椭圆的性质练习题
椭圆的定义及几何性质试题 精选精练
椭圆的定义及几何性质题型一：椭圆的定义及其应用1、判断轨迹：例：已知12,F F 是定点，动点M 满足12||||8MF MF +=，且12||8F F =则点M 的轨迹为（ ）A ．椭圆 B.直线 C.圆 D.线段变式：1 已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点．若1222=+B F A F ，则AB = ．2、利用定义例：已知椭圆x 26＋y 22＝1与双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点F 1，F 2，点P 是两曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2的值为( )．A.14 B.13 C.19 D.35变式：1、(·青岛模拟)已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.2、 已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )．A ．2 3 B ．6C ．4 3 D ．123、已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 4、已知F 1，F 2是椭圆2212516x y +=的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于1122(,)(,)A x y B x y 两点，△AF 1B 的内切圆的周长为π，则12||y y -为( ) 5.3A 10.3B 20.3C 5.3D 3、转化定义例：设椭圆x 22＋y 2m ＝1和双曲线y 23－x 2＝1的公共焦点分别为F 1、F 2，P 为这两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值等于________．变式练习：1.已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15题型二:椭圆的标准方程和性质例：[例1] (1)(2017·广东高考)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1(2)(2016·岳阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________．变式练习1.已知椭圆的长轴是短轴的3倍，且过A （3,0），并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程_____2.(2018·山东)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为 ( ) A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1 题型三：椭圆的重要性质------离心率示例：如图A 、B 、C 分别为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a ＞b ＞0)的顶点与焦点， 若∠ABC =90°，则该椭圆的离心率为( )A.－1＋52 B ．1－22 C.2－1 D.22变式 1．把条件“A 、B 、C 分别为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a ＞b ＞0)的顶点与焦点， 若∠ABC =90°“改为“F 1、F 2分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另 一点B .若∠F 1AB =90°”求椭圆的离心率；2.把条件“A 、B 、C 分别为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a ＞b ＞0)的顶点与焦点，若∠ABC =90°”改为“椭圆通过A ，B 两点，它的一个焦点为点C ，且AB ＝AC ＝1，090BAC ∠=，椭圆的另一个焦点在AB 上”，求椭圆的离心率为________． 3.把条件“A 、B 、C 分别为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a ＞b ＞0)的顶点与焦点，若∠ABC =90°“改为“F 1、F 2分别为圆锥曲线的左、右焦点，曲线上存在点P 使|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )A.12或32B.23或2C.12或2D.23或324. 椭圆2222(0)x y a b a b+>>的左、右顶点分别是A ，B 左、右焦点分别是F 1，F 2．若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 。
椭圆的几何性质练习题
椭圆的几何性质练习题椭圆的几何性质练习题椭圆是数学中一种重要的几何形状，具有许多特殊的性质和应用。
在本文中，我们将通过一些练习题来探索椭圆的一些几何性质。
练习题一：椭圆的定义1. 如何定义一个椭圆？2. 椭圆的焦点和直径分别是什么？练习题二：椭圆的离心率1. 什么是椭圆的离心率？2. 离心率为1的椭圆是什么特殊的形状？练习题三：椭圆的焦点性质1. 椭圆的焦点位于什么位置？2. 如何通过椭圆的焦点和直径来确定椭圆的方程？练习题四：椭圆的长轴和短轴1. 如何确定椭圆的长轴和短轴？2. 长轴和短轴之间的关系是什么？练习题五：椭圆的周长和面积1. 如何计算椭圆的周长和面积？2. 椭圆的周长和面积与长轴和短轴之间有什么关系？练习题六：椭圆的焦点到点的距离1. 如何计算椭圆上任意一点到焦点的距离？2. 椭圆上任意一点到焦点的距离与椭圆的离心率之间有什么关系？练习题七：椭圆的应用1. 椭圆在日常生活中有哪些应用？2. 椭圆在科学和工程领域中有哪些应用？通过以上练习题，我们可以更好地理解和掌握椭圆的几何性质。
椭圆作为一种特殊的几何形状，具有许多独特的特点和应用，对于数学和实际问题的解决都具有重要意义。
在解答这些练习题的过程中，我们需要熟练掌握椭圆的定义、离心率、焦点性质、长轴和短轴的确定方法，以及椭圆的周长、面积和焦点到点的距离的计算方法。
同时，我们还需要了解椭圆在不同领域中的应用，以便更好地理解和应用椭圆的几何性质。
通过不断的练习和思考，我们可以逐渐提高对椭圆的理解和应用能力。
椭圆作为数学中的一种重要几何形状，不仅具有美丽的形态，还具有广泛的应用价值。
在学习和应用中，我们应该保持好奇心和求知欲，不断探索和发现椭圆的更多奥秘。
总之，椭圆的几何性质是数学中的重要内容之一，通过练习题的探索和解答，我们可以更好地理解和应用椭圆的特点和应用。
希望通过这些练习题，读者们能够对椭圆有更深入的了解，并能够在实际问题中灵活运用椭圆的几何性质。
(完整版)椭圆的简单性质练习题及答案
椭圆一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．下列命题是真命题的是（ ）A ．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B ．到定直线ca x 2=和定点F(c ，0）的距离之比为ac 的点的轨迹是椭圆C ．到定点F(－c ，0）和定直线ca x 2-=的距离之比为ac （a >c>0）的点的轨迹 是左半个椭圆D ．到定直线ca x 2=和定点F （c ，0）的距离之比为ca (a >c 〉0)的点的轨迹是椭圆2．若椭圆的两焦点为（－2,0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 ( ）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x3．若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ )A ．(0，+∞)B ．（0,2)C ．（1，+∞）D ．(0，1)4．设定点F 1(0，－3)、F 2(0，3),动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ,则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段 5．椭圆12222=+by a x 和k b y a x =+2222()0>k 具有（ ）A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为 ( ）A ．41B ．22 C ．42 D ． 217．已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点,若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是（ ）A ．516B ．566C ．875D ．8778．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．109．在椭圆13422=+y x 内有一点P （1,－1)，F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2｜MF|的值最小,则这一最小值是 （ ）A ．25B ．27C ．3D ．410．过点M （－2,0）的直线m 与椭圆1222=+y x 交于P 1,P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2,则k 1k 2的值为 ( ）A ．2 B ．－2 C ．21 D ．－21 二、填空题（本题共4小题,每小题6分，共24分） 11．离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 ___________ 。
椭圆性质强化练习
椭圆性质强化练习
1对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程22
1mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ）
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充分必要条件
D 、既不充分也不必要条件 2椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2。
若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 A. 14 B. 55 C. 12 D. 5-2
3.已知斜率为2的直线l 被椭圆22132
x y +=截得的弦长为307求直线l 的方程
4如图，椭圆22
22:1(0)x y M a b a b
+=>>的离心率为32，直线x a =±和y b =±所围成的矩形ABCD 的面积为8. (Ⅰ)求椭圆M 的标准方程；
5．已知x 2a 2＋y 2＝1表示离心率为12
的椭圆，求椭圆方程．
6设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点的距离为4(2－1)，求此椭圆方程及它的离心率、焦点坐标、顶点坐标．
7. 已知F 1、F 2是椭圆22
221x y a b
+=(a>b>0),的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，若1120AF F F ⋅= ，椭圆的离心率等于2
2，△AOF 2的面积为22，求椭圆的方程.。
椭圆及其性质最有效训练题
椭圆及其性质最有效训练题（限时45分钟）1. 已知点)0,3(M ，椭圆1422=+y x 与直线())0(3≠+=k x k y 交于B A ,，则ABM ∆的周长（ ）A. 4B. 8C. 12D. 162.已知P 为椭圆1162522=+y x 上的一点，N M ,分别为圆()1322=++y x 和圆()4322=+-y x 上的点，则PN PM +的最小值为（ ） A. 21 B. 91 C. 91- D. 95-3. 椭圆16410022=+y x 的焦点为21,F F ，椭圆上的点P 满足︒=∠6021PF F ，则21PF F ∆的面积是（ ） A. 3364 B. 3391 C. 3316 D. 3644 若椭圆1522=+my x 的离心率510=e ，则m 的值为（ ） A. 3 B. 315515或 C. 15 D. 3253或5. 若点O 和点F 分别为椭圆13422=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则FP OP ⋅的最大值为（ ）A.2B.3C. 6D. 86. 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，若线段BF 的延长线交C 于点D ，且FD BF 2=，则C 的离心率为__________.7. 椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左，右顶点分别是B A ,，左、右焦点分别是21,F F ，若B F F F AF 1211,,成等比数列，则此椭圆的离心率为____________.8.椭圆125922=+y x 上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，则m 当取最大值时，点P 的坐标是___________.9. 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，经过点)23,1(P ， （1）求椭圆C 的方程；（2）设F 是椭圆C 的左焦点，判断以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由.10. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长、短轴端点分别为B A ,，从此椭圆上一点M ，（在x 轴上方）向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，OM AB //.（1）求椭圆的离心率e ；（2）设Q 是椭圆上任意一点，21,F F 分别是左、右焦点，求21QF F ∠的取值范围.11. 已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点)0,2(-F ，且长轴长与短轴长的比是3:2，（1）求椭圆C 的方程；（2）设点)0,(m M 在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点，最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围.。
(新课标)椭圆性质练习
椭圆性质姓名____________分数______________一、选择题1 ．椭圆2211612xy+=上一点到其焦点1F 的距离为3，则该点到椭圆另一焦点2F 的距离为A ．13B ．9C ．5D ． 12 ．“0m n >>”是“方程221m x ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D) 既不充分也不必要条件3 ．过椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的左焦点1F 做x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点,若21PF F ∠=60°,则椭圆的离心率为 A.22 B.33 C.21 D.314 ．椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的两个焦点F 1，F 2，点M 在椭圆上，且211F F MF ⊥，341=MF ，3142=MF ，则离心率e 等于（ ） A.85 B.65 C.45 D.355 ．已知ABC ∆的周长为16，A （－3，0），B （3，0），则动点C 的轨迹方程是（ ）A ．1162522=+yxB ．1162522=+yx（x 0≠） C ．1162522=+xyD ．1162522=+yx（y 0≠）6 2）(A).22124xy-=(B).22142xy-= (C).22146xy-= (D).221410xy-=7 ．若椭圆2215xym+=的离心率5e =,则m 的值为 （ ） A.13或2538 ．椭圆221x m y +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ）A ．14B ．12C ． 2D ．49 ．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120M F M F ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．1(0,]2C ．(0,2D ．210．如图AB 是长度为定值的平面α的斜线段,点A 为斜足,若点P 在平面α内运动, 使得ABP ∆的面积为定值,则动点P 的轨迹是 A.圆 B.椭圆 C 一条直线 D 两条平行线11．21,F F 分别是椭圆17922=+yx的左右两个焦点，A 为椭圆上一点，且︒=∠4521F AF ，则21F AF ∆的面积为（ ）A. 7B.47 C. 27 D.25712．如果椭圆221369xy+=的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程是A ．20x y -=B ．240x y +-=C ．23120x y +-=D ．280x y +-=13．已知点P 在椭圆1204022=+yx上， 21,F F 是椭圆的两个焦点，21PF F ∆是直角三角形，则这样的点P 有A 2个 B4个 C 6个 D8个14．椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的四个顶点分别为A 、B 、C 、D ，若菱形ABCD 的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率的平方是 （ ）A ．253+ B ．253- C ．253± D ．215-15．一个椭圆中心在原点，焦点12F F 、在x 轴上，P （21122||||||PF F F PF 、、成等差数列，则椭圆方程为（ ） （A ）22186xy+= （B ）221166xy+= （C ）22184xy+= （D ）221164xy+=二、填空题16．已知点A （－2，0），B （2，0），若点P （x,y ）在曲线1121622=+yx上，则|PA |+|PB |= .17．已知椭圆22891y x a +=+的离心率为12，则a = 。
椭圆高中练习题及讲解
椭圆高中练习题及讲解椭圆是圆锥曲线的一种，其定义为平面上所有到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的集合。
这个常数称为椭圆的长轴长度，而长轴长度的一半称为椭圆的长半轴。
椭圆的另一个重要参数是短半轴，它的长度是长半轴的一半乘以椭圆的离心率的倒数。
### 练习题1. 椭圆的基本性质给定一个椭圆，其长半轴为6，短半轴为4，求椭圆的离心率。
2. 椭圆的方程已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，求椭圆的方程，其中长半轴a=5，短半轴b=3。
3. 椭圆的切线若点P(2,3)在椭圆x²/16 + y²/9 = 1上，求过点P的椭圆切线的方程。
4. 椭圆与直线的位置关系直线y=2x+4与椭圆x²/25 + y²/16 = 1相交于两点，求这两点的坐标。
5. 椭圆的面积求椭圆x²/100 + y²/64 = 1的面积。
### 讲解1. 椭圆的基本性质离心率e定义为焦点到椭圆上任意一点的距离与长半轴的比值。
由于椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于长轴长度，设长轴长度为2a，那么离心率e = √(1 - (b²/a²))。
对于本题，a=6，b=4，所以e = √(1 - (4²/6²)) = √(1 - 4/9) = √(5/9)。
2. 椭圆的方程当椭圆的中心在原点，焦点在x轴上时，椭圆的方程为x²/a² + y²/b² = 1。
代入a=5，b=3，得到椭圆的方程为x²/25 + y²/9 = 1。
3. 椭圆的切线对于椭圆上的点P(2,3)，切线斜率可以通过椭圆的梯度求得。
首先求椭圆在点P处的梯度，然后切线的斜率是梯度的负倒数。
具体计算过程涉及到求导和使用点斜式方程。
4. 椭圆与直线的位置关系将直线方程代入椭圆方程，得到一个关于x的二次方程，解此方程可得x的值，再代回直线方程求得y的值，从而得到交点的坐标。
椭圆性质练习题
题型四：离心率问题
12
题型四：离心率问题
13
方程
图象 范围
x2 a2
y2 b2
1
﹙ a﹥b﹥0 ﹚
y F1 F2 x
性 焦点 顶点
质
轴
离心率
对称 性
y
y2 a2
x2 b2
1
F2
﹙ a﹥b﹥0 ﹚
F1 x
题型一：利用定义确轨迹
2
题型一：利用定义确定轨迹
3
题型二：焦点三角形问题
已知 P 是椭圆 x2 ＋ y2 ＝1 上一点，F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点，若∠F1PF2 100 36
4
题型二：焦点三角形问题
5
题型二：焦点三角形问题
例
1、如图所示，已知椭圆的方程为x2＋y2＝1，若点 43
P
在第二象限，且∠PF1F2＝120°，
求△PF1F2 的面积．
6
题型三：椭圆中的最值问题
例 1、已知 F 是椭圆x2＋y2＝1 的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定 95
点，求|PA|＋|PF|的最大值和最小值．
7
题型四：离心率问题
求椭圆的离心率通常有两种方法
①若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a2、b2，求出a、c
的值，利用公式
e
c a
直接求解；
②若椭圆的方程未知，则根据条件建立 a、b、c、e 满足的关系式，化为关于 a、c 的
齐次方程，再将方程两边同除以 a 的最高次幂，得到 e 的方程，解方程求得 e．
8
题型四：离心率问题
9
题型四：离心率问题
2、已知椭圆 C：xa22＋yb22＝1(a>b>0)的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交于 A，B
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1.已知两椭圆2
28ax y +=和22925100x y +=的焦距相等，则a 的值为（ ）
A.
9917或
B. 3342或
C. 39217或
D. 394
或 2. 下列关于椭圆
22
1259
x y +=的说法正确的是（ ） A.该椭圆的短轴长大于焦距. B.该椭圆只有两个顶点()()5,0,5,0-
C.该椭圆上的点在直线5,3x y =±=±所围成的矩形框里.
D.若点
(),x y 在这个椭圆上，则点(),y x 也在椭圆上.
3. 已知点()
,m n 在椭圆
228324
x y +=上，则
24
m +的取值范围是（ ）
A.4⎡-+⎣
B.4⎡⎣
C.4⎡-+⎣
D. 4⎡-+⎣
4.已知点(),P
x y 在椭圆2221x y += ）
A.
B.
1 C.
2 D.
12
5.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为0
120，则此椭圆的离心率是（ ）
A.
B.
C.
12 D.
6.若焦点在x 轴上的椭圆
22
12x y m
+=的离心率为12，则m 等于（ ）
A.
B.
3
2
C.
83 D. 23
7.椭圆22221x y a b +=与椭圆22
22(01)x y k k k a b
+=>≠且具有相同的（ ）
A.长轴长
B.离心率
C.顶点
D.焦点
8.若椭圆
22
149
x y k +=+的离心率为12e =，则k 的值是（ ） A.
1
2
B.
8 C.
1142或 D. 1184
或
9. 椭圆22143x y +=的右焦点到直线y x =的距离是________
10.已知1F ,2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交于椭圆于A ，B 两点，若Δ2ABF 是
等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）
A.
B. 2
C.
1-
D.
11.若点P 和点F 分别为椭圆22
143
x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为（ ） A.
2 B.
3 C. 6 D. 8
12..如图，1F ，2F 分别为椭圆
22
221x y
a b
+=的左、右焦点，点P 在椭圆上，Δ2POF
___________
13..已知椭圆22
195
x y +=内有一点()1,1A ，1F ，2F 分别椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上的一点，求
1PA PF +的最大值和最小值是_______________和_______________
14.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点1F ，2F 在x
轴上，离心率为2
.经过点1
F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且Δ
2ABF 的周长为16，那么C 的方程式为___________
15..已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P
到两焦点的距离分别为3
和3
，过点P 作长轴的的垂线，恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程。
16. 椭圆()222210x y a b a b +=>>
的离心率e =
，焦点到椭圆上的点的最短距离为2-圆的标准方程。
17. 求经过点()1,2M ，且与椭圆
22
1126
x y +=有相同的离心率的椭圆的标准方程。