遇到中点常加的辅助线
初中数学几何辅助线技巧
几何常见辅助线口诀三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，倍长中线得全等。
四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形问题巧转换，变为三角或平四。
平移腰，移对角，两腰延长作出高。
如果出现腰中点，细心连上中位线。
上述方法不奏效，过腰中点全等造。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
圆形半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径联。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆。
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
由角平分线想到的辅助线一、截取构全等：如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
分析：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。
这里面用到了角平分线来构造全等三角形。
另外一个全等自已证明。
此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。
自己试一试。
二、角分线上点向两边作垂线构全等：如图，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。
求证：∠ADC+∠B=180分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。
近而证∠ADC与∠B之和为平角。
三、三线合一构造等腰三角形：如图，AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。
八年级上-常见全等辅助线
常见全等辅助线知识集结知识元倍长中线型知识讲解倍长中线型辅助线一般跟中点相关，在初中阶段与中点相关的辅助线大体分成三大类：倍长中线（这里的中线指的是过中点的任意线段）、直角三角形斜边中线、中位线.其中后两种辅助线会在初二下学期的四边形章节中讲到，在此不做过多讲解，本节所讲的中点相关的辅助线主要是倍长中线型辅助线（这里的中线指的是过中点的任意线段），此种模型的本质都是构造“8字型”全等，主要分成三类处理方法：（1）倍长中线型——这里的中线指的是标准的三角形的中线，具体模型如下：已知：点D为AC边的中点作法：延长BD至E，使得DE=BD，连结AE.2.倍长过中点的任意线段型——这里只需要出现中点即可构造，具体模型如下：已知：点D为AC边的中点作法：延长FD至E，使得DE=DF，连结AE.3.平行线构造“8字型”——中点不是三角形的边的中点，具体模型如下：已知：点E为DF的中点作法：过点D作DM//AF，交AC于点M.另外，平行线构造“8字型”的模型还可以有以下两种类型：例题精讲倍长中线型例1.已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是．例2.'如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．'例3.'【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．'倍长过中点的任意线段型知识讲解当题目中出现中点，而没有合适的中线可以倍长时，也可以考虑倍长过中点的任意一条线段，构造“8字型”全等.例题精讲倍长过中点的任意线段型例1.'如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=AC+AF．'例2.'如图，△ABC中，E，F分别在AB，AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小．'平行线构造“8字型”知识讲解当题目中出现中点，但此中点不是三角形的某条边的中点，只是与三角形某条边有交点时，则可以考虑利用作平行线的方法构造“8字型”的全等.例题精讲平行线构造“8字型”例1.'如图，△ABC中，AB=AC，D在AB上，F在AC的延长线上，且BD=CF，连接DE交BC于E．求证：DE=EF．'例2.'如图，AC∥BD，E为CD的中点，AE⊥BE（1）求证：AE平分∠BAC，BE平分∠ABD；（2）线段AB、AC、BD有怎样的数量关系？请写出你的结论并证明．'例3.'阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．'截长法添加辅助线知识讲解在已知条件中、证明的结论中出现某三条线段，甚至是四条线段的关系时（或者猜想某三条线段的关系时），优先考虑的就是方法就是截长、补短法.截长和补短是两种方法：截长是把长线段截成两条短线段；补短是把两条短线段之一补成一条长线段，两种方法有时候可以通用，但是由于证明方法和已知条件的局限性，有时候会需要学生辨别一下具体使用截长还是补短，所以分析已知条件非常重要.举例说明：1.当三线关系出现在已知条件中，如：已知AC=AB+BD，则（1）截长法具体操作：在线段AC上截取AM=AB条件转化：已知条件“AC=AB+BD”就变成了“AM=AB和CM=BD”【注】当然也可以在线段AC上截取AM=BD，具体截取的方法选择，由题中的其他已知条件决定.（2）补短法具体操作：延长AB至N，使得AN=AC条件转化：已知条件“AC=AB+BD”就变成了“AN=AC和BN=BD”【注】当然也可以延长BA、BD、DB，具体延长哪条线段、向哪个方向延长，由题中的其他已知条件决定.2.当三线关系出现在待证明的结论中，如：证明AC=AB+BD，则（1）截长法具体操作：在线段AC上截取AM=AB条件转化：待证明的结论“AC=AB+BD”就变成了“CM=BD”，而多出了一个已知条件“AM=AB”【注】当然也可以在线段AC上截取AM=BD，具体截取的方法选择，由题中的其他已知条件决定.（2）补短法具体操作：延长AB至N，使得AN=AC条件转化：待证明的结论“AC=AB+BD”就变成了“BN=BD”，而多出了一个已知条件“AN=AC”【注】当然也可以延长BA、BD、DB，具体延长哪条线段、向哪个方向延长，由题中的其他已知条件决定.例题精讲截长法添加辅助线例1.'如图，已知AD为等腰三角形ABC的底角的平分线，∠C=90°，求证：AB=AC+CD．'例2.'如图，△ABC中，∠B=60°，∠BAC，∠ACB的平分线AD，CE交于点O，说明AE+CD=AC的理由．'例3.'如图1，△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点P为△ABC三条平分线的交点，连PA，PB，PC．（1）求证：BC=AB+AP；（2）如图2，若将“∠ABC=45°”变为“∠ABC=60°”，其余条件不变，求证：AC=AB+BP．'补短法添加辅助线知识讲解当题目中出现两条以上的线段的关系时，常会优先考虑截长补短法，其补短法是将某一条短线段补成长线段，再分别证明线段相等.例题精讲补短法添加辅助线例1.'如图，△ABC内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP．'例2.'（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．'当堂练习填空题已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是．解答题练习1.'如图，△ABC中，E，F分别在AB，AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小．'练习2.'如图：在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边的延长线上，CE=BD，DG=GE．求证：AB=AC．'如图，AD为△ABC的角平分线，M为BC的中点，ME∥AD交BA的延长线于E，交AC于F．求证：BE=CF．'练习4.'如图，△ABC内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP．'练习5.'如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．'练习6.'如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=AC+AF．'练习7.'如图，△ABC中，AB=AC，D在AB上，F在AC的延长线上，且BD=CF，连接DE交BC于E．求证：DE=EF．'练习8.'如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD．'练习9.'如图所示，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：DA平分∠CDE．'练习10.'ABCD是正方形，P为BC上任意一点，∠PAD的平分线交CD于Q，求证：DQ=AP-BP．'练习11.'如图，已知AD为等腰三角形ABC的底角的平分线，∠C=90°，求证：AB=AC+CD．'练习12.'已知，如图：AD是△ABC的中线，AE⊥AB，AE=AB，AF⊥AC，AF=AC，连结EF．试猜想线段AD与EF的关系，并证明．'。
中点常用的辅助线做法
认真体会， 融会贯通， 灵活运用
练习：
四边形ABCD的对角线AC=BD，M、N 分别是AD、BC的中点，MN与AC、BD 交于F、G，AC、BD交于E，求证：
EF=EG C
D E N
M
F
G
A
P
B
EF= 2 BE
B
AD = BE
E D FC
三、已知中线，常倍长中线
例3. 如图，△ABC中，AD是BC边
上的中线，E是AD上的一点，BE的 A 延长线交AC于F，且AF＝EF。
求证：BE＝AC
F E
AC = BH BE = BH AC = BE
B
C
D
H
四、条件中含有等腰三角形底边上的
中点时，常作出底边的中线，利用三
例1. 已知：如图，△ABC中，
BD和CE是高，M为BC的中点，
P为DE的中点。
求证：PM⊥DE。
E
1 ME=MD= 2 BC
PM⊥DE
B
A
P
D
M
C
二、已知三角形一边的中点，构造三 角形中位线
例2. 已知：如图，△ABC中，AD
A
是高，BE是中线，且∠EBC＝30°。求证：AΒιβλιοθήκη ＝BEEF= 1 AD 21
中点常用的辅助线作法
初中 数学
泰安市岱岳区徂徕一中 梁孝斌
常用方法有四种：
一、已知直角三角形斜边上的中点时，常作斜 边上的中线
二、已知三角形一边的中点，构造三角形中位 线 三、已知中线，常倍长中线
四、条件中含有等腰三角形底边上的中点时， 常作出底边的中线，利用三线合一
一、已知直角三角形斜边上的中点时， 常作斜边上的中线
等边三角形中的常见辅助线
等边三角形中的常见辅助线等边三角形是一种具有特殊性质的三角形，其三条边都相等。
在解决与等边三角形相关的问题时，使用常见的辅助线可以简化计算并找到解决方案。
1. 高线（Perpendicular Bisector）高线是等边三角形中常见的辅助线之一。
它从等边三角形的顶点垂直地分割底边，并且和底边的中点连线垂直。
等边三角形的高线相互垂直，并且交于三角形的外心。
2. 中线（Median）中线是等边三角形中另一种常见的辅助线。
它连接三角形的顶点和底边的中点，并且与底边垂直。
等边三角形的中线也相互垂直，在三角形的重心交汇。
3. 角平分线（Angle Bisector）角平分线是等边三角形中可以用来解决角度相关问题的辅助线。
它从三角形的顶点分割等边三角形的底角，并且和底边相交于一点。
4. 中垂线（Perpendicular from Vertex to Base）中垂线是等边三角形中另一种常见的辅助线。
它从等边三角形的顶点垂直地连接底边，并且与底边的中点相交。
等边三角形的中垂线相互垂直，并且交于三角形的垂心。
这些常见的辅助线可以帮助我们在等边三角形中解决各种问题。
通过利用这些辅助线的性质，我们能够简化计算，找到解决问题的方法。
在实践中，我们还可以设计不同的问题来加深对这些辅助线的理解和应用。
总结：等边三角形中的常见辅助线包括高线、中线、角平分线和中垂线。
它们在解决等边三角形相关问题时起到了重要的作用，并且具有特殊性质。
通过熟练掌握这些辅助线的性质和用法，我们能够更加灵活地解决等边三角形的各种问题。
与中点有关的引辅助线方法
与中点有关的引辅助线方法中点是平面几何中一个重要的概念，它与图形的对称性、平行性、垂直性等性质有着密切的关系。
为了帮助解决与中点有关的问题，我们可以使用引辅助线的方法。
下面我将介绍一些与中点有关的引辅助线方法。
1.引中点辅助线法这是最基本的与中点有关的引辅助线方法。
当我们需要求线段的中点时，可以通过引一条过该线段两端点的直线，然后取该直线上的中点即可。
这样，我们就引出了一个与中点有关的辅助线。
2.引垂直平分线法当我们需要将一个线段平分时，可以通过引一条垂直于该线段的直线，并让该直线与线段的中点相交。
这样，该垂直直线就成为了该线段的垂直平分线。
3.引中垂线法当我们需要求一个线段的中垂线时，可以通过引一条垂直于该线段的直线，并让该直线的中点与该线段的中点相连。
这样，我们就得到了一个与中点有关的辅助线，也就是该线段的中垂线。
4.引平行线法当我们需要构造一个与条直线平行的直线时，可以通过引一条经过该直线上一点的平行线，并让该平行线上的距离与该点到该直线的距离相等。
这样，我们就得到了一个与中点有关的辅助线，也就是与原直线平行的直线。
5.引垂直线法当我们需要构造一个与条直线垂直的直线时，可以通过引一条经过该直线上一点的垂直线，并让该垂直线与原直线相交。
这样，我们就得到了一个与中点有关的辅助线，也就是与原直线垂直的直线。
以上就是与中点有关的几种常用引辅助线方法。
利用这些方法，我们可以更方便地解决与中点有关的问题。
当我们遇到与中点有关的几何问题时，可以根据具体情况选择合适的引辅助线方法，并运用相关的定理和性质进行推导和证明。
通过加深对中点的理解和运用，我们能够更好地掌握几何知识，提高解题的能力。
圆中常见辅助线的添加口诀及技巧
圆中常见辅助线的添加口诀及技巧半径与弦长计算,弦心距来中间站;圆上若有一切线,切点圆心半径连;要想证明是切线,半径垂线仔细辨;是直径,成半圆,想成直角径连弦;弧有中点圆心连,垂径定理要记全;圆周角边两条弦,直径和弦端点连;要想作个外接圆,各边作出中垂线;还要作个内切圆,内角平分线梦园;如果遇到相交圆,不要忘作公共弦;若是添上连心线,切点肯定在上面;二：圆中常见辅助线的添加：1、遇到弦时解决有关弦的问题时1、常常添加弦心距,或者作垂直于弦的半径或直径或再连结过弦的端点的半径;作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量;2、常常连结圆心和弦的两个端点,构成等腰三角形,还可连结圆周上一点和弦的两个端点;作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角;2、遇到有直径时常常添加画直径所对的圆周角;作用：利用圆周角的性质,得到直角或直角三角形3、遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点;作用：利用圆周角的性质,可得到直径;4、遇到有切线时1常常添加过切点的半径见切点连半径得垂直作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB,得到直角或直角三角形;5、遇到证明某一直线是圆的切线时1若直线和圆的公共点还未确定,则常过圆心作直线的垂线段,再证垂足到圆心的距离等于半径;2若直线过圆上的某一点,则连结这点和圆心即作半径,再证其与直线垂直;6、遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点,或过内心作三角形各边的垂线段;作用：利用内心的性质,可得：1内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； 2内心到三角形三条边的距离相等7、遇到三角形的外接圆时,连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等;例题1、如图,已知△ABC内接于⊙O,∠A=45°,BC=2,求⊙O的面积; 例题2、如图,弦AB的长等于⊙O的半径,点C在弧AMB上,则∠C的度数是________.例题3、如图,AB是⊙O的直径,AB=4,弦BC=2,∠B=例题4、如图,AB、AC是⊙O的的两条弦,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,⊙O的半径是例题5、如图所示,已知AB是⊙O的直径,AC⊥L于C,BD⊥L于D,且AC+BD=AB;求证：直线L与⊙O相切;例题6、如图,P是⊙O外一点,PA、PB分别和⊙O切于A、B,C是弧AB 上任意一点,过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E,若△PDE的周长为12,则PA长为______________例题7、如图,△ABC中,∠A=45°,I是内心,则∠BIC=例题8、如图,Rt△ABC中,AC=8,BC=6,∠C=90°,⊙I分别切AC,BC,AB 于D,E,F,求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．课后练习1、已知：P是⊙O外一点,PB,PD分别交⊙O于A、B和C、D且AB=CD.求证：PO平分∠BPD．2、如图,ΔABC中,∠C=90°,圆O分别与AC、BC相切于M、N,点O在AB上,如果AO=15㎝,BO=10㎝,求圆O的半径.3、已知：□ABCD的对角线AC、BD交于O点,BC切⊙O于E点.求证：AD也和⊙O相切.4、如图,学校A附近有一公路MN,一拖拉机从P点出发向PN方向行驶,已知∠NPA=30°,AP=160米,假使拖拉机行使时,A周围100米以内受到噪音影响,问：当拖拉机向PN方向行驶时,学校是否会受到噪音影响请说明理由.如果拖拉机速度为18千米∕小时,则受噪音影响的时间是多少秒总结:弦心距、半径、直径是圆中常见的辅助线;圆中辅助线添加的常用方法圆是初中几何中比较重要的内容之一,与圆有关的问题,汇集了初中几何的各种图形概念和性质,其知识面广,综合性强,随着新课程的实施,园的考察主要以填空题,选择题的形式出现,不会有比较繁杂的证明题,取而代之的是简单的计算;圆中常见的辅助线有：1作半径,利用同圆或等圆的半径相等； 2涉及弦的问题时,常作垂直于弦的直径弦心距,利用垂径定理进行计算和推理； 3作半径和弦心距,构造直角三角形利用勾股定理进行计算； 4 作直径构造直径所对的圆周角； 5 构造同弧或等弧所对的圆周角； 6遇到三角形的外心时,常连接外心与三角形的各个顶点； 7 已知圆的切线时,常连接圆心和切点半径； 8 证明直线和园相切时,有两种情况：1已知直线与圆有公共点时,连接圆心与公共点,证此半径与已知直线垂直 ,简称“有点连线证垂直,”2已知直线与圆无公共点时,过圆心作已知直线的垂线段,证它与半径相等,简称“无点做线证相等”此外,两解问题是圆中经常出现的问题,涉及弧,弦,与圆有关的角,点与圆,直线与圆,圆与圆的位置关系等知识,着重考察思维的完备性和严谨性,应特别引起重视。
2024成都中考数学第一轮专题复习 微专题 遇到中点如何添加辅助线 知识精练(含答案)
2024成都中考数学第一轮专题复习 微专题 遇到中点如何添加辅助线 知识精练1. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，BC ＝4，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，延长BA 到点D ，使AD ＝12AB ，则DF 的长为________．第1题图2. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点M 为BC 的中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 的长为________．第2题图3.如图，AD 是△ABC 的中线，点E 是AB 上一点，且BE ＝2AE ，连接CE 交AD 于点F ，若CF ＝3，则EF 的长为________．第3题图4. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 为△ABC 的中线，点E 为AD 的中点，点F 为BE 的中点，连接DF .若DF ⊥BE ，则tan ∠DBE 的值为________．第4题图5. 如图，在▱ABCD 中，BC ＝2AB ，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，F 为BC 的中点，连接EF ，若∠B ＝70°，则∠BFE 的度数为________．第5题图6. 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝90°，AD ＝2BA ＝6，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，连接AM ，AN ，MN .若△CMN 的面积为32，则△AMN 的面积为________．第6题图7. 如图，在▱ABCD 中，E 为AD 的中点，F 是CD 边上一点，连接EF 交BD 于点G ，若DF ＝2，CF ＝4，DG ＝3，则BG 的长为________．第7题图8. 如图，已知△ABC 和△CEF 是等腰直角三角形，其中∠ABC ＝∠CEF ＝90°，且E 是中线AD 的中点，连接BF ，若AB ＝4，则线段BF 的长度为________．第8题图9. 如图，在矩形ABCD 中，点E 为AB 上一点，连接DE ，CE ，且EC 平分∠DEB ，点F 为CE 的中点，连接AF ，BF .求证：AF ⊥BF .第9题图参考答案与解析1. 2 【解析】如解图，连接EF ，AE .∵E ，F 分别为BC ，AC 的中点，∴BE ＝EC ，AF ＝CF ，∴EF ∥AB ，EF ＝12 AB .∵AD ＝12 AB ，∴AD ＝EF ，∴四边形ADFE 是平行四边形，∴DF ＝AE ，∵∠BAC ＝90°，∴AE ＝12BC ＝2，∴DF ＝AE ＝2.第1题解图2.125【解析】如解图，连接AM ，∵AB ＝AC ，点M 为BC 的中点，∴AM ⊥CM (三线合一)，BM ＝CM .∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，∴BM ＝CM ＝3，在Rt △ABM 中，AB ＝5，BM ＝3，∴根据勾股定理得AM ＝AB 2－BM 2 ＝52－32 ＝4.∵S △AMC ＝12 MN ·AC ＝12 AM ·CM ，∴MN ＝AM ·CM AC ＝4×35 ＝125.第2题解图一题多解3. 1 【解析】解法一：如解图①，过点D 作DG ∥AB 交CE 于点G ，则∠EAF ＝∠GDF .∵AD 是△ABC 的中线，∴点D 是BC 的中点，∴DG 是△BCE 的中位线，∴BE ＝2DG ，CG ＝EG .∵BE ＝2AE ，∴AE ＝DG .∵∠AFE ＝∠DFG ，∴△AEF ≌△DGF ，∴EF ＝GF ，∴EF ＝13 CF ＝13 ×3＝1.解法二：如解图②，过点D 作DH ∥CE 交AB 于点H ，∵AD 是△ABC 的中线，∴DH 是△BCE 的中位线，∴DH ＝12 CE ，BH ＝EH .∵BE ＝2AE ，∴AE ＝EH ，∴EF 是△ADH 的中位线，∴EF＝12 DH ，∴EF ＝14 CE ，∴EF ＝13 CF ＝13×3＝1.图①图② 第3题解图4.33【解析】如解图，连接CE ，设CD ＝a ，∵AD 是BC 边上的中线，∴CD ＝BD ＝a .∵点F 为BE 的中点，∴EF ＝BF .∵DF ⊥BE ，∴BD ＝ED ＝a .∵E 为AD 的中点，∠ACB ＝90°，∴CE ＝ED ＝CD ＝a ，∴△CED 为等边三角形，即∠CDE ＝60°.又∵BD ＝ED ，∴∠DEF ＝∠DBF ＝12 ∠CDE ＝30°，∴tan ∠DBE ＝33.第4题解图5. 165° 【解析】 如解图，延长EF 交AB 的延长线于点M ，连接AF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠C ＝∠MBF .∵F 为BC 的中点，∴BF ＝CF .在△BFM 和△CFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠MBF ＝∠C ，BF ＝CF ，∠BFM ＝∠CFE ， ∴△BFM ≌△CFE (ASA)，∴MF ＝EF ，∠CEF ＝∠M .∵AE ⊥CD ，∴∠AEC ＝90°，∴∠EAB ＝90°.∵MF ＝EF ，∴AF ＝EF ＝MF ，∴∠M ＝∠MAF .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠D ＝∠ABC ＝70°，∠BCD ＝110°.∵BC ＝2AB ，∴AB ＝BF ，∴∠MAF ＝(180°－70°)÷2＝55°，∴∠M ＝55°，∴∠CEF ＝55°，∴∠CFE ＝180°－110°－55°＝15°，∴∠BFE ＝180°－15°＝165°.第5题解图6. 6 【解析】如解图，连接AC ，BD .∵M ，N 分别是BC ，CD 的中点，∴MN ＝12 BD ，MN ∥BD ，S △ACN ＝S △DAN ，S △ABM ＝S △AMC ，S △CMN ＝14 ·S △DBC .∵S △CMN ＝32 ，∴S △DBC ＝6.∵∠BAD ＝90°，AD ＝2BA ＝6，∴S △ABD ＝12AD ·AB ＝9，∴S四边形ABCD ＝S △BCD ＋S △ABD ＝15，∴S △ACN ＋S △ACM＝12 S 四边形ABCD ＝152，∴S △AMN ＝S △ACN ＋S △ACM －S △CMN ＝6.第6题解图7. 12 【解析】如解图，延长FE 交BA 的延长线于点H ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴∠H ＝∠DFE ，∠HAE ＝∠FDE .∵E 为AD 的中点，∴AE ＝DE ，∴△AEH ≌△DEF ，∴AH ＝DF ＝2，∴BH ＝AB ＋AH ＝CD ＋AH ＝4＋2＋2＝8.又∵AB ∥CD ，∴△BGH ∽△DGF ，∴BG DG ＝BH DF ，即BG 3 ＝82，解得BG ＝12.第7题解图8. 2 【解析】如解图，过点E 作EG ∥BC 交AC 于点G ，连接BG ，∵点E 是AD 的中点，∴点G 是AC 的中点．∵△ABC 和△CEF 是等腰直角三角形，∠ABC ＝∠CEF ＝90°，∴AB ＝BC ，CE ＝EF ，∴∠ACB ＝∠ECF ＝45°，CB ＝2 CG ，CF ＝2 CE ，∴∠GCE ＝∠BCF ，CG CB ＝CE CF ＝22 ，∴△GCE ∽△BCF ，∴GE BF ＝22 .∵BC ＝AB ＝4，AD 是中线，∴BD ＝CD ＝2.∵点E ，G 分别是AD ，AC 的中点，∴EG 是△ADC 的中位线，∴GE ＝12 CD ＝1，∴BF ＝2 .第8题解图9. 证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠CEB . ∵EC 平分∠DEB ， ∴∠DEC ＝∠CEB ， ∴∠DCE ＝∠DEC ， ∴DE ＝DC . 如解图，连接DF ，∵DE ＝DC ，F 为CE 的中点， ∴DF ⊥EC ，∴∠DFC ＝90°.在矩形ABCD 中，AB ＝DC ，∠ABC ＝90°， ∴BF ＝CF ＝EF ＝12 EC ，∴∠ABF ＝∠CEB . ∵∠DCE ＝∠CEB ， ∴∠ABF ＝∠DCF . 在△ABF 和△DCF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝CF ，∠ABF ＝∠DCF ，AB ＝DC ，∴△ABF ≌△DCF (SAS)， ∴∠AFB ＝∠DFC ＝90°， ∴AF ⊥BF .第9题解图。
中点常见的辅助线
（五）条件中无中点时，完善图形得中位线：
如图，△ABC边长分别为AB=14，BC=16，AC=26，P为∠A的平分线AD 上一点，且BP⊥AD，M为BC的中点，则PM的值是_______．
练习：
在△ABC中，∠B=2∠A，CD⊥AB于D，E为AB的中点,求证：DE=
1 BC 2
（三）添加三角形的第三边，构建中位线：
如图，已知E、F分别为△ABC的边AB、BC的中点，G、H为AC 边上的两个三等分点，连EG、FH，且延长后交于点D， 求证：四边形ABCD是平行四边形
（四）添加三角形的另一边并取中点，构建中位线： 在四边形ABCD中，E、F、M分别是AB、CD、BD的中点，AD=BC． 求证：∠EFM=∠FEM．
A
B
E
D
C
3、等腰三角形：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、 底边上的中线互相重合（三线合一）。
3、如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，M为BD中点， N为AC中点，求证：MN⊥AC．
C D A N M B
四、两个或多个中点常见的辅助线： 当图中有多个中点时，同时还要考虑中位线，
中点常见的辅助线
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
与中点有关的辅助线
1、三角形的中线：延长中线至一倍，构建全等三角形 2、直角三角形：斜边上的中线等于斜边的一半 3、等腰三角形：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、 底边上的中线互相重合（三线合一）。 4、三角形的中位线：平行于第三边，并且等于第 三边的一半。
1、三角形的中线：延长中线至一倍，构建全等三角形
1、在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=2， AC=4，则AD的取值范围是________．
A
B
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四讲遇到中点常加的辅助线
等腰底三合一
解题方法技巧：等腰三角形中有底边中点或要证是底边中点时，常连底边中线，利用等要三角形“三线合一”的性质证题
口诀：三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关
性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法
例题1、已知，在矩形ABCD中，E为CB延长线上一点且AC=CE,F为AE的中点，求证：BF⊥FD
例题2、如图、AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=ED,点F是CD 的中点
求证：（1）AF⊥CD
（2）在你连接BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个（不要求证明）
跟踪训练1、如下图、在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，ME⊥AC于点N,求MN的长为多少？（自己画图）
2、如图、等腰△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，过A 的直线MN∥BC,在直线MN上点A的两侧分别取E、F 且AE=AF,求证：
DE=DF
3、如下图△ABC 中,AB=AC=10cm.BC=8cm,点D 为AB 的中点
（1）如果点P
在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动。
①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等时，经过1秒后，△BPD 与△CQP 是否全等？，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时能够使△BPD 与△CQP 全等？
（2）若点Q 以上的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？
同类型题：
如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，点D为AB的
中点。
如果点P在线段BC上以2cm／s的速度由点B向C点运
动，同时，点Q在线段AC 上由点A向C点以4cm／s的速度运
动。
(1)、若点P、Q两点分别从B、A 两点同时出发，经过2秒后，
△BPD与△CQP是否全等，请说明理由。
（2）、若点P、Q两点分别从B、A 两点同时出发，△CPQ的周
长为18cm，问：经过几秒后，△CPQ是等腰三角形？
答案
解：（1），△BPD与△CQP 是全等。
理由如下：
当P，Q两点分别从B，A两点同时出发运动2秒时
有BP=2×2=4cm，AQ=4×2=8cm
则CP=BC-BP=10-4=6cm
CQ=AC-AQ=12-8=4cm
∵D是AB的中点
∴BD=1/2AB=1/2×12=6cm
∴BP=CQ， BD=CP
又∵△ABC中，AB=AC
∴∠B=∠C
在△BPD和△CQP中
BP=CQ ∠B=∠C BD=CP
∴△BPD≌△CQP(SAS)
(2)设当P，Q两点同时出发运动t秒时，
有BP=2t，AQ=4t ∴t的取值范围为0﹤t≤3
则CP=10-2t，CQ=12-4t
∵△CPQ的周长为18cm，
∴PQ=18-(10-2t)-( 12-4t)=6t-4
要使△CPQ是等腰三角形，则可分为三种情况讨论：
① 当CP=CQ时，则有10-2t=12-4t
解得：t=1
② 当PQ=PC时，则有6t-4=10-2t
解得：t=
③ 当QP=QC时，则有6t-4=12-4t
解得：t=
三种情况均符合t的取值范围。
综上所述，经过1秒或秒或秒时，△CPQ是等腰三角
形。