数学不定式
不定式方程
不定式方程不定式方程是数学中的一种重要的方程形式，它的一般形式为"to + 动词原形= 目标"。
不定式方程的解可以是实数、复数或特殊数，因此在数学问题中具有广泛的应用。
下面将介绍不定式方程的定义、性质和解题方法。
一、不定式方程的定义不定式方程是指以不定式作为未知数的方程，其中不定式是指一个以"to + 动词原形"形式出现的词或短语。
不定式方程可以是一元方程，也可以是多元方程。
例如，"to be = 5"是一个一元的不定式方程，"to eat + to sleep = 10"是一个多元的不定式方程。
1. 不定式方程的解可以是实数、复数或特殊数。
因此，在解不定式方程时，需要根据具体的问题确定解的范围。
2. 不定式方程的解可能有一个或多个，也可能没有解。
要判断一个不定式方程是否有解，可以通过代入法、消元法等方法进行求解。
3. 不定式方程的解可以通过图像的交点、方程的根、方程的系数等途径来确定。
因此，在解不定式方程时，可以灵活运用代数、几何等多种方法。
三、不定式方程的解题方法1. 代入法：将不定式方程中的不定式部分用具体的数值代入，然后求解方程。
这种方法适用于简单的不定式方程，可以快速求解出解。
2. 消元法：通过变形、化简等方法，将不定式方程转化为其他形式的方程，然后求解方程。
这种方法适用于复杂的不定式方程，可以通过变形简化问题，进而求解出解。
3. 图像法：将不定式方程转化为函数的图像问题，通过观察图像的交点、斜率等特征，来确定方程的解。
这种方法适用于几何问题和函数图像问题，可以直观地找到方程的解。
不定式方程是数学中一种重要的方程形式，它的解可以是实数、复数或特殊数。
解不定式方程的方法有代入法、消元法和图像法等，通过灵活运用这些方法，我们可以解决各种不定式方程问题。
在解题过程中，需要注意问题的理解和分析，合理选择解题方法，准确求解方程，最终得到正确的解答。
中考数学试题分类分析汇编专题3：方程(组)和不定式(组)
中考数学试题分类分析汇编（12专题） 专题3：方程（组）和不定式（组）一．选择题1. （2001年福建福州4分）随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低。
某品牌电脑按原售价降低m 元后，又降价20%，现售价为n 元，那么该电脑的原售价为【 】 A. 4(n m )5+元B. 5(n m )4+元 C. (5m n)+元D. (5n m)+元【答案】B 。
【考点】一元一次方程的应用。
【分析】设电脑的原售价为x 元，则()()x m 120%n --=，∴x=5n m 4+。
故选B 。
2. （2003年福建福州4分）不等式组2x 4x 30≥⎧⎨+>⎩的解集是【 】（A ） x>－3 （B ）x≥2 （C ）－3<x≤2 （D ） x<－3 【答案】B 。
【考点】解一元一次不等式组。
【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。
因此，2x 4x 2x 2x 30x 2≥≥⎧⎧⇒⇒≥⎨⎨+>>-⎩⎩。
故选B 。
3.（2003年福建福州4分）已知α、β满足α+β=5，且αβ=6，则以α、β为两根的一元二次方程是【 】（A ）2x 5x 60++= （B ）2x 5x 60-+= （C ）2x 5x 60--= （D ）2x 5x 60+-=【答案】B 。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】∵所求一元二次方程的两根是α、β，且α、β满足α+β=5、αβ=6，∴这个方程的系数应满足两根之和是b 5a-=，两根之积是c 6a =。
当二次项系数a=1时，一次项系数b=－5，常数项c=6。
故选B 。
4. （2005年福建福州大纲卷3分）如图，射线OC 的端点O 在直线AB 上，∠AOC 的度数比∠BOC 的2倍多10度．设∠AOC 和∠BOC 的度数分别为x ，y ，则下列正确的方程组为【 】A 、x+y=180x=y+10⎧⎨⎩错误！未找到引用源。
不定式和动名词的区别
不定式和动名词的区别和联系1）动名词与不定式的区别：动名词表达的是：状态，性质，心境，抽象，经常性，已发生的不定式表达的是：目的，结果，原因，具体，一次性，将发生的不定式与动名词都可以在句中作主语、宾语、表语和定语,但用法不尽相同。
一、作主语一般情况下,不定式与动名词作主语可以互换,也常常可以用it充当形式主语,而把不定式和动名词放在句子的后半部分。
但二者也有区别,不定式常常指某次具体的、将要发生的行为;而动名词则表示一般的、抽象的行为。
例如:To save money now is not easy. 现在攒钱不容易。
Saving money is a good habit. 攒钱是个好习惯。
[真题回放]1. ________ to sunlight for too much time will do harm to one’s skin.A. ExposedB. Having exposedC. Being exposedD. After being exposed二、作宾语有些动词后只能跟不定式作宾语,不能跟动名词作宾语;有些动词后常跟动名词作宾语,不能跟不定式作宾语;有些动词后跟不定式和动名词作宾语皆可,但意思不同，另外还要熟记下面几点:1)下列短语中的to是介词,其后跟动名词,不跟不定式。
be(get) used to习惯于;look forward to盼望;pay attention to注意;get down to开始认真做;lead to通向、导致;prefer doing ... to doing ...宁愿做……而不愿做……;stick to坚持;devote one’s life(time, oneself) to献身于、致力于;object to反对;in addition to ...除……之外;on the way to ...在去……的路上、正要成为……;等等。
2)不定式除可用在except, but, besides等后作宾语之外,一般不用作介词宾语。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十二讲 不定方程
第十二讲 不定方程趣题引路】暑假里，《新民晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛，勇士队在第一轮中负了两场，总积分为17分.比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．试求该队在本轮比赛中胜的场次和平的场次．解析 设胜x 场，平y 场，则有 3x ＋y ＝17， 即3x ＝17－y ． ∵x ，y ∈N ，∴0≤3x ≤17，∴0≤x ≤5，可得⎩⎨⎧==170y x ，⎩⎨⎧==141y x ，⎩⎨⎧==112y x ，⎩⎨⎧==83y x ，⎩⎨⎧==54y x ，⎩⎨⎧==25y x ．点评：问题中含有两个未知数，但只有一个等量关系得到一个方程，即未知数的个数多于方程的个数，一般会有无数多个解，所以我们把这种方程叫做不定方程，但上面的问题中隐含了条件x ，y ∈N ，我们对其进行分析，得出了x ，y 的有限解，也就说明了不定方程虽然解不确定，但我们可以对其自然数解、整数解进行研究．知识延伸】一、不定方程的整数解求不定方程的整数解、正整数解是竞赛中的热点考题，通常有以下几种思路：利用方程的特点确定未知数的取值范围，再在这个范围中取值求解．1．构造不等式缩小取值范围求解 例1 求21x ＋15y ＝123的正整数解．解析 原方程可以化为7x ＋5y ＝41， 7x ＝41－5y ， ∵x ，y ∈N ＋， ∴7≤7x ≤36， ∴1≤x ≤5．∵5｜5y ，∴5｜(41－7x )， ∴7x 的个位数必是1或6， ∴⎩⎨⎧==43y x ．点评：通常先确定系数较大的未知数的范围，本题求出1≤x ≤5后，本可以使x 分别取1~5五个整数代入求解，但充分利用整除的性质，可使问题简便．2．利用通解定理求解定理：如果a 、b 是互质的整数，c 是整数，且方程ax ＋by ＝c 有一组解⎩⎨⎧==00y y x x ，则此方程的一切整数解可表示为⎩⎨⎧-=+=at y y btx x 00，(其中t 为整数)例2 (198年“希望杯”试题)篮球、排球、足球放在一堆共25个，其中篮球个数是足球个数的7倍，那么排球的个数是 ．解析 设足球x 个，排球y 个，则篮球7x 个． 依题意有 8x ＋y ＝25．∵x ，y ∈N ＋，易知⎩⎨⎧==13y x 是方程的解，∴其通解为⎩⎨⎧-=+=t y t x 813(t ∈N ＋)又∵x ≥1，y ≥1，⎩⎨⎧≥-≥+18113t t ，可解得－2≤t ≤0 当t ＝－2时，⎩⎨⎧==171y x ；当t ＝－1时，⎩⎨⎧==92y x ；当t ＝0时，⎩⎨⎧==13y x ．所以，排球数为1个、9个或17个．点评：对于一些系数比较简单的不定式方程，我们可以先观察得出一组特解，再由定理得出通解，然后根据题意求出t 的取值范围，再代入求出未知数的值．3．分离整系数求解例3 (2002年新加坡数学竞赛题)正整数m 、n 满足8m ＋9n ＝mn ＋6，则m 的最大值为 ． 解析 8m －mn ＝－9n ＋6；即(8－n )m ＝－9n ＋6． 当n ＝8时，原方程无解； 当n ≠8时，m ＝869+-+-n n ＝866729+--+-n n ＝9＋866-n ．当n －8＝1，即n ＝9时，m 有最大值9＋66＝75，满足题意． 所以，m 的最大值为75．二、不定方程组一般来说，求一个未知数需要一个关于它的方程，求n 个未知数需要n 个独立的关于它的方程．当未知数的个数大于方程的个数时的方程组称之为不定方程组．例4 已知x 、y 、z 满足⎩⎨⎧=++=++143715452z y x z y x ，则x ＋y ＋z ＝ ．解析 要求出x ＋y ＋z 的值就需要对①、②式通过加减法将它们的系数和(差)变成1︰1︰1． ①×k 得 2kx ＋5ky ＋4kz ＝15k ，③ ③＋②得(2k ＋7)x ＋(5k ＋1)y ＋(4k ＋3)z ＝15k ＋14，④ 依题意得 2k ＋7＝5k ＋1＝4k ＋3， 解之得 k ＝2． 将k ＝2代人④式得 11x ＋11y ＋11z ＝44， ∴x ＋y ＋z ＝4．点评：两个未知数三个方程，一般不能求出唯一解，所以所求代数式一定能由两个方程通过变形而来，否则是求不出来的．如本题求x ＋y ＋2z 是求不出来的，因为由2k ＋7＝5k ＋1得出k ＝2，代入2(4k ＋3)不能等于5k ＋1．例5 已知4330 30 x y z x y z --=⎧⎨--=⎩①②且xyz ≠0，求2222xy yzx y z ++-的值.解析： ①－②得3x －2z ＝0，即x ＝23z . 将x ＝23z 代人②得 y ＝19-z . 再将x ＝23z ，y ＝19-z 代人所求代数式222222211()()2()263992111()()39z z z zxy yz x y z z z z -+-+==+-+--z 点评：同例4一样，本题也求不出x 、y 、x 的具体值，但方程组和求出的代数式是关于x 、y 、z 的齐次式，所以只要将其中一个未知数看成常数，用它表示另两个未知数即可求出.三、不定方程组的整数解不定方程的整数解问题一般利用消元的方法，将其化为不定方程求解.例6 中国鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？解析：设鸡翁、鸡母、鸡雏的只数分别为x 、y 、z ，则有 100 53=100 3x y z zx y ++=⎧⎪⎨++⎪⎩①② 消去x 得7x ＋4y ＝100 ③ ①②∴0≤7x ＝100－4y ≤100， ∴0≤x ≤14，∵4 | (100－4y )，∴4 | 7x ，∴4 | x ， ∴x ＝0，4，8，12，代入③式得y ＝25，18，11，4， 代人①式得z ＝75，78，81，840 2575x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴，41878x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，81181x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，12484x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩点评：本题转化成求7x ＋4y ＝100的非负整数问题后，也可以用通解方法求解，易知x ＝0，y ＝25是特解.好题妙解】佳题新题品味例 不定方程4x ＋7y ＝2001有_____组正整数解. 解析： 4x ＋7y ＝3×667易知667667x y =-⎧⎨=⎩是其一组特解，∴其通解为66776674x t y t=-+⎧⎨=-⎩，t ∈Z∵x ，y ∈N *，∴6677166741t t -+⎧⎨-⎩≥≥解之得 96≤t ≤166∴t 可取整数值共71个∴4x ＋7y ＝2001有71组正整数解.点评：将常数项分解，结合未知数系数的特点，使找特解变得容易，像这类解的组数较多的问题，一般用通解定理解决.中考真题欣赏例 (广州市中考题)在车站开始检票时，有a (a ＞0)名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站.设旅客按固定速度增加，检票口检票速度也是固定的，若开放一个检票口，则需30min 方可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需10min 方可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5min 内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以便后来到站的旅客随到随检，至少要同时开放几个检票口？解析：题中有几个未知量，不妨设旅客增加的速度为b 名/分钟，每个窗口检票的速度为c 人/分钟，需要开x 个窗口.依据题意，有3030 10=20c 55 a b c a b a b cx +=⎧⎪+⎨⎪+⎩①②≤③ 则①、②式，得1c2=15cb a ⎧=⎪⎨⎪⎩， 代入③式得x ≥3.5，∵x ∈N *，∴x min ＝4，即最少需要开4个窗口.点评：检票进站涉及原有旅客、新增旅客、检票速度、需开检票口等多个未知量，依据题中的相等关系竞赛样题展示例(1999年湖南省竟赛题)一个盒子里装有不多于200粒棋子，若每次2粒、3粒、4粒、6粒的取出，最终盒内都剩一粒棋子；若每次11粒取出，那么刚好取完.求盒子里共有多少粒棋子？解析：设盒子中有棋子y粒，则易知12| (y－1)，11 | y，不妨设12 111y my n=+⎧⎨=⎩(m，n∈N*)，则有11n－12m＝1.易知001 1n m =-⎧⎨=-⎩，是其一组特解，故有1+12111n tm t=-⎧⎨=-+⎩(t∈Z )，由m≤16，n≤18，又m≥1，n≥1，∴11+1218 11+1116tt-⎧⎨-⎩≤≤≤≤解之得t＝1，∴n＝11，m＝10，y＝121.故盒子里共有121粒棋子.点评：由2 | (y－1)，3 | (y－1)，4 | (y－1)，6 | (y－1)，可得12 | (y－1).过关检测】A级1.求方程13x＋5y＝8的整数解.2.求方程7x＋19y＝213的所有正整数解.3.求方程5x－15y＝22的所有整数解.4.用2分和5分的硬币凑成一元钱，共有多少种不同凑法？5.一个六位数，若将它们的前三位数字与后三位数字整体地互换位置，则所得的新六位数恰为原来的六位数的6倍.求此六位数.6.小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分，小明共套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少套中了一次，共得61分，问小鸡至少被套中了几次？7.李林在银行兑换了一张面值100元以内的支票，兑换员不小心将支票上的元数与角、分数字看倒置了(如：把12.34元看成了34.12元)，并按看错的数字支付，李林将其款花去了3.50元，发现其余数恰为支票面额的2倍，于是急忙到银行退钱，那么李林应退回多少元？B级1.求所有可使得19m＋90＋8n＝1998的正整数对(m，n)的对数.2.某校一学期举行了20次数学测试，共出题347道，每次出题16、21或24道.问有多少次测试出题21道？3.求所有被29整除余7、被41整除余28的正整数中，能被7整除的最小正整数.4.求不定方程x＋2y＋3z＝18的非负整数解的组数.5.证明：存在无穷多组正整数(x、y、x)使得x、y、z两两不等，且x、y、z中任意两个数之积是另一个数的倍数，并且x＋y－x＝1.6.在0～1之间，将所有分母不超过99的最简分数从小到大排列，求与1776相邻的两个数.。
数论洛必达法则
数论洛必达法则-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述:数论洛必达法则是数学中一个重要的定理，它在解决极限计算问题中扮演着重要的角色。
洛必达法则主要用于解决形式为\frac{0}{0}或\frac{\infty}{\infty}的不定式极限问题。
这个法则的提出和应用，极大地简化了求解极限的复杂程度，成为数学分析中的重要工具。
在本文中，我们将对洛必达法则进行详细的介绍，包括其概念、应用和意义。
我们将深入探讨这一定理在数论领域中的重要性，以及它在数学研究和实际问题中的应用。
同时，我们也会对洛必达法则的局限性进行探讨，以及未来在这一领域中的发展展望。
通过本文的阐述，读者将更加深入地理解数论洛必达法则，并对数学研究中的极限问题有更深入的认识。
1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文将分为引言、正文和结论三部分进行阐述。
引言部分将从概述、文章结构和目的三方面介绍数论洛必达法则的重要性和意义。
正文部分将详细介绍洛必达法则的概念、应用和意义，包括其在数论领域的具体运用和影响。
结论部分将对洛必达法则进行总结，并讨论其局限性和未来的发展方向，以展望洛必达法则在数论研究中的潜力。
每个部分将以清晰的逻辑顺序和详细的论证来展现洛必达法则在数论领域的重要性和价值。
1.3 目的本文旨在深入探讨数论中的洛必达法则，并分析其概念、应用和意义。
通过对洛必达法则进行系统性的介绍和解读，旨在帮助读者更好地理解这一重要的数学原理，并且探讨洛必达法则在数论领域中的具体运用。
同时，本文也将对洛必达法则的局限性进行深入分析，并展望未来在数论研究中的潜在应用。
通过本文的阐述，读者将能够更全面地了解洛必达法则在数论领域中的重要性和意义，以及未来可能的发展方向。
2.正文2.1 洛必达法则的概念洛必达法则是数学中的一个重要概念，通常用于解决极限计算中的不定式形式。
它最初由意大利数学家洛必达（L'Hôpital）在17世纪提出，并在微积分学中得到广泛应用。
不定式省略to的10种情况
不定式省略to的几种情况一、使役动词与to的省略当不定式用于let, make, have等使役动词后作宾语补足语，不定式必须省略to。
如：Let me have another cup of tea.给我再来一杯茶。
She had him dig away the snow.她让他把雪挖走。
They made him tell them everything.他们强迫他把一切全告诉他们。
但是，当使役动词用于被动语态时，其后的不定式则必须要带to。
如：他被迫一天工作20小时。
误：He was made work twenty hours a day.正：He was made to work twenty hours a day.注意，表示使役意义的let和have很少用于被动语态。
另外注意，force, oblige等虽然也表示“使”，但它们后用作宾语补足语的不定式必须带to。
如：They forced her to sign the paper.他们强迫她在文件上签字。
The law obliged parents to send their children to school.法律要求父母送子女上学。
二、感觉动词与to的省略当不定式用于表示感觉的动词feel, hear, notice, observe, see, watch, look at, listen to等作宾语补足语时，不定式必须省略to。
如：We all felt the house shake.我们都感觉这房子在震动。
I heard him go down the stairs.我听见他下楼了。
Did you notice her leave the house?她离开屋子你注意到了吗?I watched her get into the car.我看着她上了车。
但是，当feel后用作宾语补足语的不定式为to be时，则不能省略to。
高中数学不定式
Why not have a rest?
•关于不定式中的小品词to
(1).不定式中的动词上文已出现过,下文要 省略该动词. eg: Would you like to go with me ? I’d like to . (2). 不定式是to be 结构, be 不可省.
eg: Would you like to be a teacher? I’d like to be.
8. 与疑问词等连用
三. 用法/ 功能
(1). 主语
To see is to believe. It’s important to learn English well . •单个不定式作主语时,谓语动词用单数 •若不定式太长,往往用it作形式主语,不定式置后.
(2). 表语
My job is to help the patient. Your task is to clean the classroom.
3) “stop + V-ing”表示停止做某事,
“stop + 不定式”表示停下来做某事。
Stop smoking, please.
请不要抽烟 。
Let's stop to have a rest.
咱们停下来休息一下吧。
4) mean to do 打算做某事 mean doing 意味着……
I meant to catch up with
forget, regret, try, deserve, start
Bear them in your mind!
warn, tell, allow, help, ask, force等 The teacher told me to clean the blackboard. I expect you to give me some help. watch let 五看 see 三使 make look at have observe listen to notice
2015年新课标A版高中数学必修五课件：3-4 基本不定式
几何平均数．
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②定理的证明可以用作差比较法：
a＋b 2
－
ab ＝
a＋b－2 2
ab ＝
a－ 2
b2
≥0，即
a＋b 2
≥
ab .也可用重要不等式
进行推导：∵a，b∈R＋，则( a )2＋( b )2≥2 ab ，即有a＋
b≥2 ab.
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课前热身 1.基本不等式． (1)重要不等式：对于任意实数a，b，有a2＋ b2________2ab，当且仅当________时，等号成立． (2)基本不等式：如果a>0，b>0，那么 ab______a＋2 b，当 且仅当________时，等号成立．
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【解】 (1)∵x>0，y>0，xy＝3，
∴2x＋5y≥2
2x·5y＝2
30，当2x＝5y，即x＝
230，y＝
30 5
时，等号成立，即x＝ 230，y＝ 530时，(2x＋5y)min＝2 30.
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(2)∵21x＋1y＝2x2＋xyy＝23xy， 又∵2x＋y＝3≥2 2xy，∴2xy ≤94. ∴21x＋1y≥39＝43.当且仅当2x＝y＝32，
2．应用基本不等式求最值． 已知x，y都为正数，则 (1)若x＋y＝s(和为定值)，则当________时，积xy取得最大 值________． (2)若xy＝p(积为定值)，则当________时，和x＋y取得最小 值________.
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数学中的不定式指的是含有未知数（通常用x表示）的数学表达式，其值在整个定义域范围内均可变化。
不定式通常形式为f(x)，其中f(x)是一个关于x的函数，而函数则可以是多项式、分式、指数函数、对数函数等。
求解不定式的方法取决于具体的函数类型和题目要求。
一般来说，可以使用代数方法、图像法、极值法等求解。
以下是一些常见的不定式及其解法：
1. 一次不等式：ax + b > 0（a≠0），其中a、b均为实数，x为自变量。
解法是将不等式移项，得到x > -b/a，即x的取值范围是所有大于-b/a的实数。
2. 二次不等式：ax^2 + bx + c > 0（a≠0），其中a、b、c 均为实数，x为自变量。
解法可以使用配方法、公式法或图像法，其中最常用的方法是配方法，即通过将不等式两边同乘以a，将二次项化为平方后，再通过完全平方式将不等式化为(x + m)^2 > n的形式，其中m、n为实数，然后根据n 的符号和(m, +∞)的交集、(−∞, m)的交集确定x的取值范围。
3. 绝对值不等式：|f(x)| < a，其中a为正实数，f(x)是
一个含有绝对值符号的函数。
解法可以根据f(x)的形式分情况讨论，例如如果f(x)是一个一次函数，则可以通过判断其在x轴上与y=0的交点位置来确定x的取值范围。
4. 分式不等式：f(x)/g(x) > 0，其中f(x)和g(x)均为含有未知数的多项式函数。
解法可以将分母的根作为分界点，在每个区间内讨论f(x)/g(x)的正负性，从而确定x的取值范围。
这些是不定式的一些基本类型和求解方法，当然还有更复杂的不定式类型和解法，需要具体问题具体分析。