2012年苏州大学自主招生数学试题-有答案
苏州大学高等数学(上)课程(一)卷参考答案
苏州大学 高等数学（上）课程（一）卷参考答案 共 4 页 院系专业一． 1．解：2,1y x=- （2分） 22(1)y x '=- （3分）2．解：原式=2211dx x ⎛⎫+⎪+⎝⎭⎰ （2分） =2arctan x x C ++ （3分） 3．解：原式=3sin sin xdx x +⎰ （1分） =2(1cos )(cos )sin x d x x --+⎰ （2分） =31cos cos sin 3x x x C -+++ （2分）4．解：原式=0x → （3分）=x →=1 （2分） 5．解：()()cos ()()g x f x f x f x ''= （4分）()f x ' （1分）6．解：原式3310(6))++-（4分）= （1分） 二．1． 解：2201020x x x x ≠⎧⎪-≥⎨⎪->⎩（3分）011(21)0x x x x ≠⎧⎪⇒-≤≤⎨⎪->⎩100112x or x x orx -≤<<≤⎧⎪⇒⎨><⎪⎩1(,1][1,0)2x orx ⇒∈∈- （2分）2．解：222111221dy dy t t dt t dx t dt t -+====+ （3分） 2222112241d y tt dx t t+==+ （2分） 3． 解：原式=4204(cos sin )(sin cos )x x dx x x dx πππ-+-⎰⎰ （3分）=[][]2404sin cos cos sin x x x x πππ++--=2- （2分）4．解：()cos ,(0)1x f x e x f -''== （3分）()cos sin ,(0)1x x f x e x e x f --''''=--=- （2分）5． 解：原式=221ln(1)221x x x dx x +-+⎰（3分） =211ln(1)(1)221x x x dx x +--++⎰ =221ln(1)(ln(1))222x x x x x C +--+++ （2分） 6． 解：原式=3425232(4)(3)lim76x x x x →∞--⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （4分）=34543263= （1分） 三．证明：设曲线()y f x =与,,0x a x t y ===所围曲边梯形面积为()s t ， 则()()ta s t f x dx =⎰，在[,]ab 上连续，()0s a =，()0s b ≥。
(完整版)江苏省2012年普通高校对口单招数学试卷及答案,推荐文档
20．（10 分） 已知函数 f (x) (1 3 tan x) cos x ．
（1）求函数 f (x) 的最小正周期；
（2）若 f ( ) 1 ， ( , ) ，求 sin 的值．
2
63
21．（10 分）已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn n2 n ， n N ． （1）求数列{ an }的通项公式； （2）设 bn 2an 1，求数列{ bn }的前 n 项和 Tn ．
分
24．（本小题 14 分）
（1）证明：连接 AD1 ．在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，
因为 AD AA1 ，所以 AA1D1D 为正方形，
从而 AD1 A1D ．
因为点 E 在棱 AB 上，所以 AD1 就是 ED1 在平面 AA1D1D 上的射影，
从而 D1E A1D ．
…………………………………………… 4 分
A． 1
B． 2
C． 2
D． 4
5．若复数 z 满足 (1 i)z 1 i ，则 z 等于
A．1 i
B．1 i
C． i
D． i
6．若直线 l 过点 (1, 2) 且与直线 2x 3y 1 0 平行，则 l 的方程是
A． 3x 2 y 8 0
B． 2x 3y 8 0
C． 2x 3y 8 0
江苏省 2012 年普通高校对口单招文化统考
数学试卷
一、单项选择题（本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分．在下列每小题中，选出一个 正确答案，请在答题卡上将所选的字母标号涂黑）
1．若集合 M {1, 2} ， N {2, 3} ，则 M N 等于
（）
A． {2}
B． {1}
2012江苏高考数学试卷 完整试卷附加标准答案 纯Word版.doc
14．已知正数 满足： 则 的取值范围是▲．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在 中，已知 ．
（1）求证： ；
（2）若 求A的值．
绝密★启用前
2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
参考公式：
棱锥的体积 ，其中 为底面积， 为高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合 ， ，则 ▲．
2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 ，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取▲名学生．
3．设 ， （i为虚数单位），则 的值
为▲．
4．右图是一个算法流程图，则输出的k的值是▲．
5．函数 的定义域为▲．
6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项， 为公比的
等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8
的概率是▲．
7．如图，在长方体 中， ， ，
则四棱锥 的体积为▲cm3．
8．在平面直角坐标系 中，若双曲线 的离心率
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
18．（本小题满分16分）
若函数 在x=x0取得极大值或者极小值则x=x0是 的极值点
16．（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱 中， ， 分别是棱 上的点（点D不同于点C），且 为 的中点．
2000-2012年苏州大学高等代数试题
1. 设 A, B 均为 n 阶方阵， A 中的所有元素均为， B 中除左上角的元素为1外，其余元素均
为 0 。问： A 与 B 是否等价？是否合同？是否相似？为什么？
1 0 2
2. = 设 A 10
−3
5
。
λ
是
A
的最大特征值。求
A
的属于 λ
的特征子空间的一个基。
4 0 −1
25
的
Jordan
标准型。
0 −2 −7
3. 设α , β ∈ ℜn 且长度为 2 ，矩阵 A =En + αα T + ββ T 。求 A 的特征多项式。
4. 设 A 是 n 阶反对称矩阵， En 为单位矩阵。证明： （1） E + A 可逆；
（2） 设 Q =( E + A) ( E − )A −1 ，求证： Q 是正交矩阵。
AX = 0 与 BX = 0 同解。证明： A∗ 的非零列与 B∗ 的非零列成比例，其中 A∗ 和 B∗ 分别
是 A, B 的伴随矩阵。
7. 设σ ,τ 是 n 维欧氏空间V 的线性变换，对任意α , β ∈V ，都有 (σ (α ), β ) = (α ,τ (β )) 。
证明：σ 的核等于τ 的值域的正交补。
（2） 求正交矩阵 Q 和对角矩阵 B ，使得 QT AQ = B 。
7. 若 A 是 n 阶实矩阵， En 为 n 阶单位矩阵，且 AT + A =En ，其中 AT 是 A 的转置矩阵， 则 A 是可逆矩阵。
( ) 8. 设V 是有理数域 Q 上的线性空间，设σ 是V 的一个线性变换，设 g ( x=) x x2 + x −1 。
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学江苏卷pdf版含答案
解集为 (m ，m + 6) ，则实数 c 的值为 ▲ ． 14．已知正数 a ，b ，c 满足：5c − 3a ≤ b ≤ 4c − a ，c ln b ≥ a + c ln c ，则 b 的取值范围是
a
▲．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤．
同于点 C），且 AD ⊥ DE ，F 为 B1C1 的中点．
A1
C1
求证：（1）平面 ADE ⊥ 平面 BCC1B1 ； （2）直线 A1F // 平面 ADE．
B1 F E
A
C
D B （第 16 题）
17．（本小题满分 14 分） 如图，建立平面直角坐标系 xOy，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为 1 千米．某 炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程 y =kx − 1 (1 + k 2 )x2 (k > 0) 表示的曲线上， 20 其中 k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程； （2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标 a 不 超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
已知实数 x, y 满足： x + y < 1 , 2x − y < 1 , 求证： y < 5 .
3
6
18
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分. 请在答．题．卡．指．定．区．域．内 作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2.(本小题满分 10 分) 设 ξ 为随机变量，从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ = 0 ；
苏州大学数学分析试题集锦(2000-2012年)
7. 设 f 在0, 上单调递减，且 f x dx 收敛。证明 lim xf x 0 。
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
8.
（1） 设 f 在有限闭区间a, b 上连续。证明 f 可以连续地延拓到 上，即存在 上
的连续函数 F ，使 x a,b 时，有 F x f x 。
（2） 设二元函数 f x, y 在闭圆盘 B x, y : x2 y2 1 上连续。证明存在 2 上
（2） x R ， f x 2 。
2
2008 年攻读硕士学位研究生入学考试数学分析试题 1. 求下列极限。
（1） lim
1
1
1
；
n n2 1 n2 2
n2 n
（2） lim ex3 1 x3 。 x0 sin2 2x
2.
计算积分
2 0
a2
cos2
dt t
b2
sin2
苏州大学
2012 年攻读硕士学位研究生入学考试数学分析试题 一、下列命题中正确的给予证明，错误的举反例或说明理由。共 4 题，计 30 分。
1.
设
f
x
在
a,
b
上连续，且
b
a
f
x dx 0 ，则 x a,b ，
f
x 0。
2. 在有界闭区间a,b 上可导的函数 f x 是一致连续的。
3. 设 f x 的导函数 f x 在有限区间 I 上有界，则 f x 也在 I 上有界。
1. 设 f x 在a,b 上可微，证明：存在 a,b ，使成立
2 f b f a b2 a2 f 。
2. 设 f x ex2 sin x ，求 f 2012 0 。
2012高考试题2012江苏高考数学试卷
2012高考试题2012江苏高考数学试卷高考试题先睹为快见多识广开拓视野2012江苏高考数学试卷非选择题第1题-第20题共20题。
本卷满分为160分。
考试时间为120分钟。
参考公式1样本数据x1 x2 �6�7xn 的方差s2ni11nxi -x2其中nii11xn. 22直棱柱的侧面积Sch 其中c为底面积h 为高. 3棱柱的体积V Sh 其中S为底面积h 为高. 一.填空题本大题共14小题每小题5分共计70分请把答案填写在答题卡的相应位置上。
1、已知集合2014221BA 则_______BA 2、函数12log5xxf的单调增区间是__________3、设复数i满足izi231i是虚数单位则z的实部是_________4、根据如图所示的伪代码当输入ba分别为23时最后输出的m的值是________ Read ab If agtb Then ma Else mb End If Print m5、从1234这四个数中一次随机取两个数则其中一个数是另一个的两倍的概率是______6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是106856则该组数据的方差___2s7、已知24tanx 则xx2tantan的值为__________8、在平面直角坐标系xOy中过坐标原点的一条直线与函数xxf2的图象交于P、Q两点则线段PQ长的最小值是________9、函数sinwAwxAxf是常数00wA的部分图象如图所示则____0f 3127 2高考试题先睹为快见多识广开拓视野10、已知21ee 是夹角为32的两个单位向量22121eekbeea 若0ba则k的值为11、已知实数0a函数1212xaxxaxxf若11afaf则a的值为________ 12、在平面直角坐标系xOy中已知点P是函数0xexfx的图象上的动点该图象在P处的切线l交y轴于点M 过点P作l的垂线交y轴于点N设线段MN的中点的纵坐标为t则t的最大值是_____________ 13、设7211aaa其中7531aaaa成公比为q的等比数列642aaa成公差为1的等差数列则q的最小值是________ 14、设集合22222RyxmyxmyxA 122RyxmyxmyxB 若BA 则实数m的取值范围是______________ 二、解答题本大题共6小题共计90分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程活盐酸步骤。
苏州大学2012届高考数学考前指导卷
20． 已知数列 {an } 中，a1 1 ，nN*, an 0 ， 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ， 且满足 an 1
（1）求数列 {an } 的通项公式；
2 ． Sn 1 S n 1
（2）数列 {S n } 中存在若干项，按从小到大的的顺序排列组成一个以 S1 首项，3 为公比的等比 数列 {bk } ． ①求数列 {bk } 的项数 k 与 n 的关系式 k k (n) ； ②记 cn
y kx 1, 由 2 得 (1 2k 2 ) x 2 4kx 0 ， 2 x 2 y 2
解得 xM
4k 4k 2k 2 1 4k 2k 2 1 1 2 ，即 M ( 2 , yM k 2 , 2 )． 2 2k 1 2k 1 2k 1 2 k 1 2k 1
l1 , l2 , A, B 为切点，当直线 l1 , l2 关于直线 l 对称时，则∠APB 等于
2
10．已知函数 f ( x) | x 6 | ，若 a b 0 ,且 f (a ) f (b) ，则 a b 的最小值是__________． 11．点 P ( x0 , y0 ) 是曲线 C : y =
AC AF 5 13 AF ，即 ， sin AFB sin ACF sin(45 B ) sin( B ) 1 1 5 , cos 又∵ tan ,0 45,sin ， 5 26 26
在△ AFC 中，由正弦定理
5 13 sin( B) 5 13(sin cos B cos sin B) 20 （海里） ． sin(45 B) 2 (cos B sin B) 2 ∴F 与 E 重合，即货船不改变航向继续前行会有触礁的危险．
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F2012年苏州大学自主招生数学试题一、选择题1、如果关于x 的方程2230x ax a -+-=至少有一个正根，则实数a 的取值范围是（ ）A 、22<<-aB 、23≤<aC 、23≤<-aD 、23≤≤-a 2、如图，已知：点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC AB 、的中点，DF BD 、分别交CE 于点HG 、，若正方形ABCD 的面积是240，则四边形BFHG 的面积等于……………………（ ）A 、26B 、28C 、24D 、303 、设z y x 、、是两两不等的实数，且满足下列等式：66633633)()(z x x y x z x x y x ---=-+-，则代数式xyz z y x 3333-++的值是………………… （ ）A 、0B 、1C 、3D 、条件不足，无法计算4、如图，四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A ︒=∠=∠=30,53cos ,10BCE BCD BC ，则线段DE 的长是………………… （ ）A 、89B 、73C 、4+33D 、3+435、某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成一个n 排的等腰梯形阵，且这n 排学生数按每排都比前一排多一人的规律排列，则当n 取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是………………… （ ）A 、296B 、221C 、225D 、641二、填空题：6、已知：实常数d c b a 、、、同时满足下列两个等式：⑴0cos sin =-+c b a θθ； ⑵0sin cos =+-d b a θθ（其中θ为任意锐角），则d c b a 、、、之间的关系式是：。
7、函数4433221-+-+-+-=x x x x y 的最小值是 。
8、已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图）被单位圆滚过的部分的面是 。
9、已知：253+=x ，则2可用含x 的有理系数三次多项式来表示为：2= 。
10、设p 、q 、r 为素数，则方程 2223r q p p ++= 的所有可能的解p 、q 、r 组成的三元数组( p , q , r )是 。
三、解答题 11、赵岩，徐婷婷，韩磊不但是同班同学，而且是非常要好的朋友，三个人的学习成绩不相伯仲，且在整个年级中都遥遥领先，高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学．后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告.报告后三个人还出了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解，英文中的26a b c z ，，，，个字母（不论大小写）依次用12326，，，，这26个自然数表示，并给出如下一个变换公式：⎪⎩⎪⎨⎧+++=的正偶数）是不超过其中的正奇数）是不超过其中26(13]21[26(1]2[x x x xy ；已知对于任意的实数x ，记号[x ]表示不超过x 的最大整数；将英文字母转化成密码，如1713]218[8=++→，即q h 变成 ，再如61]211[11=+→，即f k 变成。
他们给出下列一组密码：etwcvcjw ej ncjwwcabqcv ，把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。
现在就请你把它翻译出来，并简单地写出翻译过程。
12、如果有理数m 可以表示成22562y xy x +-（其中y x 、是任意有理数）的形式，我们就称m 为“世博数”。
⑴ 个“世博数”b a 、之积也是“世博数”吗？为什么？ ⑵ 证明：两个“世博数”b a 、（0≠b ）之商也是“世博数”。
13、如图，在四边形ABCD 中，已知△ABC 、△BCD 、△ACD 的面积之比是3∶1∶4，点E 在边AD 上，CE 交BD 于G ，设k EADEGD BG ==。
⑴求32207+k 的值；D⑵若点H 分线段BE 成2=HEBH的两段，且2222p DH BH AH =++，试用含p 的代数式表示△ABD 三边长的平方和。
14、观察下列各个等式： ,304321,14321,521,112222222222=+++=++=+=。
⑴你能从中推导出计算222224321n +++++ 的公式吗？请写出你的推导过程； ⑵请你用⑴中推导出的公式来解决下列问题：已知：如图，抛物线322++-=x x y 与x 、y 轴的正半轴分别交于点B A 、，将线段OAn 等分，分点从左到右依次为1654321-n A A A A A A A 、、、、、、、 ，分别过这1-n 个点作x 轴的垂线依次交抛物线于点1654321-n B B B B B B B 、、、、、、、 ，设△1OBA 、△211A B A 、△322A B A 、△433A B A 、…、△A B A n n 11--的面积依次为n S S S S S 、、、、、 4321 。
①当2010n =时，求123452010S S S S S S ++++++的值；②试探究：当n 取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么？15、有如图所示的五种塑料薄板（厚度不计）：①两直角边分别为3、4的直角三角形ABC；②腰长为4、顶角为︒36的等腰三角形JKL；③腰长为5、顶角为︒120的等腰三角形OMN；④两对角线和一边长都是4且另三边长相等的凸四边形PQRS；⑤长为4且宽（小于长）与长的比是黄金分割比的黄金矩形WXYZ。
它们都不能折叠，现在将它们一一穿过一个内、外径分别为2.4、2.7的铁圆环。
我们规定：如果塑料板能穿过铁环内圈，则称为此板“可操作”；否则，便称为“不可操作”。
⑴证明：第④种塑料板“可操作”；⑵求：从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率。
16、定义：和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。
如图所示，已知：⊙I 是△ABC 的BC 边上的旁切圆，F E 、分别是切点，IC AD ⊥于点D 。
⑴试探究：F E D 、、三点是否同在一条直线上？证明你的结论。
⑵设,6,5===BC AC AB 如果△DIE 和△AEF 的面积之比等于m ，n EFDE=，试作出分别以mnn m 、为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程。
F参考答案一、选择题1、如果关于x 的方程2230x ax a -+-=至少有一个正根，则实数a 的取值范围是（ C ） A 、22<<-a B 、23≤<a C 、23≤<-a D 、23≤≤-a2、如图，已知：点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC AB 、的中点，DF BD 、分别交CE 于点H G 、，若正方形ABCD 的面积是240，则四边形BFHG 的面积等于……………………（ B ）A 、26B 、28C 、24D 、303 、设z y x 、、是两两不等的实数，且满足下列等式：66633633)()(z x x y x z x x y x ---=-+-，则代数式xyz z y x 3333-++的值是………………… （ A ）A 、0B 、1C 、3D 、条件不足，无法计算4、如图，四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A ︒=∠=∠=30,53cos ,10BCE BCD BC ，则线段DE 的长 是………………… （ D ）A 、89B 、73C 、4+33D 、3+43 5、某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成一个n 排的等腰梯形阵，且这n 排学生数按每排都比前一排多一人的规律排列，则当n 取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是………………… （ B ）A 、296B 、221C 、225D 、641二、填空题：6、已知：实常数d c b a 、、、同时满足下列两个等式：⑴0cos sin =-+c b a θθ； ⑵0sin cos =+-d b a θθ（其中θ为任意锐角），则d c b a 、、、之间的关系式是： 2222d c b a +=+ 。
7、函数4433221-+-+-+-=x x x x y 的最小值是 8 。
8、已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是 84—π 。
9、已知：253+=x ，则2可用含x 的 有理系数三次多项式来表示为：2=x x 611613+- 。
10、设p 、q 、r 为素数，则方程 2223r q p p ++= 的所有可能的解p 、q 、r 组成的三元数组( p , q , r )是 )3,3,3( 。
三、解答题11、赵岩，徐婷婷，韩磊不但是同班同学，而且是非常要好的朋友，三个人的学习成绩不相伯仲，且在整个年级中都遥遥领先，高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学，后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告。
报告后三个人还出了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解，英文中的26a b c z ，，，，个字母（不论大小写）依次用12326，，，，这26个自然数表示，并给出如下一个变换公式：⎪⎩⎪⎨⎧+++=的正偶数）是不超过其中的正奇数）是不超过其中26(13]21[26(1]2[x x x x y ；已知对于任意的实数x ，记号[x ]表示不超过x 的最大整数。
将英文字母转化成密码，如1713]218[8=++→，即q h 变成 ，再如61]211[11=+→，即f k 变成。
他们给出下列一组密码：etwcvcjw ej ncjw wcabqcv ，把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。
现在就请你把它翻译出来，并简单地写出翻译过程。
略解：由题意，密码etwcvcjw 对应的英语单词是interest, ej 对应的英语单词是is, ncjw对应的英语单词是best, wcabqcv 对应的英语单词是teacher. (9分)所以，翻译出来的一句英语是Interest is best teacher,意思是“兴趣是最好的老师”。
（3分）12、如果有理数m 可以表示成22562y xy x +-（其中y x 、是任意有理数）的形式，我们就称m 为“世博数”。
⑴ 个“世博数”b a 、之积也是“世博数”吗？为什么？⑵ 证明：两个“世博数”b a 、（0≠b ）之商也是“世博数”。
略解：=m 22562y xy x +-=22)()2(y x y x -+-，其中y x 、是有理数，∴“世博数”22q p m +=（其中q p 、是任意有理数），只须y x q y x p -=-=,2 即可。
（3分）∴对于任意的两个两个“世博数”b a 、，不妨设,,2222s r b k j a +=+=其中j 、k 、r 、s 为任意给定的有理数， （3分）则222222)()())((kr js ks jr s r k j ab -++=++=是“世博数”；（3分） 2222222222222222)()()(3()())((s r kr js ks jr s r s r k j s r k j b a +-++=+++=++=分）=222222)()(sr kr js s r ks jr +-+++也是“世博数”。