一元二次方程关于零点分析方法探讨
二次函数零点问题题类型方法总结
二次函数零点问题题类型方法总结二次函数是高中数学中的重要内容，求其零点是常见的题目类型之一。
本文将对二次函数零点问题的题型和解题方法进行总结。
题型总结在求解二次函数零点的过程中，常见的题型可以归纳为以下几种：1. 一元二次方程的解法：给定一个一元二次方程，要求求解方程的解。
2. 零点的个数：给定一个二次函数，要求计算其零点的个数。
3. 零点的坐标：给定一个二次函数，要求计算其零点的坐标。
4. 求参数：已知一个二次函数的零点和另外一个点的坐标，要求求解该二次函数的参数。
解题方法总结对于不同的题型，可以采用不同的解题方法来求解二次函数零点问题。
以下是常见的解题方法总结：1. 完全平方公式：对于一元二次方程，可以使用完全平方公式进行求解，即 $$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$。
通过代入方程中的系数，即可得到方程的解。
2. 判别式法：通过计算方程的判别式来判断二次函数的零点个数。
若判别式 $$\Delta=b^2-4ac$$ 大于0，则方程有两个不相等的实数根；若判别式等于0，则方程有两个相等的实数根；若判别式小于0，则方程没有实数根。
3. 坐标法：对于求零点坐标的问题，可以通过将二次函数表示为顶点形式，然后根据顶点坐标和其他给定的坐标求解未知参数，进而得到零点的坐标。
4. 求参数法：对于求参数的问题，可以利用已知的零点坐标和另一点的坐标，构建方程组，然后通过解方程组求解未知参数。
总结通过以上的总结，我们可以了解到二次函数零点问题的常见题型和解题方法。
在实际解题中，根据题目要求选择合适的方法，并根据具体情况灵活运用，以获得正确的解答。
希望本文对您理解和解决二次函数零点问题有所帮助。
017-从函数的角度看一元二次方程
§3.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式3.3.1从函数观点看一元二次方程学习目标 1.正确理解二次函数零点的概念.2.理解一元二次方程与二次函数的关系.3.掌握图象法解一元二次方程．知识点一二次函数的零点1．定义：一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的，也称为二次函数y＝ax2＋bx ＋c(a≠0)的零点．2．关系：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的．提醒零点不是点，指的是一个实数．知识点二一元二次方程的根与二次函数的图象、零点间的关系1．所有的二次函数都有零点．()2．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等实根x1，x2，则函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点为(x1,0)，(x2,0)．()3．二次函数y＝x2－1的零点为－1,1.()4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当Δ>0时有两个零点．( )一、求二次函数的零点 例1 求下列函数的零点：(1)y ＝3x 2－x －4； (2)y ＝－4x 2＋4x －1. 解：跟踪训练1 若x 1，x 2是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则x 1x 2＋x 2x 1的值为( )A ．6B ．4C ．3 D.32二、由二次函数的零点求参数的值例2 若二次函数y ＝x 2＋ax ＋b 的两个零点分别是2和3，则2a ＋b 的值为________． 延伸探究函数y ＝x 2＋mx ＋4m 2－3的两个零点分别为x 1，x 2且满足x 1＋x 2＝x 1x 2，则m 的值为________．反思感悟 由函数的零点求参数的值主要是转化为方程的根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及根与系数的关系．跟踪训练2 若二次函数y ＝x 2＋(p －2)x －21的图象与x 轴的交点为A (α，0)，B (β，0)，与y 轴的交点为C . (1)若α2＋β2＝51，求p 的值；(2)若△ABC 的面积为105，求p 的值． 解：三、由二次函数的零点求参数的范围例3 函数y ＝x 2－5x ＋1－m 的两个零点均大于2，则实数m 的取值范围是( ) A.[−214,+∞) B ．(－∞，5) C.[−214,−3) D.(−214,−3)反思感悟 二次函数的零点分布问题，一般要结合二次函数图象得出开口方向、对称轴、判别式以及端点函数值符号(此端点指的是与方程的根比较大小的数)，由此列出不等式组进行求解．1．函数y ＝2x 2－3x ＋1的零点是( )A ．－12，－1B ．－12，1 C.12，－1D.12，12．若函数y ＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1] D ．[1，＋∞)3．二次函数y ＝2x 2＋bx －3(b ∈R )的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定4．若x 1，x 2是函数y ＝x 2－3x －4的两个零点，则x 1＋x 2的值是( ) A ．1 B ．－3 C ．3 D ．－45．已知函数y ＝x 2－ax －3a 的一个零点是－2，则它的另一个零点是________．1．知识清单：(1)二次函数零点的概念．(2)一元二次方程的根、二次函数零点以及二次函数图象间的关系． 2．方法归纳：参数分离的方法，转化思想．3．常见误区：二次函数的零点是一个实数，误认为是点的坐标导致出错．1．函数y＝x2－8x＋16的零点是()A．(0,4) B．(4,0)C．4 D．82．函数y＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为－3，则它的另一个零点是() A．－1 B．1 C．－2 D．23．若函数y＝x2－4x＋2m没有零点，则m的取值范围为()A．m<4 B．m>2C．m>6 D．m<84．函数y＝(x＋1)x＋x(x－1)＋(x－1)(x＋1)的两个零点分别位于区间() A．(－1,0)和(0,1)内B．(－∞，－1)和(－1,0)内C．(0,1)和(1，＋∞)内D．(－∞，－1)和(1，＋∞)内5．已知方程x2＋(m＋2)x＋m＋5＝0有两个正根，则实数m的取值范围是() A．m≤－2 B．m≤－4C．m>－5 D．－5＜m≤－46．设x1，x2是函数y＝5x2－3x－2的两个零点，则1x1＋1x2的值为________．7．函数y＝2x2－3x－7的两个零点为a，b，则a2＋b2＝________.8．已知y＝x2＋ax＋b，集合{x|y＝x}＝{4}，将集合M＝{x|y＝4}用列举法表示为________．9．已知函数y ＝x 2－x －2.求： (1)y ＝x 2－x －2的零点； (2)y <0时,求x 的取值范围．10．若函数y ＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3，则y ＝bx 2－ax －1的零点是( ) A ．－1和16B ．1和－16C.12和13 D ．－12和－1311．若x 1，x 2是函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－m －1的零点，且x 1＋x 2＝1－x 1x 2，则m 的值为( ) A ．－1或2 B ．1或－2 C ．－2 D ．112．函数y ＝(1－k )x 2－2x －1有两个不相等的零点，则实数k 的取值范围是________．13．已知y ＝(x －a )(x －b )－2(a <b )，并且α，β是方程y ＝0的两根(α<β)，则实数a ，b ，α，β的大小关系是( ) A ．a <α<b <β B ．a <α<β<b C ．α<a <b <β D ．α<a <β<b。
二次函数的零点分布问题
二次函数作为一种基本的数学工具，在物理学、工程学、经济学等多个领域都有广泛的应用。未来，我 们将探索如何将二次函数零点分布的研究成果应用于这些领域，推动相关学科的发展。
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二次函数的零点分布问
contents
目录
• 引言 • 二次函数零点存在性定理 • 二次函数零点个数判断方法 • 二次函数零点分布规律探讨 • 典型案例分析与应用举例 • 总结与展望
01 引言
二次函数定义与性质
二次函数的一般形式：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b,
c$ 为常数，$a neq 0$。
零点的意义
零点是函数图像与 $x$ 轴交点的横坐 标，决定了函数图像在 $x$ 轴上的位 置。
研究目的和意义
研究目的
通过探讨二次函数的零点分布问题，可以深入理解二次函数的性质及其与一元二次方程 的关系，为解决实际问题提供理论支持。
研究意义
二次函数作为一种基本的数学模型，在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。研究二次函数的零 点分布问题，不仅有助于完善数学理论体系，还能为解决实际问题提供有效的数学工具。例如，在控制论中， 通过分析二次函数的零点分布可以判断系统的稳定性；在经济学中，可以利用二次函数模型分析市场供需关
迭代法收敛性
牛顿迭代法具有平方收敛速度，即每一步迭代后误差减少为上一步误差 的平方。但在某些情况下，如初始值选取不当或函数性质不满足要求时， 迭代法可能不收敛。
03 二次函数零点个数判断方 法
图像法
01
观察二次函数图像与x轴的交点个 数，交点个数即为零点个数。
02
数形结合巧运用,零点分布妙化解--浅谈对二次函数零点分布问题解题教学的研究
解题探索数形结合巧运用，零点分布妙化解一浅谈对二次函数零点分布问题解题教学的研究张程燕(山东省济南中学，250001)一元二次函数是中学数学中最基本、最重要的 函数之一，也是高考考查的重要内容之一，是高考的 高频考点.高中数学教学中一元二次函数的零点分 布问题即初中数学教学中一元二次方程根的分布问 题，是二次函数部分的重点知识与内容，既是学生学 习的重点，也是学习的难点，因此对二次函数零点分 布问题的解题教学研究十分必要.目前，高中生对二 次函数零点分布问题的解题方法偏重于借助对二次 方程根的判别式和韦达定理的运用，能够解决的零 点分布问题有限且易出错，解题方法尚不够系统和 完善，针对这一学情，结合高中所学的零点存在定理 以及数形结合这一重要的数学思想方法，笔者将系 统地分析一元二次函数的零点分布问题，力求将解 题方法系统化、模式化、巧妙化，从而提高数学解题 教学的效率和质量，优化学生的思维品质，发展学生 的数学核心素养.1熟悉知识背景，理解方法本质学生对同一类数学题的解答与掌握，需要的不 仅仅是理解并掌握这类题目的解题方法与技巧，更 需要知晓题目所涉及的知识背景.从知识背景出发， 联系解题所需要的数学知识和方法，将知识与方法 有机融合在一起，构建起数学解题模型，既加深了学 生对数学知识的熟悉程度，也有助于学生理解数学 方法的本质，从而达到学以致用、举一反三的学习效 果，这也是数学解题教学的期望所在.本文所涉及的 数学知识与方法如下所述：1.函数零点存在定理:如果函数y =/(%)在区 间[a ，]上的图像是一^条连续不断的曲线，且有/ (a )/() <0,那么函数y =/()在区间（a ，)内至少 有一个零点，即存在c e (a ，)，使得/(C) = 0，这个c 也就是方程/() =0的解[1].特别地，对于一次函数y = h +&(�)和二次 函数y = a / +心+c (a #0)而言，若/(幻在区间（a ， 6)上满足零点存在定理，则在（a ，)上有且仅有一个零点.2.数形结合的思想方法——从四个方面将二次函数图像与代数不等式之间建立联系:①开口方向， ②对称轴，③判别式4，④特殊点函数值的符号.2探究典型例题，把握解题方法数学解题教学是数学教师根据教学需要选择合 适的试题，以学生的学情为起点，以自身的解题经 历、经验和研究为基础，通过师生间对话交互，促进 学生深度思考，优化学生思维品质的教学活动[2].本文选取四道典型例题，从思路分析、解答过程和 方法指导三个方面对二次函数零点分布问题进行解题 教学探究，全方位、多角度的对例题进行剖析，帮助学 生理解问题本质、建立解题模型以及掌握解题方法.例1如果方程尤2 + (^i -1)) +爪2 -2=0的两个 实根一个小于1，另一个大于1，求实数m 的取值范围.思路分析：（1)方程尤2 + (爪-1)尤+爪2-2=0根的分布问题0函数/(%) =%2 + (m - 1)% +m 2 -2的零点分布问题，完成方程的根与函数零点的转化；(2) 函数/() =% + (m -1)%+m 2 - 2 开口上，其与％轴的交点一个在1的左侧、一个在1的右 侧，易画出草图，熟悉题设，理清思路；(3)利用数形结合的思想方法，从四个方面二次函数图像与代数不等式之间建立联系：开口向 上是确定的;对称轴可以在1的左侧、右侧或者对称 轴为1;判别式4 = ( m - 1)2 - 4 ( m - 2 ) > 0;特殊 点函数值/(1) <0.解题过程1法一:数形结合由已知可列方程组:• 62•r 4 = (m -1)2 - A i m 1 - 2 ) >0, |/( 1) =1 + m — 1 + m 2 —2 <0.r 3m 2 + 2m -9 <0, m 2 + m - 2 <0.1 +2 槡 -1 +2 槡----;---< m <---------,33-2 < m < 1.%，^2满足0<% < 1<%2 <6,求实数a 的取值范围.思路分析：（1)函数开口向上，过定点（0,4)，其 与X 轴有两个交点％，2满足0<%<1<% <6,易 画出草图，熟悉题设，理清思路；(2)利用数形结合的思想方法，从四个方面将 二次函数图像与代数不等式之间建立联系.解题过程：-2 < m < 1. m e ( - ，1）方法指导：因为/(X )开口向上，所以X —± ^ 时，/(X )— + (即/( -) >0，/( + ) >0),再有/(1) <0,则在区间（-^ ,1)和（1，+1)上都满足 零点存在定理，所以在两个区间都各有一个零点，从而满足题意.因此，判别式4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0可省略不解，解答过程十分简单.解题过程1 :法一（简化）：数形结合 由已知得:/(1) <0....1 + m - 1 + m 2 - 2 < 0. ... m 2 + m - 2 < 0..-2 < m < 1. .m e (-2,1).我们再来看一下第二种解题方法/昔助对二次 方程根的判别式和韦达定理的运用，来解决二次函 数零点分布问题.解题过程2:法二:韦达定理4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0,xt - 1 )(%2 - 1) <0.4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0，%1%2 _ (xt +X 2 ) +1 <0.4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0，一2) -（1 一 m ) +1 <0.由已知，得{.{.{3m 2 + 2m -9<0，m 2 + m - <01 +2 槡 -1+2 槡...|-^^<m < ^3^，-2 < m < 1..- 2 < m < 1. .m e (-2,1).方法指导:韦达定理使用的前提是一元二次方 程的两根存在，即判别式4^0.因此在利用判别式 和韦达定理解决二次函数的零点分布问题时，判别 式4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0不可以省略，必须 要求解.显然，在解决二次函数零点分布问题时，利 用韦达定理解题比利用数形结合解题计算量要大. 也就是说，数形结合方法解决零点分布问题更简易、 更巧妙、更通用.例2已知函数/(X ) =X 2 -2ax +4有两个零点由已知可列方程组：,/(0) =4>0， |/(1)=5-2a <0，...1/(6) =40 -12a >0.a >10a < —5 10 5 10.T <a <T .a E (T ’y ).方法指导：因为/(X )开口向上，且由图像可得， /(0) >0，(1) <0，(6) >0,则在区间(0,1)和(1,6)上 都满足零点存在定理，所以在区间(0，1 )和（1，）上各 有一个零点，满足题意“/(X )两个零点X i ，2且0 <X 1 < 1 <X 2 <6”，故而有关对称轴0 <a <6和判别式4 = (-2a )2 -4 x 1 x 4的不等式可省略.例3已知函数/(X ) =X 2 - 2aX +4有两个零点，且都大于1，求实数a 的取值范围.思路分析：（1)函数开口向上，过定点（0，4 )，且 两个零点X 1，2都大于1，易画出草图，熟悉题设，理 清思路；()利用数形结合的思想方法，从四个方面将 二次函数图像与代数不等式之间建立联系解题过程：• 63•由已知可列方程组：/(1) =5 -2a >0, a >1,轴=—2a2x 1=a > 1a <52,，4 =4a 2 - 16 >0. La >2 或 a <-2.2 < a <52a g5)•方法指导：因为/()开口向上，所以/( - 〇〇) > 0，/( + 〇〇 ) > 0，且由图像可得/(1) > 0，但仅仅凭借 特殊点函数值/(1) >0并不能满足零点存在定理， 这就需要其它三个方面加以限制，即开口方向、对称轴-冬>1和4>0.La例4函数/(*) =a *2 -*-1在区间（0,1)内恰有一个零点，求实数a 的取值范围.思路分析：（1)函数开口方向不确定，过定点 (0，_1)；()首项系数含参且在(0，1)内恰有一个零点， 满足条件的草图有很多，因此需要分类讨论，而分类 讨论的依据可以是首项系数的符号.亦或者，我们可 以利用前面的解题思路，按照端点函数值/(0)/( 1) 的符号来讨论；(3)利用数形结合的思想方法，从四个方面将 二次函数图像与代数不等式之间建立联系.解题过程:分类讨论法一:按首项系数分类讨论(1) 若a =0,则/() = -*-1为一次函数，令/(*) =0,得 *= -1.此时/(*)只有*=-1这一个零点，在区间（0, 1)内无零点.(2)若 a >0,则/(*) = a *2 - * - 1 为一兀二次函数，开口向上，过定点（0, -1).由已知可列方程组：f (0) = ―1:0, .a >2.[/(1) =a - 2 >0.(3)若 a <0,则/(*) =a *2-*-1 为一兀二次 函数，开口向下，过定点（0, -1).由已知可列方程组：a <0，1 a <0,0 <^<1， ,、2a 或{ A =1 + 4a >0，4=1 +4a =0, |/(1) =a 一 2>0./(1) =a -2<0a <0，、a <2a <0，或a >a >2••.均无解.综上所述：的取值范围为(2，+ ^ )•方法指导:与例1例2、例3 —样，需要画出函 数草图，从开口方向、对称轴、判别式A 和特殊点函 数值的符号四个方面建立起函数图像与不等式之间 的关系.但由于函数首项系数含参，具有不确定性， 因此依据首项系数的符号进行分类讨论，进而求解 参数的范围.需要说明的是:在情形（2)中，二次函 数/(*) =a *2 -* - 1区间（0,1)上满足零点存在定 理，则在(0，1 )上有且仅有一个零点.法二:按特殊点函数值符号分类讨论：()当/(0)/(1) <0,由/(0) = -1，得/(1) =a-2 >0,即 a >2 时；此时满足零点存在定理，二次函数/(*) =a *2 -* -1在区间(0，）内必恰有一-零点.(2)当/(0)/(1) >0,由/(0) = -1，得/(1) =a-2 <0,即 a <2 时；由图可列方程组得:• 64•a<0,0 <2a<1,A-4a+1=0,/(0) = -1 <0,/(1) =a-2<0.a<0,a无解.、a<2.()当/(0)/() =0,由/(0) = -1，得/(1) -a -2=0,即a=2 时；v/(x) =ax2-x-1=22-x-1= (2+1) (-1)，...令/(x) =(2x+1)(x- 1) =0.得 X1 =-+送（0，1)，2 =1 送（0，1).■■■/(x) =ax2-X-1在区间（0，1)内没有零点..a=2不符合题意，舍去.综上所述：的取值范围为(2，+ 1X1 ).方法指导：1)当/(0)/() <0时，满足函数零 点存在定理，则对于二次函数而言在区间（0，1)有 且只有一个零点，满足题意；⑵当/(0)/(1) >0时，函数/(X)端点值同号，不满足零点存在定理，所以结合图像，还得添加其它 三个条件:开口方向、对称轴、判别式A;(3)当/(0)/(1)=0时，可直接求得a=2，此时 函数解析式确定，直接求出零点的值，再判断零点是 否在区间（0，1)内即可.通过对比按首项系数分类讨论和按特殊点函数 值符号（即是否满足零点存在定理）分类讨论两种 方法，我们发现:虽同为利用数形结合与分类讨论的 数学思想方法解题，但显然方法二比方法一简单许 多，再次验证了函数零点存在定理在零点分布问题 求解中的优势所在.3研究零点分布，归纳解题结论通过对典型例题的深度探究，我们发现:二次函 数的零点分布问题，可以从开口方向、对称轴、判别 式和特殊点函数值符号四个方面找寻二次函数图像 与代数不等式之间的关系，从而建立起数学解题模型.我们还发现，当特殊点的函数值符号异号时，即在某区间上函数满足零点存在定理时，那就只需要 列特殊点函数值符号的不等式即可，其它三个不等 式不用列也无需解；当不满足零点存在定理时，就需 要其它三个方面的不等式加以限制，此时不能省略.因此，从四个方面将二次函数图像与代数不等式之 间建立联系，利用数形结合解决二次函数的零点分 布问题时，要注意四个方面研究的顺序性，优先考虑 特殊点函数值的符号情况，若满足零点存在定理，则可简化解题步骤，巧妙解决二次函数的零点分布问 题.此外，对于需要分类讨论的二次函数零点存在问 题，以/( a)/( 6 )的符号为切入点展开分类讨论，显然思路比较清晰，便于求解.数形结合巧运用，零点分布妙化解.利用一个简单的数学知识——零点存在定理和一个常用的数学 思想方法——数形结合，把二次函数零点分布问题 的解题方法系统化、直观化和形象化，在题目的诸多变化中找到了数学解题的“不变性”，达到“以不变 应万变”的解题教学效果，从而能够促进学生的深 度思考，提升学生的解题能力，优化学生的数学思维 品质，发展学生的数学核心素养.(说明：本文中出现的函数图像，都是在假设存 在的前提下依据题意画出的草图，并不代表此函数 图像一定存在.尤其在涉及分类讨论求参数范围时，满足条件的函数图像是否真实存在取决于解题的结果是否有解.）参考文献：[1] 中学数学课程教材研究开发中心.普通中教科书数学必修第一册（2019年A版）[M].北 京:人民教育出版社，2019.[2] 安学保.讲在学生需要处，讲在思维深处——例谈高中数学解题教学中的问题驱动[J].中学数学教学参考，2019,（22) :54 -57.[3] 江春莲，胡玲.基于APOS理论和R M I原的二次函数图象平移教学实验研究[J].数学教育学报，2020,29(6) ：2 -39.[4] 葛丽婷，旆梦媛，于国文.基于UbD理论单元教学设计——以平面解析几何为例[J].数学 教育学报，2020,29(5) :5 -31.• 65•。
初中 数学零点
有关初中数学“零点”的概念有关初中数学“零点”的概念如下：在数学中，函数的零点或根是指使得函数值为零的点。
对于一元函数，如果存在某个数x0使得f(x0)=0，那么x0就是函数f(x)的一个零点。
在初中数学中，经常要解的是一元二次方程的零点。
一元二次方程形如ax2+bx+c=0，其中a,b,c是常数，且a=0。
1.求解一元二次方程的零点●公式法：对于一元二次方程ax2+bx+c=0，其解为x=2a−b±b2−4ac。
当b2−4ac≥0时，方程有两个实数解；当b2−4ac<0时，方程无实数解。
●因式分解法：如果方程可以因式分解为(x−x1)(x−x2)=0的形式，那么x1和x2就是方程的解。
2.零点与图像的关系对于一元二次函数y=ax2+bx+c，其零点与函数图像与x轴的交点相对应。
零点的个数和位置可以通过函数的判别式Δ=b2−4ac来判断：●如果Δ>0，则函数有两个不相等的实数零点，即图像与x轴有两个交点。
●如果Δ=0，则函数有两个相等的实数零点（即一个重根），即图像与x轴有一个交点。
●如果Δ<0，则函数没有实数零点，即图像与x轴没有交点。
3.应用了解函数的零点对于解决实际问题很有帮助。
例如，在物理和工程领域，经常需要找到使得某个物理量（如位移、速度、加速度等）为零的点，这通常涉及到求解函数的零点。
4.练习●求方程x2−4x+3=0的零点。
●对于函数y=x2−6x+9，判断其与x轴的交点个数，并求出交点坐标。
●如果函数y=2x2−4x+c的图像与x轴没有交点，求c的取值范围。
数学中的函数零点与方程求解技巧
数学中的函数零点与方程求解技巧在数学中，函数零点以及方程的求解是重要的概念和技巧。
它们在代数、几何和应用数学中都扮演着关键的角色。
本文将探讨函数零点和方程求解的相关概念以及解题技巧。
一、函数零点函数零点指的是函数取零值的点，即函数的输入使函数的输出等于零。
函数零点也叫做函数的根，表示为f(x) = 0。
要找到函数的零点，我们需要使用一些特定的方法和技巧。
1. 解析法解析法是找到函数零点的一种常用方法。
对于一些特殊的函数，我们可以通过运用代数技巧来求解零点。
例如，对于一次函数f(x) = ax + b，其零点可以通过令ax + b = 0来求解，解得x = -b/a。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以使用求根公式来求解零点，即x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
2. 图像法图像法是另一个找到函数零点的常用方法。
我们可以绘制函数的图像，在坐标系中观察函数与x轴的交点，那些交点就是函数的零点。
这种方法在直观上帮助我们理解函数的性质，并且可以在一定程度上验证我们通过解析法得到的结果。
二、方程的求解技巧方程的求解是数学中的重要课题之一，也是解决实际问题的关键。
不同类型的方程有不同的求解技巧，下面我们将介绍一些常见的方程求解技巧。
1. 一元一次方程的求解一元一次方程指的是只有一个未知数，并且未知数的最高次数为一的方程。
例如，2x + 3 = 5就是一个一元一次方程。
解这种方程的常用方法是移项和消项。
我们可以通过移动所有含有未知数的项到一边，并消除方程中的常数项，最终得到未知数的值。
2. 一元二次方程的求解一元二次方程是一个最高次数为二的方程，一般形式为ax^2 + bx +c = 0。
解一元二次方程的常用方法是使用求根公式或配方法。
我们可以使用求根公式来直接求解方程的根。
如果使用配方法，我们要将方程变形为完全平方的形式，然后求解方程。
3. 线性方程组的求解线性方程组是多个含有多个未知数的方程组成的系统。
二次函数零点分布情况
二次函数零点分布情况二次函数是代数学中重要的一种函数类型。
它的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是实数常数，且a不为零。
二次函数的图像为开口向上或向下的抛物线，而与二次函数相关联的一个重要概念就是零点。
零点，也称为根或解，指的是使得函数取值为零的x值。
对于二次函数来说，求解零点的方法比较简单，有一条通用的公式可以使用。
给定一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c，其零点可以通过解以下的二次方程得到：ax^2 + bx + c = 0二次方程的解可以通过求解下面的一元二次方程公式得到：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)根据这个公式，我们可以得到一些关于二次函数零点分布情况的结论。
1.零点的数量：根据一元二次方程的解的公式，零点的数量取决于判别式的值，即(b^2-4ac)的正负性。
如果判别式大于零，方程有两个不同的实数根；如果判别式等于零，方程有两个相等的实数根；如果判别式小于零，方程没有实数根，但可能有两个复数根。
2.对称性：二次函数的零点也与其图像的对称性有关。
由于二次函数是关于抛物线的对称轴对称的，所以如果一个根为x，则对称轴上的距离为2x的点也是零点。
换句话说，如果(x1,0)是函数图像上的一个零点，那么对称轴上的点(-x1,0)也是零点。
3.零点位置与抛物线开口方向的关系：二次函数的开口方向由系数a的正负性决定。
如果a大于零，抛物线开口向上，此时函数图像的最低点就是零点的位置；如果a小于零，抛物线开口向下，此时函数图像的最高点就是零点的位置。
4.零点的分布情况：二次函数的零点的分布情况也与判别式的值有关。
如果判别式大于零，说明方程有两个不同的实数根，这意味着抛物线与x轴相交于两个不同的点；如果判别式等于零，说明方程有两个相等的实数根，这意味着抛物线与x轴相切于一个点；如果判别式小于零，说明方程没有实数根，这意味着抛物线与x轴没有交点。
在解析几何中，二次函数的零点也被称为方程与坐标轴的交点。
初中数学 一元二次方程的零点定理有什么应用
初中数学一元二次方程的零点定理有什么应用一元二次方程的零点定理在数学和实际生活中有着广泛的应用。
下面将介绍一些常见的应用领域：1. 几何学：一元二次方程的零点定理可以用来解决几何问题。
例如，在平面几何中，可以使用一元二次方程的零点定理来确定抛物线与x 轴的交点，从而确定抛物线的根、顶点、对称轴等重要几何特征。
2. 物理学：一元二次方程的零点定理在物理学中有着广泛的应用。
例如，在自由落体运动中，物体的高度可以用一元二次方程来表示。
通过求解方程的零点，可以计算物体的落地时间和最大高度等相关物理量。
3. 经济学：一元二次方程的零点定理在经济学中也有重要的应用。
例如，在成本和收益分析中，可以使用一元二次方程来描述成本和收益之间的关系。
通过求解方程的零点，可以确定收益最大化或成本最小化的条件。
4. 工程学：一元二次方程的零点定理在工程学中的应用非常广泛。
例如，在电路分析中，可以使用一元二次方程来计算电路中的电流和电压。
通过求解方程的零点，可以确定电路中的稳定状态和临界点。
5. 金融学：一元二次方程的零点定理在金融学中也有重要的应用。
例如，在投资分析中，可以使用一元二次方程来计算投资回报率和盈亏平衡点。
通过求解方程的零点，可以确定投资的风险和收益。
6. 数据分析：一元二次方程的零点定理在数据分析中也起到重要的作用。
例如，在拟合曲线和回归分析中，可以使用一元二次方程来拟合数据点。
通过求解方程的零点，可以确定最佳拟合曲线和预测未知数据的值。
总结：一元二次方程的零点定理在几何学、物理学、经济学、工程学、金融学和数据分析等领域中有着广泛的应用。
它可以用来解决几何问题、计算物理量、分析经济关系、设计电路、评估投资风险和拟合数据等。
了解一元二次方程的零点定理及其应用可以帮助我们在实际问题中运用数学知识进行分析和解决。
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一元二次方程关于零点分析方法探讨
关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有零点，求实数m 的取值范围．
解法一：可以根据二次函数根分布讨论求解。
设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]． (1)f (x )＝0在区间[0,2]上有一解． ∵f (0)＝1>0，
∴f (2)≤0，即4＋2(m －1)＋1≤0⇒m ≤－3
2. (2)f (x )＝0在区间[0,2]上有两解，则
⎩⎪⎨⎪⎧
Δ≥0⇒(m －1)2－4≥0⇒m ≥3或m ≤－1，
0<－m －1
2<2⇒－3<m <1，
f (2)≥0⇒4＋(m －1)×2＋1≥0⇒m ≥－32，
∴－3
2≤m ≤－1. 由(1)(2)知：m ≤－1.
解法二：分析：因为二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有零点， 所以转化为x 2＋1＝(1-m )x ； 当0=x
时，上面的等式不成立，所以0≠x 。
当0≠x 时，x 2
＋1＝(1-m )x 可以转化为m x
x -=+11
；
在(0,2]上有零点，即m x
x -=+11
有解，
所以在(0,2]上需要找到x
x x f 1
)(+=的值
域为),2[+∞。
所以21≥-m ，即1-≤m 。
解法三：可以通过数形结合转化为两个函数求交点。
将已知二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0转化为
12
+=x y 与
x m y )1(-=两个函数在(0,2]求交点。
如图：从图像可以看出当直线x m y )1(-=绕坐标原点逆时针旋转时与12
+=x y 产生交点，所以直线的斜率会逐渐增大。
当直线x m y )1(-=与12
+=x y 相切时直线的斜率最小为2=k 。
即21≥-m ，所以1-≤m 。
已知函数
a ax x x f -3)(2
++=，当]2,2[-∈x 时，函数至少有一
个零点，求a 的取值范围。
解析 (1)有一个零点，则f(－2)f(2)<0或f(－2)＝0或f(2)＝0，
∴a≤－7或a>7
3. (2)有两个零点
⎩⎪⎨⎪⎧
－2≤－a 2≤2
f －2≥0f 2>0Δ≥0
，∴2≤a≤7
3.
综合以上：a≤－7或a≥2.
解法二：函数
a ax x x f -3)(2
++=，在]2,2[-∈x 上有零点。
即二元一
次方程0-32
=++a ax x
，在]2,2[-∈x 有解，
将其转化为）
（1--32
x a x
=+ 若
1=x ，则上面的等式不成立，所以1≠x 。
若1≠x ，可以转化为a x x -1-3
2
=+，
即2-1
-4
1--=+a x x ）（。
令1
-4
1-)(x x x g +
=）（， 当12>≥x 时，5)(≥x g ，即52-≥-a ，
所以7-≤a
当-21≥>x 时，-2)(3
13
-≤≤x g ，即4-2--≤a ， 所以2≥a
综合以上：a≤－7或a≥2.
解法三：可以通过数形结合转化为两个函数求交点。
将已知二次方程
-32
=++a ax x 转化为
3
2
+=x y 与
）（1--x a y =两个函数在[-2,2]求交点。
如图：从图像可以看出当直线
）（1--x a y =绕坐标(1,0)逆时针旋转时与32
+=x y 产生交点，所以直线的斜率
会逐渐增大。
当直线
）（1--x a y =与
32
+=x y 相切时直线的斜率最小为7=k 相切时直线的斜率最大为-2=k 。
即2--7≤≥-a a 或，
所以7-2≤≥a a 或。