第六章 第三讲 不等式的证明

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第六章
不等式
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法二：可取特殊值，验证． 如：a＝1，b＝2，c＝3，d＝4. a 1 a＋c 2 c 3 ＝ ， ＝ ， 则 ＝ ， b 2 b＋d 3 d 4 显然 B、C、D 不对，只有 A 符合要求．
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答案：A
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2．作商法 A ①要证 A>B(B>0)，只要证 0＜ >1； B A 要证 A<B(A>0)，只要证 <1. B ②证明步骤：作商―→变形―→判断与 1 的关系． 常用变形方法：一是配方法，二是分解因式．
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解析：由a＞b，m＞0⇒a－m＞b－m⇒(a－m)3 ＞(b－ m)3. 答案：C
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《走 向 高
2．下列三个不等式： ①a ＋2＞2a；②a ＋b ＞2(a－b－1)；③(a ＋b )(c ＋d ) ＞(ac＋bd) . 其中，恒成立的有 A．3 个 B．2 个 C．1 个 ( ) D．0 个
2
2
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总结评述：用作商法时，不能不讨论除式的符号而盲 目得结论.
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综合法是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推 理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题) 出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的结 论．简言之，综合法是一种由因导果的证明方法．
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●基础知识 一、比较法 比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一， 它可分为作差法、作商法． 1．作差法 ①理论依据：a>b⇔a－b>0； ⇔ a<b⇔ a－b<0 ； a＝b⇔ a－b＝0 . ②证明步骤：作差―→变形―→判断符号．
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a －b a－b (2009·福州)设 a＞b＞0，求证： 2 ＞ . a ＋b2 a＋b
2
2
分析：本题主要考查证明不等式的基本方法——比较 法，可用作差法或作商法来证．
证明：方法一：∵a＞b＞0， (a－b)[(a＋b)2－(a2＋b2)] ∴左边－右边＝ (a2＋b2)(a＋b)
答案：B
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步骤是：作差(商)→变形→判断．变形的目的是为了 判断．若是作差，就判断与0的大小关系，为了便于判断， 往往把形式变为积或完全平方式．若是作商，两边同为正 或同为负，就判断与1的大小关系．
解题思路： a2＋b2 1 2a2＋2b2－(a＋b)2 － ＝ (a＋b)2 2 2(a＋b)2 a ＋b 1 a ＋b －2ab (a－b) ＝ 2 ＝ 2≥0，∴ 2≥ . 2(a＋b) 2(a＋b) (a＋b) 2 注：错解：∵a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 ab，
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2
2
2
2
2
a2＋b2 2ab 2ab 1 ∴ ＝ ，错在 2≥ 2＝ 4ab 2 (a＋b) (2 ab)
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不等式 (1)(2010·江苏高考，21)设a≥b＞0，求证：
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【例1】
3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
证明：3a ＋2b －(3a b＋2ab )＝3a (a－b)＋2b (b－a)＝ (3a2－2b2)(a－b)． 因为 a≥b＞0，所以 a－b≥0,3a2－2b2＞0， 从而(3a2－2b2)(a－b)≥0.即 3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2. a b (2)已知 a＞0，b＞0，求证： ＋ ≥ a＋ b. b a
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二、分析法 从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分 条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成 立，这种证明方法叫分析法．分析法的思想是“执果索 因”：即从求证的不等式出发，探求使结论成立的充分条 件，直至已成立的不等式． 采用分析法证明不等式时，常用“⇐”的符号，有时， 若为充要条件时，也常用“⇔”的符号．证明过程常表示 为“要证……只要证……”．
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2ab(a－b) ＝ 2 ＞0， (a ＋b2)(a＋b) 故原不等式成立．
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a －b a2＋b2 a2－b2 a＋b (a＋b)2 方法二：∵ ＝ 2 ＝ 2 2× a－b a ＋b a－b a ＋b2 a＋b 2ab ＝1＋ 2 ＞1， a ＋b2 a－b a2－b2 a－b 且由 a＞b＞0，知 ＞0，∴ 2 ＞ . a＋b a ＋b2 a＋b
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Hale Waihona Puke a 3．(教材 P145 题改编)已知 a，b，c，d∈{正实数}且 ＜ b c ，则 d a a＋c c A.b＜ ＜ b＋d d a c a＋c C. ＜ ＜ b d b＋d ( a＋c a c B. ＜ ＜ b＋d b d D．以上均可能 )
2 2 2 2 2 2 2 2
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解析：对①a2 ＋2－2a＝(a－1)2 ＋1≥1＞0，①恒成 立． 对②a2 ＋b2 －2(a－b－1)＝a2 ＋b2 －2a＋2b＋2＝(a－ 1)2 ＋(b＋1)2≥0，当且仅当a＝1，b＝－1时取“＝”，② 不恒成立． 对③(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2 ＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－a2c2－2abcd－b2d2 ＝a2d2＋b2c2－2abcd＝(ad－bc)2≥0，当且仅当ad＝bc 时取“＝”，③不恒成立．故选C. 答案：C
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三、综合法 所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不 等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，可简 称为由因导果． 在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应 用． 常用的基本不等式有：
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2
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2 a2＋b2 . 2
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a＋b ＋ (3)若 a，b∈R ，则 ≤ ab≤ ≤ 1 1 2 a＋b b a (4)若 ab＞0，则 ＋ ≥ a b 2.
(5)||a|－|b||≤ |a±b| ≤|a|＋|b|. 应用上述基本不等式时， 一要注意条件 a， 的符号； b 二要注意不等式等号成立的条件．
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解析：采用先平方后作差法． m n ∵P －Q ＝(ab＋cd＋2 abcd)－(ab＋cd＋ ad＋ bc)＝ n m
2 2
m n 2 abcd－ ad－ bc＝－( n m
m ad－ n
n 2 bc) ≤0， m
(
∴P2≤Q2，又∵P＞0，Q＞0，∴P≤Q.
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a＋m a 常用不等式：若 a，b，m＞0，且 a＜b，则 ＞ . b＋m b
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《走 向
●易错知识 不等式的性质用错． a ＋b 1 1．a、b 是正数，求证： ≥ . (a＋b)2 2
2 2
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解析：法一：∵a、b、c、d 为正实数， a a＋c ∴要比较 与 ， b b＋d 只要比较 a(b＋d)与 b(a＋c)， 即：ab＋ad 与 ab＋bc， a c 即：ad 与 bc.又∵ ＜ ， b d ∴ad＜bc， a＋c c a a＋c ∴ ＜ .同理可得 ＜ ，故选 A. b b＋d b＋d d
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证明：方法一：(作差比较法) a b a b ＋ －( a＋ b)＝( － b)＋( － a) b a b a a－b b－a (a－b)( a－ b) ＝ ＋ ＝ b a ab ( a＋ b)( a－ b)2 ＝ ≥0， ab a b ∴ ＋ ≥ a＋ b. b a