2023中考九年级数学分类讲解 - 第八讲 三角形、全等三角形、等腰三角形(含答案)(全国通用版)

第八讲 三角形（一）专项一 三角形的概念及重要线段 知识清单 1. 三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段 所围成的图形叫做三角形.2. 三角形的分类3. 三角形的三边关系三角形的任意两边之和 第三边，任意两边之差 第三边.三角形具有 性.4. 三角形中的重要线段考点例析例1 若长度分别为3，4，a 的三条线段能组成一个三角形，则整数a 的值可以是 .（写出一个即可）分析：根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，小于两边之和”，求得第三边长的取值范围.归纳：三角形的三条边必须满足“任意．．两边之和大于第三边”，一定不要忽略“任意”二字，在具体应用时，根据“判断两条较短的线段之和是否大于第三条较长线段”确定是否能构成三角形.按边分 三边都不相等的三角形 等腰三角形 等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 按角分 锐角三角形直角三角形钝角三角形例2（2021·聊城）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D和E，AD与CE交于点O，连接BO并延长，交AC于点F.若AB=5，BC=4，AC=6，则CE∶AD∶BF的值为.分析：根据三角形三条高所在的直线交于一点，可得BF⊥AC，再根据等积法得到CE∶AD∶BF的值.归纳：正确理解三角形的三种重要线段——中线、角平分线和高的概念，并会画出这三种线段.其中，三角形的高不一定是在三角形的内部，钝角三角形的两条高在外部，直角三角形的高与两条直角边重合.跟踪训练1.下列长度的三条线段与长度为5的线段首尾依次相连能组成四边形的是（）A. 1，1，1B. 1，1，8C. 1，2，2D. 2，2，22.（2021·衢州）如图，在△ABC中，AB=4，AC=5，BC=6，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连接DE，EF，则四边形ADEF的周长为（）A. 6B. 9C. 12D. 15第2题图第4题图3.三个数3，1-a，1-2a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取值范围为.4.如图，在△ABC中，AB=AC=2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F.若S△ABC=1，则PE+PF= .专项二三角形中的角知识清单1. 三角形的内角和等于，三角形的外角和等于.2. 三角形的一个外角等于两个内角的和，三角形的一个外角任何一个与它不相邻的内角.考点例析例1 将一副三角尺按图1所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB=90°，∠ABC=60°，∠EFD=90°，∠DEF=45°，AB∥DE，则∠AFD的度数是（）A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°图1分析：如图1，利用平行线的性质可求得∠1的度数，再利用三角形外角的性质可求∠AFD的度数.例2 如图2是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变.为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=110°，则图中∠D应（填“增加”或“减少”）°.图2分析：延长EF，交CD于点G，依据三角形的内角和定理可求∠ACB，根据对顶角相等可得∠DCE，再由三角形外角的性质得到∠DGF的度数，由∠EFD=110°进而可得∠D的度数.归纳：解决有关三角形角度问题时，要注意运用三角形内角和定理、三角形外角的性质定理.求三角形的内角平分线或外角平分线组成的角的度数时，常常运用三角形内角和定理及三角形的内角与外角的关系解决.特别注意在运用三角形外角的性质时，一定要牢记“不相邻”的条件.跟踪训练1.如图，已知直线l1，l2，l3两两相交，且l1⊥l3.若∠α=50°，则∠β的度数为（）A. 120°B. 130°C. 140°D. 150°第1题图第2题图第3题图第4题图2.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB.若∠CDE=160°，则∠B的度数为（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°3.（2021·陕西）如图，点D，E分别在线段BC，AC上，连接AD，BE.若∠A=35°，∠B=25°，∠C=50°，则∠1的大小为（）A. 60°B. 70°C. 75°D. 85°4.将一副三角尺如图所示放置，点D在边AC上，BC∥EF，则∠ADE的大小为°.5.如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使BD=DE.（1）求证：DE∥BC；（2）若∠A=65°，∠AED=45°，求∠EBC的度数.第5题图专项三全等三角形知识清单1. 定义：能够__________的两个三角形叫做全等三角形.2. 性质：全等三角形的对应角__________、对应边__________、对应线段（角平分线、高、中线、中位线）_________.3. 判定：（1）两边及其_________分别相等的两个三角形全等（SAS）；（2）两角及其_________分别相等的两个三角形全等（ASA）；（3）三边分别相等的两个三角形全等（SSS）；（4）两角分别相等且_________相等的两个三角形全等（AAS）.4. 直角三角形全等的判定：除上述的方法外，还有HL：__________和一条直角边分别相等的两个_________全等.5. 常见的全等模型平移型：旋转型：对称型：考点例析例1 如图1，AC=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是.（只需写出一个条件即可）图1分析：条件中给出了AC=AD，∠1=∠2，根据全等三角形的判定方法添加另外一个条件即可.归纳：在寻找三角形全等的条件时，要注意结合图形，挖掘图形中隐含的公共边、公共角、对顶角、平行线的内错角、中点、中线、角平分线等.在书写时，要注意把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.例2 （2021·南充）如图2，∠BAC=90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB=AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD 于点F.求证：AF=BE.图2分析：欲证AF=BE，可证△ACF≌△BAE，已经具备了AB=AC.根据∠BAC=90°，BE⊥AD，CF⊥AD可得∠BEA=∠AFC=90°，再根据同角的余角相等得∠F AC=∠B，由AAS证明三角形全等.证明：归纳：由于全等三角形的对应边相等，对应角相等，可以通过证三角形全等来证明线段相等或者角相等.一般思路是找出两线段或两角所在的两个三角形，然后寻找证这两个三角形全等所需的条件.跟踪训练1.工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角.如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OC=OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C，D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB 的平分线.这里构造全等三角形的依据是（）A. SASB. ASAC. AASD. SSS第1题图第2题图2.如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠DAC，请补充一个条件，使△ABC≌△ADC.3.如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD=BE，AC=DF，AC∥DF.求证：BC=EF.第3题图4.如图，D，E分别是AB，AC的中点，BE，CD相交于点O，∠B=∠C，BD=CE.求证：（1）OD=OE；（2）△ABE≌△ACD.第4题图5.如图，AB交CD于点O，在△AOC与△BOD中，有下列三个条件：①OC=OD，②AC=BD，③∠A=∠B.请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论.（只要求写出一种正确的选法）（1）你选的条件为、，结论为；（2）证明你的结论.第5题图专项四等腰三角形知识清单1．等腰三角形（1）等腰三角形的性质：等腰三角形的两个相等（简称为：等边对等角）；等腰三角形底边上的、底边上的，顶角的互相重合（简称：等腰三角形的）；等腰三角形是轴对称图形.（2）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个相等，那么这两个角所对的也相等（简称为：等角对等边）.2．等边三角形（1）等边三角形的性质：等边三角形的内角都相等，且都等于°；等边三角形的三条都相等；等边三角形是轴对称图形，它有条对称轴.（2）等边三角形的判定：都相等的三角形是等边三角形；都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的三角形是等边三角形.考点例析例1如图1，在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连接AP，则∠BAP的度数是.图1分析：根据等腰三角形的性质可以得到△ABC 各内角的度数，然后根据题意，画出图形，分情况讨论求出∠BAP 的度数即可.例2 如图2，在△ABC 中，∠A =40°，∠ABC =80°，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，ED ⊥AB 于点D ，求证：AD =BD .图2分析：先判定△ABE 为等腰三角形，然后根据等腰三角形的“三线合一”证出AD =BD .证明：归纳：等腰三角形的性质及其推论是解决与等腰三角形有关的角度计算、判定两角相等以及两线垂直的主要途径. 跟踪训练1.在△ABC 中，∠BAC =90°，AB ≠AC .用无刻度的直尺和圆规在BC 边上找一点D ，使△ACD 为等腰三角形.下列作法不正确的是（ ）A B C D 2.已知a ，b 是等腰三角形的两边长，且a ，b 235a b -+（2a +3b -13）2=0，则此等腰三角形的周长为（ ）A. 8B. 6或8C. 7D. 7或83.如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A ，B ，连接AB ，在网格中再找一个格点C ，使得△ABC 是等．腰直角．．．三角形，满足条件的格点C 的个数是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5第3题图4.如图，已知AB=DC，∠A=∠D，AC与DB相交于点O，求证：∠OBC=∠OCB.第4题图5.在①AD=AE，②∠ABE=∠ACD，③FB=FC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答.问题：如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在AB边上（不与点A，B重合），点E在AC边上（不与点A，C重合），连接BE，CD，BE与CD相交于点F.若，求证：BE=CD.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.第5题图专项五三角形中的数学思想1. 转化思想将所要研究和解决的问题转化为另一个较容易解决的问题或已经解决的问题，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂”问题转化为“简单”问题.例1如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC，交AB于点E.（1）求证：BE=DE；（2）若∠A=80°，∠C=40°，求∠BDE的度数.分析：（1）欲判定BE=DE，可转化为判定∠EBD=∠BDE；（2）先根据三角形内角和，求∠A BC的度数，再利用角平分线的性质求∠E BD的度数，进而求得∠BDE的度数.解：2. 分类讨论思想在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分析，然后综合得解，这就是分类讨论思想.分类讨论时要注意不重复、不遗漏．等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，在求解有关等腰三角形的问题时，当腰和底不明确或顶角和底角不明确时，一定要注意对等腰三角形进行分类讨论.例2 过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为.分析：首先根据题意画出符合题意的所有图形，然后利用等腰三角形的性质求解即可得答案.跟踪训练1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AF=EF.若∠CFE=72°，则∠B= °.第1题图第2题图2.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E，F分别是边BC，CD上一点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得△EC′F，连接AC′，当BE= 时，△AEC′是以AE为腰的等腰三角形.3.如图，BD∥AC，BD=BC，且BE=AC.求证：∠D=∠ABC.第3题图参考答案专项一三角形的概念及重要线段例1 2（答案不唯一1<a<7即可）例2 12∶15∶101. D2. B3. -3<a<-24. 1专项二三角形中的角例1 A例2 减少101. C2. D3. B4. 755.（1）证明：因为BE是△ABC的角平分线，所以∠ABE=∠EBC.因为DB=DE，所以∠ABE=∠DEB.所以∠DEB=∠EBC.所以DE∥BC.（2）解：因为∠A=65°，∠AED=45°，所以∠BDE=∠A+∠AED=65°+45°=110°.因为∠ABE=∠DEB，所以∠EBC=∠ABE=12（180°-∠BDE）=12×（180°-110°）=35°. 专项三全等三角形例1 ∠B=∠E或∠C=∠D或AB=AE（写一个即可）例2 因为∠BAC=90°，所以∠BAE+∠F AC=90°.因为BE⊥AD，CF⊥AD，所以∠BEA=∠AFC=90°.所以∠BAE+∠B=90°.所以∠F AC=∠B.又AC=BA，所以△ACF≌△BAE.所以AF=BE.1. D2. AB=AD或∠ACB=∠ACD或∠D=∠B（写一个即可）3. 证明：因为AD=BE，所以AD+BD=BE+BD，即AB=DE.因为AC∥DF，所以∠A=∠EDF.又AC=DF，所以△ABC≌△DEF.所以BC=EF.4. 证明：（1）在△BOD和△COE中，∠BOD=∠COE，∠B=∠C，BD=CE，所以△BOD≌△COE（AAS）. 所以OD=OE.（2）因为D，E分别是AB，AC的中点，所以AD=BD=12AB，AE=CE=12AC.因为BD=CE，所以AE=AD，AB=AC.又∠B AE=∠C AD，所以△ABE≌△ACD.5. 解：（1）①③②（或②③①）（2）证明：在△AOC和△BOD中，∠A=∠B，∠AOC=∠BOD，OC=OD，所以△AOC≌△BOD（AAS）.所以AC=BD.专项四等腰三角形例1 15°或75°例2 因为BE平分∠ABC，所以∠ABE=12∠ABC=12×80°=40°.因为∠A=40°，所以∠A=∠ABE.所以AE=BE.所以△ABE为等腰三角形.因为ED⊥AB，所以AD=BD.1. A2. D3. B4. 证明：在△AOB和△DOC中，因为∠A=∠D，∠AOB=∠DOC，AB=DC，所以△AOB≌△DOC.所以OB=OC.所以∠OBC=∠OCB.5. 解：选择条件①，证明：因为∠ABC=∠ACB，所以AB=AC.又∠A=∠A，AE=AD，所以△ABE≌△ACD.所以BE=CD.选择条件②，证明：因为∠ABC=∠ACB，所以AB=AC.又∠A=∠A，∠ABE=∠ACD，所以△ABE≌△ACD.所以BE=CD.选择条件③，证明：因为∠ABC=∠ACB，所以AB=AC.因为FB=FC，所以∠FBC=∠FCB.所以∠ABC-∠FBC=∠ACB-∠FCB，即∠ABE=∠ACD.又∠A=∠A，所以△ABE≌△ACD.所以BE=CD.（写出其中一种情况即可）专项五三角形中的数学思想例1 （1）因为BD平分∠ABC，所以∠EBD=∠CBD.因为DE∥BC，所以∠BDE=∠CBD.所以∠EBD=∠BDE.所以BE=DE.（2）因为∠A=80°，∠C=40°，所以∠ABC=180°-∠A-∠C=60°.因为BD平分∠ABC，所以∠EBD=12∠ABC=30°.由（1）知∠BDE=∠EBD=30°.例2 36°或45°1. 542. 78或433. 证明：因为BD∥AC，所以∠DBE=∠C.又BD=C B，BE=CA，所以△BDE≌△CBA.所以∠D=∠ABC.。