抛物线的几何性质教师用

第5节 抛物线及其标准方程

撰写： 审核：

三点剖析：

一、教学大纲及考试大纲要求：

1． 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的几何性质；

2． 了解抛物线在实际问题中的初步应用；

3． 进一步理解抛物线的方程、几何性质及图形三者之间

的内在联系。

二、重点与难点

重点： 抛物线的定义和标准方程 难点：求抛物线的标准方程

三、本节知识理解

设抛物线的标准方程y 2=2px (p ＞0)，则

（1）.范围：则抛物线上的点(x ,y )的横坐标x 的取值范围是x ≥0.,在轴右侧抛物线向右上方和右下方无限延伸。

（2）.对称性：这个抛物线关于轴对称，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.

（3）．顶点：抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点，这个抛物线的顶点是坐标原点。

（4）．离心率；抛物线上的点与焦点的距离和它的准线的距离的比叫做抛物线的离心率，其值为1.

（5）.在抛物线y 2

＝2px （p ＞0）中，通过焦点而垂直于x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为),2

(

),,2

(

p p p p -，连结这

两点的线段叫做抛物线的通径，它的长为2p .

（6）.平行于抛物线轴的直线与抛物线只有一个交点. 但它不

是双曲线的切线.

2．抛物线和椭圆、双曲线的比较

（1）.抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大.它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它无中心，也没有渐近线.

（2）.椭圆、双曲线都有中心，它们均可称为有心圆锥曲线.抛物线没有中心，称为无心圆锥曲线.

精题精讲

【例1】已知抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M (3，－23)，求它的标准方程.

【解】∵抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M (3，－23)，

∴可设它的标准方程为x 2

=－2py (p ＞0).

又∵点M 在抛物线上，∴(3)2=－2p (－23)，

即p =

4

3.

因此所求方程是x 2

=－

4

3y .

【点评】本题关键是能够依据抛物线的几何性质首先确定出抛物线方程的形式，然后采用待定系数法即可求出其标准方程. 【例2】已知双曲线的方程是

9

8

2

2

y

x

-

=1，求以双曲线的右顶点

为焦点的抛物线标准方程及抛物线的准线方程.

【解】∵双曲线

9

8

2

2

y

x

-

=1的右顶点坐标是(22，0).

∴

222

=p ,且抛物线的焦点在x 轴的正半轴上.

∴所求抛物线的方程和准线方程分别为y 2

=82x ,x =－22. 【点评】本题考查的都是双曲线的基本知识.

【例3】A 为抛物线y 2=－

2

7x 上一点，F 为焦点，｜AF ｜=14

8

7，

求过点F 且与OA 垂直的直线l 的方程.

【解】设A （x 1,y 1）, ∵2p =

2

7,∴F 的坐标是(－

8

7，0).

∵｜FA ｜=14

8

7,∴

8

714

2

1=-x p ,

∴x 1=－14,代入抛物线方程y 2=－

2

7x ,得y 1=±7.

∴A 点的坐标是(－14，7)或(－14，－7). ∵2

1-

=OA k 或2

1=

OA k 且OA ⊥l

∵k l =2或k l =－2. ∵l 过焦点F (－

8

7，0).

∴l 的方程是y =2(x +

8

7)或y =－2(x +

8

7)，

即8x －4y +7=0或8x +4y +7=0.

【点评】有关抛物线上的点与其焦点的距离问题,抛物线的定义一般是解决问题的入手点.

【例4】抛物线y 2=12x 中，一条焦点弦的长为16，求此焦点弦所在直线的倾斜角.

【解】抛物线的焦点坐标是(3，0)，

设焦点弦所在的直线方程是y =k (x －3).

由方程组???-==),

3(122

x k y x

y

得y 2－

k

12y －36=0.

∴直

线

被

抛

物

线

截

得

的

弦

长

为

364)12(

11||112

2

212

?++

=

-+

k

k

y y k

)11(12k

+

=.

∵焦点弦长为16，∴由12(1+2

1k

)=16得，k =±3. ∴焦点弦所在直线的倾斜角为60°或120°.

【例5】.已知抛物线y 2=2px 上有三点A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）、C （x 3,y 3）且x 1＜x 2＜x 3，若线段AB 、BC 在x 轴上射影之长相等，求证：A 、B 、C 三点到焦点的距离顺次成等差数列. 【证明】根据题意，得x 2－x 1=x 3－x 2，

即x 1、x 2、x 3成等差数列， 又由抛物线

的

定

义

得

：

2

||,2

||,2

||321p x CF p x BF p x AF +

=+

=+

=.

∵2｜BF ｜=2x 2＋(2

2

p p +)=2x 2+p ,

｜AF ｜+｜BF ｜=x 1+x 3+p =2x 2＋p =2｜BF ｜. ∴｜AF ｜、｜BF ｜、｜CF ｜成等差数列.

【例6】设抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴.

证明：直线AC 经过原点O,

【证明】∵抛物线的焦点为F （

2

p ，0），

∴经过点F 的直线AB 的方程可设为x=my+2

p ，代入抛物线

方程，得y 2-2pmy-p 2=0.

设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，则y 1、y 2是该方程的两根，∴y 1y 2=-p 2.

∵BC ∥x 轴，且点C 在准线x=-2p 上，∴点C 的坐标为（-2

p

，

y 2）.

∴直线OC 的斜率为k=

1

11

222x y y p p y ==-，即k 也是直线OA

的斜率.

∴直线AC 经过原点O.

【点评】本题若设直线AB 的点斜式方程也可以，但必须还要讨论斜率k 不存在的情况，另外，证明直线AC 过原点O ，这里是利用了直线OC 与直线AC 的斜率相等，非常简捷，如若写出直线AC 的方程，通过（0，0）适合方程来证明，将较复杂.

【例7】A 、B 是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点，满足OA ⊥OB （O 为坐标原点）.求证：

（1）A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；

（2）直线AB 经过一个定点. 【证明】（1）设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，则y 12=2px 1、y 22=2px 2. ∴OA ⊥OB,∴x 1x 2+y 1y 2=0，y 12y 22=4p 2x 1x 2=4p 2·(-y 1y 2). ∴y 1y 2=-4p 2，从而x 1x 2=4p 2也为定值.

（2）∵y 12-y 22=2p(x 1-x 2)，∴

2

12

1212y y p x x y y +=

--.∴直线AB 的

方程为y-y 1=

2

12y y p +(x-x 1),

即y=

2

12y y p +x-

2

12y y p +·

p

y 22

1

+y 1，y=

2

12y y p +x+

2

121y y y y +，

亦即y=

2

12y y p

+(x-2p).∴直线AB 经过定点（2p ，0）.

【点评】本例的证明还可以设OA 的方程为y=kx ，OB 的方程为y=-k

1

x ，由OA 的方程与抛物线的方程联立求得A 点的坐标，

再由OB 的方程与抛物线的方程联立求得B 点的坐标，利用A 、B 的坐标证明.

【例8】给定抛物线y 2=2x ,设A (a ,0),a ＞0，P 是抛物线上的一点，且｜PA ｜=d ,试求d 的最小值. 【解】设P (x 0,y 0),（x 0≥0）， 则y 02=2x 0，

∴d =|PA |=

1

2)]1([2)()(2

002

02

02

0-+-+=

+-=

+-a a x x a x y a x .

∵a ＞0,x 0≥0，

∴(1)当0＜a ＜1时，1－a ＞0，

此时当x 0=0时，d 最小=12)1(2

-+-a a =a . （2）当a ≥1时，1－a ≤0，

此时当x 0=a －1时，d 最小=

12-a .

【点评】虽然d 的目标函数f (x 0)是根号下关于x 0的二次函数，但由于x 0和a 都有限制条件，必须分类讨论求最小值，否则会出错.

. 【例9】过抛物线y 2=6x 的顶点作互相垂直的两条直线，交抛物线于A 、B 两点，求线段AB 中点的轨迹方程.

【解】设线段AB 中点P （x ，y ），OA 的斜率为k ，则直线OA 的方程为y=kx ，由

???==，x y kx y 6,2

得???==0,0y x 或???

????

==,

6,62k y k

x 依题意得A 点的坐标为A （

2

6k

，

k

6）.

∵OA ⊥OB ，∴OB 的斜率为-k

1，直线OB 的方程为y=-

k

1x.

由??

???=-=,

6,12x y x k

y 得???==0,0y x 或???-==.6,62

k y k x ∴B 点的坐标为（6k 2，-6k ）.线段AB 中点P （x ，y ）满足

??????

?-=+=),66(21),66(212

2k k y k k x ???

???

?-=+=),

1(3),1(32

2k k y k k

x ②式平方后减去①×3，得 y 2=3x-18为所求.

【例10】过抛物线y 2

=2px(p>0)的焦点作倾斜角为θ的直线l ，设l 交抛物线于A 、B 两点，求|AB|.

【解】当θ=90°时，直线AB 的方程为x=2p

，由?

?

?

??==,2,22

p

x px y 得A(

2p

,-p)、B(

2p

，p).

∴|AB|=2p.

当θ=90°时，直线AB 的方程为y=(x-2

p )tanθ.由??

?

?

?=-=,2,tan )2(2px y p x y θ得 tan 2θ·x 2-(2p+ptan 2θ)x+

4

2

p

·tan 2θ=0.

设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则x 1+x 2=θ

θ

θ

2

2

2

sin 2tan tan 2p p p =

+.

【点评】求过抛物线焦点的弦长问题，一般是把弦分成两条焦半径得用焦半径公式结合韦达定理来求.

【例11】过抛物线的焦点F 作不垂直于对称轴的直线交抛物线于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交对称轴于N ，求证：｜AB ｜=2｜NF ｜.

【证明】设抛物线方程为y 2=2px (p ＞0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),AB 的中点为

M （x 0,y 0）.则y 12=2px 1,y 22=2px 2.

两式相减并整理得

2

12

1212y y p x x y y +=

--.

∵M 是AB 的中点， ∴

00

2

12122y p y p x x y y =

=

--.

∵MN ⊥AB ，∴k MN =－p

y 0.

∴直线MN 的方程为y －y 0=－

p

y 0 (x －x 0),

令y =0得N 点的横坐标x N =x 0+p . ∴2

2

||0p x p x NF N +

=-

=.

又｜AB ｜=｜AF ｜+｜BF ｜=x 1+x 2+p =2(x 0+

2

p ).

∴｜AB ｜=2｜NF ｜.

【点评】当A 、B 两点都在曲线上时，求直线AB 的斜率，可把A 、B 两点的坐标代入曲线的方程并把得到的两式相减.

【例12】已知过抛物线y 2=2px (p ＞0)的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，点R 是含抛物线顶点O 的弧AB 上一点，求△RAB 的最大面积.

分析：求RAB 的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以|AB |为三角形的底，只要确定高的最大值即可.

解：设AB 所在的直线方程为y =x -2

p .

将其代入抛物线y 2=2px ,得y 2

-2py -p 2

=0 ∴|AB |=2|y 1-y 2|

=2·p y y y y 44)(21221=-+

当过R 的直线l 平行于AB 且与抛物线相切时，△RAB 的面积

有最大值.

设直线l 方程为y =x +b .

代入抛物线方程得y 2-2py +2pb =0

由Δ=4p 2-8pb =0，得b =

2

p

这时R （2

p ,p ）.它到AB 的距离为h =

2

2p

∴△RAB 的最大面积为

2

1|AB |·h =2p 2.

.

【例13】已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，

一条渐近线方程为y=x ，且过点（4，-10）.

（1）求双曲线方程；

（2）若点M （3，m ）在此双曲线上，求1MF ·2MF ； （3）求ΔF 1MF 2的面积.

【解】（1）由题意知，双曲线的方程是标准方程. ∵双曲线的一条渐近线方程为y=x ，∴设双曲线方

程为x 2-y 2=λ.

（4，-10）代入双曲线方程得把

点

42-(-10)2=λ,λ=6.

∴所求双曲线方程为x 2

-y 2

=6.

（2）由

（1）知双曲线方程为x 2-y 2=6，

∴双曲线的焦点为F 1(-23,0)、F 2(23,0).

∵M 点在双曲线上，∴32-m 2=6，m 2=3.

∴1MF ·2MF =(-23-3,-m)·(23-3,-m)=(-3)2-(23)2+m 2=-3+3=0.

（3）∵1MF ·2MF =0，∴MF 1⊥MF 2.∴ΔF 1MF 2为直角三角形. ∵|1MF |=2

2)()332(m -+--=31224+， |2MF |=2

2)()332(m -+-=31224- ∴2

1

MF F S ?=

2

1|1MF |·|2MF |=

2

131224+

·

图8—13

① ②

31224-=6.

【点评】本例（1）的解法中利用了“如果双曲线的渐近线为y=±

a

b x 时，那么双曲线的方程可设为

2

22

2b

y a

x -

=λ（λ≠0）”

这一结论.

【例14】直线l 1过点M （-1，0），与抛物线y 2

=4x 交于P 1、

P 2两点，P 是线段P 1P 2的中点，直线l 2过P 和抛物线的焦点F ，设直线l 1的斜率为k .

(1)将直线l 2的斜率与直线l 1的斜率之比表示为k 的函数f (k );

（2）求出f (k )的定义域及单调区间.

分析：l 2过点P 及F ，利用两点的斜率公式，可将l 2的斜率用k 表示出来，从而写出f (k )，由函数f (k )的特点求得其定义域

及单调区间.

解：（1）设l 1的方程为：y =k (x +1).将它代入方程y 2=4x ,得 k 2x 2+(2k 2-4)x +k 2=0

设P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)、P (x ,y ) 则x 1+x 2=

2

2

2

2

2,24k

k x k

k -=

-

将x =

2

2

2k

k -代入y =k (x +1)，

得：y =

k

2，即P 点坐标为（

2

2

2k

k -,

k

2).

由y 2=4x ,知焦点F （1，0）

∴直线l 2的斜率k 2=k

k k

k k -=--11

222

2

∴函数f (k )=

k

k -1.

(2)∵l 1与抛物线有两个交点， ∴k ≠0且Δ=(2k 2-4)2-4k 4＞0 解得-1＜k ＜0或0＜k ＜1

∴函数f (k )的定义域为 {k |-1＜k ＜0或0＜k ＜1}

当k ∈(-1,0)及k ∈(0,1)时，f (k )为增函数.

【例15】设过抛物线y 2=2px (p ＞0)的顶点O 的两弦OA 、OB 互相垂直，求抛物线顶点O 在AB 上射影N 的轨迹方程. 分析：求与抛物线有关的轨迹方程，可先把N 看成定点（x 0,y 0)；待求得x 0、y 0的关系后再用动点坐标（x ,y )来表示，也可结合几何知识，通过巧妙替换，简化运算.

解法一：设A （x 1,y 1),B (x 2,y 2),N (x 0,y 0)，则

y 12=2px 1,y 22=2px 2

∴x 1x 2=

22

22

14p

y y ?

∵OA ⊥OB

∴k OA ·k OB =-1即x 1x 2+y 1y 2=0 ∴

22

22

14p

y y +y 1y 2=0

∵y 1y 2≠0

∴y 1y 2=-4p 2 ①

把N 点看作定点，则AB 所在的直线方程为：

y -y 0=-0

0y x (x -x 0),显然x 0≠0

∴x =

2

0200)

(x y x y y -+-代入y 2=2px ，化简整理得：

x 0y 2+2py 0y -2p (x 02+y 02)=0 ∴x 0≠0

∴y 1y 2=

2

020)

(2x y x p +- ②

由①、②得：-4p 2

=0

2

020)

(2x y x p +-.化简得x 02+y 02-2px 0=0(x 0

≠0)

用x 、y 分别表示x 0、y 0得 x 2+y 2-2px =0(x ≠0)

解法二：点N 在以OA 、OB 为直径的两圆的交点（非原点）的轨迹上，设A （2pt 2,2pt )，则以OA 为直径的圆方程为：

(x -pt 2)2+(y -pt )2=p 2(t 4+t 2)即

x 2+y 2-2pt 2-2pty =0 ①

设B （2pt 12

,2pt 1）,OA ⊥OB ，则t 1t =-1?t 1=-t

1

在求以OB 为直径的圆方程时以-t

1代t 1，可得

t 2(x 2+y 2

)-2px +2pty =0 ② 由①+②得：(1+t 2)(x 2+y 2-2px )=0 ∵1+t 2≠0

∴x 2+y 2

-2px =0(x ≠0)

【例16】如图8—14，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1.以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等.若△AMN 为锐角三角形，｜AM ｜=17，｜AN ｜=3，且｜BN ｜=6.建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程.

【解法一】以l 1为x 轴，MN 的中点O 为原点建立如图的平面坐标系.由题意可知，曲线段C 所在的抛物线在直角坐标系中的位置是标准的，并且点N 是该抛物线的焦点，l 2是准线.所以可令抛物线的方程为y 2=2px (p ＞0).过点A 作AQ ⊥l 2，AE ⊥l 1，垂足分别为Q 和E ，由于△AMN 是锐角三角形，则点E 必在线段MN 上.所以，｜AQ ｜=｜AN ｜=3，

∵｜AM ｜=17,

∴｜QM ｜=22||||2

2

=-AQ AM ,

｜AE ｜=｜QM ｜=22,｜EN ｜=2

2

||||AE AN -=1. ∴p =｜MN ｜=｜ME ｜+｜EN ｜=｜AQ ｜+｜EN ｜=4. ∴抛物线方程为y 2=8x .

由上述可知｜OE ｜=1，点B 到准线l 2的距离为6，则点B 的横坐标为4，又曲线段在x 轴上方，故曲线段C 的方程为y 2

=8x (1≤x ≤4,y ＞0).

【解法二】以l 1为x 轴，l 2为y 轴建立如图8—15的直角坐标系，其中M 点为原点，这时焦点N 在x 轴上，顶点O ′应是线段MN 的中点.令曲线段C 所在的抛物线方程为：

y 2=2p (x －x o ′)(p ＞

0).

设A ),2

2(

12

1

y p p

y +,

B ),2

2(

22

2

y p p

y +

,则

???????????=+-=+-=++.

36)22(,9)22(

,17)22(2

222

22

122

12

122

1y p p

y y p p

y y p p y 由①－②得y 12=8, 代入①得（

2

4p p

+

）2=9,

∴8+p 2=6p .

∵p ＞3,∴p =4. ∵y 1＞0,∴y 1=22, 代入③得y 2=42.

∴曲线段C 的方程为y 2=8(x －2)(22≤y ≤42).

【点评】该例题给出的条件比较简明、直接，由抛物线的概念，可知曲线段C 是一段抛物线弦.因此，入手不难.关键的问题是怎样建立适当的坐标系，使得解答过程简单.此例还应注意方程中x 或y 的取值范围.

基础达标

一、选择题

1.顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线，过点(－2，3)，则

它的方程是（ ）

A.x 2=－

2

9y 或y 2=

3

4x

B.y 2=－

29x 或x 2=

3

4y

C.x 2=

3

4y

D.y 2=－

2

9x

【解析】∵抛物线的顶点在原点，坐标轴为对称轴，

∴抛物线的方程为标准形式. 当抛物线的焦点在x 轴上时， ∵抛物线过点(－2，3)， ∴设抛物线的方程为y 2=－2px (p ＞0)， ∴32=－2p (－2),∴p =

4

9.

∴抛物线的方程为y 2=－

2

9x .

当抛物线的焦点在y 轴上时， ∵抛物线过点(－2，3)， ∴设抛物线的方程为x 2=2py (p ＞0). ∴(－2)2

=2p ·3,∴p =

3

2.

∴抛物线的方程为x 2

=3

4y .

【答案】B

2.以x 轴为对称轴，抛物线通径的长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程是（ ）

A.y 2=8x

B.y 2=－8x

C.y 2=8x 或y 2=－8x

D.x 2=8y 或x 2=－8y

【解析】∵通径长为8，∴2p =8.

∵抛物线的轴为x 轴，∴抛物线的方程为y 2

=±8x .

【答案】C

3.抛物线x 2=－4y 的通径为AB ，O 为抛物线的顶点，则（ ） A.通径长为8，△AOB 的面积为4 B.通径长为－4，△AOB 的面积为2 C.通径长为4，△AOB 的面积为4

D.通径长为4，△AOB 的面积为2 【解析】在抛物线x 2=－4y ，∴2p =4即通径的长为4. △AOB 的面积为

2142

12

22

1=??=

?

?p p .

【答案】D

4.已知直线y =kx －k 及抛物线y 2=2px (p ＞0)，则（ ） A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点

D.直线与抛物线可能没有公共点 【解析】∵直线y =kx －k 过点(1，0)，点(1，0)在抛物线y 2=2px 的内部.

∴当k =0时，直线与抛物线有一个公共点；当k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点.

【答案】C

5.等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2=2px (p ＞0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积是（ ）

A.8p 2

B.4p 2

C.2p 2

D.p 2

【解析】∵抛物线的轴为x 轴，内接△AOB 为等腰直角三角形， ∴由抛物线的对称性知，直线AB 与抛物线的轴垂直,从而直线OA 与x 轴的夹角为45°.

由方程组???==px y x y 22得???==00y x 或???==p

y p

x 22.

∴A 、B 两点的坐标分别为(2p ,2p )和(2p ,－2p ). ∴｜A Ｂ｜=4p ,∴S △AOB =

2

1×4p ×2p =4p 2.

【答案】B

6.边长为1的等边三角形AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A 、B 的抛物线方程是（ ）

A.y 2

=

6

3x B.y 2

=－

6

3x C.y 2

=±

6

3x

D.y 2=±

3

3x

【解析】∵△AOB 为边长等于1的正三角形，∴O 到AB 的距离为

2

3，A 或B 到x 轴的距离为

2

1.

当抛物线的焦点在x 轴的正半轴上时，

①

② ③

设抛物线的方程为y 2=2px (p ＞0). ∵抛物线过点(

2

1

,23)， ∴,2

3

2)21(2?=p ∴632=

p .

∴抛物线的方程为y 2

=

6

3x .

当抛物线的焦点在x 轴的负半轴上时， 设抛物线的方程为y 2

=－2px (p ＞0). ∵抛物线过点(－

2

1

,23)， ∴)2

3

(2)21(2-?-=p ,∴2p =63.

∴抛物线的方程为y 2=－6

3x .

【答案】C

7.已知点(x ,y )在抛物线y 2

=4x 上，则z =x 2

+2

1y 2

+3的最小值是

（ ）

A.2

B.3

C.4

D.0

【解析】∵点(x ,y )在抛物线y 2=4x 上，∴x ≥0， ∵z =x 2+

2

1y 2+3＝x 2+2x ＋3＝（x +1）2＋2

∴当x =0时，z 最小，其值为3.

【答案】B

8.过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线，分别交准线于P 、Q 两点，又过P 、Q 分别作抛物线对称轴OF 的平行线，交抛物线于M 、N 两点，则M 、N 、F 三点（ ）

A.共圆

B.共线

C.在另一抛物线上

D.分布无规律 【解析】设M (x 1，y 1)，Ｎ（x 2，y 2），设抛物线方程为y 2＝2px . 则F （

2

p ，0），准线x =－

2

p ,

∴P （－

2

p ，y 1），Ｑ（－

2

p ，y 2）

由PF ⊥QF 得

p

y p y -?

-2

1

＝－1，∴y 1y 2＝－p 2

2

2

1122

2222

2

111122

22

22p

y py p p

y y p x y k p y py p x y k NF MF -=

-

=

-

=

-=

-

=

∴k MF ＝k NF

∴M 、N 、F 共线.

【答案】B 二、填空题

9.若抛物线y 2

＝2px （p ＞0）上一点P 到准线及对称轴的距离分别为10和6，则P 的横坐标为______，p 的值为______. 【解析】∵点P 到对称轴的距离为6，∴设点P 的坐标为(x ,6).(或(x ,－6))

∵点P 到准线的距离为10，∴???

??=+

=102

262

p

x px

,∴???==29p x .或??

?==.

18,

1p x ∴点P 的横坐标为9，p 的值为2.（或P 的横坐标为1，p 值为18.）

【答案】9 2 1 18

10.过(0，－2)的直线与抛物线y 2＝８x 交于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为2，则 ｜AB ｜=______.

【解析】设直线方程为y ＝kx －2，A (x 1，y 1)，B （x 2，y 2）

由???=-=x

y kx y 82

2 得k 2x 2

－４（k ＋2）x ＋４＝0

∵直线与抛物线交于A 、B 两点

∴Δ＝16（k ＋2）2－16k 2＞0 即k ＞－1 又

2

2

1)2(22

k

k x x +=

+＝2

∴k ＝2或k ＝－1（舍） ∴

212

212212

4)(21||1||x x x x x x k AB -+?+=-+=

152)44(52

=-=

.

【答案】215

11.过抛物线y 2=8x 的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得

的弦长为 .

【解析】由抛物线y 2=8x 的焦点为（2，0），得直线的方程为y=x-2，代入y 2=8x 得(x-2)2=8x 即x 2-12x+4=0.∴x 1+x 2=12，弦长=x 1+x 2+p=12+4=16.

【答案】16

【点评】本题用例3的结论：弦长=

?

=

45sin

8sin 22

2

θ

p =16.

12.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上

的点(m ，－2）到焦点的距离等于4，则m 的值为______.

【解析】由于点(m ，－2)在抛物线上，所以抛物线开口向下，设其方程为x 2＝－2py ，则2＋

2

p ＝４，∴p ＝４.抛物线方程为x 2

＝－８y ，把点（m ，－2）代入得m ＝±4.

【答案】±4

13.抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若|AB|=43，则焦点到AB 的距离为 .

【解析】不妨设A （x ，23），则（23）2=4x.∴x=3.∴AB

的方程为x=3，抛物线的焦点为（1，0），∴焦点到准线的距离为2.

【答案】2

三、解答题

14.抛物线x 2=2y 上距离点A （0，a )(a ＞0)最近的点恰好是抛物线的顶点，求a 的取值范围.

【解】设P （x ,y ）为抛物线上任意一点，则

|PA |=

2

22

22

2)1(222)(a

y a y a

ay y y a y x +--=+-+=

-+

12)]1([2

-+--=

a a y

∵a ＞0,∴a －1＞－1

由于y ≥0,且|PA |最小时，y =0

∴－1＜a －1≤0 ∴0＜a ≤1.

15.过定点A (－2,－1)，倾斜角为４5°的直线与抛物线y =ax 2

交于B 、C ，且｜BC ｜是

｜AB ｜、｜AC ｜的等比中项，求抛物线方程.

【解】设A （－2，－1）、B （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在x 轴上的射影分别为A ′（－2，0）、B ′（x 1，0）、C ′（x 2，0）

∵｜BC ｜2＝｜AB ｜·｜AC ｜，∴｜B ′C ′｜2＝｜A ′B ′｜·｜A ′C ′｜于是有

｜x 1－x 2｜2

＝（x 1＋2）（x 2＋2） ①

直线AC 的方程为y =x +1. 代入y =ax 2

并整理得ax 2

－x －1＝0 ∴x 1＋x 2＝

a

1，x 1x 2＝－

a

1 ②

把②代入①得，a ＝1或a =－

4

1.

当a =1时，方程ax 2－x －1＝0根的判别式Δ＞0； 当a =－

4

1时，Δ＝0，B 、C 重合，不合题意，舍去. ∴抛物线方程为y =x 2.

16.过抛物线y 2＝４x 的准线与对称轴的交点作直线，交抛物

线于M 、N 两点，问直线的倾斜角多大时，以线段MN 为直径的圆经过抛物线的焦点.

【解】抛物线y 2＝４x 的准线与对称轴的交点为（－1，0）.设直线MN 的方程为y ＝k （x ＋1）

由???=+=x

y x k y 4)1(2得k 2x 2＋2（k 2－2）x ＋k 2＝0 ∵直线与抛物线交于M 、N 两点. ∴Δ＝４（k 2－2）2－４k ４＞0

即k 2＜｜k 2－2｜，k 2＜1，－1＜k ＜1

设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），抛物线焦点为F (1，0). ∵以线段MN 为直径的圆经过抛物线焦点. ∴MF ⊥NF ∴

1

122

11

-?

-x y x y ＝－1

即y 1y 2＋x 1x 2－（x 1＋x 2）＋1＝0 又x 1＋x 2＝－

2

2

)

2(2k

k -，x 1x 2＝1

y 12y 22＝16x 1x 2＝16且y 1、y 2同号 ∴

2

2

)

2(2k

k -＝－6

解得k 2＝

2

1，∴k ＝±

2

2

即直线的倾斜角为arctan

2

2或π－arctan

2

2时，以线段

MN 为直径的圆经过抛物线的焦点.

综合发展

一、选择题

1.动点P 到点A (0，2)的距离比到直线l ：y =－4的距离小2，则动点P 的轨迹方程为（ ）

A.y 2=4x

B.y 2=8x

C.x 2=4y

D.x 2=8y

【解析】由已知条件可知，点P 与点A 的距离等于它到直线

y =－2的距离.根据抛物线的定义，点P 的轨迹是以A (0，2)为焦点的抛物线.

∵

2

p =2,∴p =4.

因为焦点在y 轴的正半轴上，所以点P 的轨迹方程为x 2=8y . 【答案】D

2.已知抛物线的轴为x 轴，顶点在原点，焦点在直线2x －4y +11=0上，则此抛物线的方程是（ ）

A.y 2=－11x

B.y 2=11x

C.y 2=－22x

D.y 2=22x

【解析】在方程2x －4y +11=0中，令y =0 得x =－

2

11.

∵抛物线的焦点为直线2x －4y +11=0与x 轴交点， ∴

2

112

=

p ,∴2p =22.

∴抛物线的方程为y 2=－22x .

【答案】C

3.抛物线y =8mx 2(m ＜0)的焦点坐标是（ ） A.(

m 81,0) B.(0,

m

321) C.(0,－

m

321)

D.(

m

321

,0)

【解析】把抛物线的方程写成x 2=

m

81y

则2p =－

m

81.

∴抛物线的焦点坐标是(0, m

321).

【答案】B

4.抛物线y 2=8x 的焦点为F ，P 在抛物线上，若｜PF ｜=5，则

P 点的坐标为（ ）

A.(3，26)

B.(3，－26)

C.(3，26)或(3，－26)

D.(－3，2

6)或

(－3，－2

6)

【解析】设P 点的坐标为(x ,y ) ∵｜PF ｜=5,∴2+x =5,∴x =3, 把x =3代入方程y 2

=8x ，

得y 2

=24，∴y =±26，

∴点P 的坐标为(3，±26) . 【答案】C

5.一个正三角形的三个顶点都在抛物线y 2=4x 上，其中一个顶点为坐标原点，则这个三角形的面积为（ ）

A.48

3 B.243 C.

27

3

16

D.

9

3

16

【解析】由抛物线的对称性可知，正三角形的另两个顶点关于x 轴对称，且分别在直线y =

3

3x 与y =－

3

3x 上，由

??

???==x y x

y 3342

得x =12,y =4

3,即三角形的另两顶点分别为（12，

43）与（12，－43）.因此三角形的面积S =12×43=483.

【答案】A

6.已知点A (－2，1)，y 2=－4x 的焦点是F ，P 是y 2=－4x 上的点，为使｜PA ｜+｜PF ｜取得最小值，P 点的坐标是（ ）

A.(－

4

1,1) B.(－2,22) C.(－

4

1,－1)

D.(－2,－22) 【解析】过P 作PK ⊥l (l 为抛物线的准线)

于K ，则｜PF ｜=｜PK ｜,

∴｜PA ｜+｜PF ｜=｜P A ｜+｜PK ｜, ∴当P 点的纵坐标与A 点的纵坐标相同时，｜PA ｜+｜PK ｜最小.此时P 点的纵坐标为1，把y =1代入y 2=－4x 得x =－

4

1.

即当P 点的坐标为(－

4

1，1)时，｜PA ｜+｜PB ｜最小.

【答案】A

7.抛物线y 2=4x 的焦点弦被焦点分成长是m 和n 的两部分，则m 与n 的关系是（ ） A.m +n =mn

B.m +n =4

C.mn =4

D.无法确定

【解析】抛物线y 2=4x 的焦点为(1，0)，

当焦点弦与抛物线的轴垂直时，m =2,n =2,∴m +n =mn . 当焦点弦与抛物线的轴不垂直时，

设焦点弦所在直线方程为y =k (x －1)(k ≠0).

把y =k (x －1)代入y 2=4x 并整理得k 2x 2－2（k 2+2）x +k 2=0. ∴x 1·x 2=1,∵m =x 1+1,n =x 2+1, ∴x 1=m －1,x 2=n －1代入x 1x 2=1得(m －1)(n －1)=1即m +n =mn . 【答案】A

8.θ是任意实数，则方程x 2+y 2

sin θ=4的曲线不可能是（ ） A.椭圆 B.双曲线

C.抛物线

D.圆

【解析】当sin θ∈［－1,0)时，方程x 2+y 2sin θ=4的曲线是双曲

线；sin θ=0时，方程的曲线是两条平行直线；sin θ∈(0,1)时，方程的曲线是椭圆；sin θ=1时，方程的曲线是圆.

【答案】C

9.已知椭圆

21

)(12

2

2

t y x

-+

=1的一条准线方程为y =8，则实数

t 的值为（ ）

A.7或－7

B.4或12

C.1或15

D.0

【解析】由题设y －t =±7，∴y =t ±7=8,∴t =1或15. 【答案】C 10.双曲线

k

y x

2

2

4

+

=1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是

（ ）

A.（－∞,0）

B.(－12,0)

C.(－3,0)

D.(－60,－12) 【解析】∵a 2=4,b 2=－k ,∴c 2=4－k . ∵e ∈(1,2),∴4

422

k a c

-=

∈(1,4),∴k ∈(－12,0).

【答案】B 11.以

12

4

2

2

y

x

-

=－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程

为（ ）

A.

12162

2

y

x

+

=1 B.

16122

2

y

x

+

=1

C.

4

16

2

2

y

x

+

=1

D.

16

4

2

2

y

x

+

=1

【解析】双曲线

4

12

2

2

x

y

-

=1的焦点坐标为（0，±4），顶点坐

标为（0

，±12）.∴椭圆的顶点坐标为（0，±4），焦点坐标为（0，±12）.∴在椭圆中a =4,c =

12,∴b 2

=4.∴椭圆的方程为

16

4

2

2

y

x

+

=1.

【答案】D

5.过抛物线y =ax 2(a ＞0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q

图8-15

两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则

q

p

11+

等于（ ）

A.2a

B.

a

21

C.4a

D.

a

4

【解析】当直线平行于x 轴时，由于F 点的纵坐标为

a

41,因

此x P =－

a 21,x Q =

a 21,

∴

|

|1|

|1

11Q P x x q

p

+

=

+

=4a .

【答案】C

12.抛物线y =x 2

到直线 2x －y =4距离最近的点的坐标是

（ ）

A.)4

5,23(

B.（1，1）

C.)4

9,23(

D.（2，4）

【解析】设P （x ,y ）为抛物线y =x 2

上任一点，则P 到直线的距离

d =

5

3

)1(5|

42|5

|

42|2

2

+-=

+-=

--x x x y x ,

∴x =1时，d 取最小值5

53，此时P （1，1）.

【答案】B 13.

12

22

2=-

b

y a

x 与

2

22

2a

y b

x -

=1（a ＞b ＞0）的渐近线（ ） A.重合

B.不重合，但关于x 轴对称

C.不重合，但关于y 轴对称

D.不重合，但关于直线

y =x 对称

【解析】双曲线

12

22

2=-

b

y a

x 的渐近线方程为

y =±

a y

b

x x a

b 2

2

2,

-

=1的渐近线方程y =±b a x 、y =a b x 与y =b

a

x 关于直线y =x 对称，y =－

a

b x 与y =－

b

a x 关于直线y =x 对称.

【答案】D

14.动圆的圆心在抛物线y 2

=8x 上，且动圆恒与直线x +2=0相切，则动圆必过定点（ ）

A.（4，0）

B.（2，0）

C.（0，2）

D.（0，－2）

【解析】直线x +2=0为抛物线y 2=8x 的准线，由于动圆恒与直线x +2=0相切，所以圆心到直线的距离等于圆心到所过定点的距离，由抛物线定义可知，定点为抛物线的焦点（2，0）.

【答案】B

15.设P 是椭圆

4

9

2

2

y

x

+

=1上一点，F 1、F 2是椭圆的两个焦

点，则cos F 1PF 2的最小值是（ ）

A.－

9

1 B.－1 C.

9

1

D.

2

1

【解析】设P （x 0,y 0）,则－3≤x 0≤3. cos F 1PF 2=

)

353)(3

53(2)52()3

53()3

53(|

|||2|

|||||002

202

0212

212221x x x x PF PF F F PF PF -

+

--

++=

-+

2

2

09

5919

5x x -

-=

∴当x 0=0时，cos F 1PF 2最小，最小值为－9

1.

【答案】A

二、填空题

16.已知点A （0，1）是椭圆x 2+4y 2=4上的一点，P 是椭圆上的动点，当弦AP 的长度最大时，则点P 的坐标是_________.

【解析】∵点P 在椭圆上，∴设点P 的坐标为(2cos θ,sin θ)， 则｜AP ｜=

3

16)3

1(sin 3)1(sin cos 42

2

2+

+

-=

-+θθθ.∴当sin θ=

－

3

1时，

｜AP ｜最大，此时P 的坐标为(±3

1

,324-). 【答案】(±3

1

,324-) 17.已知F 1、F 2是双曲线

2

22

2b

y a

x -

=1(a ＞0,b ＞0)的两个焦点，

PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦.如果∠PF 2Q =90°,则双曲

线的离心率是_________.

【解析】由｜PF 2｜=｜QF 2｜,∠PF 2Q =90°,知｜PF 1｜=｜F 1F 2｜即

a

c a

b c a

b

?

==2,

22

22

,

∴e 2－2e －1=0,e =1+2或e =1－2（舍）. 【答案】1+

2

18.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2=72x 上，这个正三角形的边长是 .

【解析】设正三角形OAB 的顶点A 、B 在抛物线上，A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，则y 12=72x 1、y 22=72x 2.由|OA|=|OB|，得x 12+y 12=x 22+y 22，x 12+2px 1-x 22-2px 2=0.

∴x 1=x 2.∴线段AB 关于x 轴对称.∴∠AOx=30°，1

1x y =tan30°=

3

3.

∵x 1=

72

2

1

y ，∴y 1=723.∴|AB|=1443.

【答案】1443

19.点P （8，1）平分双曲线x 2－4y 2=4的一条弦，则这条弦所在的直线方程是______.

【解析】设弦的两端点分别为A (x 1,y 1)、B （x 2,y 2），则x 12－4y 12=4,x 22－4y 22=4，两式相减得(x 1+x 2)(x 1－x 2)－4(y 1+y 2)·(y 1－y 2)=0.∵AB 的中点为P （8，1），

∴x 1+x 2=16,y 1+y 2=2,∴

2

121x x y y --=2.

∴直线AB 的方程为y －1=2(x －8),即2x －y －15=0. 【答案】2x －y －15=0

三、解答题

20.抛物线y 2

=2px 的焦点弦AB 的中点为M ，A 、B 、M 在准线上的射影依次为C 、D 、N .求证：

（1）A 、O 、D 三点共线，B 、O 、C 三点共线；

（2）FN ⊥AB （F 为抛物线的焦点）. 【证明】（1）设A （x 1,y 1）、B (x 2,y 2)、中点M （x 0,y 0），焦点F 的坐标是（

2

p ,0）.

由??

???

=-=px y p x k y 2)2(2得ky 2－2py －kp 2=0. ∴A 、B 、M 在准线上的射影依次为C 、D 、N ， ∴C (－

2

p ,y 1)、D (－

2

p ,y 2)、N (－

2

p ,y 0).

∵2

,2221

2

1

11

1p y k y p p

y y x y k OD OA -=

=

=

=

,

由ky 2－2py －kp 2=0 得y 1y 2=

k

kp 2

-=－p 2,

∴k OA =k OD ,∴A 、O 、D 三点共线.同理可证B 、O 、C 三点共线. （2）k FN =

p

y -0,当x 1=x 2时，显然FN ⊥AB ；当x 1≠x 2时，

k AB =

)

(212

12

2121

212y y p

y y x x y y --=

--

2

12y p y y p =

+=

,∴k FN ·k AB =－1.∴FN ⊥AB .综上所述知FN ⊥AB 成

立.