与中点有关的引辅助线方法
数学中构造辅助线的方法
数学中构造辅助线的方法
在数学中，构造辅助线是一种常用的解题方法，可以帮助我们更好地理解和解决各种几何问题。
以下是一些常用的构造辅助线的方法：
1.中点、中线段、延长线：如果条件中给出了中点或中线段，可以通过构造延长线来构造辅助线。
例如，过中点作已知线段或直线的平行线，或者过中点作已知线段的垂直平分线等。
2.角平分线、垂直、中线：如果条件中给出了角平分线、垂直或中线，可以通过构造相应的辅助线。
例如，过角平分线上的点作角平分线的垂线，或者过中点作已知直线的垂直平分线等。
3.直角三角形斜边上的中点：如果条件中给出了直角三角形斜边上的中点，可以通过构造辅助线将直角三角形转化为等腰三角形。
例如，过斜边中点作直角边的平行线，或者过斜边中点作斜边的垂线等。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线：如果条件中给出了等腰三角形底边上的垂直平分线，可以通过构造辅助线将等腰三角形转化为直角三角形。
例如，过垂直平分线上的点作底边的平行线，或者过垂直平分线上的点作顶角的角平分线等。
5.等边三角形的高、角平分线、中线：如果条件中给出了等边三角形的高、角平分线或中线，可以通过构造辅助线将等边三角形转化为直角三角形。
例如，过高上的点作底的垂直平分线，或者过角平分线上的点作底边的平行线等。
这些方法都是一些常见的构造辅助线的技巧，对于不同的几何问题，需要灵活运用不同的方法来构造辅助线和解决问题。
初中数学三角形中14种辅助线添加方法
初中数学三角形中14种辅助线添加方法在三角形中，常用的辅助线有中线、高线、中垂线、角平分线等。
下面是三角形中14种辅助线添加方法：1. 三角形中线的添加方法：在三角形的每个顶点上作一条连接对边中点的线段，则这些线段交于一点，且该点到三角形各顶点的距离相等，即为三角形的重心。
2. 三角形中垂线的添加方法：从三角形的顶点向所对边作垂线，垂足分别为A、B、C，则三个垂足所在直线相交于一点，为三角形的垂心。
3. 三角形高线的添加方法：从三角形的顶点向所对边作垂线，垂线所在直线与所对边的交点称为底部端点，连接三个底部端点，则构成一个矩形，其中两个对角线分别为三角形的两个高。
4. 角平分线的添加方法：从角的顶点向其对边作角平分线，将角平分为两个相等的角，且角平分线上的任意一点到两侧边的距离相等。
5. 外接圆的添加方法：三角形三边的中垂线交于一点，则以该点为圆心，三角形三个顶点分别为圆上的三个点的圆称为三角形的外接圆。
6. 内切圆的添加方法：三角形三条边所在直线的交点为内心，以内心为圆心，作内切圆，该圆与三角形的三边相切。
7. 垂直平分线的添加方法：从线段的中点向垂直于该线段的方向作一条线段，则该线段垂直于原线段且平分其长度。
8. 外角平分线的添加方法：从三角形的一顶点作一条射线，使其不在所在直线内，将相邻两个角的外部划分成两个大小相等的角，则这条射线为该顶点所对的角的外角平分线。
9. 旁切圆的添加方法：以三角形的某一边为半径，在其外侧作一条与该边平行的直线，使其与另外两边所在直线相交，其交点则为旁切圆心。
10. 中位线的添加方法：连接三角形任意两个顶点，则连接这两个顶点的中点的线段称为三角形的中位线，三角形三条中位线交于一点，即为三角形重心。
11. 等腰三角形的中线、高线和垂心重合。
12. 等边三角形的中线、高线、垂心和外心重合。
13. 直角三角形的垂心落在斜边上，且斜边上的高线与斜边垂直。
14. 任意三角形的外心到三个顶点的距离相等。
中点常用的辅助线做法
认真体会， 融会贯通， 灵活运用
练习：
四边形ABCD的对角线AC=BD，M、N 分别是AD、BC的中点，MN与AC、BD 交于F、G，AC、BD交于E，求证：
EF=EG C
D E N
M
F
G
A
P
B
EF= 2 BE
B
AD = BE
E D FC
三、已知中线，常倍长中线
例3. 如图，△ABC中，AD是BC边
上的中线，E是AD上的一点，BE的 A 延长线交AC于F，且AF＝EF。
求证：BE＝AC
F E
AC = BH BE = BH AC = BE
B
C
D
H
四、条件中含有等腰三角形底边上的
中点时，常作出底边的中线，利用三
例1. 已知：如图，△ABC中，
BD和CE是高，M为BC的中点，
P为DE的中点。
求证：PM⊥DE。
E
1 ME=MD= 2 BC
PM⊥DE
B
A
P
D
M
C
二、已知三角形一边的中点，构造三 角形中位线
例2. 已知：如图，△ABC中，AD
A
是高，BE是中线，且∠EBC＝30°。求证：AΒιβλιοθήκη ＝BEEF= 1 AD 21
中点常用的辅助线作法
初中 数学
泰安市岱岳区徂徕一中 梁孝斌
常用方法有四种：
一、已知直角三角形斜边上的中点时，常作斜 边上的中线
二、已知三角形一边的中点，构造三角形中位 线 三、已知中线，常倍长中线
四、条件中含有等腰三角形底边上的中点时， 常作出底边的中线，利用三线合一
一、已知直角三角形斜边上的中点时， 常作斜边上的中线
与中点有关的引辅助线方法
与中点有关的辅助线作法一、有中线时可倍长中线，构造全等三角形或平行四边形．例1．已知：如图，AD 为ABC ∆中线，求证：AD AC AB 2>+.类题1．已知：如图，AD 为ABC ∆的中线，AE=EF.求证：BF=AC.二、有以线段中点为端点的线段时，常加倍此线段，构造全等三角形或平行四边形.例2．已知：如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，M 为AB 中点，P 、Q 分别在AC 、BC 上，且QM PM ⊥于M.求证：222BQ AP PQ +=.CCM类题2．已知：ABC ∆的边BC 的中点为N ，过A 的任一直线BD AD ⊥于D ，AD CE ⊥于E.求证：NE=ND.三、有中点时，可连结中位线．例3．如图，ABC ∆中，D 、E 分别为AB 、AC 上点，且BD=CE ，M 、N 为BE 、CD 中点，连MN 交AB 、AC 于P 、Q ，求证：AP=AQ ．类题3．已知：如图，E 、F 分别为四边形ABCD 的对角线中点，AB>CD.求证：()CD AB EF ->21.A D PB CQ E M N A D F E B C类题4．如图，ABC ∆中，AD 是高，CE 为中线，CE DG ⊥，G 为垂足，DC=BE.求证：（1）G 是CE 的中点；（2）BCE B ∠=∠2.四、有底边中点，连中线，利用等腰三角形“三线合一”性质证题例4．已知：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90BAC ，AB=AC ，D 为BC 边中点，P 为BC 上一点，AB PF ⊥于F ，AC PE ⊥于E.求证：DF=DE.类题5．已知：如图，矩形ABCD ，E 为CB 延长线上一点，且AC=CE ，F 为AE 中点，求证：FD BF ⊥.六、与梯形中点有关的辅助线：有腰中点时，常见以下三种引辅助线法例5．已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC AB ⊥，M 为CD 的中点.求证：AM=MB.类题6．已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 为BC 中点，AD EF ⊥于F.求证：AD EF S ABCD ⋅=梯形.F （1）B （2）G B（3）【作业】1、 已知△ABC 和△DBE 为等腰直角三角形，∠ABC =∠DBE=90°，A 、B 、D 在同一直线上，M 、N 、P分别是AD 、AC 、DE 边上的中点，试说明MP 与MN 的关系并证明。
十大辅助线口诀
十大辅助线口诀在进行几何作图时，辅助线的作用是不可忽视的。
正确使用辅助线可以大大提高作图效率，减少错误率，更加准确地画出所需图形。
为了帮助大家更好地理解和掌握辅助线的使用方法，我们整理出了“十大辅助线口诀”，便于大家记忆和应用。
第一大辅助线口诀：“中点万能定位，利用中垂线交点作图”。
这是一个非常实用的口诀，利用中点和中垂线可以快速定位图形的位置和大小。
例如，在画平行四边形时，只需画出其中一条对角线的中垂线，然后在中垂线上取一点作为原点，再利用对角线的中点和原点连线即可准确画出整个平行四边形。
第二大辅助线口诀：“平移移动平行线，平行四边形任意成”。
这个口诀可以帮助我们在画平行四边形时更加方便灵活。
只要确定两条平行线段，就可以通过平移移动其中一条线段使其与另一条平行线段重合，然后连接相应点即可。
第三大辅助线口诀：“圆周角相等，利用等角、同弦定位”。
在画与圆有关的图形时，这个口诀非常实用。
只需利用圆周角相等的性质，画出等角或同弦即可确定圆上的点位置。
第四大辅助线口诀：“切线垂直半径，直角可随便”。
这个口诀是在画圆和圆内的图形时比较常用的。
利用切线垂直半径的性质，可以确定直角位置，使作图更加准确。
第五大辅助线口诀：“直角三角形，利用勾股定位”。
这个口诀是在画直角三角形时非常实用的。
只要确定两条直角边的长度，就可以利用勾股定理求出第三条边的长度，并画出整个三角形。
第六大辅助线口诀：“四边形内对角线，对半分线交于一点”。
这个口诀是在画四边形时非常实用的，只需将对角线对半分，再连接相应线段的中点即可确定四边形的位置和大小。
第七大辅助线口诀：“平行线分段比，适用比例定位”。
这个口诀是在画平行线间的图形时非常实用的，只需利用线段比例的性质来确定每个点的位置。
第八大辅助线口诀：“正多边形内角和，等于360度”。
这个口诀是在画正多边形时非常实用的，只需根据内角和为360度的性质来确定每个角度，即可画出整个正多边形。
第九大辅助线口诀：“等腰三角形，利用对称轴对称”。
与中点有关的引辅助线方法
与中点有关的引辅助线方法中点是平面几何中一个重要的概念，它与图形的对称性、平行性、垂直性等性质有着密切的关系。
为了帮助解决与中点有关的问题，我们可以使用引辅助线的方法。
下面我将介绍一些与中点有关的引辅助线方法。
1.引中点辅助线法这是最基本的与中点有关的引辅助线方法。
当我们需要求线段的中点时，可以通过引一条过该线段两端点的直线，然后取该直线上的中点即可。
这样，我们就引出了一个与中点有关的辅助线。
2.引垂直平分线法当我们需要将一个线段平分时，可以通过引一条垂直于该线段的直线，并让该直线与线段的中点相交。
这样，该垂直直线就成为了该线段的垂直平分线。
3.引中垂线法当我们需要求一个线段的中垂线时，可以通过引一条垂直于该线段的直线，并让该直线的中点与该线段的中点相连。
这样，我们就得到了一个与中点有关的辅助线，也就是该线段的中垂线。
4.引平行线法当我们需要构造一个与条直线平行的直线时，可以通过引一条经过该直线上一点的平行线，并让该平行线上的距离与该点到该直线的距离相等。
这样，我们就得到了一个与中点有关的辅助线，也就是与原直线平行的直线。
5.引垂直线法当我们需要构造一个与条直线垂直的直线时，可以通过引一条经过该直线上一点的垂直线，并让该垂直线与原直线相交。
这样，我们就得到了一个与中点有关的辅助线，也就是与原直线垂直的直线。
以上就是与中点有关的几种常用引辅助线方法。
利用这些方法，我们可以更方便地解决与中点有关的问题。
当我们遇到与中点有关的几何问题时，可以根据具体情况选择合适的引辅助线方法，并运用相关的定理和性质进行推导和证明。
通过加深对中点的理解和运用，我们能够更好地掌握几何知识，提高解题的能力。
几何证明例题及常见的添加辅助线方法
几何证明例题及常见的添加辅助线方法几何证明是数学中的一个重要分支，通过使用几何定理和性质，以及一些常见的辅助线方法，来证明几何命题的正确性。
下面将提供几个几何证明的例题，并介绍一些常见的添加辅助线方法：1.证明等边三角形的高线与垂直平分线重合。
添加辅助线方法：连接等边三角形的顶点与底边的中点，将三角形分为两个等腰三角形。
然后，通过利用等腰三角形的性质，可以证明三角形的高线与垂直平分线重合。
2.证明等腰梯形的对角线垂直。
添加辅助线方法：在等腰梯形的两个腰上各取一个点，使得这两个点与梯形的底边相连，形成两个等边三角形。
通过证明这两个等边三角形的高线与底边的中线相垂直，可以得出对角线垂直的结论。
3.证明一个四边形是平行四边形的充要条件是其对角线互相垂直。
添加辅助线方法：对四边形的两个对角线进行延长，连接延长线的交点与四边形的两个相邻顶点，形成两个三角形。
通过证明这两个三角形是直角三角形，可以得出对角线互相垂直的结论。
4.证明正方形的对角线互相垂直。
添加辅助线方法：连接正方形的相邻顶点，形成两个等腰三角形。
通过证明这两个等腰三角形的高线与底边的中线相垂直，可以得出对角线互相垂直的结论。
5.证明一个三角形的内心到三边的距离和边长的乘积是相等的。
添加辅助线方法：通过从三角形的顶点向内切圆引垂线，连接垂足与内心，形成三个小三角形。
通过证明这三个小三角形是相似三角形，可以得出内心到三边的距离和边长的乘积相等的结论。
以上是几个常见的几何证明例题及其对应的添加辅助线方法。
在几何证明中，添加辅助线是一种常用的方法，可以将原始图形分解成更简单的图形，以便于应用几何定理和性质进行证明。
但需要注意的是，添加辅助线时应选择合适的位置和方式，以确保辅助线的添加不会引入其他不必要的情况，更好地辅助证明目标命题的正确性。
论文添中点辅助线
浅谈怎样添中点问题的辅助线四川省营山县回龙镇初级中学校 梁 涛1、构造全等三角形（1）对于题设中有三角形中线的问题，常将中线延长一倍，构成全等三角形，使问题能在充分的条件下得以解决，如图1，AD 是△ABC 的中线，延长AD 到E ，使DE=AD ，连结EC ，则ΔABD ≅ΔECD 。
（2）对于题设中有一条线段平分另一条线段的题目，可将第一条线段加倍延长，构成全等三角形，如图2，CD 平分AB ，可延长DC 到E ，使CE=CD ，连结BE ，则ΔACD ≅ΔBCE 。
2、构造中位线若三角形一边（或梯形一腰）的中点，往往取另一边（或另一腰）的中点，连结成中位线，然后利用中位线性质进行证明或求解。
3、构造直角三有形斜边上的中线当题设中出现或隐含着直角三角形斜边上的中点的条件，可通过作辅助线构造斜边上的中线，利用直角三角形的性质探求解题方法。
例1 证明：三角形中，如果一个角的平分线是它对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形。
已知：如图3，在ΔABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD=DC ，求证：AB=AC 。
思路分析：因为AB 、AC 分别是ΔABD 、ΔACD 的边，根据题设这两个三角形全等的条件不全，由于AD 是ΔABC 的中线，不妨加倍延长中线试一试，容易证明ΔABD ≅ΔECD ，则AB=CE ，要证AB=AC ，再证EC=AC 即可。
证明：延长AD 到E ，使DE=AD ，连接EC在△ABD 和△ECD 中，∴ △ABD ≌△ECD ∴ AB=EC ，∠1=∠E∵ ∠1=∠2， ∴ ∠2=∠E ∴ AC=EC ∴ AB=AC⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CD BD 43ED AD题末点评: 对于中线问题，常将中线延长一倍，构成全等三角形，将边、角转移到新的三角形中，从而为证题创造条件。
例2 已知：如图4，在ΔABC 与ΔC B A '''，AB=B A ''，AC=C A ''，AD 、D A ''分别是BC 及C B ''上的中线，且AD=D A ''。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
与中点有关的辅助线作法
一、有中线时可倍长中线，构造全等三角形或平行四边形．
例1．已知：如图，AD 为ABC ∆中线，求证：AD AC AB 2>+.
类题1．已知：如图，AD 为ABC ∆的中线，AE=EF.求证：BF=AC.
二、有以线段中点为端点的线段时，常加倍此线段，构造全等三角形或平行四边形.
例2．已知：如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，M 为AB 中点，P 、Q 分别在AC 、BC 上，且QM PM ⊥于
M.求证：222BQ AP PQ +=.
C
C
M
类题2．已知：ABC ∆的边BC 的中点为N ，过A 的任一直线BD AD ⊥于D ，AD CE ⊥于E.求证：NE=ND.
三、有中点时，可连结中位线．
例3．如图，ABC ∆中，D 、E 分别为AB 、AC 上点，且BD=CE ，M 、N 为BE 、CD 中点，连MN 交AB 、AC 于P 、Q ，求证：AP=AQ ．
类题3．已知：如图，E 、F 分别为四边形ABCD 的对角线中点，AB>CD.求证：()CD AB EF ->2
1.
A D P
B C
Q E M N A D F E B C
类题4．如图，ABC ∆中，AD 是高，CE 为中线，CE DG ⊥，G 为垂足，DC=BE.求证：（1）G 是CE 的中点；（2）BCE B ∠=∠2.
四、有底边中点，连中线，利用等腰三角形“三线合一”性质证题
例4．已知：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90BAC ，AB=AC ，D 为BC 边中点，P 为BC 上一点，AB PF ⊥于F ，AC PE ⊥于E.求证：DF=DE.
类题5．已知：如图，矩形ABCD ，E 为CB 延长线上一点，且AC=CE ，F 为AE 中点，求证：FD BF ⊥.
六、与梯形中点有关的辅助线：有腰中点时，常见以下三种引辅助线法
例5．已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC AB ⊥，M 为CD 的中点.求证：AM=MB.
类题6．已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 为BC 中点，AD EF ⊥于F.求证：AD EF S ABCD ⋅=梯形.
F （1）
B （2）
G B
（3）
【作业】
1、 已知△ABC 和△DBE 为等腰直角三角形，∠ABC =∠DBE=90°，A 、B 、D 在同一直线上，M 、N 、P
分别是AD 、AC 、DE 边上的中点，试说明MP 与MN 的关系并证明。
2、如果上题中A 、B 、D 不在同一直线上，其余条件不变，上述结论是否发生变化？证明结论。
3、平行四边形ABCD ，对角线相交于点O ，P 、E 、F 分别是AD 、OB 、OC 的中点，AC=2AB 。
求证：PE=EF
N M P E D
C
B A N M P E D
C B A A B C
D O
E P F
A B C
D
E
M N
4、等腰梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠AOB=60°，E 、F 、M 分别是OD 、OA 、BC 的中点。
求证：△EFM 是等边三角形。
5、如图，在四边形ABCD 中，AB=CD ，M 、N 、P 、Q 分别是AD 、BC 、BD 、AC 的中点。
求证：MN 与PQ 互相垂直平分。
6、如图，在△ABC 中，E 是AB 的中点，CD 平分∠ACB ，AD ⊥CD ，垂足为点D ，求证：2DE=BC-AC
7、BD 、CE 分别为△ABC 外角平分线，AM ⊥BD 于M ，AN ⊥CE 于N ，探究MN 与AB 、BC 、AC 的关系。
A B
C D E F
M O
A
B C D M N P
Q
附加题：
（1）若将上题中BD 改为∠ABC 的平分线，其它条件不变，则上题结论是否成立。
（2）若BD 、CE 分别为∠ABC 和∠ACB 的平分线，其它条件不变，以上结论是否成立？(画图、证明)
8、△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α，在AB 、AC 上截取AD 、AE ，且AD=AE ，连结DE 。
如图1所示，则易证BD=CE ，如图2所示，将△ADE 逆时针针旋转到如图所示位置，连结BD 、CE 。
（1）判断BD 与CE 的数量关系及BD 、CE 延长线所夹锐角的度数。
（2）点G 、F 分别是等腰△ABC 、等腰△ADE 底边的中点，∠BAC=∠DAE=α，点P 是线段CD 的中点，试探索∠GPF 与α的关系，并加以证明。
1． A B C D E B C D E A B
C D E A C A C B A B C D E
A
P G
F。