8.2-2偏导数的几何意义及偏导数存在与连续的关系
函数连续,函数可微,函数可导,偏导数存在,偏导数连续之间地关系
1、可导即设y=f(x)是一个单变量函数，如果y在x=x0处存在导数y′=f′(x), 则称y在x=x[0]处可导。
如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。
函数可导定义：（1）设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若[f(x0+a)-f(x0)]/a 的极限存在,则称f(x)在x0处可导。
（2）若对于区间(a,b)上任意一点(m，f(m))均可导，则称f(x)在(a，b)上可导。
连续函数可导条件：函数在该点的左右偏导数都存在且相等。
即就是一个函数在某一点求极限，如果极限存在，则为可导，若所得导数等于函数在该点的函数值，则函数为连续可导函数，否则为不连续可导函数2、连续函数连续必须同时满足三个条件：函数在x0处有定义；x->x0极限limf(x)存在；x->x0时limf(x)=f(x0)定理有：函数可导必然连续；不连续必然不可导。
3、可微定义：设函数y=f(x)，若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx)其中A与Δx无关，则称函数f(x)在点x可微，并称AΔx为函数f(x)在点x的微分，记作dy，即dy=A×Δx当x=x0时，则记作dy∣x=x0.可微条件：必要条件：若函数在某点可微，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。
充分条件：若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。
4、可积函数定义如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，我们就说f(x)在[a,b]上可积。
即f(x)是[a,b]上的可积函数。
函数可积的充分条件定理1设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
定理3设f(x)在区间[a,b]上单调有界,则f(x)在[a,b]上可积。
可积的必要条件：被积函数在闭区间上有界。
8-2偏导数57560
几何意义:
偏导数fx(x0,y0)就是曲面被平面yy0 所截得的曲线在点M0处的切线M0Tx对 x 轴的
斜率.
偏导数fy(x0,y0)就是曲面 被平面 xx0所 截 得 的 曲 线 在 点 M0处 的 切 线 M0Ty对y 轴 的 斜
率 .
二、高阶偏导数
函 数 z f(x ,y ) 的 二 阶 偏 导 数 为
的偏导数， 为
limf(x0, y0 y) f(x0, y0)
y0
y
记为z y
xx0
，f y
xx0
，zy
xx0 yy0
或fy(x0,
y0).
yy0
yy0
如果函数z f(x, y)在区域D 内任一点 (x, y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是x、y的函数，它就称为函数z f(x, y)对 自变量x的偏导数， 记作xz，fx，zx或fx(x, y).
证
z yxy1,
x
z xy lnx, y
x z 1 z xyxy1 1 xylnx
yx lnxy y
lnx
xyxy 2z.
原结论成立．
例 3设 z arcx si， n 求 z， z.
x 2y2
x y
解
z x
1 1x2x2y2
x x2
y2
x
x2y2
y2
| y|
(x2y2)3
解 当 (x,y)(0,0)时 ,
fx(x,y)y(x2( x2y 2)y22 )2xxy
y( y2 x2) (x2 y2)2
,
fy(x,y)x(x2( x2y 2)y22 )2yxy
x(x2 y2) (x2 y2)2
偏导数连续的证明
偏导数连续的证明引言在微积分中，偏导数是一种用于描述多元函数变化率的工具。
当一个多元函数在某一点处的偏导数存在且连续，我们可以得出该点处函数的连续性。
本文将介绍偏导数的定义、连续性以及其证明过程。
1. 偏导数的定义对于一个多元函数f(x1,x2,...,x n)，我们可以对其中一个自变量进行求导，而将其他自变量视为常数。
这样得到的导数称为偏导数。
对于函数f关于自变量x i的偏导数记作∂f∂x i 或∂z∂x i。
2. 连续性的定义在介绍偏导数连续性之前，我们先来回顾一下函数连续性的概念。
2.1 函数连续性设有一个实函数f(x)，如果对于任意给定的实数x0，当x趋近于x0时，f(x)趋近于f(x0)，则称函数f(x)在点x0处连续。
2.2 多元函数连续性对于多元函数f(x1,x2,...,x n)，如果对于任意给定的(x10,x20,...,x n0)，当(x1,x2,...,x n)趋近于(x10,x20,...,x n0)时，f(x1,x2,...,x n)趋近于f(x10,x20,...,x n0)，则称函数f(x1,x2,...,x n)在点(x10,x20,...,x n0)处连续。
3. 偏导数连续的条件偏导数连续的条件是：在一个区域内，函数的所有偏导数存在且连续。
具体而言，对于一个多元函数f(x1,x2,...,x n)，若其所有偏导数∂f∂x i都存在且在某一点(a,b,...z)处都连续，则称该点处函数f的偏导数连续。
4. 偏导数连续的证明我们将通过反证法来证明偏导数的连续性。
假设存在一个点(a,b,...z)，该点处函数f的某个偏导数∂f∂x i在该点处不连续。
根据偏导数的定义，我们可以得到：∂f ∂x i (a,b,...z )=lim ℎ→0f (a +ℎ,b,...,z )−f (a,b,...,z )ℎ由于 ∂f∂x i 在点 (a,b,...z ) 处不连续，那么上述极限不存在或者不等于∂f ∂x i (a,b,...z )。
考研数学偏导数的概念与定义
考研数学偏导数的概念与定义
偏导数，在数学考试之中，考研考试中，都是一个复习重点。
下面是店铺给大家整理的考研数学偏导数的定义，供大家参阅!
考研数学偏导数的定义1
考研数学偏导数的定义2
考研数学偏导数的定义3
偏导数的几何意义
表示固定面上一点的切线斜率。
偏导数f'x(x0,y0)表示固定面上一点对x轴的切线斜率;偏导数f'y(x0,y0)表示固定面上一点对y轴的切线斜率。
高阶偏导数：如果二元函数z=f(x,y)的偏导数f'x(x,y)与f'y(x,y)仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为z=f(x,y)的二阶偏导数。
二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy.
注意：f"xy与f"yx的区别在于：前者是先对x求偏导，然后将所得的偏导函数再对y求偏导;后者是先对y求偏导再对x求偏导.当f"xy 与f"yx都连续时，求导的结果与先后次序无关。
D8.2偏导数与全微分
即 函数zz = ff(x(,xy) 在点x, y(x, y)y可) 微f (函x,数y)在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微 (2) 偏导数连续
偏导数存在 函数可微
高等数学
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21
定理 (必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
求 fxy (0,0) , f yx (0,0) .
解：
fx (x, y)
f y (x, y)
y
x4
4x2 (x2
y2 y2 )2
y4
,
0,
x
x4
4x2y2 (x2 y2)2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0 x2 y2 0 x2 y2 0
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分子与分母的商 !
？ z
x
xy y z
y (
z y2
)
1 x
z 1 xy
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8
二、二元函数偏导数的几何意义
z
f x
x x0 yy0
d dx
f (x, y0 )
x x0
M0
Tx
Ty
是曲线
z
y
f (x, y0
y)在点
M0
处的切线
M 0Tx 对 x 轴的斜率.
24
z
fx (x, y)x f y (x, y)y x y
lim
x0
y 0
0,
lim
x0
y 0
0
注意到
偏导数全微分
0 , y0 )
于是
z z z z dz x y dx dy x y x y
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证明：函数 z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处可微,
则z Ax By ( )
x z 当y y0即y 0时 A ( x ) x x
偏导数存在 连续.
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例：u xyz
解：
求u x , u y , uz
u x yz u y xz u z xy
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二 、全微分 x x
引例： y
y
S xy
一元函数y f ( x)的微分： x , x y f ( x x) f ( x) Ax x dy Ax Adx f ( x)dx
x
例3.求函数z f ( xy)的偏导数.
解 : 设u xy
u z f (u ) y yf ( xy) x f (u ) x u zy f (u ) f (u ) x xf ( xy) y
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例4.求函数
xy , ( x, y ) (0,0) 2 2 f ( x, y ) x y ( x, y ) (0,0) 0 ,
和f y . 的偏导数f x
解 : 当( x, y) (0,0)时 2 2 xy y ( x y ) xy 2 x f x ( 2 ) 2 x ( x2 y 2 )2 x y
( fy xy x y
2
y( y 2 x 2 ) ( x 2 y 2 )2 x( x 2 y 2 ) ( x2 y 2 )2
偏导数
偏导数
一、偏导数的概念
二、几何意义
三、高阶偏导数
四、小结 思考题
二元函数z = f (x, y)在点(x0, y0)处的增量：
一、偏增量
z x f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 )
z y f ( x 0 , y0 y ) f ( x 0 , y 0 )
f x (0,0) lim
x 0
f (0 x ,0) f (0,0) 00 lim 0 x 0 x x
00 f (0,0 y ) f (0,0) lim f y (0,0) lim 0 y 0 y y 0 y
３、偏导数存在与连续的关系 一元函数中在某点可导 连续 多元函数中在某点偏导数存在 连续
定理 如果函数z f ( x , y ) 的两个二阶混合偏导数
2z 2z 及 在区域 D 内连续，那末在该区域内这 yx xy
两个二阶混合偏导数必相等．
四、小结 思考题
1、偏导数的定义 （偏增量与对应自变量增量之比的极限）
2、偏导数的计算
纯偏导 3、高阶偏导数 混合偏导（相等的条件）
称此极限为z f ( x, y )在P0 பைடு நூலகம் x0 , y0 )处关于y的偏导数 存在，
记作 zy
z ， x x0 ， f y ( x 0 , y0 ) y y y0
f 或 y x x0
y y0
x x0 y y0
如果函数 z f ( x , y )在区域 D 内任一点( x , y )处 对 x 的偏导数都存在，由于这个偏导数仍是 x , y 的函数,故称为函数 z f ( x , y )对 x 的偏导函数.
函数连续与偏导的关系
函数连续与偏导的关系首先，我们来回顾一下连续函数的定义。
在一维的情况下，一个实值函数f(x)在点x=a处连续，意味着当x趋近于a时，函数f(x)的值也趋近于f(a)。
数学上用极限来表达这个概念，即lim(x→a)f(x) = f(a)。
在多维情况下，如果一个函数f(x1, x2, ..., xn)在一些点(a1,a2, ..., an)处的值等于f(a1, a2, ..., an)，即f(a1, a2, ..., an)= f(a1, a2, ..., an)，那么我们说函数在该点处连续。
换句话说，函数在(a1, a2, ..., an)处连续意味着当(x1, x2, ..., xn)趋近于(a1,a2, ..., an)时，函数f(x1, x2, ..., xn)的值也趋近于f(a1, a2, ..., an)。
我们可以用类似的方式定义函数在一些点处的偏导数。
在一维的情况下，函数f(x)在点x=a处的偏导数可以用以下极限定义：f'(a) = lim(h→0)(f(a+h) - f(a))/h在多维情况下，函数f(x1, x2, ..., xn)在点(a1, a2, ..., an)处的偏导数可以用以下极限定义：∂f/∂x1(a1, a2, ..., an) = lim(h→0)(f(a1+h, a2, ..., an) -f(a1, a2, ..., an))/h类似地，我们可以定义其他变量的偏导数。
函数在一些点处存在所有偏导数表示该函数在该点处可导。
现在让我们来研究连续函数与偏导数之间的关系。
根据以上定义，我们可以得出结论：如果函数在其中一点处连续，那么该点处的偏导数存在。
证明这个结论的一个重要工具是方向导数。
方向导数表示函数在一些点处沿着一些方向的变化率。
对于二维情况，函数f(x,y)在点(a,b)处沿着单位向量(u,v)的方向导数定义为：∂f/∂u(a, b) = lim(h→0)(f(a+hu, b+hv) - f(a, b))/h同样地，对于多维情况，我们可以类似地定义方向导数。
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偏 导数存在与连续的
关系
第八章多元函数微分学 第2节偏导数及其在经济分析中的应用
主讲 韩华
1 -几何意义
经济数学
微积分
偏导数人（X。成0） 就 是曲面被平面 y = yQ 所 截 得 的 曲 线在点处的切线 对x轴的斜率.
O
1 -几何意义
经济数学--微积分
偏导数人（乂0 9 No ） 就 是 曲 面 被 平 面 X = x0 所 截 得 的曲线在点 M。处 的切线对 p轴的斜 率.
点处并不连续.偏导数存在宀连续.
微积分
谢谢
T导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导—►连续， 多元
函数中在某点偏导数存在斗连续,
= i 例如，函数 f (x,y)
2 x2y, x 2 + y 2 丰 0
+ , X2
y2
2
,
、0,
x2+ y2= 0
依定义知在(0,0)处，fx (0,0) = fy (0,0) = 0. 但函数在该