概率及其性质概论
03第五章_概论及概论分布
自数据分布中相对位置的高低。
计算不同质的观测值的总和或平均值，以
表示在团体中的相对位置。
当研究需要合成不同质的数据时，如果已知这 些不同质的观测值的次数分布为正态，这时可采用 Ｚ分数来计算不同质的观测值的总和或平均值。
表示标准测验分数
经过标准化的心理和教育测验，常常
种数学模型计算出的概率分布。
３、基本随机变量分布与抽样分布
依所描述的数据的样本特性，可将概率分
布分为基本随机变量分布与抽样分布 （sampling distribution）。
基本随机变量分布是随机变量各种不同取
值情况的概率分布，抽样分布是从同一总体 内抽取的不同样本的统计量的概率分布。
二、二项分布
抽到第一题或第二题的概率应为抽到第一题的概率和抽到第二题的概率之和即四个学生都抽到第一题即四个学生同时抽到第一题其概率应为抽到第一题的概率的乘积即20个黑球共50个球中随机抽取两次放回抽样问抽出一个黑球和一个白球的概率是多少
第五章
概率及概论分布
一、概率的一般概念
1.概论的定义
后验概率（或统计概率）
率之和，即
0 0 6 1 5 2 2 4 P P P C p q C p q C p q ( 0) 1 2 6 6 6
3 2 3 2 6 15 5 5 5 5
6
m n
（5．2）
2．概率的公理系统
（1）任何随机事件Ａ的概率都是在0与1之间 的正数，即 0 ≤ P（A）≤1 （2）不可能事件的概率等于零，即 P（A）= 0 （3）必然事件的概率等于1，即 P （A ）= 1
概率论基础基础(复旦版)李贤平概论
符号 Ω Φ ω∈Ω {ω} A⊂ Ω A ⊂B A=B A∪B A∩B Ā A-B A∩B=φ
测度论含义 全集 空集 集合的元素 单点集 一个集合 A A的元素在B中 B 集合A与B相等 A与B的所有元素 A与B的共同元素 A的补集 在A中而不在B中的元素 A与B无公共元素
概率论含义 样本空间，必然事件 不可能事件 样本点 基本事件 一个事件 A A发生导致B发生 B 事件A与B相等 A与B至少有一个发生 A与B同时发生 A的对立事件 A发生而B不发生 A与B互斥
显然 φ ⊂A⊂Ω ⊂Ω ⊂ 且 ⊂ 相等 A=B : A⊂B且B⊂A
2. 和事件 事件A和 至少有一个发生 A∪B :事件 和B至少有一个发生 ∪ 事件 A 显然, ∪ 显然 A∪φ =A A∪Ω=Ω ∪ Ω B
3. 积事件 事件 与 同时发生 A∩B : 事件A与B同时发生 简写AB 简写 A 显然, 显然 A∩φ=φ A∩Ω=A Ω B
例 抛硬币 试验者 Buffon Pearson Kerrich 掷的次数 4040 24000 10000 正面次数 2048 12012 5067 正面频率 0.5069 0.5005 0.5067
例，高尔顿钉板试验 在相同的条件下，大量重复某一试验时，各可能结果出现的 频率稳定在某各确定值附近，即 随机试验中频率的稳定性 频率稳定性的存在标志着随机现象也由数量规律 概率论是研究随机现象中数量规律的数学学科
四、随机事件的关系及运算
对应集合的关系和运算来定义事 件的关系及运算,并根据 事件发生” 并根据“ 件的关系及运算 并根据“事件发生”的 含义,来理解它们在概率论中的含义 含义 来理解它们在概率论中的含义
1. 子事件 包含 A⊂ B : 事件 发生必有事件B发 事件A发生必有事件 发 发生必有事件 ⊂ 包含A 生, 称B包含 包含 B A
概率定义与性质
第二步
收集证据。收集与目标 事件或参数相关的证据 或数据。
第三步
计算后验概率。根据贝 叶斯定理，利用先验概 率和证据，计算出目标 事件或参数的后验概率。
第四步
做出决策。根据后验概 率的大小，做出相应的 决策或推断。
独立性的数学表达
如果两个事件A和B满足$P(A cap B) = P(A) times P(B)$，则称事件A和B是独立的。
3
独立性的性质
独立性具有传递性，即如果A与B独立，B与C独 立，那么A与C也独立。
独立事件的概率
独立事件的概率计算
条件概率与独立性
对于两个独立事件A和B，其同时发生 的概率是各自概率的乘积，即$P(A cap B) = P(A) times P(B)$。
如果两个事件A和B在给定第三个事件 C的条件下是独立的，那么A和B本身 也是独立的。
独立事件的性质
如果两个事件是独立的，那么其中一 个事件的发生不会影响到另一个事件 的概率。
独立试验与大数定律
01
独立试验
在相同的条件下进行多次试验， 每次试验的结果之间相互独立， 这样的试验称为独立试验。
大数定律
02
全概率公式如下：P(A) = Σ P(Bi) * P(A | Bi)，其中Bi是所有可能的基本事件，P(Bi)是基本事件Bi发生的概率，P(A | Bi)是在基本事 件Bi发生的条件下事件A发生的概率。
04
独立性
独立性的定义
1 2
独立性定义
如果一个事件的结果不会影响到另一个事件的结 果，那么这两个事件就是独立的。
学习、决策理论等。
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质一、几何概率一个随机试验，如果数学模型是古典概型，那么描述这个实验的样本空间Ω,文件域 F 和概率P 已在前面得到解决。
在古典概型中，试验的结果是有限的，受到了很大的限制。
在实际问题中经常遇到试验结果是无限的情况的。
例如，若我们在一个面积为ΩS 的区域Ω中，等可能的任意投点，这里等可能的确切意义是这样的：在区域Ω中有任意一个小区域A ，若它的面积为A S , 则点A 落在A 中的可能性大小与A S 成正比，而与A 的位置及形状无关。
如果点A 落在区域A 这个随机事件仍记为A ，则由P(Ω)=1可得Ω=S S A P A)(, 这一类概率称为几何概率。
同样，如果在一条线段上投点，那么只需要将面积改为长度，如果在一个立方体内投点，则只需将面积改为体积。
例1：（会面问题）甲乙两人约定在6时到7时之间某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率。
解：以x 和y 分别表示甲乙约会的时间，则600,600≤≤≤≤y x 。
两人能会面的充要条件是15≤-y x 在平面上建立直角坐标系（如教材图）则（x,y ）的所有可能结果是边长为60米的正方形，而可能会面的时间由图中阴影部分表示。
这是一个几何概率问题，由等可能性 167604560)(222=-==ΩS S A P A例2 蒲丰（Buffon ）投针问题。
平面上画有等距离的平行线，平行线间的距离为a(a>0)，向平面任意投掷一枚长为l(l<a)的针，试求针与平行线相交的概率。
解：假设x 表示针的中点与最近一条平行线的距离，又以ϕ表示针与此直线间的交角，有20ax ≤≤，πϕ≤≤0 由这两式可以确定ϕ,x 平面上的一个矩形 }0,20),({πϕϕ≤≤≤≤=Ωax x ， 这时为了针与平行线相交，其条件为ϕsin 2lx ≤，由这个不等式表示的区域A 是图中的阴影部分 }sin 2,20),({ϕϕlx a x x A ≤≤≤=由等可能性可知 a la d lS S A P A ππϕϕπ22sin 2)(0===⎰Ω 若l,a 为已知，则以π值代入上式，即可计算得P （A ）的值。
概率的基本概念与性质总结
概率的基本概念与性质总结概率是数学中一个重要的分支，用于描述随机事件发生的可能性。
通过对概率的研究，我们可以预测和解释各种自然和人为现象。
本文将总结概率的基本概念与性质，并探讨其在实际应用中的作用。
一、概率的基本概念1. 随机试验：指具有以下特点的试验，它的结果不确定，并且在相同条件下可以重复进行。
2. 样本空间：随机试验所有可能结果的集合，用S表示。
样本空间是随机试验的基本范围。
3. 事件：样本空间的子集称为事件，用A、B、C等表示。
事件是我们关注的实际结果。
4. 几何概率：指试验中一件事件发生的概率，用P(A)表示，其中P 代表概率，A为事件。
二、概率的性质1. 非负性：对于任意事件A，有P(A)≥0。
2. 规范性：对于样本空间S，有P(S)=1。
3. 可列可加性：对于任意两个互不相容的事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。
4. 对立性：事件A的对立事件（即A不发生）为A'，有P(A)+P(A')=1。
三、概率的计算方法1. 古典概型：指样本空间有限且所有结果发生的可能性相等的情况。
例如，掷硬币的结果只有正面和反面，概率为1/2。
2. 几何概型：指试验结果具有一定几何形状的情况。
例如，从半径为1的圆盘中等概率随机选择一点落在圆内的概率为π/4。
3. 统计概型：指通过统计方法估计概率的情况。
根据大数定律，当试验次数足够多时，试验结果逼近真实概率。
四、概率的应用1. 风险管理：概率的研究可以帮助我们评估和管理风险。
例如，在保险业中，根据历史数据和概率模型，可以预测保险事故的发生概率，从而制定相应的保险费率和赔偿政策。
2. 统计推断：概率在统计学中起到重要的作用。
通过对样本数据的统计分析，可以推断出总体的特征和参数，进而做出科学的决策和预测。
3. 金融市场：概率的研究对于金融市场的投资决策具有重要意义。
通过对市场行情的分析和模拟，可以评估不同投资策略的预期收益和风险，并制定相应的交易策略。
概率论与数理统计考点
《概率论与数理统计》 第一章 随机事件与概率事件之间的关系： 事件之间的运算： 运算法则：交换律A ∪B=B ∪A A ∩B=B ∩A结合律(A ∪B)∪C=A ∪(B ∪C) (A ∩B)∩C=A ∩(B ∩C) 分配律(A ∪B)∩C=(AC)∪(BC) (A ∩B)∪C=(A ∪C)∩(B ∪C) 对偶律 A ∪B ‾‾ =A ‾∩B ‾ A ∩B ‾‾ =A ‾∪B ‾ 古典概型： 概率公式：求逆公式 P(A ‾)=1- P(A)加法公式 P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A ∪B ∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 求差公式：P(A-B)=P(A)-P(AB); 当A ⊃B 时，有P(A-B)=P(A)-P(B)注意： A-B = A B ‾ = A-AB = (A ∪B)-B条件概率公式：P(A|B)=P(AB)P(B); (P(B)>0)P(A|B)表示事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率。
乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B) (其中P(A)>0, P(B)>0) 一般有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (其中P(AB)>0)全概率公式：P(A)= ∑i=1nP(A|B i )P(B i ) 其中B 1,B 2,…,B n 构成Ω的一个分斥。
贝叶斯公式：P(A k |B)= P(B|A k )P(A k )P(B) = P(B|A k )P(A k )∑i=1nP(B|A i )P(A i )（由果溯因）概论的性质：事件的独立性：如果事件A 与事件B 满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A 与事件B 相互独立。
结论：1. 如果P(A)>0，则事件A 与B 独立⇔2. 事件A 与事件B 独立⇔事件A 与事件B ‾独立⇔事件A ‾与事件B 独立⇔事件A ‾与事件B ‾独立贝努里概型：指在相同条件下进行n 次试验；每次试验的结果有且仅有两种A 与A ‾；各次试验是相互独立；每次试验的结果发生的概率相同P(A)=p, P(A‾)=1-p 。
伊藤清概率论第一章
例如，由 R 的全体区间构成的族所生成的完全加法族为 Borel
集合族．再如，端点为有理数的全体区间构成的族也生成同一
个 Borel 集合族．R 上的完全加法族有很多种，但是 Borel 集合
族是最有用的一个．
将空间 Ω 与其子集构成的一个完全加法族 F 结合来考虑
时，所产生的序偶 (Ω, F ) 称为可测空间. 然而，当 Ω = R 时，通
4 第 1 章 概率论的基本概念
的测度 P ，称为 (Ω, F ) 上的概率测度. 对于 E ∈ F ，称 P (E) 为 E 的概率或 E 的P -测度.
将 Ω, F , P 一起考虑时，所产生的序偶 (Ω, F , P ) 称为概 率空间.
§2 概率空间的实际意义
针对想理解后面出现的定理含义的读者，这里有必要对前 一节定义的抽象概率空间在实际随机现象研究中的应用加以说 明，仅对推理感兴趣的读者另当别论.
k=1
3◦ 属于 F 的集合的余集也属于 F ，即若 E ∈ F ，则
2 第 1 章 概率论的基本概念
Ω−E ∈ F．
利用这三个条件，我们可以推出下列结论.
4◦ 空集 (今后用 ∅ 表示) 也属于 F ．事实上，在 3◦ 中取
E = Ω 即可.
∞
5◦ 如果 E1, E2, E3, · · · ∈ F , 则 Ek ∈ F .
这个等式称为有限可加性. 以此类推，仅依靠形式的推理是不能导出完全可加性的. 将
概率的完全可加性作为基础来假设，是数学上的理想化模式. 你 渐渐地便能理解这种理想化不是与实际相悖的，反而是与其一 致的.
综合以上三个步骤的分析便获得概率空间 (Ω, F , P ).
§3 概率测度的简单性质
概率论的基本概论
第一章概率论的基本概论确定现象：在一定条件下必然发生的现象，如向上抛一石子必然下落，等随机现象：称某一现象是“随机的”，如果该现象（事件或实验）的结果是不能确切地预测的。
由此产生的概念有：随机现象，随机事件，随机实验。
例：有一位科学家，他通晓现有的所有学科，如果对一项实验（比如：掷硬币），该万能科学家也无法确切地预测该实验的结果（是正面朝上还是反面朝上），这一实验就是随机实验，其结果是“随机的”----为一随机事件。
例：明天下午三点钟”深圳市区下雨”这一现象是随机的，其结果为随机事件。
随机现象的结果（随机事件）的随机度如何解释或如何量化呢？这就要引入”概率”的概念。
概率的描述性定义：对于一随机事件A，用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称为随机事件A发生的概率。
§1.1 随机实验以上实验的共同特点是:1．实验可以在相同的条件下重复进行；2．实验的全部可能结果不止一个，并且在实验之前能明确知道所有的可能结果；3．每次实验必发生全部可能结果中的一个且仅发生一个，但某一次实验究竟发生哪一个可能结果在实验之前不能预言。
我们把对随机现象进行一次观察和实验统称为随机实验，它一定满足以上三个条件。
我们把满足上述三个条件的实验叫随机实验，简称实验，记E。
§1.2样本空间与随机事件(一) 样本空间与基本事件E的一个可能结果称为E的一个基本事件，记为ω，e等。
E的基本事件全体构成的集，称为E的样本空间，记为S或Ω, 即：S={ω|ω为E的基本事件}，Ω={e}.注意：ω的完备性，互斥性特点。
例：§1.1中实验E 1--- E 7 E 1：S 1={H,T}E 2：S 2={ HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT }E 3：S 3={0，1，2，3} E 4：S 4={1,2,3,4,5,6} E 5: S 5={0,1,2,3,…} E 6：S 5={t0≥t }E 7：S 7={()y x ,10T y x T ≤≤≤}（二） 随机事件我们把实验 E 的全部可能结果中某一确定的部分称为随机事件。
概率论的基础知识
概论论的基础知识
6σ
目录
6s
第一部分 概率基础知识 第二部分 随机变量及其分布
概率基础知识
6s
事件
（一）随机现象
1、定义：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。
随机现象的特点：
⑴随机现象的结果至少有两个；
⑵至于哪一个出现，事先人们并不知道。
2、样本点（抽样单元）：随机现象中的每一个可能结果，称为一个样本点，又称为抽 样单元。
正态分布有两个参数和常记为n读作miu为分布的标准差随机变量及其分布常用连续分布正态分布09357随机变量及其分布常用连续分布正态分布2标准正态分布的一些运算公式随机变量及其分布常用连续分布正态分布随机变量及其分布常用连续分布正态分布2标准正态分布的分位数一般说来对任意介于0与1之间的实数标准正态分布n01的分位数是这样一个数它的左侧面积恰好为它的右侧面积恰好为1用概率的语言来说u的分位数u随机变量及其分布常用连续分布正态分布随机变量及其分布常用连续分布正态分布2正态分布的标准转化某产品的质量特性2008则最大值应为随机变量及其分布常用连续分布正态分布2正态分布的标准转化产品质量特性的不合格品率的计算1质量特性的分布在受控的情况下常为正态分布
3、样本空间：随机现象一切可能样本点的全体称为这个随机现象的样本空间，常记为 Ω （读Omega ）。
一切可能发生 认识一个随机现象首要就是能罗列出它的
的基本结果。
概率基础知识
事件
[例]
⑴一天内进某超市的顾客数: Ω ={0,1,2,······}
⑵一顾客在超市购买的商品数: Ω ={0,1,2,······}
性质8：假如两个事件A与B相互独立，则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概 率P(A|B)等于事件A的(无条件)概率P(A)。
概论课知识点总结
概论课知识点总结概论课是大学阶段的一门基础必修课程，通过该课程的学习，可以为学生提供一些基础的学科知识和方法论，帮助学生建立全面系统的知识结构和思维方式，有利于提高学生的学科素养和分析问题的能力。
本文将对概论课知识点进行总结，包括但不限于自然科学、社会科学、人文科学等方面的基础知识。
一、自然科学1. 数学数学作为自然科学的一门重要基础学科，对于各种学科的研究都有重要的作用。
概论课程中，通常会涉及基本代数、几何、微积分、概率统计等数学知识，学生需要掌握这些基本数学概念和方法，为后续学科学习打下基础。
2. 物理学物理学是自然科学中一门基础学科，主要研究自然界的物理现象和规律。
概论课程中，通常会介绍一些基本的力学、热学、电磁学等物理概念，学生需要掌握这些基本物理知识，了解物质运动、能量转化、电磁波等基本规律。
3. 化学化学是自然科学中的一门基础学科，主要研究物质的结构、性质、变化规律。
概论课程中，通常会介绍一些基本的化学概念，如元素周期表、化学键、化学反应等，学生需要掌握这些基本化学知识，了解物质的基本组成和性质。
4. 生物学生物学是自然科学中的一门基础学科，主要研究生物的结构、功能、演化等现象和规律。
概论课程中，通常会介绍一些基本的生物学知识，如细胞结构、生物进化、生物分类等，学生需要掌握这些基本生物学知识，了解生命的基本组成和规律。
二、社会科学1. 经济学经济学是社会科学中的一门基础学科，主要研究资源的配置和利用、经济增长和分配等问题。
概论课程中，通常会介绍一些基本的经济学知识，如供求关系、市场结构、宏观经济政策等，学生需要掌握这些基本经济学知识，了解经济运行的基本规律。
2. 政治学政治学是社会科学中的一门基础学科，主要研究政治组织、行为和理论等问题。
概论课程中，通常会介绍一些基本的政治学知识，如政府组织、权力分立、民主制度等，学生需要掌握这些基本政治学知识，了解政治运行的基本规律。
3. 社会学社会学是社会科学中的一门基础学科，主要研究社会的结构、功能、变迁等问题。
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P( A) m n
A包含的基本事件总数 样本空间的基本事件总数
称之为古典概型公式
例4：一位常饮奶茶的女士称：她能从一杯冲好的 奶茶中辨别出该奶茶是先放牛奶还是先放茶 冲制而成. 做了10次测试，结果是她都正确 地辨别出来了。问该女士的说法是否可信？
此题运用了小概率原理： 概率很小的事件在一次试验 中是几乎不可能发生的.
i 1
i 1
1i jn
P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1 A2 An )
1i jk n
性质4：若事件 A 与事件 B 互不相容，则
P( A B) P( A) P(B)—加法公式的特殊情形 推广：若 A1, A2,, An 两两互不相容，则：
P(A1 A2 An ) P(A1) P(A2 ) P(An )
一、频率
定义：设在相同条件下，重复进行了 n 次试验，若随
机事件
A 这
n
次试验中发生了
n
次，则比值
A
fn ( A) nA / n
称为事件 A在 n 次试验中发生的频率，其中nA
称为事件 A 发生的频数.
如：做投掷一枚质地均匀硬币试验，以下结果是历史 上科学家观察出现正面情况.
实验者
德摩根 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊 维尼
有关小概率问题一资料：
练习
1：将所有的两位数逐一的写在卡片上，从中任 意抽取一张卡片，求这张卡片上的数字能被 2或能被3整除的概率？
2：设有同类产品6件，其中4件是合格品，2件 是不合格品，从中任意抽取2件，求抽得合 格品与不合格品各一件的概率？
3：10把钥匙中有3把钥匙能打开门锁，任取2把 钥匙，求能打开门锁的概率.
掷硬币次 数 2048 4040 12000 24000 30000
出现正面 次数 1061 2048 6019 12012 14994
频率
0.518 0.5069 0.5016 0.5005 0.4998
结论：⑴直观方面：当投掷次数n很大时，出现正 面的频率总在0.5附近摆动，且随着投掷 次数的增加这种摆动的幅度是很微小的；
①非负性：对任意 A , P( A) 0
②规范性： P() 1
③可列可加性：有对任P意( 可 列Ai个) 两两 互P斥( A的i )事件A1,, An ,
i 1
i 1
三、概率的性质
性质1：P() 0, P() 1
性质2：对任意事件 A ，0 P( A) 1 性质3：对任意两个事件 A与 B ，有
四、古典概型
定义：具有下列两个特征的概率称为古典概型 （或等可能概型）
⑴有限性：试验的样本空间中的元素只有有 限个，即基本事件的数目有限；
⑵等可能性：试验中各个基本事件（样本点） 发生的可能性相同.
古典概型的计算
若随机试验 E的样本空间中基本事件的总数为 n，而事件 A 所包含的基本事件数为 m，则事件 A
二、概率的定义
1、概率的统计定义：
在相同的条件下做 n 次试验，将事件 A的频率 fn ( A) 随 n 增大将稳定的围绕某个常数 p 波动，且 波动的幅度越来越小，我们定义这个常数 p 为事件 A 发生的概率，记为 P(A) p
注：频率与概率的区别 ⑴频率具有随机波动性, 是一个变数，而概率是一 个常数，事件A发生的概率完全取决于事件本身， 是客观存在的；
⑵概率的统计定义只是一种描述，它指出了事件的概 率是客观存在的，随着试验次数的增加，频率在概 率附近摆动. 因此，在实际问题中，当试验的次数 n很大时，频率通常作为概率的近似值.
2、概率的公理化定义：设试验 E 的样本空间为Ω， 对于E的每一事件A，都赋予一个实数P(A)，若集 合函数P满足下列条件，则称P(A)为事件A的概率
P(A B) P(A) P(B) P(AB)
称该性质为概率的加法公式.
推广：若对任意三个事件 A, B,C ，有 P(A B C) P(A) P(B) P(C)
P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC)
一般地：
n
n
P( Ai ) P( Ai )
P( Ai Aj )
第一章 随机事件与概率
1.3 概率及其性质
研究随机现象，不仅需要关心试验中会出 现哪些事件，更需要知道这些事件出现的 可能性.
如何刻画事件的可能性？
概率是随机事件 发生可能性大小 的度量
事件发生的可能性 越大，概率就 越大！
1.3节需要弄清楚下述问题：
1、频率的定义、计算方法、性质是什么？ 2、概率的统计定义与公理化定义各是什么？ 3、概率的性质有哪些？运用时需注意哪些条件？ 4、古典概率的定义及计算方法？
注：A B AB
例2：设事件 A, B 发生的概率分别为 1 , 1 ，试依据
下述情况求 P( AB)
43
⑴ A, B 互斥 ⑵ A B ⑶ P( AB) 1 8
例3：根据天气预报，明天甲城市下雨的概率为0.7， 乙城市下雨的概率为0.2，甲、乙两城市同时 下雨的概率为0.1，求下列事件的概率： ⑴明天甲城市下雨而乙城市不下雨； ⑵明天至少有一城市下雨； ⑶明天甲、乙两城市都不下雨； ⑷明天至少有一城市不下雨.
此性质称为概率的有限可加性
性质5：对事件 A 与其对立事件 A，有
P( A) 1 P( A)
性质6：对任意两个事件 A, B ，有： P(A B) P(A) P(AB)
且若 A B ，则有： P(A B) P(A) P(B)
称该性质为概率的减法公式.
例1：设 P(A) p, P(B) q, P(A B) r 求：P( AB), P( AB), P( A B)
⑵频率具有稳定性：条件不变重复进行n次试验，
事件 A的频率 fn ( A)，当n增大时一般地将
稳定在某个常数附近.
频率的性质
⑴非负性，即：对任何事件 A ，均有
0 fn (A) 1 ⑵归一性，即： fn () 1 ⑶可加性，任意 m个互不相容事件 A1, A2,, An
满足 fn (A1 A2 An ) fn (A1) fn (An )