整式的乘除讲义整章

一 整式的乘除一、同底数幂的乘法1．同底数幂的乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即：m n m na a a +⋅=（m ，n 都是正整数）。

这个公式的特点是：左边是两个或两个以上的同底数幂相乘，右边是一个幂，指数相加。

注意：（1）同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数.（2） 在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算.公式拓展： p n m a a a ⋅⋅= 。

【典型例题】例1：计算：（1）821010⨯； （2）23x x ⋅-（-）（）； （3）32)(x x -⋅例2：计算：（1）)()()(32b a a b b a +⋅+⋅+ （2）23x 2y y x -⋅（）（2-）（3）)()()(25y x x y y x -⋅-⋅- （4）n 2n 1n a a a a ++⋅⋅⋅总结()()(),n nn a n a a n ⎧⎪-=⎨-⎪⎩为偶数,为奇数 ()()()()()n n n b a n a b b a n ⎧-⎪-=⎨--⎪⎩为偶数为奇数 例3、计算：31213)(2x x x x x x n n n ⋅+⋅--⋅-+ 4236)()()()(a a a a -⋅-⋅-⋅-例4：已知x 22m +=，用含m 的代数式表示x 2。

【变式练习】(1) –ｘ2·(-ｘ3) (2) –ａ·(-ａ)2·ａ3(3) –ｂ2·(-ｂ)2·(-ｂ)3 (4) ｘ·(-ｘ2)·(-ｘ)2·(-ｘ3)·(-ｘ)3(5) 1+-•n n x x x (6)x 4－m ·x 4+m ·(-x)(7) x 6·(-x)5-(-x)8 ·(-x)3 (8) -ａ3·(-ａ)4·(-ａ)52 逆用同底数幂的法则逆用法则为：n m n m a a a•=+（m 、n 都是正整数） 【典型例题】1．（1）已知x m =3，x n =5，求x m+n 。

（2）：已知x m =3，x n =5，求x2m+n ；（3）：已知x m =3，x2m+n =36，求x n 。

【变式练习】1、已知43=a ，32434=+b a ，试求b 的值。

2、已知72,52==b a ，则，.______2_____,2______,222===++a b b a 3、若n m ,为正整数，且,3222=⋅nm 求n m ,的值。

二．幂的乘方（重点）幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如53a （）是三个5a 相乘，读作a 的五次幂的三次方。

幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即m n mn a a =（）（m ，n 都是正整数）。

【典型例题】例1、填空：.______)()(,__________])[(____,)(35224223=⋅=-=-x x y x x 例2、计算：321212)(--+⋅⋅n n n a a a23422225)()()()(2a a a a ⋅--⋅-例3、已知,)(1135a a a m =⋅则._______=m 例4、____________1682245=⋅⋅ 例5、310,210==n m ，则______10=+n m ，______102=m ，_______1023=+n m 例6、将2550245和化成指数相同的幂的形式，并比较它们的大小。

若3344555,4,3===c b a ，试利用上述方法比较c b a ,,大小例7、已知484212=++m m ，试求m 的值。

例8、已知的值。

求y x y x 324,0352⨯=-+【变式练习】1、填空：__________])([_____,)(____,)(323223=--=-=y x x a ()________)(,216,28723)(23=⋅-==x x2、若32=a ，则________________,86==a a 3、3,2:==n m a a 已知，则.___________________,_______,322===+++n m n m n m a a a 4、计算：2844754)()(5)(7x x x x x -+-⋅5、试比较7510032与的大小。

三．积的乘方（重点）1.积的乘方的意义：指底数是乘积形式的乘方。

如：()()()()3ab ab ab ab =⋅⋅积的乘方法则：积的乘方，等于把积得每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

如：n n n ab a b ⋅（）= 注：法则中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式；运用该法则时，注意系数为-1时的“-”号的确定；三个或三个以上因式的乘方，也具有这一性质；该法则可逆用，即 ，逆向运用可将算式灵活性变形或简化计算。

法则的推导().().()...()(....)(....)n n nn ab n a n b ab a b ab ab ab a a a b b b ===个个个【典型例题】例1、填空：__________)21(_________,)2(_____,)(233324=-=-=-xybaxy例2、计算：2232)43()2(xyx⋅-2324)3()2(mmm-⋅⋅2. 逆用公式和推广（1）公式可以逆用，()n n na b ab=，()mn m na a=（m，n是正整数），例如：15355551133311 3(3),3(3),5(5) ===（2）底数为三个或三个以上的因数时，也可以运用此法则，即()n n n nabc a b c=（n是正整数）（3）当运用积的乘方法则计算时，若底数互为倒数，则可适当变形。

【典型例题】例3、已知53,32==aa，求a12的值例4、计算：20132012)34(75.0-⋅31515)2()125.0(⋅-例5、已知_________,021220122011=⋅=++-baba则例6、计算：3372323)3()4()3(aaaaa-⋅-+⋅-201320122011)1(5.1)32(-⨯⨯【变式练习】1：计算（1）()()2332x x-⋅-；（2）()4xy-；（3）()3233a b-2：已知a b105,106==，求2a3b10+的值。

3：计算（1）201120109910010099⎛⎫⎛⎫⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()315150.1252⨯四．单项式与单项式相乘（重点）法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式例含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

注意：1.单项式与单项式相乘时，要先把各个单项式的系数相乘，作为积的系数，要注意系数的符号2.相同字母相乘时，实际上就是按照同底数幂的乘法法则进行，即底数不变，指数相加3.对于只在一个单项式里含有的字母，一定要把它连同指数写在积中，作为积的因式，切记不要将它漏掉4.单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用5.单项式乘单项式的结果仍然是单项式【典型例题】例1：计算（1）2213ab a b2abc3⎛⎫⋅-⋅⎪⎝⎭; (2)()()n1n212x y3xy x z2+⎛⎫-⋅-⋅-⎪⎝⎭;(3)()()32 2216m n x y mn y x3-⋅-⋅⋅-【变式练习】1.计算：（1）()26433x y x y⎛⎫-⎪⎝⎭（2）4y（－2xy2）；（3）．（2m2n）2+（－mn）（－13m3n）（4）.(-3/2ab)·(-2a)·(-2/3a2b2)（5）.(2×105)2·(4×103) （6）.(-4xy)·(-x2y2)·(1/2y3) （7）.(-1/2ab2c)2·(-1/3ab3c2)3·(12a3b)（8）.(-2x n+1y n)·(-3xy)·(-1/2x2z)（9）x2y·（－3xy2z）·（－2xy2）（10）（－x3）2·（－3xy）·（2y2）3五.单项式与多项式相乘（重点）法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

用式子表示为()m a b c ma mb mc++=++（m，a，b，c都是单项式）。

注意：1.法则中的每一项的含义是不重不漏的2.在运算过程中，要注意各项的符号，尤其是负号的情形3.非零单项式与多项式相乘的结果仍是一个多项式，积的项数与因式中多项式的项数相同【典型例题】例1.计算（1）2322)(xyyx-⋅（2）)()41()21(22232yxyxyx-⋅+-（3）)47(123)5(232yxyxxy-⋅-⋅-例2.化简23223)4()()6()3(5aabababbba-⋅--⋅-+-⋅例3.已知：81,4-==y x ，求代数式52241)(1471x xy xy ⋅⋅的值.例4.已知：693273=⋅m m ，求m.【变式练习】1.(1)(3a 5b-4a 2b 3-6ab 4)·27()3a b ； (2) ；42334221(75)(3)6xy x y x y xy -+-（3）(3x 2m y n-3-5x m y2n+1)·(-4x m-2y 5)；2．化简求值：-ab ·（a 2b 5-ab 3-b ），其中ab 2=-2。

6；多项式乘多项式（1）多项式乘以多项式的法则是由单项式乘以多项式的法则求出，因此两个多项式相乘只要把其中一个多项式看作单项式即可。

例如(a+b)(c+d)可以将(a+b)看成单项式转化为单项式乘以多项式法则去计算。

如：=(a+b)c+(a+b)d=ac+bc+ad+bd。

（2）为避免丢项，也可以用第一个多项式的每一项依次去乘第二个多项式的每一项，在没有合并同类项之前，积的项数等于这两个多项式项数之积。

如：=ac+bc+ad+bd。

项数为2×2=4项。

（3）对于型如(x+a)(x+b)的积要注意它的特殊性，即(x+a)(x+b)=x2+bx+ax+ab=x2+(a+b)x+ab, 这就是说，含有一个相同字母的两个一次二项式相乘，得到的积是同一个字母的二次三项式。

注意：1.必须做到不重不漏，计算时按一定的顺序2.应确定积中每一项的符号3.多项式与多项式相乘时，如有同类项要合并【典型例题】例1．计算：( a- b)( a+ b)例2．化简求值：(x+2)(x-3)-2(x-6)(x+5)-3(x2-5x+17) ，其中 x=5 .例3．当(x2+mx+8)(x2-3x+n)展开后，如果不含x2和x3的项，求出(-m)3n的值。