椭圆的几何性质讲义
椭圆的几何性质(解析版)
第52讲椭圆的几何性质一、课程标准1、掌握椭圆的性质，能够正确求出椭圆的性质2、掌握求椭圆的离心率的值以及离心率的范围3、掌握直线与椭圆的位置关系二、基础知识回顾1、椭圆的标准方程和几何性质2、焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.(1)x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；(2)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．3、焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中(1)当P为短轴端点时，θ最大．(2)S ＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc . (3)焦点三角形的周长为2(a ＋c )．4、．AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则 (1)弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|；(2)直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.5、直线与椭圆的关系将直线方程与椭圆方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．再求一元二次方程的判别式Δ，当： ①Δ>0⇔直线与椭圆相交； ②Δ＝0⇔直线与椭圆相切； ③Δ＜0⇔直线与椭圆相离．6、设直线l 与椭圆的交点坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，k 为直线l 斜率，则AB ＝（1＋k 2）|x 1－x 2|．三、自主热身、归纳总结1、直线y ＝kx －k ＋1(k 为实数)与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A . 相交B . 相切C . 相离D . 相交、相切、相离都有可能 【答案】A【解析】 直线y ＝kx －k ＋1＝k(x －1)＋1恒过定点(1，1)．∵点(1，1)在椭圆内部，∴直线与椭圆相交．故选A .第2题图2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右、下、上顶点，F是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是____． 【答案】5－12【解析】 ∵kB 2F ·kAB 1＝－1，－b c ·b a ＝－1，b 2＝ac ，即a 2－c 2＝ac ，∴e ＝ca ＝5－12.3、中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆的方程是____________． 【答案】：x 225＋y 275＝1【解析】：由题设知c ＝52，设椭圆方程为x 2a 2－50＋y 2a2＝1，联立方程⎩⎨⎧x 2a 2－50＋y 2a2＝1，y ＝3x －2，消去y ，整理得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝12(a 2－50)10a 2－450＝1，解得a 2＝75，所以椭圆方程为x 225＋y 275＝1. 4、已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( )A.223B.423C. 2 D ．2【答案】B【解析】由条件知c ＝1，e ＝c a ＝22，所以a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 22＋y 2＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，⎝⎛⎭⎫43，－13，所以|AB |＝423. 5、(一题两空)已知点F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 29＝1的左、右焦点，点P 在此椭圆上，则椭圆离心率为________，△PF 1F 2的周长为________． 【答案】4518【解析】由椭圆方程知a ＝5，b ＝3，c ＝4，所以其离心率e ＝c a ＝45.△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝10＋8＝18.四、例题选讲考点一 椭圆的离心率的值例1 (1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左焦点为F ，第(1)题图上顶点为B ，若∠BAO ＋∠BFO ＝90°，则椭圆的离心率是____．(2)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点，A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点．P为椭圆C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为____． 【答案】（1） 5－12 （2）13【解析】 (1)由∠BAO ＋∠BFO ＝90°，∠BAO ＋∠ABO ＝90°，得∠BFO ＝∠ABO.又∠AOB ＝∠AOB ，∴△ABO ∽△BFO ，∴OB OF ＝AO BO ，即b c ＝a b，得ac ＝b 2＝a 2－c 2，变形得e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或－5－12(舍)，∴椭圆的离心率为5－12. (2)设M(－c ，m)，则E(0，am a －c )，OE 的中点为D ，则D(0，am 2（a －c ）)，又B ，D ，M 三点共线，∴m2（a －c ）＝m a ＋c，解得a ＝3c ，∴e ＝13.变式1、(1)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23 B.12 C.13 D.14【答案】 D变式2、（四川省乐山一中2019届质检）设F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，P 是椭圆C 上的点，圆x 2＋y 2＝a 29与线段PF 交于A ，B 两点，若A ，B 三等分线段PF ，则椭圆C 的离心率为( ) A.33B.53C.104D.175 【答案】D【解析】如图，取线段PF 的中点H ，连接OH ，OA .设椭圆另一个焦点为E ，连接PE .∵A ，B 三等分线段PF ，∴H 也是线段AB 的中点，即OH ⊥AB .设|OH |＝d ，则|PE |＝2d ，|PF |＝2a －2d ，|AH |＝a －d3.在Rt △OHA 中，|OA |2＝|OH |2＋|AH |2，解得a ＝5d . 在Rt △OHF 中，|FH |＝45a ，|OH |＝a5，|OF |＝c . 由|OF |2＝|OH |2＋|FH |2， 化简得17a 2＝25c 2，c a ＝175. 即椭圆C 的离心率为175.故选D.变式3、焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为( )A.14B.13C.12D.23 【答案】C【解析】由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得12×2c ×b ＝12(2a ＋2c )×b3，得a ＝2c ，即e ＝c a ＝12，故选C.变式4、(2017苏北四市一模） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a＞b ＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．【答案】5－12【解析】因为F (c,0)，B 2(0，b )，B 1(0，－b )，A (a,0)，所以B 2F →＝(c ，－b )，B 1A →＝(a ，b )．因为FB 2⊥AB 1，所以ac －b 2＝0，即c 2＋ac －a 2＝0，故e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1＋52(负值舍去)．方法总结：求离心率的值关键是找到等式关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率。
椭圆的几何性质知识点归纳及典型
Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for JA V A.（一）椭圆的定义：1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。
对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）；（2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。
若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。
这两种特殊情况，同学们必须注意。
（4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。
同学们想一想其中的道理。
（5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：22222222x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，222a cb =+。
不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。
椭圆的焦点在 x 轴上⇔标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上⇔标准方程中y 2项的分母较大。
椭圆的几何性质ppt课件
的对称轴，坐标原点是对称中心. 椭圆的对称中
（3）顶点
在方程①中，令
= 0，得
轴有两个交点，可以记作
=−
作
或
1 (0,
− )，
交点，即
的顶点.
= ，可知椭圆
2 (0,
1， 2
和
=−
1(
或
− ,0)，
与
). 因此，椭圆
= ，可知椭圆
2(
,0)；令
与
= 0 ，得
轴也有两个交点，可以记
与它的对称轴共有 4 个
=− ， = ， =− ， =
x
a 且 b
y
b ，这说明，椭圆
所围成的矩形内，如图所示.
（2）对称性
如果 ( , ) 是方程①的一组解，则不难看出，( − , )，( , − )，( − , − )
都是方程的解，这说明椭圆
因此，
轴、
心也称为椭圆的中心.
关于
轴是椭圆
轴、
轴、坐标原点对称，如图所示.
1 ， 2 ，如图所示，这四个点都称为椭圆
注意到
1 2
椭圆的长轴，线段
=2 ，
1
而且椭圆的长轴长为 2
2
1 2
=2
，而且
>
> 0 ，所以线段
1 2
称为
称为椭圆的短轴. 显然，椭圆的两个焦点在它的长轴上，
，短轴长为 2 .
于是， ，
距为 2 ，则
分别是椭圆的半长轴长和半短轴长，如果设椭圆的焦
是椭圆的半焦距，由
轴上的椭圆是一致的，如图所示.
例 1 求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率：
第三章 椭圆的简单几何性质讲义
3.1.2椭圆的简单几何性质第1课时学习目标 1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题．一、椭圆的几何性质问题1观察椭圆x2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？提示范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点；顶点：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．知识梳理焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点(±a2－b2，0)(0，±a2－b2)焦距|F1F2|＝2a2－b2对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：原点注意点：(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a ＋c ，最小值为a －c .问题2 观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？这个定量对椭圆的形状有何影响？提示 利用离心率e ＝ca来刻画椭圆的扁平程度．如图所示，在Rt △BF 2O 中，cos ∠BF 2O ＝c a ，记e ＝ca ，则0<e <1，e 越大，∠BF 2O 越小，椭圆越扁；e 越小，∠BF 2O 越大，椭圆越接近于圆．知识梳理椭圆的离心率：e ＝ca ∈(0,1)．注意点： (1)e ＝1－b 2a2＝11＋b 2c 2. (2)离心率的范围为(0,1)．(3)e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆．例1 设椭圆方程mx 2＋4y 2＝4m (m ＞0)的离心率为12，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标．反思感悟 用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式．(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)(3)求出a ，b ，c .(4)写出椭圆的几何性质．跟踪训练1 已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其几何性质． 、二、由椭圆的几何性质求标准方程 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6； (2)过点(3,0)，离心率e ＝63.反思感悟 利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤 (1)确定焦点位置．(2)设出相应椭圆的标准方程．(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数． (4)写出椭圆的标准方程．跟踪训练2 (1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为______________．(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos ∠OF A ＝23，则椭圆的标准方程是__________．三、求椭圆的离心率例3 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．延伸探究1．若将本例中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“∠PF 2F 1＝75°，∠PF 1F 2＝45°”，求C 的离心率．反思感悟 求椭圆离心率及取值范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca 求解．若已知a ，b 或b ，c 可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca求解．(2)方程法或不等式法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围．跟踪训练3 (1)某月球探测器发射后顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，近月点与月球表面的距离为100 km ，远月点与月球表面的距离为400 km.已知月球的直径约为 3 476 km ，则该椭圆形轨道的离心率约为( ) A.125 B.340 C.18 D.35(2)椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦MN 的长为185，若△MF 2N 的周长为20，则椭圆的离心率为( )1．知识清单：(1)椭圆的简单几何性质． (2)由椭圆的几何性质求标准方程． (3)求椭圆的离心率．2．方法归纳：分类讨论、方程法(不等式法)．3．常见误区：忽略椭圆离心率的范围0＜e ＜1及长轴长与a 的关系．1．(多选)已知椭圆C ：16x 2＋4y 2＝1，则下列结论正确的是( ) A ．长轴长为12B ．焦距为34C ．焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±34D ．离心率为322．已知椭圆的离心率为12，焦点是(－3,0)和(3,0)，则该椭圆的方程为( )A.x 236＋y 227＝1 B.x 26＋y 23＝1 C.x 227＋y 236＝1 D.x 29＋y 26＝13．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.32 C.34 D.644．若椭圆C ：x 2m ＋y 2m 2－1＝1的一个焦点坐标为(0,1)，则C 的长轴长为________．课时对点练1．(多选)为使椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，正数m 的值可以是( )A ．1 B. 3 C.83 D.322．(多选)已知椭圆C ：16x 2＋25y 2＝400，则关于椭圆C 下列叙述正确的是( ) A ．椭圆C 的长轴长为10B ．椭圆C 的两个焦点分别为(0，－3)和(0,3) C ．椭圆C 的离心率等于35D ．若过椭圆C 的焦点且与长轴垂直的直线l 与椭圆C 交于P ，Q ，则|PQ |＝3253．曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的关系是( )A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不等的焦距，不同的焦点D ．以上都不对4．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为( ) A.12 B ．2 C.14 D ．45．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A.12 B.23 C.34 D.456．(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A (离地心最近的一点)距地面m km ，远地点B (离地心最远的一点)距地面n km ，并且F ，A ，B 三点在同一直线上，地球半径约为R km ，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a ,2b ,2c ，则( )A ．a －c ＝m ＋RB ．a ＋c ＝n ＋RC ．2a ＝m ＋nD ．b ＝(m ＋R )(n ＋R )7．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32，则长轴长的取值范围为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________________．9．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ,0)(c >0)，过点E ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且F 1A ∥F 2B ，|F 1A |＝2|F 2B |，求椭圆的离心率．10.如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B —→，求椭圆的标准方程．11．(多选)阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为62π，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为( ) A.x 28＋y 29＝1 B.x 218＋y 216＝1 C.x 212＋y 26＝1 D.x 29＋y 28＝112．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点是F 1，F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝5|PF 2|，则此椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23B.⎝⎛⎦⎤0，23C.⎣⎡⎭⎫23，1D.⎝⎛⎭⎫23，113．在平面直角坐标系中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点⎝⎛⎭⎫a 2c ，0作圆的两切线互相垂直，则离心率e ＝________.14．如图，把椭圆x 216＋y 29＝1的长轴AB 八等分，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1，P 2，…，P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋|P 3F |＋…＋|P 7F |的值为________．15．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆．现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃厚度忽略不计)，在玻璃杯倾斜的过程中(杯中的水不能溢出)，杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，55 B.⎣⎡⎭⎫55，1 C.⎝⎛⎦⎤0，255 D.⎣⎡⎭⎫255，116．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．+。
椭圆的简单几何性质 2022-2023学年高二数学同步精品讲义(人教A版2019选择性必修第一册)
3.1.2 椭圆的简单几何性质课程标准核心素养 1.掌握椭圆的简单几何性质．2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想.直观想象 数学运算知识点1 椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 范围－a ≤x ≤a 且－b ≤y ≤b－b ≤x ≤b 且－a ≤y ≤a顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0),_ B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a ),B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴长 长轴长＝2a ，短轴长＝2b焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距 |F 1F 2|＝2c对称性 对称轴x 轴和y 轴，对称中心(0,0) 离心率 e ＝ca (0<e <1)（注：e ＝1－b 2a2＝11＋b 2c2.）注：(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a ＋c ，最小值为a －c .(4)椭圆有四个顶点、两个焦点，共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置．(5)已知椭圆的四个顶点，可以使用几何作图找出其焦点，方法是：以短轴的端点为圆心，a 为半径作弧交长轴于两点，这两点就是该椭圆的焦点．(6)椭圆的离心率e 的大小反映椭圆的扁平程度，e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆． 拓展：用离心率e ＝ca来刻画椭圆的扁平程度．如图所示，在Rt △BF 2O 中，cos ∠BF 2O ＝c a ，记e ＝ca ，则0<e <1，e 越大，∠BF 2O 越小，椭圆越扁；e 越小，∠BF 2O 越大，椭圆越接近于圆．(7)常用椭圆方程的设法①与椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为：12222=+++m b y m a x )(2b m ->②有相同离心率：k b y a x =+2222（0>k ，焦点在x 轴上）或k bxa y =+2222（0>k ，焦点在x 轴上）【即学即练1】求椭圆x 2＋9y 2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 【解析】把已知方程化成标准方程为x 281＋y 29＝1，于是a ＝9，b ＝3，c ＝81－9＝62，所以椭圆的长轴长2a ＝18，短轴长2b ＝6，离心率e ＝c a ＝223.两个焦点的坐标分别为F 1(－62，0)，F 2(62，0)，四个顶点的坐标分别为A 1(－9,0)，A 2(9,0)，B 1(0，－3)，B 2(0,3)．【即学即练2】椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( ) A ．(±10,0) B ．(±69，0) C ．(0，±13)D ．(0，±69)【解析】由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．故选D【即学即练3】已知椭圆2222:1(0)1+=>+x y C a a a 的短轴长和焦距相等，则a 的值为（ ） A ．1 B 2 C ．32D 3【解析】由题设易知：椭圆参数b c =，即有2221+-=a a a ，可得1a =． 故选：A【即学即练4】比较椭圆①x 2＋9y 2＝36与②x 29＋y 25＝1的形状，则________更扁(填序号)．【解析】x 2＋9y 2＝36化为标准方程为x 236＋y 24＝1，故离心率e 1＝426＝223；x 29＋y 25＝1的离心率e 2＝23.因为e 1＞e 2，故①更扁．【即学即练5】焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程为( )A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D ．x 2＋y 24＝1 【解析】依题意，得a ＝2，a ＋c ＝3，故c ＝1，b ＝22－12＝3，故所求椭圆的标准方程是x 24＋y 23＝1.故选A【即学即练6】与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( ) A.x 22＋y 24＝1 B ．x 2＋y 26＝1C.x 26＋y 2＝1 D.x 28＋y 25＝1 【解析】椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，可知焦点在y 轴上，焦点坐标为(0，±5)，故可设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，则c ＝ 5.又2b ＝2，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6，则所求椭圆的标准方程为 x 2＋y 26＝1.故选B【即学即练7】若椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为________．【解析】∵椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，∴1m ＝2，∴m ＝14. 【即学即练8】椭圆C ：2221(3)3x y a a +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，经过点1F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2ABF 的周长为16，则椭圆C 的离心率为（ ） A 13B 11C ．12D 3【解析】由题可知416a =，即4a =，所以椭圆C 的离心率16313e -==. 故选：A.【即学即练9】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上存在点P ，使得213PF PF =，其中1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】由椭圆的定义得122PF PF a +=，又∵213PF PF =，∵132PF a =，212PF a =，而12122PF PF F F c -≤=，当且仅当点P 在椭圆右顶点时等号成立，即31222a a c -≤，即2a c ≤，则12c e a =≥，即112e ≤<.故选：D ．知识点2 点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b2>1.【即学即练10】已知点(2,3)在椭圆x 2m 2＋y 2n2＝1上，则下列说法正确的是( )A ．点(－2,3)在椭圆外B ．点(3,2)在椭圆上C ．点(－2，－3)在椭圆内D ．点(2，－3)在椭圆上【解析】D【即学即练11】已知直线l 过点(3，－1)，且椭圆C ：x 225＋y 236＝1，则直线l 与椭圆C 的公共点的个数为( ) A ．1 B ．1或2 C ．2D ．0【解析】因为直线过定点(3，－1)且3225＋(－1)236＜1，所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l 与椭圆有2个公共点．故选C知识点3 直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系，判断方法：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消y 得一元二次方程．当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．【即学即练12】对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 24＋(x ＋m )2＝1， 整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0. Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)． 当－5<m <5时，Δ>0，直线与椭圆相交； 当m ＝－5或m ＝5时，Δ＝0，直线与椭圆相切； 当m <－5或m >5时，Δ<0，直线与椭圆相离．【即学即练13】若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( )A.63 B ．－63C ．±63D ．±33【解析】把y ＝kx ＋2代入x 23＋y 22＝1，得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0，由题意知Δ＝0，∴k 2＝23，∴k ＝±63. 故选C知识点4 直线与椭圆相交的弦长公式1．定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． 2．求弦长的方法(1)交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．(2)根与系数的关系法：如果直线的斜率为k ，被椭圆截得弦AB 两端点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则弦长公式为：|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.注：（1）已知弦AB 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的一条弦，中点M 坐标为00(,)x y ，则AB 的斜率为2020b x a y -，运用点差法求AB 的斜率，设11(,)A x y ，22(,)B x y ；A 、B 都在椭圆上，22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b--+=，1212121222()()()()0x x x x y y y y a b -+-+-= 即22012122212120b x y y x x b x x a y y a y -+=-⋅=--+，故2020AB b x k a y =- （2）弦AB 的斜率与弦中心M 和椭圆中心O 的连线的斜率之积为定值：22ab -【即学即练14】已知椭圆x 225＋y 216＝1，过椭圆的右焦点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，则|AB |＝________.【解析】易求得a ＝5，b ＝4，所以|AB |＝2b 2a ＝2×425＝325.【即学即练15】已知F 是椭圆x 225＋y 29＝1的一个焦点，AB 为过椭圆中心的一条弦，则△ABF的面积最大值为( )A ．6B ．15C ．20D ．12【解析】由题意知，S △ABF ＝12|OF |·|y 1－y 2|≤12|OF |·2b ＝12.故选D【即学即练16】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，过F 作一条倾斜角为45的直线与椭圆C 交于,A B 两点，若()3,2M -为线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率是（ ） A 3B ．12C ．25D 5【解析】设点1122(,),(,)A x y B x y ，依题意，2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=，因直线AB 的倾斜角为45，即直线AB 的斜率为12121y yx x -=-，又()3,2M -为线段AB 的中点，则126x x +=-，124y y +=，因此有22460a b -=，即2223b a =，所以椭圆C 的离心率222231a b b e a --. 故选：A【即学即练17】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>3直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点且线段AB 的中点为()3,2M ，则直线l 的斜率为________.【解析】由题意可得2231c b e a a ==-6a =，设()()1122,,,A x y B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b +=+=，两式相减可得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=，AB 的中点为(3,2)M ，12126,4x x y y +=+=∴，则直线斜率212122*********y y x x b k x x a y y -+==-⋅=-⨯=--+. 故答案为：1-.考点一 由标准方程研究几何性质解题方略：用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式； (2)确定焦点位置； (3)求出a ，b ，c ； (4)写出椭圆的几何性质．注：长轴长、短轴长、焦距不是a ，b ，c ，而应是a ，b ，c 的两倍．【例1-1】已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．【解析】(1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35；(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1，性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10； ②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)； ④焦点：(0,6)，(0，－6)； ⑤离心率：e ＝35.【例1-2】椭圆2213x y m+=-的一个焦点坐标为()0,1-，则实数m 的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．4- D ．2-【解析】根据焦点坐标可知，椭圆焦点在y 轴上，所以有31m --=，解得4m =-． 故选：C.变式1：已知椭圆2214x y m+=的焦距为3m 的值不可能为（ ） A ．1B ．7C ．1-D 7【解析】由题知，3c若4m >，则2a m =，24b =，所以7m =，即7m =±；若4m <，则24a =，1b m ==，即1m =±. 故选：D【例1-3】【多选】已知椭圆222212:55,:11612+=+=x y C x y C ，则（ ） A ．12,C C 的焦点都在x 轴上 B ．12,C C 的焦距相等 C ．12,C C 没有公共点D ．2C 比1C 更接近圆【解析】对于A ，因为椭圆1C 的标准方程为2215y x +=，所以1C 的焦点在y 上，所以A 不正确；对于B ，因为椭圆1C 的焦距为2514-，椭圆2C 的焦距为216124-=，所以B 正确； 对于C ，作出椭圆12,C C 的图象，由图象可知，椭圆12,C C 没有公共点，所以C 正确；对于D ，因为椭圆1C 的离心率为125=e ，2C的离心率为22142==e ，所以12e e >，所以D正确. 故选：BCD.变式1：已知椭圆22194x y +=与椭圆()221494x y k k k +=<--，则下列结论正确的是（ ） A ．长轴长相等 B ．短轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等【解析】∵4k <，9k ∴->40k ->且9(4)94k k ---=-，∴椭圆22194x y +=与椭圆221(4)94x y k k k +=<--的关系是有相等的焦距． 故选：C ．考点二 利用几何性质求标准方程解题方略：利用椭圆的几何性质求标准方程的思路利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (1)确定焦点位置；(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b 2＝a 2－c 2，e ＝ca 等．注：（1）与椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为：12222=+++mb y m a x)(2b m ->（2）有相同离心率：k b y a x =+2222（0>k ，焦点在x 轴上）或k bxa y =+2222（0>k ，焦点在x 轴上）【例2-1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是10，离心率是45；(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 【解析】(1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知得2a ＝10，a ＝5. 又∵e ＝c a ＝45，∴c ＝4.∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.∴椭圆方程为x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1.(2)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．如图所示，△A 1FA 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，则c ＝b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝18， 故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.变式1：已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55， 且过P (－5,4)，则椭圆的方程为________________．【解析】∵e ＝c a ＝55，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15， ∴5a 2－5b 2＝a 2即4a 2＝5b 2.设椭圆的标准方程为x 2a 2＋5y 24a 2＝1(a >0)，∵椭圆过点P (－5,4)，∴25a 2＋5×164a 2＝1.解得a 2＝45.∴椭圆方程为x 245＋y 236＝1.答案：x 245＋y 236＝1变式2：若直线240x y ++=过椭圆()222210x y a b a b+=>>短轴端点和左顶点，则椭圆方程为（ ） A ．22142x y +=B ．221164x y += C ．221416x y +=D ．221129x y +=【解析】直线240x y ++=交x 轴于(4,0)-，交y 轴于(0,2)-，依题意，4,2a b ==， 所以椭圆方程为221164x y +=. 故选：B变式3：古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的中心为原点，焦点1F ，2F 均在y 轴上，椭圆C 的面积为23π，且短轴长为23C 的标准方程为（ ） A ．22112x y +=B ．22143x y +=C ．22134x y +=D ．221163x y +=【解析】因为椭圆C 的焦点在y 轴上，故可设其方程为22221y xa b+=，根据题意可得23ab ，223b =，故可得2,3a b ==， 故所求椭圆方程为：22134x y +=.故选：C.变式4：已知F (3,0)是椭圆的一个焦点，过F 且垂直x 轴的弦长为3（ ）A ．245x + 236y = 1B ．236x + 227y = 1C ．227x + 218y = 1D ．218x + 29y = 1【解析】依题意2222324333,32c ba b a a b c=⎧⎪⎪=⇒==⎨⎪=+⎪⎩所以椭圆方程为2212718x y +=.故选：C考点三 点与椭圆的位置关系解题方略：点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b2>1. （一）点和椭圆位置关系的判断【例3-1】点(1,1)与椭圆22132x y +=的位置关系为（ ）A ．在椭圆上B ．在椭圆内C ．在椭圆外D ．不能确定【解析】1151326+=<，可知点(1,1)在椭圆内．故选：B.（二）根据点和椭圆位置关系求参数【例3-2】点(),1A a 在椭圆22142x y +=的外部，则a 的取值范围是（ ）A ．(2,2B ．(),22,-∞-⋃+∞C ．()2,2-D ．()1,1-【解析】因为点(),1A a 在椭圆22142x y +=的外部，所以21142a +>,解得(2)(2)a ∈-∞+∞，，,故选：B.变式1：若点()1,A m 在椭圆22:142x y C +=的内部，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(6,6B ．66⎛ ⎝⎭C ．66,,2⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．33⎛ ⎝⎭【解析】221142m +<，所以66m ⎛∈ ⎝⎭，故选：B.（三）点和椭圆位置关系的应用【例3-3】若直线9mx ny +=和圆229x y +=没有公共点，则过点(),P m n 的直线与椭圆221109x y +=的交点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定【解析】因为直线9mx ny +=和圆229x y +=没有交点， 所以圆心()0,0到直线90mx ny +-=的距离2293d m n-=>+，可得：229m n +<，即点(,)m n 在圆229x y +=内，又因为圆229x y +=内切于椭圆221169x y +=，所以点(),m n 在椭圆221169x y +=内， 即过点(),m n 的直线与椭圆221169x y +=有两个交点.故选：C.变式1：已知椭圆2214x y +=经过点(),P m n ，则22m n +的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．(]0,4C ．[)4,+∞D ．[]1,4【解析】因为椭圆2214x y +=经过点(),P m n ，所以2214m n +=，所以2214m n =-，则2222231144m m m n m +=+-=+． 因为椭圆2214x y +=经过点(),P m n ，所以22m -≤≤，即204m ≤≤，故22m n +的取值范围是[]1,4． 故选：D ．考点四 求椭圆的离心率解题方略：求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca 求解．若已知a ，b 或b ，c 可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围． （一）求椭圆的离心率【例4-1】若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.32 C.34D.64【解析】如图，△BF 1F 2是正三角形，∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°， ∴cos 60°＝c a ＝12，即椭圆的离心率e ＝12，故选A.变式1：若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被点⎝⎛⎭⎫b 2，0分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为( )A.1617 B.41717C.45D.255【解析】依题意得c ＋b 2c －b 2＝53，∴c ＝2b ，∴a ＝b 2＋c 2＝5b ，∴e ＝c a ＝2b 5b ＝255.故选D.变式2：已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ，若AP ―→＝2PB ―→，则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.12【解析】如图，∵AP ―→＝2PB ―→，∴OA ＝2OF ，∴a ＝2c ，∴e ＝12.故选D变式3：已知椭圆E ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与直线y ＝b 相交于A ，B 两点，O 是坐标原点，如果△AOB 是等边三角形，那么椭圆E 的离心率等于( )A.36B.34C.33D.32【解析】不妨设点B 在第一象限，则B ⎝⎛⎭⎫bc a ，b ，由题意知OB 的倾斜角是60°，所以b bc a＝a c＝3，则椭圆的离心率e ＝c a ＝33.故选C.变式4：F 是椭圆的左焦点，A ，B 分别是其在x 轴正半轴和y 轴正半轴的顶点，P 是椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，OP ∥AB ，那么该椭圆的离心率为( )A.22B.24C.12D.32【解析】如图所示，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，P (－c ，m )．∵OP ∥AB ，∴△PFO ∽△BOA ， ∴c a ＝mb ，①又∵P (－c ，m )在椭圆上，∴c 2a 2＋m 2b 2＝1，②将①代入②得2c 2a 2＝1，即e 2＝12，∴e ＝22，故选A.变式5：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，2BF 的延长线交C 于Q ，1BQ FQ =，则C 的离心率e =（ ） A ．12B ．23C ．22D ．33【解析】由椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，可得：()()()120,,,0,,0B b F c F c -.如图示：1212,BF BF a OF OF c ====. 设2QF m =，则1FQ BQ a m ==+. 由椭圆的定义可得：122FQ F Q a +=，即2a m m a ++=，解得：12m a =. 所以在1BQF 中，1133,,22BF a BQ a FQ a ===，所以1111122cos 332BF aQBF BQ a ∠===. 在12BF F △中，1212,2BF BF a F F c ===，所以()222111cos cos 22cos 121b F BF OBF OBF a ⎛⎫∠=∠=∠-=- ⎪⎝⎭.所以21213b a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即223b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以22222113c b e a a ==-=，所以e =3e =3. 故选：D变式6：椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A 3B ．22C ．12D ．13【解析】设而不求 设()11,P x y ，则()11,Q x y - 则由14AP AQk k ⋅=得：21112211114AP AQ y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+， 由2211221x y a b +=，得()2221212b a x y a-=， 所以()2221222114b a x a x a -=-+，即2214b a =， 所以椭圆C的离心率2231c b e a a =- A.变式7：已知直线l ：)3y x c =+过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点F ，与椭圆在x 轴上方的交点为P ，Q 为线段PF 的中点，若OQ c =，则椭圆的离心率为（ ） A 31- B 31 C 2D ．12【解析】直线l ：过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点F ，设椭圆的右焦点为M ，所以60PFM ∠=︒，又O 是FM 的中点，Q 是PF 的中点，所以1||||2OQ PM =，又||OQ c =，所以||2PM c =，又||2FM c =，所以PFM △是等边三角形， 所以||2PF c =，又P 在椭圆上，所以||||222PM PF a c c +==+， 所以24a c =，所以离心率为12c e a ==， 故选：D ．（二）求椭圆的离心率的取值范围【例4-2】已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为________． 【解析】依题意可得2c ≥2b ，即c ≥b . 所以c 2≥b 2，从而c 2≥a 2－c 2， 即2c 2≥a 2，e 2＝c 2a 2≥12，所以e ≥22. 又因为0<e <1，所以椭圆离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫22，1.变式1：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点是A (a,0)，其上存在一点P ，使∠APO ＝90°，求椭圆离心率的取值范围．【解析】设P (x ，y )，由∵APO ＝90°知，点P 在以OA 为直径的圆上，圆的方程是⎝⎛⎭⎫x －a 22＋y 2＝⎝⎛⎭⎫a 22. ∵y 2＝ax －x 2.∵又P 点在椭圆上，故x 2a 2＋y 2b2＝1.∵把∵代入∵化简，得(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，即 (x －a )[(a 2－b 2)x －ab 2]＝0，∵x ≠a ，x ≠0， ∵x ＝ab 2a 2－b 2，又0<x <a ，∵0<ab 2a 2－b 2<a ，即2b 2<a 2. 由b 2＝a 2－c 2，得a 2<2c 2，∵e >22. 又∵0<e <1，∵22<e <1. 变式2：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，对于C 上的任意一点P ，圆222:O x y b +=上均存在点M ，N 使得60MPN ∠=︒，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．3⎛ ⎝⎦B ．3⎡⎢⎣C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】如上图，当P 位于右端点（做端点也相同），如果60MPN ︒∠≥，则对于C 上任意的点P ，在圆O 上总存在M ，N 点使得60MPN ︒∠= ，此时，130,sin 2b MPO MPO a ︒∠≥∠=≥ ，222332,,4c b a e e a ∴≥=≤≤ ； 故选：A.变式3：已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左､右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相交，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A ．6⎛ ⎝⎭B ．6⎫⎪⎪⎝⎭C ．2⎫⎪⎪⎝⎭D ．2⎛ ⎝⎭. 【解析】由题设，以线段12A A 为直径的圆为222x y a +=，与直线20bx ay ab -+=相交， 22a ab <+，可得222233()b ac a =-<，即223e >，又01e <<， 61e <<. 故选：B变式4：已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x ya b a b+=>>的左、右焦点，O 为坐标原点，点M是C 上点（不在坐标轴上），点N 是2OF 的中点，若MN 平分12F MF ∠，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】因为O 是12F F 的中点，N 是2OF 的中点，所以123NF NF =， 因为MN 平分12F MF ∠，所以12MF MF =123NF NF =，因为122MF MF a +=，所以132aMF =，22a MF =，由32a a c a c -<<+（或2a a c a c -<<+），得椭圆C 的离心率12c e a =>，又1e <，所以椭圆C 的离心率的取值范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭．故选：A ．（三）由椭圆的离心率求参数（范围）【例4-3】已知椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率e ＝12.求k 的值．【解析】分两种情况进行讨论．(1)当椭圆的焦点在x 轴上时，由a 2＝k ＋8，b 2＝9，得 c 2＝k －1.∵e ＝12，∴k －1k ＋8＝14，解得k ＝4.(2)当椭圆的焦点在y 轴上时， 由a 2＝9，b 2＝k ＋8，得c 2＝1－k . ∵e ＝12，∴1－k 9＝14.解得k ＝－54.综上可得，k ＝4或k ＝－54.变式1：已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为13，则a b =（ ）A ．98B 32C ．43D 32【解析】因为22213c a b e a a -=，则2289a b =，所以32a b = 故选：D变式2：设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈⎝⎛⎭⎫12，1，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0,3)B.⎝⎛⎭⎫3，163 C ．(0,3)∪⎝⎛⎭⎫163，＋∞D ．(0,2)【解析】当0＜k ＜4时，e ＝ca ＝4－k 2∈⎝⎛⎭⎫12，1，即12＜4－k 2＜1⇒1＜4－k ＜4，即0＜k ＜3； 当k ＞4时，e ＝c a ＝k －4k∈⎝⎛⎭⎫12，1，即12＜k －4k ＜1⇒14＜k －4k ＜1⇒14＜1－4k ＜1⇒0＜4k ＜34⇒k ＞163.综上，实数k 的取值范围为(0,3)∪⎝⎛⎭⎫163，＋∞. 故选C考点五 直线与椭圆的位置关系解题方略：判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离． 【例5-1】直线21y x =-与椭圆22194x y +=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定【解析】220111944+=<，()0,1∴-在椭圆内， 21y x =-恒过点()0,1-，∴直线21y x =-与椭圆22194x y +=相交.故选：A.变式1：若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，求m 的取值范围．【解析】∵直线y ＝kx ＋1过定点A (0,1)． 由题意知，点A 在椭圆x 25＋y 2m ＝1内或椭圆上，∴025＋12m ≤1，∴m ≥1. 又椭圆焦点在x 轴上∴m <5， 故m 的取值范围为[1,5).变式2：若直线2y kx =+与焦点在x 轴的椭圆()2221016x yb b+=>恒有两个公共点，则实数b的范围_____．【解析】直线2y kx =+恒过定点()0,2，要保证直线与椭圆有两个公共点，定点需在椭圆内，∴2041,216b b+<∴>，又∵椭圆的焦点在x 轴上，∴()2164,2,4b b b <⇒<∴∈． 故答案为：(2，4)﹒变式3：已知过圆锥曲线221x y m n +=上一点(),o o P x y 的切线方程为001x x y y m n+=.过椭圆221124x y +=上的点()3,1A -作椭圆的切线l ，则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（ ） A ．30x y --= B ．-20x y += C ．2330x y +-=D ．3100x y --=【解析】过椭圆221124x y +=上的点()3, 1A -的切线l 的方程为()31124y x -+=，即40x y --=，切线l 的斜率为1.与直线l 垂直的直线的斜率为-1，过A 点且与直线l 垂直的直线方程为()13y x +=--，即20x y +-=.故选：B考点六 弦长及中点弦问题解题方略：解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y22b 2＝1， ②由①－②，得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB＝－b 2x 0a 2y 0.（一）弦长问题【例6-1】已知斜率为1的直线l 过椭圆22143x y +=的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，则弦AB 的长为（ ） A ．207B ．227C ．247D ．267【解析】由椭圆知，224,3a b ==，所以21c =， 所以右焦点坐标为()1,0，则直线l 的方程为1y x =-， 设()()1122,,,A x y B x y ，联立221143y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得，27880x x --=，则121288,77x x x x +=⋅=-，所以()222121288241424777AB k x x x x ⎛⎫=++-⋅=+⨯ ⎪⎝⎭. 即弦AB 长为247. 故选：C.变式1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长是短轴长的2倍，左焦点、右顶点和下顶点分别为,,F A B ，坐标原点O 到直线AB 45FAB 的面积为（ ） A ．3B ．4C ．423+D ．43-【解析】设(),0F c -，由题意可知()(),0,0,A a B b -，其中2a b =， 所以AB 的方程为1x ya b+=-，即220x y b --= 所以原点O 到直线AB 2455b -=，所以2b =，即4a =，2223c a b -； 所以直线AB 的方程为240x y --=， 所以()23,0F -到直线AB 23442355--+=；又()()220025AB a b =-++所以FAB 的面积为42342351252+⨯+= 故选：C.变式2：已知直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M ，N 两点，且|MN |＝423，求k 的值．【解析】设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 并化简得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0， 所以x 1＋x 2＝－4k1＋2k 2，x 1x 2＝0. 由|MN |＝423，得(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329， 所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329，所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329，即(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋2k 22＝329.化简得k 4＋k 2－2＝0，所以k 2＝1，所以k ＝±1.变式3：过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为________．【解析】过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a ＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c ＝1，将x ＝1代入x 24＋y 23＝1，得124＋y 23＝1，解得y 2＝94，即y ＝±32，所以最短弦的长为2×32＝3. 答案：4,3（二）中点弦问题【例6-2】若直线l 与椭圆22162x y +=交于点A 、B ,线段AB 的中点为(1,1)P ,则直线l 的方程为( )A ．340x y +-=B ．320x y -+=C ．320x y --=D ．340x y +-=【解析】设()()1122,,,A x y B x y .则222211221,16262x y x y +=+= 两式相减得()()()()12121212062x x x x y y y y +-+-+=即1212121211062y y y y x x x x +-+⋅⋅=+- 因为,线段AB 的中点为(1,1)P ,所以12122,2y y x x +=+= 所以121213ABy y k x x 所以直线l 的方程为()1113y x -=--,即340x y +-= 故选: A变式1：若过椭圆22142x y +=内一点11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（ ）A ．102x y --= B ．302x y +-=C ．3202x y --= D ．20x y -=【解析】设弦AB 被P 点平分，弦的两个端点,为1111(,),(,)A x y B x y ，则2211142x y +=，2222142x y += ， 两式作差变形可得22221212042x x y y --+= ,即121212122()4()y y x x x x y y -+=--+ ， 而12122,1x x y y +=+= ， 故12121y y x x -=--，即弦AB 的斜率为-1， 所以弦AB 的方程为1(1)2y x -=-- ，即302x y +-= ， 故选：B.变式2：已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>3l 与椭圆C 交于A ，B 两点且线段AB 的中点为()3,2M ，则直线l 的斜率为________. 【解析】由题意可得2231c b e a a ==-6a =，设()()1122,,,A x y B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b +=+=，两式相减可得()()()()12121212220x x x x y a b -+-+=，AB 的中点为(3,2)M ，12126,4x x y y +=+=∴，则直线斜率212122*********y y x x b k x x a y y -+==-⋅=-⨯=--+. 故答案为：1-.变式3：直线AB 过椭圆22142x y +=内一点()1,P n ，若点P 为弦AB 的中点，设1k 为直线AB 的斜率，2k 为直线OP 的斜率，则12k k ⋅的值为（ ） A ．12-B ．3C ．12D ．2【解析】设点()11,A x y 与()22,B x y ， 则1212x x +=，122y y n +=，所以12112y y k x x -=-，121212122212y y y y nx x k x x ++===++，又点A 与B 在椭圆上，所以2211142x y +=，2222142x y +=， 作差可得22221212042--+=x x y y ， 即()2222121212y y x x -=--， 所以()()()()22121212122212121212y y y y y y k k x x y y x x -+-⋅===----， 故选：A.考点七 求椭圆的参数或范围问题【例7-1】已知椭圆22143x y +=上存在关于直线2y x m =+对称的点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,43⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,34⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】设椭圆上关于直线2y x m =+的对称的两点分别为()()1122,,,C x y D x y ， CD 的中点为()00,G x y ，直线CD 的方程为12y x n =-+， 联立直线CD 与椭圆的方程，得2214312x y y x n ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消元可得2230x nx n -+-=， ()222431230n n n ∴∆=--=->， 12x x n +=，24n ∴<，02n x =， 001324y x n n ∴=-+=，3,24n G n ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又点G 在直线2y x m =+上，3242nn m ∴=⨯+，4n m ∴=-，()244m ∴-<，解得1122m -<<，所以实数m 的取值范围为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：C变式1：已知点P 是椭圆2214x y +=上的一点，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，则当12F PF ∠为钝角时，点P 的横坐标可以为______．【解析】设00(,)P x y ，由题意可知120PF PF ⋅<，即((22212000003330⋅=⋅+=+-<PF PF x x y x y ．因为点P 在椭圆上，所以22014x y =-，所以22001304x x ⎛⎫+--< ⎪⎝⎭，解得02626x <<0x 可以取1（只要在262633⎛- ⎝⎭内即可）． 故答案为：1（答案不唯一）．变式2：已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若C 上存在无数个点P ，满足：12π2F PF ∠>，则ba的取值范围为（ ） A ．3⎛ ⎝⎭B ．3⎫⎪⎪⎝⎭C ．2⎫⎪⎪⎝⎭D ．2⎛ ⎝⎭【解析】设椭圆的半焦距为c ，因为C 上存在无数个点P 满足：12π2F PF ∠>， 所以以12F F 为直径的圆与椭圆有4个交点， 所以c b >，所以222a b b ->，所以20b a < 故选：D变式3：椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为1A ，2A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[3-，1]-，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ） A ．1[4，3]4B ．1[2，3]4C ．1[2，1]D ．3[4，1]【解析】由题意得：由椭圆22:143x y C +=可知其左顶点1(2,0)A -，右顶点2(2,0)A ．设0(P x ，00)(2)y x ≠±，则得2020344y x =--． 记直线1PA 的斜率为1k ，直线2PA 的斜率为2k ，则201220344y k k x ==-- 直线2PA 斜率的取值范围是[3-，1]-， ∴直线1PA 斜率的取值范围是1[4，3]4故选：A考点八 求椭圆的最值问题解题方略：求与椭圆有关的最值、范围问题的方法(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围．【例8-1】椭圆22143x y +=上的点P 到直线l ：30x y ++=的距离的最小值为（ ） A 37-B 37+ C 3214- D 3214+ 【解析】由222cos 1433x x y y θθ=⎧⎪+=⇒⎨=⎪⎩，设(2cos 3)P θθ， 设点P 到直线l ：30x y ++=的距离d ， 所以有222cos 3sin 37sin()37sin()32211d θθθϕθϕ++++++===+其中23tan (0,))2πϕϕ=∈， 所以当2()2k k Z πθϕπ+=-∈时，d 3732142--=，故选：C变式1：已知动点(,)P x y 在椭圆22198x y 上，若A 点坐标为()1,0，1AM =，且0PM AM ⋅=，则PM 的最小值为（ ） A ．3B 2C ．2D 3【解析】因为0PM AM ⋅=，所以PM AM ⊥，即PAM △为直角三角形，即21PM AP =-，要使得PM 最小，则2AP 最小，[]22222281||(1)21829,3,399x PA x y x x x x x =-+=-++-=-+∈-，则2AP 的最小值为21323949⨯-⨯+=，即PM 的最小值为413- 故选：D变式2：已知F 为椭圆:C 2214x y +=的右焦点，,P Q 为椭圆C 上两个动点，且满足FP FQ ⊥，则FP QP ⋅的最小值为（ ） A 3B ．2C ．73-D ．23【解析】由题意得，由FP FQ ⊥,得0FP FQ ⋅=， 则222()EP QP FP FP FQ FP FP FQ FP FP ⋅=⋅-=-⋅==, 设(,)P x y (22x -≤≤)，由(3,0)F ，得(3,)FP x y =， 则2222221(3)(3)(1)(34)44x FP x y x x =+=+-=-，又22x -≤≤，由二次函数的性质可知，22min 1()(324)7434FP =-=-所以EP QP ⋅的最小值为73- 故选：C.考点九 椭圆的定点、定值问题【例9-1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b +=>>经过点(21)A ， ，离心率为2，过点(30)B ，的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线AM 和直线AN 的斜率分别为AM k 和AN k ，求证：AM AN k k +为定值 【解析】（1）由题意椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(21)A ， 2，可得222224112a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得6,3a b =，故椭圆C 的方程为22163x y +=（2）由题意可知直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为(3)y k x =-， 由22(3)163y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得2222(12)121860k x k x k +-+-=，由于直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，则42221444(12)(186)24(1)0k k k k ∆=-+-=->，解得11k -<<， 设1122(,),(,)M x y N x y ,则2212122212186,1212k k x x x x k k -+==++， 11(3)y k x =-22(3)y k x =-， 故121221121211(31)(2)(31)(2)22(2)(2)AM AN y y kx k x kx k k x k x x x x -----+---+=+=---- 121212122(51)()1242()4kx x k x x k x x x x -++++=-++2222222(186)(51)12(124)(12)186244(12)k k k k k k k k k --+⋅+++=--++2244222k k -+==--， 即AM AN k k +为定值.变式1：已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左焦点为()11,0F -，上、下顶点分别为A ，B ，190AF B ∠=︒．(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆上有三点P ，Q ，M 满足OM OP OQ =+，证明：四边形OPMQ 的面积为定值． 【解析】（1）依题意1c =，又190AF B ∠=︒，所以1b c ==， 所以222a b c +， 所以椭圆方程为2212x y +=.（2）证明：设(),M x y ，()11,P x y ，()22,Q x y ，因为OM OP OQ =+，所以四边形OPMQ 为平行四边形，且1212x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，所以()()22121212x x y y +++=，即2212112122221222x x y y x x y y ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎭+ ⎝⎝+⎭=⎪， 又221112x y +=，222212x y +=，所以121212x x y y +=-， 若直线PQ 的斜率不存在，M 与左顶点或右顶点重合， 则2P Q x x ==3P Q y y ==所以16222OPMQ P P S x y =⨯⨯=若直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y kx t =+，代入椭圆方程整理得()222124220k xktx t +++-=，所以()228210k t ∆=+->，122412kt x x k -+=+，21222212t x x k -=+，所以()()()2212121212=++=+++y y kx t kx t k x x kt x x t222222241212t kt k kt t k k --⎛⎫=⋅+⋅+ ⎪++⎝⎭所以()22222224212211212t kt k kt t k k --⎛⎫+⋅+⋅+=- ⎪++⎝⎭， 整理得22412t k =+，又()22221281211k t PQ k x k +-=+-=+又原点O 到PQ 的距离21t d k =+所以2212122POQk t t SPQ d +-⋅==， 将22412t k =+代入得22362POQt t S ⋅==所以62PO OP Q QM SS == 综上可得，四边形OPMQ 6 变式2：已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点是M （2，0），离心率为12．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)过点T （4，0）作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，点B 关于x 轴的对称点为D ，问直线AD 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【解析】（1）由右顶点是M （2，0），得a ＝2，又离心率12c e a==，所以1c =， 所以2223b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，显然直线l 的斜率存在．直线l 的方程为()4y k x =-，联立方程组()224,3412y k x x y ⎧=-⎨+=⎩ 消去y 得()2222433264120k x k x k +-+-=，由0∆>，得1122k -<<，所以21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+．因为点()22,D x y -，所以直线AD 的方程为()()1211124y y y x x k x x x +=-+--． 又()12128y y k x x +=+-， 所以直线AD 的方程可化为()()()()()1121212121218424kx x x k x x x ky x x x x +---=++--， 即()()()()()()()2222121212424241434343k k ky x x x x k x x k x x k =-=--+-+-+， 所以直线AD 恒过点（1，0）．（方法二）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为4x my =+，联立方程组224,3412x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得()223424360m y my +++=， 由0∆>，得2m >或2m <-，所以1222434m y y m +=-+，1223634y y m =+． 因为点()22,D x y -，则直线AD 的方程为()121112y y y x x y x x +=-+-． 又()12121244x x my my m y y -=+--=-， 所以直线AD 的方程可化为。
椭圆的几何性质优秀课件公开课
3
切线、法线与椭圆关系
切线、法线都与椭圆在切点处有且仅有一个公共 点。
应用举例：求解相关问题
求给定点的切线方程
给定椭圆上一点，求该点的切线方程。
求给定斜率的切线方程
给定椭圆的方程和切线的斜率，求切线的 方程。
求椭圆与直线的交点
利用切线、法线解决最值问题
给定椭圆和直线的方程，求它们的交点坐 标。
加空间的变化和美感。
椭圆在物理学中的应用
天体运动轨道
椭圆是描述天体运动轨道的重要几何形状之一， 如行星绕太阳的轨道就是椭圆形的。
光学性质
椭圆的光学性质也被广泛应用于物理学中，如椭 圆形的透镜、反射镜等。
电磁学
在电磁学中，椭圆也被用于描述电场和磁场的分 布。
椭圆在工程学中的应用
机械工程
01
椭圆在机械工程中应用广泛，如椭圆形的齿轮、轴承等机械零
工程学
在工程学中，椭圆也经常被用来描述一些物体的形状或运动轨迹。例如，一些机械零件的 截面形状就是椭圆形的；在航空航天领域，飞行器的轨道也可能是椭圆形的。
数学及其他领域
在数学领域，椭圆作为一种重要的几何图形，经常被用来研究一些数学问题。此外，在物 理学、经济学等其他领域，椭圆也有着广泛的应用。
02
从椭圆外一点向椭圆引切线，切线长 相等。这个定理在解决与椭圆切线有 关的问题时非常有用。
03
椭圆上点与焦点关系
点到两焦点距离之和为定值
椭圆上任意一点到两 个焦点的距离之和等 于椭圆的长轴长。
通过该性质，可以推 导出椭圆的其他几何 性质。
这是椭圆定义的基础 ，也是椭圆最基本的 几何性质之一。
点到两焦点距离差与长轴关系
椭圆的几何性质(新课教师版)
讲义 椭圆的几何性质1、几何性质 画出12222=+by a x （0>>b a ）草图（1）范围 y x ,取值范围的推导及结论a x a ≤≤- b y b ≤≤-结论：由椭圆方程中y x ,的范围得到椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里。
（2）对称性 分别用),(y x -、),(y x -、),(y x --来代换方程中的),(y x ，方程不变，说明椭圆曲线关于x 轴、y 轴轴对称，关于原点中心对称。
（3）顶点坐标 在椭圆的标准方程中，令0=x ，得b y ±=，0=y ，得a x ±=得四个顶点相关概念：长轴和短轴分别等于b a 2,2，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长, （4）焦点与焦距 )0,(),0,(21c F c F - ，c 2表示焦距，顶点与焦点一共六个特殊点 （5）222b c a =-的具体意义 （6）离心率椭圆焦距与长轴长之比 a c e =⇒2)(1abe -= 范围：10<<e 椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例离心率决定椭圆的扁圆程度：e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。
例题与变式例1、 求椭圆400251622=+y x 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并画出草图． 例2、已知椭圆的一个焦点将长轴分为3:2两段，求其离心率2、椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率K 2F 2F 1N 1K 1N 2PB 2B 1A 2A 1xOyK 2F 2F 1N 1K 1N 2PB 2B 1A 2A 1xOy3、椭圆的准线方程 两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称方程为:焦点在x 轴上 c a x l 2:+=焦点在y 轴上 ca y l 2:+=第二定义的理解：椭圆上的点到焦点的距离和它到相应准线的距离的比是一个)1,0(内常数e 4、椭圆的焦半径公式：椭圆上的点到焦点的距离。
椭圆专题讲义
椭圆专题讲义一、知识梳理1．椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系a2＝b2＋c2注意：点P(x00(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2<1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1.(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2>1.二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) (5)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．( ) (6)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．( ) 题组二：教材改编2．椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．8C ．4或8D ．123．过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )A.x 215＋y 210＝1 B.x 225＋y 220＝1 C.x 210＋y 215＝1 D.x 220＋y 215＝1 4．已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为__________________． 题组三：易错自纠5．若方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则m 的取值范围是( )A ．(－3,5)B ．(－5,3)C ．(－3,1)∪(1,5)D ．(－5,1)∪(1,3)6．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 三、典型例题：椭圆及其性质题型一：椭圆的定义及应用1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆2．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．223．椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|等于( )A.72B.32C. 3 D ．4 4．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点，则|P A |＋|PF |的最大值为________，最小值为________． 思维升华：椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 题型二：椭圆的标准方程命题点1：利用定义法求椭圆的标准方程典例 (1)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 (2)在△ABC 中，A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.y 216＋x 29＝1(y ≠0) 命题点2：利用待定系数法求椭圆方程典例 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)25,23( ，(3，5)，则椭圆方程为________．(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________．思维升华：(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a >|F 1F 2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式．跟踪训练：设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为______________． 题型三：椭圆的几何性质典例 (1)P 为椭圆x 216＋y 215＝1上任意一点，EF 为圆N ：(x －1)2＋y 2＝4的任意一条直径，则PE →·PF →的取值范围是( ) A ．[0,15] B ．[5,15] C ．[5,21]D ．(5,21)(2)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为椭圆C 的左，右顶点．P为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34 思维升华：(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ①注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系． ②利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系． (2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围．跟踪训练 (1)已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________．(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >c >0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT |的最小值不小于32(a －c )，则椭圆的离心率e 的取值范围是__________．四、反馈练习1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．52．曲线C 1：x 225＋y 29＝1与曲线C 2：x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等3．已知圆(x －1)2＋(y －1)2＝2经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F 和上顶点B ，则椭圆C 的离心率为( )A.12B. 2 C ．2 D.224．设F 1，F 2分别为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，且|PF 1→＋PF 2→|＝23，则∠F 1PF 2等于( )A.π6B.π4C.π3D.π25．设椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且满足PF 1→·PF 2→＝9，则|PF 1|·|PF 2|的值为( ) A ．8 B ．10 C ．12D ．156．2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 1<c 2a 2；④c 1a 2>a 1c 2.其中正确式子的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 7．焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________________．8．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点在x 轴上，过点(2,1)作圆x 2＋y 2＝4的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________________．9．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B ，C ，D 四点，若椭圆C 1的一个焦点F (－2，0)，且四边形ABCD 的面积为163，则椭圆C 1的离心率e 为________．10．设P ，Q 分别是圆x 2＋(y －1)2＝3和椭圆x 24＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是________．11．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)． (1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积． 12．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
8．1 椭圆方程及性质一、明确复习目标1．掌握椭圆的定义、标准方程，了解椭圆的参数方程2．掌握椭圆的简单几何性质;掌握a ,b ,c ,e 等参数的几何意义及关系．二．建构知识网络1． 椭圆的两种定义：(1)平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()212F F a >的点的轨迹，即点集M ={P | |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。
其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。
(2)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M ={P |e d PF=，0＜e ＜1的常数}。
（1=e 为抛物线；1>e 为双曲线）2． 标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。
其中22b a c -=（一个∆Rt ）《（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。
其中22b a c -=（3）两种标准方程可用统一形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B 当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上），这种形式用起来更方便。
3．性质：对于椭圆：12222=+by a x （a ＞b ＞0）如下性质必须熟练掌握：①范围; ②对称轴,对称中心; ③顶点; ④焦点; ⑤准线方程; ⑥离心率; (参见课本)此外还有如下常用性质：⑦焦半径公式： |PF 1|=左r =a +ex 0，|PF 2|=右r =a-ex 0；(由第二定义推得)c a PF c a PF -=+=min max ,⑧焦准距c b p 2=；准线间距c a 22=;通径长22b a⨯;⑨最大角()12122max F PF F B F ∠=∠{证:设|PF 1|=r 1,|PF 2|=r 2,则222221212121212221222124()24cos 222211,"",.()2r r c r r r r c P r r r r b b r r r r a +-+--==≤-=-==+时取角最大对于椭圆：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）的性质可类似的给出（请课后完成）。
4．椭圆方程中的a ,b ,c ,e 与坐标系无关,是椭圆本身所固有的,决定椭圆形状的参数,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐标系有关．5．对椭圆方程22221x y a b+=作三角换元即得椭圆的参数方程：⎩⎨⎧θ=θ=sin cos b y a x ；注意θ不是∠xOP (x ,y )． 6．有关圆锥曲线弦的中点和斜率问题可利用“点差法”及结论：设椭圆：12222=+by a x 上弦AB 的中点为M (x 0,y 0),则斜率k AB =22b x a y -, 对椭圆：12222=+b x a y , 则k AB =2020a xb y -．…三、双基题目练练手1．（2006全国Ⅱ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 ( )A ．B ．6C ．D ．122．(2005广东) 若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则m =（ ） A ．3B ．23C ．38D ．323． (2006山东)在给定椭圆中，，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心离为 ( )AB ．2C ．12D ．44．设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，以F 2为圆心作圆F 2，已知圆F 2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M 点，若直线MF 1恰与圆F 2相切，则该椭圆的离心率e 为 ( )A ． 3－1B ．2－3C ．22 D ．23 5．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则这个椭圆方程为__________________．6．(2006四川15)如图把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1P ,2P ,……7P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则127......PF P F P F +++=____________． …简答提示：1-4．CBBA ；4．易知圆F 2的半径为c ，（2a －c ）2+c 2=4c 2，（a c ）2+2（a c ）－2=0，ac=3－1． 5． 122x +92y =1或92x +122y =1；6．根据椭圆的对称性知，11711112||||||||2PF P F PF PF a +=+=，同理其余两对的和也是2a ，又41||P F a =，∴ 1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=7a =35四、经典例题做一做【例1】若椭圆ax 2+by 2=1与直线x +y =1交于A 、B 两点，M 为AB 的中点，直线OM （O 为原点）的斜率为22，且OA ⊥OB ，求椭圆的方程． 分析：欲求椭圆方程，需求a 、b ，为此需要得到关于a 、b 的两个方程，由OM 的斜率为22．OA ⊥OB ，易得a 、b 的两个方程． —解法1：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0）．x +y =1， ax 2+by 2=1，∴x 0=221x x +=b a b +，y 0=221y y +=1－221x x +=b a a+． ∴M （b a b +，b a a+）．∵k OM =22，∴b =2a ． ①由 ∴（a +b ）x 2－2bx +b －1=0.∵OA ⊥OB ，∴11x y ·22x y=－1． ∴x 1x 2+y 1y 2=0．$∵x 1x 2=ba b +-1，y 1y 2=（1－x 1）（1－x 2），∴y 1y 2=1－（x 1+x 2）+x 1x 2=1－b a b +2+b a b +-1=b a a +-1．∴b a b +-1+ba a +-1=0． ∴a +b =2．②由①②得a =2（2－1），b =22（2－1）． ∴所求方程为2（2－1）x 2+22（2－1）y 2=1． 法2：(点差法)由ax 1+by 1=1, ax 2+by 2=1相减得12121212y y a x x x x b y y -+=--+,即001a x b b y -=-==…下同法1． 提炼方法：1．设而不求，即设出A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），借助韦达定理推出b =2a ．．再由OA ⊥OB 得x 1x 2+y 1y 2=0,转换出a ,b 的又一关系式,2．点差法得b =2a ．…%【例2】(2005湖南) 已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e ． 直线,l ：y ＝ex ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设AM ＝λ．（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2； （Ⅱ）若43=λ，△MF 1F 2的周长为6；写出椭圆C 的方程；（理科无此问） （Ⅲ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形．（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c a b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由．所以点M 的坐标是（a b c 2,-）． 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得．证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a e a-设M 的坐标是),,(),(),,(0000a eay e a x AB AM y x λλ=+=得由所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y ea x λλ 因为点M 在椭圆上，所以 ,1220220=+b y a x 即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-ee b a a e aλλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e 解得.1122e e -=-=λλ即)（Ⅱ）当43=λ时，21=c ，所以.2c a = 由△MF 1F 2的周长为6，得.622=+c a 所以.3,1,2222=-===c a b c a 椭圆方程为.13422=+y x （Ⅲ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e e e =+- 所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形． 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，设点P 的坐标是),(00y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+-.1)1(2,13.220102202200000e a e y c e e x a c x e y e cx y 解得 由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e @于是32112=-=e λ． 即当32=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形．【例3】(2005春上海)（1）求右焦点坐标是)0,2(，且经过点)2,2(--的椭圆的标准方程；（2）已知椭圆C 的方程是12222=+by a x )0(>>b a ． 设斜率为k 的直线l ，交椭圆C于A B 、两点，AB 的中点为M ． 证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上；（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心．解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x ，0>>b a ，∴ 422+=b a ，即椭圆的方程为142222=++b y b x ， ∵ 点（2,2--）在椭圆上，∴ 124422=++b b ， 解得 42=b 或22-=b （舍），由此得82=a ，即椭圆的标准方程为14822=+y x ．!（2）设直线l 的方程为m kx y +=， 与椭圆C 的交点A (11,y x )、B (22,y x )，则有⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222b y a x mkx y ，解得 02)(222222222=-+++b a m a kmx a x k a b ，∵ 0>∆，∴ 2222k a b m +<，即 222222k a b m k a b +<<+-．则 222221212222212,2k a b mb m kx m kx y y k a b kma x x +=+++=++-=+，∴ AB 中点M 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-22222222,k a b m b k a b kma ．∴ 线段AB 的中点M 在过原点的直线 022=+y k a x b 上．（3）如图，作两条平行直线分别交椭圆于A 、B 和D C 、，并分别取AB 、CD的中点N M 、，连接直线MN ；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于1A 、1B 和11D C 、，并分别取11B A 、11D C 的中点11N M 、，连接直线11N M ，那么直线MN 和11N M 的交点O 即为椭圆中心．【例4】 （2006江西）如图,椭圆2222:1(0)x y Q a b a b+=>>的右焦点为(,0)F c ,过点F 的一动直线m 绕点F 转动,并且交椭圆于A 、B 两点, P 为线段AB 的中点．(1) 求点P 的轨迹H 的方程;(2) 若在Q 的方程中,令221cos sin ,sin (0).2a b πθθθθ=++=≤<确定θ的值,使原点距椭圆Q 的右准线l 最远．此时设l 与x 轴交点为D ,当直线m 绕点F 转动到什么位置时,三角形ABD 的面积最大解：如图(1)设椭圆2222:1x y Q a b+=上的点1,1()A x y 、2,2()B x y ,又设P 点坐标为(,)P x y ，则2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎪⎨+=⎪⎩………………① 1︒ 当AB 不垂直x 轴时，12,x x ≠#由①—②得M、OA 1 M 1 N 1D 1 C 1NB D B 1—C………………②22121221221222222()2()20,,0,(*)b x x x a y y y y y b x y x x a y xc b x a y b cx -+-=-∴=-=--∴+-=2︒当 AB 垂直于x 轴时，点P 即为点F ，满足方程（*）． 故所求点P 的轨迹H 的方程为： 222220b x a y b cx +-=．(2)因为,椭圆Q 右准线l 方程是2a x c =,原点距椭圆Q 的右准线l 的距离为2a c ,222222,1cos sin ,sin (0).22sin().24c a b a b a c πθθθθθπ=-=++=≤==+由于则<2πθ=当时,上式达到最大值,所以当2πθ=时,原点距椭圆Q 的右准线l 最远．此时222,1,1,(2,0),1a b c D DF ====．设椭圆 22:121x y Q +=上的点1,1()A x y 、2,2()B x y , △ABD 的面积1212111.222S y y y y =+=- 设直线m 的方程为1x ky =+,代入22121x y +=中,得22(2)210.k y ky ++-= …由韦达定理得12122221,,22k y y y y k k+=-=-++()()222212121222814()()4,2k S y y y y y y k +=-=+-=+ 令211t k =+≥,得28424tS t≤=,当1,0t k ==取等号． 因此,当直线m 绕点F 转动到垂直x 轴位置时, 三角形ABD 的面积最大．特别提醒:注意这种直线方程的设法,适用于 “含斜率不存在,而无斜率为零的情况”.【研讨．欣赏】（1）已知点P 的坐标是(-1,-3)，F 是椭圆1121622=+y x 的右焦点,点Q 在椭圆上移动，当PQ QF 21+取最小值时，求点Q 的坐标，并求出其最小值。