一元二次方程之判别式法与韦达定理
初高衔接知识第二讲 ：一元二次方程与韦达定理(含练习+参考答案)
第二讲：一元二次方程与韦达定理班级：______姓名：__________问题一、一元二次方程的基本知识定义： 判别式： 求根公式：两根差的绝对值：例1 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －1＝0的两根，求| x 1－x 2|的值．问题二、韦达定理如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a．这一关系也被称为韦达定理．例1 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例2 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．例3 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．例4 若x 1和x 2分别是一元二次方程x 2＋x －1＝0的两根．（1）求| x 1－x 2|的值； （2）求221211x x 的值； （3）x 13＋x 23．问题三、韦达定理与根的分布问题例1 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的（1）一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围；（2）两个根都大于零，求实数a 的取值范围．例2．若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的（1）一个大于1、零一根小于1，求实数a 的取值范围；（2）两根都小于1，求实数a 的取值范围．例3 若一元二次方程x 2-(m +1)x+4=0的两个根都落在[0,3]内，求实数m 的取值范围．参考答案定义：一般的，把形如20ax bx c ++=()0a ≠的方程叫做一元二次方程判别式：240b ac =-≥求根公式：2b x a -±=两根差的绝对值：12||x x a -=问题一例1.122x x -===问题二例1. 解：由题意得121212355675k x x x x x x -⎧+=⎧⎪=-⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎪⎩例2. 解：由题意得()()22212120401171021m b ac m m m x x x x ≤⎧⎧-≥⎪⎪⇒⇒=-⎨⎨-+=+-=⎪⎪⎩⎩例3 解：由题意得24120x x --=解得126,2x x ==-例4 解：（1）12x x -===（2）()()()2212122222212122121131x x x x x x x x +--++===- （3）()()()()()233221212112212121234x x x x x x x x x x x x x x +=+-+=++-=-问题三例1解:（1）1240x x a =-<，4a <（2）由题意得1220174440x x a b ac <⎧⇒<≤⎨-≥⎩例2解：（1）由题意得()()12110x x --<()121210x x x x -++<2a ∴<（2）由题意得122b a -=- ∴()()12211012440x x a b ac ⎧-->⎪⇒-<≤⎨-≥⎪⎩例3解：由题意得 ()()()()21212121240010033330330b ac x x x x m x x x x ⎧-≥⎪+≥⎪⎪≥⇒≤≤⎨⎪-+-≤⎪⎪--≥⎩高一数学衔接知识讲义二练习班级：________姓名：_________1． 若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ）（A ）m ＜14 （B ）m ＞－14 （C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－14，且m ≠0 2．已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是 （ ）（A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）23．若关于x 的方程x 2＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，则k 的值为 （ ）（A ）1，或－1 （B ）1 （C ）－1 （D ）04．已知a ，b ，c 是ΔABC 的三边长，那么方程cx 2＋(a ＋b )x ＋4c ＝0的根的情况是 （ ） （A ）没有实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根 （D ）有两个异号实数根5．已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x 2－8x ＋7＝0的两根，则斜边长等于 （ ）（A（B ）3 （C ）6 （D ）96．若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1211x x ＝ ； 7．以－3和1为根的一元二次方程是 ；8．若方程x 2－8x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，且3x 1＋2x 2＝18，则m ＝_____________；9．写一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数_________________________．10．若一元二次方程x 2+2(m -1)x+2m +6=0有两个实数根，且都比1大，求实数m 的取值范围．11．若方程(m +3)x 2-4mx+2m +1=0的两个实数根异号，且负根的绝对值较大，求实数m 的取值范围．12．若一元二次方程x 2-2ax+a+2=0的两根都在区间（1，3）内，求实数a 的取值范围．参考答案1-5 D C C B B6-9 3-；(3)(1)0x x +-=；12；2710x x +-= 10 解： ，则51540m m m m ≥≤-⎧⎪⎪>-⎨⎪<⎪⎩∴514m -<≤-11 解：121200300x x x x m ⋅<⎧⎪+<⎪⎨+≠⎪⎪∆>⎩ ，则2(21)(3)04(m 3)03828-12>0m m m m m m ++<⎧⎪+<⎪⎨≠-⎪⎪∆=-⎩∴132m -<<- 12 解：法一：24480(1,3)2(1)30(3)1150a ab a a f a f a ⎧∆=--≥⎪⎪-=∈⎪⎨⎪=->⎪=->⎪⎩ ∴1125a ≤< 法二：利用韦达定理12121212(1)(1)0(1)(1)0(3)(3)0(3)(3)00x x x x x x x x -->⎧⎪-+->⎪⎪-+-<⎨⎪-->⎪⎪∆≥⎩ ∴1125a ≤< 2416200(1)4502(m 1)122m m f m b a ⎧⎪∆=--≥⎪=+>⎨⎪-⎪-=->⎩。
一元二次方程的解法及韦达定理
一元二次方程的解法及韦达定理一元二次方程的解法及韦达定理编号：撰写人：审核：一、一元二次方程的解法：例题1：用配方法、因式分解、公式法解方程：x2-5x+6=0【一元二次方程的解法总结】1、直接法：对于形如—x2=a的方程，我们可以用直接法。
方程的解为x=推论：对于形如(x+a)2=b的方程也是用直接开方的方法。
注意点：①二次项的系数为1，且a≥0②如果a为根式，注意化简。
例1：解方程：5x2=1例2：解方程：x2=4例3：解方程：4x 2+12x+9=122、配方法：对于形如：ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的方程，我们可以采用配方法的方法来解。
步骤：①把二次项的系数化为1.两边同时除以a ，可以得到：X 2+ b a x+ c a=0 ②配方：（x+ 2ba ）2+c- 2()2b a =0③移项：（x+ 2ba ）2=2()2b a -c ④用直接法求出方程的解。
X=-2b a注意点：解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。
例：解方程：x 2+x=13、公式法：对于形如：ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的方程，我们也可以采用公式法的方法来解。
根据配方法，我们可以得到方程的解为：X=-2b a进一步变形，就可以知道：形如：ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的方程的解为：x1x2注意点：①解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。
②解题步骤要规范。
例:解方程：x2+5x+2=0除了以上几种教材里的方法，一元二次方程还有其他的解法。
4、换元法对于一个方程，如果在结构上有某种特殊的相似性，可以考虑用换元法；或者，当这个题目有比较复杂的根式，换元法也是可以考虑的解法。
例1：解方程：（x2+5x+2）2+(x2+5x+2)-2=0例2：=15、有理化方法：对于一个方程，如果含有两个根式，并且这两个根式内的整式的和或者差是特定的数值，那就可以考虑用有理化的方法。
例：=46、主元法：对于一个方程，如果有两个未知数，那么，我们可以确定其中的一个为“主元“，将另一个未知数设定为常数，用公式法可以解出结果。
第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理(精讲)(解析版)
2023年初高中衔接素养提升专题讲义第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理（精讲）（解析版）【知识点透析】1、一元二次根的判别式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac∆=-(1) 当Δ=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根：x =(2) 当Δ=240b ac -=时，因此，方程有两个相等的实数根：1,22b x a=-(3) 当Δ=240b ac -<时，因此，方程没有实数根．【知识点精讲】【例1】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．【解析】：2(2)43412k k ∆=--⨯⨯=-(1) 141203k k ->⇒<；(2) 141203k k -=⇒=；(3) 141203k k -≥⇒≥；(4) 141203k k -<⇒<．【变式1】（（2022秋·重庆开州·八年级统考期中）使得关于x 的不等式组6x ―a ≥―10―1+12x <―18x +32有且只有4个整数解，且关于x 的一元二次方程(a ―5)x 2+4x +1=0有实数根的所有整数a 的值之和为（ ）A ．35B ．30C ．26D ．21【答案】B【分析】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a 的取值范围，再通过根的判别式确定a 的取值范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可．【详解】解：整理不等式组得：6x ―a ≥―10①―8+4x <―x +12②由①得：x ≥a ―106，由②得：x<4∵不等式组有且只有4个整数解，∴不等式组的4个整数解是：3，2，1，0，∴―1<a―106≤0，解得：4<a≤10，∵(a―5)x2+4x+1=0有实数根，∴Δ=b2―4ac=16―4×(a―5)×1=36―4a≥0,解得：a≤9，∵方程(a―5)x2+4x+1=0是一元二次方程，∴a≠5∴4<a≤9，且a≠5，满足条件的整数有：6、7、8、9；∴6+7+8+9=30，故选：B．【变式2】．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k―12）＝0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝4b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC 的周长．【解答】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k―12）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，∵无论k取什么实数值，（2k﹣3）2≥0，∴△≥0，∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；（2）解：∵x=2k+1±(2k―3)2，∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b＝2k﹣1，c＝2，当a 、b 为腰，则a ＝b ＝4，即2k ﹣1＝4，解得k =52，此时三角形的周长＝4+4+2＝10；当b 、c 为腰时，b ＝c ＝2，此时b +c ＝a ，故此种情况不存在．综上所述，△ABC 的周长为10．【例2】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．【解析】：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：22(2)10x y x y y --+-+=由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：222[(2)]4(1)300y y y y y ∆=----+=-≥⇒=，代入原方程得：22101x x x ++=⇒=-．综上知：1,0x y =-=【变式1】（2022秋·湖北武汉·八年级武汉市第一初级中学校考期末）已知a ，b ，c 满足a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，则a ―b +c 的值为（ ）A ．―1B ．5C ．6D ．―7【答案】B【分析】首先把a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，两边相加整理成a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a +11=0，分解因式，利用非负数的性质得出a 、b 、c 的数值，代入求得答案即可．【详解】解：∵a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，∴a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a =―，∴a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a +11=0∴(a ―1)2+(b +3)2+(c ―1)2=0，∴a =1，b =―3，c =1，∴a ―b +c =1+3+1=5．故选：B ．【变式2】（（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）新定义，若关于x 的一元二次方程：m (x ―a )2+b =0与n (x ―a )2+b =0，称为“同类方程”．如2(x ―1)2+3=0与6(x ―1)2+3=0是“同类方程”．现有关于x 的一元二次方程：2(x ―1)2+1=0与(a +6)x 2―(b +8)x +6=0是“同类方程”．那么代数式ax 2+bx +2022能取的最大值是_________．【答案】2023【分析】根据“同类方程”的定义，可得出a ，b 的值，从而解得代数式的最大值．【详解】∵2(x ―1)2+1=0与(a +6)x 2―(b +8)x +6=0是“同类方程”，∴(a +6)x 2―(b +8)x +6=(a +6)(x ―1)2+1，∴(a +6)x 2―(b +8)x +6=(a +6)x 2―2(a +6)x +a +7，∴b +8=2(a +6)6=a +7 ，解得：a =―1b =2，∴a x 2+bx +2022=―x 2+2x +2022=―(x ―1)2+2023∴当x =1时，a x 2+bx +2022取得最大值为2023．故答案为：2023．2、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：x x ==所以：12b x x a+==-，12244ac c x x a a⋅====韦达定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：1212,b c x x x x a a+=-=【知识点精讲】【例3】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2) 1211x x +；(3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -．【解析】：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=(2) 121212112220072007x x x x x x +-+===-(3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -====常见的一些变形结论：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【例4】．已知关于x 的方程220x mx m -+=.（1）若2m =-，方程两根分别为1x ，2x ，求12x x -和3312x x +的值；（2）若方程有一正数，有一负数根，求实数m 的取值范围.【答案】．（14- （2）m <0【解析】（1）由22121212=()4x x x x x x -+-，33212121212()[()3]x x x x x x x x +=++-，借助韦达定理求解.（2）借助韦达定理表示方程有一正数，有一负数根的等价条件，进而求解.【详解】（1）当2m =-时，2222x x +-=即：210x x +-=1212140,1,1x x x x ∆=+>+=-=-因此：2212121212=()45x x x x x x x x -+-=∴-=3322212121212121212()[]()[()3]4x x x x x x x x x x x x x x +=++-=++-=-（2）220x mx m -+=212128,,22m m m m x x x x ∆=-+==21280002m m m m x x ⎧∆=->⎪∴<⎨=<⎪⎩【变式1】已知两不等实数a ，b 满足222a a =-，222b b =-，求22b a a b +的值.【解析】：b a ,是一元二次方程0222=-+x x 的不等实根则有2,2-=-=+ab b a原式=5)(]3))[(()())(()(22222233-=-++=+-+=+ab ab b a b a ab b ab a b a ab b a 【变式2】（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）设m 是不小于﹣1的实数，使得关于x 的方程x 2＋2（m ﹣2）x ＋m 2﹣3m ＋3＝0有两个实数根x 1，x 2．(1)若x 21+x 22=2，求m 的值；(2)令T ＝mx 11―x 1＋mx 21―x 2，求T 的取值范围．【答案】(1)1 (2)0<T ≤4且T ≠2【分析】首先根据方程有两个实数根及m 是不小于-1的实数，确定m 的取值范围，根据根与系数的关系，用含m 的代数式表示出两根的和、两根的积．（1）变形x 12+x 22为（x 1+x 2）2-2x 1x 2，代入用含m 表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m 的取值范围得到m 的值；（2）化简T ，用含m 的式子表示出T ，根据m 的取值范围，得到T 的取值范围．(1)∵关于x 的方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0有两个实数根，∴Δ=4（m -2）2-4（m 2-3m +3）≥0，解得m ≤1，∵m 是不小于-1的实数，∴-1≤m ≤1，∵方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0x 1，x 2，∴x 1+x 2=-2（m -2）=4-2m ，x 1•x 2=m 2-3m +3．∵x 12+x 22=2，∴（x 1+x 2）2-2x 1x 2=2，∴4（m -2）2-2（m 2-3m +3）=2，整理得m 2-5m +4=0，解得m 1=1，m 2=4（舍去），∴m 的值为1；(2)T ＝mx 11―x 1＋mx 21―x 2，=mx 1(1―x 2)+mx 2(1―x 1)(1―x 1)(1―x 2)=m [(x 1+x 2)―2x 1x 2]1―(x 1+x 2)+x 1x 2=m (4―2m ―2m 2+6m ―6)1―4+2m +m 2―3m +3=―2m(m ―1)2m 2―m=―2m(m ―1)2m (m ―1)=2-2m ．∵当x =1时，方程为1＋2（m ﹣2）＋m 2﹣3m ＋3＝0，解得m =1或m =0．∴当m =1或m =0时，T 没有意义．∴―1≤m <1且m ≠0∴0<2-2m ≤4且T ≠2．即0<T ≤4且T ≠2．【变式3】．已知12x x ，是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由；（2）若k 是整数，求使12212x x x x +-的值为整数的所有k 的值．【答案】（1）不存在k ；理由见解析；（2）235k =---，，．【详解】（1）假设存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立．∵一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴()()24004441160k k k k k k ≠⎧⎪⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎪⎩，又1x ，2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴1212114x x k x x k +=⎧⎪+⎨=⎪⎩∴()()()()222121212121212222529x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k k k +=-=-⇒=，但0k < ．∴不存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立．（2）∵()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++∴要使其值是整数，只需1k +能整除4，∴11k +=±，2±，4±，注意到0k <，要使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为－2，－3，－5．所以k 的值为235k =---，，【变式4】（2022秋·四川凉山·八年级校考阶段练习）设一元二次方程x 2―2022x +1=0的两根分别为a ，b ，根据一元二次方程根与系数的关系可知：ab =1，记S 1=11+a +11+b ,S 2=11+a2+11+b2,S3=11+a3+11+b3,⋯,S100=11+a100+11+b100，那么S1+S2+S3+⋯+S100=______．【答案】100【分析】根据ab=1得到b=1a ,b2=1a2,b3=1a3,…b100=1a100，代入计算即可．【详解】∵一元二次方程x2―2022x+1=0的两根分别为a，b，∴ab=1，∴b=1a ,b2=1a2,b3=1a3,…b100=1a100，∴S1=11+a+11+1a=11+a+a1+a=1+a1+a=1，S2=11+a2+11+1a2=11+a2+a21+a2=1+a21+a2=1，S100=11+a100+11+1a100=11+a100+a1001+a100=1+a1001+a100=1，∴S1+S2+S3+⋯+S100=1+1+1+…+1100=100，故答案为：100．。
一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项
一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项一、一元二次方程跟的判别式的常见题型 题型1：不解方程，判断一元二次方程根的情况.6232)3(;0123)2(;0345)1(222x x x x x x =+=++=--题型2：证明一元二次方程根的情况求证：无论k 取何实数，关于x 的一元二次方程：2(1)40x k x k -++-=总有两个不等实根。
题型3：已知一元二次方程根的情况．．，求方程中未知系数的取值范围 1．（ 2011·重庆）已知关于x 的一元二次方程．．．．．．(a －1)x 2－2x +1=0有两个不相等的．．．．．．实数根,则a 的取值范围是( )<2 B,a >2 <2且a ≠1 <－2·变式1：（2010·安徽芜湖）关于x 的方程．．(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根．．．．，则a 满足（） A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5变式2：（2010 ·成都）若关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数．．．．值.变式3：已知关于x 的一元二次方程(12)10k x --=有两个实数根，求k 的取值范围二、一元二次方程根与系数的关系------韦达定理的常见题型 题型1：已知一元二次方程的一根，求另一根及未知系数k 的值已知2-是方程210x kx ++=的一根，则方程的另一根是 ，k = 。
题型2：求与一元二次方程根有关的代数式的值；1. 已知12,x x 是方程22430x x --=的两根，计算： （1）2212x x +； ⑵1211x x +；⑶212()x x -变式：已知,a b 是方程2201230x x -+=的两实根，求22(20103)(20103)a a b b -+-+的值题型3：已知一元二次方程两根的关系．．．．．，求方程中未知系数的取值 1． 关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k +-+-=的两个实根的平方和等于9，求k 的值变式1： （2011·荆州）关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是（ ）A ．1B ．－1C ．1或－1D ． 2变式2：（2010·中山）已知一元二次方程022=+-m x x ．（1）若方程有两个实数根，求m 的范围；（2）若方程的两个实数根为1x ，2x ，且1x +32x =3，求m 的值。
关于判别式法与韦达定理的论述
关于判别式法与韦达定理论述weiqingsong摘要：判别式法与韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，讨论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
关键词：判别式法 韦达定理在中学解题中判别式法与韦达定理的应用极其普遍，因此系统的研究一下利用判别式法与韦达定理解题是有必要的。
别式法与韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。
它们都有着广泛的应用在整个中学阶段。
一、韦达定理的由来法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
判别式法与韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
二、对判别式法的介绍及概括一般的关于一元二次方程ax^2+bx+c=0（a 、b 、c 属于R ，a≠0）根的判别，△=b^2-4ac ，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
关于x 的一元二次方程x^2+mx+n=0有两个相等的实数根，求符合条件的一组的实数值。
这是应注意以下问题：如果说方程有实数根，即应当包括方程只有一个实根和有两个不等实根或有两个相等实根三种情况；如果方程不是一般形式，要化为一般形式，再确定a 、b 、c 的值；使用判别式的前提是方程为一元二次方程，即二次项系数a≠0；当二次项系数含字母时，解题时要加以考虑。
判别式的主要应用有：不解方程就可以直接判定方程的根的情况；已知方程根的情况，确定方程中未知系数（或参数）的取值范围；判别或证明一元二次方程的根的性质；判别二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)能否在实数范围内分解因式(1) 当△≥0 时，二次三项式在实数范围内能分解因式；（2）当△≤0 时，二次三项式在实数范围内不能分解因式。
一元二次方程-韦达定理的应用及答案
一元二次方程韦达定理的应用知识点：一元二次方程根的判别式 ：当△>0 时________方程_____________，当△=0 时_________方程有_______________ ，当△〈0 时_________方程___________ .韦达定理的应用：1。
已知方程的一个根，求另一个根和未知系数2。
求与已知方程的两个根有关的代数式的值3.已知方程两根满足某种关系， 确定方程中字母系数的值4.已知两数的和与积， 求这两个数例 1.关于 x 的一元二次方程 2223840x mx m m --+-=.求证： 当 m 〉2 时，原方程永远有两个实数根.例 2.已知关于 x 的方程22(1)10kx x x k -++-=有两个不相等的实数根.(1）求 k 的取值范围；（2)是否存在实数 k ， 使此方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在， 求出 k 的值;若不存在, 说明理由。
例 3.已知关于 x 的方程222(3)410x k x k k --+--=(1)若这个方程有实数根， 求 k 的取值范围;(2）若这个方程有一个根为 1， 求 k 的值;例 4。
已知关于 x 的一元二次方程21(2)302x m x m +-+-= （1）求证： 无论m 取什么实数值， 这个方程总有两个不相等的实数根。
(2)若这个方程的两个实数根12,x x 满足1221x x m +=+， 求 m 的值。
例 5。
当 m 为何值时， 方程28(1)70x m x m --+-=的两根:(1) 均为正数； （2)均为负数； (3)一个正数， 一个负数； (4）一根为零； （5）互为倒数; （6)都大于2。
求证: 这个三角形是直角三角形。
例 7.若 n>0 ，关于 x 的方程21(2)04x m n x mn ---=有两个相等的正的实数根， 求m n 的值。
课堂练习：1。
下列一元二次方程中， 没有实数根的是（ )A. 2210x x +-= B 。
一元二次方程根的判别式与韦达定理
于是，上述方程两个根的和、积与系数的关系分别有如下关系：
x1＋x2＝－p，x1x2＝q
例1
(1)已知关于x的一元二次方程x2Байду номын сангаас2x＋m＝0有解，求m的范围．
(2)己知关于x的一元二次方程x2－ x－m＝0有两个不相等实数根，求m的取值范围．
(3)求证：关于x的一元二次方程ax2－(3a＋l)x＋2(a＋l)＝0（a≠0）总有实数根
(4)已知关于x的方程ax2－(3a＋l)x＋2(a＋l)＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围
(2)己知：a、b、c分别是△ABC的三边长，
求证：关于x的方程b2x2＋(b2＋c2一a2)x＋c2＝0没有实数根．
练习
己知△ABC三边a，b，c，关于x的方程(a＋c)x2＋2bx－a＋c＝0，x2＋2ax＋b2＝0均有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
模块二一元二次方程根与系数关系
知识导航：
练习
(1)方程x2—2x－1＝0的两个实数根分别为x1、x2，(x1－l)(x2－1)＝______________
cz，设x1、x2是方程2x2—6x+l＝o的两个实数根，则(x1－ )(x2－ )的值为__________
【总结】
1、用韦达定理，常见的恒等变形有：
＋ ＝ ,x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2,(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
(2)一元二次方程x2—4x－c＝0的一个根是3，则另一个根是____，c＝___________
一元二次方程的判别式、韦达定理应用举例
一元二次方程的判别式、韦达定理应用举例抛物线
1. 判别式：
判别式是用来判别一元二次方程的根（解）是实根、重根还是无解的
一个实用公式，它是欧拉定理的重要应用。
判别式的表达式为：D=b²-4ac。
其中a、b、c分别为一元二次方程中的系数：ax²+bx+c=0。
2. 韦达定理应用举例：
韦达定理是欧几里得几何中的重要定理，可以用来证明几何图形的线
段关系。
举例说明：
假设有ABC三角形，设三点的坐标分别为A（2，3），B（-1，-4），C（1，-1），根据韦达定理可得：
d(AB)² + d(BC)² =d(AC)²
即求出d(AB)² + d(BC)² 与d(AC)²的值，如果相等，证明该三角形
是等腰的。
3. 抛物线：
抛物线是第二次多项式函数的一类，表达式为：y=ax²+bx+c，其中a、b、c分别为常数，x为变量。
抛物线的性质：当a>0时，抛物线是一条开
口向上的“U”形线，当a<0时，抛物线是一条开口向下的“∩”形线。
一元二次方程根的判别式与韦达定理的应用
第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理的应用一、 内容提要1.一元二次方程的根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△＝b 2－4ac当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根．2.一元二次方程的根与系数的关系：(1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x 1，x 2，那么a b x x -=+21，ac x x =21 (2)如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=－P ，x 1x 2=qx 1x 2=q(3)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2－(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．x 2－(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．二、 热身练习1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边,且关于x 的一元二次方程(c －b )x 2+2(b －a )x +(a －b )=0有两个相等的实根,则这个三角形是（ ）A. 等边三角形B. 直角三角形 C 等腰三角形 D. 不等边三角形2．关于x 的一元二次方程2(21)(1)10a x a x -+++=的两个根相等，那么a 等于（ ）Ａ．1-或5- Ｂ．1-或5 Ｃ．1或5- Ｄ．1或5 3．已知方程032=+-m x x 的一个根是1，则它的另一个根是 ，m 的值是 。
4．方程x 2－2x －1=0的两个实数根分别为x 1，x 2，则（x 1－1）（x 2－1）=_________。
5．已知α、β是一元二次方程x 2－4x －3=0的两实数根，则代数式（α－3）（β－3）= ．6．已知一元二次方程)2110x x -=的两根为1x 、2x ,则1211x x +=________. 7．已知一个直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B ＝90°，判断关于x 的方程0)1(2)1(22=++--x b cx x a 的根的情况。
一元二次方程根的判别式及韦达定理
二次函数的解析式.
4
总结：此题和例题的第（2） 问第（II）题考查的内容一样。 只是要求学生通过C点坐标求 出一个系数，然后通过面积 求出线段AB的长度，就变成 了例题的题型。
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巩固训练， 变式迁移
在直角三角形的背景下考查“韦 达定理”。但需要学生利用“勾 股定理”将方程的两根(即 AC,BC)联系，再利用”完全平方 公式和韦达定理”将方程的两根 转化成系数m的方程，从而求解。
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a 1 4
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例题：已知抛物线y= x2－（m + 2）x +（2m－1）．
（1）求证：抛物线与x轴一定有两个交点； （2）设抛物线与x轴的交点分别为A、B两点,且点A在点B左侧. （I）若点A坐标为（1，0），求AB的长； （II）若AB长为 5 ，求m的值.
总结1:韦达定理：x1
+x
2
=-
b a
,x1x
2
=
c a
a1 5, a2 1 a1 2
a 5
总结2：“根与系数”的大前提是 “根的判别式”。
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一 课前热身
1、x1、x2 是关于x的一元二次方程x2 2ax a2 4a 2 0
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一元二次方程之判别式法与韦达定理（一）知识点梳理一元二次方程ax2+bx+c=0（a 、b 、c 属于R ，a≠0）根的判别，△=b2-4ac ，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
1、一元二次方程根的判别式：ac b 42-=∆ （1）当Δ＞0时⇔方程有两个不相等的实数根； （2）当Δ=0时⇔方程有两个相等的实数根； （3）当Δ< 0时⇔方程没有实数根，无解； （4）当Δ≥0时⇔方程有两个实数根（5）根的判别式△＝b 2－4ac 的意义，在于不解方程可以判别根的情况，还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围。
2、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）： （1）若21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根，那么：abx x -=+21，ac x x =⋅21 （2）以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x 3、一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着广泛的应用： （1）已知方程的一根，求另一个根和待定系数的值。
（2）不解方程，求某些代数式的值。
（3）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程。
（4）已知两数和与积，求这两个数。
（5）二次三项式的因式分解。
注意：在应用根与系数的关系时，不要忽略隐含条件。
∆≥≠⎧⎨⎩00a例题讲解例1、当k 为何值时，关于x 的方程()222123x k x k k --=-++：⑴ 两个不相等的实数根； ⑵有两个相等的实数根； ⑶没有实数根。
例2、m x mx mx m 为何值时，关于的方程有两个相等的实数根？并2350-++=求出这时方程的根。
例3、已知方程的两实数根为、，不解方程求下列各式的值。
x x 2310+-=αβ()()（）；（）；（）；（）；（）；（）12341156343223322αβαβαββααβαβαβαββ+++---++例4、()已知关于的方程x x k x k 2220-++= （1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根。
（2）若等腰三角形的一边长为1，另两边长恰是这个方程的两个根，求三角形的周长。
走进中考专题训练一、填空题：1．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2= ，x 1x 2= ；若方程x 2+px+q=0的两根为,,βα则αβ= ，=+βα 。
2．若方程2x(x+3)=1的两根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2= ，x 1x 2= ，x 12x 2+ x 1x 22= ，x 12+ x 22= ，2144x x += 。
3．关于x 的一元二次方程013222=+--a x x 的一个根为2，则a 的值为 。
4．已知一元二次方程022=--a ax x 的两根之和为4a －3，则两根之积为 。
5．当m 时，一元二次方程042=--m x x 有实根；当m 时，两根同为正；当m 时，两根异号。
6．以31,21--为根的一元二次方程为 。
7．已知x 1，x 2是方程0362=++x x 的两个实数根，则2112x x x x +的值为 。
8．如果一元二次方程062=+-mx x 的两个根分别比一元二次方程062=++my y 的两个根均大5，则m 的值为 。
二、解答题：9．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：(1) 0322=+-x (2) 0372=--x x (3) 5)2(3=-x x10．k 取何值时，方程kx 2－（2k+1）x+k=0，（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）无实数根．11．已知关于x 的方程012)2(2=-+++m x m x .（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解。
12．已知关于x 的方程04)12(22=-++-m x m x ，如果方程的两个不相等的实数根的平方和等于15，求m 的值。
13．已知关于x 的一元二次方程022=--a x x .（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a 的取值范围； （2）如果此方程有两个实数根为x 1，x 2，且满足321121-=+x x ，求a 的值。
14．设x 1，x 2是关于x 的一元二次方程024222=-+++a a ax x 的两个实数根，当a 为何值时，2221x x +有最小值？最小值是多少？自我检测1．方程（m+2）x ｜m ｜+3mx+1=0是关于x 的一元二次方程，则（ ）A ．m≠±2B ．m=2C ．m=－2D ．m=±2 2．已知关于x 的方程41x 2－（m －3）x+m 2=0有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是（ ）A ．2B ．1C ．0D ．－1 3．k 为实数，则关于x 的方程x 2+2（k+1）x+k －1=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．不能确定4．已知关于x 的方程（2m －1）x 2－8x+4=0有两个实数根，则非负整数m 的值为（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．0、1、2 5．对任意实数m ，关于x 的方程（m 2+1）x 2－2mx+m 2+4=0一定（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．不能确定6．若关于x 的一元二次方程kx 2－2x+1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＜1B ．k≤1C ．k ＜1且k≠0D ．k≤1且k≠0 7．若方程0232=+-b ax x 的两根和为4，积为－2，则a ，b 分别为（ ）A ．－12与-3B ．4与－3C ．12与－3D ．－4与－38．已知一元二次方程02=++c bx ax ，若0=++c b a ，则该方程一定有一个根为（ ）A ．0B ．1C ．－1D ．29．试证明：关于x 的方程（a2－8a+20）x2+2ax+1=0，不论a 取何值，该方程都是一元二次方程．一元二次方程之判别式法与韦达定理（二）走进中考专题训练一、填空题1．若方程（m －1）x ｜m ｜+1－2x=3是关于x 的一元二次方程，则m=__________． 2．对于方程（m －1）x 2+（m+1）x+3m+2=0，当m__________时，为一元一次方程；当m____时为一元二次方程．3．一元二次方程ax 2+bx+c=0至少有一个根为零的条件是____________． 5．如果m 为任意实数，则一元二次方程x 2－mx+21m 2+m+32=0的解的情况是____________． 6．k ＜1时，关于x 的方程2（k+1）x 2+4kx+2k －1=0的根的情况是__________．7．若x=a （a≠2）是关于x 的一元二次方程（k －1）x 2+2kx+k+3=0的一个实数根，则k 的取值范围是_________________________．8．若关于x 的方程（m －1）x 2+2mx+m+3=0有两个不相等的实数根，则Δ=_____________________，则m 的取值范围是____________________________________．二、选择题9．方程（m+2）x ｜m ｜+3mx+1=0是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．m≠±2 B ．m=2 C ．m=－2 D ．m=±2 10．已知关于x 的方程41x 2－（m －3）x+m 2=0有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 11．k 为实数，则关于x 的方程x 2+2（k+1）x+k －1=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．不能确定12．已知关于x 的方程（2m －1）x 2－8x+4=0有两个实数根，则非负整数m 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．0、1、2 13．对任意实数m ，关于x 的方程（m 2+1）x 2－2mx+m 2+4=0一定（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．不能确定 14．已知关于x 的方程（b+c ）x 2+2（a －c ）x －43（a －c ）=0有两个相等的实数根，则以a 、b 、c 为三边长的三角形是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．不能确定 15．若关于x 的方程x 2－（42+k ）x+k=0有两个不相等的实数根，则化简k+2+442+-k k 的值为（ ）A ．4B ．2kC ．－4D ．－2k16．若关于x 的一元二次方程kx 2－2x+1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＜1B ．k≤1C ．k ＜1且k≠0D ．k≤1且k≠0 三、解答题17．解关于x 的方程2x 2+（3m －n ）x －2m 2+3mn －n 2=0．18．若两个关于x 的方程x 2+x+a=0与x 2+ax+1=0有一个公共根，求a 的值．19．试证明：关于x 的方程（a 2－8a+20）x 2+2ax+1=0，不论a 取何值，该方程都是一元二次方程．21．方程x 2－（k+1）x+41k=0能否有相等的实数根．若有请求出来．22．已知一元二次方程（ab －2b ）x 2+2（b －a ）x+2a －ab=0有两个相等的实数根，求ba 11 的值．自我检测1. 下列方程中，两实数根之和等于2的方程是（ ） A. x x 2230+-= B. x x 2230-+= C. 22302x x --= D. 36102x x -+=2. 如果一元二次方程x x 2320+-=的两个根为x x 12、，那么x x 12+与x x 12的值分别为（ ） A. 3，2B. --32，C. 32，-D. -32，3. 如果方程26302x x -+=的两个实数根分别为x x 12、，那么x x 12的值是（ ） A. 3B. -3C. -32D.324. 如果x x 12、是方程x x 2310-+=的两个根，那么1112x x +的值等于（ ） A. -3B. 3C.13D. -135. 已知关于x 的方程x k x k 2260-++-=()有两个相等的正实数根，则k 的值是（ ） A. 2B. -10C. 2或-10D. 256. 若方程x x m 280-+=两实数根的平方差为16，则m 的值等于（ ） A. 3B. 5C. 15D. -157. 如果x x 12、是两个不相等的实数，且满足x x 12121-=，x x 22221-=，那么x x 12等于（ ） A. 2B. -2C. 1D. -18. 对于任意实数m ，关于x 的方程()()m x mx m 2221240+-++=一定（ ） A. 有两个正的实数根 B. 有两个负的实数根C. 有一个正实数根、一个负实数根D. 没有实数根。