦，2min 441313xy y x y ⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪+-⎝⎭，2max 1241313xy y x y ⎛⎫ ⎪+= ⎪ ⎪+-⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题主要考查最值问题，利用条件进行等量代换是求解的关键，注意齐次分式的处理方法，侧重考查数学运算的核心素养.3．B解析：B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。
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盐城市时杨中学2009/2010学年度第一学期高三年级数学试题2009年11月一．填空题（本题共14小题，每小题5分，共70分）1．设集合M={－1，1}，N ={x |21＜12+x ＜4，Z x ∈}，则M ⋂N= 。
2．设x x y cos =，则='y ________________。
3．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且212+++=n n n S S S ，则公比q = 。
4．关于x 的一元二次方程0152=--ax x 有两个不同的实根，一根位于区间)0,1(-，另一根位于区间)2,1(，则实数a 的取值范围为 。
5．已知31)3sin(=+απ，且)0,2(πα-∈则=αsin ________。
6．已知函数)1(2-x f 的定义域为[0，3]，则函数)(x f y =的定义域为 。
7．已知1414log 7,log 5,a b ==则用,a b 表示35log 28= 。
8．若)(x f 为偶函数且在（0,∞-）上是减函数，又0)2(=-f ,则0)(<⋅x f x 的解集为____________.9．(文科做) 已知向量a 和b 的夹角是120°，且2||=a，5||=b ，则a b a ⋅-)2(= 。
（理科做）已知数列{}n a 满足）（，n n n a a n a a -==+111,则数列{}n a 的通项公式=n a 。
10．给定映射),2(),(:xy y x y x f +→，点（61,61-）的原象是 。
11．已知曲线 xe y =在点P 处的切线经过原点，则此切线的方程为 。
12．等差数列{}n a 满足4737a a =，且10a >，当前n 项和n S 最大时，n = 。
13．函数122+=xxy 的值域为 。
14．已知,23,53cos πθπθ<<-=且则2cos2sinθθ+的值为_______。
二、解答题(本题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或．．．．．．．．．．．．．．．演算步骤．．．．．) 15．（本题满分14分）记函数f （x ）=132++-x x 的定义域为A ，g （x ）=lg ［（x －a －1）（2a－x ）］（a ＜1）的定义域为B . （1）求A ；（2）若B ⊆A ，求实数a 的取值范围.16．（本题满分14分）数列{a n }中，a 1=8，a 4=2，且满足a n +2－2a n +1+a n =0（n ∈N *）. （1）求数列{a n }的通项公式. （2）设b n =)12(1n a n -（n ∈N *），S n =b 1+b 2+…+b n ，是否存在最大的整数m ，使得任意的n 均有S n＞32m 总成立？若存在，求出m ；若不存在，请说明理由.17．（本题满分15分）已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ． （1）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； （2）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围．18．（本题满分15分）已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π． （1）求ω的值；（2）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．19．（本题满分16分）若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）.（1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？20．（本题满分16分）已知数列{}n a 中，11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-(20)n q ≠≥，．（1）设1()n n n b a a n +=-∈*N ，证明{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）若3a 是6a 与9a 的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的n ∈*N ，n a 是3n a +与6n a +的等差中项．附加题部分（选物理的考生做）1．（本题10分）极坐标方程52sin 42=θρ化为直角坐标方程是 。
2（本题10分）自极点O 向直线l 作垂线，垂足是H 3,2(π)，则直线l 的极坐标方程为 。
3（本题10分）设P(x ，y)是曲线C ：)20(sin cos 2πθθθθ≤≤⎩⎨⎧=+-=，y x 为参数上任意一点，求y x的取值范围。
4（本题10分）已知矩阵[])(x f A =，[]x xB -=1，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a 2x C ，若A = BC ，求函数)x (f 在[1,2] 上的最小值.数学参考答案1—5 {}1- x x x c o s s i n +- 2- )219,4(6621-6—10 ]8,1[-ba a +-2 )2,0()2,( --∞ 13（文）n （理） )32,41()21,31(--或11—14 ex y = 9 )1,0( 5515.解析：（1）由2－13++x x ≥0，得11+-x x ≥0，∴x ＜－1或x ≥1，即A =（－∞，－1）∪［1，+∞）. ……………………………6分 （2）由（x －a －1）（2a －x ）＞0，得（x －a －1）（x －2a ）＜0.∵a ＜1，∴a +1＞2a .∴B =（2a ，a +1）. ……………………………………………9分 ∵B ⊆A ，∴2a ≥1或a +1≤－1，即a ≥21或a ≤－2.而a ＜1，∴21≤a ＜1或a ≤－2. ……………………………………………………12分故当B ⊆A 时，实数a 的取值范围是（－∞，－2］∪［21，1）. ………………14分16.解析：（1）∵a n +2－2a n +1+a n =0，∴a n +2－a n +1=a n +1－a n （n ∈N *）.∴{a n }是等差数列.设公差为d ，又a 1=8，a 4=a 1+3d =8+3d =2，∴d =－2.∴a n =－2n +10. ………………………4分 （2）b n =)12(1n a n -=)1(21+n n=21（n1－11+n ），……………………………………………………………6分∴S n =b 1+b 2+…+b n =21［（1－21）+（21－31）+…+（n1－11+n ）］=21（1－11+n ）=)1(2+n n.…………………………………………………9分假设存在整数m 满足S n ＞32m总成立.又S n +1－S n =)2(21++n n －)1(2+n n=)1)(2(21++n n ＞0，……………………………………………………………12分∴数列{S n }是单调递增的.∴S 1=41为S n 的最小值，故32m ＜41，即m ＜8.又m ∈N *，∴适合条件的m 的最大值为7. ……………………………………………………14分17.解析：（1）由题意得)2()1(23)(2+--+='a a x a x x f又⎩⎨⎧-=+-='==3)2()0(0)0(a a f b f ，解得0=b ，3-=a 或1=a ………………6分（2）函数)(x f 在区间)1,1(-不单调，等价于导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数………10分 即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点，根据零点存在定理，有0)1()1(<'-'f f ， 即：0)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a 整理得：0)1)(1)(5(2<-++a a a ，解得15-<<-a …………………………15分18.解析：（1）1cos 2()222xf x x ωω-=+112cos 2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=，解得1ω=．……………7分（2）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫--⎪⎝⎭≤≤． 因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，……………………15分19.解析：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b .由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ………………………3分 ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2. ………………………………………………………5分 又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4.∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2. …………………………………………………………8分 故f （x ）=x 2－x +2，从而f （log 2x ）=log 22x －log 2x +2=（log 2x －21）2+47.∴当log 2x =21即x =2时，f （log 2x ）有最小值47.…………………………………12分（2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2)2(log 22log log 22222x x x x ⇒⎩⎨⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0＜x ＜1. ………………16分20.解析：（1）证明：由题设11(1)(2)n n n a q a qa n +-=+-≥，得11()n n n n a a q a a +--=-，即12n n b qb n -=，≥．又1211b a a =-=，0q ≠，所以{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列．…………5分 （2）解：由（Ⅰ），211a a -=， 32a a q -=，……21(2)n n n a a qn ---=≥．将以上各式相加，得211(2)n n a a q q n --=+++…≥．所以当2n ≥时，11111 1.n n qq a qn q -⎧-+≠⎪=-⎨⎪=⎩，，，上式对1n =显然成立．………………………………10分（3）解：由（Ⅱ），当1q =时，显然3a 不是6a 与9a 的等差中项，故1q ≠．由3693a a a a -=-可得5228q q q q -=-，由0q ≠得3611q q -=-， ①整理得323()20q q +-=，解得32q =-或31q =（舍去）．于是q =另一方面， 21133(1)11n n n n n qqqa a q q q +--+--==---，15166(1)11n n n n n qqqa a q qq-+-+--==---．由①可得36n n n n a a a a n ++-=-∈*N ，．所以对任意的n ∈*N ，n a 是3n a +与6n a +的等差中项．…………………………………16分附加题部分（选物理的考生做）1．（本题10分）极坐标方程52sin42=θρ化为直角坐标方程是 。