乘法公式知识点详解及提高练习(含答案)
部编数学八年级上册【满分秘诀】专题07整式乘法运算(考点突破)(解析版)含答案
【满分秘诀】专题07 整式乘法运算（考点突破）【思维导图】【常见考法】【真题分点透练】【考点1 幂运算】1．计算（﹣a2）3的结果是（ ）A．a5B．﹣a5C．a6D．﹣a6【答案】D【解答】解：（﹣a2）3＝﹣a2×3＝﹣a6．故选：D．2．计算（a2）3的结果是（ ）A．a5B．a6C．a8D．3 a2【答案】B【解答】解：（a2）3＝a6．故选：B．3．下列运算中，结果正确的是（ ）A．x3•x3＝x6B．3x2+2x2＝5x4C．（x2）3＝x5D．（x+y）2＝x2+y2【答案】A【解答】解：A、x3•x3＝x6，本选项正确；B、3x2+2x2＝5x2，本选项错误；C、（x2）3＝x6，本选项错误；D、（x+y）2＝x2+2xy+y2，本选项错误，故选：A．4．已知x m＝6，x n＝3，则x2m﹣n的值为（ ）A．9B．C．12D．【答案】C【解答】解：∵x m＝6，x n＝3，∴x2m﹣n＝（x m）2÷x n＝62÷3＝12．故选：C．5．计算2x2•（﹣3x3）的结果是（ ）A．﹣6x5B．6x5C．﹣2x6D．2x6【答案】A【解答】解：2x2•（﹣3x3），＝2×（﹣3）•（x2•x3），＝﹣6x5．故选：A．6．（1）若a m＝2，a n＝5，求a3m+2n的值．（2）若3×9x×27x＝321，求x的值．【解答】解：（1）当a m＝2，a n＝5，a3m+2n＝a3m•a2n＝（a m）3•（a n）2＝23×52＝8×25＝200．（2）3×9x×27x＝3×32x×33x＝36x，36x＝321，6x＝21，x＝．7．计算：（2a2）2﹣a•3a3+a5÷a．【解答】解：（2a2）2﹣a•3a3+a5÷a＝4a4﹣3a4+a4＝2a4；【考点2 整式乘除法运算】8．如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）A．﹣3B．3C．0D．1【答案】A【解答】解：∵（x+m）（x+3）＝x2+3x+mx+3m＝x2+（3+m）x+3m，又∵（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，∴3+m＝0，解得m＝﹣3．故选：A．9．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，如图可表示的代数恒等式是（ ）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．2a（a+b）＝2a2+2ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2【答案】C【解答】解：长方形的面积等于：2a（a+b），也等于四个小图形的面积之和：a2+a2+ab+ab＝2a2+2ab，即2a（a+b）＝2a2+2ab．故选：C．10．先化简，再求值：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b），其中a＝，b＝﹣1．【解答】解：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b），＝a2﹣2ab﹣b2﹣a2+b2，＝﹣2ab，当a＝，b＝﹣1时，原式＝﹣2××（﹣1）＝1；11．先化简，再求值：[（2x﹣y）2﹣y（2x+y）]÷2x，其中x＝2，y＝﹣1．【解答】解：原式＝（4x2﹣4xy+y2﹣2xy﹣y2）÷2x＝（4x2﹣6xy）÷2x＝2x﹣3y．当x＝2，y＝﹣1时，原式＝2×2﹣3×（﹣1）＝7．12．先化简，再求值：4（x﹣1）2﹣（2x+3）（2x﹣3），其中x＝﹣1．【解答】解：原式＝4（x2﹣2x+1）﹣（4x2﹣9）＝4x2﹣8x+4﹣4x2+9＝﹣8x+13，当x＝﹣1时，原式＝8+13＝21．13．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一处底座边长为（a+b）米的正方形雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝5，b＝2时的绿化面积．＝（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2【解答】解：S阴影＝6a2+3ab+2ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2＝（5a2+3ab）平方米，∴绿化的面积是（5a2+3ab）平方米；当a＝5，b＝2时，原式＝5×25+3×5×2＝125+30＝155（平方米），∴当a＝5，b＝2时的绿化面积为155平方米．14．如图，某中学校园内有一块长为（3a+2b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，学校计划在中间留一块长为（2a﹣b）米、宽为2b米的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化．（1）求长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示）（2）当a＝3，b＝1时，求绿化部分的面积．【解答】解：（1）∵（3a+2b）×（2a+b）＝（6a2+7ab+2b2）平方米，∴长方形地块的面积为（6a2+7ab+2b2）平方米；（2）∵绿化部分的面积为6a2+7ab+2b2﹣（4ab﹣2b2）＝（6a2+3ab+4b2）平方米；∴当a＝3，b＝1时，6a2+3ab+4b2＝6×3×1+3×1×3+4×1×1＝31（平方米），∴绿化部分的面积为31平方米．15．某学校教学楼前有一块长为（6a+2b）米，宽为（4a+2b）米的长方形空地要铺地砖，如图所示，空白的A、B两正方形区域是草坪，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为（a+b）米．请你求出要铺地砖的面积是多少？【解答】解：（6a+2b）（4a+2b）﹣2（a+b）2＝24a2+20ab+4b2﹣2a2﹣4ab﹣2b2＝（22a2+16ab+2b2）米2，答：要铺地砖的面积是（22a2+16ab+2b2）米2．【考点3 公式法有关计算及应用】16．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2【答案】C【解答】解：∵图甲中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），而两个图形中阴影部分的面积相等，∴阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：C．177．如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ）A．（2a2+5a）cm2B．（6a+15）cm2C．（6a+9）cm2D．（3a+15）cm2【答案】B【解答】解：矩形的面积是：（a+4）2﹣（a+1）2＝（a+4+a+1）（a+4﹣a﹣1）＝3（2a+5）＝6a+15（cm2）．故选：B．18．如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（ ）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a2+ab＝a（a+b）【答案】C【解答】解：正方形中，S＝a2﹣b2；阴影梯形中，S＝（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）；阴影故所得恒等式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：C．19．x2+kx+9是完全平方式，则k＝ ．【答案】±6【解答】解：中间一项为加上或减去x和3的积的2倍，故k＝±6．20．若m2﹣n2＝6，且m﹣n＝2，则m+n＝ ．【答案】3【解答】解：m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝（m+n）×2＝6，故m+n＝3．故答案为：3．21．【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用含a，b的等式表示）【应用】请应用这个公式完成下列各题：（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为 ．（2）计算：20192﹣2020×2018．【拓展】计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．【解答】解：【探究】图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣b），所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2故答案为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．【应用】（1）由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12，∵（2m+n）•（2m﹣n）＝4m2﹣n2，∴2m﹣n＝3．故答案为3．（2）20192﹣2020×2018＝20192﹣（2019+1）×（2019﹣1）＝20192﹣（20192﹣1）＝20192﹣20192+1＝1；【拓展】1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1）＝199+195+…+7+3＝5050．22．图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为 ；（2）观察图②，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是 ；（3）若x+y＝﹣6，xy＝2.75，则x﹣y＝； （4）观察图③，你能得到怎样的代数恒等式呢？（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）＝m2+4mn+3n2．【解答】解：（1）（m﹣n）2（3分）（2）（m﹣n）2+4mn＝（m+n）2（3分）（3）±5（3分）（4）（m+n）（2m+n）＝2m2+3mn+n2（3分）（5）答案不唯一：（4分）例如：23．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）（1）探究：上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）（2）应用：利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知9x2﹣4y2＝24，3x+2y＝6，求3x﹣2y的值；②计算：．【解答】解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b），则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案是B；（2）①∵9x2﹣4y2＝（3x+2y）（3x﹣2y），∴24＝6（3x﹣2y）得：3x﹣2y＝4；②原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+），＝××××××…××××，＝×，＝．【考点4 因式分解】24．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）A．a（x+y）＝a x+a yB．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）D．x2﹣16+3x＝（x﹣4）（x+4）+3x【答案】C【解答】解：A、a（x+y）＝ax+ay，是整式的乘法运算，故此选项不合题意；B、x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，故此选项不合题意；C、10x2﹣5x＝5x（2x﹣1），正确，符合题意；D、x2﹣16+3x，无法分解因式，故此选项不合题意；故选：C．25．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3D．x2+2x+1＝x（x+2）+1【答案】B【解答】解：因式分解是指将一个多项式化为几个整式的乘积，故选：B．26．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）A．a2+（﹣b）2B．5m2﹣20mn C．﹣x2﹣y2D．﹣x2+9【答案】D【解答】解：A、a2+（﹣b）2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故A选项错误；B、5m2﹣20mn两项不都是平方项，不能用平方差公式分解因式，故B选项错误；C、﹣x2﹣y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故C选项错误；D、﹣x2+9＝﹣x2+32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，故D选项正确．故选：D．27．分解因式：x3﹣4x＝ ．【答案】x（x+2）（x﹣2）【解答】解：x3﹣4x，＝x（x2﹣4），＝x（x+2）（x﹣2）．故答案为：x（x+2）（x﹣2）．28．因式分解：2x2﹣8＝ ．【答案】2（x+2）（x﹣2）【解答】解：2x2﹣8＝2（x+2）（x﹣2）．29．分解因式：2a2﹣8＝ ．【答案】 2（a+2）（a﹣2）【解答】解：2a2﹣8＝2（a2﹣4），＝2（a+2）（a﹣2）．故答案为：2（a+2）（a﹣2）．30．分解因式：x3﹣2x2+x＝ ．【答案】x（x﹣1）2 【解答】解：x3﹣2x2+x＝x（x2﹣2x+1）＝x（x﹣1）2．故答案为：x（x﹣1）2．31．已知x+y＝6，xy＝4，则x2y+xy2的值为 ．【答案】24【解答】解：∵x+y＝6，xy＝4，∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝4×6＝24．故答案为：24．32．如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为 ．【答案】70【解答】解：∵a+b＝7，ab＝10，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝70．故答案为：70．33．若ab＝2，a﹣b＝﹣1，则代数式a2b﹣ab2的值等于 ．【答案】-2【解答】解：∵ab＝2，a﹣b＝﹣1，∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝2×（﹣1）＝﹣2．故答案为：﹣2．34．把下列多项式分解因式．（1）a3﹣9ab2；（2）3x2﹣12xy+12y2．【解答】解：（1）a3﹣9ab2＝a（a2﹣9b2）＝a（a﹣3b）（a+3b）；（2）3x2﹣12xy+12y2＝3（x2﹣4xy+4y2）＝3（x﹣2y）2．35．因式分解：（1）x2﹣x﹣6；（2）﹣3ma2+12ma﹣12m．【解答】解：（1）原式＝（x﹣3）（x+2）；（2）原式＝﹣3m（a2﹣4a+4）＝﹣3m（a﹣2）2．36．因式分解（1）﹣2a3+12a2﹣18a（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）【解答】解：（1）原式＝﹣2a（a2﹣6a+9）＝﹣2a（a﹣3）2；（2）原式＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．37．把下列多项式因式分解：（1）x（y﹣3）﹣（2y﹣6）；（2）4xy2﹣4x2y﹣y3．【解答】解：（1）x（y﹣3）﹣（2y﹣6）＝x（y﹣3）﹣2（y﹣3）＝（y﹣3）（x﹣2）；（2）4xy2﹣4x2y﹣y3＝y（4xy﹣4x2﹣y2）＝﹣y（4x2﹣4xy+y2）＝﹣y（2x﹣y）2．。
八年级上册数学整式乘除知识点和典型习题分类汇总附答案
1、（1） ；（2）
2、（1） ；（2）
3、
【多项式与多项式相乘】
1、计算：
（1）
（2）
（3）
2、计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
3、计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
4、计算：
（1）
（2）
参考答案
1、（1） ；（2） ；（4）
【单项式与单项式相除】
1、计算：
（1）
（2）
2、计算：
第10讲整式乘除
基本知识（熟记，一定要结合实例理解，要提问．）
1、单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2、单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
3、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
4、单项式与单项式相除，把系数和同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
5、多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
基本计算训练
【单项式与单项式相乘】
1、计算：
（1）
（2）
2、计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
3、下面的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
（1）
（2）
3、计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
4、计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
必刷提高题14.2 乘法公式(解析版)-2020-2021学年八年级数学上册同步必刷题闯关练
2020-2021学年八年级数学上册同步必刷题闯关练（人教版）第十四章《整式的乘法和因式分解》14.2 乘法公式知识点1：完全平方公式【例1】（2020•呼伦贝尔）下列计算正确的是( )A ．236a a a =B ．222()x y x y +=+C ．5226()a a a ÷=D ．22(3)9xy xy -= 【解答】解：A 、235a a a =，故选项错误；B 、222()2x y x y xy +=++，故选项错误；C 、5226()a a a ÷=，故选项正确；D 、222(3)9xy x y -=，故选项错误；故选：C ．【变式1-1】（2020春•槐荫区期中）若10a b +=，11ab =，则代数式22a ab b -+的值是() A ．89 B ．89- C ．67 D ．67-【解答】解：把10a b +=两边平方得：222()2100a b a b ab +=++=，把11ab =代入得：2278a b +=，∴原式781167=-=，故选：C ．【变式1-2】如果2ab =，3a b +=，那么22a b += ．【解答】解：2ab =，3a b +=，2222()2345a b a b ab ∴+=+-=-=．【变式1-3】（2018秋•雁江区期末）已知12x x +=，求221x x +，441x x +的值． 【解答】解：22211()22x x x x+=+-=；4224211()22x x x x +=+-=． 【变式1-4】（2017春•苏仙区校级期中）（1）已知490m n +=，2310m n -=，求22(2)(3)m n m n +--的值（2）已知2()7a b +=，2ab =，求22a b +值．【解答】解：（1）490m n +=，2310m n -=，∴原式(4)(23)900m n m n =-+-=-；（2）222()27a b a b ab +=++=，2ab =，223a b ∴+=．知识点2：完全平方公式的几何背景【例2】（2018秋•邓州市期中）用四个全等的长方形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4，若用a ，b 分别表示矩形的长和宽()a b >，则下列关系中不正确的是( )A ．12a b +=B ．2a b -=C ．35ab =D ．2284a b +=【解答】解：A 、根据大正方形的面积求得该正方形的边长是12，则12a b +=，故A 选项正确； B 、根据小正方形的面积可以求得该正方形的边长是2，则2a b -=，故B 选项正确；C 、根据4个矩形的面积和等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即41444140ab =-=，35ab =，故C 选项正确；D 、222()2144a b a b ab +=++=，所以221442351447074a b +=-⨯=-=，故D 选项错误．故选：D ．【变式2-1】（2017春•金平区期末）如图是用4个相同的小长方形与1个小正方形密铺而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用x ，y （其中)x y >分别表示小长方形的长与宽，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是( )A ．8x y +=B ．3x y -=C ．2216x y -=D ．4964xy +=【解答】解：A 、因为正方形图案的边长8，同时还可用()x y +来表示，故此选项正确；B 、中间小正方形的边长为3，同时根据长方形长宽也可表示为x y -，故此选项正确；C 、根据A 、B 可知8x y +=，3x y -=，则22()()24x y x y x y -=+-=，故此选项错误；D 、因为正方形图案面积从整体看是64，从组合来看，可以是2()x y +，还可以是(44)xy +，即4464xy +=，故此选项正确；故选：C ．【变式2-2】（2020春•天桥区期末）如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2)．①图2中的阴影部分的面积为 ；②观察图2请你写出2()a b +、2()a b -、ab 之间的等量关系是 ；③根据（2）中的结论，若5x y +=，94x y =，则2()x y -= ； ④实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你发现的等式是 ．【解答】解：①2()b a -；②22()()4a b a b ab +--=；③当5x y +=，94x y =时， 22()()4x y x y xy -=+-29544=-⨯ 16=；④22()(3)34a b a b a ab b ++=++．故答案为：①2()b a -；②22()()4a b a b ab +--=；③16；④22()(3)34a b a b a ab b ++=++．【变式2-3】（2019秋•临沭县期中）如图①所示是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的正方形的边长等于 ．（2）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积．方法① ；方法② ．（3）观察图②，请写出2()m n +、2()m n -、mn 这三个代数式之间的等量关系： ．（4）若6a b +=，5ab =，则求a b -的值．【解答】解：（1）图②中的阴影部分的小正方形的边长m n =-；（2）方法①2()4m n mn +-；方法②2()m n -；（3）这三个代数式之间的等量关系是：22()()4m n m n mn -=+-；（4）22()()4a b a b ab -=+-， 6a b +=，5ab =，2()362016a b ∴-=-=，4a b ∴-=±．故答案为m n -；2()4m n mn +-2()m n -；22()4()m n mn m n +-=-． 知识点3：完全平方式【例3】（2016•青羊区校级自主招生）如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是( )A ．1a +B ．21a +C ．221a a ++D ．1a + 【解答】解：自然数a 是一个完全平方数，a ∴∴比a 的算术平方根大11，∴这个平方数为：21)1a =+．故选：D ．【变式3-1】（2013春•武侯区月考）若要使21464x mx ++成为一个两数差的完全平方式，则m 的值应为( )A ．12±B ．12-C ．14±D ．14- 【解答】解：22111(2)48264x x x -=-+，或22111[2()]48264x x x --=++， 12m ∴=-或12． 故选：A ．【变式3-2】（2018秋•西湖区校级月考）已知2216m km ++是完全平方式，则k = ．【解答】解：2216m km ++是完全平方式，28km m ∴=±，解得4k =±．【变式3-3】若多项式224x kx ++是关于x 的完全平方式，则k = ．【解答】解：224x kx ++是一个多项式的完全平方，222kx x ∴=±⨯，2k ∴=±．故答案为：2±．【变式3-4】（2015秋•重庆校级期中）阅读理解：所谓完全平方式，就是对于一个整式A ，如果存在另一个整式B ，使得2A B =，则称A 是完全平方式，例如422()a a =，22441(21)a a a -+=-．（1）下列各式中完全平方式的编号有 ；①6a ；②22a ab b ++；③2244x x y -+④269m m ++；⑤21025x x --；⑥221424a ab b ++． （2）若224x xy my ++和2264x nxy y -+都是完全平方式，求20152016m n 的值；（3）多项式2491x +加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些？（请罗列出所有可能的情况，直接写出答案）【解答】解：（1）①632()a a =，是；②22a ab b ++，不是；③2244x x y -+，不是；④2269(3)m m m ++=+，是；⑤21025x x --，不是；⑥2221142(2)42a ab b a b ++=+，是， 故答案为：①④⑥；（2）224x xy my ++和2264x mxy y -+都是完全平方式，116m ∴=，16n =±， 则原式20151(16)161616=⨯⨯=； （3）多项式2491x +加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是14x ，14x -，1-，249x -，424014x ． 知识点4：平方差公式【例4】（2020•碑林区校级模拟）下列运算正确的( )A ．3232m m m -=B ．23522m m m =C ．22(2)(2)4a b a b a b --+=-D ．23245(2)4x y x y -= 【解答】解：33m 和22m 不能合并，故选项A 错误；23522m m m =，故选项B 正确；22(2)(2)44a b a b a ab b --+=---，故选项C 错误；23246(2)4x y x y -=，故选项D 错误；故选：B ．【变式4-1】（2020秋•武侯区校级月考）计算：2(234)(324)2()b c c b b c -+-+--= ．【解答】解：2(234)(324)2()b c c b b c -+-+--，2[(23)4][(23)4]2()b c b c b c =-+--+--，2216(23)2()b c b c =----，2222164129242b bc c b bc c =-+--+-，226111616b c bc =--++．【变式4-2】计算：248161(51)(51)(51)(51)(51)4++++++= ． 【解答】解：248161(51)(51)(51)(51)(51)4++++++，2481611(51)(51)(51)(51)(51)(51)44=-++++++，3211(51)44=-+，3254=．【变式4-3】（2019秋•开福区校级期中）利用乘法公式计算：（1）2(23)(3)(3)x y y x x y --+-（2）(23)(23)a b a b -++-．【解答】解：（1）原式22224129(9)x xy y x y =-+--222241299x xy y x y =-+-+2251210x xy y =--+；（2）原式[(23)][(23)]a b a b =--+-22(23)a b =--224129a b b =-+-．【变式4-4】（2017春•雁塔区校级月考）用公式简便运算（1）215185⨯（2）2699（3）2201920172021-⨯．【解答】解：（1）原式22(20015)(20015)200154000022539775=+-=-=-=；（2）222699(7001)70027001149000014001488601=-=-⨯⨯+=-+=；（3）222222019201720212019(20192)(20192)2019201924-⨯=---=-+=．【变式4-5】（2017春•义乌市校级期中）探索：2(21)(21)21-+=-23(21)(221)21-++=-324(21)(2221)21-+++=-4325(21)(22221)21-++++=-⋯（1）求8762222221+++⋯⋯+++的值是多少；（2）求2008200720062333331+++⋯⋯+++的值是多少？【解答】解：（1）2(21)(21)21-+=-23(21)(221)21-++=-324(21)(2221)21-+++=-4325(21)(22221)21-++++=-⋯8762922222121511∴+++⋯⋯+++=-=；（2）2008200720062333331+++⋯⋯+++2009(31)(31)=-÷-2009312-=． 知识点5：平方差公式的几何背景【例5】（2018秋•大同期末）如图1，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形()a b >，把剩下部分沿图1中的虚线剪开后重新拼成一个梯形（如图2)，利用这两幅图形面积，可以验证的乘法公式是( )A ．222()2a b a ab b -=-+B ．222()2a b a ab b +=++C ．2()a a b a ab +=+D ．22()()a b a b a b +-=-【解答】解：图1阴影部分的面积等于22a b -，图2梯形的面积是1(22)()()()2a b a b a b a b +-=+- 根据两者阴影部分面积相等，可知22()()a b a b a b +-=-比较各选项，只有D 符合题意故选：D ．【变式5-1】（2018春•青羊区期末）如图，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立( )A ．222()2a b a ab b -=-+B ．2()a a b a ab +=+C ．222()2a b a ab b +=++D ．22()()a b a b a b -+=-【解答】解：由题意这两个图形的面积相等， 22()()a b a b a b ∴-=+-，故选：D ．【变式5-2】如图，小刚家有一块“L ”形的菜地，要把这块菜地按图示那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是xm ，下底都是ym ，高都是()y x m -，请你帮小刚家算一算菜地的面积是 平方米．当20x m =，30y m =时，面积是 平方米．【解答】解：由题意得菜地的面积为2212()()2x y y x y x ⨯+-=-． 当20x =，30y =时，222223020900400500y x m -=-=-=．故答案为：22y x -；500．【变式5-3】（2017春•张掖月考）乘法公式的探究及应用．小题1：如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；小题2：如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是 ，长是 ，面积是 （写成多项式乘法的形式）小题3：比较图1，图2的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用式子表达）小题4：应用所得的公式计算：2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23499100---⋯--【解答】解：小题1：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积22a b =-；故答案为：22a b -；小题2：由图可知矩形的宽是a b -，长是a b +，所以面积是()()a b a b +-；故答案为：a b -，a b +，()()a b a b +-；小题223:()()a b a b a b +-=-（等式两边交换位置也可）；故答案为：22()()a b a b a b +-=-； 小题22222111114:(1)(1)(1)(1)(1)23499100---⋯-- 1111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2233449999100100=-⨯+-+-+⋯-+-+ 13243598100991012233449999100100=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋯⨯⨯⨯⨯ 11012100=⨯ 101200=． 【变式5-4】（2019春•南海区期末）（1）如图1，阴影部分的面积是 ．（写成平方差的形式）（2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2的长方形，面积是 ．（写成多项式相乘的积形式）（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到公式： ．（4）应用公式计算：222222111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)234520172018----⋯--．【解答】解：（1）如图（1）所示，阴影部分的面积是22a b -，故答案为：22a b -；（2）根据题意知该长方形的长为a b +、宽为a b -，则其面积为()()a b a b +-，故答案为：()()a b a b +-；（3）由阴影部分面积相等知22()()a b a b a b -+=-，故答案为：22()()a b a b a b -+=-；（4）222222111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)234520172018----⋯-- 111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)223320182018=-+-+⋯-+ 132420172019223320182018=⨯⨯⨯⨯⋯⨯⨯ 1201922018=⨯ 20194036=． 【变式5-5】（2018春•延庆区期末）我们经常利用图形描述问题和分析问题．借助直观的几何图形，把问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路．（1）小明为了解释某一公式，构造了几何图形，如图1所示，将边长为a 的大正方形剪去一个边长为b 的小正方形，并沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2，显然图1中的图形与图2中的图形面积相等，从而验证了公式．则小明验证的公式是 ．（2）计算：()()x a x b ++= ；请画图说明这个等式．【解答】解：（1）由图1可得，图形面积22a b =-，由图2可得，图形面积()()a b a b =+-，22()()a b a b a b ∴+-=-故答案为：22()()a b a b a b +-=-；（2）2()()x a x b x ax bx ab ++=+++，证明：如图所示，图形面积()()x a x b =++，图形面积2x ax bx ab =+++，2()()x a x b x ax bx ab ∴++=+++，故答案为：2x ax bx ab+++．。
专题复习：乘法公式知识点归纳及典例+练习题及答案(师)
专题复习：乘法公式知识点归纳及典例+练习题一、知识概述 1、平方差公式 由多项式乘法得到 (a＋b)(a－b) ＝a －b . 即两个数的和与这两个数的差的积，等于它们的平方差. 2、平方差公式的特征 ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)； ③公式中的 a 和 b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对于形如两数和与这两数差相乘的形式，就可以运用上述公式来计算． 3、完全平方公式 由多项式乘法得到（a±b） ＝a ±2ab＋b2 2 2 2 2即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的 2 倍. 推广形式：（a＋b＋c） ＝a ＋b ＋c ＋2ab＋2bc＋2ca 4、完全平方公式的特征 (a＋b) ＝a ＋2ab＋b 与(a－b) ＝a －2ab＋b 都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数 和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式． ①两公式的左边：都是一个二项式的完全平方，二者仅有一个符号不同；右边：都是二次三项式，其 中有两项是公式左边两项中每一项的平方，中间是左边二项式中两项乘积的 2 倍，两者也仅有一个符号不 同． ②公式中的 a、b 可以是数，也可以是单项式或多项式． ③对于形如两数和(或差)的平方的乘法，都可以运用上述公式计算． 5、乘法公式的主要变式 （1）a －b ＝(a＋b)(a－b); （2）(a＋b) －(a－b) ＝4ab; （3）(a＋b) ＋(a－b) ＝2(a ＋b )； （4）a ＋b ＝(a＋b) －2ab＝(a－b) ＋2ab （5）a ＋b ＝(a＋b) －3ab(a＋b)． 熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程． 注意：(1)公式中的 a，b 既可以表示单项式，也可以表示多项式. (2)乘法公式既可以单独使用，也可以同时使用. (3)这些公式既可以正用，也可以逆用，因此在解题时应灵活地运用公式，以计算简捷为宜.3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2二、典型例题讲解 例 1、计算： (1)(3a＋2b)(2b－3a)； (2)(x－2y)(－x－2y)；(3) (4)(a＋b＋c)(a－b－c). 解：；(1)原式＝(2b＋3a)(2b－3a) ＝(2b) －(3a) ＝4b －9a2 2 2 2(2)原式＝(－2y＋x)(－2y－x) ＝(－2y) －x ＝4y －x2 2 2 2(3)原式＝＝＝ (4)原式＝[a＋(b＋c)][a－(b＋c)] ＝a －(b＋c)2 2 2 2＝a －(b ＋2bc＋c ) ＝a －b －2bc－c 例 2、计算： (1)2004 －19962 2 2 2 2 22(2)(x－y＋z) －(x＋y－z)2(3)(2x＋y－3)(2x－y－3)． 解：(1)2004 －1996 ＝(2004＋1996)(2004－1996) ＝4000×8＝32000 (2)(x－y＋z) －(x＋y－z)2 2 2 2＝[(x－y＋z)＋(x＋y－z)][ (x－y＋z)－(x＋y－z)]＝2x(－2y＋2z)＝－4xy＋4xz （3）(2x＋y－3)(2x－y－3)＝[(2x－3)＋y][(2x－3)－y] ＝(2x－3) －y ＝4x －12x＋9－y ＝4x －y －12x＋9； 例 3、计算： (1)(3x＋4y) ； (3)(2a－b) ；2 2 2 2 2 2 2 2 2(2)(－3＋2a) ； (4)(－3a－2b)22解：(1)原式＝(3x) ＋2·3x·4y＋(4y) ＝9x ＋24xy＋16y2 2 22(2)原式＝(－3) ＋2·(－3)·2a＋4a ＝4a －12a＋922(3)原式＝(2a) ＋2·2a·(－b)＋(－b) ＝4a －4ab＋b2 222(4)原式＝[－(3a＋2b)] ＝(3a＋2b)2 22＝(3a) ＋2·(3a)·2b＋(2b) ＝9a ＋12ab＋4b2 22例 4、已知 m＋n＝4， mn＝－12，求(1)；（2）；（3）．解：（1）；（2）；（3）2．例 5、多项式 9x ＋1 加上一个单项式后，使它能够成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 ________(填上一个你认为正确的即可)． 分析： 解答时，很多学生只习惯于课本上的完全平方的顺序，认为只有添加中间(两项的乘积的 2 倍)项，即 9x ＋1＋6x＝(3x＋1) 或 9x －6x＋1＝(3x－1) ；但只要从多方面考虑，还会得出2 2 2 2，9x ＋1－1＝9x ＝(3x) ， 9x ＋1－9x ＝12， 所以添加的单项式可以是 6x，22222－6x，，－1，－9x ．2答案：±6x 或 例 6、计算：或－1 或－9x2，并说明结果与 y 的取值是否有关． 解：从上述结果可以看出，结果中不含 y 的项，因此结果与 y 的取值无关． 点评： (1)利用平方差公式计算的关键是弄清具体题目中，哪一项是公式中的 a，哪一项是公式中的 b； (2)通常在各因式中， 相同项在前， 相反项在后， 但有时位置会发生变化， 因此要归纳总结公式的变化， 使之更准确的灵活运用公式． ①位置变化：(b＋a)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝a －b ； ②符号变化：(－a－b)(a－b)＝(－b－a)(－b＋a)＝(－b) －a ＝b －a ； ③系数变化：(3a＋2b)(3a－2b)＝(3a) －(2b) ＝9a －4b ； ④指数变化：(a ＋b )(a －b )＝(a ) －(b ) ＝a －b ； ⑤连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a ＋b )(a ＋b ) ＝(a －b )(a ＋b )(a ＋b )＝(a －b )(a ＋b ) ＝a －b ； ⑥逆用公式变化：(a－b＋c) －(a－b－c)2 2 8 8 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 2 2 4 4 3 3 3 3 3 2 3 2 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2＝[(a－b＋c)＋(a－b－c)][(a－b＋c)－(a－b－c)] ＝4c(a－b)． 例 7、已知 ．求 分析：的值．若直接代入求解则十分繁杂。
中考复习——乘法公式(解析版)
中考复习——乘法公式一、选择题1、（1+y）（1-y）=（）．A. 1+y2B. -1-y2C. 1-y2D. -1+y2答案：C解答：（1+y）（1-y）=12-y2=1-y2，选C.2、下列运算正确的是（）．A. a12÷a3=a4B. （3a2）3=9a6C. 2a·3a=6a2D. （a-b）2=a2-ab+b2答案：C解答：A选项：a12÷a3=a9，故A错误．B选项：（3a2）3=27a6，故B错误．C选项：2a·3a=6a2，故C正确．D选项：（a-b）2=a2-2ab+b2，故D错误．选C.3、下列运算正确的是（）．A. （a+b）（a-2b）=a2-2b2B. （a-12）2=a2-14C. -2（3a-1）=-6a+1D. （a+3）（a-3）=a2-9答案：D解答：A选项：原式=a2-2ab+ab-2b2=a2-ab-2b2，故A错误；B选项：原式=a2-a+14，根据完全平方公式可以做出判断，故B错误；C选项：原式=-6a+2，根据乘法分配律可以做出判断，故C错误；D选项：原式=a2-9，故D正确．选D.4、下列运算正确的是（）．A. 2x+3x=5x2B. （-2x）3=-6x3C. 2x3·3x2=6x5D. （3x+2）（2-3x）=9x2-4答案：C解答：A选项：2x+3x=5x，故A错误；B选项：（-2x）3=-8x3，故B错误；C选项：2x3·3x2=6x5，故C正确；D选项：（3x+2）（2-3x）=-9x2+4，故D错误．选C.5、下列运算正确的是（）．A. 4m-m=4B. （a2）3=a5C. （x+y）2=x2+y2D. -（t-1）=1-t 答案：D解答：A选项：4m-m=3m，故A错误；B选项：（a2）3=a6，故B错误；C选项：（x+y）2=x2+2xy+y2，故C错误；D选项：-（t-1）=1-t，故D正确．选D.6、下列运算正确的是（）．A. （2a2b）2=2a4b2B. （-a）2=a2C. （a+b）2=a2+b2D. a3a4=a12答案：B解答：A选项：原式=4a4b2，故A错误；B选项：原式=a2，故B正确；C选项：原式=a2+2ab+b2，故C错误；D选项：原式=a7，故D错误．选B.7、下列计算正确的是（）．A. x2+x=x3B. （-3x）2=6x2C. 8x4÷2x2=4x2D. （x-2y）（x+2y）=x2-2y2答案：C解答：A选项：x2+x≠x3，故A错误；B选项：（-3x）2=9x2≠6x2，故B错误；C选项：8x4÷2x2=4x2，故C正确；D选项：（x-2y）（x+2y）=x2-4y2≠x2-2y2，故D错误．选C.8、选择计算（-4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是（）．A. 运用多项式乘多项式法则B. 运用平方差公式C. 运用单项式乘多项式法则D. 运用完全平方公式答案：B解答：选择计算（-4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是：运用平方差公式．选B.9、下列计算正确的是（）．A. a2·a3=a6B. a8÷a2=a4C. a2+a2=2a2D. （a+3）2=a2+9答案：C解答：A选项：a2·a3=a5，故A错误；B选项：a8÷a2=a6，故B错误；C选项：a2+a2=2a2，故C正确；D选项：（a+3）2=a2+6a+9，故D错误；选C.10、下列运算，正确的是（）．A. 2x+3y=5xyB. （x-3）2=x2-9C. （xy2）2=x2y4D. x6÷x3=x2答案：C解答：A选项：2x+3y，无法合并，故A错误；B选项：（x-3）2=x2-6x+9，故B错误；C选项：（xy2）2=x2y4，故C正确；D选项：x6÷x3=x3，故D错误．选C.11、下列计算正确的是（）．A. B. （-2a2b）3=-6a2b3C. （a-b）2=a2-b2D.24aa b-+·2a ba++=a-2答案：D解答：A选项：，故A错误；B选项：（-2a2b）3=（-2）3（a2）3b3=-8a6b3，故B错误；C选项：（a-b）2=a2-2ab+b2，故C错误；D选项：24aa b-+·2a ba++=()()22a aa b+-+·2a ba++=a-2，故D正确．选D.12、下列运算不正确的是（）．A. xy+x-y-1=（x-1）（y+1）B. x2+y2+z2+xy+yz+zx=12（x+y+z）2C. （x+y）（x2-xy+y2）=x3+y3D. （x-y）3=x3-3x2y+3xy2-y3答案：B解答：A选项：xy+x-y-1=x（y+1）-（y+1）=（x-1）（y+1），A正确，不符合题意；B选项：x2+y2+z2+xy+yz+zx=12[（x+y）2+（x+z）2+（y+z）2]，B错误，符合题意；C选项：（x+y）（x2-xy+y2）=x3+y3，C正确，不符合题意；D选项：（x-y）3=x3-3x2y+3xy2-y3，D正确，不符合题意．选B.13、下列计算正确的是（）．A. （x+y）2=x2+y2B. 2x2y+3xy2=5x3y3C. （-2a2b）3=-8a6b3D. （-x）5÷x2=x3答案：C解答：A选项：原式=x2+2xy+y2，不符合题意；B选项：原式不能合并，不符合题意；C选项：原式=-8a6b3，符合题意；D选项：原式=-x5÷x2=-x3，不符合题意．选C.14、如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（）．A. x2-2x+1=（x-1）2B. x2-1=（x+1）（x-1）C. x2+2x+1=（x+1）2D. x2-x=x（x-1）答案：B解答：第一个图形空白部分的面积是x2-1，第二个图形的面积是（x+1）（x-1）．则x2-1=（x+1）（x-1）．选B.15、下列运算一定正确的是（）．A. 2a+2a=2a2B. a2·a3=a6C. （2a2）3=6a6D. （a+b）（a-b）=a2-b2答案：D解答：2a+2a=4a，A错误；a2·a3=a5，B错误；（2a2）3=8a6，C错误；选D.16、若()()2291111k--=8×10×12，则k=（）．A. 12B. 10C. 8D. 6答案：B解答：利用平方差公式可得，8101012k⨯⨯⨯=8×10×12，可求k为10．选B.17、化简（x-3）2-x（x-6）的结果为（）．A. 6x-9B. -12x+9C. 9D. 3x+9答案：C解答：原式=x2-6x+9-x2+6x=9．选C.18、4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1=2S2，则a、b满足（）．A. 2a=5bB. 2a=3bC. a=3bD. a=2b答案：D解答：S1=12b（a+b）×2+12ab×2+（a-b）2=a2+2b2，S2=（a+b）2-S1=（a+b）2-（a2+2b2）=2ab-b2，∵S1=2S2，∴a2+2b2=2（2ab-b2），整理，得（a-2b）2=0，∴a-2b=0，∴a=2b．选D.19、已知三个实数a，b，c满足a-2b+c=0，a+2b+c＜0，则（）．A. b＞0，b2-ac≤0B. b＜0，b2-ac≤0C. b ＞0，b 2-ac ≥0D. b ＜0，b 2-ac ≥0答案：D解答：∵a -2b +c =0，a +2b +c ＜0， ∴a +c =2b ，b =2a c+， ∴a +2b +c =（a +c ）+2b =4b ＜0， ∴b ＜0， ∴b 2-ac =（2a c +）2-ac =2224a ac c ++-ac=2224a ac c -+=（2a c -）2≥0 即b ＜0，b 2-ac ≥0． 选D. 二、填空题20、计算：（a -1）2=______． 答案：a 2-2a +1解答：根据差的完全平方公式展开得：（a -1）2=a 2-2a +1． 故答案为a 2-2a +1．21、计算：（a +3）2=______． 答案：a 2+6a +9解答：（a +3）2=a 2+6a +9． 故答案为：a 2+6a +9． 22、计算：（2-x ）2=______． 答案：4-4x +x 2解答：（2-x ）2=22-2×2x +x 2=4-4x +x 2． 故答案为：4-4x +x 2．23、已知a =7-3b ，则代数式a 2+6ab +9b 2的值为______．答案：49解答：∵a=7-3b，∴a+3b=7，∵a2+6ab+9b2=（a+3b）2，∴a2+6ab+9b2=72=49．故答案为：49．24、化简x2-（x+2）（x-2）的结果是______．答案：4解答：x2-（x+2）（x-2）=x2-x2+4=4．25、化简：（）（）=______．答案：1解答：原式=22-2=4-3=1．26、若a=b+2，则代数式a2-2ab+b2的值为______．答案：4解答：∵a=b+2，∴a-b=2，∴a2-2ab+b2=（a-b）2=22=4．27、若x2+ax+4=（x-2）2，则a=______．答案：-4解答：∵x2+ax+4=（x-2）2，∴a=-4．故答案为：-4．28）-1）的结果等于______．答案：2解答：由平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）可知：）-1）=2-12=3-1=2．29、已知a+b=3，a2+b2=5，则ab的值是______．答案：2解答：∵a+b=3，∴（a+b）2=9，即a2+2ab+b2=9，∵a2+b2=5，∴ab=（9-5）÷2=2．故答案为：2．30、若x、y、z为实数，且2421x y zx y z+-=⎧⎨-+=⎩，则代数式x2-3y2+z2的最大值是______．答案：26解答：①②2421x y zx y z+-=⎧⎨-+=⎩①②，①-②得：y=1+z，则y=1+z代入①得：x=2-z，则x2-3y2+z2=（2-z）2-3（1+z）2+z2=-z2-10z+1=-（z+5）2+26，当z=5时，x2-3y2+z2的最大值是26，故答案且：26．31、2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为______．答案：27解答：由题意可得在图1中：a 2+b 2=15，（b -a ）2=3， 图2中大正方形的面积为：（a +b ）2， ∵（b -a ）2=3，a 2-2ab +b 2=3， ∴15-2ab =3， 2ab =12，∴（a +b ）2=a 2+2ab +b 2=15+12=27， 故答案为：27． 三、解答题32、化简：（a +b ）2-b （2a +b ）． 答案：a 2．解答：原式=a 2+2ab +b 2-2ab -b 2 =a 2． 33、计算：（1）（x +y ）2+x （x -2y ）．（2）（1-3m m +）÷22969m m m -++．答案：（1）2x 2+y 2． （2）33m -． 解答：（1）原式=x 2+2xy +y 2+x 2-2xy =2x 2+y 2．（2）原式=（333m m m m +-++）·()()()2333m m m ++-=33m +·33m m +- =33m -． 34、计算：（1）（a +b ）2+a （a -2b ）．（2）m -1+2269m m --+223m m ++． 答案：（1）2a 2+b 2．（2）2413m m m +++． 解答：（1）（a +b ）2+a （a -2b ） =a 2+2ab +b 2+a 2-2ab =2a 2+b 2．（2）m -1+2269m m --+223m m ++ =()()133m m m -+++23m ++223m m ++ =2232223m m m m +-++++ =2413m m m +++．。
乘法公式精选题(含答案)
5、已知 ，求 的值。
=6
6、若多项式 加上一个单项式后，能成为一个整式的完全平方，请你尽可能多的写出这个单项式。
7、设 ，
求① 的值。② 的值。
知识点4.平方差公式：a2－b2=______________
知识点5.完全平方公式：①(a＋b)2=______________②(a－b)2=______________
知识点6.完全平方公式的常用变形(应用):①(a+b)(a-b)=a2－b2
②a2+b2=(a+b)2-2ab③a2+b2=(a-b)2+2ab④(a-b)2=(a+b)2-4ab
（3） （4）
（A）（1）（2）（3）（B）（1）（2）（4）（C）（1）（3）（4）（D）（2）（3）（4）
4、无论x、y取何值时， 的值都是（A）
（A）正数（B）负数（C）零（D）非负数
5、如果一个多项式与 的积是 ，则这个多项式是（C）
（A） （B）
（C） （D）
6、若（x+a）（x+b）中不含x的一次项，那么a、b一定是（B）
8．①已知a2+b2+c2=18,ab+bc+ac=13,则(a+b+c)2=________
②已知a2+b2+c2=18，a+b+c=6，则ab+bc+ac=__________
③a-b=5,b-c=2,则a2+b2+c2-ab-bc-ac=__________
初一练习卷
一、填空
1、 =-1 ，则 =2
5.①求(2x+2)(x2-3x)展开式中x2的系数。
八年级数学竞赛例题专题讲解：乘法公式(含答案)
专题02 乘法公式阅读与思考乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：1．熟悉每个公式的结构特征；2．正用 即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用； 3．逆用 即将公式反过来逆向使用； 4．变用 即能将公式变换形式使用；5．活用 即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．例题与求解【例1】 1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是 ．（全国初中数字联赛试题）解题思路：因22()()a b a b a b -=+-，而a b +a b -的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．【例2】（1）已知,a b 满足等式2220,4(2)x a b y b a =++=-，则,x y 的大小关系是( )A ．x y ≤B ．x y ≥C ．x y <D ．x y >（山西省太原市竞赛试题）（2）已知,,a b c 满足22227,21,617a b b c c a +=-=--=-，则a b c ++的值等于（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5（河北省竞赛试题）解题思路：对于（1），作差比较,x y 的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．【例3】计算下列各题：（1） 2486(71)(71)(71)(71)1+++++；（天津市竞赛试题） （2）221.23450.76552.4690.7655++⨯；（“希望杯”邀请赛试题）（3）22222222(13599)(246100)++++-++++．解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征．【例4】设221,2a b a b +=+=，求77a b +的值． （西安市竞赛试题）解题思路：由常用公式不能直接求出77a b +的结构，必须把77a b +表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果．【例5】观察：222123415;2345111;3456119;⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；（2）根据（1），计算20002001200220031⨯⨯⨯+的结果（用一个最简式子表示）．（黄冈市竞赛试题）解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．【例6】设,,a b c 满足2223331,2,3,a b c a b c a b c ++=++=++=求：（1）abc 的值； （2）444a b c ++的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．能力训练A 级1．已知22(3)9x m x --+是一个多项式的平方，则m = ． （广东省中考试题） 2．数4831-能被30以内的两位偶数整除的是 ．3．已知222246140,x y z x y z ++-+-+=那么x y z ++= ．（天津市竞赛试题）4．若3310,100,x y x y +=+=则22x y += ．5．已知,,,a b x y 满足3,5,ax by ax by +=-=则2222()()a b x y ++的值为 ．（河北省竞赛试题）6．若n 满足22(2004)(2005)1,n n -+-=则(2005)(2004)n n --等于 ． 7．22221111(1)(1)(1)(1)2319992000----等于（ ） A ．19992000 B ．20012000 C ．19994000D ．200140008．若222210276,251M a b a N a b a =+-+=+++，则M N -的值是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．可正可负9．若222,4,x y x y -=+=则19921992xy +的值是（ ）A ．4B ．19922C ．21992D ．4199210．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？ （“CASIO ”杯全国初中数学竞赛试题）11．设9310382a =+-，证明：a 是37的倍数． （“希望杯”邀请赛试题）12．观察下面各式的规律：222222222222(121)1(12)2;(231)2(23)3;(341)3(34)4;⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+ 写出第2003行和第n 行的式子，并证明你的结论．B 级1．()na b +展开式中的系数，当n =1，2，3…时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”求出901.1的值为 ． （《学习报》公开赛试题）2．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3的对面的数分别为,,a b c ，则222a b c ab bc ac ++---的值为 ．（天津市竞赛试题）3．已知,,x y z 满足等式25,9,x y z xy y +==+-则234x y z ++= ．4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为 ．（全国初中数学联赛试题）5．已知19992000,19992001,19992002a x b x c x =+=+=+，则多项式222a b c ab bc ac ++---的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（ ）A ．16种B ．14种C ．12种D ．10种（北京市竞赛试题）7．若正整数,x y 满足2264x y -=，则这样的正整数对(,)x y 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（山东省竞赛试题）8．已知3a b -=，则339a b ab --的值是（ ）A ．3B ．9C ．27D ．81（“希望杯”邀请赛试题）9．满足等式221954m n +=的整数对(,)m n 是否存在？若存在，求出(,)m n 的值；若不存在，说明理由．第2题图11 2 1 1 3 311 4 6 4 1 1510 10 5 1… … … … … … …。
乘法公式复习(附答案)
华夏教育 初二数学乘法公式一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2数形结合的数学思想认识乘法公式：假设a 、b 都是正数，那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。
如图1，两个矩形的面积之和（即阴影部分的面积）为(a+b)(a-b)，通过左右两图的对照，即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a 2-b 2；图2中的两个图阴影部分面积分别为(a+b)2与(a-b)2，通过面积的计算方法，即可得到两个完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2与(a-b)2=a 2-2ab+b 2。
二、乘法公式的用法(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础。
注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”．例1 计算：()()53532222x y x y +- 解：原式()()=-=-53259222244x y x y例2 计算(-2x 2-5)(2x 2-5)分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x 2”符号相反，因而“-5”是公式(a +b )(a -b )=a 2-b 2中的a ，而“2x 2”则是公式中的b ．解：原式=(-5-2x 2)(-5+2x 2)=(-5)2-(2x 2)2=25-4x 4．例3 计算(-a 2+4b )2分析：运用公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2时，“-a 2”就是公式中的a ，“4b ”就是公式中的b ；若将题目变形为(4b -a 2)2时，则“4b ”是公式中的a ，而“a 2”就是公式中的b ．（解略）(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。
例1 计算：()()()()111124-+++a a a a 解：原式()()()=-++111224a a a ()()=-+=-111448a a a例2 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简．解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)=(24-1)(24+1)(28+1)=（28-1）（28+1）=216-1三、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。
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初中数学竞赛辅导资料
乘法公式知识点详解及提高练习
甲内容提要
1．乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2．基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,
平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2
立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b3
3.公式的推广：
①多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
②二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3
(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）
（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）
…………
注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律
③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式
（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4
(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5
(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6
…………
注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律
在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数
(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n
(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1
类似地：
（a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋a b n－2+b n－1)=a n－b n
4.公式的变形及其逆运算
由（a+b）2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2－2a b
由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)
由公式的推广③可知：当n为正整数时
a n－
b n能被a－b整除,
a2n+1+b2n+1能被a+b整除,
a2n－b2n能被a+b及a－b整除。
乙例题
例1. 己知x+y=a xy=b
求①x2+y2②x3+y3③x4+y4④x5+y5
解：①x2+y2＝(x+y)2－2xy＝a2－2b
②x3+y3＝(x+y)3－3xy（x+y）＝a3－3ab
③x4+y4＝(x+y)4－4xy（x2+y2）－6x2y2＝a4－4a2b＋2b2
④x5+y5＝（x+y）(x4－x3y+x2y2－xy3+y4)
=(x+y)［x4+y4－xy(x2+y2)+x2y2］
=a［a4－4a2b+2b2－b(a2－2b)+b2］
＝a5－5a3b+5ab2
例2.求证：四个連续整数的积加上1的和，一定是整数的平方。
证明：设这四个数分别为a, a+1, a+2, a+3(a为整数)
a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+1
=(a2+3a)2+2(a2+3a)+1=(a2+3a+1)2
∵a是整数，整数的和、差、积、商也是整数
∴a2+3a+1是整数证毕
例3.求证：2222＋3111能被7整除
证明：2222＋3111＝（22）111＋3111＝4111＋3111
根据a2n+1+b2n+1能被a+b整除，（见内容提要4）
∴4111＋3111能被4＋3整除
∴2222＋3111能被7整除
例4. 由完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律解：∵(10a+5)2=100a2+2×10a×5+25=100a(a+1)+25
∴“个位数字为5的两位数的平方数”的特点是：幂的末两位数字是底数个位数字5的平方，幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大1的数的积。
如：152=225 幂的百位上的数字2=1×2)，252=625 (6=2×3)，352=1225 (12=3×4) 452=2025 (20=4×5)
……
丙练习15
1． 填空：
①a 2+b 2=(a+b)2－_____ ②(a+b)2=(a －b)2+___
③a 3+b 3=(a+b)3－3ab(___) ④a 4+b 4=(a 2+b 2)2－____
,⑤a 5+b 5=(a+b)(a 4+b 4)－_____ ⑥a 5+b 5=(a 2+b 2)(a 3+b 3)－____
2． 填空：
①(x+y)(___________)=x 4－y 4 ②(x －y)(__________)=x 4－y 4
③(x+y)( ___________)=x 5+y 5 ④（x －y ）(__________)=x 5－y 5
3.计算：
①552= ②652= ③752= ④852= ⑤952=
4. 计算下列各题 ，你发现什么规律
⑥11×19= ⑦22×28= ⑧34×36= ⑨43×47= ⑩76×74=
5..已知x+
x 1=3, 求①x 2+21x ②x 3+31x ③x 4+41x 的值
6.化简：①（a+b ）2(a －b)2
②(a+b)(a 2－ab+b 2)
③(a －b)((a+b)3－2ab(a 2－b 2)
④(a+b+c)(a+b －c)(a －b+c)(－a+b+c)
7.己知a+b=1,求证：a3+b3－3ab=1
8.己知a2=a+1，求代数式a5－5a+2的值
9.求证：233＋1能被9整除
10.求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数
的平方
的直径分别是a,b,c
①
②求：大圆面积减去三个小圆面积和的差。
答案:
4.十位上的数字相同，个位数的和为10的两个两位数相乘，其积的末两
位数是两个个位数字的积，积的百位以上的数是，原十位上数字乘上比它大1的数的积
8. n(n+1)+(n+1)=(n+1)2
9. ①可证明3个小圆周长的和减去大圆周长，其差等于0 ②2
(ab+ac+bc)。