哈密顿正则方程
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拉格朗日方程和哈密顿正则方程
重要性
这两个方程的数学结构和原理具有普适性， 可以应用于各种不同的领域。它们为解决复 杂系统的运动和控制问题提供了重要的理论 框架和方法。
05
总结与展望
对拉格朗日方程和哈密顿正则方程的总结
拉格朗日方程
拉格朗日方程是经典力学中的基本方程，用于描述一个质点系的运动。它基于拉格朗日 函数，通过最小化或最大化的原则，确定质点系在给定初始条件下的运动轨迹。拉格朗
拉格朗日方程的应用实例
总结词
拉格朗日方程在物理学、工程学等领域有广泛的应用 。
详细描述
拉格朗日方程是经典力学中描述系统运动的基本方程 之一，具有广泛的应用价值。在物理学中，它可以用 于分析各种力学系统的运动规律，如行星运动、振荡 器等。在工程学中，拉格朗日方程也被广泛应用于各 种实际问题，如控制理论、机器人学、航天器轨道力 学等。通过求解拉格朗日方程，我们可以得到系统的 运动轨迹和状态演化，从而为实际应用提供重要的理 论支持。
与其他理论的结合
拉格朗日方程和哈密顿正则方程作为经典力学的基本理论，可以与其他理论进行结合，例 如相对论、量子力学等。这种结合将有助于更深入地理解物质的运动规律，推动物理学和 其他学科的发展。
THANKS
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总结词
拉格朗日函数是描述系统运动状态的函数，具有特定的物理 意义和数学性质。
详细描述
拉格朗日函数是描述系统运动状态的函数，通常表示为L(q, ,t)， 其中q是系统的广义坐标，t是时间。它具有一些重要的性质， 如时间无关性、对称性、最小作用量等。这些性质对于理解和 应用拉格朗日方程非常重要。
拉格朗日方程的推导和证明
03
哈密顿正则方程
哈密顿函数的定义和性质
哈密顿函数
哈密顿正则方程
间有干涉。
间没有干涉。
2. 算符的系综平均值： 考虑任意厄密算符 纯粹系综： 混合系综： ，其系综平均值为： 各 间有干涉。 各 间没有干涉。
统计算符
统计算符对应于经典统计物理里的概率密度函数，其在任意表象中的矩阵 形式称为密度矩阵。 对混合系综，我们定义统计算符为： 交归一的基矢（ 若 为完全正
• 经过相空间的任何一点只能有一条相轨道;
• 如果一条相轨道不能占满相空间的话，由不同初态出发的不同相轨道 彼此之间不可能相交。
这对我们如何从（微观量的平均值 ---〉宏观量）有很大影响： 仅依赖经典力学规律而且没有随机性介入,做微观量的时间平均可行否？ 历史上进行过这样的尝试。一个很明显的缺陷是平均只在一条相轨道上, 因此平均值可能依赖于初始点的选取。这样我们还需要额外的假定。历 史上波尔兹曼等人曾提出了（强和弱的）各态历经假说： 对孤立的保守力学系统，经过足够长时间后，从任一初态出发都将经过 能量曲面上的一切微观状态（的邻域）。 但在数学上已经证明这不成立！
• 经典统计物理和量子统计物理：粒子遵从经典（量子） 力学规律。
9.1 经典和量子统计系综，刘维尔定理
经典力学规律：
一般系统的动力学状态可用系统的广义坐标q和与之共轭的广义动量p来确定。
由 N 个自由度为 r 的全同粒子组成的系统自由度为 f=Nr。在任意时刻，可记：
这里(q,p)是 2f 维的相空间(Γ 空间)的一个代表点，它代表系统的一个微观状态。 代表点在相空间的运动反映系统微观状态的演化，其轨迹称为相轨道。 系统的运动方程（哈密顿正则方程，H为系统的哈密顿量）：
第九章 系综理论
这一章是平衡态统计物理的核心内容，我们的理论是一般性 的理论，可应用的对象包括了有相互作用粒子组成的系统
哈密顿正则方程与稳恒电流电路
ｆｒｅ ｒｉｇｏ ｓａｃ ｂｅｔＴ ｉ ｌ，ｈ ｍｉ ｏ ａ ｏ ｉ ｌ ｑ ａｉｎｉ ｏ ｌ ａ ｐｉａ ｌ ｔｄ ｎ ｒｙｓ ｔ ｏ ｃ ｋｎ ｎｒ ｅｒｈｏｊｃ． ｈｒ ｙ ｔｅ ｗｏ ｅ ｄ Ｈａ ｌ ｎｃ ｎ ｎｃ ｕ ｔ ｎｙ ｐ ｌ ｂｅ ｏｓ ｙｅ ｅｇ ａｅ ｔ ａｅ ｏ ｓ ｃ ｔ ｕ ｔ ａ ｄｉ ｈ ｎ ｅ ｆ ｅｅｒｈｏｊｃ ｉ ｏ ｅｃ ｎｅｖｔ ｅｆｒｅｆ ｌ． ｏ ｔ ｅ ｐｏｅｔｅｗｏｋｎ ｒｅｏ ｅｅ ｔｒａ ｎ ｓ ａ ｇ ｓ ｓａｃ ｂｅｔｎ ｎ ｏ ｓｒａｉ ｃ ｅｄ Ｓ ，ｏ ｘ ｌｒ ｈ ｒ ｉｇｆ ｃ ｆｈ ｘｅｎ ｔｃ ｏｒ ｖ ｏ ｉ ｏ ｔ ｌ
Ａｕ ． ０ ０ ｇ ２ １
哈密顿正则方程 与稳恒 电流 电路
岳 小 萍
（ 乡 医学 院 生命 科 学技 术 系物理 教研 室 ，河 南 新 乡 ４ ３ ０ 新 ５ ０ ３）
摘
要 ：用 完整 系哈 密顿正则 方程研 究 了稳 恒电路 中的 能量转 换 问题 ，认 为在 多种 保 守力作 用的 体 系中研
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｎ ｔ ｉ ｔ ｄ ，ｔ ｏ ｖ ｈ ｒ ｂ ｅ ｏ ｎ ｒ ｙ ｃ ｎ ｅ ｓｏ ，ｈ ｏ ｏ ｃ ｓ ｓ ｅ ｏ ｍｉ ｏ ａ ｏ ｉａ ｓ ｒ ｃ ：Ｉ ｈ ｓ ｓｕ ｙ ｏ ｓ ｌ ｅ ｔ ｅ ｐ ｏ ｌ ｍ ｆ ｅ ｅ ｇ ｏ ｖ ｒ ｉ ｎ ｏｌｎ ｍｉ ｙ ｔ ｍ ｆ Ｈａ ｌ ｎ ｃ ｎ ｎ ｃ ｌ ｔ
中图 分 类号 ：Ｏ４ １ ４ 文献 标 志码 ：Ａ 文章 编号 ： ｌ ７ — ３ ６２ １ ） ４ ０ ３ － ４ ６ ４ ３ ２ （０ ０ ０ － ０ ２ ０
Ｈａ ｌｏ ｎ ｎｉａ ｕ ｔｏ ｎ ｔａ ｙＣｕ ｒ ｎ ｒ ｕ ｔ ｍｉ ｎ Ｃａ ｏ ｃ ｌ ｔ Ｅｑ ａ ｉｎ ａ ｄ Ｓ ｅ ｄ ｒ ｅ ｔＣｉｃ ｉ
哈密顿正则方程
=
V
(r0
)+
∂V ∂r
r0 (r − r0 )
+ 1 ∂2V 2 ∂r 2
r0 (r − r0 )2 + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
r0
r
V
(r)
=
1 2
k
r2
r = r − r0
L
=T
−V
=
1 2
m ( x& 2
+
y& 2
+
z&
2
)
−
1 2
k
r
2
+
1 2
μ (r&2
+
r
2θ& 2
+
r
2ϕ&
2
sin
2
θ
)
L
=T
=
1 ml2θ&2 (1+ cos2 θ ) + mgl sinθ
4
= E0
= mgl
θ& θ = 0 =
2g l
y m1
m1x1 + m2x2 = 0
坐标数 约束数
3 x1 = −x2 2
m2 θ
自由度数 1
x
取如图所示 θ 为广义坐标
yc
=
l 2
sin θ
y
y& c
=
l 2
θ&
cos
θ
yc
根据柯尼西定理
T
=
1 2
2my&c2
+
1 2
I cθ& 2
T = 1 ml2θ&2 (1+ cos2 θ )
第五章5分析力学5.5 哈密顿正则方程.ppt
v2 s2 r2 r22 r2 sin 2 2
T 1 m(r2 r 22 r 2 sin 2 2 )
2
L 1 m(r2 r 22 r 2 2 sin 2 ) V（r，，）
2
pr
L r
mr,
p
L
qi=const
H qi
p i
0
pi =const
哈密顿介绍
哈密顿，W.R. William Rowan Hamilton (1805～1865) 英国数学家、物理学家、力学家。1805年8月4日生 于爱尔兰的都柏林，1865年9月2日卒于都柏林。10岁 入大学，在大学期间学过12种语言。12岁时，读完拉 丁文欧几里得《几何原本》,13岁开始研究I.牛顿和P.S.拉普拉斯的著作，22岁被聘为都柏林大学天文学教 授，兼任学校天文台台长。
例 自由2: 质分点别在用势笛场卡V儿(r坐)中标的、哈柱密面顿坐标函和数球H。面坐标写出一个
解: 体系为质点，自由度数 s＝3
（1）在笛卡儿坐标系中，取x，y，z为广义坐标，
则拉格朗日函数 L 为
L T V 1 m(x 2 y 2 z 2 ) V (x, y, z)
py
y
pz
z
H
1 2m
(
p
2 x
p
2 y
p
2 z
)
V (x,
y,
z)
（2）在柱面坐标系中
T 1 m( 2 2 2 z 2 )
2
L T V 1 m( 2 2 2 z2 ) V (,, z)
2
p
T 1 m(r2 r 22 r 2 sin 2 2 )
2
L 1 m(r2 r 22 r 2 2 sin 2 ) V（r，，）
2
pr
L r
mr,
p
L
qi=const
H qi
p i
0
pi =const
哈密顿介绍
哈密顿，W.R. William Rowan Hamilton (1805～1865) 英国数学家、物理学家、力学家。1805年8月4日生 于爱尔兰的都柏林，1865年9月2日卒于都柏林。10岁 入大学，在大学期间学过12种语言。12岁时，读完拉 丁文欧几里得《几何原本》,13岁开始研究I.牛顿和P.S.拉普拉斯的著作，22岁被聘为都柏林大学天文学教 授，兼任学校天文台台长。
例 自由2: 质分点别在用势笛场卡V儿(r坐)中标的、哈柱密面顿坐标函和数球H。面坐标写出一个
解: 体系为质点，自由度数 s＝3
（1）在笛卡儿坐标系中，取x，y，z为广义坐标，
则拉格朗日函数 L 为
L T V 1 m(x 2 y 2 z 2 ) V (x, y, z)
py
y
pz
z
H
1 2m
(
p
2 x
p
2 y
p
2 z
)
V (x,
y,
z)
（2）在柱面坐标系中
T 1 m( 2 2 2 z 2 )
2
L T V 1 m( 2 2 2 z2 ) V (,, z)
2
p
哈密顿正则方程课件
解析解的意义
解析解能够精确地描述系统的运 动状态，对于理解和分析物理现 象具有重要意义。
哈密顿正则方程的物理意义
系统能量守恒
哈密顿正则方程描述了系统的能量守恒关系，即系统的总能量保持 不变。
运动状态演化
哈密顿正则方程描述了系统运动状态的演化过程，即随着时间的推 移，系统的运动状态会发生怎样的变化。
广义哈密顿正则方程
广义哈密顿正则方程是经典哈密顿正则方程的扩展，它允许系统具有非保守力和非完整约束。
广义哈密顿正则方程的形式为：$frac{d}{dt}frac{partial L}{partial q'} - frac{partial L}{partial q} = Q$， 其中$L$是系统的拉格朗日函数，$q'$和$q$是系统的广义坐标，$Q$是非保守力。
在统计物理中的应用
描述系统微观状态
哈密顿正则方程在统计物理学中用于描述系统的微观 状态和能量。
分析系统宏观性质
通过哈密顿正则方程，可以分析系统的宏观性质，如 温度、压强和熵等。
研究相变和临界现象
哈密顿正则方程可以用来研究相变和临界现象，包括 对称性破缺和标度律等。
05
CATALOGUE
哈密顿正则方程的扩展与深化
广义哈密顿正则方程在分析力学、动力学和控制系统等领域有广泛应用。
非完整约束系统中的哈密顿正则方程
非完整约束系统是指具有非完整约束的力学系 统，这些约束不能由牛顿第三定律完全确定。
在非完整约束系统中，哈密顿正则方程需要考 虑约束对系统运动的影响，其形式与完整约束 系统中的哈密顿正则方程有所不同。
非完整约束系统中的哈密顿正则方程在机器人 学、航天器和车辆动力学等领域有重要应用。
分析力学第七章正则方程
知 必须满足条件：
由此得出重要推论：
当不显含t时， 为运动常数的充要条件是：
3. 泊松定理
如果函数
和函数
分，则函数[f , g]也是正则方程的初积分。
证：由于是f和g正则方程的初积分，得
是正则方程的两个初积
由雅克比恒等式： 得 于是有 即得到:
因此[f,g]=C也是正则方程的初积分.
泊松定理指出: 由正则方程的两个已知的初积分, 可不断地求出新的初 积分.
那么有
；于是得到：
(即在该四种正则变换中哈密顿量保
持不变).
此时正则变换条件变为下列形式：
。
例1.寻求常数 ,使变换
解：由于此变换不显t，有
是正则变换。
即
, 由于q的任意性，得
因此有变换：
该变换被彭家莱应用于天体力学中
例2. 证明变换 关的四类母函数。 解：
是正则的，并求出与该变换相
因此该变换是正则的。其母函数为：
，其中
是n+1个任意常数。
另外，如果我们已知
，其中
是n+1个任意常数。同样可以得到哈密顿—雅克比偏微
分方程：
——这是哈密顿在当时推证所用的方法。 利用哈密顿—雅克比方程求出
---这样就能得到正则方程的全部积分。
由
及哈密顿正则方程
若力学体系的哈密顿函数H中不显函时间t，即 (h是积分常数)。
；则
当约束又是稳定的，则动能可表示为
2n个代数方程是相互独立的，所以可以解出逆变换为：
若通过变量的变换，使得正则方程的形式保持不变，即：
我们把这种变换叫做正则变换。 当取第二类母函数 则正则变换的条件： 变为：
令
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
哈密顿正则方程
/ 2m
m
x
2
由正则方程，得 x＝ H p p / m， p － H x m
2
x
由 上 两 式 削 去 p， 得 x 积分，得
2
x 0
x A c o s ( t ) p － m A s in ( t )
表明谐振子的相轨道为沿顺时针方向的 封闭椭圆。 物理与光电工程学院
第五章 分析力学
§5.5 哈密顿正则方程
知识回顾 • 基本形式的拉氏方程
d T d t q T q Q
• 保守系的拉氏方程
d L d t q L q 0
• 拉氏方程的应用
a. 确定自由度 b. 选取广义坐标 c. 写出体系的拉氏函数 d. 解拉氏方程并讨论
2 2
由 定 义 求 p ， 并 进 而 求 哈 密 顿 函 数 H : L ， p L m r 2 sin 2 pr m r， p m r r p 1 m ( r 2 r 2 2 r 2 sin 2 2 ) H L p r r p 2 r 1 2 m ( pr
g
二、正则方程
y
v,
g u
x
（正则形式）
前面提过，用 P代换L函数的 q有一定的优越性， q P 但只用 代换 而不改变函数的形式，则原函数 对新变量无正则形式，给计算带来麻烦.
下面把L函数: L ( q , q , t ) 和 f ( x , y ) 比较
a o
5 g sin ( R r ) 7
19
物理与光电工程学院
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2
r
(1)代入(2)可得
H
1 2m
pr2
p2 r2
p2
r sin2
r
正则方程
例题 2
(2) (3)
p r
H r
p2 mr3
p2
mr3 sin2
p
H
p2 cos mr2 sin3
p
即一维弹簧振子的 运动微分方程
5.5 哈密顿正则方程
例题 2
例 2 用哈密顿正则方程建立质点在有心力势场
V
(r)
r
中的运动微分方程.
解：采用球坐标 (r, ,) 描述 位矢 r rer
质点的速度
v
d dt
(rer )
rer
re
r sine
拉氏函数 L T V 1 m(r2 r22 r2 sin2 2 )
.
5.5.3 能量积分与循环积分
循环积分
若H不显含某个广义坐标q ，则根据正则方程
可得：
p
H q
0
p
常数
即相应的广义动量守恒。
注：这里的能量积分与循环积分，与从拉氏函数得到的 能量积分和循环积分，结果是一样的。
.
5.5 哈密顿正则方程
例题 1
例1 试用哈密顿正则方程建立图示一维弹簧振子的
2
广 义 动
pr
L r
mr
p
L
mr2
量
p
L
mr2 sin2
.
r
pr m
p mr2Βιβλιοθήκη pmr2 sin2
r
(1)
5.5 哈密顿正则方程
哈密顿量
H T V 1 m(r2 r22 r2 sin2 2 )
dH
s 1
H p
dp
H q
dq
H t
dt
(4)
(3)(4)比较可得哈密顿正则方程
q p
H p H
q
, 1, 2,...,s
.
以及 H L
t t
若L不显含t, 则H也 不显含t.
哈密顿函数
H px x L xpx m
px
px m
1 2
m
px m
2
1 2
kx2
px2 1 kx2 2m 2
.
正则方程
例题 1
x
H px
px m
(1)
p x
H x
kx
(2)
(1)(2)联立可得
x k x 0 m
H
H ( p,q,t) dH dt
s 1
H p
p
H q
q
H t
正则方程
s 1
H p
H q
H q
H p
H t
dH H dt t
H t
若H不显含t, 则H守恒。
H
0
r2
.
(4) (5) (6)
r
H
pr
pr m
H p
p mr2
H p
p
mr2 sin2
(7) (8) (9)
5.5 哈密顿正则方程
分析：一、动量矩守恒
例题 2
由(6)(9)可得 p mr2 sin2 C(常数)
运动微分方程。
解：以平衡位置(即
平衡位置
弹簧原长位置)为原 点，建立一维x轴。
动能 T 1 mx2
2
m 光滑水平面
O
x
弹簧劲度系数为k
势能 V 1 kx2
2
拉氏函数
L T V 1 mx2 1 kx2
2
2
广义动量
px
L x
mx
x px m
.
5.5 哈密顿正则方程
(3)
定义另外一个函数，称为哈密顿函数
H H ( p1, p2 ,..., ps;q1,q2 ,..., qs;t)
s
p q L 1
其中的q 要 用(3)代换。
.
5.5.1 勒让德变换
哈密顿函数的物理含义
s
若L不显含t, 则 H p q L 常数 1
5.5.2 正则方程
相空间 s个广义坐标，和s个广义动量，统称为正则变量， 它们作为相互独立的变量，张开一个2s维空间， 称为相空间。
相空间的一点，代表系统可能存在的一个状态， 称为相点。
随时间变化，相点在相空间移动，划出一条曲 线，代表系统状态的演化路径。
.
5.5.3 能量积分与循环积分
能量积分
5.5 哈密顿正则方程
.
5.5.1 勒让德变换
哈密顿函数的定义式
拉氏函数 L L(q1,q2 ,..., qs;q1,q2 ,..., qs;t)
(1)
广义动量
p
L q
p (q1,q2 ,..., qs;q1,q2 ,..., qs;t)
(2)
由(2)解得 q q ( p1, p2,..., ps;q1,q2,..., qs;t)
对于稳定约束系统，H即系统总能量
H T V
对于不稳定约束系统，H是广义能量
H T2 T0 V
.
5.5.1 勒让德变换
勒让德变换的规则 以上从L(q,q,t)到 H( p,q,t) 的变换称为勒让德变换。
s
H p q L 1
规则： 把要消去的变量(q )乘以原函数(L)对该变量的 偏导( p L q )后，再减去原函数。
s
( p dq
1
p dq
)
L t
dt
(2)
(2)代入(1)可得
dH
s
(q dp
1
p dq
)
L t
dt
(3)
.
5.5.2 正则方程
正则方程的推导
dH
s
(q dp
1
p dq
)
L t
dt
(3)
另一方面
H
H ( p,q,t)
.
5.5.2 正则方程
正则方程的推导
s
s
H p q L dH ( p dq q dp ) dL
(1)
1
1
L
L(q, q, t )
dL
s
1
L q
dq
L q
dq
L t
dt
(10)
另一方面计算可得 J z (r mv) ez mr 2 sin2