一元一次方程等量关系.doc

学习好资料 欢迎下载一元一次方程等量关系方法一：根据常见的公式寻找等量关系1、 工作问题和工程问题（ 1） 单人工作：工作总量＝工作效率 ×工作时间（ 2） 多人合作：甲的工作总量 +乙的工作总量 +。

＝工作总量【例】 某工作甲单独做 4 天完成，乙单独做 8 天完成。

现甲先做 1 天，然后和乙共同完成余 下工作。

问甲一共做了几天？ 甲单独一天可以完成总量的 1/4，乙单独一天完成1/8;甲干 1 天后剩余： 1-1*1/4=3/4 设甲乙共同完成余下的需要X 天则 X*(1/4+1/8)=3/4 解得 X=2 天所以甲一共干了： 1+2=3 天【例】 一项工程，甲队独做要120 天完成，如果甲队先做10 天，乙队再做5 天，就可以完成这项工程的5，乙队单独做这项工程需要多少天？24解：设乙队的工作效率为 X ，得： 5X+10/120=5/24 解得 X=1/40 答：乙队单独做这项工程需要40天2、 行程问题路程＝速度 ×时间（特别注意：两地的距离不变） （1）追击问题：① 同时不同地出发：前者走的路程+两地间距离＝追者走的路程前者走的时间＝追者走的路程② 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程前者走的时间＝追者走的时间 +等待时间【例】甲乙两地路程为 180 千米 ,一人骑自行车从甲地出发每小时走15 千米 ,另一人骑摩托车从乙地出发。

已知， 摩托车速度是自行车速度的 3 倍，若两人同向而行，骑自行车在先且出发 2 小时，问摩托车经过多少时间追上自行车？解：设摩托车经过时间 x 追上自行车 自行车行驶的路程： S 自 =15* （ x+2 ） 摩托车行驶的路程： S 摩 =15*3x 由于 S 自=S 摩 +180， 代入数据，得 x=7 答：摩托车 7 小时追上【例】甲乙两人都以不变的速度在 400 米环形跑道上跑步， 两人在同一地方同时出发同向而行，甲的速度为 100 米 /分，乙的速度是甲速度的 3/2 倍，问经过多长时间后两人首次相遇？第二次相遇呢？首先要相遇，肯定是乙超了甲足足一圈乙的速度：间为 X150X-100X=400X=8设第二次相遇经过时间为100*3/2=150m/min设第一次相遇经过时Y150Y-100Y=400*2Y=16（2）相遇问题：甲走的路程+乙走的路程＝两地间的距离【例】甲乙两站之间相距360 千米，上午 9 点 1 刻，一辆慢车和一辆快车分别分别从两站相向开往对方车站，经过 3 小时相遇，已知快车速度是慢车的 1.5 倍，问两车在什么时刻相距90千米？设慢车速度为V ，则快车速度为 1.5V ，相约90 千米所用时间为 t列方程 1 。

vt+1.5vt=360km(t=3h) 求得慢车速度 V=120km/h 列方程 2。

vt+1.5vt=250km(v=120km/h,t 为两车运行时间）求得时间 t=5/6 小时【例】上午 8 时，甲乙两人从 A 、B 两地同时出发，相向而行，上午 9 时，两人相距54km ，两人继续前进，到上午11 时，两人又相距54km，已知甲每小时比乙多走3km ，求 A 、B 两地的距离。

分析如下：两地距离不变，据此可列等式。

9 时的时候，甲走的距离加乙走得距离加54 就等于两地的距离11 时的时候，根据题意，甲乙已经相遇了一次，两人走得距离相加比两地距离还多了一个54.解：设乙速度Xkm/ 小时，则甲速度（X+3 ） km/ 小时 .根据题意可列方程X+(X+3)+54=3X+3(X+3)-54 解得X=25.5 所以两地距离为X+(X+3)+54=108km（3）航行问题：①顺风（水）速度＝静风（水）中的速度+风（水）速度②逆风（水）速度＝静风（水）中的速度 - 风（水）速度引申：在静风（水）中的速度＝（顺风（水）速度+逆风（水）速度）风（水）中的速度＝（顺风（水）速度-逆风（水）速度）【例】3、利润问题销售毛利率 =（销售收入 -营业成本） /销售收入 *100%（1）商品利润＝商品售价－商品成本价（进价）＝商品的成本价（进价）×商品利润率（2）商品利润率＝商品利润 /商品成本价（进价）×100%（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8 折出售，即按原标价的 80%出售．15.2%的售价打折出售，【例】某商品的进价是250 元，标价为 320 元，商店要求保持利润率则可以打几折出售此商品？设打折 x 销售，则320*x=250*(1+15.2%)320x=288x=288 ÷ 320x=0.9【例】一种商品的买入单价为1500 元，如果出售一件商品获得的毛利润是卖出单价的15％，那么这种商品出售单价应定为多少元？（精确到 1 元）这种商品出售单价应定为x 元,0.15x=x- 1500x=1764.71≈1765【例】某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品 .经过市场调查发现,如果月初出售,可获利15%,并可用本和利再投资其他商品,到月末又可获利10%;如果月末出售可获利30%,但要付出仓储费用700 元 .请问根据商场的资金状况 ,如何购销获利最多？设商场的资金为 x 元月初出售，获利为：x* （ 1+15% ）（1+10% ） -x=0 ·265x 月末出售，获利为：x*0 ·3-700=0·3x-700 令 0·265x=0·3x-700 解得 x=20000 当商场的资金为20000 元时，月初出售和月末出售获利一样多令0·265x＞ 0·3x-700 解得 x＜ 20000 当商场的资金少于20000 元时，月初出售获利多令 0·265x＜ 0·3x-700 解得 x＞ 20000 当商场的资金多于20000 元时，月末出售获利多【例】某商店有一套运动服，按标价的8 折出售仍可获利20 元，已知这套运动服的成本价为 100 元，问这套运动服的标价是多少元？考点：一元一次方程的应用．专题：销售问题．分析：设这套运动服的标价是x 元．此题中的等量关系：按标价的8 折出售仍可获利 20 元，即标价的 8 折 -成本价 =20 元．解答：解：设这套运动服的标价是x 元．根据题意得： 0.8x-100=20 ，解得： x=150 ．答：这套运动服的标价为150 元．点评：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．【例】某企业生产一种产品，每件成本为400 元，销售价为510 元，本季度销售了m 件，为进一步扩大市场，该企业决定在降低销售价的同时降低成本，经过市场调研，预测下季度这种产品每件销售价降低4%，销售将提高10%，要使销售利润（销售利润 =销售价 -成本价）保持不变，该产品每件的成本价应降低多少元？考点：一元一次方程的应用．专题：应用题；经济问题．分析：此题文字叙述量大，要审清题目，找到等量关系：销售利润（销售利润= 销售价 -成本价）保持不变，设该产品每件的成本价应降低x 元，则每件产品销售价为510 （1-4% ）元，销售了（ 1+10%） m 件，新销售利润为 [510（ 1-4% ） -（ 400-x ） ] ×（ 1+10% ）m 元，原销售利润为（ 510-400） m 元，列方程即可解得．解答：解：设该产品每件的成本价应降低 x 元，则根据题意得[510 （ 1-4%） -（ 400-x） ] ×m（ 1+10% ）=m （ 510-400 ），解这个方程得 x=10.4 ．答：该产品每件的成本价应降低10.4 元．4、利息问题利息＝本金×利率×期数本息和＝本金 +利息税后利息＝利息-利息×利息税率【例】小华将勤工俭学挣得的100 元钱按一年定期存入银行，到期后取出50 元来购买学习用品，剩下的50 元和应得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的年利率又下调到原来的一半，这样到期后可得本息和63 元，求第一次存款的年利率（不计利息税）．考点：一元一次方程的应用．专题：应用题；增长率问题．分析：要求存款的年利率先设出未知数，再通过等量关系就是两年的本金加上利息减去够买学习用品的钱等于最后的本息之和．解答：解：设第一次存款的年利率为x ，则第二次存款的年利率为x2 ，第一次的本息和为（100+100×x）元．由题意，得（ 100+100×x-50 ）×x2+50+100x=63 ，解得 x=0.1 或 x= -135（舍去）．答：第一次存款的年利率为10% ．点评：解题的关键要理解题的大意，特别是第二次到期的本息为50+100x ，很多同学都会忽略 100x ，根据题目给出的条件【例】某小店老板从面包厂购进面包的价格是每个0.6 元，按每个面包 1.0 元的价格出售，卖不完的以每个0.2 元于当天返还厂家，在一个月（30 天）里，小店有20 天平均每天卖出面包 80 个，其余10 天平均每天卖出面包 50 个，这样小店老板获纯利600 元，如果小店老板每天从面包厂购进相同数量的面包，求这个数量是多少？考点：一元一次方程的应用．专题：经济问题．分析：由题意得，他进的包子数量应在50-80 之间；等量关系为：（ 20×进货量+10×50）×每个的利润-（进货量-50）×10×每个赔的钱=600；据此列出方程解可得答案．解答：解：设这个数量是x 个．由题意得：（20x+500 ）×（1-0.6）-（x-50 ）×10×（0.6-0.2）=600 ，解得： x=50．故这个数量是 50 个．方法二：抓住数学术语找等量关系1、和差关系和倍数关系常用“一共有”、“比多”、“比少”、“是的几倍”等术语表示，增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量。

在解题时可抓住这些术语去找等量关系，按叙述顺序来列方程。

【例】2009 年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为 5.8 亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的 3 倍还多0.6 亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米？考点：一元一次方程的应用．专题：应用题．分析：等量关系为：居民家庭用水=生产运营用水的 3 倍 +0.6．解答：解：设生产运营用水x 亿立方米，则居民家庭用水（ 5.8-x ）亿立方米．依题意，得 5.8-x=3x+0.6 ，解得： x=1.3 ，∴ 5.8-x=5.8-1.3=4.5 ．答：生产运营用水1.3 亿立方米，居民家庭用水 4.5 亿立方米．点评：解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系．本题也可根据“生产运营用水和居民家庭用水的总和为 5.8 亿立方米”来列等量关系．【例】小刚在商场发现他喜欢的随身听和书包单价之和是452 元，并且随身听的单价比书包单价的 4 倍少 8 元．求小刚喜欢的随身听和书包的单价．考点：一元一次方程的应用．专题：应用题；经济问题．分析：本题的关键语“随身听和书包单价之和是452 元，并且随身听的单价比书包单价的4倍少 8 元”，即随身听的单价=书包单价×4-8．依此等量关系列方程求解．解答：解：设随身听单价为x 元，则书包的单价为（ 452-x）元，列方程得： x=4（ 452-x ）-8，解得： x=360 ．当 x=360 时， 452-x=92【例】有一火车以每分钟 600 米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多 5 秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的 2 倍短 50 米，试求各铁桥的长．解：设第一铁桥的长为 x 米，那么第二铁桥的长为（2x-50 ）米， ?过完第一铁桥所需的时间为分．过完第二铁桥所需的时间为分．依题意，可列出方程+ = 解方程 x+50=2x-50 得 x=100 ∴ 2x-50=2×100-50=150 答：第一铁桥长100 米，第二铁桥长 150 米．【例】《一千零一夜》中有这样一个段文字：有一群鸽子，其中有一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽子群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子一样多”。