运筹学 第十章1
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运筹学 第十章
若H=0.15，B=1，A=100，L=1/10（年）,在L这段时间内的需求量服从μ=1000，σ2=625的正态分布，年平均需要量D=10000件，求缺货补充的（s，Q）存储策略。
【解】迭代过程见下表。
数据
订货量Q(i)
不缺货的概率F(s)
(s-μ)/σ(查表）
H=
0.15
Q(1)=
3651.4837
I3*$C$9+$C$8
G=
1-H3
b(1)=
$C$9*L3+($C$8-K3)*M3
其余单元格用上一步迭代公式复制即可。
(s-μ)/σ、f((s-μ)/σ)查表得到
最优存储策略为：再订货点s＝1040，订货量Q＝3640。
11181003
某化工厂每年需要甘油100吨，订货的固定成本为100元，甘油单价为7800元/吨，每吨年保管费为32元，求：（1）最优订货批量；（2）年订货次数；（3）总成本。
s(6)=
1040.0000
0.0632
0.0546
-0.6052
SS(6)=
40.00
公式：
Q(1)=
SQRT(2*C5*C4/C3)
Q(2)=
SQRT((2*$C$4*($C$5+$C$6*N3)/$C$3))
F(1)=
1-$C$3*F3/($C$7*$C$3*F3+$C$6*$C$4)
s(1)=
0.98
0.96
0.94
答案：最佳批量为每批50000个
商店出售某商品，预计年销售量为5000件，商品的价格为k(t)=50t（单位：元）。每次订货费为100元，每件商品年保管费为50元，求最优存储策略。
【解】D=5000，C(t)=50t，A=100，H＝50，C0=50，由式（10.33）及（10.34）
【解】迭代过程见下表。
数据
订货量Q(i)
不缺货的概率F(s)
(s-μ)/σ(查表）
H=
0.15
Q(1)=
3651.4837
I3*$C$9+$C$8
G=
1-H3
b(1)=
$C$9*L3+($C$8-K3)*M3
其余单元格用上一步迭代公式复制即可。
(s-μ)/σ、f((s-μ)/σ)查表得到
最优存储策略为：再订货点s＝1040，订货量Q＝3640。
11181003
某化工厂每年需要甘油100吨，订货的固定成本为100元，甘油单价为7800元/吨，每吨年保管费为32元，求：（1）最优订货批量；（2）年订货次数；（3）总成本。
s(6)=
1040.0000
0.0632
0.0546
-0.6052
SS(6)=
40.00
公式：
Q(1)=
SQRT(2*C5*C4/C3)
Q(2)=
SQRT((2*$C$4*($C$5+$C$6*N3)/$C$3))
F(1)=
1-$C$3*F3/($C$7*$C$3*F3+$C$6*$C$4)
s(1)=
0.98
0.96
0.94
答案：最佳批量为每批50000个
商店出售某商品，预计年销售量为5000件，商品的价格为k(t)=50t（单位：元）。每次订货费为100元，每件商品年保管费为50元，求最优存储策略。
【解】D=5000，C(t)=50t，A=100，H＝50，C0=50，由式（10.33）及（10.34）
运筹学课件第十章排队论
第十章 排队论
第一节 引言
一、排队系统的特征及排队论 排队论研究排队系统的数学理论和方法， 是运筹学的一个重要分支。 排队问题表现：
到达的顾客 1、不能运转机器 2、病人 3、打电话 4、等待降落飞机 5、河水进入水库
要求的服务 修理 就诊 通话 降落 放水，调整水 位
服务机构 修理工人 医生 交换台 跑道指挥机构 水闸管理员
四、排队系统的主要数量指标和记号 描述一个排队系统运行状况的主要指标： 1、队长、排队长 队长：系统中的顾客数量（排队顾客+接受服务顾客）。
排队长：系统中的正在排队等待服务的顾客数量。
2、等待时间和逗留时间 等待时间：从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段时间 为等待时间。 逗留时间：从顾客到达时刻起到他接受服务完成这段时间为 逗留时间。
(i)队长有限：系统等待空间有限。 有限系统的空间为K, 顾客到达时的队长为L。若 L<K，则顾客进入队列等待服务，若L=K，则 顾客离去。 (ii) 等待时间有限： 顾客对等待时间具有不耐烦 性的系统。设最长等待时间是T0，某个顾客从 进入队列后的等待时间为 T。若T<T0，顾客继 续等待；若T=T0，则顾客脱离队列而离去。 (iii)逗留时间有限：等待时间与服务时间之和。
排队可以是人，也可以是物。 为了一致：将要求得到服务的对象统称为“顾客”，将提 供服务的服务者称为“服务员”或“服务机构”。
排队系统的一般描述; 顾客为了得到服务而到达系统，如果不能 立刻得到服务而又允许排队等待，则加入 等待队伍，待获得服务后离开系统。
顾客到达 队列 服务台 单服务台服务系统 服务完后离开
n 0
n ,n C 1 , 2 , 3 ,...... n u n p p , n 1 , 2 , 3 ,...... n 0
第一节 引言
一、排队系统的特征及排队论 排队论研究排队系统的数学理论和方法， 是运筹学的一个重要分支。 排队问题表现：
到达的顾客 1、不能运转机器 2、病人 3、打电话 4、等待降落飞机 5、河水进入水库
要求的服务 修理 就诊 通话 降落 放水，调整水 位
服务机构 修理工人 医生 交换台 跑道指挥机构 水闸管理员
四、排队系统的主要数量指标和记号 描述一个排队系统运行状况的主要指标： 1、队长、排队长 队长：系统中的顾客数量（排队顾客+接受服务顾客）。
排队长：系统中的正在排队等待服务的顾客数量。
2、等待时间和逗留时间 等待时间：从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段时间 为等待时间。 逗留时间：从顾客到达时刻起到他接受服务完成这段时间为 逗留时间。
(i)队长有限：系统等待空间有限。 有限系统的空间为K, 顾客到达时的队长为L。若 L<K，则顾客进入队列等待服务，若L=K，则 顾客离去。 (ii) 等待时间有限： 顾客对等待时间具有不耐烦 性的系统。设最长等待时间是T0，某个顾客从 进入队列后的等待时间为 T。若T<T0，顾客继 续等待；若T=T0，则顾客脱离队列而离去。 (iii)逗留时间有限：等待时间与服务时间之和。
排队可以是人，也可以是物。 为了一致：将要求得到服务的对象统称为“顾客”，将提 供服务的服务者称为“服务员”或“服务机构”。
排队系统的一般描述; 顾客为了得到服务而到达系统，如果不能 立刻得到服务而又允许排队等待，则加入 等待队伍，待获得服务后离开系统。
顾客到达 队列 服务台 单服务台服务系统 服务完后离开
n 0
n ,n C 1 , 2 , 3 ,...... n u n p p , n 1 , 2 , 3 ,...... n 0
运筹学--第10章
11
2.决策的分类与过程
现状调查是通过认真细致的调查 研究，充分认识问题产生的原因、 规律和解决的方法。通过发现问题 和现状调查，为决策目标的制定提 供充分的客观依据。 2.建立可行方案：这是决策过程 的第二步骤，是科学决策的基础。 这个阶段主要有轮廓设想、方案预 测和详细设计。
12
2.决策的分类与过程
表10-6
aij
决 策 表
2
¼
j
1
¼
3
¼
4
¼
Ki
E(ki)
D(ki)
决 策 方 案
K1 K2 K3 K4 K5
4 2 5 3 3
5 4 7 5 5
6 6 3 6 5
7 9 5 8 5
5.5 5.25 5 5.5 4.5
1.5
2.5
30
4.不确定型的决策问题
其中 E(k1)=(1/4)*4+(1/4)*5+(1/4)*6+(1/4)*7=5.5 E(k2)=(1/4)*2+(1/4)*4+(1/4)*6+(1/4)*9=5.25 E(k3)=(1/4)*5+(1/4)*7+(1/4)*3+(1/4)*5=5 E(k4)=(1/4)*3+(1/4)*5+(1/4)*6+(1/4)*8=5.5 E(k5)=(1/4)*3+(1/4)*5+(1/4)*5+(1/4)*5=4.5 因为E(k1)=E(k4)，所以比较D(k1)和D(k4)的大小 D(k1)=E(k1)-minaij=5.5-4=1.5
作业：
习题—1,3
36
5.风险型的决策问题
1.引 言
2.决策的分类与过程
现状调查是通过认真细致的调查 研究，充分认识问题产生的原因、 规律和解决的方法。通过发现问题 和现状调查，为决策目标的制定提 供充分的客观依据。 2.建立可行方案：这是决策过程 的第二步骤，是科学决策的基础。 这个阶段主要有轮廓设想、方案预 测和详细设计。
12
2.决策的分类与过程
表10-6
aij
决 策 表
2
¼
j
1
¼
3
¼
4
¼
Ki
E(ki)
D(ki)
决 策 方 案
K1 K2 K3 K4 K5
4 2 5 3 3
5 4 7 5 5
6 6 3 6 5
7 9 5 8 5
5.5 5.25 5 5.5 4.5
1.5
2.5
30
4.不确定型的决策问题
其中 E(k1)=(1/4)*4+(1/4)*5+(1/4)*6+(1/4)*7=5.5 E(k2)=(1/4)*2+(1/4)*4+(1/4)*6+(1/4)*9=5.25 E(k3)=(1/4)*5+(1/4)*7+(1/4)*3+(1/4)*5=5 E(k4)=(1/4)*3+(1/4)*5+(1/4)*6+(1/4)*8=5.5 E(k5)=(1/4)*3+(1/4)*5+(1/4)*5+(1/4)*5=4.5 因为E(k1)=E(k4)，所以比较D(k1)和D(k4)的大小 D(k1)=E(k1)-minaij=5.5-4=1.5
作业：
习题—1,3
36
5.风险型的决策问题
1.引 言
第10章 (运筹学) 决策论
第10章 决策论
着各种事件的发生概率不清时，决策者考虑可能由于决策错 误而造成重大经济损失。由于自己的经济实力比较弱，他 在处理问题时就比较谨慎。他分析各种最坏的可能结果， 从中选择最好者，以它对应的策略为决策策略。用符号表 示为max-min决策准则。在收益矩阵中先从各策略所对应的 可能发生的“策略—事件”对的结果中选出最小值，将它 们列于表的最右列。再从此列的数值中选出最大值，以它 对应的策略为决策者应选的决策策略。 悲观决策准则又称小中取大的准则。该准则为： （1）根据收益矩阵A=[aij]，确定每一个策略可能得到最 坏结果Mi Mi=min{ai1,ai2,…,ain},i=1,2,…,m （2）选取Sk使得Mk=max{M1,M2,…,Mm}。
第10章 决策论
相应的收益和损失值。如当选择月生产量为20件时，而销出 量为10件，这时收益额为： 10×(35-30)-1×(20-10)=40（元） 可以一一计算出各“策略—事件”对应的收益值和损失值， 记为aij，将这些数据汇总在决策矩阵中，见下表：
Ej Si 策 0 10 事 20 件 30 40
第10章 决策论
或行业负责人）要进行战略性决策，中下层管理人员(如部 门经理、计划管理人员、作业调度指挥人员等)要进行战术 性决策或技术性决策。地位越高，决策在工作中的作用就 显得越重要。决策的正确与否，对经济和让会效益影响极 大，小则影响一个企业、一个部门，大则影响整个国家和 社会的发展。 正确的决策必须建立在认识和了解问题内部关系以及环境 状况的基础上。首先，必须掌握决策对象的运动规律，占 有必要的资料和信息。其次，还要掌握辅助决策的技术和 方法，遵守必要的决策程序和步骤。 1. 决策问题的构成 为了说明决策问题的构成，我们先举一个例子。某工厂生 产的产品要销往销售地，决定自己组织运输，方案有两种： 一是增购车辆，二是租车。如果租车运输，所支付的运费 就高些，如果使用自己的车辆运输，运费就便宜些，
管理运筹学10
7. 进入20世纪70年代以后，计算机技术在生产活动中的深入应用已经使生产运作管
理发生了根本性的变革。CAD、CAM、MIS、OA及生产系统中出现的FMS、GT、 CAPP等技术的应用极大的提高了生产和管理的自动化程度，提高了生产率，CIMS 技术更使得企业的经营计划、产品开发、产品设计、生产制造、生产运作、市场营 销、财务管理、采购供应等一系列活动构成一个完整的有机系统，从而更加灵活地 适应环境的变化和要求。
1
管理运筹学
生产运作的分类：
生产运作
制造性生产
工艺过 程特点
组织生 产特点
服务性生产
是否提供 顾客是否 劳动密集程度+与 有形产品 参与 顾客接触程度
离散
连续 性 生产 （流
性 生产 （加 工
备货 型 生产
订货 型 生产
纯 劳 务 生
程 装 MTS MTO 产
型） 配
型）
大专大专
一 般 劳 务 生 产
计划、独立需求库存控制，制造资源计划（MRPII），作业计划与控制，项目计划 管理等。
3. 生产运作系统的维护：主要涉及质量管理、准时生产方式与精细生产方式，其它
先进生产方式等。
说明：
1。传统的生产管理只考虑有效地控制生产系统的运行，但现代生产与运作管理已突破了传统 管理的框架，充分考虑到生产运作系统的建立对运行阶段的先天性制约与影响，已将管理的范 围延伸到生产运作系统 的设计、选择上，以便使生产运行的前提——产品的工艺可行性，生 产系统的合理性能够得到保障；同时也要考虑到市场需求，生产环境等的不断变化，以及新的 生产运作管理方式、方法、理论的不断出现，使生产运作系统不断得到改进与完善。
8. 可以预计：今后企业的生产经营综合体制进一步朝着经营与生产一体化、制造1与管
理发生了根本性的变革。CAD、CAM、MIS、OA及生产系统中出现的FMS、GT、 CAPP等技术的应用极大的提高了生产和管理的自动化程度，提高了生产率，CIMS 技术更使得企业的经营计划、产品开发、产品设计、生产制造、生产运作、市场营 销、财务管理、采购供应等一系列活动构成一个完整的有机系统，从而更加灵活地 适应环境的变化和要求。
1
管理运筹学
生产运作的分类：
生产运作
制造性生产
工艺过 程特点
组织生 产特点
服务性生产
是否提供 顾客是否 劳动密集程度+与 有形产品 参与 顾客接触程度
离散
连续 性 生产 （流
性 生产 （加 工
备货 型 生产
订货 型 生产
纯 劳 务 生
程 装 MTS MTO 产
型） 配
型）
大专大专
一 般 劳 务 生 产
计划、独立需求库存控制，制造资源计划（MRPII），作业计划与控制，项目计划 管理等。
3. 生产运作系统的维护：主要涉及质量管理、准时生产方式与精细生产方式，其它
先进生产方式等。
说明：
1。传统的生产管理只考虑有效地控制生产系统的运行，但现代生产与运作管理已突破了传统 管理的框架，充分考虑到生产运作系统的建立对运行阶段的先天性制约与影响，已将管理的范 围延伸到生产运作系统 的设计、选择上，以便使生产运行的前提——产品的工艺可行性，生 产系统的合理性能够得到保障；同时也要考虑到市场需求，生产环境等的不断变化，以及新的 生产运作管理方式、方法、理论的不断出现，使生产运作系统不断得到改进与完善。
8. 可以预计：今后企业的生产经营综合体制进一步朝着经营与生产一体化、制造1与管
运筹学第10章
例10.7在10.2例10.1中，假定根据已往的统计资料估计每周销 售量10件,20件,30件,40件的概率分别为0.1，0.3，0.5，0.1， 试采用最大可能准则给出决策。
状态 Θ1 Θ2 0.1 0.3 50 方 K1 (10) 50 案 K (20) 0 100
2
Θ3 0.5 50
θ4 0.1 50
画决策树的方法是在左端首先画出 一个方框作为出发点，它叫做决策 点．从决策点画出若干条直线，每一直 线代表一个策略（方案），这些直线叫 做策略枝．在各个策略枝的末端画出一 个圆圈，它们叫做事件点（机会点）， 从事件点出发引出若干直线，每条直线 代表一种状态，这些直线叫做概率 枝．最后把各个策略在各种状态下的结 果值记在概率枝末端，这样就构成了一 个决策树．
i n ij j 1
2
K3 (30) -50
50
150
100
150
200
75*
50
K4 (40) -100 0
通过比较可知最优策略是每周进货20件或30件．
10.3 不确定型决策 （续）
10.3.5 后悔值准则 后悔值准则也叫做Savage准则， 是对悲观决策法的一种修正， 目的是使得保守程度少一些。
通过比较可知最优策略是每周进货40件．
10.3 不确定型决策 （续）
10.3.4 等可能准则
• 等可能准则也称Laplace准则。运 用该准则决策时，决策者认为各种 未来事件的发生是等可能的，可采 用等概率计算各个方案的期望结果 值，然后选择期望结果值最优的方 案作为最优方案。
例10.4 用平均值决策法对例10.4进行决策． 解 列决策表如表 10-5所示 ． 状态 E (a ) θ4 Θ1 Θ2 Θ3 1 （10）（20）（30）（40）n V 50 50 50 50 方 K1 (10) 50 案 K (20) 0 100 100 100 75*
运筹学排队论2
现将上式参数 引入时间因素 t ,即将
换为 t ,得到
pn
(t)
(t)n
n!
et
,
t
0,
n
0,1,2,.
表示长为t的时间区间内到达n个顾客的概率为 pn (t) ,且服从泊松分布.这称为泊松流或泊松过 程或简单流. 设t时间内到达的顾客数为随机变量N(t),则有
E[N(t)] t, D[N(t)] t.
服务台
2.C个服务台,一个公共队伍
服务台1 服务台2 服务台C
3.C个服务台,C个队伍
服务台1 服务台2 服务台C
二.排队系统的三个组成部分
1.输入过程:指顾客按怎样的规律到达. ⑴顾客的总体数或顾客源:指可能到达服务机
构的顾客总数.顾客总体数可以是有限的,也可 以是无限的; ⑵顾客到达的类型:顾客是单个到达还是成批 到达; ⑶顾客相继到达时间间隔的分布,如按泊松 分布,定长分布还是负指数分布.
排队论的创始人是丹麦哥本哈根市电话局的 工程师爱尔朗(A.K.Erlang),他早期研究电话 理论,特别是电话的占线问题,就是早期排队 论的内容.
§2 排队论的基本概念
一.排队现象的共同特征:为了获得某种服务而 到达的顾客,如不能立即得到服务而又允许排 队等候,则加入等待的队伍,获得服务后离开.我 们把包含这些特征的系统称为排队系统. 排队系统的几种情况: 1.单服务台排队系统
例9.1 某仓库全天都可以进行发料业务，假设 顾客到达的时间间隔服从均值为1的负指数分 布现在有一位顾客正好中午12：00到达领料， 试求：
（1）下一个顾客将在下午1：00前到达的概率； （2）在下午1：00与2：00之间到达的概率： （3）在下午2：00以后到达的概率。
换为 t ,得到
pn
(t)
(t)n
n!
et
,
t
0,
n
0,1,2,.
表示长为t的时间区间内到达n个顾客的概率为 pn (t) ,且服从泊松分布.这称为泊松流或泊松过 程或简单流. 设t时间内到达的顾客数为随机变量N(t),则有
E[N(t)] t, D[N(t)] t.
服务台
2.C个服务台,一个公共队伍
服务台1 服务台2 服务台C
3.C个服务台,C个队伍
服务台1 服务台2 服务台C
二.排队系统的三个组成部分
1.输入过程:指顾客按怎样的规律到达. ⑴顾客的总体数或顾客源:指可能到达服务机
构的顾客总数.顾客总体数可以是有限的,也可 以是无限的; ⑵顾客到达的类型:顾客是单个到达还是成批 到达; ⑶顾客相继到达时间间隔的分布,如按泊松 分布,定长分布还是负指数分布.
排队论的创始人是丹麦哥本哈根市电话局的 工程师爱尔朗(A.K.Erlang),他早期研究电话 理论,特别是电话的占线问题,就是早期排队 论的内容.
§2 排队论的基本概念
一.排队现象的共同特征:为了获得某种服务而 到达的顾客,如不能立即得到服务而又允许排 队等候,则加入等待的队伍,获得服务后离开.我 们把包含这些特征的系统称为排队系统. 排队系统的几种情况: 1.单服务台排队系统
例9.1 某仓库全天都可以进行发料业务，假设 顾客到达的时间间隔服从均值为1的负指数分 布现在有一位顾客正好中午12：00到达领料， 试求：
（1）下一个顾客将在下午1：00前到达的概率； （2）在下午1：00与2：00之间到达的概率： （3）在下午2：00以后到达的概率。
第10章 动态规划
②某些情况下，用动态规划处理不仅能定性描 述分析，且可利用计算机给出求其数值解的 方法。
管理运筹学
7
缺点
①没有统一的处理方法，求解时要根据问题的 性质，结合多种数学技巧。因此实践经验及 创造性思维将起重要的引导作用；
②“维数障碍”，当变量个数太多时，由于计 算机内存和速度的限制导致问题无法解决。 有些问题由于涉及的函数没有理想的性质使 问题只能用动态规划描述，而不能用动态规 划方法求解。
盈利 工厂 设备台数
0 1 2
3 4 5
甲厂
0 3 7 9 12 13
乙厂
0 5 10 11 11 11
管理运筹学
29
第一阶段：只有1个始点A，终点有B1,B2,B3,B4 。对始点和终 点进行分析和讨论分别求A到B1,B2,B3,B4的最短路径问题：
表10-4
本阶段始 点(状态)
A
阶段1 本阶段各终点（决策）
B1
B2
B3
B4
4+12=16 3+13=16 3+14=17 2+12=14
到E的最 本阶段最优终 短距离 点(最优决策)
第四阶段：两个始点D1和D2，终点只有一个；
表10-1
阶段4
本阶段始点 本阶段各终点（决策） 到E的最短距离
（状态）
E
D1
10
10
D2
6
6
分析得知：从D1和D2到E的最短路径唯一。
本阶段最优终点 （最优决策)
E E
管理运筹学
27
第三阶段：有三个始点C1，C2，C3，终点有D1，D2，对始点
和终点进行分析和讨论分别求C1，C2，C3到D1，D2 的最短路
管理运筹学
7
缺点
①没有统一的处理方法，求解时要根据问题的 性质，结合多种数学技巧。因此实践经验及 创造性思维将起重要的引导作用；
②“维数障碍”，当变量个数太多时，由于计 算机内存和速度的限制导致问题无法解决。 有些问题由于涉及的函数没有理想的性质使 问题只能用动态规划描述，而不能用动态规 划方法求解。
盈利 工厂 设备台数
0 1 2
3 4 5
甲厂
0 3 7 9 12 13
乙厂
0 5 10 11 11 11
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29
第一阶段：只有1个始点A，终点有B1,B2,B3,B4 。对始点和终 点进行分析和讨论分别求A到B1,B2,B3,B4的最短路径问题：
表10-4
本阶段始 点(状态)
A
阶段1 本阶段各终点（决策）
B1
B2
B3
B4
4+12=16 3+13=16 3+14=17 2+12=14
到E的最 本阶段最优终 短距离 点(最优决策)
第四阶段：两个始点D1和D2，终点只有一个；
表10-1
阶段4
本阶段始点 本阶段各终点（决策） 到E的最短距离
（状态）
E
D1
10
10
D2
6
6
分析得知：从D1和D2到E的最短路径唯一。
本阶段最优终点 （最优决策)
E E
管理运筹学
27
第三阶段：有三个始点C1，C2，C3，终点有D1，D2，对始点
和终点进行分析和讨论分别求C1，C2，C3到D1，D2 的最短路
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15
第三阶段：
f 3 s 3 max r3 s 3 , x 3 f 4 s4 max r3 s 3 , x 3 .
x 3 s3 x 3 s3
s 3 0,1,2,3,4,5;
表9-6
x3 s3
0 1 2 3 0 0 — — — 1 — 4 — —
函数值之和中的最小值.
f k s k min rk s k , x k f k 1 s k 1 , k n, n 1,,2,1 边界条件 : f n1 s n1 0. r2 B1 , C 1 f 3 C 1 f 2 B1 min r2 B1 , x 2 f 3 s 3 min r2 B1 , C 2 f 3 C 2 如: r B , C f C 3 3 2 1 3 2 12 14 min 1 11 min 12 12. 6 11 17
12
§3.动态规划应用
建立动态规划模型必须做到一下几点: 1. 根据时间或空间的自然特性将实际问题恰当地划分为若干个 阶段，即把问题的过程转化为多阶段决策过程. 2.正确的选择状态变量sk,使它既能描述过程的演变特征,又要 满足无后效性(到达这个状态前的决策将不影响到该状态以后的 决策). P7 3.确定决策变量xk. 4.正确写出状态转移方程
1
§1.多阶段决策过程最优化问题举例
最优化原理 作为整个过程的最优策略应具有这样的性质,即无论 过去的状态和决策如何,对于前面的决策所形成的状态而言, 余下 的诸决策必须构成最优策略. 最短路径问题:
最优化原理在最短路上的应用可阐述如下: 从最短路上的每一点到终点的部分道路,也一定是从该点到 终点的最短路.
s 3 T2 s 2 , x 2 s 2 x 2 .
而且，有 s 3 x 3 .
f k s k max rk s k , x k f k 1 s k 1 , k 3,2,1. xk 边界条件 : f 4 s 4 0.
甲 厂
乙 厂
丙 厂
14
P18 P17 P16
解: 将问题按工厂分为三个阶段,甲、乙、丙三厂分别编号为 1、2、3厂。并设
sk 分配给第k个工厂至第3个工厂的设备的台数k 1,2,3). ( xk 分配给第k个工厂的设备台的数k 1,2,3). (
显然：s1 5.
s 2 T1 s1 , x1 s1 x1 ,
2
例1.如图9-1,给定一个运输网络,两点之间连线上的数字表示 两点间的距离,试求一条从A到E的运输线路,使总距离为最短. B1 2 1 6 4 B2 7 2 4 8 B3 3 75 B4 1
4 A 3 3 2
C1
8 6
7 C2 5 1 C3 6
D1 10
6 D2 E
图9-1
3
P5 P6
4 A 3 3 2
阶段1 本阶段始 点(状态) A 本阶段各终点(决策) B2 B3 3+13=16 3+14=17 到E的 本阶段最优 终点 最短 距离 (最优决策) 14 B4
6
B1 4+12=16
B4 2+12=14
此问题的最短路:
A
B4
C3
D1
E
P10
这段路的长度为: 14 . 利用动态规划的方法,不仅求出了全过程的最短路,还求出了图 上任意一点到E的最短路.
9
P7
5.指标函数
指标函数是衡量全过程策略或k子过程策略优劣的数量指标, 最优指标函数: 指标函数的最优值.记作 f 1 s1 或f k s k . 全过程最优指标函数.
k子过程最优指标函数. 例 1中的指标指的是从某点到终点的距离, 最优指标是从某 点到终点的最短距离.
f k s k
f 2 s 2
0 5 10 14 16
x2
0 1 2 2 1，2
5
0+12
5+12
10+11
11+6
11+4
11+0
21
2
17
P14
第一阶段： s1 5; s2 s1 x1 5 x1 ,
0 x1 s1
f 1 s1 max r1 s1 , x1 f 2 s 2 max r1 5, x1 f 2 5 x1
f 1 s1
如:
f 1 s1 f 1 A 14; f 2 B2 13;3 11.
阶段指标函数(阶段效益) rk s k , x k : 表示在第k阶段的sk状态下 做出xk决策的指标值.
如: r1 A, B1 4; r2 B3 , C 2 8; r4 D1 , E 10.
r3 s 3 , x 3
2 — — 6 — 3 — — — 11 4 — — — — 5 — — — —
f 3 s 3
0 4 6 11
x3
0 1 2 3
4 5
— —
— —
— —
— —
12 —
— 12
12 12
4 5
16
P14
第二阶段：
f 2 s 2 max r2 s 2 , x 2 f 3 s 3 max r2 s 2 , x 2 f 3 s 2 x 2
0 x 2 s 2 0 x 2 s 2
s 2 0,1,2,3,4,5;
s3 s2 x2 ,
表9-7
x2 s2
0 1 2 3 4 0 0+0 0+4 0+6 0+11 0+12
r2 s 2 , x 2 f 3 s 2 x 2
1 — 5+0 5+4 5+6 5+11 2 — — 10+0 10+4 10+6 3 — — — 11+0 11+4 4 — — — — 11+0 5 — — — — —
B1 2 1 6 4 B2 7 2 4 8 B3 3 75 B4 1
四阶段决策过程最优化问题 C1 7 C2 5 1 C3 6 8 6 D1 10
D2
6
E
四个弧远的点(E)为终点.
4
逆序解法:(P187中) 第四阶段: 阶段4
P7 P3
本阶段始点 本阶段各终点(决策) 到E的最短 本阶段最优终点 (最优决策) 距离 E (状态) D1 10 10 E D2 6 6 E 第三阶段: 阶段3
s k 1 Tk s k , x k .
13
5.正确写出指标函数.
一.资源分配问题 例2.某公司拟将某种设备5台,分配给所属的甲、乙、丙三个 工厂，各工厂获得此设备后,预测可以创造的利润如表9-5所示,问 这5台设备应如何分配给这3个工厂,使得所创造的总利润为最大? 表9-5 盈利 设备台数 0 1 2 3 4 5 0 3 7 9 12 13 0 5 10 11 11 11 0 4 6 11 12 12 工厂
本阶段始点 (状态) C1 C2 C3
本阶段各终点(决策) D1 D2 8+10=18 6+6=12 7+10=17 5+6=11 1+10=11 6+6=12
到E的 本阶段最优终点 (最优决策) 最短距离 12 D2 11 D2 11 D1 5
第二阶段:
阶段2 本阶段始 点(状态) 本阶段各终点(决策) C2 C3 到E的最 短距离
p1,4 s1 x1 A B4 ; x2 B4 C3 ; x3 C3 D1; x4 D1 E
k子过程策略:从第k阶段开始到最后阶段的决策组成的决策 序列称为k子过程策略,简称k子策略.记为 pk ,n sk . 如:
p2,4 s1 x2 B2 C1; x3 C1 D1; x4 D1 E
阶段: 第一阶段: 以A点为始点,而以距离A点正好一个弧远的点(B1,B2, B3,B4)为终点; 第二阶段: 以距离A点正好一个弧远的点(B1,B2,B3,B4)为始点,以 距离A点正好两个弧远的点(C1,C2,C3)为终点; 第三阶段: 以距离A点两个弧远的点(C1,C2,C3)为始点,以距离A点 三个弧远的点(D1,D2)为终点; 第四阶段: 以距离A点三个弧远的点(D1,D2)为始点,以距离A点
第十章 动态规划
动态规划(Dynamic progroming)是运筹学的一个重要分支, 是解决多阶段决策过程最优化的一种量化方法.这种方法把困难 的多阶段决策问题变换成一系列互相联系较容易的单阶段问题, 是由美国学者贝尔曼(R.Bellman)所建立的. 动态规划的成功之处在于, 它可以把一个n维决策问题转化 为n个一维最优化问题,一个一个的解.另外动态规划还能求出全 局极大和极小. 用动态规划可以解决管理中的最短路问题、装载问题、库 存问题、资源分配问题、生产过程最优化问题。
0 x1 5
表9-8
x1 s1
5 0 0+21 1 3+16
r1 5, x1 f 2 s1 x1
2 7+14 3 9+10 4 12+5 5 13+0
10
P6
6.状态转移方程 已知第k+1阶段的状态是由第k阶段的状态和第k阶段的决策 所决定的,将这种关系用方程的形式表示为 在sk的状态下,在所有做出的各种 决策xk中,取一个第k阶段的指标值 s k 1 Tk s k , x k rk(sk,xk)与k+1子过程的最优指标 如: s 3 C 1 T2 B2 , C 1 . 二.基本方程 k子过程与k+1子过程最优指标函数有如下递推关系: