概率论与数理统计第二版1 西南财经大学出版社

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《新编概率论与数理统计》第二版课件

基本事件 Basic Event
——由一个样本点组成的单点集 {ω}
必然事件 Certain Event
——每次试验必定发生的事件. 例全体样本点组成的事件,记为Ω
不可能事件 Impossible Event
——每次试验必定不发生的事件. 例不包含任何样本点的事件,记为Φ
Probability and Statistics– Chapter 1 Random Events and Probability-liqinggui Tan Kah Kee College 11
随机事件A发生——
随机试验中，当随机事件A的某个样本点出现
例掷一颗骰子; Ω = {1,2,3,4,5,6}
设随机事件A={1，3，5}，即{出现奇数点} 当1，3，5中任一点数出现，则称事件A发生
Probability and Statistics– Chapter 1 Random Events and Probability-liqinggui Tan Kah Kee College 10
1. 包含关系 Inclusion Relation
A ⊂ B —— A 包含于B
事件 A 发生必导致事件 B 发生
Ω AB
A 是B的子事件 A ⊂ B
2. 相等关系 Equivalent Relation
A= B
A⊂ B且 A⊃B
Probability and Statistics– Chapter 1 Random Events and Probability-liqinggui Tan Kah Kee College 13
§ 1.1 随机事件及其运算
Random Events and Operation

概率论与数理统计第二版课后答案

概率论与数理统计第二版课后答案第一章：概率论的基本概念与性质1.1 概率的定义及其性质1.概率的定义：概率是对随机事件发生的可能性大小的度量。

在概率论中，我们将事件A的概率记为P(A)，其中P(A)的值介于0和1之间。

2.概率的基本性质：–非负性：对于任何事件A，其概率满足P(A) ≥ 0。

–规范性：对于样本空间Ω中的全部事件，其概率之和为1，即P(Ω) = 1。

–可列可加性：对于互不相容的事件序列{Ai}（即Ai∩Aj = ∅，i ≠ j），有P(A1∪A2∪…) = P(A1) + P(A2) + …。

1.2 随机事件与随机变量1.随机事件：随机事件是指在一次试验中所发生的某种结果。

–基本事件：对于只包含一个样本点的事件，称为基本事件。

–复合事件：由一个或多个基本事件组成的事件称为复合事件。

2.随机变量：随机变量是将样本空间Ω上的每个样本点赋予一个实数的函数。

随机变量可以分为两种类型：–离散型随机变量：其取值只可能是有限个或可列无穷个实数。

–连续型随机变量：其取值在某个区间内的任意一个值。

1.3 事件的关系与运算1.事件的关系：事件A包含于事件B（记作A ⊆ B）指的是事件B发生时，事件A一定发生。

如果A ⊆ B且B ⊆ A，则A与B相等（记作A = B）。

–互不相容事件：指的是两个事件不能同时发生，即A∩B = ∅。

2.事件的运算：对于两个事件A和B，有以下几种运算：–并：事件A和事件B至少有一个发生，记作A∪B。

–交：事件A和事件B同时发生，记作A∩B。

–差：事件A发生而事件B不发生，记作A-B。

第二章：条件概率与独立性2.1 条件概率与乘法定理1.条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为事件A在事件B发生的条件下的条件概率，记作P(A|B)。

–条件概率的计算公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。

2.乘法定理：对于任意两个事件A和B，有P(A∩B) = P(A|B) * P(B) =P(B|A) * P(A)。

《概率论与数理统计(第二版)》第二章随机变量与数字特征

随机变量与数字特征
解当x<-1时,因为事件{X≤x}=⌀,所以 F(x)=0 当-1≤x<0时,有 F(x)=P(X≤x)=P(X=-1)=0.3 当0≤x<1时,有 F(x)=P(X≤x)=P(X=-1)+P(X=0) =0.3+0.6=0.9
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
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随机变量与数字特征
第二章随机变量与数字特征 2.1两类随机变量例1 在10件同类型产品中,有3件次品,现任取2件,用一个变量X表示“2件中的次品数”,X的取值是随机的,可能的取值有0,1,2.显然“X=0”表示次品数为0,它与事件“取出的2件中没有次品”是等价的.可以看出,“X=1”等价于“恰好有1件次品”,“X=2”等价于“恰好有2件次品”.于是由古典概率可以求出:
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
2.3分布函数与函数的分布 2.3.1 随机变量的分布函数定义2.3 设X是一个随机变量,称函数 F(x)=P(X≤x) 为随机变量X的分布函数.分布函数也记作FX(x).
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
例3 在“测试电子管寿命”这一试验中,用Z表示它的寿命(单位为小时),则Z的取值随着试验结果的不同而在连续区间(0,+∞)上取不同的值,当试验结果确定后,Z的取值也就确定了. 上面三个例子中的变量X,Y,Z具有下列特征: (1)取值是随机的,事前并不知道取到哪一个值; (2) 所取的每一个值,都相应于某一随机现象; (3) 所取的每个值的概率大小是确定的.

概率论与数理统计课后答案 (李捷着) 西南财大出版社

概率论第一章习题解答习题1.11．写出下列随机试验的样本空间Ω及指定的事件：（1）袋中有3个红球和2个白球，现从袋中任取一个球，观察其颜色；（2）掷一枚硬币，设H 表示“出现正面”，T 表示“出现反面”．现将一枚硬币连掷两次，观察出现正、反面的情况，并用样本点表示事件A =“恰有一次出现正面”；（3）对某一目标进行射击，直到击中目标为止，观察其射击次数，并用样本点表示事件A =“射击次数不超过5次”；（4）生产某产品直到5件正品为止，观察记录生产该产品的总件数；（5）从编号a 、b 、c 、d 的四人中，随机抽取正式和列席代表各一人去参加一个会议，观察选举结果，并用样本点表示事件A =“编号为a 的人当选”．解：（1）Ω = {红色, 白色}；（2）Ω = {(H , H ), (H , T ), (T , H ), (T , T )}，A = {(H , T ), (T , H )}；（3）Ω = {1, 2, 3, …, n , …}，A = {1, 2, 3, 4, 5}；（4）Ω = {5, 6, 7, …, n , …}；（5）Ω = {(a , b ), (a , c ), (a , d ), (b , a ), (b , c ), (b , d ), (c , a ), (c , b ), (c , d ), (d , a ), (d , b ), (d , c )}，A = {(a , b ), (a , c ), (a , d ), (b , a ), (c , a ), (d , a )}．2．某射手射击目标4次，记事件A =“4次射击中至少有一次击中”，B =“4次射击中击中次数大于2”．试用文字描述事件A 与B ．解：A 表示4次射击都没有击中，B 表示4次射击中击中次数不超过2．3．设A , B , C 为三个事件，试用事件的运算关系表示下列事件：（1）A , B , C 都发生；（2）A , B , C 都不发生；（3）A , B , C 中至少有一个发生；（4）A , B , C 中最多有一个发生；（5）A , B , C 中至少有两个发生；（6）A , B , C 中最多有两个发生．解：（1）ABC ；（2）C B A ；（3）A ∪B ∪C ；（4）C B A C B A C B A C B A U U U ；（5）ABC BC A C B A C AB U U U ；（6）ABC ．4．在一段时间内，某电话交换台接到呼唤的次数可能是0次，1次，2次，…．记事件A n =“接到的呼唤次数小于n ”（n = 1, 2, …），试用事件的运算关系表示下列事件：（1）呼唤次数大于2；（2）呼唤次数在5到10次范围内；（3）呼唤次数与8的偏差大于2．解：（1）3A ；（2）A 11 − A 5；（3）116A A U ．5．证明：（1）Ω=−A B A AB U U )(；（2）AB B A B A B A =))()((U U U ．证：（1）Ω==Ω===−A A A A A B B A A B A AB A B A AB U U U U U U U U )()(；（2）U U U U U U A B A B B A B A B A B A ())(())()((==∅AB AB A A B A A B A ===U U U )())(．习题1.21．设P (A ) = P (B ) = P (C ) = 1/4，P (AB ) = P (BC ) = 0，P (AC ) = 1/8，求A 、B 、C 三个事件至少有一个发生的概率．解：因P (AB ) = P (BC ) = 0，且ABC ⊂ AB ，有P (ABC ) = 0，则8581414141)()()()()()()()(=−++=+−−−++=ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P U U ． 2．设P (A ) = 0.4，P (B ) = 0.5，P (A ∪B ) = 0.7，求P (A − B )及P (B − A )．解：因P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) = 0.4 + 0.5 − 0.7 = 0.2，则P (A − B ) = P (A ) − P (AB ) = 0.4 − 0.2 = 0.2，P (B − A ) = P (B ) − P (AB ) = 0.5 − 0.2 = 0.3．3．某市有A , B , C 三种报纸发行．已知该市某一年龄段的市民中，有45%的人喜欢读A 报，34%的人喜欢读B 报，20%的人喜欢读C 报，10%的人同时喜欢读A 报和B 报，6%的人同时喜欢读A 报和C 报，4%的人同时喜欢读B 报和C 报，1%的人A , B , C 三种报纸都喜欢读．从该市这一年龄段的市民中任选一人，求下列事件的概率：（1）至少喜欢读一种报纸；（2）三种报纸都不喜欢；（3）只喜欢读A 报；（4）只喜欢读一种报纸．解：分别设A , B , C 表示此人喜欢读A , B , C 报，有P (A ) = 0.45，P (B ) = 0.34，P (C ) = 0.2，P (AB ) = 0.1，P (AC ) = 0.06，P (BC ) = 0.04，P (ABC ) = 0.01，（1）P (A ∪B ∪C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC ) = 0.8；（2）2.0)(1)()(=−==C B A P C B A P C B A P U U U U ；（3）3.0)()()()()()()(=+−−=−=ABC P AC P AB P A P B A P B A P C B A P ；（4）因21.0)()()()()()()(=+−−=−=ABC P BC P AB P B P A P B A P C B A P ，11.0)()()()()()()(=+−−=−=ABC P BC P AC P C P BC A P C A P C B A P ，故62.0)()()()(=++=++C B A P C B A P C B A P C B A C B A C B A P ．4．连续抛掷一枚硬币3次，求既有正面又有反面出现的概率．解：样本点总数n = 2 3 = 8，事件A 中样本点数62313=+=C C k A ，则75.043)(===n k A P A ． 5．在分别写有2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13的8张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率．解：样本点总数2828==C n ，事件A 中样本点数18231315=+=C C C k A ，则6429.0149)(===n k A P A ． 6．一部5卷文集任意地排列在书架上，问卷号自左向右或自右向左恰好为1, 2, 3, 4, 5顺序的概率等于多少？解：样本点总数12055==A n ，事件A 中样本点数k A = 2，则0167.0601)(===n k A P A ． 7． 10把钥匙中有3把能打开某一门锁，今任取两把，求能打开某该门锁的概率．解：样本点总数45210==C n ，事件A 中样本点数24231317=+=C C C k A ，则5333.0158)(===n k A P A ． 8．一副扑克牌有52张，进行不放回抽样，每次一张，连续抽取4张，计算下列事件的概率：（1）四张花色各异；（2）四张中只有两种花色．解：样本点总数270725452==C n ，（1）事件A 1中样本点数285611131131131131==C C C C k A ，则1055.0208252197)(11===n k A P A ；（2）事件A 2表示两种花色各两张，或者一种1张一种3张，样本点数81120)2(113313213213242=+=C C C C C k A ，则2996.041651248)(22===n k A P A ． 9．口袋内装有2个伍分、3个贰分、5个壹分的硬币共10枚，从中任取5枚，求总值超过壹角的概率．解：样本点总数252510==C n ，事件A 分三种情形：①两枚5分，三枚其它，②一枚5分，三枚2分，一枚1分，③一枚5分，两枚2分，两枚1分，样本点数1262523121533123822=++=C C C C C C C C k A ，则5.021)(===n k A P A ．方法二：10枚硬币总额2角1分，任取5枚若超过1角，那么剩下的5枚将不超过1角，可见事件A 中的样本点与A 中的样本点一一对应，即A A k k =，则5.0)()(==A P A P ．10．在10个数字0, 1, 2, …, 9中任取4个（不重复），能排成一个4位偶数的概率是多少（最好是更正为：排在一起，恰好排成一个4位偶数的概率是多少）？解：样本点总数5040410==A n ，事件A 的限制条件是个位是偶数，首位不是0，样本点数2296281814281911=+=A A A A A A k A ，则4556.09041)(===n k A P A ． 11．一个教室中有100名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率（设一年以365天计算）．解：样本点总数n = 365 100，A 的对立事件A 表示所有学生生日都不在元旦，100364=A k ，则2399.036536411(1)(100=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=−=n k A P A P A ．12．在 [0, 1] 区间内任取两个数，求两数乘积小于1/4的概率．解：设所取得两个数为x , y ，Ω = {(x , y ) | 0 < x < 1, 0 < y < 1}，}1,10,10|),{(<<<<=y x y x A 有m (Ω) = 1，4034.042ln 23)41ln 4141(1)ln 41(411()(141141=−=−−=−=−=∫x x dx x A m 则5966.042ln 21)()(1)(1)(=+=Ω−=−=m A m A P A P ．习题1.31．一只盒子有3只坏晶体管和7只好晶体管，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，发现第一只是好的，问另一只也是好的概率是多少？解：设A 表示第一只是好的，B 表示第二只是好的，当第一只是好的时，第二次抽取前有3只是坏的，6只是好的，则6667.03296)|(===A B P ． 2．某商场从生产同类产品的甲、乙两厂分别进货100件、150件，其中：甲厂的100件中有次品4件，乙厂的150件中有次品1件．现从这250件产品中任取一件，从产品标识上看它是甲厂生产的，求它是次品的概率．解：设A 表示甲厂产品，B 表示次品，故04.01004)|(==A B P ． 3．根据抽样调查资料，2000年某地城市职工家庭和农村居民家庭收入按人均收入划分的户数如下：户数 6000元以下 6000 ~ 12000元 12000元以上合计城市职工 25 125 50 200 农村居民 120 132 48 300 合计 145 257 98 500 现从被调查的家庭中任选一户，已知其人均收入在6000元以下，试问这是一个城市职工家庭的概率是多少？解：设A 表示人均收入在6000元以下，B 表示城市职工家庭，故1724.014525)|(==A B P ． 4．某单位有92%的职工订阅报纸，93%的职工订阅杂志，在不订阅报纸的职工中仍有85%的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工，求下列事件的概率：（1）该职工至少订阅报纸或杂志中一种；（2）该职工不订阅杂志，但是订阅报纸．解：设A 表示订阅报纸，B 表示订阅杂志，有P (A ) = 0.92，P (B ) = 0.93，85.0|(=A B P ，则068.085.008.0)|()()(=×==A B P A P B A P ，862.0068.093.0)()()(=−=−=B A P B P AB P ，（1）P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) − P (AB ) = 0.92 + 0.93 − 0.068 = 0.988；（2）P (A − B ) = P (A ) − P (AB ) = 0.92 − 0.862 = 0.058．5．某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，各个车间的产量分别占全厂产量的25%、35%、40%，各车间产品的次品率分别为5%、4%、2%．（1）求全厂产品的次品率；（2）如果从全厂产品中抽取一件产品，恰好是次品，问这件次品是甲、乙、丙车间生产的概率分别是多少？解：（1）任取一件产品，设A 1, A 2, A 3分别表示甲、乙、丙车间产品，B 表示次品，则P (B ) = P (A 1) P (B | A 1) + P (A 2) P (B | A 2) + P (A 3) P (B | A 3)= 0.25 × 0.05 + 0.35 × 0.04 + 0.4 × 0.02 = 0.0345；（2）3623.069250345.005.025.0)()|()()()()|(1111==×===B P A B P A P B P B A P B A P ， 4058.069280345.004.035.0)()|()()()()|(2222==×===B P A B P A P B P B A P B A P ， 2319.069160345.002.04.0)()|()()()()|(3333==×===B P A B P A P B P B A P B A P ． 6．有三个形状相同的罐，在第一罐中有两个白球和一个黑球；在第二个罐中有三个白球和一个黑球；在第三个罐中有两个白球和两个黑球．某人随机地取一罐，再从该罐中任取一球，试问这球是白球的概率有多少？解：设321,,A A A 分别表示第一、二、三罐，B 表示白球，则6389.03623423143313231)|()()|()()|()()(332211==×+×+×=++=A B P A P A B P A P A B P A P B P ． 7．三部自动的机器生产同样的汽车零件，其中机器A 生产的占40%，机器B 生产的占25%，机器C 生产的占35%，平均说来，机器A 生产的零件有10%不合格，对于机器B 和C ，相应的百分数分别为5%和1%，如果从总产品中随机地抽取一个零件，发现为不合格，试问：（1）它是由机器A 生产出来的概率是多少？（2）它是由哪一部机器生产的可能性最大？解：设A 1, A 2, A 3分别表示机器A , B , C 生产的零件，D 表示不合格的零件，（1）)|()()|()()|()()|()()()()|(3322111111A D P A P A D P A P A D P A P A D P A P D P D A P D A P ++== 7143.075056.004.001.035.005.025.01.04.01.04.0===×+×+××=；（2）2232.011225056.00125.0056.005.025.0)()()|(22===×==D P D A P D A P ，0625.01127056.00035.0056.001.035.0)()()|(33===×==D P D A P D A P ，则由机器A 生产的概率最大．8．设P (A ) > 0，试证：)()(1)|(A P B P A B P −≥．证：)()(1)()(11)(1)()()()()()()()()|(A P B P A P B P A P B P A P A P B A P B P A P A P AB P A B P −=−−=−+≥−+==U ．习题1.41．一个工人看管三台机床，在一小时内机床不需要工人看管的概率分别为0.9、0.8、0.7，求在一小时内3台机床中最多有一台需要工人看管的概率．解：设A 1, A 2, A 3分别表示一小时内第一、二、三台机床不需要工人照管，可以认为A 1, A 2, A 3相互独立，则概率为)()()()()(321321321321321321321321A A A P A A A P A A A P A A A P A A A A A A A A A A A A P +++=U U U)()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P +++== 0.9 × 0.8 × 0.7 + 0.9 × 0.8 × 0.3 + 0.9 × 0.2 × 0.7 + 0.1 × 0.8 × 0.7 = 0.902．2．电路由电池A 与两个并联的电池B 及C 串联而成，设电池A , B ,电路发生断电的概率．解：设A , B , C 分别表示电池A , B , C 损坏，电路断电为事件A ∪BC ，则概率为P (A ∪BC ) = P (A ) + P (BC ) − P (ABC ) = P (A ) + P (B ) P (C ) − P (A ) P (B ) P (C ) = 0.3 + 0.2 × 0.2 − 0.3 × 0.2 × 0.2 = 0.328．方法二：设A , B , C 分别表示电池A , B , C 正常工作，系统正常工作为事件A (B ∪C ) = AB ∪AC ，则概率为1 − P (AB ∪AC ) = 1 − P (AB ) − P (AC ) + P (ABC )= 1 − P (A ) P (B ) − P (A ) P (C ) + P (A ) P (B ) P (C )= 1 − 0.7 × 0.8 − 0.7 × 0.8 + 0.7 × 0.8 × 0.8 = 0.328．3．加工某一零件共需经过四道工序．设第一、二、三、四道工序的次品率分别为2%, 3%, 5%, 3%，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率．解：设A 1, A 2, A 3, A 4分别表示第一、二、三、四道工序加工出合格品，有A 1, A 2, A 3, A 4相互独立，则概率为1 − P (A 1A 2A 3A 4) = 1 − P (A 1) P (A 2) P (A 3) P (A 4) = 1 − 0.98 × 0.97 × 0.95 × 0.97 = 0.1240．4．抛掷一枚质地不均匀的硬币8次，设正面出现的概率为0.6，求下列事件的概率：（1）正好出现3次正面；（2）至多出现2次正面；（3）至少出现2次正面．解：将每次掷硬币看作一次试验，出现正面A ，反面A ；独立；P (A ) = 0.6．伯努利概型，n = 8，p = 0.6．（1）1239.04.06.0)3(53388=××=C P ；（2）0498.04.06.04.06.04.06.0)2()1()0(622871188008888=××+××+××=++C C C P P P ；（3）9915.04.06.04.06.01)1()0(17118800888=××−××−=−−C C P P ．5．设每次射击时命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9？解：将每次射击看作一次试验，击中A ，没击中A ；独立；P (A ) = 0.2．伯努利概型，n 次试验，p = 0.2，则9.08.018.02.01)0(100≥−=××−=−n n n n C P ，即0.8 n ≤ 0.1，故32.108.0lg 1.0lg =≥n ，取n = 11．6．一大批产品的优质品率为60%，从中任取10件，求下列事件的概率：（1）取到的10件产品中恰有5件优质品；（2）取到的10件产品中至少有5件优质品；（3）取到的10件产品中优质品的件数不少于4件且不多于8件．解：将取每件产品看作一次试验，优质品A ，非优质品A ；独立；P (A ) = 0.6．伯努利概型，n = 10，p = 0.6．（1）2007.04.06.0)5(5551010=××=C P ；（2）P 10 (5) + P 10 (6) + P 10 (7) + P 10 (8) + P 10 (9) + P 10 (10)288103771046610555104.06.04.06.04.06.04.06.0××+××+××+××=C C C C8338.04.06.04.06.0010101019910=××+××+C C ；（3）P 10 (4) + P 10 (5) + P 10 (6) + P 10 (7) + P 10 (8)28810377104661055510644104.06.04.06.04.06.04.06.04.06.0××+××+××+××+××=C C C C C= 0.8989；7．证明：若)|()|(B A P B A P =，则事件A 与B 独立．证：因)(1)()()(1)()()()|()()()|(B P AB P A P B P B A P B P B A P B A P B P AB P B A P −−=−−====，则P (AB )[1 − P (B )] = P (B )[P (A ) − P (AB )]，即P (AB ) − P (AB ) P (B ) = P (B ) P (A ) − P (B ) P (AB )，故P (AB ) = P (A ) P (B )，A 与B 相互独立．复习题一1．设P (A ) = 0.5，P (B ) = 0.6，问：（1）什么条件下P (AB )可以取最大值，其值是多少？（2）什么条件下P (AB )可以取得最小值，其值是多少？解：（1）当A ⊂ B 时P (AB ) 最大，P (AB ) = P (A ) = 0.5；（2）当A ∪B = Ω 时P (AB ) 最小，P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) = 0.5 + 0.6 − 1 = 0.1．2．一电梯开始上升时载有5名乘客，且这5人等可能地在8层楼的任何一层出电梯，求：（1）每层至多一人离开的概率；（2）至少有两人在同一层离开的概率；（3）只有一层有两人离开的概率．解：样本点总数是8取5次的可重排列，即n = 8 5 = 32768，（1）事件A 1中样本点数6720581==A k A ，则2051.0512105)(11===nk A P A ；（2）事件A 2是A 1的对立事件，则7949.0512407)(1)(12==−=A P A P ；（3）事件A 3表示有两人在同一层离开，而另外三人分别在3个不同楼层或者都在同一层离开，样本点数17360)(33173725183=+=C A A C A k A ，则5298.020481085)(33===n k A P A ． 3．从5副不同的手套中任取4只手套，求其中至少有两只手套配成一副的概率．解：样本点总数210410==C n ，A 的对立事件A 表示4只手套都不配套，801212121245==C C C C C k A ，则6190.021131(1)(==−=−=n k A P A P A ． 4．从1, 2, …, n 中任取两数，求所取两数之和为偶数的概率．解：样本点总数为)1(212−=n n C n ，事件A 表示取得两个偶数或两个奇数，当n 为偶数时，共有2n 个偶数和2n 个奇数，样本点数)2(41)12(22222−=−=+=n n n n C C k n nA ，则)1(22)(2−−==n n C k A P n A ；当n 为偶数时，共有21−n 个偶数和21+n 个奇数，样本点数2221221)1(41212121232121−=−⋅+⋅+−⋅−⋅=+=+−n n n n n C C k n n A ，则n n C k A P nA 21)(2−==． 5．在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以一只吃掉另一只的概率．解：样本点总数4005290==C n ，事件A 中样本点数7652911021019=+=C C C C k A ，则1910.08917)(===n k A P A ． 6．某货运码头仅能容一船卸货，而甲、乙两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时．设甲、乙两船在24小时内随时可能到达，求它们中任何一船都不需等待码头空出的概率．解：Ω = {(x , y ) | 0 ≤ x < 24, 0 ≤ y < 24}，A = {(x , y ) | 0 ≤ x < 24, 0 ≤ y < 24, x − y > 2或y − x > 1}，有m (Ω) = 24 2 = 576，5.50622212321)(22=×+×=A m ，则8793.05765.506)()()(==Ω=m A m A P ． 7．从区间 [0, 1] 中任取三个数，求三数和不大于1的概率．解：Ω = {(x , y , z ) | 0 ≤ x , y , z ≤ 1}，A = {(x , y , z ) | 0 ≤ x , y , z ≤ 1, x + y + z ≤ 1}，有m (Ω) = 1，A 是一个三棱锥，6112131)(=××=A m ，则1667.061)()()(==Ω=m A m A P ． 8．已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率是多少？（假设男人和女人各占人数的一半．）解：设A 1, A 2分别表示男人和女人，B 表示色盲，则9524.021200025.05.005.05.005.05.0)|()()|()()|()()()()|(22111111==×+××=+==A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P ． 9．发报台分别以0.7和0.3的概率发出信号0和1（例如：分别用低电频和高电频表示）．由于随机干扰的影响，当发出信号0时，接收台不一定收到0，而是以概率0.8和0.2收到信号0和1；同样地，当发报台发出信号1时，接收台以概率0.9和0.1收到信号1和0．试求：（1）接收台收到信号0的概率；（2）当接收台收到信号0时，发报台确是发出信号0的概率．解：设A 0, A 1分别表示发出信号0, 1，B 0, B 1表示收到信号0, 1，（1）P (B 0) = P (A 0) P (B 0 | A 0) + P (A 1) P (B 0 | A 1) = 0.7 × 0.8 + 0.3 × 0.1 = 0.59；（2）9492.0595659.08.07.0)()|()()()()|(000000000==×===B P A B P A P B P B A P B A P ． 10．设A , B 独立，AB ⊂ D ，D B A ⊂，证明P (AD ) ≥ P (A ) P (D )．证：因AB ⊂ D ，有AB ⊂ AD ，则P (AD ) − P(AB ) = P (AD − AB )，B D ΩA因D B A B A ⊂=U ，有D ⊂ A ∪B ，D − B ⊂ A ∪B − B ⊂ A ，则AD − AB = A (D − B ) = D − B ，故P (AD ) − P (AB ) = P (AD − AB ) = P (D − B ) ≥ P (A ) P (D − B ) ≥ P (A ) [P (D ) − P (B )]，由于A , B 独立，有P (AB ) = P (A ) P (B )，故P (AD ) ≥ P (A ) P (D )．11．甲、乙、丙三人同时向一架飞机射击，他们击中目标的概率分别为0.4, 0.5, 0.7．假设飞机只有一人击中时，坠毁的概率为0.2，若2人击中，飞机坠毁的概率为0.6，而飞机被3人击中时一定坠毁．现在如果发现飞机已被击中坠毁，计算它是由三人同时击中的概率．解：结果：设B 表示目标被击毁，原因：设A 0, A 1, A 2, A 3分别表示无人、1人、2人、3人击中目标，则)|()()|()()|()()|()()|()()()()|(332211003333A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P +++==，且有P (B | A 0) = 0，P (B | A 1) = 0.2，P (B | A 2) = 0.6，P (B | A 3) = 1，又设C 1, C 2, C 3分别表示甲、乙、丙击中目标，则09.03.05.06.0)()()()()(3213210=××===C P C P C P C C C P A P ，)()(3213213211C C C C C C C C C P A P U U =)()()()()()()()()(321321321C P C P C P C P C P C P C P C P C P ++== 0.4 × 0.5 × 0.3 + 0.6 × 0.5 × 0.3 + 0.6 × 0.5 × 0.7 = 0.36，)()(3213213212C C C C C C C C C P A P U U =)()()()()()()()()(321321321C P C P C P C P C P C P C P C P C P ++== 0.4 × 0.5 × 0.3 + 0.4 × 0.5 × 0.7 + 0.6 × 0.5 × 0.7 = 0.41，P (A 3) = P (C 1C 2C 3) = P (C 1) P (C 2) P (C 3) = 0.4 × 0.5 × 0.7 = 0.14，故3057.0458.014.0114.06.041.02.036.0009.0114.0)|(3==×+×+×+××=B A P ． 12．已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有4人治好则认为这种药有效，反之则认为无效．试求：（1）虽然新药有效，且把痊愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率；（2）新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率．解：将每人服药看作一次试验，痊愈A ，没有痊愈A ；独立；（1）新药有效，痊愈率为0.35，即P (A ) = 0.35，伯努利概型，n = 10，p = 0.35，故概率为P 10 (0) + P 10 (1) + P 10 (2) + P 10 (3) 5138.065.035.065.035.065.035.065.035.0733108221091110100010=××+××+××+××=C C C C ．（2）新药完全无效，痊愈率为0.25，即P (A ) = 0.25，伯努利概型，n = 10，p = 0.25，故所求概率为1 − P 10 (0) − P 10 (1) − P 10 (2) − P 10 (3)2241.075.025.075.025.075.025.075.025.01733108221091110100010=××−××−××−××−=C C C C ．概率论第二章习题解答习题2.11．试分别给出可能取值为有限、可列的随机变量的实例．解：如掷一枚骰子，X 表示掷出的点数，X 的全部可能取值为1, 2, 3, 4, 5, 6，即可能取值为有限个；观察某商店一小时内的进店人数X ，X 的全部可能取值为0, 1, 2, … ，即可能取值为可列个．2．试给出可能取值至少充满一个区间的随机变量的实例．解：电池的使用寿命X 小时，X 的全部可能取值为 [0, +∞)，即可能取值充满区间 [0, +∞)．习题2.21．一箱产品20件，其中5件优质品，不放回地抽取，每次一件，共抽取两次。

概率论与数理统计(第二版)徐全智课后习题第一章

概率论与数理统计（第二版）徐全智课后习题答案第一章 -设&瓦C 均牺机试鉴的三个隠［机审仲‘區特卜列事件用£比匚舉示出*＜B仅仅丿笈生* ＜2）所有三G 夢件郁览生”（3）川坪甘均发生;.Q 不发主； ⑷至少有-个豪杵发生匚＜5）至少有两"件St%⑹愴材-片艸建鉴（7＞恰有葫个事件发生*（3＞没青~亍事件发主t （9）不寧于厲个事杵发生. ABC ；（2） AHC^ ⑶ ABC x （4）J|J5UC : {5}AB\J BCV ） AC ■.同时掷二颗戦子，记录三额锻子的点數之和’ 将一枚越币抛三欢・观索出现正反面的齐幷印能结杲” 对一目标进行射击，且到击中坟执％止，记氓射击杓按数：将一单位怅的线段分为三段*舰蔡齐段的KZJ?-从分別标有号1+ 2.…、10的106球中任意収两球.记隶坪的号码.讯 Cl ）门・嘔乳….1B}；⑵{HHH, HH7, HTH, HTf. THH. TTH t THT, 777 } F(3) {5.6J/ - )j {4} {{耐”科；jr A Oj A Qz a 0,算* y 屮工.1 }；•将12个螺fiiU/l 地放入20介盒子*试球毎牛盒子中的球不參丁T 个的枢率，杯设只/）衰式所求的槪程鮒戶（/}=聲里理M ⑷乩20 3*-檸1°本书任意地放在书架上・其中有一程国柱成套的怡求下列眾件的抵率’（1）成套的站放在一起I （?）成廷冊|$!5構欲颅序徉好放在一起*Mt "}设尸（丿）験示新黨的橫拿.观 P{A ）~~ = ^-t 10! 30（2）设議示所求的概匙则’鬥⑵■卫工丄" 1W 7205” 一辆舍接汽车出发前載有5名乘客，即一位麟容独立的亞七个站中的任一牛站离幵匾 |琪下列事件的概毂H ）第七站恰好有两位乘客髀去匸＜2＞没脅两曲及脚童®上采客住问一站离去儿5名験害在七个站中的任就一牛姑壽开的结杲总散« »7\（门第七站恰好青两位象客心其方法・黴设鬥冷为所求槪率.則，尸⑷-二{6}ABC{jABC{JA fiC h Ci\ ABC[jABC\jABC . cs > ABC ,(9> ABC 2-写出下列髓机试验的样本空何⑴⑵⑶⑷C5)6有一个随机数发生器，毎一次等可能的产生0入2,….9十个数字.由这些数字胡机编成的刀位数码(各数字允许靈复)，从全部"位数码中任意选取一个，其最大数字不超过* <*^9)的概率.解：设p⑷表式所求的概率，则由全部"位数码的总数为10",得：P(/l) = ^^-.7 - 一元件盒中有50个元件.期中25件一等品■ 15件二導品.10件次制.从中任取10 件•求，(1)恰有两件一铮品，两件二等品的概率；(2)恰有两件一等品的槪率；(3)没有次品的概率.8 •片10个人分别佩戴考标号从1号到10号的纪念章■任意选出3人・记卜其纪念章的号码，试求：(1)最小的号码为5的概率：(2)最犬的号码为5的概率・解：从10人中任意选3人纪念章号码的总数为刀==G；・(1)最小号码为5,则余卞2个在6-10中选，即m =设P")为所求概率•则：(2)同理设P(B)为所求概率• M： P(&) = k = 0.05・9.段事件A,BRAUB的槪率分别为阳和尸，试求:P(AB\P(AB),P(AB\P(AB).解：P(AB) = P(A)^P(B)-P(A[)B) = p^q-r,P(AB)^P(B-A)^P(BUA)-P(A) = r-p (单调性＞：P(AB)=：P(A-B) = P(A(jB)-P(B) = r-q调性人214. 一个盒子中有24个灯泡.其中有4个次品•若甲从魚中航机取走10个，乙取走余下的 14个・求4个次品灯泡被一人全部取走的權率.设* = ｛次品灯泡全部被甲取走｝■ B = ｛次品灯泡全部被乙取走｝•则互不相容,15・设梅5个球閒意地放入3个盒子中.求毎个盒子内至少有一个球的概牢•*• 5个球喷意地放入彳个盒子中骑件总»« = V. 1个魚子中一个或两个盒子中有球数为 m = 3 + C ；pJ+C ；p}.设所求概率为P(/)・则：P(/) = l- 6己知£和為同时发生.則久必发生，证明:P(4)nP(£) + P“J ・l ・证明：由己知，A.A 2 a A.再由单调性.P(A.A 2) P(A).则PU) 2 P(4 A 2)x P ⑷+p(x 2) - P(£ U 禹)••• ° s P(4 U 心)s 1, •••• P(A) > PGM) = P(£) + P(A 2)- P(A } u 禺)2 P (4) + P(AJ-117.掷一枚均匀硬币直到出现三次止面才停止•问正好在第六次停止的悄况卜，第五次也是正面的概率是多少？解：设/ = ｛第五次出现正面” 3 = ｛第六次停止｝•则：P (A\B) = ¥^ = P(B)18.证明：P(A\B)> P(A)>0.则 P(B | A) > P(B).20.将两颗均勻骰子冋时掷一次•己知两个股子的点数Z 利是奇数・求两个骰子的点数z 和水于8的様率.解：此事件的样本空间由36个样本点组成，设久二｛两个股子的点数Z 和小T 8｝・B = ｛科个锻子的点数Z 和是奇数｝・则FM ： 36 36P[A\B) •弘型段二P(B) 1 322I ・设10件产胡中有4件是次品^从中任取两件，试求在所取得的产品中发现有一件挞次也后・另一件也是次品的概率.*!设* = ｛所取得两件中至少有一件量次品｝, 9 = ｛所取得两件产品郴是次品｝,:BdA t .\ AB^B. iro?(^) = l-P(l) = l-.-^- = i, p (^) =.所求録率 C|； 3G ： 1521 45 £ 15 所求帳率为：P(A\JB)^P(A)^P(B) 3 + C ；p ；+C ；p ；二 5g? 81 证明: P ⑷)：P ⑷)P(A) > P(A | B) =P(B).即证.19.设净件儿B 互不相容,且 P(B)>0,畑 P(A | B) 吃) l-P(B)0.1140.2 56« 0.25x0.1 + 0.5 x 0.2 + 0.25 x 0.4 - 0.225 ・两批同类产品各自有12件和2件，在毎-批产品中有-件次品，无竟中将第f 的一 H P 品混入第二批，现从第二批中取出一件，求第二批中収出次晶的概率.解：设月=｛第二批中取出次品｝, ” = ｛第_批的次晶混入第二批｝, *,7构成铎本空间的一个划分，由全帳宰公式：W) = P(A)P(B M) + P(7)P(B I 刁 V X 容 +12 X 丄二 0.0985 ・12 11 12 11]・在一个盒子中装有15个乒乓球.其中有9个新球.在第一次比赛时任意取岀三个球，比赛后仍放回原盒中•第二次比赛时•同样任恵的取岀三个球，求第二次取岀三个新球的概辜・解：设B M ｛第二次取出3个新球｝.可以看出・直接确定B 的概率P(B)是困难的，原因是，第一次比赛之后，12个乒乓球中的新、旧球的分布悄况不満定，而一旦新旧球的分布情况明珂了，那么相应的概率也容易求得.为此，设4・(第一次取到的3个球中有i 个新球｝, i=O ，2, 3.容易判析&,£，4，心构成一个划分.由于P (4)=,i = 0,1,2,3，又P (B ⑷焰,2 0,1,2,3.20702527.仓库中存有从甲厂购进的产品30箱.从乙厂购进的同类产品25箱.甲厂的毎箱装12 个・废品率为0.04.乙厂的每箱装10个，废品率0.05.求，(I 班取一精，从此箱中任取一个为废晶的績率；(2怖所有产品开箱后混放，任取一个为废品的槪率.M ： (1)设B = ｛取出的衆废品｝, * = ｛从甲厂取山｝, /!"构成一个划分，則P(B) = P(A)P(B | ><) + P (A)P(B | A) 30x12x0.04 + 25x10x0.05 30x12 + 25x1028.已知一批产胎中96%是合格rtt.用茱种检验方法辨认出合格品为合格品的M«M0 98» 而谋认废品迪合格品的帳率处0.05.求检春合格的一件产品确系合格的概率.解：设/■｛检査合格产品｝• 〃叫确系合格｝• 由己知.P(B) ■ Q.96,P(A | B) = 0.98, P(A | B) 0.05 >由全櫃率公式，得：p (B) = Y P(4 )P(B | 4) = S !•€ (GJ1680 + 7560 + 7560 + 1680 A “心 * 0.0893 • 30x1230x12 + 25x10 x0.04 + • 25x10 30x12 + 25x10x0.05 = 0.0441 = 0.04417由贝叶斯公式：P (B | X )= ' B)二 ------ 妙少凹 __________P(A) P(B)P(A | B)+ P(B)P(A | B) 0.96x0,98 096x0^98 + 004x0.0529・己知5%的男人和0.25%的女人是色宙者，現随机挑选一人.此人恰为色旨者•问此人是勇人的概率为多少(假设男人女人各占总人数的一半).解^设A^｛色盲者｝• B = ｛男人｝. 构成样本空同的一个划分.且P(/< |5) = 0.05,"駐。

概率论与数理统计第二版参考答案

习题2参考答案2.1 X 23456789101112P1/36 1/18 1/12 1/95/36 1/6 5/36 1/91/12 1/18 1/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae。

故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=11220202111120202222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124CC C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628CC C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++=(2) P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+=2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++ =11[1()]1441314kk lim →∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--=2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯=1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X CC ≥==+==+= (2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X CC C ≥==+=+==++=2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5) 01.51.5{0}0!P X e-=== 1.5e -（2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e ee---≥=-=-==--=-2.9解：设应配备m 名设备维修人员。

概率论与数理统计(第二版)课后答案

各章大体题详解习题一一、选择题1. （A ）A B A B B ⊂−−→=;（B ）B A A B A B B ⊂−−→⊂−−→=; （C ）AB A B A B B φ=−−→⊂−−→=;（D ）AB B A φ=−−→⊂ 不必然能推出A B B =（除非A B =）所以选（D ）2. ()()()()()()()P A B P AB P AB P A P B P A P B -==--++ ()()()P A P B P AB =+-所以选（C ）3. )()()()()()()()|(A P B P A P B P A P B P AB P B A P B A ≥−→−==−→−⊂所以选（B ）4. 1)(0)()()()()(==−→−==B P A P B P A P AB P A P 或所以选（B ）5. （A ）若B A =，则φ=AB ，且φ==A A B A ，即B A ,不相容（B ）若φ≠⊃B A ，且Ω≠A ，则φ≠AB ，且φ≠=A B A ，即B A ,相容（C ）若φφ≠=B A ,，则φ=AB ，且φ≠=B B A ，即B A ,相容（D ）若φ≠AB ，不必然能推出φ=B A 所以选（D ）6. （A ）若φ≠AB ，不必然能推出)()()(B P A P AB P =（B ）若1)(=A P ，且φ≠⊃B A ，则)()()()(B P A P B P AB P ==，即A,B 独立（C ）若φ=AB ，1)(0<<A P ,1)(0<<B P ，则)()()(B P A P AB P ≠ （D ）若1)(=A P ，则A 与任何事件都彼此独立所以选（B ）7. 射击n 次才命中k 次，即前1-n 次射击恰好命中1-k 次，且第n 次射击时命中目标，所以选（C ）二、填空题8. C A C A C A A C A C A C A C A )())((= C C C C A A C C A C A C ==== ))(()()( 所以 C B =9. 共有44⨯种大体事件，向后两个邮筒投信有22⨯种大体事件，故所求概率为414422=⨯⨯ 10. 设事件A 表示两数之和大于21，则样本空间}10,10|),{(<<<<=Ωy x y x ，}10,10,21|),{(<<<<>+=y x y x y x A 872121211=⋅⋅-==ΩS S P A 11. 由1.0)(,8.0)(=-=B A P A P ，得7.0)(=AB P ，故3.0)(=AB P 12. 由4.0)(,3.0)(,2.0)(===B A P B P A P ，得1.0)(=AB P ，故2.0)()()(=-=AB P B P A B P 13. 2.0)|()()(==A B P A P AB P ，故8.0)|()()(==B A P AB P B P14. )()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=)()()()()()()()()()()()(C P B P A P A P C P C P B P B P A P C P B P A P +---++=2719=15. 由于A,B 彼此独立，可得91)()()(==B P A P B A P ，)()(B A P B A P =，于是31)()(==B P A P ，故32)(=B P 三、计算题16.（1）)},,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,{(T T T H T T T H T H H T T T H H T H T H H H H H =Ω；（2）}3,2,1,0{=Ω；（3）}1|),{(22≤+=Ωy x y x ；（4）}5:0,5:1,5:2,5:3,5:4,4:5,3:5,2:5,1:5,0:5{=Ω 17.（1）C B A ；（2）)(C B A ；（3）C B A C B A C B A ；（4）AC BC AB ；（5）C B A ；（6）C B A ；（7）ABC18. 法一，由古典概率可知，所求概率为：2016420109⋅C ；法二，由伯努利定理可知，所求概率为：1644209.01.0⋅⋅C19. 只有唯一的一个六位数号码开能打开锁。

茆诗松《概率论与数理统计教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第1章随机事件与概率【圣

③对立事件一定是互不相容的事件，即 A∩B＝∅．但互不相容的事件不一定是对立事件．
＿
④A－B 可以记为 AB．
7．事件的运算性质
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（1）交换律
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A∪B＝B∪A，AB＝BA
（2）结合律
（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）
n r 1
次所得的组合，此种重复组合总数为
r
，这里的 r 也允许大于 n．
上述四种排列组合及其总数计算公式在使用中要注意识别有序与无序、重复与不重复．
3．确定概率的频率方法（1）确定概率的频率方法在大量重复试验中，用频率的稳定值去获得概率的一种方法，其基本思想是： ①与考察事件 A 有关的随机现象可大量重复进行．
4．随机变量定义：表示随机现象结果的变量，常用大写字母 X，Y，Z 表示．注意：很多事件都用随机变量表示时，应写明随机变量的含义．在同一个随机现象中，不同的设置可获得不同的随机变量，如何设置可按需要进行．
5．事件间的关系假设在同一个样本空间 Ω（即同一个随机现象）中进行．事件间的关系与集合间关系
2．排列与组合公式排列与组合都是计算“从 n 个元素中任取 r 个元素”的取法总数公式．区别：组合公式是不讲究取出元素间的次序，否则用排列公式．而所谓讲究元素间的次序，可以从实际问题中得以辨别，例如两个人相互握手是不讲次序的；而两个人排队是讲次序的，因为“甲右乙左”与“乙右甲左”是两件事．
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＿
1-1-5），或用概率论的语言说“A 不发生”，即A＝Ω－A．
＿
图 1-1-5 A 的对立事件A
注意：
＿
＿
①对立事件是相互的，即 A 的对立事件是A，而A的对立事件是 A．必然事件 Ω 与不可

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3．某市有 A, B, C 三种报纸发行．已知该市某一年龄段的市民中，有 45%的人喜欢读 A 报，34%的人喜欢读 B 报，20%的人喜欢读 C 报，10%的人同时喜欢读 A 报和 B 报，6%的人同时喜欢读 A 报和 C 报， 4%的人同时喜欢读 B 报和 C 报，1%的人 A, B, C 三种报纸都喜欢读．从该市这一年龄段的市民中任选一人，求下列事件的概率：（1）至少喜欢读一种报纸；（2）三种报纸都不喜欢；（3）只喜欢读 A 报；（4）只喜欢读一种报纸．
k 生；（3）A, B, C 中至少有一个发生；（4）A, B, C 中最多有一个发生；（5）A, B, C 中至少有两个发生； . （6）A, B, C 中最多有两个发生． www 解：（1）ABC；（2） ABC ；（3）A∪B∪C；（4） ABC U ABC U ABC U ABC ；
（5） ABC U ABC U ABC U ABC ；（6） ABC ．
kA n
=8 15
= 0.5333 ．
课 8．一副扑克牌有 52 张，进行不放回抽样，每次一张，连续抽取 4 张，计算下列事件的概率：（1）四张
花色各异；（2）四张中只有两种花色．
解：样本点总数 n = C542 = 270725 ，
（1）事件 A1 中样本点数 k A1
= C113C113C113C113
解：样本点总数 n = C82
= 28 ，事件 A 中样本点数 k A
= C51C31
+ C32
= 18 ，则 P( A) =
kA n
=9 14
= 0.6429 ．
网 6．一部 5 卷文集任意地排列在书架上，问卷号自左向右或自右向左恰好为 1, 2, 3, 4, 5 顺序的概率等于多
案少？
答解：样本点总数 n =
解：（1）Ω = {红色, 白色}；（2）Ω = {(H, H ), (H, T ), (T, H ), (T, T )}，A = {(H, T ), (T, H )}；
m （3）Ω = {1, 2, 3, …, n, …}，A = {1, 2, 3, 4, 5}；（4）Ω = {5, 6, 7, …, n, …}； o （5）Ω = {(a, b), (a, c), (a, d), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, b), (c, d), (d, a), (d, b), (d, c)}，
课 2．某商场从生产同类产品的甲、乙两厂分别进货 100 件、150 件，其中：甲厂的 100 件中有次品 4 件，乙厂的 150 件中有次品 1 件．现从这 250 件产品中任取一件，从产品标识上看它是甲厂生产的，求它是次品的概率．
解：设 A 表示甲厂产品，B 表示次品，故 P(B | A) = 4 = 0.04 ． 100
x 1
网习题 1.3 案 1．一只盒子有 3 只坏晶体管和 7 只好晶体管，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，发现
答第一只是好的，问另一只也是好的概率是多少？
解：设 A 表示第一只是好的，B 表示第二只是好的，
后当第一只是好的时，第二次抽取前有 3 只是坏的，6 只是好的，则 P(B | A) = 6 = 2 = 0.6667 ． 93
网 4．在一段时间内，某电话交换台接到呼唤的次数可能是 0 次，1 次，2 次，…．记事件 An =“接到的呼案唤次数小于 n”（n = 1, 2, …），试用事件的运算关系表示下列事件：（1）呼唤次数大于 2；（2）呼唤次
数在 5 到 10 次范围内；（3）呼唤次数与 8 的偏差大于 2．
后答解：（1） A3 ；（2）A11 − A5；（3） A6 U A11 ．课 5．证明：（1） AB U ( A − B) U A = Ω ；（2） ( A U B)(A U B )(A U B) = AB ．
.c P(ABC) = P(AC) − P(ABC) = P(C) − P(AC) − P(BC) + P( ABC) = 0.11，
aw 故 P(ABC + ABC + ABC) = P(ABC ) + P(ABC ) + P(ABC) = 0.62 ．
hd 4．连续抛掷一枚硬币 3 次，求既有正面又有反面出现的概率．
（2） P( ABC ) = P( A U B U C) = 1 − P( A U B U C) = 0.2 ；
（3） P( ABC ) = P( AB ) − P( ABC) = P( A) − P( AB) − P( AC) + P( ABC) = 0.3 ；
om （4）因 P(ABC ) = P(AB) − P(ABC) = P(B) − P(AB) − P(BC) + P( ABC) = 0.21 ，
U
C)
=
P(
A)
+
P(B)
+
P(C)
−
P(
AB)
−
P(
AC)
−
P(BC)
+
P(
ABC)
=
1 4
+
1 4
+
1 4
−
1 8
=
5 8
．
2．设 P (A) = 0.4，P (B) = 0.5，P (A∪B) = 0.7，求 P (A − B)及 P (B − A)．
1
解：因 P (AB) = P (A) + P (B) − P (A∪B) = 0.4 + 0.5 − 0.7 = 0.2，则 P (A − B) = P (A) − P (AB) = 0.4 − 0.2 = 0.2，P (B − A) = P (B) − P (AB) = 0.5 − 0.2 = 0.3．
A55
= 120 ，事件 A 中样本点数 kA = 2，则 P( A) =
kA n
=
1 60
= 0.0167 ．
7． 10 把钥匙中有 3 把能打开某一门锁，今任取两把，求能打开某该门锁的概率．
后解：样本点总数 n = C120
= 45 ，事件 A 中样本点数 k A
= C71C31
+ C32
=
24 ，则 P( A) =
.co 则 P(A) = 1− P(A) =1− kA =1− ⎜⎛ 364 ⎟⎞100 = 0.2399 ．
n
⎝ 365 ⎠
aw 12．在 [0, 1] 区间内任取两个数，求两数乘积小于 1/4 的概率．
d 解：设所取得两个数为 x, y，Ω = {(x, y) | 0 < x < 1, 0 < y < 1}， A = {(x, y) | 0 < x < 1, 0 < y < 1, xy < 1} ，
c A = {(a, b), (a, c), (a, d), (b, a), (c, a), (d, a)}． w. 2．某射手射击目标 4 次，记事件 A =“4 次射击中至少有一次击中”，B =“4 次射击中击中次数大于 2”．试
a 用文字描述事件 A 与 B ． d 解： A 表示 4 次射击都没有击中， B 表示 4 次射击中击中次数不超过 2． h 3．设 A, B, C 为三个事件，试用事件的运算关系表示下列事件：（1）A, B, C 都发生；（2）A, B, C 都不发
证：（1） AB U ( A − B) U A = AB U AB U A = A(B U B ) U A = AΩ U A = A U A = Ω ；
（2） ( A U B)( A U B )( A U B) = ( A U BB )( A U B) = ( A U ∅ )( A U B) = A( A U B) = AA U AB = AB ．
h4
.k 有
m (Ω)
=
1， m(A)
=
∫1 1
(1
−
4
1 )dx 4x
=
(x
−
1 4
ln
x)
1 1
4
=1−
(1 4
−
1 ln 4
1) 4
=
3 − 2ln 2 4
=
0.4034 ，1
y
www 则 P(A) =1− P(A) =1− m(A) = 1+ 2ln 2 = 0.5966 ． m(Ω) 4
0 1/4
习题 1.2
1．设 P (A) = P (B) = P (C) = 1/4，P (AB) = P (BC) = 0，P (AC) = 1/8，求 A、B、C 三个事件至少有一个发
生的概率．
解：因 P (AB) = P (BC) = 0，且 ABC ⊂ AB，有 P (ABC) = 0，
则
P(
A
U
B
概率论第一章习题解答
习题 1.1
1．写出下列随机试验的样本空间Ω及指定的事件：（1）袋中有 3 个红球和 2 个白球，现从袋中任取一个球，观察其颜色；（2）掷一枚硬币，设 H 表示“出现正面”，T 表示“出现反面”．现将一枚硬币连掷两次，观察出现正、反面的情况，并用样本点表示事件 A =“恰有一次出现正面”；（3）对某一目标进行射击，直到击中目标为止，观察其射击次数，并用样本点表示事件 A =“射击次数不超过 5 次”；（4）生产某产品直到 5 件正品为止，观察记录生产该产品的总件数；（5）从编号 a、b、c、d 的四人中，随机抽取正式和列席代表各一人去参加一个会议，观察选举结果，并用样本点表示事件 A =“编号为 a 的人当选”．
解：分别设 A, B, C 表示此人喜欢读 A, B, C 报，有 P (A ) = 0.45，P (B ) = 0.34，P (C ) = 0.2，P (AB ) = 0.1， P (AC ) = 0.06，P (BC ) = 0.04，P (ABC ) = 0.01，（1）P (A∪B∪C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC ) = 0.8；