三角函数的简单模型
《三角函数模型的简单应用》 知识清单
《三角函数模型的简单应用》知识清单一、三角函数的基本概念在数学中，三角函数是描述三角形中边与角之间关系的函数。
常见的三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
正弦函数：对于一个锐角θ，它的正弦值等于其对边与斜边的比值，即sinθ ＝对边／斜边。
余弦函数：余弦值等于邻边与斜边的比值，即cosθ ＝邻边／斜边。
正切函数：正切值等于对边与邻边的比值，即tanθ ＝对边／邻边。
二、三角函数的图象和性质1、正弦函数 y ＝ sin x 的图象图象形状：呈现周期性的波浪形状。
周期：2π，即每隔2π 个单位，图象重复出现。
值域：－1, 1对称轴：x ＝kπ ＋π/2 （k 为整数）对称中心：（kπ, 0) （k 为整数）2、余弦函数 y ＝ cos x 的图象图象形状：同样是周期性的波浪形状。
周期：2π值域：－1, 1对称轴：x ＝kπ （k 为整数）对称中心：（kπ ＋π/2, 0) （k 为整数）3、正切函数 y ＝ tan x 的图象图象特点：在每个周期内，图象是不连续的，存在间断点。
周期：π定义域：x ≠ kπ ＋π/2 （k 为整数）值域：（∞，＋∞）三、三角函数模型在实际生活中的应用1、物理中的简谐运动许多物理现象可以用三角函数模型来描述，比如弹簧振子的运动。
弹簧振子的位移与时间的关系可以用正弦函数或余弦函数来表示。
2、交流电交流电的电压和电流随时间的变化规律可以用正弦函数来模拟。
3、天文学中的周期现象例如，地球绕太阳公转的轨道位置、月球的相位变化等，都可以用三角函数来分析和预测。
4、声音的波动声音的传播是一种波动现象，其声波的振幅和频率可以用三角函数来描述。
四、构建三角函数模型解决实际问题的步骤1、收集数据首先要收集与问题相关的实际数据，例如时间、角度、长度等。
2、分析数据观察数据的变化规律，判断是否具有周期性、对称性等特征。
3、选择合适的三角函数根据数据的特点，选择正弦函数、余弦函数或其他相关三角函数来构建模型。
三角函数模型
三角函数模型三角函数模型是数学中的一种重要工具，它是用来描述三角形内角与边之间关系的函数模型。
三角函数模型包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别描述了三角形内角的相对值与三角形边长之间的关系。
正弦函数是指三角形内角的正弦值与三角形斜边长之间的比值。
正弦函数在三角形中的应用非常广泛，它可以用来计算三角形内角、边长以及高度等相关参数。
正弦函数的图像是一个周期性的波形，它的最大值为1，最小值为-1，它的周期是360度或2π弧度。
余弦函数是指三角形内角的余弦值与三角形斜边长之间的比值。
余弦函数也是三角形内角与边长之间的重要关系，它可以用来计算三角形的面积、角度以及边长等参数。
余弦函数的图像也是一个周期性的波形，它的最大值为1，最小值为-1，它的周期与正弦函数相同，都是360度或2π弧度。
正切函数是指三角形内角的正切值与三角形斜边长之间的比值。
正切函数也是三角形内角与边长之间的重要关系，它可以用来计算三角形边长、高度以及角度等相关参数。
正切函数的图像也是一个周期性的波形，它的周期是180度或π弧度，它的值域是从负无穷到正无穷。
除了正弦函数、余弦函数和正切函数之外，还有许多其他的三角函数模型，如余切函数、正割函数和余割函数等。
它们也都是用来描述三角形内角与边长之间的关系，但是它们的定义和图像与正弦函数、余弦函数和正切函数有所不同。
三角函数模型在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
在物理学中，三角函数模型被用来描述波动和振动的运动规律；在工程学中，三角函数模型被用来计算机械运动和结构强度等参数；在数学中，三角函数模型则被用来解决各种三角形问题和微积分问题等。
三角函数模型是数学中的一种重要工具，它们可以用来描述三角形内角与边长之间的关系，从而解决各种与三角形相关的问题。
掌握好三角函数模型的定义和应用，对于学习数学和应用数学都是非常重要的。
三角函数12345模型
三角函数12345模型一、了解三角函数三角函数是数学中非常重要且广泛应用的一类函数，涉及到角度和长度之间的关系。
三角函数有许多性质和应用，其中比较常见的有正弦函数、余弦函数和正切函数，它们在数学、物理、工程等领域都有重要的作用。
二、正弦函数2.1 定义正弦函数是一个周期函数，其定义域为实数集，表示为sin(x)。
在单位圆上，正弦函数的值等于对应角度上的点的纵坐标。
正弦函数具有以下性质： - 奇函数: sin(-x) = -sin(x) - 周期性: sin(x + 2π) = sin(x) - 奇异点: sin(0) = 0, sin(π) = 0, sin(π/2) = 1, sin(3π/2) = -12.2 应用正弦函数在物理学中广泛应用，例如描述波动、振动等现象。
在电子学中，正弦函数被用来描述交流电的变化。
三、余弦函数3.1 定义余弦函数是一个周期函数，其定义域为实数集，表示为cos(x)。
在单位圆上，余弦函数的值等于对应角度上的点的横坐标。
余弦函数具有以下性质： - 偶函数: cos(-x) = cos(x) - 周期性: cos(x + 2π) = cos(x) - 奇异点: cos(0) = 1, cos(π) = -1, cos(π/2) = 0, cos(3π/2) = 0余弦函数在物理学和工程学中广泛应用。
在力学中，余弦函数用于描述物体的周期性运动，例如摆动和震动。
在信号处理中，余弦函数被用来分析和合成信号。
四、正切函数4.1 定义正切函数是一个周期函数，其定义域为实数集，表示为tan(x)。
正切函数的值等于对应角度上的点的纵坐标与横坐标的比值。
正切函数具有以下性质： - 奇函数: tan(-x) = -tan(x) - 周期性: tan(x + π) = tan(x) - 奇异点: tan(0) = 0, tan(π/2) = ∞, tan(-π/2) = -∞4.2 应用正切函数在几何学和工程学中有广泛的应用。
5-三角函数模型
)
1 10 π π π 3．若 tan α＋ ＝ ，α∈ ( ， )，则 sin (2α＋ )的值为( tan α 3 4 2 4 2 10 2 10 3 2 C. 10 7 2 D. 10
)
A．－
B.
α 1＋ tan 4 2 1． (10 年高考全国 )若 cos α＝－ ， α 是第三象限的角， 则 ＝( 5 α 1－ tan 2 1 A．－ 2 1 B. 2
cos αcos β∓sin αsin β
tan α± tan β 1∓tan αtan β
.
tan α＋tan β 1－ tan α＋β
二、二倍角公式 sin 2α＝ 2sin αcos α ；
2 2 2 cos 2α＝ cos α－sin α ＝ 2cos α－1
＝
1－2sin2 α ；
tan 2α＝
3、
B
1 sin2 35° － 2 4. (11 年吉林)化简 ＝( C ) cos 10° cos 80° A．－2 1 B．－ 2 C．－1 D．1
5.
B
6、
D
1 sin 35° － 2 4. (11 年吉林)化简 ＝( C ) cos 10° cos 80°
2
A．－2
1 B．－ 2
C．－1
一、两角和与差的三角函数公式 sin (α±β)＝ sin αcos β±cos αsin β cos (α±β)＝ tan (α±β)＝ 其变形为： tan α＋tan β＝ tan α－tan β＝ tan αtanβ＝ tan (α＋β)(1－tan αtan β) tan (α－β)(1＋tan αtan β) . ； ； ； ；
1 10 3 ∴ ＝ ，∴sin 2α＝ . sin αcos α 3 5 π π π 4 ∵α∈( ， )，∴2α∈( ，π)．∴cos 2α＝－ . 4 2 2 5 π π π ∴sin (2α＋ )＝sin 2α· cos ＋cos 2α · sin 4 4 4 2 3 4 2 ＝ ×( － )＝－ . 2 5 5 10
高中数学二轮复习关于三角函数解题中常用数学模型构造
二轮复习关于三角函数解题中常用数学模型构造构造数学模型是一种比较重要、灵活的思维方式，它没有固定的模式。
在解题中要想用好它，需要有敏锐的观察、丰富的联想、灵活的构思、创造性的思维等能力。
应用好构造思想解题的关键有二：一是要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是弄清条件的本质特点和背景，以便重新进行逻辑组合。
常用的有构造命题、构造表达式、构造几何体等，本文拟就通过介绍几种解三角函数的具体问题，对构造的各种思维方式作一些探讨。
1 构造直角三角形例1 设x ∈[4π，2π]，求证：cscx -ctgx ≥2-1 思路分析：由2、1联想等腰直角三角形，不仿构造一个等腰直角三角形来研究。
作Rt ⊿ABC ，令∠Ｃ=900，AC=1，在ＡＣ上取一点D ，记∠ＣＤＢ＝x ，则ＢＤ＝cscx ，ＣＤ＝ctgx ，ＡＤ＝１-ctgx ，利用ＡＤ＋ＤＢ≥ＡＢ＝2，可得cscx -ctgx ≥2-1，等号仅在x ＝4π时成立。
2 构造单位圆例 2若0<β<α<2π，求证：α-β<tg α-tg β 思路分析：构造单位圆，借助三角函数线与三角函数式的关系，把数的比较转化为几何图形面积的比较。
作单位圆O ，AP 1=β，AP 2=α，∴ P 1P 2=α-β，AT 1=tg β，AT 2=tg α，S ⊿AT O =21tg α，S ⊿AP O =21tg β，由于S 扇形OAP=21α，S 扇形OAP =21β。
∴S 扇形OP P =21（α-β），S ⊿OT Ｔ=21tg α－21tg β。
则S ⊿OT Ｔ>S 扇形OP P即 21（α-β）<21（tg α－tg β） 所以 α-β<tg α-tg β3 构造函数表达式例3已知x 、y ∈[-4π，4π]，a ∈R ，且⎩⎨⎧=++=-+0cos sin 402sin 33a y y y a x x ，求cos （x+2y ）思路分析：由x 3+sinx 与2（4y 3+sinycosy ），这两部分形式完全类似，由此可构造函数形式。
《三角函数模型的简单应用》 讲义
《三角函数模型的简单应用》讲义一、引言在我们的日常生活和学习中，三角函数的应用无处不在。
从物理学中的波动现象到建筑设计中的角度计算，从音乐的旋律到天文学中的星球运动，三角函数都发挥着重要的作用。
通过建立三角函数模型，我们能够更好地理解和解决这些实际问题。
二、三角函数的基础知识首先，让我们回顾一下三角函数的基本概念。
1、正弦函数（sin）：对于一个锐角θ，正弦函数的值等于它的对边与斜边的比值。
2、余弦函数（cos）：余弦函数的值等于它的邻边与斜边的比值。
3、正切函数（tan）：正切函数的值等于它的对边与邻边的比值。
三角函数的周期性质也是非常重要的。
正弦函数和余弦函数的周期都是2π，而正切函数的周期是π。
三、三角函数模型的构建在实际问题中，我们常常需要根据给定的条件构建三角函数模型。
例如，假设一个物体做简谐运动，它的位移 y 与时间 t 的关系可以表示为 y ＝A sin(ωt ＋φ)，其中 A 表示振幅，ω 表示角频率，φ 表示初相位。
又比如，在研究交流电的电压变化时，我们可以用函数 u ＝ U₀sin(ωt) 来描述，其中 U₀是电压的最大值，ω 是角频率。
四、三角函数模型在物理学中的应用1、波动现象在物理学中，声波、光波等都属于波动现象。
以声波为例，声音的强度可以用三角函数来描述。
当一个声源发出声音时，声音的传播可以看作是一种波动，其强度随距离和时间的变化可以通过三角函数模型来计算。
2、单摆运动单摆的运动也是一个典型的可以用三角函数模型描述的物理现象。
单摆的摆动角度与时间的关系可以用正弦函数来表示。
五、三角函数模型在天文学中的应用1、星球的位置和运动在天文学中，星球的位置和运动可以通过建立三角函数模型来预测和研究。
例如，地球绕太阳的公转轨道可以近似看作一个椭圆，而太阳位于椭圆的一个焦点上。
通过三角函数，我们可以计算出地球在不同时间的位置和速度。
2、日月食的预测日月食的发生也可以用三角函数模型来预测。
三角函数中的化简求值模型
三角函数中的化简求值模型【问题背景】三角函数的化简求值几乎是高考的必考内容之一，化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之间的关系，以便于某种要求的应用．一般从函数名、角、运算三方面进行差异分析，遵循化繁为简、清除差异的原则，常用的方法技巧有：切割化弦，降幂，用三角公式转化出现特殊角，异角化同角，异名化同名，高次化低次等.【解决方法】【典例1】（2024高三下·全国·专题练习）已知角α，β的顶点均为坐标原点，始边均与x 轴的非负半轴重合，终边分别过点()1,2A ，()2,1B -，则tan 2αβ+=．【答案】3-【分析】利用三角函数的定义求得tan 2α=，1tan 2β=-，可求得()tan αβ+，再利用二倍角的正切公式解得tan2αβ+，进而确定2αβ+的范围，求得tan2αβ+的值.【套用模型】第一步：因为角α，β的终边分别过点()1,2A ，()2,1B -，所以tan 2α=，1tan 2β=-，（提示：若角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点()(),0x y x ≠，则tan y xα=），第二步：因此()tan tan 3tan 1tan tan 4αβαβαβ++==-，又()22tan32tan 41tan 2αβαβαβ++==+-，所以tan32αβ+=-或1tan23αβ+=．第三步：因为角α的终边过点()1,2A ，因此112,242k k ππαππ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，1k ∈Z ，因为角β的终边()2,1B -，因此2232,24k k πβπππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，2k ∈Z ，所以3,224k k αβππππ+⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，所以tan 32αβ+=-．【典例2】（2024·山西晋城·二模）已知tan 2tan αβ=，1sin()4αβ+=，则)in(s βα-=．【答案】112-【分析】由tan 2tan αβ=切化弦可得sin cos 2cos sin αβαβ=，结合两角和差公式分析求解.【套用模型】第一步：因为tan 2tan αβ=，即sin 2sin cos cos αβαβ=，可得sin cos 2cos sin αβαβ=，第二步：又因为()1sin sin cos cos sin 3cos sin 4αβαβαβαβ+=+==，可得1cos sin 12αβ=，第三步：所以()sin cos sin sin cos cos sin 112βααβαβαβ-=-=-=-.故答案为：112-.【典例3】（2024·全国·模拟预测）在ABC 中，tan A ，tan B 是方程2670x x -+=的两个根，则C 的值是．【答案】4π/45︒【分析】根据根与系数的关系及两角和的正切公式求得()tan A B +，再利用诱导公式求解.【套用模型】第一步：由题意，tan tan 6A B +=，tan tan 7A B ⋅=，第二步：所以tan tan 6tan ()11tan tan 17A B A B A B ++===--⋅-，第三步：在ABC 中，()()tan tan πtan 1C A B A B =-+=-+=⎡⎤⎣⎦，由0πC <<，可知π4C =.故答案为：π4（2024·全国·二模）1．已知6cos tan 7sin ααα=-，则cos2α=.（2024·云南昆明·一模）2．已知cos α=π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 2α=．（2024·宁夏银川·一模）3．已知3cos si 2n x x +=，则sin 2πcos 4xx =⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2024·青海·模拟预测）4．若3π4αβ+=，tan 2α=，则tan β=．（2024·山东·二模）5．在平面直角坐标系中，角α的始边与x轴非负半轴重合，终边经过点()2，则πsin 3α⎛⎫+=⎪⎝⎭．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）6．已知tan α，tan β是方程2530x x +-=的两个根，则()()22cos sin αβαβ+=-．（2024·广西·二模）7．已知2sin sin2αα=，则πtan 4α⎛⎫+=⎪⎝⎭.（2024·全国·模拟预测）8．已知点()()()cos ,sin A βαβα--与点5π5πcos ,sin 1212B ββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于原点对称，则sin cos αα+=．（2024·全国·模拟预测）9．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2222024a b c +=，则2tan tan tan (tan tan )A BC A B =+.（2024·陕西安康·模拟预测）10．若()2tan 2024π3α-=，则2sin cos 2cos cos2αααα-=.（2024·山西朔州·一模）11．若πtan 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2ππ1tan cos 362αα⎛⎫⎛⎫-+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2024·全国·模拟预测）12．在平面直角坐标系中，若角π3α-的顶点为原点，始边为x 轴非负半轴，终边经过点()3,4P --，则πtan 23α⎛⎫+=⎪⎝⎭.（2024·陕西安康·模拟预测）13．已知π,,π2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且πsin2sin 21cos21sin αβαβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=+，则tan tan21tan tan 2βαβα+=-．（2024·河北沧州·模拟预测）14．已知1cos sin 63παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+=⎪⎝⎭．（2024·上海嘉定·二模）15．已知()22sin cos f x x x =+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则函数()y f x =的最小值为．（2024·吉林长春·模拟预测）16．已知tan 3,2sin cos 1tan 2ααββ==，则()2tan αβ+=.（2024·全国·模拟预测）17．已知锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin 2A =则a b 的取值范围是.（2024·全国·模拟预测）18．已知,αβ为锐角，满足()1sin sin ,cos 69αβαβ+=+=-，则sin2αβ+=，()cos αβ-=．（2024·全国·模拟预测）19．已知πtan ,74x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭为第二象限角，则10πsin 21x ⎛⎫+=⎪⎝⎭．（2024·上海·一模）20．已知ABC 中，,,A B C 为其三个内角，且tan ,tan ,tan A B C 都是整数，则tan tan tan A B C ++=．三角函数中的化简求值模型解析：1．725##0.28【分析】切化弦，然后整理可得sin α，再利用倍角公式计算即可.【详解】6cos sin tan 7sin cos ααααα==-，得()()226co 7sin s 61n s s n i i αααα==--，解得3sin 5α=或sin 2α=-（舍）所以2237cos212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：725.2．-【分析】根据同角三角函数关系式求出sin α，tan α，再利用二倍角正切公式求解.【详解】由cos απ0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 3α∴，sin tan cos ααα∴==，22tan tan 21tan 1ααα∴==---.故答案为：-3．73-【分析】由倍角公式和差角公式、平方关系求解即可.【详解】sin 2πcos 4x x =⎛⎫- ⎪⎝⎭2273133⎡⎤⎛+-⎢⎥=-=- ⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故答案为：73-..4．3【分析】由已知条件可得3π4βα=-，根据两角和的正切公式化简即可求解.【详解】因为3π4αβ+=，所以3π4βα=-，所以3πtan tan 3π4tan tan 3π41tan tan 4αβαα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-= ⎪⎛⎫⎝⎭+⋅ ⎪⎝⎭，又因为tan 2α=，3πtan 14⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以上式可化为：12tan 312β--==-.故答案为：35．14-##【分析】先利用角α的终边所经过的点求出sin ,cos αα，再求πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【详解】因为角α的始边与x轴非负半轴重合，终边经过点()2，所以sin 7α=，cos 7α==-；πππsin sin cos cos sin 33314ααα⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭.故答案为：6．1637【分析】利用韦达定理可得tan tan 5αβ+=-，tan tan 3αβ=-，再利用两角和差公式和三角函数的商数关系求解即可.【详解】因为tan α，tan β是方程2530x x +-=的两个根，所以tan tan 5αβ+=-，tan tan 3αβ=-，则cos cos 0αβ≠，所以()()2222cos cos cos sin sin 1tan tan sin sin cos cos sin tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβ+⎛⎫⎛⎫--=== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭()2161637tan tan 4tan tan αβαβ=+-．故答案为：16377．1或3-【分析】由已知可得sin 0α=或sin 2cos αα=，从而可求出πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】由2sin sin2αα=可得2sin 2sin cos ααα=，所以sin 0α=或sin 2cos αα=，即tan 0α=或tan 2α=，当tan 0α=时，πtan 1tan 141tan ααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭当tan 2α=时，πtan 1tan 341tan ααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，故答案为：1或3-.8．22【分析】根据题意，列出方程组，求得7π2π,Z 12k k αββ-=+-∈，得到7π2π,Z 12k k α=+∈，结合πsin cos 4ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即可求解．【详解】因为点()()()cos ,sin A βαβα--与点5π5πcos ,sin 1212B ββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于原点对称，所以()()5πcos cos 125πsin sin 12βαββαβ⎧⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎩，即()()5πcos cos π125πsin sin π12αββαββ⎧⎡⎤⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎨⎡⎤⎛⎫⎪-=-+ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎩，所以7π2π,Z 12k k αββ-=+-∈，解得7π2π,Z 12k k α=+∈，所以π7ππ5π2sin cos 412462ααα⎛⎫⎛⎫+=+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：22.9．2023【分析】将已知条件切化弦，然后结合两角和的正弦公式、正余弦定理，将等量关系转化为2a ，2b ，2c 间的关系，则问题可解.【详解】2tan tan 2211cos cos tan (tan tan )tan tan tan tan sin sin A BB AC A B C C B A B A ==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin sin 2sin sin 2sin sin tan (sin cos cos sin )tan sin()tan sin A B A B A B C A B A B C A B C C ===++222sin sin cos 2cos sin A B C ab CC c ==，由余弦定理有：222222cos ab C a b c c c +-=，又2222024a b c +=，所以原式22220242023c c c -==.故答案为：202310．3215-【分析】利用诱导公式求出tan α，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.【详解】因为()2tan 2024π3α-=，所以2tan 3α=-，所以2sin cos 2cos cos 2αααα-222sin cos 2cos cos sin ααααα=--2tan 121tan αα=--221323215213-=-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为：3215-11．8310-+【分析】根据同角三角函数关系求出2π1cos 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用正切差角公式得到πtan 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而求出答案.【详解】由题意得ππsin 2cos 66αα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又22ππsin cos 166αα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2π1cos 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，ππtan tan 2πππtan tan 8666ππ31tan tan 666αααα⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=--==- ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+- ⎪⎝⎭2ππ111tan cos 8362283510αα⎛⎫⎛⎫-+--=-++-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：8310-+12．247-【分析】先利用三角函数的定义得到πtan 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭，再利用倍角公式和诱导公式进行转化求得πtan 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【详解】由三角函数的定义，得π4tan 33α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以πππtan 2tan 2πtan2333ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2π82tan 243316π711tan 93αα⎛⎫- ⎪⎝⎭===-⎛⎫--- ⎪⎝⎭.故答案为：247-13．1【分析】利用二倍角公式，同角关系，两角和与差的正切公式变形求解．【详解】由πsin2sin 21cos21sin αβαβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=+得1cos2cos sin 21sin αβαβ-=+，22222cos sin 2sin 222sin cos cos sin 2sin cos 2222ββαββββαα-=++,所以cossinsin 22cos cos sin 22ββαββα-=+，即π1tantantan π242tan tan()π421tan 1tan tan242βββαββ--==-++，又π,,π2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ42βα=-+，即5π24βα+=，所以tan tan5π2tan()tan 1241tan tan 2βαβαβα+=+==-．故答案为：1.14．79-【分析】根据题意，由余弦的和差角公式展开可得π1 cos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再由二倍角公式，即可得到结果.【详解】因为π1cos sin 63αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，整理得ππ1cos cos sin sin sin 663ααα+-=，11sin 23αα-=，所以π1cos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2ππ17cos 22cos 1213699αα⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：79-15．【分析】令πsin cos )4t x x x =+=+，可求t 的范围，利用同角的基本关系对已知函数化简计算，结合函数的单调性即可求解.【详解】由题意知，222(sin cos )()sin cos sin cos x x f x x x x x+=+=，令πsin cos 4t x x x =+=+，由π02x <<，得ππ3π444x <+<，所以2πsin()124x <+≤，则1t <≤由sin cos t x x =+，得22(sin cos )12sin cos t x x x x =+=+，所以21sin cos 2t x x -=，则原函数可化为22244()1112ttg t t t t t ===---，又函数1,y t y t ==-在上单调递增，所以1y t t =-在上单调递增，故当t 时，1y t t =-取得最大值22，此时()g t取得最小值故答案为：16．2511##3211【分析】根据同角三角函数关系，结合已知条件求得cos sin αβ，以及()sin αβ+，()2sin αβ+，()2cos αβ+，再求结果即可.【详解】由tan 3tan 2αβ=可得：sin cos 3cos sin 2αβαβ=，又2sin cos 1αβ=，即1sin cos 2αβ=，则1cos sin 3αβ=，故()115sin sin cos cos sin 236αβαβαβ+=+=+=，()225sin 36αβ+=，则()()2211cos 1sin 36αβαβ+=-+=，故()()()22225sin 2536tan 11cos 1136αβαβαβ++===+.故答案为：2511.17．【分析】由二倍角公式可得cos 2c bA b-=，利用正弦定理边化角，结合和差公式整理可得()sin sin B A B =-，可得2A B =，根据三角形ABC 为锐角三角形求出角B 的范围，然后利用正弦定理和二倍角公式可得2cos aB b=，可得范围.【详解】因为sin2A 23sin 24A b c b -=，所以2cos 12sin 22A c b A b -=-=，由正弦定理得sin sin cos 2sin C B A B -=，即2sin cos sin sin B A C B =-，所以()2sin cos sin sin B A A B B =+-，所以sin cos cos sin sin A B A B B -=，即()sin sin B A B =-，所以B A B =-或πB A B +-=（舍去），因为三角形ABC 为锐角三角形，所以π20,2A B ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，又π3,π2A B B ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，解得64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 22B ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.因为sin sin22cos sin sin a A B B b B B ===，所以a b 的取值范围为.故答案为：18．14##0.25【分析】由,2222αβαβαβαβαβ+-+-=+=-，利用两角和与差的正弦公式和余弦的二倍角公式，求出sin 2αβ+；再用余弦的二倍角公式求出()cos αβ-.【详解】因为,2222αβαβαβαβαβ+-+-=+=-，所以sin sin sin 22αβαβαβ+-⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭sin 2sin cos 2222αβαβαβαβ+-+-⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，又sin sin αβ+=sin cos 2212αβαβ+-=，因为,αβ为锐角，所以2αβ+为锐角，又()21cos 12sin 29αβαβ++=-=-，所以sin 2αβ+=又52sin cos 2212αβαβ+-=，所以cos 2αβ-=，所以()2101cos 2cos 1212164αβαβ--=-=⨯-=．故答案为：3；14.19【分析】由π2tan 74x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭及同角三角函数的基本关系可求得ππsin ,cos 77x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据10πππ2173x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭并结合两角和的正弦公式即可得解．【详解】 π2tan 74x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π2πsin cos 747x x ⎛⎫⎛⎫∴+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2222ππππsin cos cos 7777x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=-+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦29πcos 187x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，x 为第二象限角，∴πcos 7x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π1sin 73x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，10πππππππsin sin sin cos cos sin 21737373x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1122312632326-=⨯-=．20．6【分析】不妨令A B C ≤≤，利用正切函数的单调性，结合已知求出tan A ，再利用和角的正切公式分析求解即得.【详解】在ABC 中，不妨令A B C ≤≤，显然A 为锐角，而tan A 是整数，若πtan 2tan 3A =>=，又函数tan y x =在π(0,2上单调递增，则π3A >，此时3πABC A ++≥>与πA B C ++=矛盾，因此tan 1A =，π3π,44A B C =+=，tan tan tan()11tan tan B C B C B C++==--，整理得(tan 1)(tan 1)2B C --=，又tan ,tan B C 都是整数，且tan tan B C ≤，因此tan 2,tan 3B C ==，所以tan tan tan 6A B C ++=.故答案为：6。
三角函数的模型及应用
三角函数的模型及应用三角函数是数学中一个重要的分支，它涉及到角的度量和关系，以及角在几何图形中的应用。
三角函数的模型是用来描述角度和边长之间的关系，而三角函数的应用则广泛涉及到几何、物理、工程等领域。
首先，我们来讨论三角函数的模型。
最常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们的定义如下：正弦函数：sin(x) = 对边/ 斜边余弦函数：cos(x) = 邻边/ 斜边正切函数：tan(x) = 对边/ 邻边其中，对边、邻边和斜边指的是一个直角三角形中与角度x相关的边长。
这些三角函数的定义基于一个特殊的直角三角形，即单位圆上的一条半径与x轴和y 轴夹角为x的射线。
三角函数的模型可以进一步扩展到一般的三角形中，通过在单位圆上做垂线，我们可以将非直角三角形的边长和角度联系起来。
例如，根据正弦定理和余弦定理，可以得到以下关系：正弦定理：a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)余弦定理：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos(C)这些模型提供了计算三角形各边长和角度的方法，非常有用。
接下来，我们来探讨三角函数的应用。
三角函数在几何学中有广泛的应用。
例如，在解决三角形的边长和角度问题时，可以使用三角函数求解未知量。
三角函数还可以被用来计算几何图形的面积和体积，例如圆的面积和球的体积等。
此外，三角函数在物理学中也有广泛的应用。
例如，在运动学中，三角函数可以用来描述物体在直线上的运动，如加速度、速度和位移之间的关系。
另外，在力学中，三角函数可以用来计算力的分解，例如对一个斜面上的物体施加的力的分解等。
在工程学中，三角函数也被广泛应用。
例如，在建筑设计中，可以使用三角函数计算斜塔的高度和角度。
在航海中，可以使用三角函数来计算航线和船只的位置等。
总结起来，三角函数是数学中一个重要的分支，其模型描述了角度和边长之间的关系，应用于几何学、物理学和工程学等领域。
通过使用三角函数的模型和公式，我们可以解决各种与角度和边长相关的问题，推导出相应的计算方法，丰富了数学的应用领域。
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【自主解答】 列表如下：
t
π －6
π 12
π 3
7π 12
5π 6
2t＋π3
0
π 2
π
3π 2
2π
sin2t＋π3
0
1
0
－1
0
s
0
4
0
－4
0
描点、连线，图象如图所示．
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(1)将 t＝0 代入 s＝4sin2t＋π3 ，得 s＝4sin
π 3 ＝2
3，所以小球开始振动时
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三角函数模型在物理学中的应用
已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移 s(cm)随时间 t(s)的变化规律为 s＝4sin2t＋π3 ，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作 出这个函数的简图，并回答下列问题．
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？ (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？
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【解】 (1)由表中数据描出各点，并把这些点用平滑的曲线连接起来(如
图)，
由图知，可设 f(t)＝Acos ωt＋b，并且周期 T＝12，
∴ω＝2Tπ＝21π2 ＝π6 .
由 t＝0，y＝1.5，得 A＋b＝1.5；
由 t＝3，y＝1.0，得 b＝1.
∴A＝0.5，b＝1.∴y＝12cos来自(忽略进出港所用的时间)?
【精彩点拨】 (1)从拟合曲线可知：函数
y＝Asin ωt＋b 的周期；由 t＝0 时的函数值，t
＝3 时取得的最大值，进而可求得 ω、A、b 的
值．
(2)根据(1)中求得的函数表达式，求出数值
不小于 4.5＋7＝11.5(m)的时段．
图 1－6－2
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【自主解答】 (1)从拟合曲线可知：函数 y＝Asin ωt＋b 在一个周期内由
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【解】 (1)函数 h＝3sin2t＋π4 ，0≤t≤π的图象如图所示．
(2)令 t＝0，得 h＝322，所以小球开始振动时的位移为322 cm.
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(3)结合图象可知，最高点和最低点的坐标分别是π8 ，3，5π 8 ，－3，所 以小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是 3 cm 和－3 cm.
(1)求出种群数量 y 关于时间 t 的函数表达式(其中 t 以年初以来的月为计量 单位)；
(2)估计当年 3 月 1 日动物种群数量. 【导学号：00680027】
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图 1－6－1
【精彩点拨】 可设 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)来求解．
【自主解答】 (1)设动物种群数量 y 关于 t 的解析式为
的位移是 2 3 cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是 4 cm 和－4 cm.
(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.
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1．实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多个学科的知识才能 解决，其中最重要的是：(1)熟练掌握三角函数的图象与性质及有关结论，有助 于解决此类问题；(2)由于应用题的背景比较新颖，情景比较陌生，所以解题的 关键是读懂题目，理解题意，弄清每个词语的含义，领会每一个词语的数学意 义，再结合相关学科的知识理解问题，从而解决问题．
∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，
∴取 φ＝－π2 ，∴y＝100sinπ6 t－π2 ＋800. (2)当 t＝2 时，y＝100sinπ6 ×2－π2 ＋800＝750， 即当年 3 月 1 日动物种群数量约是 750.
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1．本例中，在审题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语 言”这个过程就是数学建模过程．
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(2)令 10sinπ8 x－5π 4 ＋20＝15，得 sinπ8 x－5π 4 ＝－12， 而 x∈[4，16]，所以 x＝236. 令 10sinπ8 x－5π 4 ＋20＝25，得 sinπ8 x－5π 4 ＝12， 而 x∈[4，16]，所以 x＝334. 故该细菌能存活的最长时间为334－236＝83小时．
2．能够迅速地建立数学模型是解决实际问题的一项重要的基本技能．这个 过程并不神秘，在解题中，将实际问题转化为与三角函数有关的问题的常见形 式有：求出三角函数的解析式；画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题．
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[再练一题] 1 ． 已 知 某 地 一 天 从 4 ～ 16 时 的 温 度 变 化 曲 线 近 似 满 足 函 数 y ＝ 10sinπ8 x－5π 4 ＋20，x∈[4，16]． (1)求该地这一段时间内温度的最大温差； (2)若有一种细菌在 15 ℃到 25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细 菌最多能生存多长时间？ 【解】 (1)当 x＝14 时函数取最大值，此时最高温度为 30 ℃，当 x＝6 时 函数取最小值，此时最低温度为 10 ℃，所以最大温差为 30 ℃－10 ℃＝20 ℃.
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某港口的水深 y(m)是时间 t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是有 关时间与水深的数据：
t(h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(m) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 根据上述数据描出的曲线如图 1－6－2 所示，经拟合，该曲线可近似地看
阶
阶
段
段
一
三
1.6 三角函数模型的简单应用
学
业
阶
分
段
层
二
测
评
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1．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模 型解决一些简单的实际问题．(重点)
2．实际问题抽象为三角函数模型．
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[基础·初探] 教材整理 三角函数的实际应用
阅读教材 P60～P64 所有内容，完成下列问题． 1．三角函数可以作为描述现实世界中__周__期___现象的一种数学模型． 2．y＝|sin x|是以_π__为周期的波浪形曲线． 3．解三角函数应用题的基本步骤： (1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型； (3)讨论变量关系，求解数学模型； (4)检验，作出结论．
(4)由图可知周期 T＝π，即经过π s 小球往复振动一次． (5)f＝T1＝π1 ，即每秒钟小球能往复振动π1 次．
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[探究共研型]
数据拟合问题
探究 在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？ 【提示】 (1)根据原始数据给出散点图． (2)通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟 合曲线． (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式． (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和 管理提供依据．
行时，水深 y 应大于或等于 7＋4.5＝11.5(m)．令 y＝3sin 6 t＋10≥11.5， 可得 sin π6 t≥12，∴2kπ＋π6 ≤π6 t≤2kπ＋5π 6 (k∈Z)， ∴12k＋1≤t≤12k＋5(k∈Z)． 取 k＝0，则 1≤t≤5，取 k＝1，则 13≤t≤17； 而取 k＝2 时，25≤t≤29(不合题意，舍)． 从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨 1 时(1 时到
y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，则－ A＋A＋ b＝b＝ 90700，0，
解得 A＝100，b＝800.
又周期 T＝2×(6－0)＝12，∴ω＝2Tπ＝π6 ，
∴y＝100sinπ6 t＋φ＋800.
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又当 t＝6 时，y＝900， ∴900＝100sinπ6 ×6＋φ＋800，
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单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置 O 的距离 s(厘米)和时间 t(秒)的
函数关系为 s＝3sinπ2 t＋π3 ，那么单摆来回摆的振幅为________厘米，一次所
需的时间为________秒． 【解析】 因为 s＝3sinπ2 t＋π3 ， 所以振幅为 A＝3(厘米)，周期 T＝2ππ＝4(秒)． 2 【答案】 3 4
最大变到最小需 9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为 12 h，因
此2ωπ＝12，ω＝π6 .
又∵当 t＝0 时，y＝10；当 t＝3 时，ymax＝13， ∴b＝10，A＝13－10＝3，
π ∴所求函数的表达式为 y＝3sin 6 t＋10(0≤t≤24)．
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(2)由于船的吃水深度为 7 m，船底与海底的距离不少于 4.5 m，故在船舶航 π
2．在计算中，对于复杂的数据可借助计算器辅助计算． 3．要善于运用数形结合的思想方法来解实际应用题，如根据已知数据描出 散点图，由图联想所求函数的解析式．
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[再练一题] 2．弹簧挂着的小球做上下振动，它在 t s 时相对于平衡位置(就是静止时的 位置)的高度 h cm 由函数关系式 h＝3sin2t＋π4 确定． (1)以 t 为横坐标，h 为纵坐标，作出函数的图象(0≤t≤π)； (2)求小球开始振动(即 t＝0)时的位移； (3)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位移； (4)经过多少时间小球往复振动一次？ (5)每秒钟小球能往复振动多少次？