通过利用向量的数量积方法推导余弦定理
新课改背景下“余弦定理”课堂教学设计及其分析
１ 前 言
知 识 、 标 法 等 方 面 进 行分 析 讨 论 ， 坐 选择 简 １ ＇ 设计思想 ． 洁 的处 理 工 具 ， 引发 学 生 的积 极 讨 论 。 新 课 程 数 学 教 学 理 念 提 倡 学 生 动 手 实 （） ２学情分 析与设计 意 图 引导 学 生从 相 关 知识 入 手 ， 择 简 洁 的 选 践， 自主探索 ， 合作交流 ， 深刻地理解 基本结论 的本质 ， 数学 发现和 创造的历程 ， 体验 力求对现 工具 。 ２． 合 作 探 究 ４ 实世界蕴 涵的一些数学模 式进行思考 ， 出判 作 （） １合作 探究活动 断； 同时要求教 师从知识 的传 授者 向课 堂的设 利 用 向量 法推 导 余 弦定 理 ： 计者、 织者 、 组 引导者 、 合作者转化 ， 从课堂的执 如图 ： 设 ： ： ：． ； 行者 向实施 者 、 究开发者转 化。 探 １２ 教学 目标 ． 《 准 》 本 节 课 的教 学要 求 ： １ 通 过 标 对 （） 对任意三角形边 长和角度 关系的探索 ， 掌握 正 弦定理 、 余弦定理 ， 并能解决一些简单 的三角形 度量问题 。 ） （ 能够运 用正弦 定理 、 弦定理 等 ２ 余 ｅ 知识和 方法解 决一 些与测 量和 几何 计算有 关 的实际 问题 。 １ ３ 教学重点 与难点 ． 教学 重 点是 余弦定 理 的发现 过程 及定 理 由三角 形法则有 ｃ＝ ａ—ｂ
＝
即： Ｂ 中 ： ：ａ 十６ 一２ ｂ Ｏ Ｃ △Ａ Ｃ ｃ 。 。 ａ ＣＳ
８ ８ｍ． ７． ｃ ｃ—
么？） ２三角形的正弦定理 内容
主要解决哪 几类问题 的三角形 ？
。
，
（） 作 探 究 活 动 １合 固向量 知识 ， 明确 向量 工具的作用 。 同时 ， 让学 生 明确数 学中的化归转化 思想和方程 的思想 。 例３： 已知 △ ＡＢｃ中 ， ＝３， ＝、 ， ａ ｂ 压 形 ． 以 ２ ３ ４ 各 边长 的 三 角形 是一 三 角形 ２５ 归纳概括 ， ，为 ｓｎ ， 边 长 ？ ｉ Ａ＝ 求ｃ （） １合作探 究活动 以４ ５ ６ 各 边长 的 三 角形 是 三 角形 ， ，为 ｊ 余弦 定理 ： ｂｃ ｓ ｄ一６＋ｃ一２ ｃ ｏＡ ２ 在 △ ＡＢＣ中 ａ＝ ８， ） ｂ＝ ５ Ｃ ＝６ ， ， ０。 分析 ： 用正 弦定 理口＝６＋ｃ一２ ｃ ｏ Ａ分 ｂｃ ｓ ｂ ＝ａ２ ２ ２ ＋ｃ －２ａ ｃ Ｂ ｃ ｏｓ 你 能求 出边 长Ｃ ？ 吗 析 引导 Ｃ ＝ａ ＋６ —２ ｃ ｓ ２ ２ 口６ Ｏ Ｃ 引导学 生 从 平 面几 何 、 践 作 图 方面 进 实 应用 余 弦定理 构 造关 于Ｃ的方程 求解 。 三角形 中任 何一 边 的平方 等于 其他 两边 行估计判断 比 较 两种 方 法 的利 弊 。 些 问题 虽然 能 有 的 平方和减 去这两 边 与它 们夹 角的余 弦的积 用正 弦定理解决 但用余弦定理解 决 ， （） ２学情 分析 与设计 意 图 更具有优 提 出的 问题 与新 旧联 系知 识 紧 密 ， 学 的 两 倍 。 但 越性 ， 思考哪一类 问题更适合用余弦定理 解决 。 （） ２ 学情分析 与设计 意 图 生 可能 比较茫然 ， 助学生分析相关 内容 ， 角 帮 多 （） ２学情 分析 与设计意 图 知 识 归 纳 比较 ， 结 特征 ， 强 识 记 总 加 度分析问题 ， 通过作 图进行检 验。 继 续深 化 正 余 弦定 理 ， 其是 用 余 弦定 尤 ２ ６ 结构分析 ． ２ ３ 提出问题 ． 理 的方程思想 求解问题优越于正 弦定理 。 并让 （ ） 作 探究 活 动 。 察 余 弦 定理 ， 明 １合 观 指 学生初 步发现 “ 、 、 问题解 法 ， （） １合作 探究 活动 边 边 角” 为下节学 了三边长与 其 中一 角的具 体关 系 ， 并发现 ａ 与 习辅 垫 （ 然 是 例 题 ， 是 教 师先 不 讲 解 ， 有 更好 的 量 化方 法 吗 ？ 虽 但 ｂ ｃ 之 同 帮 助 学 生 从 平 面 几 何 、 角 函数 、 量 Ａ， 与 Ｂ， 与 Ｃ 间的 对 应 表 述 ， 时 发 现 三 向 （ 下接 １ １ ３ 页）
正、余弦定理及应用举例
02
余弦定理
定义与性质
定义
余弦定理是三角形中的重要定理，它 描述了三角形三边与其对应角的余弦 值之间的关系。
性质
余弦定理具有对称性，即交换任意两 边及其对应的角，定理仍然成立。此 外，余弦定理还可以用来判断三角形 的形状。
证明方法
证明方法一
利用向量的数量积和向量模长的性质来 证明余弦定理。
VS
定理应用举例
总结词
正弦定理在解决三角形问题中具有广泛的应用，例如求三角形边长、角度等。
详细描述
利用正弦定理，我们可以解决许多三角形问题，例如求三角形的边长、角度等。例如，已知三角形的 两边及其夹角，我们可以利用正弦定理求出第三边的长度。此外，正弦定理还可以用于判断三角形的 解的个数和类型，以及解决一些几何作图问题。
正、余弦定理及应用 举例
目录
• 正弦定理 • 余弦定理 • 正、余弦定理的综合应用 • 正、余弦定理的扩展与推广 • 正、余弦定理在数学竞赛中的应用
01
正弦定理
定义与性质
总结词
正弦定理是三角形中一个基本的定理 ，它描述了三角形边长和对应角的正 弦值之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意 一边与其对应的角的正弦值的比等于 三角形外接圆的直径，也等于其他两 边与它们的对应角的正弦值的比。
证明方法二
通过作高线，将三角形转化为直角三角形 ，再利用勾股定理来证明余弦定理。
定理应用举例
应用一
已知三角形的两边及其夹角，求第三边。
应用二
判断三角形的形状。例如，如果一个三角形中存在两个角相等，则 这个三角形是等腰三角形。
应用三
解决一些实际问题，如测量、工程设计等。例如，在测量中，可以 利用余弦定理来计算两点之间的距离。
余弦定理的证明
∴BC2＝b2cos2A－2bccos A＋c2＋b2sin2A，
即 a2＝b2＋c2－2bccos A.
同理可证：b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.
1．余弦定理 三角形中任何一边的平方 等于其他两边的平方 的和减去这 两边与它们的夹角 的余弦的积的两倍 ．即 a2＝ b2＋c2－
→＝a，CA →＝b，→ 如图所示，设CB AB＝c， →－CA →知 c＝a－b.根据 由→ AB＝CB
这一关系，试用向量的数量积 证明余弦定理．
证明 |c|2＝c· c＝(a－b)· (a－b)＝a· a＋b· b－2a· b ＝a2＋b2－2|a||b|cos C.
所以 c2＝a2＋b2－2abcos C.
(2)若 c2＝a2＋b2－ab，则 C＝
；
(3)若 c2＝a2＋b2＋ 2ab，则 C＝
.
小结
利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：
(1)已知两边和夹角，解三角形． (2)已知三边求三角形的任意一角．
2 2 _________ . 2bccos A ，b ＝ c2＋a2－2cacos B ，c ＝ a2＋b2－2abcos C
2．余弦定理的推论
ห้องสมุดไป่ตู้c2＋a2－b2 b2＋c2－a2 2ca 2bc cos A＝ ；cos B＝ ； a2＋b2－c2 cos C＝ . 2ab
在△ABC 中， (1)若 a2＋b2－c2＝0，则 C＝ ；
同理可以证明：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos B.
b c a
如图，以 A 为原点，边 AB 所在直 线为 x 轴建立直角坐标系，则 A(0,0)， B(c,0)，C(bcos A，bsin A)，试根据 两点间的距离公式证明余弦定理．
余弦定理的八种证明方法
余弦定理的八种证明方法1. 平面解析几何证明：设平面内三角形ABC，其中$\\overrightarrow{AB}=\\mathbf{a}$，$\\overrightarrow{BC}=\\mathbf{b}$，$\\overrightarrow{CA}=\\mathbf{c}$，则有以下关系：$$\\begin{cases}\\|\\mathbf{a}+\\mathbf{b}\\|^2=(\\mathbf{a}+\\mathbf{b})\\cd ot (\\mathbf{a}+\\mathbf{b})\\\\ \\|\\mathbf{a}-\\mathbf{b}\\|^2=(\\mathbf{a}-\\mathbf{b})\\cdot (\\mathbf{a}-\\mathbf{b})\\\\\\|\\mathbf{c}\\|^2=\\mathbf{c}\\cdot \\mathbf{c}\\end{cases}$$将这三个式子展开并简化运算，再利用向量的数量积展开，得到余弦定理的表达式。
2. 向量证明：设向量$\\mathbf{a}$和$\\mathbf{b}$的夹角为$\\theta$，则有向量$\\mathbf{a}-\\mathbf{b}$的模长为$\\|\\mathbf{a}-\\mathbf{b}\\|=\\sqrt{\\|\\mathbf{a}\\|^2+\\|\\mathbf{b}\\|^2-2\\|\\mathbf{a}\\|\\|\\mathbf{b}\\|\\cos\\theta}$，再利用向量的数量积展开，即可得到余弦定理的表达式。
3. 平面三角形面积证明：设平面内三角形ABC，其三边长度分别为$a$，$b$，$c$，其对应的高分别为$h_a$，$h_b$，$h_c$，则有以下关系：$$\\begin{cases}S=\\frac{1}{2}bh_a\\\\ S=\\frac{a\\sin C}{2}=\\frac{b\\sinA}{2}=\\frac{c\\sin B}{2}\\end{cases}$$将这两个式子联立并消去$S$，再利用正弦定理展开，得到余弦定理的表达式。
平面向量的夹角及其余弦定理
平面向量的夹角及其余弦定理在平面几何学中，平面向量是研究对象之一。
本文将重点关注平面向量的夹角以及与之相关的余弦定理。
1. 夹角的概念夹角是指由两个向量构成的角度。
两个向量的夹角可以通过向量的数量积来计算。
设两个向量A和B，在二维平面上，它们的夹角θ定义如下：cosθ = (A·B) / (|A|·|B|)其中，·表示向量的数量积，|A|和|B|分别表示向量A和B的模长。
这个公式利用了余弦函数的性质，可以通过向量的数量积直接计算夹角的余弦值。
2. 余弦定理余弦定理是三角学中的重要定理，它也可以在平面几何中应用到向量上。
对于平面向量A和B，以及它们的夹角θ，余弦定理可表达为：|A - B|^2 = |A|^2 + |B|^2 - 2|A||B|cosθ其中，|A - B|表示向量A和B之间的距离（模长），|A - B|^2表示其平方。
这个定理的表达式与传统的三角形的余弦定理非常类似，只是将边长的概念替换成了向量的模长。
3. 应用举例现在我们通过一个具体的例子来说明夹角以及余弦定理的应用。
假设有两个向量A = (3, 4)和B = (1, 2)，我们想要计算它们的夹角θ。
首先，我们需要计算向量A和B的数量积，即A·B = 3*1 + 4*2 = 11。
接下来，我们计算向量A和B的模长，即|A| = √(3^2 + 4^2) = 5，|B| = √(1^2 + 2^2) = √5。
带入夹角公式，我们可以得到cosθ = 11 / (5 * √5) = 11 / (5√5)。
因此，我们可以求得夹角θ的余弦值，进而计算出夹角的具体数值。
同时，我们也可以应用余弦定理来计算向量A和B之间的距离。
根据余弦定理的表达式，我们有：|A - B|^2 = |A|^2 + |B|^2 - 2|A||B|cosθ= 3^2 + 4^2 + 1^2 + 2^2 - 2*5*√5*cosθ= 10 - 22cosθ因此，我们可以通过上述公式计算出向量A和B之间的距离。
余弦定理(第一课时)
余弦定理（第一课时）-----杨金凤一、教学内容分析本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·必修（五）》（苏教版）第一章《解三角形》中《余弦定理》（第一课时）,其主要任务是利用向量的数量积方法推导余弦定理,正确理解其结构特征和表现形式.余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律,是初中勾股定理内容的直接延拓,是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的交汇运用,是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具,因此具有广泛的应用价值.二、学情分析学生已经学习了正弦定理有关内容,初步掌握了正弦定理的证明及应用,并明确了用正弦定理可以来解哪些类型的三角形.在对余弦定理教学时,考虑到它比正弦定理形式上更加复杂,教师可以有目的的提供一些供研究的素材,并作必要的启发和引导,让学生通过类比、联想、质疑、探究等步骤,辅以小组合作学习,建立猜想获得命题,再想方设法去证明.三、设计思路本课按新课程要求,利用师生互动合作,提高学生的数学思维能力,使学生成为知识的“发现者”和“创造者”,把学生现有的知识经验作为新知识的生长点,引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验,激发学生探究数学、应用数学知识的潜能.四、教学目标掌握余弦定理的内容及证明余弦定理的向量方法,会用余弦定理解决基本的解三角形问题.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识的联系,来理解事物间的普遍联系及辩证统一.五、教学重点与难点教学重点是探究和证明余弦定理的过程;教学难点是用向量的数量积推导余弦定理的思路过程.六、教学方法：复习回顾法、设疑导入法、启发法、互动探究、练习法、演示法教学过程：七、教学反思本节课是从特殊到一般,采用问题串的形式引导学生进行探究活动,这符合学生的认知结构.让学生自己发现余弦定理,鼓励学生独立思考,积极发表自己的见解.本课紧紧围绕余弦定理课题,对教学内容做了一些整合和补充,运用联系的观点,将旧知与新知进行重组拟合及提高,让学生从不同角度去认识余弦定理,有利于学生思维的扩展,充分认识到数学知识的发生、发展过程以及探究问题的方法．。
(完整版)《余弦定理》教案完美版
《余弦定理》教案(一）教学目标1．知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3．情态与价值:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系,来理解事物之间的普遍联系与辩证统一.（二）教学重、难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；难点:勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用.(三）学法与教学用具学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。
从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角教学用具:直尺、投影仪、计算器(四）教学设想［创设情景］ C 如图1．1—4，在∆ABC 中,设BC=a ，AC=b,AB=c ，已知a,b 和∠C ，求边c b aA c B（图1．1-4）[探索研究］联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求,发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。
由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题. A如图1．1-5,设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c()()222 2 2c c c a b a ba ab b a b a b a b =⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C a B从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1—5）同理可证 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
高中数学余弦定理教案(优秀5篇)
高中数学余弦定理教案（优秀5篇）高中数学余弦定理教案篇一一、说教材(一)教材地位与作用《余弦定理》是必修5第一章《解三角形》的第一节内容，前面已经学习了正弦定理以及必修4中的任意角、诱导公式以及恒等变换，为后面学习三角函数奠定了基础，因此本节课有承上启下的作用。
本节课是解决有关斜三角形问题以及应用问题的一个重要定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，实现了边与角的互化，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量提供了理论依据，同时也为判断三角形形状，证明三角形中的有关等式提供了重要依据。
(二)教学目标根据上述教材内容分析以及新课程标准，考虑到学生已有的认知结构，心理特征及原有知识水平，我将本课的教学目标定为：⒈知识与技能：掌握余弦定理的内容及公式；能初步运用余弦定理解决一些斜三角形⒈过程与方法：在探究学习的过程中，认识到余弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题，帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力。
⒈情感、态度与价值观：培养学生的探索精神和创新意识；在运用余弦定理的过程中，让学生逐步养成实事求是，扎实严谨的科学态度，学习用数学的思维方式解决问题，认识世界；通过本节的运用实践，体会数学的科学价值，应用价值；(三)本节课的重难点教学重点是：运用余弦定理探求任意三角形的边角关系，解决与之有关的计算问题，运用余弦定理解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题。
教学难点是：灵活运用余弦定理解决相关的实际问题。
教学关键是：熟练掌握并灵活应用余弦定理解决相关的实际问题。
下面为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：二、说学情从知识层面上看，高中学生通过前一节课的学习已经掌握了余弦定理及其推导过程；从能力层面上看，学生初步掌握运用余弦定理解决一些简单的斜三角形问题的技能；从情感层面上看，学生对教学新内容的学习有相当的兴趣和积极性，但在探究问题的能力以及合作交流等方面的发展不够均衡。
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通过利用向量的数量积方法推导余弦定理
通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能。
本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。
在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。
总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。
新课程的数学提倡学生动手实践，自主探索，合作交流，深刻地理解基本结论的本质，体验数学发现和创造的历程，力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思考，作出判断；同时要求教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化，从课堂的执行者向实施者、探究开发者转化。
本课尽力追求新课程要求，利用师生的互动合作，提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新意识，深刻地体会数学思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。
继续探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余弦定理的两种表现形式，体会向量方法推导余弦定理的思想；通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题；深化与细化方程思想，理解余弦定理的本质。
通过相关教学知识的联系性，理解事物间的普遍联系性。
教学重点是余弦定理的发现过程及定理的应用；教学难点是用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。