高一数学周练 必修3

O
50
60
70
80
90
100 成绩（分）
频率
组距
高一数学周练 必修3
1、青少年“心理健康”问题越来越引起社会关注，某校对高一600名学生进行了一次“心理健康”知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图．
（Ⅰ）填写频率分布表中的空格，并补全频率分布直方图； （Ⅱ）试估计该年段成绩在)90,70[段的有多少人？ （Ⅲ）请你估算该年段分数的众数、中位数、平均数．
2、如图，已知四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ，
45=∠ABC ，1DC =，2=AB ，⊥PA 平面ABCD ，1=PA ．
（Ⅰ）求证：//AB 平面PCD ； （Ⅱ）求证：⊥BC
平面PAC ；
（Ⅲ）若M 是PC 的中点，求三棱锥M ACD -的体积．
3、已知实数{}2 1 1 2a ∈--，，，，{}2 1 1 2b ∈--，，，． （Ⅰ）求点（a ，b ）在第一象限的概率；
（Ⅱ）求直线 y a x b =+与圆221x y +=有公共点的概率．
4、已知回归直线方程是：^
y bx a =+,其中1
2
2
1
n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
n x
=-=-=
-∑∑ ,a y b x --
=-.假设学生在高中时数学
成绩和物理成绩是线性相关的,若随机抽取5个学生在高一下学期某次考试中数学成绩x(总分100分)和物理成绩y(总分100分)如下：
学生 A B C D E 数学 80 75 70 65 60 物理
70
66
68
64
62
⑴试求这次高一数学成绩和物理成绩间的线性回归方程.
⑵若小红这次考试的物理成绩是73分,计算估计她的数学成绩是多少分呢？
5、已知：以点C (t , 2
t )(t ∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与x 轴交于点O , A ， 与y 轴交于点O , B ，其中O 为原点． （Ⅰ）当t=2时，求圆C 的方程；
（Ⅱ）求证：△OAB 的面积为定值；
（Ⅲ）设直线y = –2x +4与圆C 交于点M , N ，若ON OM =，求圆C 的方程．
分
组 频 数 频 率 [50,60) 2 0.04 [60,70) 8 0.16 [70,80) 10 [80,90) [90,100] 14 0.28 合 计
1.00
O
50
60
70
80
90
100 成绩（分）
频率
组距
0.032
0.028 0.02 0.016
0.004
高一数学周练04.09参考答案
1、解：（Ⅰ）
（Ⅱ） 该年段成绩在)90,70[段的人数为 600⨯(0.2+0.32)=600⨯0.52=312人 ……10分 （Ⅲ） 该年段分数的众数为85分，中位数约为 165/8分，平均数81.4分 …12分 2、证明：（Ⅰ）//AB DC …………… 1分 又AB ⊄平面PCD …………… 2分
CD ⊂平面PCD …………… 3分 ∴AB ∥平面PCD …………… 4分
（Ⅱ）在直角梯形ABCD 中，过C 作CE AB ⊥于点E ， 则四边形ADCE 为矩形，∴1AE DC == ………… 5分
又2AB =，∴1BE =,在Rt BEC ∆中，45ABC ∠=
∴1,2CE BE CB === ，∴1A D C E ==
则222AC AD CD =
+=，222AC BC AB += ∴BC AC ⊥ ………… 7分
又PA ⊥平面ABCD ， ∴PA BC ⊥ ………… 8分
PA AC A ⋂= ∴BC ⊥平面PAC …………… 9分
（Ⅲ）∵M 是PC 中点，∴M 到面ADC 的距离是P 到面ADC 距离的一半……… 10分
111111
()(11)3232212
M ACD ACD V S PA -∆=
⋅=⨯⨯⨯⨯=
…………… 12分 3、解：由于实数对(),a b 的所有取值为：()22--，，()21--，，()2 1-，，()2 2-，，()12--，，
()11--，
，()1 1-，，()1 2-，，()12-，，()11-，，()1 1，，()1 2，，()22-，，()21-，，()2 1，，()2 2，，共16种．
设“点（a ，b ）在第一象限”为事件A ，“直线y ax b =+与圆221x y +=有公共点”为事件B ．
（1）若点（a ，b ）在第一象限，则必须满足0,0.a b ⎧⎨
⎩>　
>　
即满足条件的实数对()a b ，有()1 1，，()1 2，，()2 1，，()2 2，，共4种． ∴()41164P A =
=，故直线 y a x b =+不经过第四象限的概率为1
4
． （2）若直线y ax b =+与圆2
2
1x y +=有公共点，则必须满足21
b a +≤1，即2b ≤2
1a +．
∴满足条件的实数对()a b ，共有12种不同取值．∴()123
164
P B =
=． 故直线y ax b =+与圆221x y +=有公共点的概率为3
4
．
4、（1）ˆ0.3640.8y
x =+ （2）89.4 5、（Ⅰ）圆C 的方程是 22
(2)(1)5x y -+-=
（Ⅱ）O C 过原点圆 ，222
4t t OC +
=∴．设圆C 的方程是 2
2
224)2()(t
t t y t x +=-+- 令0=x ，得t
y y 4
,021=
=；令0=y ，得t x x 2,021== 4|2||4
|2121=⨯⨯=⨯=∴∆t t
OB OA S OAB
，即：OAB ∆的面积为定值． （Ⅲ）,,CN CM ON OM == OC ∴垂直平分线段MN ． 21,2=
∴-=oc MN k k ，∴直线OC 的方程是x y 21=．t t 2
1
2=∴，解得：22-==t t 或 当2=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(，5=OC ， 此时C 到直线42+-=x y 的距离
55
1
<=
d ，
分 组 频 数 频 率 [50,60) 2 0.04 [60,70) 8 0.16 [70,80) 10 0.2 [80,90) 16 0.32 [90,100] 14 0.28 合 计
50
1.00。