差错控制编码

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8.1.1 差错控制方式
信源 编码器
正向 信道
译码器 用户
前向纠错 （FEC）
信源 编码器
缓冲与 控制
正向 信道
译码器
缓冲与 用户 控制
检错重发
（ARQ)
反向 信道
信源 ARQ
正向
FEC
信道
FEC
反向 信道
ARQ 用户
混合纠错 （HEC）
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前向纠错方式
前向纠错方式记作FEC（Forword Error Correction）
发端编码器将数字信息按一定规则附加多余码元，组成有纠错能力的码， 发端发送能够纠正错误的码；收端译码器按预先规定的规则译码；若发 现错误，确定其出错位置并进行纠正。
优点： 单向传输，只有正向信道；适合于只能提供单向信道的场合；一点
.
.
.
.. amn-1 amn-2
a21 a20
..
.
.
am1 am0
0111100001 1 1001110000 0 1010101010 1
cn-1 cn-2 ... c1 c0
1100011110 0
(6,11)行列监督码
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二维奇偶监督码
011 B
101 C
110 D
发生一位错误，准用码字将变成禁用码字，接收端就能知道
出错，但是不能纠错。
如果进一步将许用码组限制为两种
000 A 111 B
Tuesday, September 10, －检错和纠错能力是用信息量的冗余度来换取的。
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检错和纠错的基本原理
检错和纠错能力是用信息量的冗余度换取的— —与码组之间的差别有关；不同的编码方法和 形式，检错和纠错能力不同。
适用于检测随机的零星错码——加性白噪声造 成的
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8.1.3 几种简单的检错码(2)
二维奇偶监督码 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0
a1n-1 a1n-2 ... a11 a10
0100001101 0
a2n-1 a2n-2 ...
...
定义两个等长码组之间相应位取值不同的数目为这两个码组的汉明 (Hamming)距离， 简称码距。例如 11000 与 10011之间的距离 d=3。
码组集中任意两个码字之间距离的最小值称为码的最小距离，用
dmin表示。最小码距是码的一个重要参数， 它是衡量码检错、纠错能
力的依据。
z
(0,0,1)
(0,1,1)
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8.1.3 几种简单的检错码(1)
奇偶监督码
设码字A=［an-1,an-2,…,a1,a0］，对偶监督码有： an-1⊕ an-2⊕ …⊕ a1⊕ a0 = 0
奇监督码情况相似， 只是码组中“1”的数目为奇数， 即 满足条件：
an-1⊕ an-2⊕ …⊕ a1⊕ a0 = 1
dmin≥2t+1;
(3) 纠正t个同时检测e(≥t)个随机错误，则要求码的
最小距离dmin≥t+e+1。
A e
B 1t
编码效率
用差错控制编码提高通信系统的可靠性， 是以降低有 效性为代价换来的。我们定义编码效率R来衡量有效性:
Rc=k/n
其中, k是信息元的个数，n为码长。
对纠错码的基本要求是: 检错和纠错能力尽量强； 编 码效率尽量高；编码规律尽量简单。实际中要根据具体指标 要求，保证有一定纠、检错能力和编码效率，并且易于实现。
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码的最小距离直接关系着码的检错和纠错能力；任一
(n,k)分组码，若要在码字内:
(1) 检 测 e 个 随 机 错 误 ， 则 要 求 码 的 最 小 距 离
dmin源自文库e+1;
(2) 纠 正 t 个 随 机 错 误 ， 则 要 求 码 的 最 小 距 离
根据信息元和监督元的函数关系，可分为线性码和非 线性码。如果函数关系是线性的，即满足一组线性方 程式，则称为线性码，否则为非线性码。
根据上述关系涉及的范围，可分为分组码和卷积码。 分组码的各码元仅与本组的信息元有关；卷积码中的 码元不仅与本组的信息元有关，而且还与前面若干组 的信息元有关。
根据码的用途，可分为检错码和纠错码。检错码以检 错为目的，不一定能纠错；而纠错码以纠错为目的， 一定能检错。
只需要少量的多余码元就能获得极低的输出误码率，并且其成本和 复杂性均比前向纠错低缺点。
缺点： 必须提供反向信道；不能进行同播（一点发多点收），收发端应有
缓冲存储器和控制器；此外当信道干扰较大时，整个系统可能处在重传 循环中，因而通信效率降低，信息传输连贯性差，不适于实时传输系统， 主要在计算机通信中应用。
这种方式具有自动纠错和检错重发的优点，可达到较 低的误码率，因此，近年来得到广泛应用。
在实际通信系统中，选择那种差错控制方式，要视具 体情况而定，可以根据信源的性质，信息传输的特点 信道干扰的种类和对误码率的要求而适当选择差错控 制方式。
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8.1.2 差错控制编码的分类
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8.2 线性分组码
线性分组码的构成
将信息序列划分为等长(k位)的序列段 共有2k个不同的序列段，在每一信息 段之后，附加m位监督元，构成长度 n = k + m的分组码(n ，k)
监督元与信息码元为线性关系
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特点：简单；除了1错为0与0错为1成对出现（对换 性）差错不能检测外，其它任何奇数个或偶数 个错码都可以被检测出来。
只适用于传输种类较少且有固定代码的字符，而不适 用于表示由信源来的二进制随机，数字序列。
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8.1.3 几种简单的检错码(4)
ISBN国际统一图书编号 例 ISBN 0－471－02977－7 0 471029777 0 4 11 12 12 14 23 30 37 44 0 4 15 27 39 53 76 106 143 187
第八章
差错控制编码
8.1 差错控制编码的基本概念
数字通信中，根据不同的目的，编码可分为信源编码和 信道编码。 信源编码是为了提高数字通信的有效性，以及为了使模 拟信号数字化而采取的编码。 信道编码是为了降低误码率，提高数字通信的可靠性而 采取的编码。 数字信号在传输的过程中，加性噪声、码间串扰等都会 产生误码。为了提高系统的抗干扰性能，可以加大发射 功率，降低接收设备本身的噪声，以及合理选择调制、 解调方法等。此外，还可以采用信道编码技术。
(1,0,1)
(1,1,1)
(0,0,0)
(0,1,0) y
x
(1,0,0)
(1,1,0)
码距的几何解释
最小码距与检错纠错能力的关系
码组内的距离反映了码组之间的差别， 最小距离越大，说明两个码组间的最小 差别越大，或者说其中一个码组错为另 一个码组的可能性就越小，那么其检错 和纠错能力也就越强，因此可以说最小 码距是衡量一种纠错编码的检错，纠错 能力大小的标准。
187(mod 11)=0
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8.1.4 检错和纠错的基本原理
如用三位二进制编码来代表八个字母
000 A
100 E
001 B 101 F
010 C 110 G
011 D 111 H
不管哪一位发生错误，都会使传输字母错误
如用三位字母传四个字母
000 A
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例
信息元长度k = 3共有2k = 8个不同的信息组 每组信息组加4个监督元，构成一个长度为7 的(7，3)线性分组码。
常用的检错重发系统有三种，即停发等候重发、返回重发和选择重发。
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TD TW
发
1
2
2
3
4
4
4
t ACK NAK ACK ACK NAK NAK
收1
2*
2
3
4*
4*
4
停发等候重发
发 12345623456784567845 t
收
1 2* 3 4 5 6 2 3 4* 5 6 7 8 4* 5 6 7 8
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8.1.3 几种简单的检错码(3)
重复码
在每位信息码元之后，用简单重复多次的方法编码。 例：重复两次时，用111传输1码，用000传输0码
编码方法：每位信息码元简单重复多次； 收端 译码采用多数表决法；
例：重复2次 特点：纠正1个错，检出2个错
例：
n = 3，共有8种组合，都用于传输消息， 在传输过程中若发生一个误码，则一种码组就 会错误地变成另一种码组，但接收端却不能发 现错误，因为任何一个码组都是许用码组。
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在差错控制编码中，定义码组中非零码元的数目为码字的汉明
(Hamming)重量， 简称码重。例如，码字 10110，码重w=3。
编码方法：把码元排成方阵，按行列进行奇偶校验 ——分别附加一位监督码元
特点：不仅可检测每行（每列）中奇数个错误，而且 可通过水平监督和垂直监督来确定错码的位置 纠正仅一行（一列）出现的奇数个错误
通过水平监督和垂直监督的关系可以发现单行中出现 的偶数个错误；但不能发现构成矩形的4个错误码元
适用于突发差错——由突发干扰（突发脉冲，如： 闪电，电火花等）在短时间内错码成串出现，在某 一行中出现多个错码
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差错控制编码的基本思想：
在发送端根据要传输的数字序列（信息码元） 按一定的规律加入多余码元，使原来不相关的 数字序列变为相关，然后把这些多余码元和有 关的信息码元一起传送，接收端根据信息码元 与多余码元之间的相关规则进行检验，从而发 现错误。这时，或者通过反馈信道要求对方重 发有错的信息，以进行纠错；或者由接收端的 译码器自动把错误纠正。 这些多余码元称为校验元或监督元。它的加入 不改变信息本身，也就是说，它不传送新的信 息，它的作用只是使信道译码器能够检测和纠 正差错，从而控制系统差错概率，提高可靠性 但这是以系统的有效性为代价的。
而检错能力与偶监督码相同。
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奇偶监督码
编码方法：把信息码元分组，在每组信息码元 的后面附加一位监督码元，使得 码组中1的数目为奇数或偶数即可
编码规则：码组长度n；信息位n-1
特点：是一种能发现奇数个差错的分组码；n 较大，即编码码组较长时，编码效率 接近于1;（n-1）/n —— 信息码元比 码组码元
返回重发
t
发
123
4
5
6
2
7 8 9 8 10 11 12
13
14
15
16
17
18
t
收
1 3 4 5 6 2 7 9 8 2*
8*
10 11 12
13
14
*
15
16
选择重发
混合纠错方式
混合纠错方式记作HEC（Hybrid Error Correction）
发端发送具有自动纠错同时又具有检错能力的码。收 端收到码后，检查差错情况，如果错误在码的纠错能 力范围以内，则自动纠错，如果超过了码的纠错能力 但能检测出来，则经过反馈信道请求发端重发。
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8.1.3 几种简单的检错码(4)
恒比码
码字中 1 的数目与 0 的数目保持恒 定比例的码称为恒比码。 这种码在检测时，只要计算接收码 元中 1 的数目是否正确，
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恒比码
例：5中取3恒比码——用于电报电码 每个码组长度为5，共有25=32种不同的码组， 其中有3个1的码组为可用码组，共有10种—— 表示10个阿拉伯数字，用它拼成汉字（每4阿拉 伯数字组成1个汉字电码）；其余的22个为禁用 码组。
发送多点接收的同播方式；译码延迟固定，适用于实时传输系统。
缺点： 编译码设备复杂，为了纠正较多的错误，需要附加的多余码元较多，
因而传输效率较低。
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检错重发方式
又称自动请求重传方式，记作ARQ（Automatic Repeat Request）。
发端编码器将数字信息按一定规则附加多余码元，使之具有一定的检错 能力，收端译码器按一定规则对数据码元组进行错误判决，并把判决结 果形成应答信号，通过反馈信道回送到发端，发端根据收到的应答信号， 把收端认为有错的那组数据码元再次重传，直到码元组无错为止。 优点：