不等式的解集
不等式的特殊解集与性质
不等式的特殊解集与性质不等式是数学中常见的一种表达式，用于表示数之间的大小关系。
在解不等式时，有时会出现一些特殊的解集及其性质。
本文将探讨不等式的特殊解集，并分析其性质。
一、绝对值绝对值不等式是一类常见的不等式，其解集具有一些特殊的性质。
考虑以下形式的绝对值不等式：|ax + b| ≤ c (其中 a、b、c 均为实数，且a ≠ 0)1. 当c ≥ 0 时，绝对值不等式恒成立，即其解集为全体实数。
2. 当 c < 0 时，绝对值不等式无解，因为绝对值的值不可能小于负数。
二、分式分式不等式是另一类常见的不等式，其解集也具有一些特殊的性质。
考虑以下形式的分式不等式：f(x)/g(x) ≤ 0 (其中 f(x) 和 g(x) 均为多项式函数，且g(x) ≠ 0)1. 若 f(x) 和 g(x) 异号（即一个为正，一个为负），则不等式的解集为不等式的所有解。
2. 若 f(x) 和 g(x) 同号（即两者都为正或负），则需进一步考虑 g(x) ≠ 0 的条件，即分母不为零的情况。
a) 若 g(x) > 0，则不等式的解集为满足f(x) ≤ 0 的所有解。
b) 若 g(x) < 0，则不等式的解集为满足f(x) ≥ 0 的所有解。
三、复合复合不等式是多个不等式同时存在的情况，其解集和性质需要综合考虑。
考虑以下形式的复合不等式：f(x) < g(x) < h(x) (其中 f(x)、g(x)、h(x) 均为函数)1. 首先解决 f(x) < g(x) 不等式，得到解集 A。
2. 然后解决 g(x) < h(x) 不等式，得到解集 B。
3. 最终复合不等式的解集为 A 与 B 的交集。
四、二次二次不等式是具有二次项的不等式，其解集和性质与一次不等式不同。
考虑以下形式的二次不等式：ax^2 + bx + c < 0 (其中 a、b、c 均为实数，且a ≠ 0)1. 若 a > 0，则二次不等式的解集为开口朝下的抛物线在 x 轴下方。
不等式的解集知识点总结
不等式的解集知识点总结不等式是数学中一个非常重要的概念，而不等式的解集则是不等式研究中的关键部分。
理解和掌握不等式的解集对于解决各种数学问题，包括代数问题、几何问题以及实际应用问题都具有重要意义。
一、不等式的基本概念不等式是用不等号（大于“＞”、小于“＜”、大于等于“≥”、小于等于“≤”）表示两个数或表达式之间关系的式子。
例如：2x ＋ 3 ＞ 5 就是一个不等式。
二、不等式的性质1、对称性：如果 a ＞ b，那么 b ＜ a ；如果 a ＜ b，那么 b ＞ a 。
2、传递性：如果 a ＞ b 且 b ＞ c，那么 a ＞ c ；如果 a ＜ b 且 b ＜c，那么 a ＜ c 。
3、加法性质：如果 a ＞ b，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c ；如果 a ＜ b，那么 a ＋ c ＜ b ＋ c 。
4、乘法性质：如果 a ＞ b 且 c ＞ 0，那么 ac ＞ bc ；如果 a ＞ b 且c ＜ 0，那么 ac ＜ bc 。
这些性质是解决不等式问题的重要工具，通过对不等式进行合理的变形和推导，可以求出不等式的解集。
三、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0 （其中 a、b 为常数，a ≠ 0）的不等式称为一元一次不等式。
求解一元一次不等式的一般步骤：1、去分母（如果有分母的话），两边同乘以各分母的最小公倍数。
2、去括号，注意括号前的符号。
3、移项，将含未知数的项移到一边，常数项移到另一边。
4、合并同类项。
5、系数化为 1，注意不等式两边同除以一个负数时，不等号方向要改变。
例如，求解不等式 2(2x 1) ＜ 3(x ＋ 1)：去括号得：4x 2 ＜ 3x ＋ 3移项得：4x 3x ＜ 3 ＋ 2合并同类项得：x ＜ 5所以该不等式的解集为 x ＜ 5 。
四、一元二次不等式形如 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c ＜ 0 （其中a ≠ 0）的不等式称为一元二次不等式。
不等式的解集与区间
一般的，在含有未知数的不等式中能使不等式成立的未知数的全体所构成的集合， 叫做不等式的解集。不等式的解集，一般可用性质描述法来表示。
4、一元一次不等式组：
一般的，含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不 等式组，叫做一元一次不等式组。
5、一元一次不等式组的解集：
几个一元一次不等式的解集的交集，叫做一元一次不等式组的解集。特 别地，如果各个不等式的解集的交集是空集，那么由它们所组成的不等式组 的解集是空集， 求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 6、解不等式组：
-4 -3 -2 -1 0
练习：P30 第3题 （1） （3）
1
2
做一做
不等式 不等式
{x | x 3} x 4 x 9 的解集是:___________
2x x 1
{x | x 1} 的解集是:_____________
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
从上图可以找出两个不等式解集的公共部分,得不等式组的
布置作业
课本P30练习2-3 第3题（2）（4）
第4题（2）（4）
找)
达标测试
你能找到下面几个不等式组的解集吗？
不等式组 数轴表示 解集（即公共部分）
x 1 x 2
x 1 x 2
-1
0
1
2
3
{x|x-1<x<2}
{x|x>2} {x|x<-1}
x 1 x 2-101 Nhomakorabea2
3
-1
0
1
2
3
x 2 x 1
-1
0
不等式的解集
怎样表示不等式x+1＜3的解集？
Hale Waihona Puke 不等式解集 的表示方法（1）用不等式表示 （2）用数轴表示
用数轴表示不等式解集的方法：
（1）画数轴； （2）定边界点：若这个点包含于解集之中，则用
实心点表示；不包含在解集中，则用空心点表示。 （3）定方向：相对于边界点，大于向右画，小于
向左画。
8.2.1
不等式的解集
不等式的解集：一个不等式的所有解，组成这个不等 式的解的集合，简称为这个不等式的解集.
不等式的解集必须满足两个条件: 1、解集中的任何一个数值都使不等式成立; 2、解集外的任何一个数值都不能使不等式成立.
解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式.
（1）不等式的解集：不等式所有解的集合。 （2）不等式的解： 使不等式成立的未知数的值。 （3）解不等式： 求不等式的解集的过程。
不等式的解集计算
不等式的解集计算不等式是数学中的一种关系表达式，它描述了两个数或者两个代数式之间的大小关系。
计算不等式的解集是解决不等式问题的核心内容之一，它能帮助我们确定不等式中所有满足条件的数值范围。
在计算不等式的解集时，我们需要遵循一定的求解步骤和规则。
下面将介绍一些常见的不等式类型和相应的解集计算方法。
一、线性不等式线性不等式是指不等式中只包含一次线性项的不等式，如ax+b>0、cx-d≤0等形式。
解集计算的关键在于将不等式转化为等价的形式，并根据不等式的符号情况进行分类讨论。
我们可以通过以下步骤来计算线性不等式的解集：1. 将不等式中的变量项移到一边，常数项移到另一边，得到形如ax+b>0或ax+b≤0的等价不等式；2. 根据不等式中系数a的正负情况，分别进行讨论：a) 当a>0时，解集为x>-b/a或x≤-b/a，可以根据不等式的符号进行表示；b) 当a<0时，解集为x<-b/a或x≥-b/a，同样可以根据不等式的符号进行表示。
二、多项式不等式多项式不等式是指不等式中包含多个多项式项的不等式，如x^2+3x-10>0、2x^3-5x+1≤0等形式。
计算多项式不等式的解集可以通过构造不等式的因式分解形式，进而利用因式分解的性质进行求解。
具体的步骤如下：1. 将不等式移项，并得到多项式不等式的因式分解形式；2. 根据不等式的符号情况，考虑每个因子的符号，并根据多项式的乘法性质来确定解集。
三、分式不等式分式不等式是指不等式中包含分式表达式的不等式，如1/(x+2)<2/x 或(x-3)/(x+1)≥0等形式。
分式不等式的解集计算方法可以通过以下步骤来进行：1. 将不等式化简为分式的分子、分母均为多项式的形式，得到形如f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)≤0的等价形式；2. 构造分式的因子分解形式，并根据因子的符号情况来确定解集。
综上所述，不等式的解集计算方法可以根据不等式的类型和形式来进行相应的求解。
不等式的解集
不大于a”.②“x≥a”
(2)在数轴上表示“x≤a”或“x<a”
①解集x≤a,是指表示数a的点 左边 的部分,包括表示数
a 的点在内,这一点
画成
实心圆点 .
②解集x<a,是指表示数a的点
成
空心圆圈 .
左边 的部分,不包括表示数a的点,这一点画
探究点一:利用不等号表示不等式
【例1】 汛期来临,一个工程队要在6天内完成300土方的修渠工程,第一天完成了60
加10分,答错或不答一题扣5分,小辉在初赛得分超过160分顺利进入决赛.设他答对x道题,
根据题意,可列出关于x的不等式为
10x-5(20-.x)>160
5.不等式的解集x<3与x≤3有什么不同?在数轴上表示它们时怎样区别?分别在数轴上把 这两个解集表示出来.
解:x<3的解集是小于3的所有数,在数轴上表示出来是空心圆圈; x≤3的解集是小于且等于3的所有数,在数轴上表示出来是实心圆点,包括3这个数.把它 们表示在数轴上为
,71,并利用数轴说明这些
2
【导学探究】
1.在数轴上描出各点,表示出不等式-3≤x<6的解集. 2.在不等式 解集内 的点满足不等式,在不等式 解集外的点不满足不等式.
解:如图所示,满足不等式的数值有-2,0,4.5; 不满足不等式的数值有-4,7.
数轴描点“两注意” (1)一注意方向:分清向左或向右; (2)二注意端点:是否包含各端点.
1.“数x不小于2”是指( B )
(A)x≤2 (B)x≥2 (C)x<2 (D)x>2
2.(2018怀柔模拟)把不等式x≤-2的解集在数轴上表示出来,下列正确的是(
)D
3.若m是非负数,则用不等式表示正确的是(
不等式的解集知识点总结
不等式的解集知识点总结不等式是数学中的一个重要概念，它在解决各种实际问题和数学理论中都有着广泛的应用。
而不等式的解集则是不等式的核心内容之一，理解和掌握不等式的解集对于学好不等式至关重要。
一、不等式的定义不等式是用不等号（大于“＞”、小于“＜”、大于等于“≥”、小于等于“≤”）连接两个数或表达式的式子。
例如：3x ＋ 2 ＞ 5 ，x 1 ＜ 0 等。
二、不等式的基本性质1、对称性：如果 a ＞ b ，那么 b ＜ a ；如果 a ＜ b ，那么 b ＞ a 。
2、传递性：如果 a ＞ b 且 b ＞ c ，那么 a ＞ c ；如果 a ＜ b 且 b＜ c ，那么 a ＜ c 。
3、加法性质：如果 a ＞ b ，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c ；如果 a ＜ b ，那么 a ＋ c ＜ b ＋ c 。
4、乘法性质：如果 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，那么 ac ＞ bc ；如果 a ＞ b且 c ＜ 0 ，那么 ac ＜ bc ；如果 a ＜ b 且 c ＞ 0 ，那么 ac ＜ bc ；如果a ＜b 且c ＜ 0 ，那么 ac ＞ bc 。
这些性质是解不等式的基础，通过对不等式进行合理的变形和运算，来求出不等式的解集。
三、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 （或＜ 0 ，≥ 0 ，≤ 0 ），其中 a 、 b 为常数，且a ≠ 0 的不等式叫做一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：1、去分母（如果有分母的话）：在不等式两边同时乘以各分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项。
2、去括号：根据去括号法则，将括号去掉。
3、移项：把含未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边，注意移项要变号。
4、合并同类项：将同类项合并，化简不等式。
5、系数化为 1 ：在不等式两边同时除以未知数的系数，如果系数为负数，不等号方向要改变。
例如，解不等式 2(2x 1) 3(x ＋ 1) ＜ 5 ：去括号得：4x 2 3x 3 ＜ 5移项得：4x 3x ＜ 5 ＋ 2 ＋ 3合并同类项得：x ＜ 10四、一元二次不等式形如 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 （或＜ 0 ，≥ 0 ，≤ 0 ），其中a ≠ 0 的不等式叫做一元二次不等式。
4.什么是不等式的解集,不等式ax＞b的解集有几种情况
4．什么是不等式的解集，不等式ax＞b的解集有几种情况？
4．什么是不等式的解集，不等式ax＞b的解集有几种情况？
答：观察x=2和x＞2，容易看出，前者的解只有一个，即“2”，而后者的解是“大于2的一切数”，它有无限多个，事实上，随便说出一个比2大的数如3，4，5.4，10.3，1000等等，把它代入x＞2中，都能使这不等式成立，一般地说，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集．
为了直观地说明不等式的解是由无限多个数所组成的，可以利用数轴表示解集，如x＞2可以表示成图6－1的形式．
即表示2的点的右边的部分，显然x＞2的解，已经不只是一个数，而是那些大于2的所有数的集合．
因此，方程的解与不等式的解是不同的，一般地说，方程的解是确定的一个(或几个)数值，而不等式的解集是一个数值范围，它的数值可以有无数多个．
对于ax＞b的不等式，我们可分以下几种情况来研究它的解．
(3)若a=0
(i)b≥0时，0·x＞b≥0，不等式无解
(ii)b＜0时，0·x＞b，不等式的解x为任意实数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
不等式的解集
一、教学目标
1．理解不等式解与解集的意义。
2．了解不等式解集的数轴表示。
二、教学重难点
重点是区分不等式解与解集的概念，难点是在数轴上表示不等式的解集。
三、教学过程设计
1.创设情景，导出问题
（课本问题）燃放某中礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前10m以外的安全区域。
已知导火线的燃烧速度为0.02m/s，人离开的速度为4m/s，那么导火线的长度应为多少厘米？
（在建立不等式之前，先让学生分析清楚问题中量与量之间的关系：为了使人有足够的时间到达安全区域，导火线燃烧的时间应大于人到达安全区域的时间。
）设导火线的长度应为x cm ，根据题意，得
即x>5
2.探索交流，得出概念
1．想一想：（1）你能找出几个使不等式x>5成立的x的值吗？
（2）x＝5,6,8能使不等式x>5成立吗？
(字母可以表示任何数，但对于满足x>5中的字母x，它能够取任意数吗？如果不能，它能取哪些数呢？启发学生动手验证、动脑思考，并从中初步体会不等式解的意义及不等式解与方程解的不同之处。
)
能使不等式成立得未知数得值，叫做不等式的解。
例如，6是不等式x>5一个解，
7,8,9,……也是不等式x>5的解。
一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
例如不等式x-5≤-1的解集为x≤4；不等式x2>0的解集是所有非零实数。
求不等式解集的过程叫做解不等式。
2．议一议：请你用自己的方式将不等式x>5的解集和x-5≤-1的解集分别表示在数轴上，并与同伴交流。
（引导学生回忆实数与数轴上点的对应关系，认识数轴上的点是有序的，实数是可以比较大小的，让学生用具体实数对应的点加以说明）
3.练习巩固，促进迁移
1.判断下列说法是否正确：
（1）x=2是不等式x+3＜4的解；
（2）x=2是不等式3x＜7的解集；
（3）不等式3x＜7的解是x=2；
（4）x=3是不等式3x≥9的解。
答案：（1）不正确；（2）不正确；（3）不正确；（4）正确。
2.在数轴上表示出下列不等式的解集：
（1）x＞-1；（2）x≥-1；（3）x＜-1；（4）x≤-1
答案：
（1）数轴上实心与空心的区别在于：空心点表示解集不包括这一点，实心点表示解集包括这一点。
（2）数轴上表示不等式的解集遵循“大于向右走，小于向左走”这一原则。
4.回顾联系，形成结构
想一想：本节课学了哪些知识？在运用时应注意什么？
（通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．）
5.课外作业与拓展
课外作业：课本第12页“习题1.3”
课后反思：。