实现二分搜索、合并排序、快速排序
二分查找法的算法过程
二分查找法的算法过程
二分查找法（Binary Search）是一种在有序数组中查找特定元素的算法。
它的算法思想是将数组分为两部分，然后判断目标元素与中间元素的大小关系，进而确定目标元素在哪一部分中，然后再在相应的部分中继续进行查找，直到找到目标元素或确定目标元素不存在。
具体的算法过程如下：
1. 首先，确定数组的起始位置（start）和结束位置（end）。
- start 初始化为数组的第一个元素的索引。
- end 初始化为数组的最后一个元素的索引。
2. 然后，计算出数组的中间位置（mid）。
- mid = (start + end) / 2。
3. 接下来，比较目标元素与中间元素的大小关系。
- 如果目标元素等于中间元素，那么返回中间元素的索引，表示找到了目标元素。
- 如果目标元素小于中间元素，说明目标元素在数组的前半部分，所以将结束位置 end 更新为 mid - 1。
- 如果目标元素大于中间元素，说明目标元素在数组的后半部分，所以将起始位置 start 更新为 mid + 1。
4. 然后，再次计算新的中间位置，并重复步骤 3，直到找到目标元素或确定目标元素不存在。
- 如果 start 大于 end，表示数组中不存在目标元素。
通过以上的算法过程，可以高效地在有序数组中查找目标元素。
二分查找法的时间复杂度为 O(log n)，其中 n 表示数组的长度。
它比线性查找等其他查找算法要更加高效，尤其适用于大规模数据的查找操作。
2分查找算法
2分查找算法二分查找算法，也称为折半查找算法，是计算机科学中一种常用的查找算法。
它的核心思想是将待查找的数据集合分成两半，然后通过与目标值的比较，确定目标值可能存在的范围，再逐步缩小范围，直到找到目标值或确定目标值不存在。
二分查找算法适用于有序的数据集合，可以快速定位目标值的位置，时间复杂度为O(logn)。
下面以二分查找算法为中心，详细阐述其原理和应用。
一、算法原理二分查找算法的原理非常简单，主要包含以下几个步骤：1.确定查找范围：将待查找的数据集合按照升序或降序排列，并确定查找范围的起始位置和结束位置。
2.计算中间位置：通过起始位置和结束位置计算出中间位置。
3.比较目标值：将目标值与中间位置的值进行比较。
-如果目标值等于中间位置的值，则查找成功，返回中间位置。
-如果目标值小于中间位置的值，则目标值可能在前半部分，将查找范围缩小到前半部分。
-如果目标值大于中间位置的值，则目标值可能在后半部分，将查找范围缩小到后半部分。
4.缩小查找范围：根据比较结果，缩小查找范围为前半部分或后半部分，并重复步骤2和步骤3，直到找到目标值或确定目标值不存在。
二、算法示例为了更好地理解二分查找算法，我们以一个具体的例子来说明：假设有一个按升序排列的数组[1,3,5,7,9,11,13,15,17, 19]，我们要查找目标值为9的位置。
1.确定查找范围：起始位置为0，结束位置为9。
2.计算中间位置：(0+9)/2=4，中间位置为4。
3.比较目标值：目标值9大于中间位置的值7，所以目标值可能在后半部分。
4.缩小查找范围：将查找范围缩小到[9,11,13,15,17,19]，起始位置更新为中间位置+1=5，结束位置不变。
5.重复步骤2和步骤3：计算新的中间位置(5+9)/2=7，中间位置为7。
目标值9小于中间位置的值15，所以目标值可能在前半部分。
6.缩小查找范围：将查找范围缩小到[9,11,13]，起始位置更新为5，结束位置更新为中间位置-1=6。
五大算法设计思想（转载）
五⼤算法设计思想（转载）⼀分治法1.1 概念： 将⼀个难以直接解决的⼤问题，分割成⼀些规模较⼩的相同问题，以便各个击破，分⽽治之。
1.2 思想策略： 对于⼀个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（⽐如说规模n较⼩）则直接解决，否则将其分解为k个规模较⼩的⼦问题，这些⼦问题互相独⽴且与原问题形式相同，递归地解这些⼦问题，然后将各⼦问题的解合并得到原问题的解。
1.3 特征：1) 该问题的规模缩⼩到⼀定的程度就可以容易地解决2) 该问题可以分解为若⼲个规模较⼩的相同问题，即该问题具有最优⼦结构性质。
3) 利⽤该问题分解出的⼦问题的解可以合并为该问题的解；4) 该问题所分解出的各个⼦问题是相互独⽴的，即⼦问题之间不包含公共的⼦⼦问题。
1.4 对特征的解析：第⼀条特征是绝⼤多数问题都可以满⾜的，因为问题的计算复杂性⼀般是随着问题规模的增加⽽增加；第⼆条特征是应⽤分治法的前提它也是⼤多数问题可以满⾜的，此特征反映了递归思想的应⽤；第三条特征是关键，能否利⽤分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第⼀条和第⼆条特征，⽽不具备第三条特征，则可以考虑⽤贪⼼法或动态规划法。
第四条特征涉及到分治法的效率，如果各⼦问题是不独⽴的则分治法要做许多不必要的⼯作，重复地解公共的⼦问题，此时虽然可⽤分治法，但⼀般⽤动态规划法较好。
1.5 基本步骤：1 分解：将原问题分解为若⼲个规模较⼩，相互独⽴，与原问题形式相同的⼦问题；2 解决：若⼦问题规模较⼩⽽容易被解决则直接解，否则递归地解各个⼦问题3 合并：将各个⼦问题的解合并为原问题的解。
1.6 适⽤分治法求解的经典问题：1）⼆分搜索2）⼤整数乘法3）Strassen矩阵乘法4）棋盘覆盖5）合并排序6）快速排序7）线性时间选择8）最接近点对问题9）循环赛⽇程表10）汉诺塔⼆动态规划2.1 概念 每次决策依赖于当前状态，⼜随即引起状态的转移。
⼀个决策序列就是在变化的状态中产⽣出来的，所以，这种多阶段最优化决策解决问题的过程就称为动态规划。
分治法-合并排序和快速排序
分治法-合并排序和快速排序分治法是按照以下⽅案⼯作的：将问题的实例划分为同⼀个问题的⼏个较⼩的实例，最好拥有同样的规模对这些较⼩的实例求解（⼀般使⽤递归⽅法，但在问题规模⾜够⼩的时候，有时会利⽤另⼀种算法以提⾼效率）如果必要的话，合并较⼩问题的解，以得到原始问题的解分治法的流程：4.1 合并排序合并排序是成功应⽤分治技术的⼀个完美例⼦（书上说的）。
对于⼀个需要排序的数组，合并排序把它⼀分为⼆，并对每个⼦数组递归排序，然后把这两个排好序的⼦数组合并为⼀个有序数组。
代码实现：/*** 合并排序* @author xiaofeig* @since 2015.9.16* @param array 要排序的数组* @return返回排好序的数组* */public static int[] mergeSort(int[] array){if(array.length>1){int[] subArray1=subArray(array,0,array.length/2);int[] subArray2=subArray(array,array.length/2,array.length);subArray1=mergeSort(subArray1);subArray2=mergeSort(subArray2);return merge(subArray1,subArray2);}return array;}/*** 返回指定数组的⼦数组* @author xiaofeig* @since 2015.9.16* @param array 指定的数组* @param beginIndex ⼦数组的开始下标* @param endIndex ⼦数组的结束位置（不包括该元素）* @return返回⼦数组* */public static int[] subArray(int[] array,int beginIndex,int endIndex){int[] result=new int[endIndex-beginIndex];for(int i=beginIndex;i<endIndex;i++){result[i-beginIndex]=array[i];}return result;}/*** 根据数值⼤⼩合并两个数组* @author xiaofeig* @since 2015.9.16* @param subArray1 待合并的数组* @param subArray2 待合并的数组* @return返回合并好的数组* */public static int[] merge(int[] subArray1,int[] subArray2){int[] result=new int[subArray1.length+subArray2.length];int i=0,j=0;while(i<subArray1.length&&j<subArray2.length){if(subArray1[i]>subArray2[j]){result[i+j]=subArray2[j];j++;}else{result[i+j]=subArray1[i];i++;}}if(i==subArray1.length){while(j<subArray2.length){result[i+j]=subArray2[j];}}else{while(i<subArray1.length){result[i+j]=subArray1[i];i++;}}return result;}算法分析：当n>1时，C(n)=2C(n-2)+C merge(n)，C(1)=0C merge(n)表⽰合并阶段进⾏键值⽐较的次数。
常用算法解析及其应用场景
常用算法解析及其应用场景算法是计算机科学中最基础的概念之一。
在日常生活中，我们无时无刻不在接触着各种算法，从谷歌搜索到智能手机里各种APP的推荐算法，都离不开算法的支持和应用。
在这篇文章中，我将为大家介绍常用的算法和它们的应用场景。
一、排序算法排序算法是程序中最常用的一种算法，其目的是将数据按一定方式进行排列。
常见的排序算法包括冒泡排序、选择排序、插入排序、归并排序和快速排序。
1、冒泡排序冒泡排序是一种简单的排序算法，它的思路是从头到尾扫描一遍需要排序的数据，每一次将相邻两个元素进行比较并交换位置。
这个过程类似于水泡在水中上浮，一遍扫描结束后，最大的元素就会像水泡一样浮到最上面。
冒泡排序的时间复杂度为O(n²)，如果需要排序的数据量很大，那么执行起来会比较慢。
不过它的优点在于代码简单易懂，并且实现起来很容易。
2、选择排序选择排序的思路是每次从数据中选择一个最小（或最大）的元素，并将其放置在序列的起始位置。
按照这样的方式，每次只需要找到一个元素，就可以将数据序列排列好。
选择排序的时间复杂度也为O(n²)，但它比冒泡排序要稍微快一点。
3、插入排序插入排序的思路是将数据分为已排序区间和未排序区间两部分。
不断地将未排序区间的元素逐一与已排序区间的元素相比较，找到合适的位置插入。
重复执行这个过程，最终就能将整个数据序列排列好。
插入排序的时间复杂度也为O(n²)，但它的执行速度相对于冒泡排序和选择排序要慢一些。
不过它的优点在于它在处理小数据量时非常高效，并且在排序过程中需要的额外内存很少。
4、归并排序归并排序的思路是将数据分成两个子序列，分别进行排序，最后将排序好的子序列进行合并。
在合并的过程中，需要使用到一个额外的数组来存储数据。
归并排序的时间复杂度为O(nlogn)，执行效率相对较高。
尤其是在处理大数据量时，它表现得十分出色。
5、快速排序快速排序的思路不同于以上几种排序算法，它是一种分治法的排序算法。
计算机算法设计与分析(第4版)[王晓东][电子教案]第2章
![计算机算法设计与分析(第4版)[王晓东][电子教案]第2章](https://img.taocdn.com/s3/m/6ef58047f7ec4afe04a1df38.png)
2.1 递归的概念
例5 整数划分问题 前面的几个例子中，问题本身都具有比较明显的递归关系，因 而容易用递归函数直接求解。 在本例中，如果设p(n)为正整数n的划分数，则难以找到递归关 系，因此考虑增加一个自变量：将最大加数n1不大于m的划分个 数记作q(n,m)。可以建立q(n,m)的如下递归关系。
A(1,0) 2 A(0, m) 1 m0 A(n,0) n 2 n2 A(n, m) A( A(n 1, m), m 1) n, m 1
2.1 递归的概念
例3 Ackerman函数 前2例中的函都可以找到相应的非递归方式定义：
n! 1 2 3 (n 1) n
T(n)
n/2
=
n/2
n
n/2 n/2
T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4
算法总体思想
将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问 题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。
1 q ( n, n ) q ( n, m ) 1 q (n, n 1) q ( n, m 1) q (n m, m)
正整数n的划分数p(n)=q(n,n)。
n 1, m 1 nm nm n m 1
2.1 递归的概念
例6 Hanoi塔问题 设a,b,c是3个塔座。开始时，在塔座a上有一叠共n个圆盘，这 些圆盘自下而上，由大到小地叠在一起。各圆盘从小到大编号 为1,2,…,n,现要求将塔座a上的这一叠圆盘移到塔座b上，并仍 按同样顺序叠臵。在移动圆盘时应遵守以下移动规则： 规则1：每次只能移动1个圆盘； 规则2：任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘之上； 规则3：在满足移动规则1和2的前提下，可将圆盘移至a,b,c中 任一塔座上。
算法设计与分析复习题目及答案 (3)
分治法1、二分搜索算法是利用（分治策略）实现的算法。
9. 实现循环赛日程表利用的算法是（分治策略）27、Strassen矩阵乘法是利用（分治策略）实现的算法。
34．实现合并排序利用的算法是（分治策略）。
实现大整数的乘法是利用的算法（分治策略）。
17．实现棋盘覆盖算法利用的算法是（分治法）。
29、使用分治法求解不需要满足的条件是（子问题必须是一样的）。
不可以使用分治法求解的是（0/1背包问题）。
动态规划下列不是动态规划算法基本步骤的是（构造最优解）下列是动态规划算法基本要素的是（子问题重叠性质）。
下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（动态规划法）备忘录方法是那种算法的变形。
（动态规划法）最长公共子序列算法利用的算法是（动态规划法）。
矩阵连乘问题的算法可由（动态规划算法B）设计实现。
实现最大子段和利用的算法是（动态规划法）。
贪心算法能解决的问题：单源最短路径问题，最小花费生成树问题，背包问题，活动安排问题，不能解决的问题：N皇后问题，0/1背包问题是贪心算法的基本要素的是（贪心选择性质和最优子结构性质）。
回溯法回溯法解旅行售货员问题时的解空间树是（排列树）。
剪枝函数是回溯法中为避免无效搜索采取的策略回溯法的效率不依赖于下列哪些因素（确定解空间的时间）分支限界法最大效益优先是（分支界限法）的一搜索方式。
分支限界法解最大团问题时，活结点表的组织形式是（最大堆）。
分支限界法解旅行售货员问题时，活结点表的组织形式是（最小堆）优先队列式分支限界法选取扩展结点的原则是（结点的优先级）在对问题的解空间树进行搜索的方法中,一个活结点最多有一次机会成为活结点的是( 分支限界法).从活结点表中选择下一个扩展结点的不同方式将导致不同的分支限界法,以下除( 栈式分支限界法)之外都是最常见的方式.（1）队列式(FIFO)分支限界法：按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一个节点为扩展节点。
（2）优先队列式分支限界法：按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点成为当前扩展节点。
递归与分治实验报告
竭诚为您提供优质文档/双击可除递归与分治实验报告篇一：实验一递归与分治算法编程-实验报告纸南京信息工程大学实验（实习）报告实验（实习）名称递归与分治算法编程实验（实习）日期得分指导教师院专业年级班次姓名学号1．实验目的：1）掌握递归与分治策略的基本思想2）掌握递归算法在阶乘函数、Ackerman函数、整数划分等问题上的应用3）掌握二分查找、合并排序、快速排序等问题的分治算法实现4）熟悉myeclipse或eclipse等Java开发工具的使用。
2．实验内容：1）采用myeclipse或eclipse编程实现基于分治策略的二分查找算法。
2）采用myeclipse或eclipse编程实现基于分治策略的合并排序算法。
3）采用myeclipse或eclipse编程实现基于分治策略的合并排序算法。
3．实验步骤二分查找publicclasssorting{publicstaticintbinarysearch(int[]a,intx,intn){intle ft=0;intright=n-1;while(left intmiddle=(left+right)/2;if(x==a[middle])returnmiddle;if(x>a[middle])left=middle+1;elseright=middle-1;}return-1;}publicstaticvoidmain(stringargs[]){intx,n;inta[]={1,3,4,5,6,13,25};x=6;n=7;ints;s=binarysearch(a,x,n);system.out.println(s);合并排序publicclassmergesort{publicstaticvoidmergesort(int[]a){}publicstaticvoid mergepass(int[]x,int[]y,ints){}publicstaticvoidmerg e(int[]c,int[]d,intl,intm,intr){inti=1,j=m+1,k=1;in ti=0;while(i }}if(c[i]-(c[j])m)for(intq=j;q快速排序publicclassQsort{privatestaticvoidqsort(inta[],intp,intr){}privatest aticintpartition(inta[],intp,intr){inti=p;intj=r+1; intx=a[p];inttemp;while(true){while((a[++i]-x)0);if (i>=j)break;temp=a[i];if(p }}}a[j]=temp;mymath.s wap(a,i,j);//a[p]=a[j];a[j]=x;returnj;publicstaticv oidmain(string[]args){}inta[]={4,2,7,9,1};qsort(a,0,4);for(inti=0;;i++){}s ystem.out.println(a[i]);4．实验分析和总结掌握了递归与分治策略的基本思想掌握了递归算法在阶乘函数、Ackerman函数、整数划分等问题上的应用掌握了二分查找、合并排序、快速排序等问题的分治算法实现熟悉了myeclipse或eclipse等Java开发工具的使用。
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1、实验题目实现二分搜索、合并排序、快速排序
2、实验要求用分治法和递归技术实现上述问题，掌握设计有效算法的分治
策略
3、实验内容（问题描述、算法设计、算法效率）
实现二分搜索
A.问题描述：给定已排好序的n个元素a[0：n-1]，现要在这n个元素中找出
一给定元素x。
B.算法设计：在问题中，n个元素已经排好序，二分搜索算法的基本思想是
将n个元素分成个数大致相同的两半，取a[n/2]与x作比较，如果x=a[n/2],则找到x，算法终止；如果x<a[n/2],则只要在数组a的左半部继续按上方法搜索，直到搜索到x；如果x>a[n/2],则只要在数组a的右半部继续按上方法搜索，直到搜索x。
C.算法效率：每执行一次算法的while循环，待搜索数组的大小减少一半。
因此，在最坏情况下，while循环被执行了O[logn]次。
循环体内运算需要O[1]时间，因此整个算法在最坏情况下的计算时间复杂性为O[longn]。
D.代码:
template<class Type>
int BinarySeatch(Type a[],const Type& x,int n)
{ int left=0; int right = n-1;
while(left<=right){
int middle = (left+right)/2;
if(x = = a[middle])return middle;
if(x>a[middle])left=middle+1;
else right = middle –1;}
return –1;}
实现合并排序
A.问题描述：对n个元素进行排序。
B.算法设计：将待排序元素分成大小大致想通的两个子集合，分别对两个子集合进行排序，最终将排好序的子集合合并成所要求的排好序的集合。
C.算法效率：自然合并排序算法需要O(n)时间，算法MergeSort需要O(nlogn)时间。
D.代码：
void mergesort(int a[],int n)
{int *b=new int[n];
int s=1;
while(s<n){
mergepass(a,b,s,n);
s+=s;
mergepass(b,a,s,n);
s+=s;}}
void mergepass(int x[],int y[],int s,int n)
{int i=0;
while(i<=n-2*s)
{merge(x,y,i,i+s-1,i+2*s-1);
i=i+2*s;}
if(i+s<n)
merge(x,y,i,i+s-1,n-1);
else for(int j=i;j<=n-1;j++) y[j]=x[j];}
void merge(int c[],int d[],int l,int m,int r)
{int i=l,j=m+1,k=l;
while((i<=m)&&(j<=r))
if(c<=c[j])d[k++]=c[i++];
else d[k++]=c[j++];
if(i>m) for(int q=j;q<=r;q++)d[k++]=c[q];
else for(int q=i;q<=m;q++)d[k++]=c[q];}
实现快速排序
A.问题描述：对n个数进行排序
B.算法设计：对于输入的子数组a[p:r],按以下三个步骤进行排序。
（1）分解：以a[p]为基准元素将a[p:r]划分成3段a[p:q-1],a[q]和a[q+1:r],使a[p:q-1]中任何一个元素小于等于a[q],而a[q+1:r]中任何一个元素大于等于a[q]。
下标q在划分过程中确定。
（2）递归求解:通过递归调用快速排序算法分别对a[p:q-1]和a[q+1:r]进行排序。
(3）合并
C.算法效率：O(nlogn)
D.代码：void quicksort(int a[],int p,int r)
{ if(p<r){
int q=partition(a,p,r);
quicksort(a,p,q-1);
quicksort(a,q+1,r);
} }
int partition(int a[],int p,int r){
int i=p,j=r+1;
int t;
int x=a[p];
while(true){
while(a[++i]<x && i<r);
while(a[--j]>x);
if(i>=j)break;
t=a;
a=a[j];
a[j]=t;}
a[p]=a[j];
a[j]=x;
return j;}
4.实验心得
在实现二分搜索是需要先编写一个算法用来输入排好序的n个元素，以用来做搜索源。
而合并搜索应用的是依次重复把元素分为大致相同的两组，直到最后的分株可以很容易的比较，之后逐步合并。
程序输入是注意保持变量前后一致，勿输入错误。
实验中发现了几个平时不容易注意的小问题，加深了对这几个算法的
理解与掌握。