七年级数学下册93平行线的性质辅助线助你成功素材青岛版!
七年级数学下册9.4平行线的判定平行线的性质三大技巧应用素材青岛版(new)
平行线的性质三大技巧应用我们已经学过了平行线的性质定理:两条直线平行,则同位角相等,内错角度相等，同旁内角互补。
下面给大家列举一下，如何使用平行线的性质巧解试题. 一、三线八角必识记所谓三线八角是指两条直线被第三条直线所截,形成八个角,如图（1),其中， 同位角有:∠1与∠5, ∠2与∠6, ∠4与∠8, ∠3与∠7， 内错角有：∠3与∠5, ∠4与∠6, 同旁内角有:∠3与∠6， ∠4与∠5。
例1。
如：如果两条平行线被第三条直线所截得 的八个角中，有一个角的度数已知，则（ )A. 只能求出其余三个角的度数。
B. 只能求出其余五个角的度数. C. 只能求出其余六个角的度数. D. 只能求出其余七个角的度数.析解:由三线八角可知： 同位角相等的有:∠1与∠5, ∠2与∠6, ∠4与∠8, ∠3与∠7， 内错角相等的有:∠3与∠5, ∠4与∠6,同旁内角互补的有:∠3与∠6, ∠4与∠5。
所以，当一个角的度数已知时, 其余七个角的度数也就易求出，答案选D. 二、加平行线的辅助线例2。
如图(3）,一条公路修到湖边时,需拐弯绕过湖通过。
如果第一次拐的角∠A 是110°,第二次拐的角∠B 是140°， ,则∠C 是（ ）A 。
120°B. 130°C. 140°D. 150° 析解:作辅助线BE ，把∠A 转移到∠ABE，8 1 23 4 5 6 7图⑴1 2 436 5 87 图⑵F图⑶∴∠CBE=∠ABC－∠ABE =140°－110°=30°, ∴∠C=180°－30°=150°,140°－110°=30°。
例3．已知:如图（4),AB∥ED， 求证：∠B+∠BCD+∠D=360°。
分析：我们知道只有周角是等于360°,而图中又出现了与∠BCD 相关的以C 为顶点的周角，若能把∠B、∠D 移到与∠BCD 相邻且以C 为顶点的位置，即可把∠B、∠BCD 和∠D 三个角组成一个周角,则可推出结论. 证法一:如图（5）,过C 作CF∥AB，∴∠BCF=∠B，∵AB∥ED,∴CF∥ED，∴∠FCD=∠D，∵∠BCD+∠BCF+∠DCF=360°,∴∠B+∠BCD+∠D=360°。
初中七年级数学下册的93平行线的性质辅助线助你成功素材新版本青岛版本1
协助线助你成功在解题过程中，有些题目由已知条件不可以直接推出结论，需要增添适合的线，帮助解决问题，像这样的线叫协助线。
增添的协助线一般都用虚线表示，而且要说明作法。
增添协助线是解题的一种手段，一般只有当题目中因已知不易或不可以直接推出结论时，才要增添协助线.本章的协助线往常是作平行线，目的是结构两条直线被第三条直线所截的基本图形，以便利用平行线的判断和性质.一、计算型例1如图1，已知AB∥CD，∠A55，∠C 20，则∠P_______．剖析：要求∠P的度数，一定从已知条件找寻∠P、∠A、∠C图1的关系，依据条件，直接求不易，故可考虑作协助线，把分别的条件加以集中，隐含的条件加以体现，使条件和结论之间搭起桥梁.即过点P作AB的平行线，结构出与∠A、∠C都有关系的角，进而使问题得以解决.解：过点P作PE∥AB.∵AB∥CD（已知），∴PE∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）.∴A APE，C CPE（两直线平行，内错角相等）∴∠P∠APE∠CPE∠A-∠C=5520 35.故填35.二、应用型例2如图2，某煤气企业安装煤气管道，他们从点A处铺设到点B处时，因为有一个人工湖挡住了去路，需要改变方向经过点C，再拐到点D，而后沿与AB平行的DE方向持续铺设.如果ABC 1350，BCD 650，那么C DE的度数应为多少？剖析：解答此类实质问题应先转变成数学识题，明确从实质问题中抽象出的几何图形及图形中的数目和地点关系，解决此题的重点是增添协助线.经过察看可知：已知条件ABC、BCD与所求的CDE之间没有直接的关系，要想计算CDE的度数，重点在于AB∥DE这个条件的应用.解：过点C作CF∥DE，则CDE DCF 180.又∵AB∥DE，∴AB∥CF.∴BCF ABC135.又∵BCD65，∴DCF1356570.∴CDE 180 70 110.思虑：此题还有其余增添协助线的方法吗？请聪慧的你试一试吧，要相信自己的能力呦！三、研究型例3阅读并研究以下问题：（1）如图3-1，将长方形纸片随意剪两刀，请你研究2与1，3的关系.（2）如图 3-2，将长方形纸片任意剪四刀，请你研究2，4与1，3，5的关系.3）如图3-3，将长方形纸片随意剪N刀，你会发现什么规律？剖析：此题是一道实践研究题，在详细的操作过程中，经过察看、比较发现：这些角之间并无直接的数目关系，所以可利用协助线这个桥梁，把有关角联系起来.这样由特别到一般，利用类比、猜想、概括等数学思想方法，进而研究出存在的规律.解：（1）过点E作EF∥AB，则有EF∥AB∥CD.∵EF∥AB，∴ 1AEF；同理3CEF.∴13AEF CEF2.即2=13.（2）用相同的方法，过点E、F、G分别作AB的平行线，用上述方法同理可得24135.推理过程请同学们课下自己达成.（3）若将长方形纸片随意剪N刀，两平行线间的折线所成的角之间的关系为：张口在同一方向的所有角的度数和相等.如图3-3，2461357.评注：①如图4-1，在作协助线时，只好过点E作一条直线EF与AB（或CD）平行，而不可以同时作出直线EF与AB和CD都平行.事实上FE∥CD（或AB）是由平行公义得出的.图4-1图4-22②基本图形是我们解决其余一些问题的基础，上述三题就是由常用的基本图形4-1变式获得的.在图4-1中，由AB∥CD，易得BED B D.③事实上，图4-2也是一个常用的基本图形，在图4-2中，由AB∥CD，可得BED B D 360.3。
七年级数学下册 9.4 平行线的判定 平行线的判定方法举例素材 (新版)青岛版
平行线的判定方法举例一、等角助阵判平行例1 如图1，∠A ＋∠D ＝180°，∠A ＝∠C ，试说明：AD ∥BC ． 分析：图形中既无内错角也无同位角，故从同旁内角互补的角度考虑转化为判定∠A ＋∠B ＝180°或∠D ＋∠C ＝180°． 解：因为∠A ＋∠D ＝180°，∠A ＝∠C ， 所以∠D ＋∠C ＝180°，所以AD ∥BC ． 二、余角助阵判平行例2 如图2，直线AB 、CD 被EF 所截，H 是CD 与EF 的交点，∠1=60°，∠2=30°，GH ⊥CD 于H 点H ，试说明AB ∥CD ．分析：欲判定AB ∥CD ，只需说明∠1=∠4，即说明∠4=60°，这可通过通过对顶角去转化．解：因为GH ⊥CD ，∴∠2+∠3=90°． 因为∠2=30°，所以∠3=60°． 所以∠4=∠3=60°．又因为∠1=60°，所以∠1=∠4． 所以AB ∥CD ． 三、补角助阵判平行例3 如图3所示，∠EDG =70°，∠FAB =55°，AF 平分∠BAG ，试说明AB ∥CE ．分析：欲判定AB ∥CE ，可通过判定∠EDG =∠BAD 来实现，即需要说明∠BAD =70°，这就需要通过补角去转化．解：因为∠FAB =55°，AF 平分∠BAG ，所以∠BAG =2∠FAB =110°． 因为∠BAG +∠BAD =180°，所以∠BAD =180°－∠BAG =70°． 又∠EDG =70°，所以∠EDG =∠BAD ．所以AB ∥CE ． 四、平角助阵判平行例4 如图4，A 、C 、E 三点在同一条直线上，∠B =45°，∠ACB =55°，∠DCE =80°．试说明AB ∥CD ．分析：欲判定AB ∥CD ，由∠B =45°，只需再求出∠BCD =45°即可ABEG F 图3CDB DA C E 图4G图2AC F BDE 12 3 4H DAB图1FEDCB图5ANM 21由∠B =∠BCD 来判定AB ∥CD ．解：因为∠ACB +∠BCD +∠DCE =180°，所以∠BCD =180°―∠ACB ―∠DCE =180°―55°－80°=45°． 又∠B =45°，所以∠B =∠BCD ，所以AB ∥CD ． 五、对顶角助阵判平行例5 如图5所示，A 、B 、C 三点在同一条直线上，D 、E 、F 三点也在同一条直线上，分别连接AF 、BD 、CE ．假设∠1＝∠2，∠C ＝∠D ，试说明：DF ∥AC .分析：由∠1＝∠2，通过对顶角相等，可转化为∠1＝∠AMC ，可判定DB ∥EC ，从而∠NBA ＝∠C ，再结合∠C ＝∠D ，可推出∠NBA ＝∠D ，从而可推出DF ∥AC ，问题得解． 解：因为∠1＝∠2，∠2＝∠AMC ，所以∠1＝∠AMC ， 所以DB ∥EC ，所以∠NBA ＝∠C ． 又因为∠C ＝∠D ，所以∠NBA ＝∠D ． 所以DF ∥AC ．六、角平分线助阵判平行例6 如图6，CD 平分∠BCE ，∠O =∠DCE ．试说明OA //CD ． 分析：要判定OA //CD ，先要寻找与OA 、CD 都相交的第三条直线，这里有两条：OB 和CE ．其中与条件中“CD 平分∠BCE ，∠O =∠DCE 〞都有直接联系的直线是OB ．联系平行线判定定理，可知∠BCD 是∠O 的同位角，应是我们关注的对象．由CD 平分∠BCE ，得∠BCD =∠DCE ，再结合∠O =∠DCE 可推出∠BCD =∠O ．解：因为CD 平分∠BCE ，所以∠BCD =∠DCE ． 又∠O =∠DCE ，所以∠BCD =∠O ． 所以OA //CD ．OEACDB图6。
青岛版七年级数学下册课件9.3平行线的性质
知识回顾
已知：直线AB∥CD, 直线EF与AB、CD相
交，标出图中所形成的八个角．
E
71
C
53
D
8
A6
2
4
B
F
这是一幅风景区照片,你从中看到那些平行线的形象?
学习目标
1、通过实际操作，探索：“两条平行直线被第三条直线所 截,同位角相等”的性质。并通过说理，认识“两条平行直线 被第三条直线所截,内错角相等”和“同旁内角互补”的性质. 2、会运用平行线的性质，解决与“三线八角”有关的问题。 3、经历观察、推理、交流等活动，发展空间观念，有条理 的思考和语言表达能力。
所以 ∠1=∠2. ( 两直线平行，同位角相等)
观察与思考
如图，直线a,b被直线c所截，且a//b。观察其中任意一对内错 角, 运用平行线的性质1,探究其中的关系？
a
41
32
85
b
76
c
∠3=∠5 ∠2=∠8
因为a//b 所以∠1=∠5 因为∠1=∠3 所以∠3=∠5
两直线平行的性质(2)
E
A
B
置关系？为什么？
3、在直线l1上再任取一点B,经过点B画 BD⊥l2 ,垂足是D,那么BD与直线l1 有什么位
置关系？为什么？ 4、用圆规比较垂线段AC与垂线段BD的大 小,把你的发现与同学交流.
小结
图形语言
同a
位 角
b
1 2 c
内a
错 角
b
3
2 c
同a 旁 内b 角
42 c
符号语言
因为a∥b，
所以∠1=∠2
因为a∥b，
所以∠2=∠3
文字语言
初中数学青岛版七年级下册高效课堂资料9.3平行线的性质 (2)
利用平行线的性质可以求角的度数或证明角 相等互补
怎样构造平行线解决角的问题？
例2：如图所示，已知AB∥CD，点E为平面内一点，
∠A+∠AEC+∠C=？
解： 过点E作EF//AB，
A
B
因为AB//CD所以EF//CD ∵EF//AB
E
F
∴ A+ AEF=180°
∵ EF//CD ∴ C+CEF=180°
解： 过点E作EF//AB，
F 如图，1 AB∥CD，∠A+∠E+因∵∠为EAFFB/+///A∠CBDC所？以EF//CD
2
∴ A= 1
∵ EF//CD
∴ C= 2 ∴ A+ C = 1+ 2
∴ A+ C = AEC
变式拓展二
如图，AB∥CD，∠A+∠E+ ∠F+ ∠C？
9.3平行线的性质
鄌郚镇中学 王新华
2019.02.16
得出结论
平行线的性质：
1
a
34
b
2
性质１：两直线平行，同位角相等． 性质２：两直线平行，内错角相等． 性质３：两直线平行，同旁内角互补．
由“线”定“角”
∵AB∥CD ∴∠1=∠2
∵AB∥CD ∴∠3=∠4
∵AB∥CD ∴∠5+∠6=1800
第一次拐的角A是120°，第二次拐的角B是150°，第 三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前 的道路平行，问∠C是多少度？说明你的理由．
D
M N
想一想：当AB与CD之间有3个、4个、n个点时，这些角的和 又是多少？
针对训练
如图,一辆汽车经过一条公路,公路两次拐弯后，和原
七年级数学下册93平行线的性质辅助线助你成功素材新版青岛版.docx
辅助线助你成功在解题过程屮，有些题目由已知条件不能直接推出结论，需要添加适当的线，帮助解决问题，像这样的线叫辅助线。
添加的辅助线一般都用虚线表示，并且要说明作法。
添加辅助线是解题的一种手段，一般只有当题目中因已知不易或不能直接推出结论时，才要添加辅助线.本章的辅助线通常是作平行线，目的是构造两条直线被第三条直线所截的基本图形，以便利用平行线的判定和性质.一、计算型例1 如图1,已知AB //CD, ZA = 55°, ZC = 20°,则"分析：要求ZP的度数，必须从己知条件寻找ZP、ZA、ZC 的关系，根据条件，直接求不易，故可考虑作辅助线，把分散的条件加以集屮，隐含的条件加以呈现，使条件和结论之间搭起桥梁.即过点P作AB的平行线，构造出与ZA、ZC都有关系的角，从而使问题得以解决.解：过点P 作PE/7AB. V AB // CD（已知），PE // CD（平行于同一条直线的两条直线平行）.ZA = ZAPE , ZC = ZCPE（两直线平行，内错角相等）:.ZP = ZAPE-ZCPE = ZA-ZC = 55° -20° = 35°.故填35°.二、应用型例2如图2,某煤气公司安装煤气管道，他们从点A处铺设到点B处时，由于有一个人工湖挡住了去路，需要改变方向经过点C,再拐到点D,然后沿与AB平行的DE方向继续铺设.如果ZABC = 135°, ZBCD = 65°,那么ZCDE的度数应为多C F 少？分析：解答此类实际问题应先转化成数学问题，明确从实际问题中抽象出的几何图形及图形中的数量和位置关系，解决本题的关键是添加辅助线.通过观察可知：已知条件ZABC. ZBCD与所求的ZCDE之间没有直接的关系，要想计算ZCDE的度数，关键在于AB// DE这个条件的应用.解：过点C 作CF // DE,则ZCDE + Z£>CF = 180\又 V AB // DE, :. AB // CF. :. ZBCF = ZABC = 135°.又 I ZBCD = 65°,・・・ ZDCF = 135°— 65° = 70°.・・・ ZCDE = 180°-70° =110°.思考:木题还有其它添加辅助线的方法吗？请聪明的你试一试吧，要相信自己的能力呦!三、探究型例3阅读并探究下列问题：（1）如图3-1,将长方形纸片任意剪两刀，请你探究Z2与Zl, Z3的关系.（2） 如图3-2,将长方形纸片任 意剪四刀，请你探究Z2, Z4与ZI, Z3, Z5的关系.（3） 如图3-3,将长方形纸片任 意剪N 刀，你会发现什么规律？分析：本题是一道实践探究题，在具体的操作过程中，通过观察、比较发现：这些角之 间并没有直接的数量关系，因此可利用辅助线这个桥梁，把相关角联系起来.这样由特殊到 一般，利用类比、猜想、归纳等数学思想方法，从而探索出存在的规律.解：（1）过点 E 作 EF // AB,则有 EF // AB // CD.EF // AB , :. Z1 = ZAEF ；同理 Z3 = ZCEF.:.Zl + Z3 = ZAEF + ZCEF = Z2.即Z2 = Z1+Z3.（2） 用同样的方法，过点E 、F 、G 分别作AB 的平行线，用上述方法同理可得Z2 + W1 + Z3 + Z5.推理过程请同学们课下自己完成.（3） 若将长方形纸片任意剪N 刀，两平行线I'可的折线所成的角之间的关系为：开口在同一方向的所有角的度数和相等.如图 3-3 ,Z2 + Z4 + Z6 = Z1 + Z3 + Z5 + Z7.评注：①如图4-1,在作辅助线时，只能过点E 作一 条直线EF 与AB （或CD ）平行，而不能同时作出直线EF 与AB 和CD 都平行.事实上FE//CD （或AB ）是由平行公理得出的.② 基本图形是我们解决其它一些问题的基础，上述三题就是由常用的基本图形4-1变 式得到的.在图4-1屮，由AB 图3-3 E//CD,易得ZBED = ZE + ZD.③事实上，图4-2也是一个常用的基本图形，在图4-2中，由AB //CD,可得ZBE£>+ ZB + Z£> = 360°.。
青岛版七年级数学QD下册精品授课课件 第9章 平行线 9.3 平行线的性质
因为 ∠1+∠3=180°（平角的定义）， 所以 ∠1+∠2=180°（等量代换）.
由此可得到什么结论？
结论： 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简称为：
两直线平行，同旁内角互补.
总结平行 线的性质
两直线平行，同位角相等. 两直线平行，内错角相等.
平行线之间的距离
前面我们已经学过了点到直线之间的距离，那么平行线 间的距离该怎么测量呢？ 如图，直线a∥b. A，B为直线a上的任意两点，用三角尺 分别画出它们到直线b的垂线段AM，BN，测量并比较.
线的距离都相等,即这三个三角形的高相等,
又三个三角形的底边都是AB,所以S1=S2=S3.
课堂小结
平行线的性质： 定理1：两直线平行，同位角相等. 定理2：两直线平行，内错角相等. 定理3：两直线平行，同旁内角互补. 平行线之间的距离： 如果两条直线平行，那么其中一条直线上每个点到另一条直 线的距离都相等.这个距离，叫做这两条平行线之间的距离.
简称为：
两直线平行，内错角相等.
如图，已知直线l1//l2，它们被l3 所截，能推出∠1+∠2=180°吗？
l3
3 l1 1
2
l2
如图，直线l1，l2被直线l3所截，l1//l2.∠1和∠2是同旁内角，
对∠1+∠2=180°说明理由.
l3 3 l1
1
理由：因为 l1//l2 （已知），
2
l2
所以 ∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）.
平行线的性质 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简称为： 两直线平行，同位角相等.
那么，两条平行线被第三条直线所截，内错 角及同旁内角有什么关系呢？
七年级数学下册9.3平行线的性质第一个算出地球周长的人素材新版青岛版202210231103
第一个算出地球周长的人——埃拉托色尼埃拉托色尼被西方地理学家推崇为“地理学之父”，除了他在测地学和地理学方面的杰出贡献外，另一个重要原因是因为他第一个创用了西文“地理学”这个词汇，并用它作为《地理学概论》的书名。
这是该词汇的第一次出现和使用，后来广泛应用开来，成为西方各国通用学术词汇。
埃拉托色尼（公元前275一前193）生于希腊在非洲北部的殖民地昔勒尼（在今利比亚）。
他在昔勒尼和雅典接受了良好的教育，成为一位博学的哲学家、诗人、天文学家和地理学家。
他的兴趣是多方面的，不过他的成就则主要表现在地理学和天文学方面。
埃拉托色尼曾应埃及国王的聘请，任皇家教师，并被任命为亚历山大里亚图书馆一级研究员。
从公元前234年起接任图书馆馆长。
当时亚历山大里亚图书馆是古代西方世界的最高科学和知识中心，那里收藏了古代各种科学和文学论著。
馆长之职在当时是希腊学术界最有权威的职位，通常授予德高望重、众望所归的学者。
埃拉托色尼担任馆长直到他逝世为止，这也说明了他在古希腊学术界享有很高的声誉。
埃拉托色尼充分地利用了他担任亚历山大里亚图书馆馆长职位之便，十分出色地利用了馆藏丰富的地理资料和地图。
他的天才使他能够在占有文献资料的基础上，作出科学的创新。
埃拉托色尼在地理学方面的杰出贡献，集中地反映在他的两部代表著作中，即《地球大小的修正》和《地理学概论》二书。
前者论述了地球的形状，并以地球圆周计算为著名。
他创立了精确测算地球圆周的科学方法，其精确程度令人为之惊叹；后者是有人居住世界部分的地图及其描述。
在该书中，他系统地提出了采用经纬网格编绘世界地国的方法，全面地改绘了爱奥尼亚地图。
他以精确的测量为依据，将得到的所有天文学和测地学的成果尽量结合起来，因而他所编绘的世界地图不仅在当时具有权威性，而且成为其后一切古代地图的基础。
埃拉托色尼的这两部地理著作不幸都失传了，不过通过保存下来的残篇，特别是斯特拉波的引文，后世对它们的内容，以及作者的精辟见解有一定的了解。
七年级数学下册 9.3 平行线的性质课件青岛青岛级下册数学课件
12/7/2021
活动1： 探究平行线的性质
探究:两直线平行,同位角有什么关系?
c
度量法 叠合法
b 2
12/7/2021
1a
性质发现
a∥b a
1
结论 平行线的性质1
b
5
c
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
我们把这样的垂线段（AC或
BD）的长度叫做这两条平行
C
Db
线之间的距离。
定义：如果两条直线平行，那么其中一条直线
上每个点到另一条直线的距离都相等。这个距离，
叫做两条平行线之间的距离。
12/7/2021
如图，已知直线m∥n，△ABC与△ABP的面积相等吗？
为什么？
C
P
m
O
解：相等
A
B
n
E
F
理由：过点C作CE⊥AB,过P作PF⊥AB，垂足分别为E、F
2
E
（3）结合右边图形写出推理过程
E
∵AB∥CD（已知）
A
1B
∴ ∠1＝∠ 3（ 两直线平）行，同位角相等
又∵ ∠3＝∠2（
对顶角相等
）
C
4
∴ ∠1＝∠ 2 （等量代换）
3
D
2
∵ ∠4+∠2＝ 180°（补角定义）
F
∴ ∠4+∠ 1 ＝180°（等量代换） 12/7/2021
例一
如图：直线a ∥ b,c ∥ d, ∠1=106°,求∠2 、 ∠3 的度数
9.3平行线的性质 1.通1.过用直实尺际和操三角作板探画索两条平平行行线线，的标性出图质中,的会同运位用角、平行线
初中数学青岛版七年级下册高效课堂资料9.3平行线的性质定
第 1 页 共 4 页 第 2页 共4页初中数学青岛版七年级下册高效课堂资料9.3平行线的性质【学习目标】1.掌握平行线的性质,能运用平行线的性质解决有关“三线八角”的计算问题，能度量两条平行线之间的距离；2.通过独立思考，合作探究，学会用条理的符号符号语言进行思考与表达；3.激情投入，全力以赴，体会数学的基本思想和思维方式.【重点】平行线的性质 【难点】利用平行线的性质求角 【使用方法与学法指导】1.先精读一遍教材P 35—P 37用红笔进行勾画；再针对预习案二次阅读教材，并回答问题，时间不超过15分钟；2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题，随时记录在课本或导学案上，准备课上讨论质疑；3.预习后，A 层同学结合探究案进行探究、尝试应用，B 层力争完成探究点的研究，C 层同学力争完成例1、例2、拓展提升选做.预 习 案一、复习回顾：同位角，内错角，同旁内角在位置上有什么特征？二、预习自学1.平行线的性质：如图所示，已知直线AB,CD 被直线EF 所截，且AB ∥CD ，请思考下列问题： （1）∠1与∠5是同位角吗？用量角器量一下，它们相等吗？（2）图中其它几对同位角也相等吗？由此你得到了什么结论？（3）图中各对内错角的大小分别有什么关系？为什么？图中各对同旁内角的大小分别有什么关系？为什么？你得到了什么结论？思考：是不是对于任意的两条直线被第三条直线所截后形成的同位角，内错角和同旁内角都有以上结论？2.通过预习课本P 36思考：①AC 与直线1l 有什么位置关系？与BD 呢？为什么？②用圆规比较垂线段AC 与垂线段BD 的大小，你有什么发现？这里线段AC 、BD 的长就是两平行线间的距离，请你给出平行线间距离的概念.二、我的疑惑探 究 案探究点一：平行线的性质例1.在图中，直线a ∥b,c ∥d, ∠1=118°，求 ∠2，∠3的度数.【针对性练习】1.下列说法正确的是（ ）A ．同位角相等 B.两条直线被第三条直线所截，内错角相等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
图
1 辅助线助你成功
在解题过程中，有些题目由已知条件不能直接推出结论，需要添加适当的线，帮助解决问题，像这样的线叫辅助线。
添加的辅助线一般都用虚线表示，并且要说明作法。
添加辅助线是解题的一种手段，一般只有当题目中因已知不易或不能直接推出结论时，才要添加辅助线. 本章的辅助线通常是作平行线，目的是构造两条直线被第三条直线所截的基本图形，以便利用平行线的判定和性质.
一、计算型
例1如图1，已知AB ∥CD ，55A = ∠，20C =
∠，
则P =∠_______．
分析：要求P ∠的度数，必须从已知条件寻找P ∠、∠A 、∠C
的关系，根据条件，直接求不易，故可考虑作辅助线，把分散的条件加以集中，隐含的条件
加以呈现，使条件和结论之间搭起桥梁. 即过点P 作AB 的平行线，构造出与∠A 、∠C 都有关系的角，从而使问题得以解决.
解：过点P 作PE∥AB. ∵AB ∥CD （已知），
∴PE ∥CD （平行于同一条直线的两条直线平行）.
∴A APE ∠=∠，C CPE ∠=∠（两直线平行，内错角相等）
∴P PE PE =-=∠∠A ∠C ∠A -∠C 2035-= =55. 故填35 . 二、应用型
例2 如图2，某煤气公司安装煤气管道，他们从点A 处铺
设到点B 处时，由于有一个人工湖挡住了去路，需要改变方向
经过点C ，再拐到点D ，然后沿与AB 平行的DE 方向继续铺设. 如
果0135ABC ∠=，065BCD ∠=，那么CDE ∠的度数应为多
少？
分析：解答此类实际问题应先转化成数学问题，明确从实际问题中抽象出的几何图形及图形中的数量和位置关系，解决本题的关键是添加辅助线. 通过观察可知：已知条件ABC ∠、BCD ∠与所求的CDE ∠之间没有直接的关系，要想计算CDE ∠的度数，关键在于AB ∥DE 这个条件的应用.
解：过点C 作CF ∥DE ，则180CDE DCF ∠+∠=
.
图4-1
图
4-2 又∵AB ∥DE ，∴AB ∥CF . ∴135BCF ABC ∠=∠=
.
又∵65BCD ∠= ，∴1356570DCF ∠=-= .
∴18070110CDE ∠=-= .
思考：本题还有其它添加辅助线的方法吗？请聪明的你试一试吧，要相信自己的能力呦！
三、探究型
例3 阅读并探究下列问题：
（1）如图3-1，将长方形纸片任意剪两刀，请你探究2∠与1∠，3∠的关系.
（2）如图3-2，将长方形纸片任
意剪四刀，请你探究2∠，4∠与1∠，3∠，5∠的关系.
（3）如图3-3，将长方形纸片任
意剪N 刀，你会发现什么规律？
分析：本题是一道实践探究题，在具体的操作过程中，通过观察、比较发现：这些角之间并没有直接的数量关系，因此可利用辅助线这个桥梁，把相关角联系起来. 这样由特殊到一般，利用类比、猜想、归纳等数学思想方法，从而探索出存在的规律.
解：（1）过点E 作EF ∥AB ，则有EF ∥AB ∥CD .
∵EF ∥AB ，∴1AEF ∠=∠；同理3CEF ∠=∠.
∴132AEF CEF ∠+∠=∠+∠=∠. 即2∠=1∠+3∠.
（2）用同样的方法，过点E 、F 、G 分别作AB 的平行线，用上述方法同理可得
24135∠+∠=∠+∠+∠.
推理过程请同学们课下自己完成.
（3）若将长方形纸片任意剪N 刀，两平行线间的折线所成的角之间的关系为：开口在
同一方向的所有角的度数和相等. 如图3-3，2461357∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠.
评注：① 如图4-1，在作辅助线时，只能过点E 作一
条直线EF 与AB （或CD ）平行，而不能同时作出直线EF
与AB 和CD 都平行. 事实上
FE ∥CD （或AB ）是由平行公理得出的.
② 基本图形是我们解决其它一些问题的基础，上述三题就是由常用的基本图形4-1变
∠=∠+∠.
式得到的. 在图4-1中，由AB∥CD，易得BED B D
③ 事实上，图4-2也是一个常用的基本图形，在图4-2中，由AB∥CD，可得∠+∠+∠= .
BED B D
360。