偏导数
偏导数公式大全24个
偏导数公式大全24个偏导数是多元函数微分学中的重要概念，用于描述函数在特定方向上的变化率。
在实际问题中，偏导数常常被用于求解最优化、梯度下降等问题。
下面是24个常用的偏导数公式，每个公式都有它们的特定应用场景。
1. 常数偏导数公式：对于常数函数f(x)=c，其偏导数为0，即f/x = 0。
2. 幂函数偏导数公式：对于幂函数f(x)=x^n，其中n为常数，其偏导数为f/x = n*x^(n-1)。
3. 指数函数偏导数公式：对于指数函数f(x)=a^x，其中a为常数，其偏导数为f/x = a^x * ln(a)。
4. 对数函数偏导数公式：对于对数函数f(x)=log_a(x)，其中a为常数且a>0，其偏导数为f/x = 1/(x * ln(a))。
5. 三角函数偏导数公式：对于三角函数f(x)=sin(x)，其偏导数为f/x = cos(x)。
类似地，对于cos(x)和tan(x)函数，其偏导数分别为-sin(x)和sec^2(x)。
6. 反三角函数偏导数公式：对于反三角函数f(x)=asin(x)，其中a为常数，其偏导数为f/x = a/sqrt(1-x^2)。
类似地，对于acos(x)和atan(x)函数，其偏导数分别为-a/sqrt(1-x^2)，-1/sqrt(1+x^2)。
7. 求和公式：对于多个函数的和f(x) = g(x) + h(x)，其偏导数为f/x = g/x + h/x。
8. 积函数公式：对于两个函数的积f(x) = g(x) * h(x)，其偏导数为f/x = g(x) * h/x + h(x) * g/x。
9. 商函数公式：对于两个函数的商f(x) = g(x) / h(x)，其偏导数为f/x = (h(x) * g/x - g(x) * h/x) / h(x)^2。
10. 复合函数公式：对于复合函数f(g(x))，其中f和g是两个函数，其偏导数为f/x = f/g * g/x。
偏导数
偏 导 数
一、偏导数
二、偏导数几何意义
及与连续的关系 三、高阶偏导数 四、小结、思考题
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻 域内有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
_______;
2.
z xy z e ( x y ), 则 x
z y
________.
2 2x csc , y y
2x 2x 2 csc y y
e xy ( xy x 2 1)
e ( xy y 1)
xy 2
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) 如果 lim 存在，则称 x 0 x 此极限为函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )处对 x
的偏导数，记为
zx z f ， ， x0 x x0 x x x y y y y
0 0
2 3
f x 0,1 , f x 1, 0 , f y 0, 2 , f y 2, 0 .
解： f
x y 2 x, f x 0,1 1, f x 1, 0 2;
f x 3 y2 , y
f y 0, 2 12,
f y 2, 0 2
三、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z f x ( x, y ) , x
z f y ( x, y ) y
则称它们是z = f ( x , y ) 若这两个偏导数仍存在偏导数， 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 数: 2 2 z z z z f x y ( x, y ) ( ) ( ) 2 f x x ( x, y ); y x x y x x x
偏导数
偏导数偏导数的概念偏导数的几何意义高阶偏导数偏导数的概念定义 设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 某一邻域内有定义，当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆时，相应的函数 有增量 ()()0000,,f x x y f x y +∆-，如果()()00000,,limx f x x y f x y x∆→+∆-∆存在，则称此极限为函数(,)f x y 在点00(,)x y 处对x 的偏导数,记作00x x y y z x ==∂∂，0x x y y f x==∂∂，00x x xy y z ==或()00,x f x y .类似地，函数(,)f x y 在点00(,)x y 处对y 的偏导数为x x y y z y==∂∂，0x x y y f y ==∂∂，00x x yy y z ==或()00,y f x y .()()00000,,limy f x y y f x y y∆→+∆-∆，记作如果函数(,)f x y 在区域D 内任一点(,)x y 对x的偏导数都存在,则这个偏导数就是x 、y 的函数，它就称为函数(,)z f x y =对x 的偏导函数, 记作z x ∂∂，f x∂∂，x z 或(),x f x y .类似地，可定义函数(,)z f x y =对y 的偏导函数,记作z y ∂∂，fy∂∂，y z 或(),y f x y . 多元函数的偏导函数可简称为偏导数.例 求22(,)3z f x y x xy y ==++在点(1,2)处的偏导数.解把y 看作常数, 对x 求导:(1,2)x f 2132=⨯+⨯8=， (,)x f x y 23x y =+,将(1,2)代入，得把x 看作常数, 对y 求导:(,)y f x y 32x y =+,(1,2)y f 3122=⨯+⨯7=.偏导数的几何意义问题：一元函数的导数在几何上可表示平面曲线在一点处切线的斜率，二元函数的偏导数表示什么？设00000(,,(,))M x y f x y 为曲面(,)z f x y =上一 点，偏导数()00,x f x y 就是曲面被平面0y y =所截得 的曲线在点0M 处的切线0x M T 对x 轴的斜率.偏导数()00,y f x y 就 是曲面被平面0x x =所截 得的曲线在点0M 处的切 线0y M T 对y 轴的斜率.问题：在一元函数中,若函数在某点可导,则它在该点必连续,多元函数也有类似性质吗？注意：对多元函数而言,即使函数的各个偏导数存在,也不能保证函数在该点连续.例 试证函数22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩的偏导数(0,0)x f 、(0,0)y f 都存在，但(,)f x y 在(0,0)不连续.证明(0,0)x f 0(0,0)(0,0)lim x f x f x∆→+∆-=∆000lim x x∆→-=∆0=， (0,0)y f 0(0,0)(0,0)lim y f y f y∆→+∆-=∆000limy y ∆→-=∆0=. 22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩由于极限()()22,0,0limx y xyx y→+不存在，(,)f x y 在(0,0) 不连续.高阶偏导数设函数(,)f x y 在区域D 内具有偏导数如果这两个函数的偏导数也存在,则称它们是函数(),x z f x y y ∂=∂，(),y z f x y y∂=∂， (,)z f x y =的二阶偏导数.则在D 内(),x f x y 、(),y f x y 都是x 、y 的函数.按照对变量求导次序的不同,共有下列四个二阶二阶偏导数:()22,xx z z f x y x x x ∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂⎝⎭， ()2,xy z zf x y y x x y∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂∂⎝⎭，()2,yx z z f x y x y y x ⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂∂⎝⎭， ()22,yy z zf x y y y y⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂⎝⎭. 其中第二、第三两个偏导称为混合偏导数.类似地,可以定义三阶、四阶…以及n阶偏导数,我们把二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.例 设322433z x x y xy x y =+--+，求22z x∂∂，2z y x ∂∂∂，2z x y ∂∂∂及22zy ∂∂. 解 z x∂∂2212631x xy y =+--,z y ∂∂2361x xy =-+，22zx∂∂246x y =+,22z y ∂∂6x =-,2z x y ∂∂∂66x y =-,2zy x∂∂∂66x y =-.定理 如果函数(,)f x y 的两个二阶混合偏导数2z x y ∂∂∂、2z y x∂∂∂ 在区域D 内连续，则在该区域内有 22z z y x x y ∂∂=∂∂∂∂.推广高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求偏导的次序无关.。
偏导数知识点公式总结
偏导数知识点公式总结一、偏导数的概念1.1 偏导数的定义偏导数是多元函数对其中一个自变量的导数。
对于一个函数 $f(x_1, x_2, ..., x_n)$，它的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 表示在$x_i$方向上的变化率。
偏导数的定义可以表示为：$$\frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{\Delta x_i \to 0} \frac{f(x_1, x_2, ..., x_i + \Delta x_i, ..., x_n) - f(x_1, x_2, ..., x_i, ..., x_n)}{\Delta x_i}$$1.2 偏导数的图示解释偏导数可以通过函数曲面的切线来解释。
对于函数 $z = f(x, y)$，在点$(x_0, y_0, z_0)$处的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$可以理解为曲面在$x$方向的斜率，即曲面在$x$方向上的变化率。
同样地，$\frac{\partial f}{\partial y}$表示曲面在$y$方向上的变化率。
这样的解释有助于我们更直观地理解偏导数的含义。
二、偏导数的性质2.1 对称性对于二元函数 $f(x, y)$，它的偏导数满足对称性，即$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$。
这一性质表明，在计算混合偏导数时，可以不必考虑自变量的顺序。
2.2 连续性在函数的定义域内，若偏导数存在且连续，则函数规定可微。
这一性质是偏导数与函数连续性的关系，对于函数的导数性质有着重要的影响。
2.3 性质总结：和与积对于函数 $u = u(x, y)$ 和 $v = v(x, y)$，它们的偏导数具有和与积的运算法则。
偏导数的概念【重点】
若求函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，只需 先求偏导函数fx(x,y)，然后再求fx(x,y)在点(x0,y0)处的函 数值，即 fx (x, y) |(x0,y0) fx (x0, y0 )，这样就得到了函数 z =f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数.也可以先将y=y0代入 z=f(x,y)中，得z=f(x,y0)，然后对x求导数fx(x,y0)，再以 x=x0代入.两种做法是一致的.因为在这个过程中，y为 常数y0.
同样，fy(x0,y0)是这条曲线z=f(x,y)与平面x=x0的交
线
z f (x, y), x x0 在点M0(x0,y0,z0)处的切线关于y 轴的斜率.
二 、偏导数的求法
求多元函数的偏导数就相当于求一元函数导数.一 元函数的求导法则和求导公式对求多元函数的偏导数 仍然适用.
例如，给定一个二元函数z=f(x,y)，求 z 时，可将 x
固定y=0，让x→0，考察在(0,0)点处对x的偏导 数.此时 f (x,0) x2 0 | x |，已知函数|x|在x=0处是 不可导的，即f(x,y)在点(0,0)处对x的偏导数不存在， 同样可证f(x,y)在(0,0)点对y偏导数也不存在.
在点(x0,y0)处二元函数连续，推不出偏导数存在， 而偏导数存在也推不出函数在该点处连续，所以二元 函数连续与偏导数存在这二者之间没有因果关系.
2.二元函数偏导数的几何意义 二元函数z=f(x,y)的图形表示空间一张曲面.当y=y0
时，曲面z=f(x,y)与平面y=y0的交线方程为
z f (x, y),
y
y0.
上式表示y=y0平面上的一条 曲线z=f(x,y0).根据导数的几 何意义可知：fx(x0,y0)就是这 条曲线在点M0(x0,y0,z0)处的 切线关于x轴的斜率.
偏导数的概念
1 t
x2 e 4t
2
2 5 x t 2
4
2 x e 4 t .
u 1 x t
x2 e 4t
x 2 2t
x2 3 1 2 4t t xe .
2u x
类似地，可定义函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数
为
z f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) lim . y ( x0 , y0 ) y0 y
又可记为
f , f y ( x0 , y0 )或z y ( x0 , y0 ). y ( x0 , y0 )
z=f(x,y)中，得z=f(x,y0)，然后对x求导数fx(x,y0)，再以
x=x0代入.两种做法是一致的.因为在这个过程中，y为
常数y0.
例1 求函数 f ( x, y ) x 2 2 xy y 2 在点(1,3)处对x和y的 偏导数.
解
f x ( x, y ) 2 x 2 y
z z 3 2 2 2 3 解 x 9 x y , 3x y 6 xy , y x
2 z 2z 2 2 3 3 x 18 xy , 6 xy 6 y , 2 xy x
2z 2 18 x y, 2 y
2z 3x 2 18 xy 2 . yx
V R , T P T V . P R
P V T RT R V RT 2 1. V T P VP V P R
偏导数的记号是个整体记号，不能看作分子与分
母之商，否则这三个偏导数的积将是1.这一点与一元 dy 函数导数记号 是不同的，dy 可看成函数的微分dy dx dx 与自变量微分dx之商.
偏导数公式
偏导数公式f'x=(x^2)'+2y *(x)'=2x+2y。
1、偏导数的表示符号为。
计算多元函数的偏导数并不需要新的方法，若对某一个自变量求导，只需将其他自变量常数，用一元函数微分法即可。
于是，一元函数的求导公式和求导法则都可以移植到多元函数的偏导数的计算上来。
2、偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。
在数轴上明确方向很重要，当规定向右为正方向时，在数轴上越往右，表示的数越大；越往左表示的数就越小。
两个数在数轴上的左右位置即决定了两个数的大小。
故此，数轴上的方向很重要，方向即决定了数的大小。
3、偏导数f'x(x0,y0) 表示固定面上一点对x 轴的切线斜率。
斜率是数学、几何学名词，可用两点的纵坐标之差与横坐标之差的比来表示，即k=tanα或k=Δy/Δx。
如果直线与x轴互相垂直，直角的正切值为tan90°，故直线的斜率为无穷大。
偏导数详解
偏导数详解偏导数是微积分中常用的一种概念。
它是一个函数在特定点的变化率的度量，可以用来确定函数在某个点的曲线方向。
偏导数的计算可以有两种方法，一种是采用极限的方法，另一种是用偏导公式的方法。
极限的方法：要计算函数f(x)在点a处的偏导数，可以用下面的极限表达式： lim f(x)-f(a)x→a就是说，当x逐渐接近a时，f（x）与f（a）的差值会逐渐变小，最终趋于极限值。
如果这个极限值存在，那么它就是f（x）在点a处的偏导数。
偏导公式的方法：如果用偏导公式的方法，可以直接使用下面的公式求偏导数：f（x）的偏导数=lim(f(x+h)-f(x))/hh→0同样，当h接近零时，f(x+h)与f(x)的差值会逐渐变小，最终趋于极限值，就是f（x）在点a处的偏导数了。
如何计算偏导数？计算偏导数时，首先要认识到它是函数的斜率，因此只要将函数写成正规的函数形式，就可以使用上面介绍的两种方法来计算偏导数。
例如，要计算f(x)=2x2+3x+1在点x=2处的偏导数，首先将f(x)写成正规函数形式：f（x）=2x2+3x+1因此，f（2）=222+32+1=13用极限的方法，可以写出下面的极限表达式：lim f(x)-f(2)x→2用偏导公式的方法，可以写出下面的公式：f（x）的偏导数=lim(f(x+h)-f(x))/hh→0代入x=2，可以得到：f（2）的偏导数=lim(f(2+h)-f(2))/hh→0从上面的两个极限表达式可以看出，当x逐渐接近2时，f(x)与f(2)的差值会逐渐变小，最终趋于极限值7，因此f（2）的偏导数就是7。
偏导数的应用偏导数的应用非常广泛，它可以用于研究函数的局部变化，也可以用于研究函数的单调性和可导性。
例如，在做函数研究时，可以用偏导数来研究函数在某个点的单调性。
如果该点的偏导数大于零，则说明函数在该点是单调增的；如果该点的偏导数小于零，则说明函数在该点是单调减的；如果该点的偏导数等于零，则说明函数在该点有拐点。
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三. 设z =u 2+v 2, 而u =x +y , v =x -y , 求x z ∂∂, y z ∂∂.
解 x
v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅1=2(u +v )=4x ,
y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅(-1)=2(u -v )=4y .
四. 设z =arcsin(x - y ), 而x +3t , y =4t 3, 求dt
dz .
解 dt dy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=2
2
212)(113)(11t y x y x ⋅---+⋅--= 2
32)
43(1)
41(3t t t ---=. 五. 求下列函数的一阶偏导数(其中f 具有一阶连续偏导数): (1) u =f (x , xy , xyz ).
解 yz f y f f x
u ⋅'+⋅'+⋅'=∂∂3211321f yz f y f '+'+'=,
3232f xz f x xz f x f y u '+'=⋅'+⋅'=∂∂,
33f xy xy f z u '=⋅'=∂∂.
(2)(, )x y w f y z
=
;
解 1211()()w x y f f f x x y x z y ∂∂∂'''=⋅+⋅=∂∂∂,
12()()w x y f f y y y y z ∂∂∂''=+⋅∂∂∂2121f z
f y x '+'-=,
12()()w x y f f z z z z z
∂∂∂''=+⋅∂∂∂22f z
y '
⋅-=.
六. 设022=-++xyz z y x , 求x z ∂∂及y z ∂∂.
解 令xyz z y x z y x F 22),,(-++=, 则 xyz yz F x -
=1, xyz xz F y -=2, xyz
xy
F z -=1,
xy xyz xyz yz F F x z z x --=-=∂∂, xy xyz xyz xz F F y z z y --=
-=∂∂2. 七．设(,,)z F x y z x y z e =+--，则
1x F '=，1y F '=，1z z F e '=--
1
1x z
z F z x F e ∂=-=∂+，11y z
z F z
y F e
'∂=-='∂+
223
(1)(1)z
z z z z
e z e y
x y e e ∂∂∂=-=-∂∂++
八. 求曲线x =t -sin t , y =1-cos t , 2sin 4t z =在点)22 ,1 ,12 (-π处的
切线及法平面方程.
解 x '(t )=1-cos t , y '(t )=sin t , 2
cos 2)(t t z ='. 因为点)22 ,1 ,12
(-π所对应的参数为2 π=t , 故在点
)22 ,1 ,12
(-π处的切向量为)2 ,1 ,1(=T . 因此在点)22 ,1 ,12
(-π处, 切线方程为
22211
121-=-=-+z y x π, 法平面方程为
0)22(2)1(1)12(1=-+-⋅++-⋅z y x π, 即
42
2+=++πz y x .
九. 求出曲线x =t , y =t 2, z =t 3上的点, 使在该点的切线平行于平面x +2y +z =4.
解 已知平面的法线向量为n =(1, 2, 1).
因为x '=1, y '=2t , z '=3t 2, 所以参数t 对应的点处的切向量为
T =(1, 2t , 3t 2). 又因为切线与已知平面平行, 所以
T ⋅n =0, 即1+4t +3t 2=0,
解得t =-1, 3
1-=t . 于是所求点的坐标为(-1, 1, -1)和
)271 ,91 ,31(--. 十. 求曲面e z -z +xy =3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程. 解 令F (x , y , z )=e z -z +xy -3, 则
n =(F x , F y , F z )|(2, 1, 0)=(y , x , e z -1)|(2, 1, 0)=(1, 2, 0),
点(2,1, 0)处的切平面方程为
1⋅(x -2)+2(y -1)+0⋅(z -0)=0, 即x +2y -4=0,
法线方程为
02112-=-=-z y x . 十一. 在曲面z =xy 上求一点, 使这点处的法线垂直于平面x +3y +z +9=0, 并写出这法线的方程. 解 已知平面的法线向量为n 0=(1, 3, 1).
设所求的点为(x 0, y 0, z 0), 则曲面在该点的法向量为n =(y 0, x 0, -1). 由题意知
n //n 0, 即1
13
1
00-==x y ,
于是x 0=-3, y 0=-1, z 0=x 0y 0=3, 即所求点为(-3, -1, 3), 法线方程为 1
33
11
3-=+=+z y x .
十二. 求函数f (x , y )=4(x -y )-x 2-y 2的极值.
解 解方程组⎩⎨⎧=--==-=024),(0
24),(y y x f x y x f y
x , 求得驻点为(2,-2).
f xx =-2, f xy =0, f yy =-2, 在驻点(2,-2)处, 因为
f xx f yy -f xy 2=(-2)(-2)-0=4>0, f xx =-2<0,
所以在点(2, -2)处, 函数取得极大值, 极大值为f (2, -2)=8.
十三. 要造一个容积等于定数k 的长方体无盖水池, 应如何选择水池的尺寸方可使表面积最小.
解 设水池的长为x , 宽为y , 高为z , 则水池的表面积为 S =xy +2xz +2yz (x >0, y >0, z >0). 本题是在条件xyz =k 下, 求S 的最大值. 作函数
F (x , y , z )=xy +2xz +2yz +λ(xyz -k ). 解方程组
⎪⎩
⎪⎨⎧==++==++==++=k xyz xy y x F xz z x F yz z y F z y x 0220
202λλλ,
得唯一可能的极值点)221 ,2 ,2(333k k k . 由问题本身可知S 一定
有最小值, 所以表面积最小的水池的长和宽都应为.23k 高为322
1k . 十四. 在平面xOy 上求一点, 使它到x =0, y =0及x +2y -16=0三直线距离平方之和为最小.
解 设所求点为(x , y ), 则此点到x =0的距离为|y |, 到y =0的距离为|x |, 到x +2y -16=0的距离为
2
2
1|
162|+-+y x , 而距离平方之和为
222)162(51-+++=y x y x z .
解方程组
⎪⎩
⎪⎨⎧=-++=∂∂=-++=∂∂0)162(5420)162(522y x y y z y x x x z , 即{
03292083=-+=-+y x y x . 得唯一的驻点)5
16 ,58(, 根据问题的性质可知, 到三直线的距离平
方之和最小的点一定存在, 故)5
16 ,58(即为所求.。