流体力学-第六章1-2
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流体力学第6章讲解
2、射孔的形状，圆孔口和方孔显然其扩张的情况不会相同。不同的射口形状有 不
同的实验值。用φ表示这个影响因素， 对圆断面射流 φ＝3.4，长条缝射孔 φ＝2.44。
圆孔综口合射这流两：个t影g响因素K：x k＝Kφα 3.4a
x
R 1 3.4 as 3.4( as 0.294)
r0
vm
vm r0 1
1
v0 R
2
1
[(11.5 )2 ]2d
0
9
第二节圆断面射流的运动分析
1
n
1
n
[(1 1.5 )2 ] d Bn; [(1 1.5 )2 ] d Cn
0
0
n
1
1.5
2
2.5
3
Bn
0.0985
0.064
0.0464
0.0359
0.0286
第一节无限空间淹没紊流射流特性
二、紊流系数a及几何特征
其斜率即：tga＝常数＝k。 对于不同的条件，k值是不同的常数，也叫实验常数。 通过实验发现，k值的影响因素有两个主要的因素：
1、射孔出口截面上气流的紊流强度。 紊流强度的大小用紊流系数a（A）来表示：a大紊流的强度就大，因此，紊
流 系数的大小可以反映出射流的扩张能力，所以，a也叫表征射流流动结构的 特征系数。另一方面，由于a反映的是射流混合能力的大小，因此，a还可以反 映孔口出口截面上的速度均匀程度。a越小，则混合能力越差，说明流速越均匀 。
二、断面流量Q
R
微环面的流量表达式 Q 2vydy Q0 r02v0
0
主体段：
R
Q
v r 0
y
y
2 ( )( )d( )
《工程流体力学》第六章 不可压缩流体平面有势流动
3) y = 0 将 y=0 代入
驻点：
把驻点坐标代入流函数y：
过驻点流函数值：y = 0
物体轮廓线方程为：
求物体半宽b/2： 把 x=0 代入物体轮廓线方程：
y：物体半宽b/2
已知流函数 -> 速度场，压强场 在物体前部：附面层很薄 粘性影响大的流动区域：很薄 计算结果：与实验较符合
在物体后部：附面层增厚 形成：尾部旋涡 无粘流势流理论：不再适用
2)在源点左边x轴上，y=0：存在一点s 该点处：源点与直匀流速度：大小相等
方向相反
该点：驻点，复合流场合速度 = 0
求驻点，令： 驻点确在x负轴上
3)从源点流出流体到达驻点s后：不能继续向左流动 被迫分成上下两路 形成绕物体流动轮廓线—— 半无限体
现求半无限体轮廓线方程： 把驻点极坐标： 代入流函数中：
一般称零流线
粘性流体切向速度：0 理想流体切向速度：不受限制
第三节 基本解叠加原理 线性方程叠加原理：两个解的和或差也是该方程的解 平面不可压势流势函数和流函数方程：拉普拉斯方程 拉普拉斯方程：线性方程，可以应用叠加原理
复杂流场的解：可由若干简单流场的解叠加得到
两个有势流动势函数： j1，j2
每一流动都满足拉普拉斯方程：
什么条件？ 无旋条件 二维不可压连续方程：
不可压平面有势流动的流函数方程
不可压连续方程和无旋条件 －> 流函数方程 流函数方程－拉普拉斯方程：仅适用于不可压平面有势流 动
不可压平面有旋流动或可压缩平面有势流动： 不存在流函数方程
三、边界条件： 流体：从无穷远流向某物体 条件：不分离 物面法向流体速度：0，即物面是一条流线
都存在流函数
只有无Байду номын сангаас流动：才存在势函数 平面流动：流函数更普遍
《工程流体力学》第六章 不可压缩流体平面有势流动
一般称零流线
粘性流体切向速度：0 理想流体切向速度：不受限制
第三节 基本解叠加原理 线性方程叠加原理：两个解的和或差也是该方程的解 平面不可压势流势函数和流函数方程：拉普拉斯方程 拉普拉斯方程：线性方程，可以应用叠加原理
复杂流场的解：可由若干简单流场的解叠加得到
两个有势流动势函数： j1，j2
无旋流动：才存在势函数 平面流动：流函数更普遍
流函数与势函数一样：可以用来描述整个流场 由流函数：就可求出流速和压强分布
－流线微分方程
y=c曲线，即等流函数线：流线
给定一组常数值：就可得流线族
流体：不能穿越流线，也不能穿越固体表面 固体表面：可看作流线，通常是零流线
即y=0的流线：代替物体表面
2)在源点左边x轴上，y=0：存在一点s 该点处：源点与直匀流速度：大小相等
方向相反
该点：驻点，复合流场合速度 = 0
求驻点，令： 驻点确在x负轴上
3)从源点流出流体到达驻点s后：不能继续向左流动 被迫分成上下两路 形成绕物体流动轮廓线—— 半无限体
现求半无限体轮廓线方程： 把驻点极坐标： 代入流函数中：
过驻点的流函数值： 轮廓线方程：
可见 源的作用：是提前将前方来流的直匀流推开，与物体头部 作用相同
不同强度的源流：沿轴线排列 并：与直匀流叠加 可得到：直匀流绕实际钝头体物体的流动
三、直匀流与一对等强度源汇的叠加：
源：在x轴(-a, 0)处，强度 Q 汇：在x轴(a, 0 )处，强度 -Q 复合流动：直匀流与该源、汇叠加
注意： 三维流动：不存在流函数
不存在等流函数线 但存在流线
流函数与流量关系： 流动：二维 任意曲线：连接a、b两点 某瞬时过微元段ab的流量：
或
粘性流体切向速度：0 理想流体切向速度：不受限制
第三节 基本解叠加原理 线性方程叠加原理：两个解的和或差也是该方程的解 平面不可压势流势函数和流函数方程：拉普拉斯方程 拉普拉斯方程：线性方程，可以应用叠加原理
复杂流场的解：可由若干简单流场的解叠加得到
两个有势流动势函数： j1，j2
无旋流动：才存在势函数 平面流动：流函数更普遍
流函数与势函数一样：可以用来描述整个流场 由流函数：就可求出流速和压强分布
－流线微分方程
y=c曲线，即等流函数线：流线
给定一组常数值：就可得流线族
流体：不能穿越流线，也不能穿越固体表面 固体表面：可看作流线，通常是零流线
即y=0的流线：代替物体表面
2)在源点左边x轴上，y=0：存在一点s 该点处：源点与直匀流速度：大小相等
方向相反
该点：驻点，复合流场合速度 = 0
求驻点，令： 驻点确在x负轴上
3)从源点流出流体到达驻点s后：不能继续向左流动 被迫分成上下两路 形成绕物体流动轮廓线—— 半无限体
现求半无限体轮廓线方程： 把驻点极坐标： 代入流函数中：
过驻点的流函数值： 轮廓线方程：
可见 源的作用：是提前将前方来流的直匀流推开，与物体头部 作用相同
不同强度的源流：沿轴线排列 并：与直匀流叠加 可得到：直匀流绕实际钝头体物体的流动
三、直匀流与一对等强度源汇的叠加：
源：在x轴(-a, 0)处，强度 Q 汇：在x轴(a, 0 )处，强度 -Q 复合流动：直匀流与该源、汇叠加
注意： 三维流动：不存在流函数
不存在等流函数线 但存在流线
流函数与流量关系： 流动：二维 任意曲线：连接a、b两点 某瞬时过微元段ab的流量：
或
《流体力学》第六章气体射流
和圆断面射流相比，流量沿程的增加，流速沿 程的衰减都要慢些，这是因为运动的扩散被限 定在垂直于条缝长度的平面上的缘故。
.
射流参数的计算
段 名
参数名称
符号
圆断面射流
平面射流
扩散角 主
α tg3.4a tg2.44a
体
段 射流直径 或半高度
D b
D d0
6.8
as d0
0.147
b b0
2.44
0.095 as 0.147
d0
v1 0.492
v0
as 0.41
b0
v2
v2 v0
as
0.23 0.147
d0
v2 v0
0.833 as 0.41 b0
.
段名 参数名称
符 号
圆断面射流
平面射流
起
流量
Q
2
QQ0 10.76ar0s1.32ar0s
Q Q0
1 0.43 as b0
始
v 断面平均 流速
B0Kx
tgKxK3.4a
x
紊流系数
起始段
主体段
C
B
A
R
M
α r0
核心
0
D X0
边 E
界 层
Sn
F
S
X
射流结构
.
紊流系数与 出口断面上 紊流强度有 关，也与出 口断面上速 度分布的均 匀性有关。 （表6-1）
紊流系数
喷嘴种类 带有收缩口的喷嘴
a
0.066 0.071
圆柱形管
带有导风板的轴流式通风机 带导流板的直角弯管
已知射流直径D, v2,d0,a, 求S和Q0
.
射流参数的计算
段 名
参数名称
符号
圆断面射流
平面射流
扩散角 主
α tg3.4a tg2.44a
体
段 射流直径 或半高度
D b
D d0
6.8
as d0
0.147
b b0
2.44
0.095 as 0.147
d0
v1 0.492
v0
as 0.41
b0
v2
v2 v0
as
0.23 0.147
d0
v2 v0
0.833 as 0.41 b0
.
段名 参数名称
符 号
圆断面射流
平面射流
起
流量
Q
2
QQ0 10.76ar0s1.32ar0s
Q Q0
1 0.43 as b0
始
v 断面平均 流速
B0Kx
tgKxK3.4a
x
紊流系数
起始段
主体段
C
B
A
R
M
α r0
核心
0
D X0
边 E
界 层
Sn
F
S
X
射流结构
.
紊流系数与 出口断面上 紊流强度有 关，也与出 口断面上速 度分布的均 匀性有关。 （表6-1）
紊流系数
喷嘴种类 带有收缩口的喷嘴
a
0.066 0.071
圆柱形管
带有导风板的轴流式通风机 带导流板的直角弯管
已知射流直径D, v2,d0,a, 求S和Q0
流体力学第二版(蔡增基)第六章
②是否存在速度势函数?若存在，求出其表达式。 【解】（1）由不可压流体平面流动的连续性方程
ux u y (4 x) (4 y) 0 x y x y
该流动满足连续性方程。 （2）由于是平面流动
x y 0
1 u y u x 1 4 y 4 x z 0 2 x y 2 x y 该流动为无旋流动，存在速度势函数。
u y x u x y
平面流动为无旋流动。
平面无旋流动的速度势函数为： d u xdx u y dy 平面无旋流动的拉普拉斯方程：
2 x
2
2 y
2
0
【例2】有一不可压流体平面流动的速度分布为
u x 4 x，u y 4 y；
①该平面流动是否满足连续性方程；
o
D
C
E
把对角线EOF的旋转角速度定义为整个流 E' 体微团在xoy面的旋转角速度，用 z 表示。
1 u y u x 2 y x 1 u u y x z 2 z x
EOF的旋转角速度可看成是AOC和BOD角速度的平均：
左侧中心点沿x方向的流速为：
u x左 u x u x dx x 2
dz dy
u x dx x 2
dx
u x右 u x 右侧中心点沿x方向的流速为：
dt时间内沿x方向流入和流出的净体积流量为：
dQx (u x
dQx u x dxdydz dt x
如图（a）所示，虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由 于微团本身不旋转，故它是无旋流动；
在图 (b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕 自身轴线旋转，故它是有旋流动。
ux u y (4 x) (4 y) 0 x y x y
该流动满足连续性方程。 （2）由于是平面流动
x y 0
1 u y u x 1 4 y 4 x z 0 2 x y 2 x y 该流动为无旋流动，存在速度势函数。
u y x u x y
平面流动为无旋流动。
平面无旋流动的速度势函数为： d u xdx u y dy 平面无旋流动的拉普拉斯方程：
2 x
2
2 y
2
0
【例2】有一不可压流体平面流动的速度分布为
u x 4 x，u y 4 y；
①该平面流动是否满足连续性方程；
o
D
C
E
把对角线EOF的旋转角速度定义为整个流 E' 体微团在xoy面的旋转角速度，用 z 表示。
1 u y u x 2 y x 1 u u y x z 2 z x
EOF的旋转角速度可看成是AOC和BOD角速度的平均：
左侧中心点沿x方向的流速为：
u x左 u x u x dx x 2
dz dy
u x dx x 2
dx
u x右 u x 右侧中心点沿x方向的流速为：
dt时间内沿x方向流入和流出的净体积流量为：
dQx (u x
dQx u x dxdydz dt x
如图（a）所示，虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由 于微团本身不旋转，故它是无旋流动；
在图 (b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕 自身轴线旋转，故它是有旋流动。
流体力学讲义第六章流动阻力及能量损失2
流体⼒学讲义第六章流动阻⼒及能量损失2第六章流动阻⼒及能量损失本章主要研究恒定流动时，流动阻⼒和⽔头损失的规律。
对于粘性流体的两种流态——层流与紊流，通常可⽤下临界雷诺数来判别，它在管道与渠道内流动的阻⼒规律和⽔头损失的计算⽅法是不同的。
对于流速，圆管层流为旋转抛物⾯分布，⽽圆管紊流的粘性底层为线性分布，紊流核⼼区为对数规律分布或指数规律分布。
对于⽔头损失的计算，层流不⽤分区，⽽紊流通常需分为⽔⼒光滑管区、⽔⼒粗糙管区及过渡区来考虑。
本章最后还阐述了有关的边界层、绕流阻⼒及紊流扩散等概念。
第⼀节流态判别⼀、两种流态的运动特征1883年英国物理学家雷诺（Reynolds O.）通过试验观察到液体中存在层流和紊流两种流态。
1.层流层流（laminar flow），亦称⽚流：是指流体质点不相互混杂，流体作有序的成层流动。
特点：（1）有序性。
⽔流呈层状流动，各层的质点互不混掺，质点作有序的直线运动。
（2）粘性占主要作⽤，遵循⽜顿内摩擦定律。
（3）能量损失与流速的⼀次⽅成正⽐。
（4）在流速较⼩且雷诺数Re较⼩时发⽣。
2.紊流紊流（turbulent flow），亦称湍流：是指局部速度、压⼒等⼒学量在时间和空间中发⽣不规则脉动的流体运动。
特点：（1）⽆序性、随机性、有旋性、混掺性。
流体质点不再成层流动，⽽是呈现不规则紊动，流层间质点相互混掺，为⽆序的随机运动。
（2）紊流受粘性和紊动的共同作⽤。
（3）⽔头损失与流速的1.75~2次⽅成正⽐。
（4）在流速较⼤且雷诺数较⼤时发⽣。
⼆、雷诺实验如图6-1所⽰，实验曲线分为三部分：（1）ab段：当υ<υc时，流动为稳定的层流。
（2）ef段：当υ>υ''时，流动只能是紊流。
（3）be段：当υc<υ<υ''时，流动可能是层流（bc段），也可能是紊流（bde段），取决于⽔流的原来状态。
图6-1图6-2实验结果（图6-2）的数学表达式层流：m1=1.0, h f=k1v , 即沿程⽔头损失与流线的⼀次⽅成正⽐。
第1学期大气科学专业流体力学第6章旋转流体动力学
该算子是联系惯性坐标系与旋转坐标系的普遍关系。
8
9
牛顿第二定理是建立在惯性坐标系的基础上的，即：
daVa
Fi
dt
i
以下分析得出适用于描述旋转流体的运动方程。
10
da A dA A dt dt
Va V r
daVa dt
dVa dt
Va
daVa
d
V r
V r
dt
dt
daVa dV 2V ( r ) dt dt
第六章 旋转流体动力学
前面讨论的流体运动，是在惯性坐标系下进行的， 并没有考虑地球的旋转效应。
地球自身以一定速度自转，而地球的旋转效应， 将会对地球大气、海洋等流体的运动产生很显著的影 响。
大多数的地球物理流体力学所关心的问题均属于 旋转流体动力学问题。
1
低压 高压
2
低压 高压
3
本章将主要介绍考虑旋转效应下的流体运动。 主要内容
根据矢量运算法则
(a b) (b • )a (a • )b a( • b) b( • a)
(k V ) (V • )k (k • )V k( •V ) V ( • k)
31
(k V ) (V • )k (k • )V k( •V ) V ( • k)
①
②
由于是 k 常矢量，
)V
1 R0
1 p
1 Fr
g
Ek2V 2k
V
21
特征罗斯贝数
R0
特征惯性力 特征偏向力
U2 /L U
U
/
L
是衡量旋转效应的一个重要量。
22
R0 U / L
由Rossby数的定义可知：
8
9
牛顿第二定理是建立在惯性坐标系的基础上的，即：
daVa
Fi
dt
i
以下分析得出适用于描述旋转流体的运动方程。
10
da A dA A dt dt
Va V r
daVa dt
dVa dt
Va
daVa
d
V r
V r
dt
dt
daVa dV 2V ( r ) dt dt
第六章 旋转流体动力学
前面讨论的流体运动，是在惯性坐标系下进行的， 并没有考虑地球的旋转效应。
地球自身以一定速度自转，而地球的旋转效应， 将会对地球大气、海洋等流体的运动产生很显著的影 响。
大多数的地球物理流体力学所关心的问题均属于 旋转流体动力学问题。
1
低压 高压
2
低压 高压
3
本章将主要介绍考虑旋转效应下的流体运动。 主要内容
根据矢量运算法则
(a b) (b • )a (a • )b a( • b) b( • a)
(k V ) (V • )k (k • )V k( •V ) V ( • k)
31
(k V ) (V • )k (k • )V k( •V ) V ( • k)
①
②
由于是 k 常矢量，
)V
1 R0
1 p
1 Fr
g
Ek2V 2k
V
21
特征罗斯贝数
R0
特征惯性力 特征偏向力
U2 /L U
U
/
L
是衡量旋转效应的一个重要量。
22
R0 U / L
由Rossby数的定义可知：
流体力学 第6章
6.5 紊流运动
紊流的形成过程
选定流层
6.5 紊流运动
紊流的形成过程
6.5 紊流运动
紊流的形成过程
6.5 紊流运动
紊流的形成过程
6.5 紊流运动
紊流的形成过程
6.5 紊流运动
紊流的形成过程
6.5 紊流运动
紊流的形成过程
6.5 紊流运动
紊流的形成过程
6.5 紊流运动
13600 ( 1) 0.3 4.23m 900
设为层流
4Q v 2 2.73m/s d
6.4 圆管中的层流运动
64 l v2 hf vd d 2 g
解得
2 gd 2 hf 8.54106 m 2 /s 64lv
7.69103 Pa s
【解】 列细管测量段前、后 断面的伯努利方程
p1 p2 hf g g
p1 p2 p1 p2 hf g g g
6.4 圆管中的层流运动
p1 g (h hp ) p2 gh p hp p1 p2 ( p ) ghp
h
p p1 p2 hf ( 1)hp g g
2r0
w v 8
6.3 沿程水头损失与剪应力的关系
w v 8
w 定义 v
—— 壁剪切速度，则
v v
8
(6 -11)
上式表明了为沿程阻力系数λ和壁面剪应力τw的关系 式。
6.4 圆管中的层流运动
6.4.1 流动特征
①有序性：水流呈层状流动，各层的质点互不掺混， 质点作有序的直线运动。
6.2.2 雷诺数 1. 圆管流雷诺数
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以保持流场的总环量等于零。
§2 流体漩涡运动的基本理论
五、亥姆霍兹旋涡定理
亥姆霍兹第一定理：正压性的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永 远保持为有相同流体质点组成的涡管。 亥姆霍兹第二定理：在同一瞬间涡管各截面上的涡通量都相同。 亥姆霍兹第三定理：在有势的质量力作用下，正压性的理想流体中任何涡管 的旋涡强度不随时间而变化，永远保持定值。
该封闭周线内所有涡束的涡通量之和。 w v v u u w udx vdy wdz dydz dzdx dxdy y z z x x y C A
v u x y
必须指出，有旋流动和无旋流动仅有流体 微团本身是否发生旋转来决定，而与流体
微团本身的运动轨迹无关。
第六章 流体的有旋流动和无旋涡运动
§1 流体微团运动分析
§2 流体旋涡运动的基本理论
§3 平面势流问题
§4 几种简单的不可压缩流体的平面流动
§5 平面无旋流动的叠加
§6 叶栅的库塔-儒可夫斯基公式和库塔条件
对无限长直线涡
2
1
d r 4
sin 1 h d
1
1 0,2
V 2h 4h
对半限长直线涡
1 2 , 2
V 2R
V
对圆形涡环
第六章 流体的有旋流动和无旋涡运动
§1 流体微团运动分析
§2 流体旋涡运动的基本理论
§3 平面势流问题
3、空间任意曲面
A 上的斯托克斯定理
w v v u u w udx vdy wdz dydz dzdx dxdy y z z x x y C A
为移动、转动和发生变形运动三部分。
1、移动 2、线变形运动 3、角变形运动 4、旋转
§1 流体微团的运动分析
平移速度分量 线性变形率 角变形速度 旋转角速度
u
xx
u x
v
yy
w
v y
zz
w z
xy
.
1 w v 1 v u yz 2 y z 2 x y
关于速度间断面上的旋涡问题
abcda U 2l U1l l U 2 U1 0
z 0 2 x y
1 v u U1 U 2 U 2 U1 0
§2 流体漩涡运动的基本理论
四、汤姆逊定理——环量守恒定理
曲线称为涡线。与流线一样，涡线也不能相交和折转，不定常时涡线形状 随时间而变。
dx
x
dy
y
dz
z
3、涡管 —— 过涡场中任意一封闭曲线上所有 点作涡线，形成一个管状柱面，称为涡管。
§2
流体旋涡运动的基本理论
4、涡束——过涡管截面上所有点之涡线总体，称为涡束。涡束内部的流体可以像刚 体旋转那样，流体各微团都以相同的角速度作圆周运动；也可以是宏观上并不作圆 周运动而流体微团绕自身轴线旋转的有旋流场。 5、旋涡强度（涡通量）——穿过任意面积上的法向涡量与面积 的乘积定义为旋涡强度，也称为涡通量
汤姆逊定理： 在理想流体运动中，若质量力有势，流体满足正压条件，对某一封闭的流体 线的速度环量值不随时间而变化。即流体线上的环量等于常数（环量守恒定 理）
D 0 Dt
根据斯托克斯定理： 流体线内部区域的旋涡强度也不随时间变化，即原先是有旋的流体，则永远有旋，若 原先无旋则永远无旋。这说明，流场中的旋涡不可能凭空产生、也不可能凭空消失。 因为理想流体没有粘性，不存在切向应力，不能传递旋转运动，既不能让不旋转的 流体微团旋转起来，也不能使已经旋转的流体微团停止旋转。另外，正压性流体和 质量力有势的流场等压面与等密度面是平行的，不会产生对流。
处理
§3 平面势流问题
二、速度势函数
1、速度势函数
ห้องสมุดไป่ตู้
存在的条件：
在无旋流动中每一个流体微团的速度都要以下条件：
u w z x
速度的三个分量的关系为：
v u x y
w v y z
根据数学分析可知，满足以上条件的充分必要条件就是，存在某一函数
§4 几种简单的不可压缩流体的平面流动
§5 平面无旋流动的叠加
§6 叶栅的库塔-儒可夫斯基公式和库塔条件
§3 平面势流问题
一）平面流动
平面流动必须满足的条件： 1、平面上任何一点的速度、加速度都平行所在平面，无垂直该平面的分量 存在 2、相互平行的所有平面上的流动情况完全一样 3、实际情况不存在平行平面完全一样的流动，然 而这类问题完全可近似地作为二元流动问题来
第六章 流体的有旋流动和无旋涡运动
§1 流体微团运动分析
§2 流体旋涡运动的基本理论
§3 平面势流问题
§4 几种简单的不可压缩流体的平面流动
§5 平面无旋流动的叠加
§6 叶栅的库塔-儒可夫斯基公式和库塔条件
§1 流体微团的运动分析
一、流体微团运动的分析
刚体运动一般可分解为移动和转动两部分，而流体微团的运动一般可以分解
流体力学
（第六章 流体的无旋流动和有旋流动）
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第六章，第七章
6-1，6-2，6-8 7-1，7-3，7-7
作业
7-11，7-18，7-22 第12周交
目
前言 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章
录
绪论 流体的物理性质及作用力 流体静力学 流体运动学 流体动力学的基本原理 流体的有旋流动和无旋流动 相似原理和量纲分析 粘性流体力学 气体动力学
C
V ds 2 dA
n A
§2 流体漩涡运动的基本理论
4、斯托克斯定理推得的结论
若区域内处处无旋，则区域周边的环量等于零； 若区域内处处有旋，则区域周边的环量一般不等于零； 若曲线上的环量不等于零，则所围区域内必定有旋；
若曲线上的环量等于零，则所围区域内不一定是无旋的。
§2 流体漩涡运动的基本理论
di 2i dAi di 2i dAi
任意曲线上的环量等于所围面积
A 中的旋涡强度
v u udx vdy x y dxdy 2 z dA C A A
以上斯托克斯定理只在单连通域的流场中成立
§2 流体漩涡运动的基本理论
关于非单连通域问题
b'dbaea'b' 0
b'dbaea'b' b'db ba aea' a'b' 0
b'db C
ba a'b'
aea' C'
C C '
包围机翼的任意封闭曲线上的环量等于机翼周线上 的环量值
§2 流体漩涡运动的基本理论
斯托克斯定理是研究有旋流动的一个重要定理：
1、它可以将对涡量的研究转化为对速度环量的研究，即将面积分转变为
线积分。
2、速度环量是否为零也可以决定流动是有旋还是无旋。
3、在用速度环量来判断流动是否有旋时必须注意：包围某区域的环量为 零，该区域内不一定是无旋流动，因为有可能有反向旋转的涡量存在。
§2 流体漩涡运动的基本理论
zx
1 u w 2 z x
1 w v x 2 y z
y
.
1 u w 2 z x
z
1 v u 2 x y
由此可见，流体微团各速度分量的第一项是平移速度分量，第二是线变形 运动、第三项是角变形运动、第四项是旋转运动，流体运动的线速度就是 有以上各项分量所引起的。
1、微元面积上的斯托克斯定理
d u AB dx vBC dy uCD dx vDA dy
v u d x y dxdy 2z dA
d 2z dA dI
§2 流体漩涡运动的基本理论
2、任意平面面积
A 上的斯托克斯定理
§2 流体旋涡运动的基本理论
一、流体旋涡运动的基本概念
由于流体在流动中存在粘性，所以自然界中的流体运动一般都是有旋的。
流体的旋涡运动分两种情况： 1、流体作圆周运动的旋涡运动 2、流体宏观流动并无明显旋转或 圆周运动，但流体微团的角速度不 为零。
§2
流体旋涡运动的基本理论
流体在整个流场中作旋涡运动，或者局部流场区域中存在绕自身轴线旋转的
§1 流体微团的运动分析
u1 u xx x1 xy y1 xz z1 y z1 z y1
1、平移项 2、线变形项 3、角变形项 4、旋转变形项
v1 v yy y1 yx y1 yz z1 z x1 x x1
w1 w zz z1 zx x1 xy y1 x y1 y x1
§2 流体漩涡运动的基本理论
六、毕奥——沙伐尔定理
涡强为 的直线涡段 AB 对垂直距离为 h 的任意位置 P 点处之诱导速度为：
V 4
式中：
sin dl , r L r 2 dl
sin dl, r sin
h r sin
dl
rd sin d
流体微团，于是便在该流场中形成一个用角速度表示的涡量场。在涡量场中引进 涡线、涡管、涡束和涡通量。 1、涡量、涡量场 涡量是流体微团的旋转角速度的两倍
w v x 2 x y z
.
u w y 2 y z x