四点共圆(习题)
用非圆二次曲线上四点共圆定理解题
用非圆二次曲线上四点共圆定理解题随着现代数学教育不断发展，许多理论中的定理和理论也不断出现，而“用非圆二次曲线上四点共圆定理”就是其中一个相当重要的内容。
这个定理的定义是：在某一个二次曲线上，若能将这条曲线上任意四点连成一个圆，则这条曲线必定是一条非圆二次曲线。
下面就来探讨下这个定理的证明。
假设二次曲线上四点能够形成一个圆，其中心为$O(x_o,y_o)$，半径为$R$，四点为$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$C(x_3,y_3)$，$D(x_4,y_4)$。
那么可以得到：$${left| overrightarrow {OA} right|} ^2 = {R^2} , {left| overrightarrow {OB} right|} ^2 = {R^2} , {left| overrightarrow {OC} right|} ^2 = {R^2} , {left| overrightarrow {OD} right|} ^2 = {R^2}$$因此，我们可以得到：$$begin{array}{l}(x_1-x_o)^2 + (y_1-y_o)^2 = R^2(x_2-x_o)^2 + (y_2-y_o)^2 = R^2(x_3-x_o)^2 + (y_3-y_o)^2 = R^2(x_4-x_o)^2 + (y_4-y_o)^2 = R^2end{array}$$同时，我们知道，任意一条二次曲线都可以用一般形式表达，即：$$ ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$$由此，我们可以用4个方程和4个未知数$x_o, y_o, a, b, c, d, e, f$来求解这条曲线，其中，$x_o,y_o$分别为曲线上四点的共圆中心，而$a,b,c,d,e,f$是曲线的参数，我们可以通过求解它们的值来确定曲线的位置和形状。
因此，若两条曲线的参数相同，那么它们就是一条曲线；若不同，则不是一条曲线。
初二秋.第1讲.四点共圆(一)
初二·第 6 讲·教师版
长 到 E 、 F ， 则 EPQ QCB ， EPS SAB ， FRQ QCD ，
FRS SAD ．这四个等式两边分别相加， 得 SPQ SRQ BCD BAD ．
习题9. 连接 CM 、 OC、 OE 由题意可得 COE 2D ， ∵ AB ∥ CD ，且 M 是 AB 的中点， ∴ CM DM ， AME DMB AMC D， ∴ ， CME 2D ∴ CME COE ， ∴ O、M 、E、C 四点共圆． 【例 7】
E B( P) O C O' P A F
O B D E C
以 O 为圆心作 △ ABC 的外接圆，延长 AO 交 ⊙O 于 E ，连接 CE ，则 ABD AEC ， ∵ AE 是 直 径 ， ∴ ACE 90 ， ∴ BAD CAE OAC ． 习题1.
E
中
点
，
∴ C、 D、 E、 F 四点共圆，即 CDEF 是圆内接 四边形．如图(b)，∵ A 、 B、 F、 E 四点共圆， ∴ DEF B 180 ， ∵ AB ∥ CD ， ∴ B DCF ， ∴ DEF DCF 180 ， ∴ C、D、E、F 四点共圆，即 CDEF 是圆内接四边形．
ED FD 3 1 3 1 2
AD AC , 在 △ ABC 和 △ DAE 中， DAE CAB , AE AB .
∴ △CAB ≌△ DAE ， ∴ ED BC b ∵ BE 直 径， ∴ EDB 90° 在 Rt △EDB 中， ED b ， BE 2a ，由勾股定理得 ED2 BD2 BE2 . ∴
高中数学竞赛平面几何基础——相似全等和四点共圆练习题
相似全等、四点共圆练习题△ABC 中，点P 是三角形内一点，∠PBA =∠PCA ,PD ⊥BA ,PE ⊥AC ,点M 是BC 中点，求证：MD =ME .解法一：,,,,,,.,BP F PC G FM GM DF EG DF FP MG EG FM DFM DFP PFM MGE PGE MGP PBA PCA DFP PGE DFM MGE DFM MGE MD ME===∠=∠+∠∠=∠+∠∠=∠∴∠=∠∠=∠∴∴=取的中点，的中点，连接，由中位线的性质和直角三角形的性质，同理即，△≌△解法二：,,,,,,.,,,,,,,.DE C B P M DE DE G F H N CGE EHP EG CE FD BD BD CEPBA PCA BPD CPE PH PE HP DP PD PE EG FD FN NG DN EN MDE ∴==∠=∠∴∴=∴==∴=∴连接并延长，过作直线的垂线，交于△∽△，又△∽△△为等腰三角形，得证解法三：,,,,,.BA F DF DB CA G EG EC BPF CPG BPG CPF BPG FPC CF BG ==∠=∠∠=∠≅=延长至，使延长至，使由已知条件可得：所以，所以△△所以得证2：如图，P 为△ABC 外一点，M 是△ABC 中BC 边的中点，D ,E 分别为BA ,CA 延长线上的点，且PE ⊥CE ，PD ⊥BD ，∠PBD =∠PCE ,求证：EM =DM .证明：,,,,,,,,,2,,PB PC G F GM GD FM FE GMFP MF GP GD GM PF EF MGD MGP DGP MFE MFP EFP DGP EFP PBDMGD MFE MFE DGM EM DM====∠=∠-∠∠=∠-∠∠=∠=∠∴∠=∠=取的中点连接则四边形为平行四边形，△≌△ABCD 中，AB //CD ，分别以两腰AD ，BC 为边作正方形ADFE ,正方形BCHG ,连接FG ,取FG 中点M ，求证:MA =MB证明：,,,,,,,,,,2,2:::,2,DA CB N NF NG P Q PM PA QM QB MPNQ MQ PN PA PM BQ MPN MON APN AFN NQB BGQ AN BN AD BD AF BGRt FAN Rt GBN APN NQB AFP AMP BMQ MA MB==∴=∠=∠∠=∠∠=∠==∴∴∠=∠=∠∴∴=延长交点连接并去其中点连接则是平行四边形，△∽△△≌△4.△ABC 的垂心H ，BC ，AH 的中点分别是M ,N ，以AH 为直径作圆和MN 的交点为P .求证AP 平分∠BAC .证明：,,,,,,,,,,,,,119022,,,EH CH BH DH EN DN MD ME E H C B H D BEC M EM BC DM BCMEN MDN ENP DNP BAP CAP ∠=︒∴==⇒∠=∠⇒∠=∠连接由题意易知，共线，共线，是中点，，同理，△≌△得证5.△ABC 的内切圆与BC ,CA ,AB 相切与D ,E ,F ,过F 作BC 的平行线交AD 于G ，交DE 的延长线于H ，求证FG =GH .','',,''',A BC l DF l F DH l E AF F BDF BD BF AF AF AE AE AF AF FG GH=∴====∴=证明：过作的平行线，并延长交于延长交于则△∽△同理，6.△ABC 不是Rt △，O 是外心，H 为垂心，直线OH 交AC 于K ，交ABA 于L ,若HL =OK ,求证AL =AK .,,,,ALK AOK AO HL OK S S AL AH AK AO AL AO AK AH AO AH AHO AOH AHL AOK AL AK=∴=⋅=⋅⋅=⋅∴=∴∠=∠⇒∴=△△连接，△≌△7.P A ，PB ,分别切圆O 于A ,B ，DE 切圆O 于C ，交P A ,PB 于D ,E ,CF ⊥AB ,求证：∠CFD =∠CFE .,t ,,,PAB PBA Rt AMD R BNE DM AD DC MF AD AFDFA EFB DFA EFB EN EB CE FN EB BF∠=∠∴===⇒=∴⇒∠=∠如图作辅助线，△∽△△∽△ AM =弧MC ,MD ⊥BC 于D ，求证AB +BD =DC,,,,180180,,,,DB E BE BA ACM CAM MA MC AB BE BM BM ABM ACM EBM MBC MBC MAC MCA ABM EBM EM MA MC MD EC ED DC AB BD DC=∠=∠===∠+∠=︒∠+∠=︒∠=∠=∠∴∴==⊥∴=+=延长至，使，由题意，，，△≌△即 ,DB DC E DE BD =法一是延长，法二可以在上取一点，使过程略△ABC 中，AB >AC ，∠A 的外角的角平分线交△ABC 外接圆于D ，DE ⊥AB 于E ，求证：2AC AB AE -=,','',,DBA DCA DE DE Rt BDE Rt CDE BE CE AB AE AC AE ∠=∠=∴∴=-=+如图作辅助线，△≌△，即得证托勒密定理：在四边形ABCD 中，有AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅≥⋅，并且当且仅当四边形ABCD 内接于圆时，等式成立。
四点共圆(专项练习)
四点共圆（专项练习）一、单选题1．如图①，若BC 是Rt △ABC 和Rt △DBC 的公共斜边，则A 、B 、C 、D 在以BC 为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图①，△ABC 的三条高AD 、BE 、CF 相交于点H ，则图①中“四点共圆”的组数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．62．如图，已知AB=AC=AD ，①CAD=20°，则①CBD 的度数是（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°3．如图，圆上有A 、B 、C 、D 四点，其中80BAD ∠=︒，若弧ABC 、弧ADC 的长度分别为7π、11π，则弧BAD 的长度为（ ）A ．4πB ．8πC ．10πD ．15π4．如图，四边形ABCD 内接于O ，AB CD =，A 为BD 中点，60BDC ∠=︒，则ADB ∠等于（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒5．如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB =AC =5，点D 在AC 上，且2AD =，点E 是AB 上的动点，连结DE ，点F ，G 分别是BC ，DE 的中点，连接AG ，FG ，当AG =FG 时，线段DE 长为（ ）A 13B 52C 41D ．46．如图，在四边形ABCD 中，AC 、BD 为对角线，点M 、E 、N 、F 分别为AD 、AB 、BC 、CD 边的中点，下列说法：①当AC BD =时，M 、E 、N 、F 四点共圆．①当AC BD ⊥时，M 、E 、N 、F 四点共圆．①当AC BD =且AC BD ⊥时，M 、E 、N 、F 四点共圆．其中正确的是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①7．锐角ABC 的三条高AD 、BE 、CF 交于H ，在A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 七个点中．能组成四点共圆的组数是（ ）A ．4组B ．5组C ．6组D ．7组二、填空题 8．如图，正五边形ABCDE 内接于①O ，则①ADE 的度数是 _____．9．如图，四边形ABCD 是①O 的内接四边形，若①O 半径为4，且①C ＝2①A ，则BD 的长为__．10．如图，将ABC 绕点A 顺时针旋转25°得到AEF ，EF 交BC 于点N ，连接AN ，若57C ∠=︒，则 ANB ∠=__________．11．如图，AB 是Rt ABC 和Rt ABD △的公共斜边，AC=BC ，32BAD ∠=，E 是AB 的中点，联结DE 、CE 、CD ，那么ECD ∠=___________________．三、解答题12．如图所示，AB AC AD ==，60BAC ∠=︒，求BDC ∠.13．如图所示，正方形ABCD中，BD为对角线，点E为BD上一点，过E作EF AE⊥，=.交DC于F，求证：AE FE∠=∠．14．如图，四边形ABED是圆的内接四边形，延长AD、BE相交于点C，已知C EDC=；（1）求证：AB AC（2）若AB是四边形ABED外接圆的直径，求证：BE ED=．15．如图，AB＝AC，AE＝AF，①BAC＝①EAF＝90°，BE、CF交于M，连AM．①求证：BE＝CF；①求证：BE①CF；①求①AMC的度数．16．如图，①ABC中，BE①AC，CF①AB，垂足分别为E、F，M为BC的中点．（1）求证：ME=MF．（2）若①A=50°，求①FME的度数．17．如图所示，在平行四边形ABCD中，点E为AB，BC的垂直平分线的交点，若∠=︒，求AECD60∠.18．定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．已知四边形ABCD是圆美四边形．（1）求美角A∠的度数；（2）如图1，若O 的半径为5，求BD 的长；（3）如图2，若CA 平分BCD ∠，求证：BC CD AC +=．19．如图1，在正方形ABCD 中，点F 在边BC 上，过点F 作EF BC ⊥，且()FE FC CE CB =<，连接CE 、AE ，点G 是AE 的中点，连接FG ．（1）用等式表示线段BF 与FG 的数量关系：______；（2）将图1中的CEF △绕点C 按逆时针旋转，使CEF △的顶点F 恰好在正方形ABCD 的对角线AC 上，点G 仍是AE 的中点，连接FG 、DF ．①在图2中，依据题意补全图形；①用等式表示线段DF 与FG 的数量关系并证明．20．如图所示，在①ABC 中，AB=AC ，任意延长CA 到P ，再延长AB 到Q ，使AP=BQ ， 求证：①ABC 的外心O 与点A 、P 、Q 四点共圆．21．如图，已知A，B，C，D四点共圆，且AC=BC．求证：DC平分①BDE．22．如图，已知矩形ABCD．求证：A、B、C、D四点共圆．23．在正方形ABCD中，M是BC边上一点，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90︒得到线段AQ，连接BP，DQ．=；（1）如图1，求证：BP DQ（2）如图2，若点P，B，D三点共线，求证：A，Q，P，D四点共圆；AD ，求BP的长．（3）若点P，Q，C三点共线，且324．如图，在Rt ABC中，①BAC＝90°，①ABC＝40°，将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上．（1）求①BAD的度数；（2）求证：A、D、B、E四点共圆．25．如图1，ABC中，AC＝BC＝4，①ACB＝90°，过点C任作一条直线CD，将线段BC沿直线CD翻折得线段CE，直线AE交直线CD于点F．直线BE交直线CD于G点．(1)小智同学通过思考推得当点E在AB上方时，①AEB的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程：①AC＝BC＝EC，①A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上，①①AEB＝①ACB，（填写数量关系）①①AEB＝°．(2)如图2，连接BF，求证A、B、F、C四点共圆；(3)线段AE最大值为，若取BC的中点M，则线段MF的最小值为．26．阅读以下材料，并完成相应的任务：西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图1，已知ABC内接于①O，点P在①O上（不与点A、B、C重合），过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F求证：点D，E，F在同一条直线上以下是他们的证明过程：如图1，连接PB ，PC ，DE ，EF ，取PC 的中点Q ，连接QE ，QF ， 则12PQ CQ PC EQ FQ ====（依据1）， ①E ，F ，P ，C 四点共圆．①180FCP FEP ∠+∠=︒（依据2）．又①180ACP ABP ∠+∠=︒，①FEP ABP ∠=∠．①90BDP BEP ∠=∠=︒，①B ，D ，P ，E 四点共圆．①DBP DEP ∠=∠（依据3）．①180ABP DBP ∠+∠=︒，①180FEP DEP ∠+∠=︒（依据4）．①点D ，E ，F 在同一条直线上．任务：(1)填空：①依据1指的的是中点的定义及______；①依据2指的是______；①依据3指的是______；①依据4指的是______．(2)善于思考的小英发现当点P 是BC 的中点时，BD CF =．请你利用图2证明该结论的正确性．27．[发现]如图①ACB=①ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图①）[思考]如图①，如果①ACB=①ADB=a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的圆上吗？我们知道，如果点D不在经过A，B，C三点的圆上，那么点D要么在圆O外，要么在圆O内，以下该同学的想法说明了点D不在圆O外．请结合图①证明点D也不在①O内.[结论]综上可得结论：如图①，如果①ACB=①ADB=a（点C，D在AB的同侧），那么点D在经过A，B，C三点的圆上，即：点A、B、C、D四点共圆．[应用]利用上述结论解决问题：如图①，已知△ABC中，①C=90°，将△ACB绕点A顺时针旋转一个角度得△ADE，连接BE CD，延长CD交BE于点F，（1）求证：点B、C、A、F四点共圆；（2）求证：BF=EF.图①28．定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，那么我们把这称为四点共圆．(1)下列几何图形的四个顶点构成四点共圆的有．（填序号）①平行四边形；①菱形；①矩形；①正方形；①等腰梯形．(2)已知①ABC中，①A＝40°，如图1，平面上一点D，使得A、B、C、D四点共圆，试求①BDC的度数．(3)若△ABC的外接圆为⊙O，半径为r，平面上有两点E、F，分别与△ABC的三个顶点构成四点共圆（E在AB的左侧，F点在AC的右侧），如图2．①试判断∠E+∠F﹣∠BAC 的值是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由；②若BC弦的长度与⊙O的半径r2：1，并且边AB经过圆心O，如图3，试求五边形AEBCF的最大面积（用含r的式子表示）．参考答案1．D【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得． 解：如图，以AH 为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A 、F 、H 、E ）， 以BH 为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B 、F 、H 、D ）， 以CH 为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C 、D 、H 、E ）， 以AB 为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A 、E 、D 、B ）， 以BC 为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B 、F 、E 、C ）， 以AC 为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A 、F 、D 、C ）， 共6组． 故选D ．【点拨】本题考查四点共圆的判断方法．解题的关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆．2．A解：如图，AB=AC=AD ①20CAD ∠=︒11201022CBD CAD ∴∠=∠=⨯︒=︒，故选A ． 3．C 【分析】先求出圆的周长，再根据圆内接四边形的性质可得100C ∠=︒，然后根据圆周角定理可得弧BAD所对圆心角的度数，最后根据弧长的定义即可得．解：弧ABC、弧ADC的长度分别为7π、11π∴圆的周长为71118πππ+=80BAD∠=︒100C∴∠=︒（圆内接四边形的对角互补）∴弧BAD所对圆心角的度数为2200C∠=︒则弧BAD的长度为200 1810360ππ⨯=故选：C．【点拨】本题考查了圆周角定理、弧长的定义、圆内接四边形的性质，熟记圆的相关定理与性质是解题关键．4．A【分析】根据AB CD=，A为BD中点求出①CBD=①ADB=①ABD，再根据圆内接四边形的性质得到①ABC+①ADC=180°，即可求出答案．解：①A为BD中点，①AB AD=,①①ADB=①ABD，AB=AD，①AB CD=，①①CBD=①ADB=①ABD，①四边形ABCD内接于O，①①ABC+①ADC=180°，①3①ADB+60°=180°，①ADB∠=40°，故选：A．【点拨】此题考查圆周角定理：在同圆中等弧所对的圆周角相等、相等的弦所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质：对角互补．5．A【分析】连接DF，EF，过点F作FN①AC，FM①AB，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A，D，F，E四点共圆，①DFE=90°，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE 的长度，从而求解．解：连接DF ，EF ，过点F 作FN ①AC ，FM ①AB①在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点G 是DE 的中点， ①AG =DG =EG 又①AG =FG①点A ，D ，F ，E 四点共圆，且DE 是圆的直径 ①①DFE =90°①在Rt ①ABC 中，AB =AC =5，点F 是BC 的中点， ①CF =BF =1522BC =FN =FM =52又①FN ①AC ，FM ①AB ，90BAC ∠=︒ ①四边形NAMF 是正方形 ①AN =AM =FN =52又①90NFD DFM ∠+∠=︒，90DFM MFE ∠+∠=︒ ①NFD MFE ∠=∠ ①①NFD ①①MFE ①ME =DN =AN -AD =12①AE =AM +ME =3①在Rt ①DAE 中，DE 2213AD AE +故选：A ．【点拨】本题考查直径所对的圆周角是90°，四点共圆及正方形的判定和性质和用勾股定理解直角三角形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．6．C 【分析】连接EM、MF、FN、NE，连接EF、MN，交于点O，利用三角形中位线定理可证到四边形ENFM是平行四边形；然后根据条件判定四边形ENFM的形状，就可知道M、E、N、F四点是否共圆．解：连接EM、MF、FN、NE，连接EF、MN，交于点O，如图所示．①点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，①EM①BD①NF，EN①AC①MF，EM=NF=12BD，EN=MF=12AC．①四边形ENFM是平行四边形．①当AC=BD时，则有EM=EN，所以平行四边形ENFM是菱形．而菱形的四个顶点不一定共圆，故①不一定正确．①当AC①BD时，由EM①BD，EN①AC可得：EM①EN，即①MEN=90°．所以平行四边形ENFM是矩形．则有OE=ON=OF=OM．所以M、E、N、F四点共圆，故①正确．①当AC=BD且AC①BD时，同理可得：四边形ENFM是正方形．则有OE=ON=OF=OM所以M、E、N、F四点共圆，故①正确．故选C．【点拨】本题考查了四点共圆、三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定与性质等知识．熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解题关键．7．C【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，完整选择．解：如图，以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），共6组．故选C．【点拨】本题考查四点共圆的判断方法．解题关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆．8．36°##36度【分析】先利用正多边形的性质求出①AED度数、再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可．解：①正五边形ABCDE内接于①O，①AE=ED，①AED=()5-21805⨯︒=108°，①①ADE =①EAD =12（180°-108°）=36°，故答案为：36°．【点拨】本题考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住正多边形的内角和公式．9．3【分析】连接OB ，OD ，利用内接四边形的性质得出①A=60°，进而得出①BOD=120°，利用含30°的直角三角形的性质解答即可．解：连接OB ，OD ，过O 作OE①BD ，①四边形ABCD 是①O 的内接四边形，①C=2①A ， ①①C+①A=3①A=180°， 解得：①A=60°， ①①BOD=120°， 在Rt △BEO 中，OB=4， 3 3 故答案为：3【点拨】此题考查内接四边形的性质，关键是利用内接四边形的性质得出①A=60°． 10．102.5° 【分析】先根据旋转的性质得到25CAF ∠=︒，25CNF ENB ∠=∠=︒，得到点A 、N 、F 、C 共圆，再利用77.5ANC AFC ∠=∠=︒，根据平角的性质即可得到答案；解：如图，AF 与CB 相交于点O ，连接CF ，根据旋转的性质得到：AC=AF ，57F C ∠=∠=︒，25CAF ∠=︒，25CNF ENB ∠=∠=︒， ①点A 、N 、F 、C 共圆， ①1802577.52ACF AFC ︒-︒∠=∠==︒， 又①点A 、N 、F 、C 共圆， ①77.5ANC AFC ∠=∠=︒，①18077.5102.5ANB ∠=︒-︒=︒（平角的性质）， 故答案为：102.5°【点拨】本题主要考查了旋转的性质、平角的性质、点共圆的判定，掌握平移的性质是解题的关键；11．13 【分析】先证明A 、C 、B 、D 四点共圆，得到①DCB 与①BAD 的是同弧所对的圆周角的关系，得到①DCB 的度数，再证①ECB=45°，得出结论．解：①AB 是Rt①ABC 和Rt①ABD 的公共斜边，E 是AB 中点，①AE=EB=EC=ED ，①A 、C 、B 、D 在以E 为圆心的圆上， ①①BAD=32°， ①①DCB=①BAD=32°，又①AC=BC ，E 是Rt①ABC 的中点， ①①ECB=45°，①①ECD=①ECB -①DCB=13°． 故答案为：13．【点拨】本题考查直角三角形的性质、等腰三角形性质、圆周角定理和四点共圆问题，综合性较强．12．30°. 【分析】由AB=AC=AD ，可得B ，C ，D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上，然后由圆周角定理，证得①CAD=2①CBD ，①BAC=2①BDC ，继而可得①CAD=2①BAC ．解：①AB=AC=AD ，①B ，C ，D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上， ①①CAD=2①CBD ，①BAC=2①BDC ， ①①CBD=2①BDC ，①BAC=60°， ①①CAD=2①BAC=120°． ①①BDC=30°.【点拨】此题考查了圆周角定理．注意得到B ，C ，D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上是解此题的关键．13．见分析. 【分析】先根据正方形的性质可得①CDA=90°，再根据EF AE ⊥得到①AEF=90°，从而得证A ，E ，F ，D 共圆，45EAF BDC ∠=∠=︒，继而得出AE=FE.解：在正方形ABCD 中，90ADC ∠=︒,①BDC=45°①EF AE ⊥ ①90AEF ∠=︒ ①①ADC+①AEF=180° ①A ，E ，F ，D 共圆， ①45EAF BDC ∠=∠=︒， ①45EAF EFA ∠=∠=︒ ①AE FE =.【点拨】本题考查了正方形的性质，四点共圆，以及等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键14．（1）见分析；（2）见分析． 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补证得①B ＝①C ，从而利用等角对等边证得AB ＝AC ； （2）连接AE ，将证明弧相等转化为弧相对的圆周角相等来实现． 解：（1）①四边形ABED 是圆内接四边形，①①B+①ADE=180° 又①①EDC+①ADE=180° ①①EDC=①B 又①①EDC=①C①①B=①C①AB=AC（2）连接AE①AB是圆的直径①①AEB=90°又①AB=AC①AE平分①BAC①①BAE=①EAD①BE DE【点拨】本题考查圆内接四边形及圆的有关性质，解题的关键是知道圆内接四边形及圆的有关性质．15．(1)见分析；（2）见分析；（3）135°解：试题分析：①证①BEA①①CFA．①①ABE＝①ACF，①①CMB＝①CAB＝90°．①作AG①BE于G，AH①CF于H，证①AGB①①AHC，AG＝AH，①AMG＝45°，可得①AMC＝135°试题解析：（1）①①BAC=①EAF=90°①①BAE=①CAF①AE=AF，AB=AC，①三角形BAE 全等于三角形CAF，① BE=CF（2）①①AEB=①AFC设CF与AE相交于点H 则①MHE = ①AHF①三角形EMH与三角形HAF的内角和都为180°① ①EMF = ①EAF即BE①CF（3）①①ABE=①ACF① A ，B ，C ，M 四点共圆① ①AMC+①ABC=180°①AB=AC ，①BAC=90°,①ABC=45°① ①AMC=180°--①ABC=135°也可以作AG①BE 于G ，AH①CF 于H ，证①AGB①①AHC ，AG ＝AH ，①AMG ＝45°，可得①AMC ＝135.16．（1）证明见分析（2）80°．试题分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到ME=12BC ，MF=12BC ，得到答案；（2）根据四点共圆的判定得到B 、C 、E 、F 四点共圆，根据圆周角定理得到答案． （1）证明：①BE①AC ，CF①AB ，M 为BC 的中点，①ME=12BC ，MF=12BC ，①ME=MF ；（2）解：①CF①AB ，①A=50°，①①ACF=40°，①BE①AC ，CF①AB ，①B 、C 、E 、F 四点共圆，①①FME=2①ACF=80°．【点拨】1．直角三角形斜边上的中线；2．等腰三角形的判定与性质．17．120AEC ∠=︒【分析】由点E 为AB ，BC 的垂直平分线的交点知，EA EB EC ==，所以A ，B ，C 在以E 为圆心，EA 为半径的圆上，由圆的性质知2AEC ABC ∠=∠，再由平行四边形的性质，问题得解.解：连结EB ，①点E 为AB ，BC 的垂直平分线的交点①EA EB EC ==，①A ，B ，C 在以E 为圆心，EA 为半径的圆上，作出辅助圆，由圆的性质知2AEC ABC ∠=∠，又平行四边形ABCD 中，60ABC D ∠=∠=︒①2120AEC ABC ∠=∠=︒【点拨】作辅助圆，可以将直线型问题转化为曲线型问题，为我们解决问题时提供更开阔思路，更简捷的方法.18．（1）60°；（2）53（3）见分析【分析】（1）根据美角的定义可得12A C ∠=∠，然后根据圆内接四边形的性质即可求出结论； （2）连接DO 并延长，交O 与点E ，连接BE ，根据同弧所对的圆周角相等可得①E=①A=60°，然后根据直径所对的圆周角是直角可得①DBE=90°，最后利用锐角三角函数即可求出结论；（3）延长CB 至F ，使BF=DC ，连接AF 、BD ，先证出①ABD 为等边三角形，然后利用SAS 证出①ABF①①ADC ，从而得出AF=AC ，①F=①DCA=60°，再证出①ACF 为等边三角形，利用等边三角形的性质和等量代换即可得出结论．解：（1）根据题意可得：12A C ∠=∠，而①A ＋①C=180° ①①A=60°（2）连接DO 并延长，交O 与点E ，连接BE①①E=①A=60°①DE 为O 的直径，O 的半径为5，①①DBE=90°，DE=10在Rt①DBE 中，353 （3）延长CB 至F ，使BF=DC ，连接AF 、BD由（1）可知：①BAD=60°，①BCD=2①BAD=120° ①CA 平分BCD ∠，①①BCA=①DCA=12BCD ∠=60° ①①ABD=①DCA=60°①①ADB=180°－①ABD －①BAD=60°①①ABD 为等边三角形①AB=AD根据圆内接四边形的性质可得①ABF=①ADC在①ABF 和①ADC 中BF DC ABF ADC AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①ABF①①ADC①AF=AC ，①F=①DCA=60°①①FAC=180°－①F －①ACF=60°①①ACF 为等边三角形①CF=AC①BC ＋BF=AC①BC ＋CD=AC【点拨】此题考查的是新定义类问题、圆内接四边形的性质、圆周角定理及推论、锐角三角函数、等边三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质，掌握新定义、圆内接四边形的性质、圆周角定理及推论、锐角三角函数、等边三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．19．（1）2BF FG=；（2）①画图见分析；①2DF FG，证明见分析【分析】（1）先判断出①AGB①①CGB，得到①GBF＝45°，再判断出①EFG①①CFG，得到①GFB ＝45°，从而得到①BGF为等腰直角三角形，即可．（2）①画图2即可；①如图2，连接BF、BG，证明①ADF①①ABF得DF＝BF，根据直角三角形斜边中线的性质得：AG＝EG＝BG＝FG，由圆的定义可知：点A、F、E、B在以点G为圆心，AG长为半径的圆上，①BGF＝2①BAC＝90°，所以①BGF是等腰直角三角形，可得结论．解：（1）BF2FG，理由是：如图1，连接BG，CG，①四边形ABCD为正方形，①①ABC＝90°，①ACB＝45°，AB＝BC，①EF①BC，FE＝FC，①①CFE＝90°，①ECF＝45°，①①ACE＝90°，①点G是AE的中点，①EG＝CG＝AG，①BG＝BG，①①AGB①①CGB（SSS），①①ABG＝①CBG＝12①ABC＝45°，①EG＝CG，EF＝CF，FG＝FG，①①EFG①①CFG（SSS），①①EFG＝①CFG＝12（360°﹣①BFE）＝12（360°﹣90°）＝135°，①①BFE＝90°，①①BFG＝45°，①①BGF为等腰直角三角形，①BF2FG．故答案为：BF2；（2）①如图2所示，①2=；理由如下：DF FG如图2，连接BF、BG，①四边形ABCD是正方形，①AD＝AB，①ABC＝①BAD＝90°，AC平分①BAD，①①BAC＝①DAC＝45°，①AF＝AF，①①ADF①①ABF（SAS），①DF＝BF，①EF①AC，①ABC＝90°，点G是AE的中点，①AG＝EG＝BG＝FG，①点A、F、E、B在以点G为圆心，AG长为半径的圆上，①BF BF=，①BAC＝45°，①①BGF＝2①BAC＝90°，①①BGF是等腰直角三角形，①BF2FG，①DF2FG．【点拨】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，圆的性质，判断①BGF为等腰直角三角形是解本题的关键，作出辅助线是解本题的难点．20．见分析解：试题分析：先作①ABC的外接圆①O，并作OE①AB于E，OF①AC于F，连接OP、OQ、OB、OA，证出BE=AF，OE=OF，再证Rt①OPF①Rt①OQE，得到①P=①Q即可得到答案．证明：作①ABC的外接圆①O，并作OE①AB于E，OF①AC于F，连接OP、OQ、OB、OA，①O是①ABC的外心，①OE=OF，OB=OA，由勾股定理得：BE2=OB2﹣OE2，AF2=OA2﹣OF2，①BE=AF，①AP=BQ，①PF=QE，①OE①AB，OF①AC①①OFP=①OEQ=90°，①Rt①OPF①Rt①OQE，①①P=①Q，①O、A、P、Q四点共圆．即：①ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆．【点拨】本题主要考查了四点共圆，勾股定理，全等三角形的性质和判定，确定圆的条件等知识点，作辅助线构造全等三角形证①P=①Q是解此题的关键．21．证明见分析．【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质得到①2=①1，①3=①ABC，由等腰三角形的性质得到①1=①ABC ，等量代换得到①2=①3，于是得到结论．证明：①A ，B ，C ，D 四点共圆，①①2=①1，①3=①ABC ，①AC=BC ，①①1=①ABC ，①①2=①3，①DC 平分①BDE ．【点拨】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，角平分线的判定，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．22．见分析【分析】连接AC 、BD ，根据矩形的性质可得OA=OB=OC=OD ，即可得结论.解：连接AC 、BD 交于O 点，①四边形ABCD 为矩形，①AC BD =.①OA OB OC OD ===.①A 、B 、C 、D 到点O 的距离相等，①A 、B 、C 、D 在以O 为圆心，OA 为半径的圆上．即A 、B 、C 、D 四点共圆.【点拨】本题考查了矩形的性质及圆的认识，熟练掌握矩形的性质，理解四点共圆的意义是解题关键.23．（1）见分析；（2）见分析；（3）3BP =【分析】（1）证明AQD APB ≌即可得出答案；（2）根据全等三角形的性质以及圆内接四边形对角和为180︒即可得出结论； （3）证明PAQ △为等腰直角三角形，得出45APC ∠=︒，然后得出2ABC APC ∠=∠，根据圆周角定理可得点P 在圆B 上，结论可得．解：（1）根据旋转的性质可得AP AQ =，90PAQ ∠=︒，①90BAD ∠=︒，①DAQ BAP ∠=∠，①AB AD =，①()AQD APB SAS ≌，①BP DQ =；（2）①AQD APB ≌，①Q APB ∠=∠，①点P ，B ，D 三点共线，①180APD APB ∠+∠=︒，①180Q APD ∠+∠=︒，①A ，Q ，P ，D 四点共圆；（3）①AP AQ =，90PAQ ∠=︒，①PAQ △为等腰直角三角形，①45APC ∠=︒，以点B 为圆心，BA 为半径作B ，①90ABC ∠=︒，45APC ∠=︒，①2ABC APC ∠=∠，①点P 在圆B 上，①3BP BC ==．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理等知识，熟练掌握基础知识是解本题的关键．24．（1）10°；（2）见分析【分析】（1）由三角形内角和定理和已知条件求得①C的度数，由旋转的性质得出AC＝AD，即可得出①ADC＝①C，最后由外角定理求得①BAD的度数；（2）由旋转的性质得到①ABC＝①AED，由四点共圆的判定得出结论．解：（1）①在Rt ABC中，①BAC＝90°，①ABC＝40°，①①C＝50°，①将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上，①AC＝AD，①①ADC＝①C＝50°，①①ADC＝①ABC+①BAD＝50°，①①BAD＝50°－40°＝10°证明（2）①将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，①①ABC＝①AED，①A、D、B、E四点共圆．【点拨】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、外角定理以及四点共圆的判定，解题的关键是理解旋转后的图形与原图形对应边相等，对应角相等．25．(1)1，45；(2)见分析；(3)8，2222【分析】（1）根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答；（2）由题意知，CD垂直平分BE，连接BF，则BF=EF，求得①EBF=①AEB＝45°，利用外角的性质得到①AFB=①EBF+①AEB＝90°，即可得到结论；（3）当点A、C、E在一条直线上时，线段AE最大，最大值为4+4=8，当MF①BC时线段MF最小，根据BC的中点M，得到CF=BF，设BG=FG=x，则2x，CG2 +1)x，由勾股定理得222+=，求出2842CG BG BCx=-222+=，即可求BM MF BF出222MF=．(1)解：①AC＝BC＝EC，①A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上，①ACB，①①AEB＝12①①AEB＝45°．，45；故答案为：12(2)解：由题意知，CD 垂直平分BE ，连接BF ，则BF=EF ，①①EBF =①AEB ＝45°．①①AFB =①EBF +①AEB ＝90°．①①ACB ＝90°，①A 、B 、F 、C 在以AB 为直径的圆上，即A 、B 、F 、C 四点共圆；(3)解：当点A 、C 、E 在一条直线上时，线段AE 最大，最大值为4+4=8，当MF ①BC 时线段MF 最小，①BC 的中点M ，①CF=BF ， 设BG=FG=x ，则2，CG 2x ，①222CG BG BC +=，①222(21)4x x ⎡⎤+=⎣⎦， 得2842x =-①222BM MF BF +=，①2222(2)MF x +=，得222MF =，故答案为：8，222 ． ．【点拨】此题考查了圆周角定理，四点共圆的判定及性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟记各知识点并熟练应用解决问题是解题的关键．26．(1)①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；①圆内接四边形对角互补；①同弧或等弧所对的圆周角相等；①等量代换(2)见分析【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质，圆内接四边形的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等进行求解即可；（2）如图，连接P A，PB，PC，只需要证明Rt Rt△≌△即可证明结论．PBD PCF(1)解：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；①圆内接四边形对角互补；①同弧或等弧所对的圆周角相等；①等量代换；(2)证明：如图，连接P A，PB，PC．①点P是BC的中点，①BP PC=．①BP PC∠=∠．=，PAD PAC又①PD AD⊥，PF AC⊥，①PD PF=．①Rt Rt△≌△（HL）．PBD PCF=．①BD CF【点拨】本题主要考查了圆内接四边形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，全等三角形的性质与判定，弧，弦，圆周角的关系，同弧或等弧所对的圆周角相等等等，正确作出辅助线和熟知相关知识是解题的关键．27．【思考】证明见分析；【应用】（1证明见分析；（2）证明见分析试题分析：【思考】假设点D在①O内，利用圆周角定理及三角形外角的性质，可证得与条件相矛盾的结论，从而证得点D不在①O内；[应用]（1）由旋转的性质可得①ACD=①ABE，故B、C、A、F四点共圆，（2）由圆内接四边形的性质得①BCA+①BF A=180°即可证明．【思考】【证】如图，假设点D 在①O 内，延长AD 交①O 于点E ，连接BE ；则①AEB =①ACB①①ADB 是△DBE 的一个外角①①ADB ＞①AEB①①ADB ＞①ACB这与条件①ACB =①ADB 矛盾①点D 不在①O 内【证】（1）①AC =AD ，AB =AE ，①①ACD =①ADC ，①ABE =①AEB ，①①CAB =①DAE ，①①CAD =①BAE ，①2①ACD +①CAD =180°，2①ABE +①BAE =180°，①①ACD =①ABE ，①B 、C 、A 、F 四点共圆，（2）①B 、C 、A 、F 四点共圆，①①BF A +①BCA =180°，①①ACB =90°，①①BF A =90°，①AF ①BE ，①AB =AE ，①BF =EF ．【点拨】本题综合考查了圆周角定理、反证法、三角形外角的性质、点和圆的位置关系等知识，熟练掌握性质定理是解题的关键．28．(1)①①①；(2)①BDC 的度数为140°或 40°；232 【分析】 （1）由“对角互补的四边形是圆的内接四边形”，即可得出答案；（2）分点D在BC上和点D在AB、AC上两种情况讨论，即可求出①BDC的度数；（3）①由圆内接四边形的性质可得①E+①AFB＝180°，由①BAC＝①BFC，可得①E+①AFC ＝①E+①AFB+①BFC＝①E+①AFB+①BAC＝180°+①BAC，进而可得①E+①AFC﹣①BAC＝180°；①由AB经过圆心O，BC弦的长度与①O的半径r21，可得①ABC为等腰直角三角形，S五边形AEBCF＝S△ABE+S△ABC+S△ACF，当①ABE及①ACF面积最大时，五边形AEBCF的最大面积，E为AB中点时，①ABE面积最大，F为AC中点时，①ACF面积最大，求出①ABE及①ACF面积最大值，最后把三个三角形的面积相加，即可求出五边形AEBCF的最大面积．(1)解：①矩形、正方形、等腰梯形的对角互补，①矩形、正方形、等腰梯形的四个顶点构成四点共圆，故答案为：①①①；(2)解：如图4，当点D在BC上时，①A、B、D、C四点共圆，①①A+①D＝180°，①①BAC＝40°，①①BDC＝180°﹣40°＝140°，如图5和图6，当点D在AB或AC上时，①①BAC＝40°，①①BDC＝①BAC＝40°，综上所述，①BDC的度数为140°或40°；(3)解：①如图7，连接BF，①四边形AEBF是圆内接四边形，①①E+①AFB＝180°，又①①BAC＝①BFC，①①E+①AFC＝①E+①AFB+①BFC＝①E+①AFB+①BAC＝180°+①BAC，①①E+①AFC﹣①BAC＝180°，即①E+①F﹣①BAC＝180°；①①AB经过圆心，①AB是①O的直径，①①ACB＝90°，①BC：OB2：1，OB＝r，①BC2r，①AB＝2r，①AC222r，AB BC①BC＝AC，①①ABC是等腰直角三角形，①S五边形AEBCF＝S△ABE+S△ABC+S△ACF，①当①ABE及①ACF面积最大时，五边形AEBCF的最大面积，此时，E为AB中点时，①ABE面积最大，F为AC中点时，①ACF面积最大，如图8，连接OE，连接OF交AC于H，①OE①AB，OF①AC，①AH＝CH，①OH＝12BC2r，①S△ABE的最大值为：12•AB•OE＝12×2r×r＝r2，S△ACF的最大值为：12•AC•FH＝122r×（r22r2﹣12×r2，①S五边形AEBCF的最大值为：r2+r222﹣12×r223+2．【点拨】本题考查了四点共圆，掌握四点共圆及圆周角的性质是解决问题的关键．。
第四讲 四点共圆问题
第四讲 四点共圆问题“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路.判定“四点共圆”的方法，用得最多的是统编教材《几何》二册所介绍的两种（即P 89定理和P 93例3），由这两种基本方法推导出来的其他判别方法也可相机采用. 1 “四点共圆”作为证题目的 例1．给出锐角△ABC ，以AB 为直径的圆与AB 边的高CC ′及其延长线交于M ，N .以AC 为直径的圆与AC 边的高BB ′及其延长线将于P ，Q .求证：M ，N ，P ，Q 四点共圆.(第19届美国数学奥林匹克)分析：设PQ ，MN 交于K 点，连接AP ，AM .欲证M ，N ，P ，Q 四点共圆，须证MK ·KN ＝PK ·KQ ，即证(MC ′-KC ′)(MC ′+KC ′) ＝(PB ′-KB ′)·(PB ′+KB ′) 或MC ′2-KC ′2=PB ′2-KB ′2. ①不难证明 AP =AM ，从而有 AB ′2+PB ′2=AC ′2+MC ′2. 故 MC ′2-PB ′2=AB ′2-AC ′2=(AK 2-KB ′2)-(AK 2-KC ′2)=KC ′2-KB ′2. ②由②即得①，命题得证.例2．A 、B 、C 三点共线，O 点在直线外，O 1，O 2，O 3分别为△OAB ，△OBC ，△OCA 的外心.求证：O ，O 1，O 2， O 3四点共圆.(第27届莫斯科数学奥林匹克) 分析：作出图中各辅助线.易证O 1O 2垂直平分OB ，O 1O 3垂直平分OA .观察△OBC及其外接圆，立得∠OO 2O 1=21∠OO 2B =∠OCB .观察△OCA 及其外接圆，立得∠OO 3O 1=21∠OO 3A =∠OCA .由∠OO 2O 1=∠OO 3O 1 O ，O 1，O 2，O 3共圆.利用对角互补，也可证明O ，O 1，O 2，O 3四点共圆，请同学自证. 2 以“四点共圆”作为解题手段这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面. (1)证角相等例3．在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM＝∠CBK .求证：∠DMA ＝∠CKB .（第二届袓冲之杯初中竞赛）A B CK MN P Q B ′C ′A B CO O O O 123？？C D分析：易知A ，B ，M ，K 四点共圆.连接KM ，有∠DAB ＝∠CMK .∵∠DAB +∠ADC ＝180°，∴∠CMK +∠KDC ＝180°.故C ，D ，K ，M 四点共圆⇒∠CMD ＝∠DKC . 但已证∠AMB ＝∠BKA ， ∴∠DMA ＝∠CKB .(2)证线垂直例4．⊙O 过△ABC 顶点A ，C ，且与AB ，BC 交于K ，N (K 与N 不同).△ABC外接圆和△BKN 外接圆相交于B 和 M .求证：∠BMO =90°. (第26届IMO 第五题)分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步.其实，只要把握已知条件和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的. 连接OC ，OK ，MC ，MK ，延长BM 到G .易得∠GMC =∠BAC =∠BNK =∠BMK .而∠COK =2·∠BAC =∠GMC + ∠BMK =180°-∠CMK ，∴∠COK +∠CMK =180°⇒C ，O ，K ，M 四点共圆. 在这个圆中，由OC =OK ⇒ OC =OK ⇒∠OMC =∠OMK . 但∠GMC =∠BMK ， 故∠BMO =90°. (3)判断图形形状例5．四边形ABCD 内接于圆，△BCD ，△ACD ，△ABD ，△ABC 的内心依次记为I A ，I B ，I C ，I D . 试证：I A I B I C I D 是矩形.(第一届数学奥林匹克国家集训选拔试题)分析：连接AI C ，AI D ，BI C ，BI D 和DI B .易得∠AI C B =90°+21∠ADB =90°+21∠ACB =∠AI D B ⇒A ，B ，I D ，I C 四点共圆.同理，A ，D ，I B ，I C 四点共圆.此时∠AI C I D =180°-∠ABI D =180°-21∠ABC ，∠AI C I B =180°-∠ADI B =180°-21∠ADC ，∴∠AI C I D +∠AI C I B=360°-21(∠ABC +∠ADC )=360°-21×180°=270°.故∠I B I C I D =90°.A BO K N CMG A B C D I C I DA I I B同样可证I A I B I C I D 其它三个内角皆为90°.该四边形必为矩形. (4)计算例6．正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989㎝2.P 为正方形内一点，且∠OPB =45°，PA :PB =5:14.则PB =__________ (1989，全国初中联赛) 分析：答案是PB =42㎝.怎样得到的呢？连接OA ，OB .易知O ，P ，A ，B 四点共圆，有∠APB =∠AOB =90°. 故PA 2+PB 2=AB 2=1989.由于PA :PB =5:14，可求PB .(5)其他例7．设有边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积(须证明你的论断). (1978，全国高中联赛)分析：设△EFG 为正方形ABCD 的一个内接正三角形，由于正三角形的三个顶点至少必落在正方形的三条边上，所以不妨令F ，G 两点在正方形的一组对边上. 作正△EFG 的高EK ，易知E ，K ，G ，D 四点共圆⇒∠KDE =∠KGE =60°.同理，∠KAE =60°.故△KAD 也是一个正 三角形，K 必为一个定点. 又正三角形面积取决于它的边长，当KF 丄AB 时，边长为1，这时边长最小，而面积S =43也最小.当KF 通过B 点时，边长为2·32-，这时边长最大，面积S =23-3也最大.例8．NS 是⊙O 的直径，弦AB 丄NS 于M ，P 为ANB 上异于N 的任一点，PS交AB 于R ，PM 的延长线交⊙O 于Q .求证：RS ＞MQ . (1991，江苏省初中竞赛)分析：连接NP ，NQ ，NR ，NR 的延长线交⊙O 于Q ′.连接MQ ′，SQ ′.易证N ，M ，R ，P 四点共圆，从而，∠SNQ ′=∠MNR =∠MPR =∠SPQ =∠SNQ .根据圆的轴对称性质可知Q 与Q ′关于NS 成轴对称⇒MQ ′=MQ . 又易证M ，S ，Q ′，R 四点共圆，且RS 是这个圆的直径(∠RMS =90°)，MQ ′是一条弦(∠MSQ ′＜90°)，故RS ＞MQ ′.但MQ =MQ ′，所以，RS ＞MQ .练习题1.⊙O 1交⊙O 2 于A ，B 两点，射线O 1A 交⊙O 2 于C 点，射线O 2A 交⊙O 1 于D 点.求证：点A 是△BCD 的内心.(提示：设法证明C ，D ，O 1，B 四点共圆，再证C ，D ，B ，O 2··P O A B C D A BC D E F KG ······四点共圆，从而知C，D，O1，B，O2五点共圆.)2.△ABC为不等边三角形.∠A及其外角平分线分别交对边中垂线于A1，A2；同样得到B1，B2，C1，C2.求证：A1A2=B1B2=C1C2.(提示：设法证∠ABA1与∠ACA1互补造成A，B，A1，C四点共圆；再证A，A2，B，C四点共圆，从而知A1，A2都是△ABC的外接圆上，并注意∠A1AA2=90°.)3.设点M在正三角形三条高线上的射影分别是M1，M2，M3(互不重合).求证：△M1M2M3也是正三角形.4.在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，P是AB上的点，过A点作PC的垂线交过B所作AB的垂线于Q点.求证：PD丄QD.(提示：证B，Q，E，P和B，D，E，P分别共圆)5.AD，BE，CF是锐角△ABC的三条高.从A引EF的垂线l1，从B引FD的垂线l2，从C引DE的垂线l3.求证：l1，l2，l3三线共点.(提示：过B作AB的垂线交l1于K，证：A，B，K，C四点共圆)。
四点共圆问题
§5四点共圆问题“四点共圆”是平面几何证题中一个十分有利的工具. 四点共圆这类问题一般有两种形式:(1)证明某四点共圆或以四点共圆为基础证明若干点共圆;(2)通过某四点共圆得到一些重要的结果,进而解决问题.下面先给出与四点共圆有关的一些基本知识.(1)若干个点与某定点的距离相等,则这些点在同一圆周上;(2)在若干个点中有两点,其他点对这两点所成线段的视角均为直角,则这些点共圆;(3)若四点连成的四边形对角互补或有一外角等于它的内对角,则这四点共圆;(4)若点C、D在线段AB的同侧, 且∠ACB=∠ADB ,则A、B、C、D四点共圆;(5)若两线段AB、CD相交于点E, 且AE·EB=CE·ED,则A、B、C、D四点共圆;(6)若相交线段PA、PB上各有一点C、D,且PA·PC=PB·PD, 则A、B、C、D四点共圆.四点共圆问题不但是平面几何中的重要问题,而且是直线形和圆之间度量关系或者位置关系相互转化的媒介.例1、已知PQRS是圆内接四边形,∠PSR=90°,过点Q作PR、PS的垂线,垂足分别为点H、K.求证:HK平分QS.证法1 :如图1,设HK与QS交于点T,则∠TSK=90°-∠RSQ=90°-∠RPQ=∠TKS.所以,TS=TK.又∠TQK=90°-∠TSK=90°-∠TKS=∠TKQ,所以,TQ=TK.故TS=TQ,即HK平分QS.说明:证法1是观察到T是Rt△QSK斜边上的中点,从而去证明TS =TK及TS=TQ.此题也可从另一个角度去考虑,平行四边形的对角线互相平分,于是有证法2.证法2:如图2,分别延长KH和SR交于点G,联结QG.因为∠QHP=∠QKP=90°,所以,Q、H、K、P四点共圆.于是,∠QKH=∠QPH=∠QSR.因此,Q、K、S、G四点共圆.故四边形QKSG是矩形.从而,HK平分QS .例2、给定锐角△ABC ,以AB为直径的圆与边AB上的高线CC′及其延长线交于点M、N ,以AC为直径的圆与边AC上的高线BB′及其延长线交于点P、Q. 证明:M、P、N、Q四点共圆.证明:如图3,由于AB和AC是两圆的直=∠A+∠B+∠C=180°.如图6,作点P关于BC的对称点P′,联结BP′、CP′.于是,∠BQC+∠BP′C=180°.所以,B、Q、C、P′四点共圆.又因∠P′BC=∠PBC=∠QCB,则BP′∥QC.故BQ=P′C.所以,BQ=CP.说明:∠BQC和∠CPB是对线段BC的两个视角, 当点P、Q在线段BC的两侧时,B、Q、P、C四点共圆;当点P、Q在BC的同侧时,常常作对称点,然后便有四点共圆了,这会给解题带来极大方便.例6、在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=BD=1,AB=AC,CD<1,且∠BAC+∠BDC=180°.求CD的长.解:如图7,作点D关于BC的对称点E, 联结AE、BE、CE.设AE与BC交于点F.由AD∥BC,知点A、E 到BC的距离相等,所以,AF=FE.设CD=CE=x,AF=FE=m.由∠BAC+∠BDC=180°,得∠BAC+∠BEC=180°.所以,A、B、E、C四点共圆.由AB=AC,得∠ABC=∠ACB.所以,∠1=∠ACB =∠ABC =∠2.又∠EBF =∠EAC,于是,△BFE ∽△ACE.所以, .BE AE FE CE= 从而,22m =AE ·FE =BE ·CE =x. ① 由角平分线的性质知1.BF BE CF CE x ==又BF +CF =1 ,所以, 11BF x =+, 1x CF x =+. ② 由式②及相交弦定理得2m =AF ·FE =BF ·FC =2(1)x x + ③ 将式③代入式①得 22(1)x x +=x .解得x=. 因此,CD. 例7、在锐角△ABC 中,AB ≠AC,AD 是高,H 是AD 上一点,联结BH 并延长交AC 于点E,联结CH 并延长 交AB 于点F.已知B 、C 、E 、F 四点共圆.问:点H 是否一定是△ABC 的垂心?证明你的结论. 解:答案是肯定的.如图8,在AD 或其延长线上取一点G,使得AH ·AG =AF ·AB =AE ·AC.(1)若点G 、D 不重合,则∠AFH =∠AGB,∠AEH =∠AGC.因为B 、C 、E 、F 四点共圆,所以,∠BFC =∠CEB .从而,∠AFH =∠AEH.因此,∠AGB =∠AGC.于是,AB =AC,矛盾.(2)若点G 、D 重合,则∠AFH =∠ADB =90°,∠AEH =∠ADC =90°.所以,点H 一定是△ABC 的垂心.例8、已知△ABC 的重心G 关于边BC 的对称点是G ′.证明:A 、B 、G ′、C 四点共圆的充分必要条 件是2222AB AC BC +=.证明:如图9,设AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条中线.由于点G ′与点G 关于BC 对称,则有∠BGC =∠BG ′C.(1)若A 、B 、G ′、C 四点共圆,则∠BG ′C +∠BAC =180°.又因∠EGF =∠BGC =∠BG ′C,所以∠EGF +∠EAF =180°.故A 、F 、G 、E 四点共圆.于是,∠BGF =∠BAC.因此,∠BGC =180°-∠BGF =180°-∠BAC =∠ABC +∠ACB .过点G 作射线GS 交边BC 于点S,使得∠CGS =∠ABC.则∠BGS =∠ACB.由于∠CGS =∠ABC =∠FBS,所以,B 、F 、G 、S 四点共圆.由∠BGS =∠ACB =∠ECS,知C 、E 、G 、S 四点共圆.由割线定理得BF ·BA =BG ·BE =BS ·BC,CE ·CA =CG ·CF =CS ·CB .则BF ·BA +CE ·CA =BC(BS +CS),即2222AB AC BC +=.(2)若2222AB AC BC +=,如图9,延长AD 到点K,使得DK =DG,联结BK 、CK.则四边形BGCK 是平行四边形.从而,∠BKC =∠BGC.又由重心性质知 DK =DG =13AD. 因为AD 是△ABC 的中线,所以, 2222221222.2AB AC AD BD AD BC +=+=+ 结合2222AB AC BC +=,得2234AD BC =. 则221131.3344AD DK AD AD BC BC BD DC ==⨯== 从而,A 、B 、K 、C 四点共圆.故∠BKC +∠BAC =180°.又∠BKC =∠BGC =∠BG ′C,所以, ∠BG ′C +∠BAC =180°.因此,A 、B 、G ′、C 四点共圆.练习题1.设D 是等腰Rt △ABC 底边BC 的中点,过C 、D 两点(但不过点A )任作一圆交直线AC 于点E ,联结BE 交此圆于点F. 求证:AF ⊥BE.2.AB 为⊙O 的直径,点C 在⊙O 上且OC ⊥AB,P 为⊙O 上一点,位于点B 、C 之间,直线CP 与AB 的延长线交于点Q,过Q 作直线与AB 垂直,交直线AP 于点R. 求证:BQ =QR.3.如图10,在△ABC 中,AD ⊥BC,BE ⊥CA,AD 与BE 交于点H,P 为边AB 的中点,过点C 作CQ ⊥PH,垂足为Q.求证:2PE =PH ·PQ.(提示:联结QE 、CH.易知∠ABE =∠ACH.注意到AP =BP =EP,所以,∠ABE =∠PEB.从而,∠PEB =∠ACH.又易知C 、H 、E 、Q四点共圆,所以,∠EQH =∠ACH.从而,∠EQH =∠PEB =∠PEH.又∠QPE =∠EPH,所以,△EPH ∽△QPE.故2PE =PH ·PQ.)4.凸四边形ABCD 的内切圆,切边AB 、BC 、CD 、DA 的切点分别为1111,,,A B C D ,联结11111111,,,A B B C C D D A ,点E 、F 、G 、H 分别为11111111,,,A B B C C D D A 的中点.证明:四边形EFGH 为矩形的充分必要条件是A 、B 、C 、D 四点共圆(提示:如图11,易知点H 在AI 上,且AI ⊥11A D . 又1ID ⊥11A D ,由射影定理可知IH ·IA =1ID =2r ,其中r 为内切圆半径.同理,IE ·IB =2r .于是,IE ·IB =IH ·IA.故A 、H 、E 、B 四点共圆.所以,∠EHI =∠ABE.类似地,可证∠IHG =∠ADG,∠IFE =∠CBE,∠IFG =∠CDG.将这四个式子相加得∠EHG +∠EFG =∠ABC +∠ADC.所以, A 、B 、C 、D 四点共圆的充要条件是E 、F 、G 、H 四点共圆.而熟知一个四边形的各边中点围成的四边形是平行四边形, 平行四边 形为矩形的充要条件是该四边形的四个顶点共圆. 因此, EFGH 为矩形的充要条件是A 、B 、C 、D 四点共圆.) 5.在Rt △ABC 的每一条边上,都向外作一个正方形,这三个正方形的中心分别记为D 、E 、F. 试证△DEF 与△ABC 的面积之比值(1)大于1;(2)不小于2.(提示:如图12,先证明A 、F 、C 、B 四点共圆,则∠FBC =∠FAC =45°. 易知FB ⊥DE.由此得BF 、AD 与CE 互相平行.(1)由于BF >BG,所以,DBF S >ABG S , EBF S >CBG S .故DEF S >ABC S .(2)设K 是△ABC 的外接圆和DE 的另一交点.易知FG =GK.如K 与B重合,则FB =FG +GB =GK +GB =2GB;如B 与K 不重合,则FB =FG +GB =GK +GB >2GB.综上知FB ≥2GB.故DEF S ≥2ABC S .)。
初三：第14课 四点共圆
第14课 四点共圆一、基本结论与方法：判断四点共圆的方法有：1.到定点等距离的几个点在同一个圆上；2.同斜边的直角三角形的各顶点共圆；3.同底同侧张角相等的三角形的各顶点共圆；4、如果一个四边形的一组对角互补，那么它的四个顶点共圆；5、如果四边形的一个外角等于它的内对角，则它的四个顶点共圆；6、四边形的对角线相交于点P ，且PA•PC=PB•PD,那么四个顶点共圆；7、四边形ABCD 的一组对边AB 、DC 的延长线交于点P ，若PA•PB=PC•PD, 那么四个顶点共圆.托勒密定理：圆内接四边形的对边之积的和，等于对角线之积。
即：如图，四边形ABCD 内接于圆，求证：BD AC BC AD CD AB ⋅=⋅+⋅.DB二、例题与习题例1、如图，ABCD 是等腰梯形，求证：BD 2=AB•CD+BC 2.CD 例2、△ABC 中，∠A:∠B:∠C=1:2:4,:求证：BC AC AB 111=+A D例3、在边长为1的正七边形中，对角线AD=a,BG=b,求证：22)()(ab b a b a =-+.C 例4、两圆相交于A 、B,P 是BA 延长线上一点，PCD 、PEF 分别是两圆的割线，求证：C 、D 、E 、F 四点共圆。
F例5、由圆外定直线上任意点，引圆的两条切线，求证：两切点的连线必经过某定点。
CA例6、点P 是正三角形外接圆的劣弧AB 上一点，连接PC 交AB 于D ，求证：(1)PA+PB=PC;(2)111PA PBPD +=.例7、P为△ABC内一点，D、E、F分别在三角形的边上，已知P、D、C、E四点共圆，P、E、A、F四点共圆，求证：B、D、P、F四点共圆。
例8、设凸四边形ABCD的对角线互相垂直，垂足为E,证明：点E关于AB、BC、CD、DA 的对称点也共圆。
A例9、两个圆彼此相交，从它们的对称中心引出两条射线交圆周于不在同一直线上的四个点，证明：这四个点共圆。
例10、梯形ABCD的两条对角线相交于点K，分别以梯形的两腰围直径作圆，点K位于两圆之外，证明：由K向两圆所作的切线长度相等。
第四讲 四点共圆问题
第四讲 四点共圆问题“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路.判定“四点共圆”的方法，用得最多的是统编教材《几何》二册所介绍的两种（即P 89定理和P 93例3），由这两种基本方法推导出来的其他判别方法也可相机采用.1 “四点共圆”作为证题目的例1．给出锐角△ABC ，以AB 为直径的圆与AB 边的高CC ′及其延长线交于M ，N .以AC 为直径的圆与AC 边的高BB ′及其延长线将于P ，Q .求证：M ，N ，P ，Q 四点共圆. (第19届美国数学奥林匹克)分析：设PQ ，MN 交于K 点，连接AP ，AM .欲证M ，N ，P ，Q 四点共圆，须证即证(MC ′-KC ′)(MC ′+KC ′) 或MC ′2-KC ′2=PB ′2-KB ′2. ①不难证明 AP =AM ，从而有 AB ′2+PB ′2=AC ′2+MC ′2. 故 MC ′2-PB ′2=AB ′2-AC ′2=(AK 2-KB ′2)-(AK 2-KC ′2)=KC ′2-KB ′2. ②由②即得①，命题得证.例2．A 、B 、C 三点共线，O 点在直线外，O 1，O 2，O 3分别为△OAB ，△OBC ，△OCA 的外心.求证：O ，O 1，O 2， O 3四点共圆.(第27届莫斯科数学奥林匹克)分析：作出图中各辅助线.易证O 1O 2垂直平分OB ，O 1O 3垂直平分OA .观察△OBC 及其外接圆，立得∠OO 2O 1=21∠OO 2B =∠OCB .观察△OCA 及其外接圆，立得∠OO 3O 1=21∠OO 3A =∠OCA .由∠OO 2O 1=∠OO 3O 1 O ，O 1，O 2，O 3共圆.A B CK MN P Q B ′C ′A B C O O O O 123？？利用对角互补，也可证明O ，O 1，O 2，O 3四点共圆，请同学自证.2 以“四点共圆”作为解题手段这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面. (1)证角相等例3．在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM ＝∠CBK . 求证：∠DMA ＝∠CKB .（第二届袓冲之杯初中竞赛）分析：易知A ，B ，M ，K 四点共圆.连接KM ，有∠DAB ＝∠CMK .∵∠DAB +∠ADC ＝180°， ∴∠CMK +∠KDC ＝180°.故C ，D ，K ，M 四点共圆⇒∠CMD ＝∠DKC . 但已证∠AMB ＝∠BKA ， ∴∠DMA ＝∠CKB .(2)证线垂直例4．⊙O 过△ABC 顶点A ，C ，且与AB ，BC 交于K ，N (K 与N 不同).△ABC外接圆和△BKN 外接圆相交于B 和 M .求证：∠BMO =90°. (第26届IMO 第五题)分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步.其实，只要把握已知条件和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的.连接OC ，OK ，MC ，MK ，延长BM 到G .易得∠GMC =∠BMK =180°-∠CMK ，∴∠COK +∠CMK =180°⇒C ，O ，K ，M 四点共圆. 在这个圆中，由OC =OK ⇒ =OK ⇒∠OMC =∠OMK . 但∠GMC =∠BMK ， 故∠BMO =90°. (3)判断图形形状例5．四边形ABCD 内接于圆，△BCD ，△ACD ，△ABD ，△ABC的内心依次记为I A ，I B ，I C ，I D .A B C DK M··A BO K N CMG试证：I A I B I C I D 是矩形.(第一届数学奥林匹克国家集训选拔试题)分析：连接AI C ，AI D ，BI C ，BI D 和DI B .易得∠AI C B =90°+21∠ADB =90°+21∠ACB =∠AI D B A ，B ，I D ，I C 四点共圆.同理，A ，D ，I B ，I C 四点共圆.此时 ∠AI C I D =180°-∠ABI D =180°-21∠ABC ，∠AI C I B =180°-∠ADI B =180°-21∠ADC ，∴∠AI C I D +∠AI C I B=360°-21(∠ABC +∠ADC )=360°-21×180°=270°.故∠I B I C I D =90°.同样可证I A I B I C I D 其它三个内角皆为90°.该四边形必为矩形. (4)计算例6．正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989㎝2.P 为正方形内一点，且∠OPB =45°，P A :PB =5:14.则PB =__________ (1989，全国初中联赛)连接OA ，OB .易知O ，P ，A ，B 四点共圆，有∠APB =∠AOB =90°. 故P A 2+PB 2=AB 2=1989.由于P A :PB =5:14，可求PB .(5)其他例7．设有边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积(须证明你的论断). (1978，全国高中联赛)分析：设△EFG 为正方形ABCD 的一个内接正三角形，由于正三角形的三个顶点至少必落在正方形的三条边上，所以不妨令F ，G 两点在正方形的一组对边上.A BCD I C I DA I IB ··P O A BC D作正△EFG 的高EK ，易知E ，K ，G ，D 四点共圆⇒∠KDE =∠KGE =60°.同理，∠KAE =60°.故△KAD 也是一个正 三角形，K 必为一个定点.例8．NS 是⊙O 的直径，弦AB 丄NS 于M ，P 为ANB 上异于N的任一点，PS 交AB 于R ，PM 的延长线交⊙O 于Q .求证：RS ＞MQ .(1991，江苏省初中竞赛)分析：连接NP ，NQ ，NR ，NR 的延长线交⊙O 于Q ′.连接MQ ′，SQ ′.易证N ，M ，R ，P 四点共圆，从而，∠SNQ ′=∠MNR =∠MPR =∠SPQ =∠SNQ .根据圆的轴对称性质可知Q 与Q ′关于NS 成轴对称⇒MQ ′=MQ .又易证M ，S ，Q ′，R 四点共圆，且RS 是这个圆的直径(∠RMS =90°)，MQ ′是一条弦(∠MSQ ′＜90°)，故RS ＞MQ ′.但MQ =MQ ′，所以，RS ＞MQ .练习题1.⊙O 1交⊙O 2 于A ，B 两点，射线O 1A 交⊙O 2 于C 点，射线O 2A 交⊙O 1 于D 点.求证：点A 是△BCD 的内心.(提示：设法证明C ，D ，O 1，B 四点共圆，再证C ，D ，B ，O 2 四点共圆，从而知C ，D ，O 1，B ，O 2五点共圆.)2.△ABC 为不等边三角形.∠A 及其外角平分线分别交对边中垂线于A 1，A 2；同样得到B 1，B 2，C 1，C 2.求证：A 1A 2=B 1B 2=C 1C 2. (提示：设法证∠ABA 1与∠ACA 1互补造成A ，B ，A 1，C 四点共圆；再证A ，A 2，B ，C 四点共圆，从而知A 1，A 2都是△ABC 的外接圆上，并注意∠A 1AA 2=90°.)3.设点M 在正三角形三条高线上的射影分别是M 1，M 2，M 3(互不重合).求证：△M 1M 2M 3也是正三角形.4.在Rt △ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，P 是AB 上的点，过A 点作PC 的垂线交过B 所作AB 的垂线于Q 点.求证：PD 丄QD . (提示：证B ，Q ，E ，P 和B ，D ，E ，P 分别共圆)5.AD ，BE ，CF 是锐角△ABC 的三条高.从A 引EF 的垂线l 1，从B 引FD 的垂线l 2，从C 引DE 的垂线l 3.求证：l 1，l 2，l 3三线共A BC DEF KG ······点.(提示：过B作AB的垂线交l1于K，证：A，B，K，C四点共圆)。
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圆内接四边形与四点共圆
思路一：用圆的定义：到某定点的距离相等的所有点共圆。
→若连在四边形的三边的中垂线相交于一点，那么这个四边形的四个顶点共圆。
（这三边的中垂线的交点就是圆心）。
产生原因：圆的定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合。
基本模型：
AO=BO=CO=DO ⇔ A、B、C、D四点共圆（O为圆心）
思路二：从被证共圆的四点中选出三点作一个圆，然后证另一个点也在这个圆上，即可证明这四点共圆。
→要证多点共圆，一般也可以根据题目条件先证四点共圆，再证其他点也在这个圆上。
思路三：运用有关性质和定理：
①对角互补，四点共圆：对角互补的四边形的四个顶点共圆。
产生原因：圆内接四边形的对角互补。
基本模型：
∠
=
+
B）⇔ A、B、C、D四点共圆
180
∠D
=
180
∠
+
∠D
A（或0
②张角相等，四点共圆：线段同侧两点与这条线段两个端点连线的夹角相等，则这两个点和线段的两个端点共四个点共圆。
产生原因：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等。
方法指导：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角（即：张角）相等(同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆。
∠⇔ A、B、C、D四点共圆
=
CAB∠
CDB
③同斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆，其斜边为圆的直径。
产生原因：直径所对的圆周角是直角。
=
C⇔ A、B、C、D四点共圆
∠D
∠
=
90
④外角等于内对角，四点共圆：有一个外角等于其内对角的四边形的四个顶点共圆。
产生原因：圆内接四边形的外角等于内对角。
基本模型：
∠⇔ A、B、C、D四点共圆
=
ECD∠
B
1.如图，已知ABC ∆的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，0
60B ∠=，F 在AC 上，且AE AF =。
证明：B,D,H,E 四点共圆：
证明：CE 平分DEF ∠。
2．如图，AC ⊥BC ，CE ⊥AB ，CF ⊥AD.求证：∠AFE=∠B.
3.已知在凸五边形ABCDE 中，3BAE BC CD DE α∠===，，且1802BCD CDE α∠=∠=︒-，求证：BAC CAD DAE ∠=∠=∠． E D C B A E
D C B A
4、如图，点C为线段AB上任意一点(不与点A、B重合)，分别以AC、BC为一腰在AB 的同侧作等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角，且∠ACD ＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP。
(1)求证：△ACE≌△DCB；
(2)请你判断△ACM与△DPM的形状有何关系并说明理由；
(3)求证：∠APC＝∠BPC。