第四章流体运动学流体力学
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流体力学第4章9
2014-10-1
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通过流管中有效截面面积为A的流体体积流量和质量流量分 别积分求得，即
qV vdA
qm vdA
在工程计算中为了方便起见，引入平均流速的概念。平均 流速是一个假想的流速，即假定在有效截面上各点都以相 同的平均流速流过，这时通过该有效截面上的体积流量仍
A
A
与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。
述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。当然
拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学的某些问题 中还是方便的。
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第二节 流体运动的一些基本概念
一、流动的分类 （1）按照流体性质分为理想流体的流动和粘性流体的流动， 不可压缩流体的流动和可压缩流体的流动。 （2）按照运动状态分为定常流动和非定常流动，有旋流动 和无旋流动，层流流动和紊流流动，亚声速流动和超声速 流动
在流场中的一些点，流体质点不断流过空间点，空间点上 的速度指流体质点正好流过此空间点时的速度。
用欧拉法求流体质点其他物理量的时间变化率也可以采用
下式的形式，即
D( ) ( ) (V )( ) Dt t
式中，括弧内可以代表描述流体运动的任一物理量，如密
D( ) 度、温度、压强，可以是标量，也可以是矢量。 称为 Dt ( ) 全导数， 称为当地导数， (V )( )称为迁移导数。 t
1、系统：包含确定不变的物质的任何集合。 系统以外的一切称为外界。 边界的性质： ① 边界随流体一起运动； ② 边界面的形状和大小可随时间变化； ③ 系统是封闭的，没有质量交换，可以有能 量交换； ④ 边界上受到外界作用在系统上的表面力；
2014-10-1 31
2、控制体：被流体所流过的，相对于某 个坐标系来讲，固定不变的任何体积。 控制面的性质： ① 总是封闭表面； ② 相对于坐标系是固定的； ③ 在控制面上可以有质量、能量交换； ④ 在控制面上受到控制体以外物体加在 控制体内物体上的力；
(完整版)流体力学重点概念总结
第一章绪论表面力：又称面积力，是毗邻流体或其它物体，作用在隔离体表面上的直接施加的接触力。
它的大小与作用面积成比例。
剪力、拉力、压力质量力：是指作用于隔离体内每一流体质点上的力，它的大小与质量成正比。
重力、惯性力流体的平衡或机械运动取决于：1.流体本身的物理性质（内因）2.作用在流体上的力（外因）流体的主要物理性质：密度：是指单位体积流体的质量。
单位：kg/m3 。
重度：指单位体积流体的重量。
单位： N/m3 。
流体的密度、重度均随压力和温度而变化。
流体的流动性：流体具有易流动性，不能维持自身的形状，即流体的形状就是容器的形状。
静止流体几乎不能抵抗任何微小的拉力和剪切力，仅能抵抗压力。
流体的粘滞性：即在运动的状态下，流体所产生的阻抗剪切变形的能力。
流体的流动性是受粘滞性制约的，流体的粘滞性越强，易流动性就越差。
任何一种流体都具有粘滞性。
牛顿通过著名的平板实验，说明了流体的粘滞性，提出了牛顿内摩擦定律。
τ=μ(du/dy)τ只与流体的性质有关，与接触面上的压力无关。
动力粘度μ：反映流体粘滞性大小的系数，单位：N•s/m2运动粘度ν：ν=μ/ρ第二章流体静力学流体静压强具有特性1.流体静压强既然是一个压应力，它的方向必然总是沿着作用面的内法线方向，即垂直于作用面，并指向作用面。
2.静止流体中任一点上流体静压强的大小与其作用面的方位无关，即同一点上各方向的静压强大小均相等。
静力学基本方程: P=Po+pgh等压面：压强相等的空间点构成的面绝对压强：以无气体分子存在的完全真空为基准起算的压强 Pabs相对压强：以当地大气压为基准起算的压强 PP=Pabs—Pa（当地大气压）真空度：绝对压强不足当地大气压的差值，即相对压强的负值 PvPv=Pa-Pabs= -P测压管水头：是单位重量液体具有的总势能基本问题：1、求流体内某点的压强值：p = p0 +γh；2、求压强差：p – p0 = γh ；3、求液位高：h = （p - p0）/γ平面上的净水总压力：潜没于液体中的任意形状平面的总静水压力P，大小等于受压面面积A与其形心点的静压强pc之积。
流体力学第四章
• 在每一个微元流束的有效截面上，各点的速度可认为是相同的 总流：无数微元流束的总和。
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2016/12/26
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
均匀流与非均匀流·渐变流和急变流
均匀流——同一条流线上各空间点上的流速相 同的流动，流线是平行直线，各有效截面上的 流速分布沿程不变 非均匀流——同一条流线上各空间点上的流速不 同的流动，流线不是平行直线，即沿流程方向速 度分布不均
迹线· 流线 1、迹线 1)定义：某一质点在某一时段内的运动轨迹 线。 2)迹线的微分方程
dx dy dz dt ux u y uz
烟火的轨迹为迹线
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
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2016/12/26
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
一维、二维和三维流动
三维流动：流动参数是x、y、z三个坐标的函数
的流动。
二维流动：流动参数是x、y两个坐标的函数的
流动。
一维流动：是一个坐标的函数的流动。
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2016/12/26
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
x= x (t)
dux ux ux dx ux dy ux dz ax dt t x dt y dt z dt
（1）当地加速度（时变加速度）：流动过程中流体 由于速度随时间变化而引起的加速度； （2）迁移加速度（位变加速度）：流动过程中流体 由于速度随位置变化而引起的加速度。
流体运动学(课件)
由于流线不会相交，根据流管的定 义可以知道，在各个时刻，流体质点不 可能通过流管壁流出或流入，只能在流 管内部或沿流管表面流动。
因此，流管仿佛就是一条实际的管 道，其周界可以视为像固壁一样，日常 生活中的自来水管的内表面就是流管的 实例之一。
图3-13 流管
3.2流体运动的若干基本概念
2. 流束
流管内所有流体质点所形成的流动称为流束，如图3-14所示。流 束可大可小，根据流管的性质，流束中任何流体质点均不能离开流束。 恒定流中流束的形状和位置均不随时间而发生变化。
3.2流体运动的若干基本概念
3.2. 6.2非均匀流
流场中，在给定的某一时刻，各点流速都随位置而变化的流动称 为非均匀流，如图3-21所示。 非均匀流具有以下性质：
1）流线弯曲或者不平行。 2）各点都有位变加速度，位变加速度不为零。 3）过流断面不是一平面，其大小和形状沿流程改变。 4）各过流断面上点速度分布情况不完全相同，断面平均流速沿程 变化。
3.2流体运动的若干基本概念
控制体是指相对于某个坐标系来说，有流体流过的固定不变的空 间区域。
换句话说，控制体是流场中划定的空间，其形状、位置固定不变， 流体可不受影响地通过。
站在系统的角度观察和描述流体的运动及物理量的变化是拉格朗 日方法的特征，而站在控制体的角度观察和描述流体的运动及物理量 的变化是欧拉方法的特征。
图3-1 拉格朗日法
3.1流体运动的描述方法
同理，流体质点的其他物理量如密度ρ、压强p等也可以用拉格朗p=p(a,b,c,t)。
从上面的分析可以看到：拉格朗日法实质上是应用理论力学中的 质点运动学方法来研究流体的运动。
它的优点是：物理概念清晰，直观性强，理论上可以求出每个流 体质点的运动轨迹及其运动参数在运动过程中的变化。
高等流体力学—流体的涡旋运动
正压流体不会引起速度环量和涡通量的变化
27
第四节 凯尔文定理
如果是理想、正压流体，且外力有势，则沿任 一封闭物质线的速度环量和通过任一物质面的 涡通量在运动过程中恒不变。 涡旋不生不灭定理（拉格朗日定理）
如果是理想、正压流体，且外力有势，若初始时刻在某 部分流体内无旋，则以前或以后任一时刻中这部分流体 皆无旋。反之，若初始时刻在某部分流体有旋，则以前
运动的分布形态－涡线、涡面、涡管具有冻结
性，反映涡旋运动强弱的涡通量具有恒定性。
32
第五节 涡旋的产生条件
如果是理想、斜压流体，且外力有势，则：
d 1 1 F r p r v v r L L L dt 3
d ( )v ( v) dt
1 1 F p v 3 ( v)
μ为常数时涡旋矢量Ω应满足的微分方程
11
d ( )v ( v) dt
1 1 F p v 3 ( v)
1 p r gradp S L S
1
斯托克斯定理
对斜压流体，密度不是压力的单值函数，则：
1
gradp 是多元复合函数
33
第五节 涡旋的产生条件
根据场论基本公式8 (a) rota grad a φ：标量函数 a：矢量函数
第四节 凯尔文定理
(3) 流体是正压的：
1
gradp grad
dp
1 1 gradp S S L gradp r L grad r Ld 0
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第四节 凯尔文定理
如果是理想、正压流体，且外力有势，则沿任 一封闭物质线的速度环量和通过任一物质面的 涡通量在运动过程中恒不变。 涡旋不生不灭定理（拉格朗日定理）
如果是理想、正压流体，且外力有势，若初始时刻在某 部分流体内无旋，则以前或以后任一时刻中这部分流体 皆无旋。反之，若初始时刻在某部分流体有旋，则以前
运动的分布形态－涡线、涡面、涡管具有冻结
性，反映涡旋运动强弱的涡通量具有恒定性。
32
第五节 涡旋的产生条件
如果是理想、斜压流体，且外力有势，则：
d 1 1 F r p r v v r L L L dt 3
d ( )v ( v) dt
1 1 F p v 3 ( v)
μ为常数时涡旋矢量Ω应满足的微分方程
11
d ( )v ( v) dt
1 1 F p v 3 ( v)
1 p r gradp S L S
1
斯托克斯定理
对斜压流体，密度不是压力的单值函数，则：
1
gradp 是多元复合函数
33
第五节 涡旋的产生条件
根据场论基本公式8 (a) rota grad a φ：标量函数 a：矢量函数
第四节 凯尔文定理
(3) 流体是正压的：
1
gradp grad
dp
1 1 gradp S S L gradp r L grad r Ld 0
工程流体力学 第4章 流体运动学
质量表示时，为质量流量，以 qm 标记；以体积表示为体 积流量，以 qV 标记，可表示为
qV
vdA
A
断面平均流速:过流断面各点速度的断面平均值,以V标记,有
V
vdA
A
qV
AA
对任一点有
v V v
§4-2 描述流体运动的基本概念
四、一、二、三元流动
一、二、三元流动又称为一、二、三维流动。 一元流动（One-dimensional Flow）：流体的运动
v v (x, y, z) p p(x, y, z)
§4-2 描述流体运动的基本概念
三、流管、流束、流量与平均速度 流管：流场中过封闭曲线上各点作流线所围成的管状
曲面，见图。
流束：流管内所有流线的集合为流束。 微小流束：断面积无限小的流束。 总流：无数流束的总和。 注：（1）流束表面没有流体穿越；
间曲线，该瞬时位于曲线上各点的流体质点的速度与曲线在 该点相切,（如图示）。
§4-2 描述流体运动的基本概念
（2）流线的作法：欲作流场中某瞬时过A点的流线，可
在该瞬时作A点速度 v1 ；在 v1 上靠近A点找点 2，并在同 一时刻作 2点速度 v2；再在 v2上靠近2点找点3，也在同一 时刻作速度 v3 ；依次作到 N点，得到折线A-2-3-…-N，当
工程流体力学 第四章 流体运动学
§4-1 描述流体运动的两种方法
流体运动学研究流体运动的规律，不追究导致运动的力 学因素。
研究流体运动的方法
一、拉格朗日法（Lagrange Method) 拉格朗日法又称随体法。它追踪研究每一个流体质点的
运动规律，综合所有的流体质点，从而得到整个流场的运动 规律，参见图。
a y
qV
vdA
A
断面平均流速:过流断面各点速度的断面平均值,以V标记,有
V
vdA
A
qV
AA
对任一点有
v V v
§4-2 描述流体运动的基本概念
四、一、二、三元流动
一、二、三元流动又称为一、二、三维流动。 一元流动（One-dimensional Flow）：流体的运动
v v (x, y, z) p p(x, y, z)
§4-2 描述流体运动的基本概念
三、流管、流束、流量与平均速度 流管：流场中过封闭曲线上各点作流线所围成的管状
曲面，见图。
流束：流管内所有流线的集合为流束。 微小流束：断面积无限小的流束。 总流：无数流束的总和。 注：（1）流束表面没有流体穿越；
间曲线，该瞬时位于曲线上各点的流体质点的速度与曲线在 该点相切,（如图示）。
§4-2 描述流体运动的基本概念
（2）流线的作法：欲作流场中某瞬时过A点的流线，可
在该瞬时作A点速度 v1 ；在 v1 上靠近A点找点 2，并在同 一时刻作 2点速度 v2；再在 v2上靠近2点找点3，也在同一 时刻作速度 v3 ；依次作到 N点，得到折线A-2-3-…-N，当
工程流体力学 第四章 流体运动学
§4-1 描述流体运动的两种方法
流体运动学研究流体运动的规律，不追究导致运动的力 学因素。
研究流体运动的方法
一、拉格朗日法（Lagrange Method) 拉格朗日法又称随体法。它追踪研究每一个流体质点的
运动规律，综合所有的流体质点，从而得到整个流场的运动 规律，参见图。
a y
流体力学
第四章 流体流体运动学和流体动 力学基础
流体力学基本方程
连 续 性 方 程
动 量 方 程
动 量 矩 方 程
伯 努 利 方 程
能 量 方 程
第一节 描述流体运动的两种方法
流体的流动是由充满整个流动空间的无限多个流体 质点的运动构成的。充满运动流体的的空间称为流场。
研
欧拉法
究
方
着眼于整个流场的状态，即研究表征流场内流体流动 特性的各种物理量的矢量场与标量场
7.湿周 水力半径 当量直径
湿周——在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。
水力半径——总流的有效截面积A和湿周之比。
圆形截面管道的几何直径
d 2 4A d 4R d x
D
R
A x
非圆形截面管道的当量直径
4A 4R x
关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。
二、欧拉法
欧拉法（euler method）是以流体质点流经流场中 各空间点的运动来研究流动的方法。 ——流场法
研究对象：流场
它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动
流体质点的空间——流场为对象。研究各时刻质点在 流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不 理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中 的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多 的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
由欧拉法的特点可知，各物理量是空间点x，y，z和时 间t的函数。所以速度、密度、压强和温度可表示为：
v v x，y，z，t ＝ x，y，z，t p p x，y，z，t T T x，y，z，t
1.速度
u ux, y, z, t
流体力学基本方程
连 续 性 方 程
动 量 方 程
动 量 矩 方 程
伯 努 利 方 程
能 量 方 程
第一节 描述流体运动的两种方法
流体的流动是由充满整个流动空间的无限多个流体 质点的运动构成的。充满运动流体的的空间称为流场。
研
欧拉法
究
方
着眼于整个流场的状态，即研究表征流场内流体流动 特性的各种物理量的矢量场与标量场
7.湿周 水力半径 当量直径
湿周——在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。
水力半径——总流的有效截面积A和湿周之比。
圆形截面管道的几何直径
d 2 4A d 4R d x
D
R
A x
非圆形截面管道的当量直径
4A 4R x
关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。
二、欧拉法
欧拉法（euler method）是以流体质点流经流场中 各空间点的运动来研究流动的方法。 ——流场法
研究对象：流场
它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动
流体质点的空间——流场为对象。研究各时刻质点在 流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不 理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中 的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多 的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
由欧拉法的特点可知，各物理量是空间点x，y，z和时 间t的函数。所以速度、密度、压强和温度可表示为：
v v x，y，z，t ＝ x，y，z，t p p x，y，z，t T T x，y，z，t
1.速度
u ux, y, z, t
流体力学复习内容
流体静压强定义: 分离体外液体作用在分离体流体表 v 面的负的法向应力
dFn v v pnn pn dA
特征一： 流体静压强的方向沿作用面的内法向方向。 特征二： 静止流体中任一点上不论来自何方的静压 强均相等。
3.2 流体平衡的微分方程式
一，平衡方程：由微元受力平衡（表面力和质量力） 得出静止流体平衡的微分方程。
1、压强差公式：
dp f x dx f y dy f z dz
表明：静止液体中，流体静压强的增量dp随坐标增量 的变化决定于质量力。
3.6 静止液体作用在平面上的总压力
§2.2 流体受力平衡微分方程
压强全微分方程： 等压面方程：
dp f x dx f y dy f z dz
分子组成的，宏观尺度非常小，而微观尺度又
足够大的物理实体。
§2.2 连续介质假设
流体质点选取必须具备的两个基本条件：
宏观尺度非常小：
才能把流体视为占据整个空间的一种连续介质， 且其所有的物理量都是空间坐标和时间的连续函 数的一种假设模型。 有了这样的模型，就可以把数学上的微积分手 段加以应用了。
微观尺度又足够大的物理实体：
使得流体质点中包含足够多的分子，使各物理 量的统计平均值有意义（如密度，速度，压强，温 度，粘度，热力学能等宏观属性）。而无需研究所 有单个分子的瞬时状态。
§2.5 流体的可压缩性
流体体积随着压力和温度的改变而发生变化的 性质。
二、流体的第二个重要特性——可压缩性
单一参数影响规律
x x(a，b，c，t )
特征：追踪观察，如将不易扩散的染料滴一滴到水流
中，染了色的流体质点的运动轨迹。
用欧拉方法求流体质点物理量时间变化率的一 般公式为：
dFn v v pnn pn dA
特征一： 流体静压强的方向沿作用面的内法向方向。 特征二： 静止流体中任一点上不论来自何方的静压 强均相等。
3.2 流体平衡的微分方程式
一，平衡方程：由微元受力平衡（表面力和质量力） 得出静止流体平衡的微分方程。
1、压强差公式：
dp f x dx f y dy f z dz
表明：静止液体中，流体静压强的增量dp随坐标增量 的变化决定于质量力。
3.6 静止液体作用在平面上的总压力
§2.2 流体受力平衡微分方程
压强全微分方程： 等压面方程：
dp f x dx f y dy f z dz
分子组成的，宏观尺度非常小，而微观尺度又
足够大的物理实体。
§2.2 连续介质假设
流体质点选取必须具备的两个基本条件：
宏观尺度非常小：
才能把流体视为占据整个空间的一种连续介质， 且其所有的物理量都是空间坐标和时间的连续函 数的一种假设模型。 有了这样的模型，就可以把数学上的微积分手 段加以应用了。
微观尺度又足够大的物理实体：
使得流体质点中包含足够多的分子，使各物理 量的统计平均值有意义（如密度，速度，压强，温 度，粘度，热力学能等宏观属性）。而无需研究所 有单个分子的瞬时状态。
§2.5 流体的可压缩性
流体体积随着压力和温度的改变而发生变化的 性质。
二、流体的第二个重要特性——可压缩性
单一参数影响规律
x x(a，b，c，t )
特征：追踪观察，如将不易扩散的染料滴一滴到水流
中，染了色的流体质点的运动轨迹。
用欧拉方法求流体质点物理量时间变化率的一 般公式为：
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积分后得 ln（x +t）= -ln（-y +t）+c
或为
(x +t)·（-y +t）= c′
代入 t = 0 ，x = -１，y = -1 得 c ′ = -1，则过点
(-1,-1)的流线方程为
y
xy = 1
x
三、流管、流束及总流
1.流管
2.流束 微小流束的极限是流线
3.总流
有压流 无压流
射流
四、过水断面、流量、流速 1.过水断面—处处与流线正交的断面
迹线方程
2.流线
流场中人为做出的光滑曲线，在同一瞬时其上每点
的切线与该点的速度矢量重合。（流线具有瞬时性）
r Va
a
b
r
c
Vc
r
Vb
流线
流线特点：
• 流线不相交
• 流线不转折，为光滑曲线。
• 定常运动时，流线形状不随时间变化，质点沿流线前 进，流线与迹线重合。
• 流线的形状与固体边界的形状有关，断面小处，流速 大、流线密，断面大处，流速小，流线疏
空间点仅仅是表示空间位置的几何点，并非实际的 流体质点。空间点是不动的，而流体质点则运动。同一 空间点，在某一瞬时为某一流体质点所占据，在另一瞬 时又为另一新的流体质点所占据。也就是说，在连续流 动过程中，同一空间点先后为不同的流体质点所经过。
一、拉格朗日法（质点法）
质点位移的坐标 x = x(a,b,c,t) y = y(a,b,c,t) z = z(a,b,c,t)
(b)-(d)段，层流向 紊流过渡
hf = kV1.75~2
三、流态判别标准
雷诺数计算
Re vd vd
上临界Rec′: 与实验条件和初始状态有关。上临界 Rec′可高达13800。(不稳定）
下临界Rec: 实验发现，无论流体性质、管径如何
变化，临界Rec总稳定在 2320 左右。
过渡状态： Re的值介于层流与紊流之间，流动不 稳定，且Re范围很小。
第四章 流体运动学
主要内容：
§4.1 研究流体运动的两种方法 §4.3 流场的基本概念 §4.4 层流和紊流
§4.1 研究流体运动的两种方法
两个基本概念：
1.流体质点
体积可以忽略的流体微团,流体就是由这种流体微团连 续组成的。流体质点在运动的过程中，在不同的瞬时，占 据不同的空间位置。
2.空间点
2.非定常流（非稳定流，非恒定流） 质点的运动要素随时间变化的流动。 u = u(x,y,z,t) p = p(x,y,z,t)
定常流与非定常流示意
H=c
Vx
V=c
H≠c
Vx
V=f(t)
二、迹线与流线
1.迹线 流体质点在空间连续经过的曲线称为迹线。
A t1Biblioteka AAt2 A
A t5 ts
特点：迹线上各点的切线方向表示同一质点在不同 时刻的速度方向。（迹线具有历时性）
2.流量 体积流量Q 单位时间内通过过水断面的流体体积。 （m3/s, m3/h） 质量流量Qm Qm =ρQ （kg/s, kg/h） 重量流量QG QG =γQ （ N/s, N/h）
§4.4 流体运动的两种状态—层流与紊流
一、雷诺实验
两种流态
1.层流：流体质点层次分明、各层互不干扰混杂、有秩序 地一层层的流动。这种流动称为“层流”
Re R
vR
2000 4
500
对于明渠临界雷诺数 Re R 300
例题：温度为t=15˚C的水 1.141106 m2 / s
在直径d=100mm的管中流动，流量Q=15L/s；另一矩形 明渠，宽2m,水深1m,平均流速0.7m/s,水温同上。试判别 两者流态。
解：圆管流速 v Q 15 103 1.911m / s
质点加速度
ux = ux(x,y,z,t) = ux(x(t),y(t),z(t),t) uy = uy(x,y,z,t) = uy(x(t),y(t),z(t),t) uz = uz(x,y,z,t) = uz(x(t),y(t),z(t),t)
ux ux dx ux dy ux dz t x dt y dt z dt
a,b,c,t—拉格朗日变量
二、欧拉法（空间点法）
质点速度 ux = ux(x,y,z,t) = ux(x(t),y(t),z(t),t) uy = uy(x,y,z,t) = uy(x(t),y(t),z(t),t) uz = uz(x,y,z,t) = uz(x(t),y(t),z(t),t) p = p(x,y,z,t) x,y,z,t—欧拉变量
A 0.12
4 圆管雷诺数 Re vd 1.911 0.1 167632 2000,(紊流)
1.141106 明渠水力半径 R A 2 1 0.5m
2 21
明渠雷诺数 Re vR 0.7 0.5 30701 300, (紊流)
3. 流线的微分方程
dx dy dz Vx Vy Vz
r Va
ab
r
rc
Vb
dl
Vc
上式可组成一微分方程组，给定速度分布，积分可得 一簇流线，确定积分常数后可得一条流线。
例 已知流场的速度分布为 ｖx＝x + t， ｖy＝-y + t
试求：t＝０，过点（-1，-1）的流线.
流线微分方程为
dx dy xt yt
第一项为时变加速度，第二项为位变加速度
讨论问题：
1)什么情况下只有时变（局部）加速度？ 2)什么情况下只有位变加速度？ 3)什么情况下两部分加速度都有？
B
A
Vx
B A
Vx
§4.3 流场的基本概念
一、定常流动与非定常流动
1.定常流（稳定流，恒定流） 各空间点处质点的运动要素不随时间变化的流动。 u = u(x,y,z) p = p(x,y,z)
上临界Rec’值不稳定，工程上将下临界Rec作为判别标 准，将过渡状态一起归于紊流。
流态判别标准: Re≤2000(或2300） (层流） Re>2000(或2300） （紊流）
上述标准适用于圆截面管
非圆截面流动流态判别
以水力半径R表示的临界雷诺数
R d 4
Re vd v4R 2000
2.紊流：各层质点互相混杂，运动杂乱无章。称“紊流”
上临界流速Vc′—层流开始转变为紊流时的流速 V >Vc′（紊流）
下临界流速Vc —紊流开始转变为层流时的流速 V <Vc′（层流）
二、流态与沿程阻力损失的关系
hf的变化规律 hf = kVm
(a)-(b)段，层流，m=1 hf = kV
( d)-(e)段，紊流，m=2 hf = kV2