棱柱、棱锥和棱台的结构特征(第二课时)——棱锥和棱台
(2)棱锥:
①棱 锥:有一个面是_______,其余各面都是有_____________的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥.
正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，它的顶点又在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥. ②性质
棱锥：有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形.
正棱锥：正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高． ③表示方法:
如图,棱锥可记作:棱锥________.
④底面:多边形的面.
侧面:有_________的各个三角形面. 侧棱:相邻侧面的_______. 顶点:各侧面的_________. 棱锥的高：顶点到底面的距离
○
5分类:依据底面多边形的边数. 如:底面是三角形的棱锥叫三棱锥. (3)棱台:
①棱 台:用一个平行于棱锥底面的平面去 截棱锥,底面与截面之间的部分叫做棱台.
正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．正棱台各侧面都是的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做正棱台的斜高. ②性质
棱台：有两个面是互相平行的相似多边形，其余各面都是梯形，每相邻两个梯形的公共腰的延长线共点. ③表示方法：
如图,棱台可记作:棱台__________________. ④上底面:原棱锥的截面. 下底面:原棱锥的底面. 侧面:其余各面.
侧棱:相邻侧面的公共边. 顶点:侧面与上(下)底面的公共顶点.
棱台的高：两底面间的距离
○
5分类:依据:由几棱锥截得.举例:三棱台(由三棱锥截得)、四棱台(由四棱锥截得)…… 3. 棱柱、棱锥、棱台之间的关系
例1 已知正四棱锥V —ABCD ，底面面积为16，一条侧棱长为211，计算它的高和斜高．
（小结：在正棱锥的有关计算中， 要注意寻找直角三角形，一般有：正棱锥顶点与底面中心连线，相应的边心距和斜高组成一个直角三角形；正棱锥顶点与底面中心连线，侧棱和底面中心与底面多边形的顶点组成一个直角三角形）．
例2 如图，在正三棱台ABC —A 1B 1C 1中，已
知AB ＝10，棱台一个侧面的面积为203
3， O 1、O 分别为上、下底面正三角形的中心，
D 1D 为棱台的斜高，∠D 1DA ＝60°，求上底面的边长．
（小结：在正棱台的有关计算中， 要注意寻找直角
梯形，
一般有：
正棱台两底面中心连线，
相应的边心
距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线，侧棱和两底面相应的外接圆半径组成一个直角梯形．）。
1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征(2)
4．棱锥的分类： ．棱锥的分类： （1）按底面多边形的边数分为三棱锥、 ）按底面多边形的边数分为三棱锥、 四棱锥、五棱锥等， 四棱锥、五棱锥等，其中三棱锥又叫四面 体!
三棱锥 四面体） （四面体）
四棱锥
五棱锥
（2）正棱锥：如果棱锥的底面是正多边 ）正棱锥：如果棱锥的底面是正多边 并且水平放置， 它的顶点又在过正 顶点又在过 形，并且水平放置， 它的顶点又在过正 多边形中心的铅垂线上 多边形中心的铅垂线上，则这个棱锥叫做 S 正棱锥! 正棱锥
已知正四棱锥V－ 例2. 已知正四棱锥 －ABCD，底面面积为 ， 16，一条侧棱长为 ，计算它的高和斜高。 ，一条侧棱长为2，计算它的高和斜高。 为正四棱锥V－ 解：设VO为正四棱锥 － 为正四棱锥 ABCD的高，作OM⊥BC于 的高， 的高 ⊥ 于 中点， 点M，则M为BC中点， ， 为 中点 连接OM、OB，则 、 ， 连接 VO⊥OM，VO⊥OB. ⊥ ， ⊥
在Rt△VOM中，由勾股定理得 △ 中
VM = 62 + 22 = 2 10
即正四棱锥的高为6，斜高为 2 10 即正四棱锥的高为 ，
练习题： 练习题：
1．能保证棱锥是正棱锥的一个条件是 ． ( C ) （A）底面为正多边形 ） （B）各侧棱都相等 ） （C）各侧面与底面都是全等的正三角形 ） （D）各侧面都是等腰三角形 ）
2．过正方体三个顶点的截面截得一个正 ． 三棱锥，若正方体棱长为 a，则截得的正 三棱锥， ， 三棱锥的高为
3 a 3
。
3．正四面体棱长为 a，M，N为其两条相 ． ， ， 为其两条相 对棱的中点， 对棱的中点，则MN的长是 的长是
2 a 2
。
4．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等， ．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等， 则该棱锥一定不是（ 则该棱锥一定不是（ D ） A） B） （A）三棱锥 （B）四棱锥 （C）五棱锥 （D）六棱锥 ） ）
课件5：1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征（第2课时）
(2)棱锥按底面是三角形、四边形、五边形、……分别叫做 _三__棱__锥___、_四__棱__锥___、_五__棱__锥___、……. (3)棱锥的底面是__正__多__边__形___，_它__的__顶__点__又__在__过__底__面__正___ _多__边__形__中__心__与__底__面__垂__直__的__直__线__上___，则这样的棱锥叫做正棱锥． 正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些三角形底边上的高都 相等，叫做棱锥的__斜__高____．
1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征 第2课时 棱锥和棱台
ห้องสมุดไป่ตู้
1．棱锥 (1)棱锥是__有__一__个__面__是__多__边__形__，__其__余__各__面__都__是__有__一__个____ __公__共__顶__点__的__三__角__形___，这样的一些面所围成的几何体． 棱锥中，有公共顶点的各三角形面叫做棱锥的____侧__面______；各 侧面的公共顶点叫做棱锥的___顶__点___；相邻两侧面的公共边叫做 棱锥的___侧__棱___；多边形的面叫做棱锥的__底__面____；顶点到底面 的距离叫做棱锥的___高_____．
[解] 如图，设 PO 是正三棱锥 P－ABC 的高，D 是 BC 的中点， 连接 PD、OB、OD，则 PO⊥OB，PO⊥OD，PD⊥BC，则 PD 为正三棱锥的斜高．
在等边△ABC
中，OB＝23×
23×4＝4
3
3，OD＝12OB＝2
3
3 .
在 Rt△POD 中，PD＝ PO2＋OD2
＝
(
3)2＋(2 3 3)2＝
2．棱台 (1)棱锥被平行于底面的平面所截，底面与截面间的部分叫做 ___棱__台___． 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的_下__底__面___和_上__底__面___， 其他各面叫做棱台的__侧__面____；相邻两侧面的公共边叫做棱 台的侧棱；两底面间的距离叫做棱台的___高_____． (2)由正棱锥截得的棱台叫做__正__棱__台__，正棱台各侧面都是全 等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的___斜__高___． (3)棱台可用表示上、下底面的字母来命名．
棱锥棱台的结构特征
棱锥棱台的结构特征
棱锥和棱台是几何图形中的一种，它们有着特殊的结构特征。
棱锥是
一种三维图形，由一个多边形的底面和与底面连接的直线段（称为侧面）
组成。
而棱台则是一种棱锥的特殊情况，它的底面和顶面是相同的多边形。
下面将对棱锥和棱台的结构特征进行详细描述。
1.棱锥的结构特征：
棱锥的底面是一个多边形，它可以是任意形状的多边形，如三角形、
四边形、五边形等。
棱锥的顶点称为顶点，它是由底面直线段的所有端点
连接而成。
棱锥的侧面由顶点和底面上的各个点以直线段连接而成，每个
侧面都是一个三角形。
2.棱台的结构特征：
棱台是一种特殊的棱锥，它的底面和顶面是相同的多边形。
棱台的底
面和顶面可以是任意形状的多边形，如三角形、四边形、五边形等。
棱台
的侧面是由底面和顶面上的各个点以直线段连接而成，每个侧面都是一个
梯形或者矩形。
总结：
棱锥和棱台的结构特征可以归纳为以下几点：
1.棱锥由一个底面和连接底面和顶点的直线段组成，侧面为三角形。
2.棱台是一种特殊的棱锥，其底面和顶面相同，侧面为梯形或矩形。
3.棱锥和棱台的底面可以是任意形状的多边形，如三角形、四边形等。
4.棱锥和棱台的顶点为连接底面各个点的直线段的交点。
5.棱锥和棱台的侧面为由底面和顶面上的各个点以直线段连接而成的三角形、梯形或矩形。
棱锥和棱台在几何学中有着广泛的应用，例如在建筑设计、工程测量和计算几何等领域。
他们的结构特征使得它们成为解决空间问题的重要工具，并且在实际应用中具有较高的实用价值。
1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征
例5.如图所示，在透明塑料支撑的长方体 ABCD A 1B 1C1D 1 容器中灌进一些水，将固定容器底面一边BC置于地面上， 再将容器，随着倾斜程度的不同，以下命题：①水的形状 成棱柱形；②水面EFGH的面积不变；③ A1D1 始终与水面 EFGH平行，其中正确命题的序号是 。
A'
C'
D B A
C
Bqr6401@
四、应用举例
普 通 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue
例4.已知正四棱锥V-ABCD，底面面积为16，一条侧
棱长为 2 11 ，计算它的高和斜高。 V
D O A
Bqr6401@
C B M
四、应用举例
普 通 高 中 课 程 标 准
Bqr6401@
七、布置作业
普 通 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue课本第5页，练习B Nhomakorabea 弹性作业：
课本：第
页，
页，我夯基，我达标
优化设计，同步测控，第
Bqr6401@
普 通 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue
下课
Bqr6401@
棱锥的符号表示：棱锥 S ABCD
S
侧 棱
顶点:由棱柱的一个 底面收缩而成.
侧面
高
A
D B
C 底面
Bqr6401@
三、概念形成
普 通 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue
概念：棱锥的分类
按底面多边形边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥，…… 如果底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与 底面垂直的直线上，这样的棱锥叫做正棱锥。 S
教学设计2：1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征
1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征【教学目标】1．掌握棱柱、棱锥和棱台的结构特征，学会观察、分析图形，提高空间想象能力和几何直观能力．2．能够描述现实生活中简单物体的结构，学会建立几何模型研究空间图形，培养数学建模的思想．【重点难点】教学重点：理解棱柱、棱锥和棱台的结构特征．教学难点：归纳棱柱、棱锥和棱台的结构特征．【课时安排】1课时【教学过程】导入新课设计1.从古至今，各个国家的建筑物都有各自的特色，古有埃及的金字塔，今有各城市大厦的旋转酒吧、旋转餐厅，还有上海东方明珠塔上的两个球形建筑等．它们都是独具匠心、整体协调的建筑物，是建筑师们集体智慧的结晶．今天我们如何从数学的角度来看待这些建筑物呢？引出课题．设计2.在我们的生活中会经常发现一些具有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑物的几何结构特征如何？引导学生回忆、举例和相互交流，教师对学生的活动及时给予评价，引出课题．推进新课新知探究提出问题(1)观察下图所示的几何体，这些几何体都是多面体．多面体集合具有什么性质？多面体的结构特征是什么？(2)阅读教材，给出多面体的面、棱、顶点、对角线的定义．(3)阅读教材，多面体如何分类？(4)什么叫几何体的截面？讨论结果：(1)多面体的每个面都是多边形(围成多面体的多边形都包含它内部的平面部分)，而圆柱、圆锥、球等其他几何体就不具有这种性质．由此得出多面体的结构特征：多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体．(2)如下图所示，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面ABCD 、面BCC ′B ′；相邻的两个面的公共边叫做多面体的棱，如棱AB 、棱AA ′；棱和棱的公共点叫做多面体的顶点，如顶点A 、顶点A ′；连结不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线，如对角线BD ′.(3)把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体．如上图中的(1)(2)(3)都是凸多面体，而(4)不是．本书中说到多面体，如果没有特别说明，指的都是凸多面体．多面体至少有4个面．多面体按照围成它的面的个数分别叫做四面体、五面体、六面体…… 多面体的分类：多面体⎩⎪⎨⎪⎧ 非凸多面体凸多面体⎩⎪⎨⎪⎧ 四面体五面体六面体……(4)一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)，叫做这个几何体的截面，在上图中画出了多面体的一个截面EAC .提出问题(1)观察如下图所示的多面体，根据小学和初中学过的几何知识，这些多面体是棱柱，棱柱集合具有什么性质，其特征性质是什么？(1)(2)(3)(2)阅读教材，给出棱柱的底面、侧面、侧棱、高的定义．(3)阅读教材，棱柱如何分类？(4)阅读教材，说一说特殊的四棱柱．讨论结果：(1)如果我们以运动的观点来观察，棱柱可以看成一个多边形(包括图形围成的平面部分)上各点都沿着同一个方向移动相同的距离所形成的几何体．观察这个移动过程，我们可以得到棱柱的主要特征性质：棱柱有两个相互平行的面，而且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行(如上图)．(2)棱柱的这两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．棱柱两底面之间的距离，叫做棱柱的高．(3)棱柱按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……棱柱用表示两底面的对应顶点的字母或者用一条对角线端点的两个字母来表示．例如，上图(3)中的五棱柱可表示为棱柱ABCDEA′B′C′D′E′或棱柱AC′.棱柱又分为斜棱柱和直棱柱．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱(上图(1))．侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱(上图(2)(3))．底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱(上图(3))．(4)下面研究一些特殊的四棱柱．底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体(下图)．侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体(下图(2)(3)(4))．底面是矩形的直平行六面体是长方体(下图(3)(4)．棱长都相等的长方体是正方体(下图(4))．提出问题1.观察如下图所示的多面体，可能会判定是一些棱锥，棱锥集合具有什么性质？棱锥有什么特征性质？(2)阅读教材，给出棱锥的侧面、顶点、侧棱、底面、高的定义，如何表示棱锥？(3)阅读教材，棱锥如何分类？讨论结果：(1)棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形．(2)棱锥中有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；多边形叫做棱锥的底面；顶点到底面的距离，叫做棱锥的高．(3)棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母或者用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母来表示．例如，下图中棱锥可表示为棱锥S—ABCDE或者棱锥S—AC.棱锥按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥(下图)．容易验证：正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高(下图)．提出问题阅读教材，给出棱台的有关概念.讨论结果：如左下图所示，棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面间的距离叫做棱台的高.由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．棱台可用表示上下底面的字母来命名．如右上图中的棱台，记作棱台ABCD—A′B′C′D′，或记作棱台AC′.棱台的下底面为ABCD、上底面为A′B′C′D′、高为OO′.应用示例思路1例1设计一个平面图形，使它能够折成一个侧面与底面都是等边三角形的正三棱锥．解：因为要制作的正三棱锥的侧面与底面都是等边三角形，所以它的棱长都相等(下图)．于是作一个等边三角形及其三条中位线，如下图所示，沿图中的实线剪下这个三角形，再以虚线(中位线)为折痕就可折成符合题意的几何体．点评：本题揭示了平面图形与立体图形的关系，即可以相互转化，因此将空间问题转化为平面问题．变式训练1．一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，如左下图所示，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中∠ABC＝__________.【解析】如右上图所示，折成正方体，很明显点A、B、C是上底面正方形的三个顶点，则∠ABC＝90°.【答案】90°例2已知正四棱锥V—ABCD(下图)，底面面积为16，一条侧棱长为211，计算它的高和斜高．解：设VO为正四棱锥V—ABCD的高，作OM⊥BC于点M，则M为BC中点．连结OM、OB，则VO⊥OM，VO⊥OB.因为底面正方形ABCD的面积为16，所以BC＝4，BM＝OM＝2，OB＝BM2＋OM2＝22＋22＝2 2.又因为VB＝211，在Rt△VOB中，由勾股定理，得VO＝VB2－OB2＝（211）2－（2202＝6.在Rt△VOM(或Rt△VBM中，由勾股定理，得VM＝62＋22＝210(或VM＝（211）2－22＝210)．即正四棱锥的高为6，斜高为210.点评：解决本题的关键是构造直角三角形．正棱锥中，高、斜高和底面正多边形的边心距构成直角三角形；高、侧棱和底面正多边形的半径构成直角三角形．思路2例3下列几何体是棱柱的有()A．5个B．4个C．3个D．2个【解析】判断一个几何体是哪种几何体，一定要紧扣柱、锥、台、球的结构特征，注意定义中的特殊字眼，切不可马虎大意．棱柱的结构特征有三方面：有两个面互相平行；其余各面是平行四边形；这些平行四边形面中，每相邻两个面的公共边都互相平行．当一个几何体同时满足这三方面的结构特征时，这个几何体才是棱柱．很明显，几何体②④⑤⑥均不符合，仅有①③符合．【答案】D点评：本题主要考查棱柱的结构特征．本题容易错认为几何体②也是棱柱，其原因是忽视了棱柱必须有两个面平行这个结构特征，避免出现此类错误的方法是将教材中的各种几何体的结构特征放在一起对比，并且和图形对应起来记忆，要做到看到文字叙述就想到图，看到图形就想到文字叙述．变式训练1．下列几个命题中，①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；④棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．其中正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．0【解析】①中两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱会交于一点，所以①是错误的；②中两个底面互相平行，其余四个面都是等腰梯形，也有可能两底面根本就不相似，所以②不正确；③中底面不一定是正方形，所以③不正确；很明显④是正确的．【答案】A2．下列命题中正确的是()A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D．棱台各侧棱的延长线交于一点【答案】D例4长方体AC1的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为() A．1＋ 3 B．2＋10 C．3 2 D．23活动：解决空间几何体表面上两点间最短线路问题，一般都是将空间几何体表面展开，转化为求平面内两点间线段长，这体现了数学中的转化思想．【解析】如左下图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1.如右上图所示，将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开，则有AC1＝52＋12＝26，即经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离是26；如左下图所示，将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开，则有AC1＝32＋32＝32，即经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是32；如右上图所示，将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开，则有AC1＝42＋22＝25，即经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是2 5.由于32<25，32<26，所以由A到C1在正方体表面上的最短距离为3 2.【答案】C点评：本题主要考查空间几何体的简单运算及转化思想．求表面上最短距离可把立体图形展成平面图形．变式训练1．左下图是边长为1 m的正方体，有一蜘蛛潜伏在A处，B处有一小虫被蜘蛛网粘住，请制作出实物模型，将正方体剪开，描述蜘蛛爬行的最短路线．分析：制作实物模型(略)．通过正方体的展开右上图可以发现，AB间的最短距离为A、B两点间的线段的长22＋12＝ 5.由展开图可以发现，C点为其中一条棱的中点．具体爬行路线如下图中的粗线所示，我们要注意的是爬行路线并不唯一．解：爬行路线如下图(1)～(6)所示：2．如下图所示，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周．．到达A1点的最短路线的长为__________．【解析】将正三棱柱ABC—A1B1C1沿侧棱AA1展开，其侧面展开图如左下图所示，则沿着三棱柱的侧面绕行两周．．到达A1点的最短路线的长就是左下图中AD＋DA1.延长A1F至M，使得A1F＝FM，连结DM，则A1D＝DM，如右下图所示．则沿着三棱柱的侧面绕行两周．．到达A1点的最短路线的长就是如右上图中线段AM的长．在右上图中，△AA1M是直角三角形，则AM＝AA21＋A1M2＝82＋（1＋1＋1＋1＋1＋1）2＝10.【答案】10知能训练1．如下图，观察四个几何体，其中判断正确的是()A．(1)是棱台B．(2)是棱台C．(3)是棱锥D．(4)不是棱柱【解析】图(1)不是由棱锥截来的，所以(1)不是棱台；图(2)上下两个面不平行，所以(2)不是棱台；图(4)前后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以(4)是棱柱；很明显(3)是棱锥．【答案】C2．正方体的截平面不可能．．．是：①钝角三角形；②直角三角形；③菱形；④正五边形；⑤正六边形．下述选项正确的是()A．①②⑤B．①②④C．②③④D．③④⑤【解析】正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形(证明略)；对四边形来讲，可以是梯形(等腰梯形)、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形(证明略)；对五边形来讲，不可能是正五边形(证明略)；对六边形来讲，可以是六边形(正六边形)．【答案】B拓展提升1．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱吗？剖析：如下图所示，此几何体有两个面互相平行，其余各面是平行四边形，很明显这个几何体不是棱柱，因此说有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体不一定是棱柱．由此看，判断一个几何体是否是棱柱，关键是紧扣棱柱的3个本质特征：①有两个面互相平行；②其余各面都是四边形；③每相邻两个四边形的公共边都互相平行．这3个特征缺一不可，下图所示的几何体不具备特征③.2．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？剖析：如左下图所示，将正方体ABCD—A1B1C1D1截去两个三棱锥A—A1B1D1和C—B1C1D1，得如右下图所示的几何体．右上图所示的几何体有一个面ABCD是四边形，其余各面都是三角形的几何体，很明显这个几何体不是棱锥，因此说有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥．由此看，判断一个几何体是否是棱锥，关键是紧扣棱锥的3个本质特征：①有一个面是多边形；②其余各面都是三角形；③这些三角形面有一个公共顶点．这3个特征缺一不可，右上图所示的几何体不具备特征③.课堂小结本节课学习了棱柱、棱锥和棱台的结构特征．作业1．如下图，甲所示为一几何体的展开图．(1)沿图中虚线将它们折叠起来，是哪一种几何体？试用文字描述并画出示意图．(2)需要多少个这样的几何体才能拼成一个棱长为6 cm的正方体？请在图乙棱长为6cm的正方体ABCD—A1B1C1D1中指出这几个几何体的名称．【答案】(1)有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥，如下图甲所示．(2)需要3个这样的几何体，如上图乙所示．分别为四棱锥：A1—CDD1C1，A1—ABCD，A1—BCC1B1.2．如下图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4.M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为29，设这条最短路线与CC1的交点为N，求P点的位置．分析：把三棱锥展开后放在平面上，通过列方程解应用题来求出P到C点的距离，即确定了P点的位置．解：如下图所示，把正三棱锥展开后，设CP＝x，根据已知可得方程22＋(3＋x)2＝29，解得x＝2(x>0)．所以P点的位置在离C点距离为2的地方．3．正四棱锥的侧棱长为23，侧棱与底面所成的角为60 °，则该棱锥的体积为() A．3 B．6C．9 D．18【解析】作下图，依题可知SO＝23sin60°＝23·32＝3，CO＝23·cos60°＝23·12＝3，∴底面边长为 6.从而V S—ABCD＝13S ABCD·SO＝13×(6)2×3＝6.【答案】B设计感想本节教学设计，充分体现了新课标的精神，按课程标准的要求：降低逻辑推理，通过直观感受和操作确认来设计．在使用时，建议使用信息技术来处理图片和例题，否则会造成课时不足的矛盾．。
人教版高考数学课题：棱柱、棱锥和棱台的结构特征
教学目标：理解多面体、棱柱的基本概念教学重点：理解多面体、棱柱的基本概念.教学过程：1、多面体：（1）多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体.（2）多面体的面（3）多面体的棱（4）多面体的顶点（5）多面体的对角线（6）凸多面体（7）多面体可按面数命名（8）正多面体（9）多面体的截面2、棱柱：出示棱柱体模型，引导学生观察到这些模型都是由面（平面的一部分）围成的；面与面有交线。
因此从“面”和“线”两个角度去考虑：首先看面：有两个面互相平行，其余各面都是四边形.再看线：每相邻除两个平行面外，其余的每相邻两个四边形的公共边都互相平行.（1）定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱住.（2）有关于元素①底面②侧面③侧棱④顶点⑤对角线⑥高⑦对角面学生回答后，总结：⑴中可以找出两个面平行，但其余各四边形公共边中有不平行的。
“有两个面平行”的条件不足以确定几何体是棱柱。
⑵找出两个平行的面以后，如果其它条件不能成立，不要急于下结论，再选另外一对平行面，按定义再次判断它是否是棱柱。
（3）分类：按底面多边形的边数分类：三棱柱、四棱柱、五棱柱……（4）棱柱的表示法：用各顶点字母，如五棱柱ABCDE—A＇B＇C＇D＇E＇或用对角线的端点字母，如五棱柱A＇D教学目标：理解棱锥、棱台的基本概念教学重点：理解棱锥、棱台的基本概念教学过程：1．“一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形”是棱锥的本质特征．正棱锥是一种特殊棱锥．正棱锥除具有棱锥的所有特征外，还具有：①底面为正多边形；②顶点在过底面正多边形的中心的铅垂线上．“截头棱锥”是棱台的主要特征，因此，关于棱台的问题，常常将其恢复成相应的棱锥来研究．2．正棱锥的性质很多，但要特别注意：(1)平行于底面截面的性质如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么：①棱锥的侧棱和高被这个平面分成比例线段．②所得的截面和度面是对应边互相平行的相似三角形．③截面面积和底面面积的比，等于从顶点到截面和从顶点到底面的距离平方的比．(2)有关正棱锥的计算问题，要抓住四个直角三角形和两个角：正棱锥的高、侧棱及其在底面的射影、斜高及其在底面的射影、底面边长的一半可组成四个直角三角形．四个直角三角形是解决棱锥计算问题的基本依据，必须牢固掌握．3．棱台的性质都由截头棱锥这个特征推出的，掌握它的性质，就得从这个特征入手同棱锥一样，棱台也有很多重要性质，但要强调两点：(1)平行于底面的截面的性质：设棱台上底面面积为S1，下底面面积为S2，平行于底面的截面将棱台的高分成距上、下两底的比为m∶n，则截面面积S满足下列关系：(2)有关正棱台的计算问题，应抓住三个直角梯形、两个直角三角形：正棱台的两底面中心的连线、相应的边心距、相应的外接圆半径，侧棱，斜高，两底面边长的一半，组成三个直角梯形和两个直角三角形(上、下底面内各一个直角三角形)．正棱台中的所有计算问题的基本依据就是这三个直角梯形、两个直角三角形和两个重要的角，必须牢固掌握．4．棱锥、棱台的侧面展开图的面积，即侧面积，是确定其侧面积公式的依据．(1)正棱锥的侧面是彼此全等的等腰三角形，由此可得其侧面积公式：(2)正棱台的侧面是彼此全等的等腰梯形，由此可得其侧面积公式：棱锥的全面积等于：S全=S侧+S底棱台的全面积等于：S全=S侧+S上底+S下底(3)棱柱、棱锥和棱台的侧面公式的内在联系必须明确，它有利认识这三个几何体的本质，也有利于区分这三个几何体，在正棱台侧面积公式中：当C'=C时，S棱柱侧=Ch可以联想：棱柱、棱锥都是棱台的特例．6．关于截面问题关于棱锥、棱台的截面，与棱柱截面问题要求一样，只要求会解对角面、平行于底面的截面(含中截面)、以及已给出图形的截面，或已给出全部顶点的截面，但对于基础较好，能力较强的同学，也可以解一些其他截面，比如：平行于一条棱的截面，与一条棱垂直的截面，与一个面成定角的截面，与一个面平行的截面等．作截面就是作两平面的交线，两平面的交线就是这两个平面的两个公共点的连线，或由线面平行、垂直有关性质确定其交线，这是画交线，即作截面的基本思路．课堂练习：教材第11页练习A、B小结：本节课学习了棱锥、棱台的基本概念课后作业：第34页习题1-1A:2、5圆柱、圆锥、圆台和球（一）教学目标：1、圆柱、圆锥、圆台概念，2、掌握圆柱、圆锥、圆台的性质教学重点：掌握圆柱、圆锥、圆台的性质教学过程：一、基本概念(播放陶艺的主要制作过程.)(抓取实物照片)，思考：这个几何体的外部曲面是如何形成的？几何体是如何形成的？旋转面可看作一条曲线绕一条定直线旋转一周所形成的轨迹,这条定直线叫做旋转轴,简称轴.这条曲线叫做旋转面的母线.封闭的旋转面所围成的几何体叫做旋转体.旋转体也可以看作是由一封闭的平面图形包括其内部绕一条定直线旋转一周所形成的轨迹.请学生思考：圆柱、圆锥、圆台可由什么平面图形如何运动而成？定义1：(线动成面,面围成体)圆柱、圆锥、圆台可以分别看作以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周形成的曲面所围成的几何体.旋转轴叫做所围成的几何体的轴；在轴上的这条边的长度叫做这个几何体的高；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的侧面；无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线.定义2：(面动成体)以矩形的一边所在的直线为旋转轴将矩形及其内部旋转一周所形成的轨迹叫做圆柱；以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴将直角三角形及其内部旋转一周所形成的轨迹叫做圆锥；以直角梯形的一直角边所在的直线为旋转轴将直角梯形及其内部旋转一周所形成的轨迹叫做圆台.圆柱、圆锥、圆台之间有何关系？（教师演示，学生观察总结）①平行于底面截圆锥可以得到圆台；用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台.②圆台的上底变大可以得到圆柱；③圆台的上底变小可以得到圆锥.让学生举出一些圆柱、圆锥、圆台的实例，以及其他旋转体的实例.让学生思考：如图，一个半圆面绕其直径所在直线旋转一周所形成的几何体是什么？一个圆面绕一条直线旋转一周形成的几何体是什么？三、巩固练习1．下列命题中的真命题是（）（A）以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；（B）以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；（C）圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；（D）圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径.2．判断下列命题是否正确？①平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形；②平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形；③过圆锥顶点的截面是等腰三角形；④过圆台上底面中心的截面是等腰梯形.3．长为4，宽为3的矩形绕其一边所在直线旋转一周所得圆柱的侧面积为_________.4．若圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则圆锥的母线与轴的夹角的大小为_________.5.(P13例1)用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1 ：4，截去的圆锥的母线长是3cm，球圆台的母线长.解：设圆台的母线为l ，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是r ，r 4，根据相似三角形的性质得rr l 433=+，解得9=l . 所以，圆台的母线长为9cm. 小结：a) 圆柱、圆锥、圆台可以分别看作以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周形成的曲面所围成的几何体b) 以矩形的一边所在的直线为旋转轴将矩形及其内部旋转一周所形成的轨迹叫做圆柱；以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴将直角三角形及其内部旋转一周所形成的轨迹叫做圆锥；以直角梯形的一直角边所在的直线为旋转轴将直角梯形及其内部旋转一周所形成的轨迹叫做圆台.c) 圆柱、圆锥、圆台的性质课后作业：略圆柱、圆锥、圆台和球（二）教学目标：1、理解球面、球体和组合体的基本概念，2、掌握球的截面的性质,3、掌握球面距离的概念.教学重点：球的截面的性质及应用，会求球面上两点之间的距离教学过程：复习引入1、圆柱、圆锥、圆台，它们分别由矩形、直角三角形、直角梯形旋转而成的。
教学设计1：1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征
1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征知识点[导入新知]多面体多面体定义图形及表示相关概念棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱上图可记作：棱柱ABCDA′B′C′D′底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥上图可记作：棱锥SABCD底面(底)：多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台上图可记作：棱台ABCDA′B′C′D′上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点[化解疑难]1．对于多面体概念的理解，注意以下两个方面：(1)多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要4个面．一个多面体由几个面围成，就称为几面体．(2)多面体是一个“封闭”的几何体，包括其内部的部分．2．棱柱具有以下结构特征和特点：(1)侧棱互相平行且相等，侧面都是平行四边形．(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图a所示．(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图b所示．(4)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如图c所示．3．对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形，如图d所示．4．棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台．题型一棱柱的结构特征[例1]下列关于棱柱的说法：(1)所有的面都是平行四边形；(2)每一个面都不会是三角形；(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是________．【答案】(3)(4)[类题通法]有关棱柱的结构特征问题的解题策略(1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析．①两个面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征．(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．[活学活用]下列说法正确的是()A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．各个侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形【答案】D题型二棱锥、棱台的结构特征[例2]下列关于棱锥、棱台的说法：(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；(3)棱锥的侧面只能是三角形；(4)由4个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中说法正确的序号是________．【答案】(2)(3)(4)[类题通法]判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法：判定方法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点[活学活用]下列说法正确的有()①由5个面围成的多面体只能是四棱锥；②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；④有两个面互相平行，其余4个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A题型三多面体的平面展开图[例3]如下图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？解由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．[类题通法]1．解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力．2．若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．3．若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推．[活学活用]水平放置的正方体的6个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．1B．5C．快D．乐【答案】B易错易误辨析1.柱、锥、台结构特征判断中的误区[典例]如下图所示，下列关于这个几何体的正确说法的序号为________．①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．【解析】①正确，因为有6个面，属于六面体的范围；②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；③正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；④⑤都正确，如下图所示．【答案】①③④⑤[易错防范]1．解答过程中易忽视侧棱的延长线不能交于一点，直观感觉是棱台，而不注意逻辑推理．2．解答空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义，切忌只凭图形主观臆断．[成功破障]如图所示，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定【答案】A当堂检测1．下列图形中，不是三棱柱的展开图的是()【答案】C2.如图所示，在三棱台ABCA′B′C′中，截去三棱锥A′ABC，则剩余部分是()A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．组合体【答案】B3．面数最少的棱柱为________棱柱，共有________个面围成．【答案】三54.如图所示，M是棱长为2 cm的正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________ cm.【答案】135．如图所示，长方体ABCD A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．解：(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面)，其余各面都是矩形(作侧面)，且相邻侧面的公共边互相平行，符合棱柱的定义．(2)截面BCNM的上方部分是三棱柱BB1MCC1N，下方部分是四棱柱ABMA1DCND1.。
第一章1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征2教案学生版
1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征(二)【学习要求】1．认识棱锥、棱台的结构特征．2．掌握其定义及性质．【学法指导】通过直观感受空间物体，从实物中概括出棱锥、棱台的几何结构特征，提高观察、讨论、归纳、概括的能力；感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学习的积极性，培养空间想象能力．填一填：知识要点、记下疑难点1．棱锥：(1)棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有．棱锥中有公共顶点的各三角形，叫做；各侧面的公共顶点叫做；相邻两侧面的公共边叫做；多边形叫做；顶点到底面的距离，叫做．(2)如果棱锥的底面是正多边形，它的顶点又在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做．2．棱台：(1)棱锥被平行于底面的截面所截，截面和底面间的部分叫做．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面；其它各面叫做棱台的；相邻两侧面的公共边叫做；两底面间的距离叫做．(2)由正棱锥截得的棱台叫做．正棱台各侧面都是的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做正棱台的斜高. 研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]观察下面的几何体，你可能会判定它们是一些棱锥．为什么你会判定它们是棱锥呢？探究点一棱锥的结构特征问题1棱锥有哪些性质？哪些性质可以作为棱锥集合的特征性质？问题2类比棱柱，棱锥的侧面、顶点、侧棱、底面、高分别指什么？问题3如何用字母表示棱锥？问题4依据棱锥底面多边形的边数如何分类？问题5用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面的形状关系如何？问题6类比正棱柱的概念，如何定义正棱锥？问题7正棱锥与棱锥相比较，有什么特殊的性质？例1设计一个平面图形，使它能够折成一个侧面与底面都是等边三角形的正三棱锥．小结：由于三棱锥有一个底面和三个侧面，共四个面组成，所以三棱锥又叫四面体，三棱锥的各个面都是三角形．跟踪训练1若三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为2，底面周长为9，求棱锥的高．例2已知正四棱锥V—ABCD，底面面积为16，一条侧棱长为211，计算它的高和斜高．小结：在正棱锥的有关计算中，要注意寻找直角三角形，一般有：正棱锥顶点与底面中心连线，相应的边心距和斜高组成一个直角三角形；正棱锥顶点与底面中心连线，侧棱和底面中心与底面多边形的顶点组成一个直角三角形．跟踪训练2正四棱锥S－ABCD的高为3，侧棱长为7.(1)求侧面上的斜高；(2)求一个侧面的面积；(3)求底面的面积．探究点二棱台的结构特征问题1用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分形成另一个多面体，这样的多面体叫做棱台．那么棱台有哪些结构特征？问题2类比棱柱的说法，棱台的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义？问题3三棱台、四棱台、五棱台……分别是什么含义？如何用字母表示？问题4既然棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否相互转化？例3如图，在正三棱台ABC—A1B1C1中，已知AB＝10，棱台一个侧面的面积为2033，O1、O分别为上、下底面正三角形的中心，D1D为棱台的斜高，∠D1DA＝60°，求上底面的边长．小结：在正棱台的有关计算中，要注意寻找直角梯形，一般有：正棱台两底面中心连线，相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线，侧棱和两底面相应的外接圆半径组成一个直角梯形．跟踪训练3已知正四棱台的上、下底面面积分别为4、16，一侧面面积为12，分别求该棱台的斜高、高、侧棱长．练一练：当堂检测、目标达成落实处1．给出下列几个命题：①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；③多面体至少有四个面；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．其中，假命题的个数是()A．0B．1C．2D．32．棱台不一定具有的性质为()A．两底面相似B．侧面均为梯形C．侧棱均相等D．侧棱延长后共点课堂小结：1．棱锥是当棱柱的一个底面收缩为一个点时形成的空间图形，棱台则可以看成是用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥所得到的图形．应注意：若一个几何体是棱台，则其侧棱延长后必交于同一点，也就是说若一个几何体的各条侧棱延长后不交于同一点，则该几何体一定不是棱台．掌握好棱柱、棱锥、棱台的定义和性质，是解决问题的基础和关键．2．棱台是由棱锥截得的，在处理与棱台有关的问题时要注意联系棱锥的有关性质，”还台为锥”是常用的解题方法和策略．。
必修四棱柱、棱锥、棱台的结构特征(附答案)
棱柱、棱锥、棱台的结构特征[学习目标] 1.通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来判断、描述现实生活中的实物模型.知识点一空间几何体1.概念：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体.2.多面体与旋转体由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形知识点二棱柱、棱锥、棱台的结构特征平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的如图可记作：棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′底面的面侧面：其余各面侧棱：顶点：顶点边形，其余各面都是有一个公共顶点的底面侧面：三角形面用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之.如图可记作：棱台ABCD-A′B′C′D′上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面侧棱：顶点：侧面与上的公共顶点思考(1)棱柱的侧面一定是平行四边形吗？(2)棱台的上下底面互相平行，各侧棱延长线一定相交于一点吗？答(1)根据棱柱的概念侧棱平行、底面平行可知，棱柱的侧面一定是平行四边形.(2)根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定交于一点.题型一棱柱的结构特征例1下列说法中，正确的是()A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点B.棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C.棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形答案 D解析A选项不符合棱柱的特点；B选项中，如图①，构造四棱柱ABCD－A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；C 选项中，如图②，底面ABCD可以是平行四边形；D选项是棱柱的特点.故选D.跟踪训练1下列关于棱柱的说法错误．．的是()A.所有的棱柱两个底面都平行B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行C.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱D.棱柱至少有五个面答案 C解析对于A、B、D，显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱.如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误.题型二棱锥、棱台的结构特征例2下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是________.答案①②解析①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.跟踪训练2下列说法中，正确的是()①棱锥的各个侧面都是三角形；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；④棱锥的各侧棱长相等.A.①②B.①③C.②③D.②④答案 B解析由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错.题型三多面体的表面展开图例3画出如图所示的几何体的表面展开图.解表面展开图如图所示：跟踪训练3如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？解由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以(1)为五棱柱；(2)为五棱锥；(3)为三棱台.截面周长最小问题例4 如图所示，在侧棱长为23的正三棱锥V －ABC 中，∠AVB ＝∠BVC ＝∠CVA ＝40°，过点A 作截面AEF 分别交VB ，VC 于点E ，F ，求截面△AEF 周长的最小值.分析 将正三棱锥沿侧棱VA 展开→求截面周长转化为求线段长→ 利用正三棱锥的性质求解解 将三棱锥V －ABC 沿侧棱VA 剪开，将其侧面展开图平铺在一个平面上，如图所示，则△AEF 的周长＝AE ＋EF ＋F A 1. 因为AE ＋EF ＋F A 1≥AA 1，所以线段AA 1(即A ，E ，F ，A 1四点共线时)的长即为所求△AEF 周长的最小值.作VD ⊥AA 1，垂足为点D . 由VA ＝VA 1，知D 为AA 1的中点. 由已知∠AVB ＝∠BVC ＝∠CVA 1＝40°， 得∠AVD ＝60°.在Rt △AVD 中，AD ＝VA sin 60°＝23×32＝3， 即AA 1＝2AD ＝6.所以截面△AEF 周长的最小值是6.1.下列命题中，真命题是( )A.顶点在底面上的投影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正三棱锥B.底面是正三角形，各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥C.顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心的三棱锥是正三棱锥D.底面是正三角形，并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥2.下列三个命题：①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是菱形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.其中，正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个3.如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是()A.①③B.②④C.③④D.①②4.下列几何体中，_______是棱柱，_______是棱锥，_______是棱台(仅填相应序号).5.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是.一、选择题1.下列四个命题中，真命题有()①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的直平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④直平行六面体是长方体.A.1个B.2个C.3个D.4个2.一般棱台不具有的性质是()A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点3.在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数为()A.20B.15C.12D.104.某棱台的上、下底面对应边之比为1∶2，则上、下底面面积之比是()A.1∶2B.1∶4C.2∶1D.4∶15.用一个平行于棱锥底面的平面去截这个棱锥，截得的棱台上、下底面的面积比为1∶4，且截去的棱锥的高是3 m，则棱台的高是()A.12 cmB.9 cmC.6 cmD.3 cm6.某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为()7.如图，往透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③当E∈AA1时，AE＋BF是定值.其中，正确的说法是()A.①②B.①C.①②③D.①③8.如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A 到点M的最短路程是________cm.9.下列叙述正确的是________.(只填序号)①四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形；②三棱锥的四个面都可以是直角三角形；③用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；④两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台.10.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________.(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.11.如图所示，在三棱锥S－ABC中，SA＝SB＝SC＝1，∠ASB＝∠ASC＝∠BSC＝30°，一只蚂蚁从点A出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬过的最短路程为______.12.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A、B、C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？13.长方体ABCD-A1B1C1D1(如图所示)中，AB＝3，BC＝4，A1A＝5，现有一甲壳虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值.当堂检测答案1.答案 D解析对于选项A，到三角形各顶点距离相等的点为三角形外心，该三角形不一定为正三角形，故该命题是假命题；对于选项B，如图所示，△ABC为正三角形，若P A＝PB＝AB＝BC＝AC≠PC，△P AB，△PBC，△P AC都是等腰三角形，但它不是正三棱锥，故该命题是假命题；对于选项C，顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心，底面为任意三角形皆可，故该命题是假命题；对于选项D，顶点在底面上的正投影是底面三角形的外心，又因为底面三角形为正三角形，所以外心即为中心，故该命题是真命题.2.答案 A解析①中的平面不一定平行于底面，故①错；②中侧面是菱形，所以侧棱互相平行，延长后无交点，故②错；③用反例验证(如图)，故③错.3.答案 C解析可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.4.答案①③④⑥⑤解析结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台.5.答案四棱柱解析由于倾斜角度较小，所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱.课时精练答案一、选择题1.答案 B解析根据平行六面体的定义，知①为真命题；根据长方体的定义，知②为真命题；直平行六面体是侧棱与底面垂直的平行六面体，所以其底面必是平行四边形，而直四棱柱的底面不一定是平行四边形，所以③为假命题；同理，长方体是底面为矩形的直平行六面体，所以④为假命题.2.答案 C解析当棱台是斜棱台时其侧棱不全相等.3.答案 D解析正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，5个平面共可得到10条对角线，故选D.4.答案 B解析因为棱台的上下底面相似，所以上下底面面积之比等于边长比的平方.5.答案 D解析由棱锥、棱台的性质可知，棱台的上、下底面相似.又因为上、下底面的面积比为1∶4，所以上、下底面的边长比为1∶2，所以截去的小棱锥与原大棱锥的高之比为1∶2，则棱台的高是3 cm.6.答案 A解析两个☆不能并列相邻，B、D错误；两个※不能并列相邻，C错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定.7.答案 D解析显然水的部分呈三棱柱或四棱柱状，故①正确；容器倾斜度越大，水面四边形EFGH 的面积越大，故②不正确；由于水的体积不变，四棱柱ABFE－DCGH的高不变，所以梯形ABFE的面积不变，所以AE＋BF是定值，故③正确.所以四个命题中①③正确.故选D.二、填空题8.答案13解析由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是13 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4，故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.9.答案①②解析如图，当四棱锥的底面是一个矩形，并且一条侧棱垂直于底面时，四棱锥的四个侧面就可以都是直角三角形，所以①是正确的；如图，当三棱锥满足侧棱AD⊥底面DCB(其中△BCD中，∠BCD是直角)时，三棱锥的四个面就都是直角三角形，所以②是正确的；③中的平面不一定平行于底面，所以③是错误的；若④中多面体的侧棱延长后不能交于一点，则相应的多面体就不是棱台，所以④是错误的.10.答案①③④⑤解析在正方体ABCD－A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是：①矩形，如四边形ACC1A1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A－A1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如A－CB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如A－A1DC，所以填①③④⑤.11.答案 2解析如图所示，将三棱锥S－ABC沿SA剪开，连接AA′，则AA′为最短距离，∠ASA′＝90°，SA＝SA′＝1，∴AA′＝ 2.三、解答题12.解(1)如图，折起后的几何体是三棱锥.(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE 和△DPF均为直角三角形.(3)S△PEF＝12a2，S△DPF＝S△DPE＝12×2a×a＝a2，S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝(2a)2－12a2－a2－a2＝32a2.13.解把长方体的部分面展开，如图所示.再在长方形DCC1D1内由F到C1，其最短路程为74.。
1.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征
(二)棱柱,棱锥,棱台 棱柱,棱锥,
1.棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四 .棱柱:有两个面互相平行, 边形, 边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相 平行, 平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱.
顶点 侧面 底面
用表示底面各顶点表示棱柱. 用表示底面各顶点表示棱柱.
侧棱 按底面多边形的边数分为三棱柱,四棱柱,五棱柱… 按底面多边形的边数分为三棱柱,四棱柱,五棱柱
3.棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 底面与截面之间的部分叫做棱台. 底面与截面之间的部分叫做棱台.
上底面
棱台用表示底 面各顶点的字 母表示. 母表示.
按底面多边形的边 数为三棱台, 数为三棱台,四棱 五棱台…. 台,五棱台
下底面
棱柱,棱锥, 棱柱,棱锥,棱台的结构特征比较
上底面
下底面Biblioteka 棱台和圆台统称为台体. 棱台和圆台统称为台体. 台体
球的结构特征
球:以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆 以半圆的直径所在的直线为旋转轴, 面旋转一周形成的几何体叫做球体 球体. 面旋转一周形成的几何体叫做球体.
球心
A
直径
O
C
大圆
B
圆柱,圆锥,圆台, 圆柱,圆锥,圆台,球的结构特征比较
问题2 与其他多面体相比,图片中的多面体 问题2:与其他多面体相比,图片中的多面体(14), , (15)有什么样的共同特征? 有什么样的共同特征? 有什么样的共同特征
思考:长方体被截去一部分, 思考:长方体被截去一部分,剩下的部分 是棱柱吗? 是棱柱吗?
A D E H G C F B
2.棱锥:有一个面是多边形,其余各面都 .棱锥:有一个面是多边形, 是有一个公共顶点的三角形, 是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围 成的几何体叫做棱锥.