第8章 本构方程的原理..
弹塑性力学简答题
弹塑性力学简答题第一章 应力1、 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。
2、应力边界条件所描述的物理本质是什么？物体边界点的平衡条件。
3、对照应力张量ij δ与偏应力张量ij S ，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系？相同。
110220330S S S σσσσσσ=+=+=+。
4、为什么定义物体内部应力状态的时候要采取在一点的领域取极限的方法？不规则，内部受力不一样。
5、解释应力空间中为什么应力状态不能位于加载面之外？保证位移单值连续。
连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。
6、Pie 平面上的点所代表的应力状态有何特点？该平面上任意一点的所代表值的应力状态1+2+3=0，为偏应力状态，且该平面上任一法线所代表的应力状态其应力解不唯一。
固体力学解答必须满足的三个条件是什么？可否忽略其中一个？第二章 应变1、从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。
从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目，求解出的位移不单值。
从物理角度看，物体各点可以想象成微小六面体，微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入”，即产生不连续。
2、两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力（且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？相同。
应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关。
3、应力状态是否可以位于加载面外？为什么？不可以。
保证位移单值连续。
连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。
4、给定单值连续的位移函数，通过几何方程可求出应变分量，问这些应变分量是否满足变形协调方程？为什么？满足。
本构方程
cijkl = νδ ijδ kl + αδ ik δ jl + βδ ilδ jk
其中ν , α , β 是标量
3）偏应力张量是对称张量
cijkl = c jikl , 于是的证明 将原坐标系绕
x3 轴转 90 ，变换矩阵：
∂ul = skl + Akl，于是 分解 ∂xk
τ ij = cijkl skl + cijkl Akl = cijkl skl
τ ij = λδ ijδ kl skl + µ (δ ik δ jl + δ ilδ jk ) skl
= λ skk δ ij + 2 µ sij
cijkl = λδ ijδ kl + µ (δ ik δ jl + δ ilδ jk )
Newton粘性定律
∂u τ =µ ∂y
τ ij = cijkl
∂uk ∂xl
四阶张量 cijkl 表征流体的粘性 • 各向同性流体及其四阶张量的形式 1）各向同性流体 指表征流体物理性质的张量其张量元不 随坐标系的旋转而改变 ∂ul′ ′ cijkl = cijkl ′ ′ τ ij = cijkl ′ ∂xk
5）将 cijkl 的表达式带入上式，得
最后得到： pij = − pδ ij + λ skk δ ij + 2µ sij
1 2 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ = − pδ ij + 2 µ ⎜ sij − skk δ ij ⎟ + ⎜ λ + µ ⎟ skk δ ij 3 3 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
1 ⎛ ⎞ pij = − pδ ij + 2 µ ⎜ sij − skk δ ij ⎟ + µ ′skk δ ij 3 ⎝ ⎠
第8章本构方程的原理
第8章 本构方程的原理连续介质力学的基本方程式：1．物理定律①Euler 描述法质量守恒：div 0ρρ+=v &动量守恒： div T f a ρρ+= 动量矩守恒：T T T =局部能量守恒：div T :D u r h ρρ=+-&&&熵产率原理：()grad T :D h /i TsTs u T T ρρρ=+--⋅&&&&≥0 ②Lagrange 描述法：可用S 表示，也可以用ˆT表示上述公式 2．几何关系式T 1()2=+D G G 其中grad G v =T grad F x FGF EF DF ===&& 以上均为几何量及其之间的描述3．本构方程式：材料属性（本章讲解的内容）①应力应变关系（材料力学中） ②热传导过程（热力学中） 本构方程式的建立：a ）实验：三向荷载无法实验（穷举实验不可能），只能用特定材料。
b ）假定：再用实验方法进行验证；或根据实际（工程）现象进行某些假设。
C ）原理：从原理出发，研究本构方程→本构方程的框架；对推导本构方程具有指导意义。
4．初始条件和边界条件。
以上构成连续介质力学的定解问题，本章讲叙本构方程的原理。
§8.1 本构方程的概念1．材料的力学行为及其流变学分类力学性质外部干扰（荷载）广义荷载（机械性载荷（力）、非机械性载荷（如温度等）） 材料力学行为：材料在外部干扰下的响应（或反应） 材料的力学行为复杂。
唯象观点（客观理论）：根据响应结果、响应现象建立理论（不管原因）。
不管响应产生的机制。
如轴向拉压：P -δ图。
材料的破坏的二个最基本形式：① 韧性破坏（有明显的变形） ② 脆性破坏：（无显著变形）材料的破坏形式不是固有的，即不能称某材料为韧性或脆性的，只能说某材料在某种条件下显现为韧性或脆性。
（这些条件包括：温度、应力状态等）。
如：高温下（地震）的岩石可流动、海底岩石也显现为韧性，钢在低温下显现为脆性等。
弹性力学 本构方程 刚度矩阵 柔度矩阵
弹性力学本构方程刚度矩阵柔度矩阵弹性力学本构方程刚度矩阵柔度矩阵中文名称:弹性力学英文名称:theory of elasticity其他名称:弹性理论定义:研究弹性体在荷载等外来因素作用下所产生的应力、应变、位移和稳定性的学科。
所属学科:水利科技(一级学科) ;工程力学、工程结构、建筑材料(二级学科) ;工程力学(水利)(三级学科)弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。
在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。
材料力学基本上只研究杆状构件;结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统;而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。
弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。
它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。
弹性体是变形体的一种，它的特征为:在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。
绝对弹性体是不存在的。
物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。
弹性力学的发展大体分为四个时期。
人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。
当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。
发展初期的工作是通过实践，探索弹性力学的基本规律。
这个时期的主要成就是R.胡克于1678年发表的弹性体的变形与外力成正比的定律，后来被称为胡克定律。
第二个时期是理论基础的建立时期。
这个时期的主要成就是，从1822,1828年间，在A.-L?柯西发表的一系列论文中明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量概念，建立了弹性力学的几何方程、平衡(运动)微分方程，各向同性和各向异性材料的广义胡克定律，从而为弹性力学奠定了理论基础。
本构方程公式
本构方程公式本构方程公式是描述物质微观结构与宏观性质关系的重要数学工具。
它可以用来解释物质的力学性质、导电性、热传导性以及其他许多重要性质。
本构方程公式的形式各异，根据不同的物质以及不同的性质，可以采用不同的数学表达形式。
本构方程公式通常由各向同性和各向异性两种情况。
各向同性是指物质在各个方向上的性质是相同的，而各向异性是指物质在不同方向上的性质存在差异。
各向同性的本构方程公式一般比较简单，常用的模型包括胡克定律、牛顿黏性定律等。
胡克定律是最基本的本构方程公式之一，它描述了线弹性固体的应力-应变关系，可以用来解释材料在小应变下的力学性质。
牛顿黏性定律是另一种常用的本构方程公式，用来描述流体的运动行为。
根据牛顿黏性定律，流体的剪切应力与剪切速率成正比。
这个比例系数就是流体的黏度，它决定了流体的黏性大小。
牛顿黏性定律适用于大多数流体，包括液体和气体。
除了各向同性的本构方程公式，各向异性的本构方程公式也非常重要。
各向异性是许多材料的特性，比如晶体材料、纤维材料等。
晶体材料的本构方程公式可以通过晶体的晶格结构来描述，而纤维材料的本构方程公式则可以通过纤维的微观结构和取向来描述。
各向异性的本构方程公式通常比较复杂，需要考虑材料的非线性效应和取向效应。
本构方程公式是描述物质性质与微观结构之间关系的重要工具。
它可以用来解释物质的力学性质、导电性、热传导性等重要性质。
根据不同的物质和性质，本构方程公式的形式各异。
各向同性的本构方程公式常用于描述线弹性固体和流体的性质，而各向异性的本构方程公式则适用于描述晶体材料和纤维材料等各向异性材料的性质。
通过研究和理解本构方程公式，我们可以深入了解物质的微观结构与宏观性质之间的关系，为材料设计和工程应用提供理论依据。
本构方程
科技名词定义
中文名称：
本构方程
英文名称：
constitutive equation
定义：
描述特定物质或材料性质和响应特性的方程。
应用学科：
材料科学技术（一级学科）；材料科学技术基础（二级学科）；材料科学基础（三级学科）；材料设计、模拟与计算（四级学科）
以上内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布
牛顿流体
(1)粘度η=η(T，p),函数的具体形式随流体和温度范围而变；(2)应力张量的一部分是压力p,此外，还加上同粘性和变形率（见流体力学）有关的张量，其分量为
公式
式中Up(U3,U3,U3)为流速U的三个分量;(3)rho;(x,y,z,t)=常数,或任何形式的具体状态方程f1(p,rho;,T)=0,f2(e,p,S)=0。
开放分类：
科学，物理
“本构方程”相关词条：
无粘流体
(1)粘度为零，即η=η┡=0，η和η┡为粘度和第二粘度；(2)应力张量只是压力p;(3)密度均匀不变，ρ(x，y，z，t)=常数，或是在密度显著变化时采用常比热完全气体（见流体力学的能量方程）的模型：定容比热容сv=常数，定压比热容сp=常数，p=ρRT，式中T为热力学温度，R为普适气体常数。单位质量内能e=сvT，熵S－S0=сvlnpρ-γ，式中γ为сp/сv,S0为某一约定状态的熵值。
完全弹性体
（各向同性）是固体力学中发展得最为成熟的部分，在直角坐标系中它的本构方程是应力张量的六个分量
流速U的三个分量
σxx,σyy,σzz,σxy,σyz,σzx同应变张量的六个分量
六个分量
exx,eyy,ezz,exy,eyz,ezx之间的线性关系，由胡克定律表述式中E是杨氏模量，v是泊松比，同粘性流体相比，这里既没有热力学量，也没有对时间的导
第8节 本构方程的原理
第8章 本构方程的原理连续介质力学的基本方程式：1．物理定律①Euler 描述法质量守恒：div 0ρρ+=v 动量守恒： div T f a ρρ+= 动量矩守恒：TT T =局部能量守恒：div T :D u r h ρρ=+-熵产率原理：()grad T :D h /i Ts Ts u T T ρρρ=+--⋅≥0② Lagrange 描述法： 可用S 表示，也可以用ˆT表示上述公式 2．几何关系式T 1()2=+D G G 其中grad G v = T grad F x F GF E F DF===以上均为几何量及其之间的描述3．本构方程式：材料属性（本章讲解的内容）①应力应变关系（材料力学中） ②热传导过程（热力学中） 本构方程式的建立：a ）实验：三向荷载无法实验（穷举实验不可能），只能用特定材料。
b ）假定：再用实验方法进行验证；或根据实际（工程）现象进行某些假设。
C ）原理：从原理出发，研究本构方程→本构方程的框架；对推导本构方程具有指导意义。
4．初始条件和边界条件。
以上构成连续介质力学的定解问题，本章讲叙本构方程的原理。
§8.1 本构方程的概念1．材料的力学行为及其流变学分类力学性质外部干扰（荷载）广义荷载（机械性载荷（力）、非机械性载荷（如温度等）） 材料力学行为：材料在外部干扰下的响应（或反应） 材料的力学行为复杂。
唯象观点（客观理论）：根据响应结果、响应现象建立理论（不管原因）。
不管响应产生的机制。
如轴向拉压：P -δ图。
材料的破坏的二个最基本形式：① 韧性破坏（有明显的变形） ② 脆性破坏：（无显著变形）材料的破坏形式不是固有的，即不能称某材料为韧性或脆性的，只能说某材料在某种条件下显现为韧性或脆性。
（这些条件包括：温度、应力状态等）。
如：高温下（地震）的岩石可流动、海底岩石也显现为韧性，钢在低温下显现为脆性等。
通常我们称某材料为韧性或脆性的，是以静载、常温、正常环境条件和应力状态下材料呈现的性质为依据的。
结构方程原理课件
1 z3
1 e17 e16 e18 1 1 a17
a16 1
顾客满意
1 z4
a18
1 e23 e22 e24 1 1 a23 a22 1 a24
顾客忠诚
1 z5
测 量 模 型
• 测量模型：对于指标与潜变量间的关 系,通常写成如下测量方程:
x=Λxξ+δ y=Λyη+ε
ξ——外因潜变量(自变量） η——内因潜变量(果变量）
4
X5
5
X6
6
X7
7
X8
8
模型 的 设定
识别
估计
评估
修正
结 构 模 型
• SEM可用以下结构方程表示潜变 量之间的关系：
η=Bη+Γξ+ζ
η——内因潜变量(果变量） ξ——外因潜变量(自变量） B ——内因潜变量间的关系 г——外因潜变量对内因潜变量的影响 ζ——结构方程的残差项，反映了η在方 程中未能被解释的部分。
e6 1 a6
质量期望
e7 1 a7
e8 1 a8
e1 1 a1 1
e2
1
e3 1 a3
a2
超市形象
1 z1
1 z2
1 e14 e15 1 a14 a15 1
感知价格
1 z3
1 e17 e16 e18 1 1 a17
a16 1
顾客满意
1 z4
a18
1 e23 e22 e24 1 1 a23 a22 1 a24
结 构 方 程 模 型 的 优 点
(1) 测量表中的每个题项可以同时分属于不 同的公共因子，并可设定一个固定的因子负荷量， 或将数个题项的因子负荷量设为相等。而因子分 析中测验的个别项目只能被分配给一个公共因子， 并只有一个因子负荷，如果一个测验题项与两个 或两个以上的因子构念间有关，则因子分析就无 法处理。 (2) 可根据理论和经验，设定某些 公共因子之间具有相关与否，甚至于将 这些公共因子间的相关设定为相等的关 系。而因子分析中，公共因子之间不是 完全没有关系就是完全相关。
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第8章 本构方程的原理连续介质力学的基本方程式：1．物理定律①Euler 描述法质量守恒：div 0ρρ+=v 动量守恒： div T f a ρρ+= 动量矩守恒：TT T =局部能量守恒：div T :D ur h ρρ=+- 熵产率原理：()grad T :D h /i TsTs u T T ρρρ=+--⋅ ≥0 ② Lagrange 描述法： 可用S 表示，也可以用ˆT表示上述公式 2．几何关系式T 1()2=+D G G 其中grad G v = T grad F x FGF EF DF === 以上均为几何量及其之间的描述3．本构方程式：材料属性（本章讲解的内容）①应力应变关系（材料力学中） ②热传导过程（热力学中） 本构方程式的建立：a ）实验：三向荷载无法实验（穷举实验不可能），只能用特定材料。
b ）假定：再用实验方法进行验证；或根据实际（工程）现象进行某些假设。
C ）原理：从原理出发，研究本构方程→本构方程的框架；对推导本构方程具有指导意义。
4．初始条件和边界条件。
以上构成连续介质力学的定解问题，本章讲叙本构方程的原理。
§8.1 本构方程的概念1．材料的力学行为及其流变学分类力学性质外部干扰（荷载）广义荷载（机械性载荷（力）、非机械性载荷（如温度等）） 材料力学行为：材料在外部干扰下的响应（或反应） 材料的力学行为复杂。
唯象观点（客观理论）：根据响应结果、响应现象建立理论（不管原因）。
不管响应产生的机制。
如轴向拉压：P -δ图。
材料的破坏的二个最基本形式：① 韧性破坏（有明显的变形） ② 脆性破坏：（无显著变形）材料的破坏形式不是固有的，即不能称某材料为韧性或脆性的，只能说某材料在某种条件下显现为韧性或脆性。
（这些条件包括：温度、应力状态等）。
如：高温下（地震）的岩石可流动、海底岩石也显现为韧性，钢在低温下显现为脆性等。
通常我们称某材料为韧性或脆性的，是以静载、常温、正常环境条件和应力状态下材料呈现的性质为依据的。
影响（决定）材料力学性质的主要因素有：1）材料的固有的成份、组成、内部构造等微观因素有关。
例如，一般的铸铁是脆性的，但球墨化可使其增韧；而钢中掺碳可使其增强变脆。
利用这一点可以人工改善材料性质，甚至设计材料。
目前自然界材料、普遍高强、低韧，人们要保持其强度，但要提高韧度。
形成一门科学性——材料科学-力学，较成功的材料为：陶瓷增韧。
2）材料的力学行为通常通过对构件进行实验，构件的尺寸、形状会影响材料的力学性质。
如岩石实验，用一块体作实验，实验结果严格地说应为结构的响应，并非真正的材料的响应，构件越大，包含缺陷越多。
3）外部环境：周围介质、温度、辐射、磁场。
4）加载方式：速度、交变、应力状态。
高速加载带粘性，交变使材料变脆，三向等拉变脆，三向等压变韧。
裂纹尖端三向等拉。
5）时间因素：老化。
理论上说：将上述因素作为参数，来确定一个区分韧性破坏和脆性破坏区的过渡区（但实际上要做到是很困难的，甚至不可能的）。
因此，要描述材料的力学性质是非常困难的，到目前为止，不可能用一个函数来直接、全部描述材料性质。
目前可行的办法：根据各种材料（常见材料），在一定条件下的主导行为（主要表现、性质、抓主要矛盾）进行分类。
建立相应的模型（模拟原型），及对应的理论。
每一个模型不是一种或一类材料力学性质的直接和全部的描述，而是多种材料在各自一定条件下共同主导行为的模拟。
这种在总体唯象方法上建立起来的材料性质的分类法称为流变学分类法，1930年由Bingham提出的，在50年代得到重要的发展。
例如：较一个典型的单元体，从它受干扰的响应分为：（单元体是一个微小系统，简称为系统）。
一、长程系统：材料的响应不仅与该系统的状态变量的现时值及其其全部历史有关，而且与物质其它质点（单元体）的状态变量及全部历史有关，甚至认为与体积力有关。
（最复杂的材料性质）。
二、短程系统：材料的响应与本单元体的状态变量的现时值及其全部历史有关，与其它质点的状态参数无关。
力学中现有的流变模型大我数属短程系统。
短程系统分为两类：①梯度形：不仅与上述因素有关，而且与状态变量的梯度有关。
如：与ε，σ有关，且与εσ,x x∂∂∂∂有关。
②非梯度形：与状态变量梯度无关。
（现学的本构方程属于这类）。
短程系统：①老化；②非老化。
力学中研究的对象为：短程，非梯度型，非老化。
干扰→引起响应)(蠕变后效即时的移去干扰→消减响应不可逆响应部分可逆响应部分于是可得出以下的分类框图（未考虑材料的损伤）通常将（热）弹性、塑性和粘性视作基本的流变模型。
其实材料在一定条件下，一般地可用上述三种模型之一或其组合来模拟。
如：弹塑性、粘弹性、粘塑性、弹-粘塑性等。
如上所述，这种流变分类法不是固有的，而是一种人为的分类方法，它只是提供材料一般性质的参考框架。
给定材料的行为，只相对于预期的用途和期望的精度而言，才可用一种流变模型来表示。
例如室温下的钢、按其设计用及期望精度可被视为下列模型：①线弹性的——对于结构的静力分析（小变形）②粘弹性的——对于振动阻尼分析③刚塑性的——对于塑性极限分析（土木）④弹性强化的——对精确计算残余变形⑤弹粘塑性的——对应力松驰分析⑥韧性损伤的——对于求加工限度（成型极限，分几次成型）⑦疲劳损伤的——对于估计构件寿命时。
2．状态变量（参数）力学-热学系统的状态要有一定的变量来描述或确定，称为状态变量。
状态变量变化必定引起或对应于状态变化，称为过程。
状态变量分两类：①独立的状态变量；②可用独立状态变量来表示的，称为状态函数。
体积V、应变（ε）、温度（T）称为独立变量，压力p，应力（T）、内能（u）或自由能（ψ），熵（s）、热流矢（h）称为状态函数。
状态变量之间的函数关系系，称为本构方程。
在空气动力学中称状态方程。
应变、组分浓度等称为运动性状态变量，与绝对温度一起构成为独立状态变量。
也可以应力作为独立状态变量。
相应地应变为状态函数。
广义虎克定律中可用应变表示应力，反之也行。
状态函数中有一类特殊函数，称为态函数，即此类函数只与独立状态变量的值有关，而与变化的过程（历史）无关，具体地说，与独立的状态变量的变率ε 、T 无关，e，ψ、s 等是态函数，它们的增量是数学中的全微分。
§8.2 本构方程的表述方法三大方法：1．微观方法：在原子、分子或晶粒尺度上来考虑或模型材料的变形或断裂，再将微观变量（位错浓度、孔洞浓度、构成等）加以整体化或平均化，以获材料的客观行为（该法距离应用还远）。
对于微体力学，要用微观方法，如生物力学中血管流动力学等。
2．热力学方法：引入等价于真实介质的均匀介质（均匀、连续假设），引入宏观的内变量来反映材料行为的不可逆过程，即材料的历史相关性。
用 ,3,2,1(=k k α，熊书77页）表示内变量，则本构方程可表示为：()())()T T ,,,,,,h h ,,k k k k k k k k T q s s T q T q T q ααψψαα===(=其中，T 为Euler （Cauchy ）应力张量，s 为比熵，ψ为比自由能（也可用比内能u ，Ts u -=ψ），h 为热流矢。
上述四类本构方程中，若为可逆过程，则k q 没有出现，若为不可逆过程，则k q 出现，由于k q 的出现，多了未知数，因此，还要建立内变量的变化规律为（率方程）：),,(k k k k q T q qα = 3．泛函表述法（上面用“∧”表示泛函）：[()()]()()]()()]()()]()()]ˆT Tx X ,,X ,,X ,ˆx X ,,X ,,X ,ˆx X ,,X ,,X ,ˆx X ,,X ,,X ,ˆh hx X ,,X ,,X ,t T t t t T t t u ut T t t s st T t t t T t t ψψ''''=''''=[''''=[''''=[''''=[ 其中，左边的量与2中叙述相同，右边的量为：X '为该单元体以外所有的质点（长程系统），X 为该单元体内的质点，t '：表示时刻t 以前的所有的时间（∞-≤t '≤t ）。
最后导出一个积分型的遗传规律（与历史有关），这个规律表示材料的特征函数。
微观方法难在：微观变量不好测量，且平均化有误差。
热力学方法难在：①引入的势函（自由能ψ，耗散势）难于直接观测；②内变量按定义就是不可直接观测的，有人为的任意性。
泛函方法难在：具体写出泛函数的形式。
粘弹性力学用泛函方法，但不是直接写出泛函的形式，而是一个积分形式。
微观和宏观相结合的方法建立了本构方程，目前有用。
§8.3 本构方程的原理（相当于工程中的规范）1．确定性原理：认为任何力学—热学状态都是可确定的。
ⅡXx牛顿经典力学确定性原理：只要知道初始状态就可知任何状态。
近代力学确定性原理：只要知道现在和历史，方可知未来。
但现在的浑沌问题具有不确定性。
令：τ-=t t *，为从现时刻t 回到τ时刻的经过的时间。
物质点X 在t 时刻以前的变形史()()t t *x X , 0*=t 为现时刻，0*>t 为过去时刻。
或记为：()((t t ττ-)=)x X ,x X , 按确定性原理写出的本构方程为：()()()t t t =ˆT X ,Tx ;X , 其中ˆT称为本构泛函——单值性。
2．局部作用原理（短程原理）只与本身单元有关，与周围无关。
即：离开物质点X 有限距离之外的物质点的变形史与X 点的应力无关。
以X 为中心取一领域()R X()R ∈z X 即 δ-<z X设()x t 和()ˆxt 是二个变形史，在()R X 内的物质点变形史完全一样，但在()R X 以外的物质点的变形史不一样，根据确定性原理，分别写出其本构方程，于是有：()()()()t t t t =ˆˆˆTx ;X ,T x ;X , 3．客观性原理：（时空系无关原理，标架无关原理）材料本构方程完全决定于材料本身的本构属性。
材料的本构方程与观察者所处的时空系无关；作相对运动的两个观察者观测同一个本构实验，应得到同一个本构方程。
以上为Noll 三原则（1958年），后又提出以下原理（进一步完善）。
4．短暂记忆原理衰减记忆过去∞-tτ5．坐标系不变性原理本构方程是张量方程，张量是坐标系不变的。
6．许可性原理本构方程不违反守恒定律和熵不等式。
7．等存在性原理各类本构方程所包含的状态变量相同。
如果对一类本构方程证明某个变量难排除，则一般地在其它级本构方程中也不包含该变量。