电路分析基础_第5讲(ch1线性电路和叠加定理)
叠加原理与线性定理
3 5
A
⊥ 53 2I
若用节点法求：
I
2 1
10
2
4
4-2 齐次定理
R1
引例：
I
Us R1 R2
R1 R1 R2
Is
Us
U
R2 R1 R2
Us
R2 R1 R1 R2
Is
R2
Is
一、定理：线性电路中，当所有激励增大K倍时，其响应
也相应增大K倍。（齐次性）
二、意义： 反映线性电路齐次性质。
解： 移去待求支路,有
I2
6kI 2kI 4k(I 10m) 0
I 5mA Uoc 6kI 30V
除源外加电压,有 由等效电路2kI 4k(i I) u
+
i
u Ro i 6k
+
30V
u
Uoc
-
-
17
例6：求出图示电路的戴维南等效电路。
32
4 等效电源定理:
线性含源单口网络对外电路作用可等效为一个理 想电压源和电阻的串联组合或一个理想电流源和电阻的 并联组合。
5 最大功率传输定理:
一个实际电源模型（Uo、Ro）向负载RL传输能量，当
6
且仅当RL= Ro时，才可获最大功率Pm。 互易定理:
Pm
Uo2 4Ro
在线性无源单激励电路中，激励与响应互换位置， 响应不变。
-
-
8
4-4 等效电源定理
一、引例
将图示有源单口网络化简
为最简形式。
Us
I0
Us R1
Is
R0
R1R2 R1 R2
R1 R2
Is Isc
Ro Io
ch1电路及其分析方法
1.6 电阻串并联联接的等效变换
1.6.1 电阻的串联
I
特点: + + (1)各电阻一个接一个地顺序相联； U1 R1 (2)各电阻中通过同一电流； – U + (3)等效电阻等于各电阻之和； U2 R 2 R =R1+R2 – – (4)串联电阻上电压的分配与电阻成正比。 两电阻串联时的分压公式： I R1 R2 U1 U U2 U + R1 R2 R1 R2 U R 应用： 降压、限流、调节电压等。 –
A
I1
1
E2
2
R2
B
I3
3
R3
I2
支路：电路中的每一个分支。（流同一电流） 结点：三条或三条以上支路的联结点
回路：由支路组成的闭合路经。 回路绕行方向： 人为规定的回路的绕向 独立回路及选取方法：至少有一条其他回路没有包含的支路。 网孔：内部不含支路的回路。 网孔是回路的一个子集，按网孔选定的回路都是独立的。
1．定律:
B
在任一瞬间，回路中沿任意回路绕行方向，回路中各 段电压的代数和恒等于零。（或电动势等于电压降）。 即： U = 0 （ 电位降低取正，电位升高取负） 或： E= I R （当E和I的正方向与回路绕向相同取正， 相反取负。）
2、 KVL 推广应用于假想的闭合回路
A + + U + UA _
5、关联方向：
1) 若把U 与I 的参考方向按相同方向假设，则称为关联方向 2) 若把U 与I 的参考方向按相反方向假设，则称为非关联方向
6、
欧姆定律
的参考方向关联， 的参考方向非关联，
I
若：U、I 若：U、I
则：U = IR 则：U = －IR
线性电路的性质叠加定理
I 3A
U 31 9 ( 3) V 1 3 4
3. 所有电源一起作用：
3 U U U V 4
I I I 1.5A
例4
图示电路，当us=2V，is=2A，测得i=7A；
当us=0.5V，is=1A，测得i=4A。 问若us=-2.5V，is=2A，i=?
§2 1
线性电路：
线性电路的性质·叠加定理
由线性元件和独立源构成的电路称为线性电 路(linear circuit)。 性质： 1. 齐次性 2. 可加性
齐次性
将电路中所有激励 均乘以常数k，则所有响应 也应乘以同一常数k。
例
i1 i2 is
4i2 2i1 us
解得
1 2 i1 us is 6 3
I 2 (0.600 0.333) mA 0.267 mA I = I1
R1 I1 1.533 V U R2 I 2
两电源共同作用
I = I + I =( 3.900 + 0.267 ) mA= 4.167 mA U = U + U = (1.200 + 1.533 ) V= 0.333 V
注意：
1. 线性电路中的一个激励（或一组独立源）单独作用时 ， 其余的激励应全部等于零。令 us=0, 即电压源 代之以短路； 令 is=0, 即电流源 代之以开路。所有元件的参数和联接方式 均不能更动。 2. 在含受控源的电路中，受控源的处理与电阻元件相同， 均须保留 ，但其控制变量将随激励不同而改变。 3. 适用于电流和电压，而不适用于 功率 。 4. 叠加的结果为代数和，因此应注意电压与电流的参考方向。
电路齐性定理和叠加定理
电路齐性定理和叠加定理1．齐性定理齐性定理：在只有一个激励作用的线性电路中，设任一响应为，记作，若将该激励乘以常数K，则对应的响应也等于原来响应乘以同一常数，即。
图1 齐性定理示例(1)当电压源电压改为时，设回路电流为，同样可以列得回路电流方程：(2)另外，如将式(1)各项乘以，方程仍成立，此时得(3)方程(2)与(3)是两个系数相同的线性方程组，所以有，即回路电流等于原来的倍。
电路中其它响应均可通过回路电流的线性组合而得，所以它们的量值也同样变为原来的倍。
例题1：图示电路中电阻。
(1)若使I0 = 1A，求US的值。
(2)若US = 66V，求各支路电流。
图2 例题1解：(1)根据KVL、KCL及欧姆定律，由已知电流依次递推可以求出其它支路电流：,,,,故所需电源电压为：(2) 此时相当于将电压源乘以常数，根据齐性定理，各支路电流均变为原来量值的K倍，即，，，，，。
2．叠加定理叠加定理：在线性电路中，由几个独立电源共同作用产生的响应等于各个独立电源单独作用时产生相应响应的代数叠加。
图3 叠加定理示例解：图(a)电路：图(b)电路：图(c)电路：将上面两个方程等号两侧对应项相加，得注：1、功率与独立电源的源电压和源电流不是线性关系，所以功率不能直接用叠加关系来计算。
2、线性直流电路的任一响应都是该电路中独立电源的线性组合，即例题2：图4(a)电路，用叠加定理计算电压U。
图4例题2解：(1)先使独立电流源单独作用，电压源用短路代替，得图(b)，计算其中电压。
利用电阻的串、并联等效及分流公式得(2)再使独立电压源单独作用，电流源用开路代替，得图(c)，计算其中电压。
(3)根据叠加定理得待求电压例题3：图示电路，已知当时，电压。
求当，其它条件不变时电压U的值。
图5例题3解：根据已知条件，将电压源分解成。
再利用叠加定理，将图(a)电源的作用情况分解成图(b)和图(c)。
在图(b)中，所以；图(c)中，只有单独作用，对其列回路电流法方程可得解得，故题中所求电压。
线性电路和叠加定理
（2）它们与元件的电流电压扮演
O
完全不同的角色。它们是电路的输
入，对电路起着激励(excitation)作用，
而后者只是激励所引起的响应
(response)。
2/25
u
R
1
O
i
i i
is(t1)
O
u
电路分析基础——第一部分：1-11
3/25
因此，尽管电源是非线性的，但只要电路其他部分由线性 元件组成，响应和激励之间存在线性关系。
i3 +
R1 i1 is
us –
i2 +
R2 u2 –
电路分析基础——第一部分：1-11
6/25
由支路电流法结合KCL 和KVL得：
i1 – i3 = 0 - i1 + i2 = is
(1- 47) (1- 48)
1 + u1 – 2
i3 +
R1 i1 is
us –
i2 +
R2 u2 –
R1i1 + u2 = us (1- 49)
4U4
– 12
但根据电路的比例性可知，若Us增加为66V的2.5倍，则电路 中各电流、电压也都相应地增加2.5倍。
即
I5=2.5A， I4=7.5A， I3=10A， I2=5A， I1=15A
U4=30V， U3=60V， U2=90V， U1=75V
电路分析基础——第一部分：1-11
16/25
（1） 电流源开路
电路分析基础——第一部分：1-11
22/25
（2）其次考虑只有电流源，电压源短路。
利用支路电流法得：
I” – Ix” = 3 (KCL) 2 Ix” +I” + 2 Ix” = 0
第五章 电路基本定理
us1
us2
us3
i12 R1 R2 ia2 + ib2 – R3 i13 R1 ia3 R2 R3 ib3 + –
us1
us2
us3
证明
i1 = i11 + i12 + i13
i11 R1 i + a1 – R2 ib1 R3
i12 R1 ia2 R2 + ib2 – R3
i13 R1 ia3 R2 R3 ib3 + –
例如图(a)所示电路，已知电路N的电压-电流关系为
u=i+5.8V，试用置换定理求解电路中支路电流i1、i2。
i1 i
i u
i2
u
(b) (a) 解: 先求出图(a)所示电路N左侧一端口电路的电压-电流 关系，如图(b)所示，端口的节点方程为
1 1 1 ( + )u = × 4 − i 4 6 4
1Ω u（1） ＋ (1) 2i － － ＋
＋
i (2)
2Ω
5A 1Ω ＋ (2) 2i －
上页
＋ u(2) －
下页
例3
封装好的线性电阻电路如 图，已知下列实验数据： 当 uS = 1V , i S = 1 A 时，
＋
uS
－
响应 i = 2 A 当 uS = −1V , i S = 2 A 时， 响应 i = 1 A
iS
NO
i
研究 激励 和响 应关 系的 实验 方法
求 uS =－ V , i S = 5 A 时， 3 响应 i = ？
解
根据叠加定理，有： 代入实验数据，得：
k1 + k 2 = 2 2 k1 − k 2 = 1
精品课件-电路定理PPT课件
Ri
R=8Ω
信号源的内阻Ri为 1kΩ,扬声器上不可能得到最大功率。为了使阻抗匹配,在信号源和扬声器之间连上一个变压器。
变压器
变压器还有变换负载阻抗的作用,以实现匹配,采用不同的变比,把负载变成所需要的、比较合适的数值。
含源一端口外接可调电阻R,当R等于多少时,它可以从电路 中获得最大功率？求此最大功率。
3、叠加时要注意电流和电压的参考方向与电源分别作用时的方向关系(代数和);4、不能用叠加定理来计算功率,因为功率不是电流或电压的一次函数。以电阻为例:
=
+
图a
图b
图c
例
在图b中
在图c中
图b
图c
所以
=
+
受控电压源
求u3
例:
在图b中
在图c中
所以
(b)
(c)
=
+
上例中,增加一个电压源,求u3
在图b中
替代定理既适用于线性电路也适用于非线性电路.
另外,支路K也可用一个电阻来代替,替代电阻为Rs:
+
+
=8V
例:
工程实际中,常常碰到只需研究某一支路的电压、电流或功率的问题。对所研究的支路来说,电路的其余部分就成为一个有源二端网络,可等效变换为较简单的含源支路(电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路), 使分析和计算简化。戴维宁定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。
精品课件-电路定理
4.1 叠加定理
一、内容 在线性电阻电路中,任一支路电流(或支路电压)都是电路中各个独立电源单独作用时在该支路产生的电流(或电压)之叠加。
二、说明 1、叠加定理适用于线性电路,不适用于非线性电路; 2、叠加时,电路的联接以及电路所有电阻和受控源都不予更动;
线性电路叠加定理的证明
线性电路叠加定理的证明胡世昌【摘要】线性电路必定满足叠加定理,满足叠加定理的电路必定是线性电路,但循环定义无助于识别线性电路和应用叠加定理.文章指出线性是线性系统输人信号与输出信号关系的一种描述,是齐次性与叠加性之和.线性电路元件是电流/电压关系特性符合线性系统输入/输出要求的电路元件,进一步可以分为自身电流与自身电压成线性关系的普通线性电路元件,和控制电压或电流与受控电压或电流成线性关系的受控线性电路元件.线性电路是由线性电路元件和独立源构成的电路,其中独立源被看做线性电路的输入(激励),而电路中的任何电压和电流都被看做是线性电路的输出(响应).最后根据线性概念及基尔霍夫定律,给出了叠加定理的证明.%Linear circuit must meet the superposition theorem, while circuit that meets the superposition theorem must be linear circuit, but circular definition does not help in identifying linear circuits or applying superposition theorem. This article points out that linearity is a description for the input and output signal relation of linear system, which is the sum of homogeneity and additivity. Linear circuit element is any circuit element whosecircuit/voltage relation meet the requirement of linear system input/output relation, which can be further divided into ordinary linear circuit element whose circuit and voltage relation of itself satisfy linearity, and controlled linear circuit element whose controlled signal and control signal relation satisfy linearity. Linear circuit is composed by linear element and independent source wherein independent source is seen as input (excitation) of linear circuit while any voltage and circuit are seen as output(response). Finally a proof is given based on the concept of linearity and Kirchhoff's Law.【期刊名称】《沈阳师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(030)004【总页数】6页(P503-508)【关键词】线性;叠加定理;证明【作者】胡世昌【作者单位】沈阳师范大学科信软件学院,沈阳110034【正文语种】中文【中图分类】TP309.080 引言线性电路和叠加定理是电路分析中十分重要的概念，二者紧密关联，线性电路必定满足叠加定理，满足叠加定理的电路必定是线性电路。
1-9 线性电路与叠加定理
X
例题 试求如图所示电路中的电流 . 试求如图所示电路中的0 ,u
+
u
i 2
2 + us = 4 V
3
4 1 1 ′ 1 ′ 1 + un2 × = 2 is = 2A un 2 2 2 1 1 1 ′ 1 × + u′ 2 + = 0.5u′ un n + u′ ① 2 ② 2 2 4 i′ ' 3 u = 3×2 2A 2 4
内容: 在由线性电阻, 内容 : 在由线性电阻 , 线性受控源及独立源组成的 电路中, 电路中 , 每一元件的电流或电压可以看成是每一个 独立源单独作用于电路时, 在该元件上产生的电流 独立源单独作用于电路时 , 或电压的代数和. 或电压的代数和. 单独作用的含义: 当某一独立源单独作用时 , 其他 单独作用的含义 : 当某一独立源单独作用时, 独立源应为零值 即独立电压源短路, 零值, 独立源应为 零值 , 即独立电压源短路 , 独立电流源 开路. 开路. 注意: 叠加定理在电路具有唯一解的假定下才成立. 注意 : 叠加定理在电路具有唯一解的假定下才成立 .
X
1.线性电路的齐次性(比例性) 线性电路的齐次性(比例性) 线性电路的齐次性
设激励为e(t),响应为 , 设激励为 ,响应为r(t),则在单一激励的电路中有 如下关系: 如下关系: r(t) =Ke(t) 在线性电路中, 是一个常数 是一个常数. 在线性电路中,K是一个常数.即K=const =
i = i′ +i′′ u = u' + u'' p = ui = (u' + u'' )(i′ + i′′) ' = u'i' + u''i′′ + u'i′′ + u''i' ≠ ui' + u''i′′
1-9 线性电路与叠加定理
§1-9 线性电路与叠加定理
北京邮电大学电子工程学院 2009.2
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内容提要
线性电路的齐次性
叠加定理的内容 功率与叠加定理 注意事项
X
1.线性电路的齐次性(比例性) 线性电路的齐次性(比例性) 线性电路的齐次性
X
例题 试求如图所示电路中的电流 . 试求如图所示电路中的电流i.
解:is = 2A作用 s = 0 ,u
+
u
i 2
2 + us = 4 V
3
4 1 1 ′ 1 ′ 1 + un2 × = 2 is = 2A un 2 2 2 1 1 1 ′ 1 × + u′ 2 + = 0.5u′ un n + u′ ① 2 ② 2 2 4 i′ ' 3 u = 3×2 2A 2 4
由线性元件和独立源组成 线性电路(linear circuit): 线性电路 : 的电路. 的电路. 独立源是非线性二端元件, 它作为电路的输入, 通 独立源是非线性二端元件 , 它作为电路的输入 , 常称其为激励 激励(excitation). 常称其为激励 . 响应(response):由激励产生的输出. :由激励产生的输出. 响应 线性电路中响应与激励之间存在着线性关系. 线性电路中响应与激励之间存在着线性关系. 在单一激励的线性电路中,若激励增加或减小n倍 在单一激励的线性电路中,若激励增加或减小 倍, 响应也同样增加或减小n倍 这种性质称为齐次性 响应也同样增加或减小 倍 , 这种性质称为 齐次性 (homogeneity)或比例性 或比例性(proportionality). 它是线性 或比例性 . (linearity)的一个表现. 的一个表现. 的一个表现
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k1 0, k2 10, k3 I s3 40
当Is1=Is2=20A时：
U x 20k1 20k2 40 20 0 2010 240 V
已知：N为一无独立源的线性电路，并知： 当Us = 1V, Is = 1A时，U2 = 0V 思考 Us = 10V, Is = 0A时，U2 = 1V 求: 当Us = 0V, Is = 10A时， U2 = ? I
解：1）12V独立电压源单独作用的电路图(b)
2i ' i ' 12V 3i ' 0
i ' 2A u ' 3i ' 6V
i '' 3A u '' 3(6A i '' ) 9V
2）6A独立电流源单独作用电路图(c)
2i" i" 3(i '' 6A) 0
例1 电路如右图，电阻的单位为Ω，求I5。
5
解题要点：
18 6 I5 4 12
+
Us=165V -
1）设I5=1A,反 过来求相应的 电源电压us； 2）根据线性电 路的比例性， 求出Us=165v 时对应的I5。
2、线性电路的叠加性
考察双输入电路（a），i1为：
(R 1 R 2 )i1 R 2i 3 u S i 3 iS
1—11 线性电路和叠加定理
一、线性电路的定义 由独立电源和线性元件组成的电路。
二、激励与响应的概念 激励：电路电源的电压或电流，是电路的 输入信号。 响应：由激励在电路各部分产生的电压或 电流，是电路的输出信号。
三、线性电路的性质
1、比例性 右图中，us为激励， i1为响应：
u s R1i1 R2i1 us i1 Ku s R1 R2
Ux
解： 根据线性电路的叠加定理， 有：
Is1 N Is2
U x k1I s1 k2 I s 2
把已知条件代入上式，有： 当Is1=Is2=20A时：
8k1 12k2 80 8k1 4k2 0
解得：
k1 2.5 k2 5
U x 20k1 20k2 20 2.5 20 5 150 V
根据 KVL得各电压为：
例4： 已知i1=3A。试求各支路电流和电流源电压u。
2A
解：电流i1=3A和i3=2A是已知量， 根据节点①的 KCL求得
i 4 i1 i3 3A 2A 1A
用欧姆定律和KVL求得电流i5Fra bibliotek3AuR 5 12 12 1 50 6 3 i5 4A 2 2
3）叠加得：i i ' i '' 2A 3A 1A
u u ' u " 6V 9V 15V
例6 ：如下图，N为线性纯电阻网络。（1）若 Is1=8A, Is2=12A, Ux=80V; Is1=-8A, Is2=4A, Ux=0V。 问当Is1=Is2=20A时，Ux=？ +
4
2A
受控源应始终保留在电路中。
习 题 课 （1）
一、电路的概念
1、电路一词的两种含义:
(1) 实际电路; (2) 电路模型。 2、电路分析与电路设计 电路分析
实际电路
电路模型
理想化
计算分析
电路设计
电气特性
二、电路的分析方法
1、基本依据——两类约束
(1) 基尔霍夫定律（KCL、KVL）
(2) 元件的VAR 2、列解网络方程 3、叠加定理
i1 + us -
R1 + u2 -
R2
R1、R2和K为常数，所以激励us放大A倍，响应i1也 随之放大A倍，这就是线性电路的“比例性”。
线性电路的比例性可以进一步总结为：
齐次性定理：对于只含一个独立源的线性 电路，任意支路的电压或电流均随这个独 立源的大小正比例地变化，即
y=kx
式中: y 为某一支路的电压或电流， x 为独立源的值，k 为常数。
2A
6A
根据 KCL得各支路电流为： 根据欧姆定律求电压为：
u3 R3i3 3 6 18V u6 R6i6 6 2 12V u2 u3 u1 18 10 28V
u4 u6 u3 12 18 6V u5 u1 u3 u6 10 18 12 16V
例2 已知：uS1=10V, iS1=1A, iS2=3A, R1=2,R2=1。
求：电压源和各电流源发出的功率。
解：
i1 iS2 iS1 3A 1A 2A
u bd R1i1 u S1 (2 2 10)V 6V u cd R 2 iS2 u bd (1 3 6)V 3V
对节点②和④应用 KCL分别求得：
i6 i4 i5 1 4 3A i2 i1 i5 3 4 1A
用KVL求得电流源电压
u 121 36 4 (3) 6 2 24V
例5 ：电路如图（a）所示，已知r =2， 试用叠加定理求电流 i 和电压 u。
章节 1-2 1-3
练习题
习题一
周
1-4
1-5 1-6
1-7
1-8 1-10 1-11 1-24，25 41 19，23 (复习)
1 R2 i1 uS iS R1 R 2 R1 R 2
' " i1 i1
i i1 i
' 1
S 0
1 uS R1 R 2
i i1 u
" 1
S 0
R2 iS R1 R 2
例2：求U。
4 9V 4 2A 6
3
+ _
U
四、叠加定理
线性电路中，几个独立电源共同作用产生的 响应，是各个独立电源分别作用时产生响应的代 数叠加。 若某线性电路有 个独立电压源和 电流源：
（2）若N内含有一个电源，当Is1=Is2=0A时， Ux=-40V，所有（1）中的数据仍有效。问当 Is1=Is2=20A时，Ux=？
解：
根据线性电路的叠加定理，有： U x k1I s1 k2 I s 2 k3 I s 3
把已知条件代入上式，有：
解得：
8k1 12k2 k3 I s 3 80 8k1 4k2 k3 I s 3 0 0 k1 0 k2 k3 I s 3 40
5A
解：根据电流源得到
i 2 iS2 8A i 4 iS4 1A
8A
i5 iS5 3A
1A
3A
i1 i2 i5 8 3 5A i3 i1 i4 5 1 6A i6 i2 i4 3 1 2A u1 R1i1 2 5 10V
注意：
1）参考方向 2）功率的计算与意义
例1： 图(a)电路为双电源直流分压电路。 试求：电位器滑动端移动时，a点电位Ua的变化范围。
解 ： 图 (b) 为 完 整 电 路 。
当电位器滑动端移到
最下端时，a点电位为
1k U a U cd 12 V 24 V 12 V 10 V 1k 10 k 1k 当电位器滑动端移到最上端时，a点的电位为 10 k 1k U a U bd 12 V 24 V 12 V 10 V 1k 10 k 1k a点的电位将从-10V到+10V之间连续变化。
j 1
K i
j sj
注意：
1、仅适用于线性电路。 2、叠加时只将独立电源分别考虑，电路的 其它结构和参数不变。 电压源不作用，即Us=0，相当于短路； 电流源不作用，即Is=0, 相当于开路。 3、只能计算电压、电流，不能计算功率
例3
用叠加定理求 I1 。
4 I1 10V 2I1
说明：电路中受控源不能单独作用，
第5讲 线性电路和叠加定理
复习 集总电路受到什么约束？ 什么是拓扑约束？元件约束？ 什么是独立节点？ 那些KVL方程是独立的？ 什么是2b法？1b法？
第5讲 线性电路和叠加定理
引言 前面讲到的2b法和1b法是分析集总电路 的最基本方法； 我们现在对电路的规律的认识还不够； 通过发现和研究电路的规律，可进一步 得到更简化的电路分析方法。
P uS1i1 10V 2A 20W(发出20W) u
Pi1 ubdiS1 6V 1A 6W(发出6W) Pi2 ucd iS2 3V 3A 9W(发出 9W)
例3： 已知iS2=8A, iS4=1A, iS5=3A, R1=2, R3=3和R6=6 。 试求各支路电流和支路电压。
us1, us 2 ,...,us , is1, is 2 ,...,is
则该线性电路的响应（某个支路电压或电流）为：
K1us1 K2us 2 ... K us K 1is1 K 2is 2 ... K is
K j usj
j 1
s
+
Us
N
U2
_
本 章 小 结
1. 掌握以下基本概念: 电路模型 理想元件 集总假设 关联与非关联 参考方向 功率意义 支路 回路 节点 线性与 非线性 时变与非时变 有源与无源 开路与短路 额定值 电压源电压源 受控源 激励与响应 2.掌握和灵活运用电压、电流参考方向。 3.熟练掌握基尔霍夫定律、欧姆定律及应用。 4.掌握四种电路元件及电路电位的计算。 5.了解支路电流、电压法。 6.熟练掌握叠加定理。 自己总结各方法适用何种电路