最短路线
最短路线1
例题【一C→F→G→B、 A→E→F→G→B、A→C→F→I→B、 A→E→F→I→B、A→E→H→I→B、
例题【一】（★ ★ ）
一只蚂蚁在长方形格纸上的A点，它想去B点玩，但是不知 走哪条路最近。小朋友们，你能给它找到几条这样的最短 路线呢？
方法二：标数法
只能从小号码的蜂房爬进相邻 的大号码的蜂房！ 蜜蜂的运动方向是固定的，所 以依然可以采取标数法。
例题【四】（★ ★ ★ ★ ★ ）
一只密蜂从A处出发，A回到家里B处，每次只能从一个蜂房 爬向右侧 邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？
小蜜蜂从A出发到B处共有89种不同的回家方法!
例题【五】（★ ★ ★ ★ ★ ）
最短路线
最短路线问题就是确定从某处到 另一处最短路线的条数。
标数法：
用来解决最短路线问题的方法，在给 出的图形中的每一个结点标出到达该 点的方法数，最后利用相加原则求出 到达目的地方法数。
例题【一】（★ ★ ）
一只蚂蚁在长方形格纸上的A点，它想去B点玩，但 是不知走哪条路最近。小朋友们，你能给它找到几 条这样的最短路线呢？
目标：右、下 方向：左、上
箭头很重要，一定逐一标； 步骤要严谨，不能跳着做。
例题【三】（★ ★ ★ ★ ）
图中的“我爱史老师”有多少种不同的读法。
标数法
例题【三】（★ ★ ★ ★ ）
起点是“我” 每个字看做“点”（车站） 共有1+4+6+4+1=16（种）
例题【四】（★ ★ ★ ★ ★ ）
一只密蜂从A处出发，A回到家里B处，每次只能从一个蜂房 爬向右侧 邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？
目标：右、下 方向：左、上
最短路线算法
最短路线算法在日常生活中，我们经常需要找到最短的路径，比如从家到公司、从学校到图书馆等等。
而解决这个问题的一种常见的方法就是使用最短路线算法。
最短路线算法是一种计算两个节点之间最短路径的方法，它可以帮助我们在众多可能的路径中找到最短的一条。
最短路线算法有多种不同的实现方式，其中最著名的算法之一就是Dijkstra算法。
Dijkstra算法是一种贪心算法，它的基本思想是从起点开始，逐步扩展最短路径的范围，直到找到终点为止。
Dijkstra算法的具体步骤如下：1. 创建一个集合S，用于存放已经找到最短路径的节点；2. 初始化起点的最短路径为0，其他节点的最短路径为无穷大；3. 从起点开始，选择当前最短路径的节点，并将其加入集合S；4. 更新该节点的相邻节点的最短路径值，如果新的路径值比原来的小，则更新；5. 重复步骤3和步骤4，直到找到终点或者所有节点都加入集合S；6. 最后，通过回溯找到起点到终点的最短路径。
除了Dijkstra算法之外，还有其他的最短路线算法，比如贝尔曼-福特算法和弗洛伊德算法。
贝尔曼-福特算法是一种动态规划算法，它通过不断松弛边的权值来更新最短路径。
弗洛伊德算法是一种多源最短路径算法，它通过不断更新节点之间的最短路径来计算任意两个节点之间的最短路径。
最短路线算法在实际应用中有着广泛的用途，比如地图导航、网络路由和物流配送等。
在地图导航中，我们常常需要找到最短路径来指导驾车或行走。
而在网络路由中，最短路线算法可以帮助我们选择最优的路径来传输数据。
在物流配送中，最短路线算法可以帮助我们规划最短路径，从而提高配送效率。
然而，最短路线算法并不是没有缺点的。
由于最短路线算法需要计算每个节点之间的最短路径，当节点数量较大时，算法的计算复杂度会非常高。
此外，最短路线算法还需要存储大量的数据，对内存的消耗也比较大。
最短路线算法是一种解决最短路径问题的有效方法。
它可以帮助我们在众多可能的路径中找到最短的一条。
八年级上册最短路径知识点
八年级上册最短路径知识点在学习数学中，最短路径是一个重要的概念。
在八年级上册中，我们会学习到最短路径的相关知识。
本文将系统地介绍最短路径的概念、算法和应用。
1、最短路径的概念最短路径是指从一个起点到达一个目标点的路径中，使得路径上的边权值之和最小的路径。
在最短路径的计算中，边权值常常代表距离或花费等。
最短路径可以用图表示，通常被称为权重图。
在权重图中，每个节点代表一个地点，每条边代表两个地点之间的路径。
边上的权重可以是任何非负实数。
2、最短路径算法在计算最短路径时，存在多种算法可供选择。
以下是几种较常见的最短路径算法：A、Dijkstra算法：Dijkstra算法通过计算起点到其他点的最短路径，找到整个图的最短路径。
该算法适用于边权值为非负数的图。
B、Bellman-Ford算法：Bellman-Ford算法通过对边进行松弛操作，多次更新起始点到其他点的最短路。
该算法适用于边权值非负的图。
C、Floyd算法：Floyd算法通过迭代计算任意两点之间的距离来找到最短路径。
该算法适用于边权值可以是任何实数的图。
3、最短路径的应用最短路径的应用十分广泛，以下是几个实际应用场景的例子：A、导航：最短路径可用于帮助我们规划驾车或步行路线。
例如，谷歌地图利用最短路径算法帮助用户寻找最合适的路线。
B、运输：最短路径可用于计算货车或船只的最佳路线。
例如，国家邮政公司使用最短路径算法优化邮递路线。
C、电器布线：最短路径可帮助我们规划电气线路。
例如，一个高层建筑物中，我们需要通过最短路径算法来找到电路的最佳路径。
D、金融：最短路径可用于计算银行间的最佳借贷路线。
例如，银行可以使用最短路径算法来计算最优的借贷方案。
4、总结最短路径是一个十分有用的数学概念，可以应用于各个领域。
在八年级上册，我们学习了最短路径的定义、计算方法和应用场景。
希望本文能够帮助大家更好地理解最短路径的相关知识。
最短路径算法例题
最短路径算法例题最短路径算法是图论中非常重要的算法之一，用于找到两个顶点之间的最短路径。
最短路径问题在实际生活中有很多应用，例如导航系统中的路线规划、网络中的数据传输等。
下面我们给出一个例题来说明最短路径算法的应用。
假设我们有一个城市的地图，其中包含了多个交叉路口和道路，每个道路都有一个权值表示该道路的长度。
我们需要找到从起点到终点的最短路径。
给定以下城市地图示例：```A/2 5/B---3---C| |4 6| |D---1---E```其中，A、B、C、D、E代表交叉路口，数字代表道路的长度。
现在我们要找到从起点A到终点E的最短路径。
我们可以使用Dijkstra算法来解决这个问题。
Dijkstra算法的基本思想是通过不断扩展路径，更新起点到每个顶点的最短路径。
具体步骤如下：1. 初始化距离数组dist，起点到每个顶点的距离初始设为无穷大，起点到自身的距离为0。
2. 选择起点A作为当前顶点，更新起点到A相邻顶点的距离。
对于起点A的相邻顶点B和C，更新dist[B] = 2和dist[C] = 5。
同时将A标记为已访问。
3. 在未访问的顶点中选择距离起点最近的顶点作为当前顶点，这里选择B作为当前顶点。
更新起点到B的相邻顶点D的距离，即更新dist[D] = 6。
同时将B标记为已访问。
4. 重复步骤3，选择距离起点最近的未访问顶点作为当前顶点，直到终点E被标记为已访问。
5. 最终得到起点到终点的最短路径长度为dist[E] = 7。
在本例中，起点到终点的最短路径是A->B->D->E，总长度为7。
最短路径算法是图论中的经典算法之一，有多种实现方式，包括Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法等。
不同的算法适用于不同的问题场景，选择合适的算法可以提高计算效率。
总结起来，最短路径算法可以帮助我们在图中找到起点到终点的最短路径，解决实际生活中的路径规划问题。
行测 最短路径问题
例1、如下图，侦察员骑马从A地出发，去B地取情报．在去B地之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间。
解析：要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线。作点A关于河岸的对称点 A′，即作 AA′垂直于河岸，与河岸相交，连接A′B交河岸于一点O，这时O点就是饮马的最好位置，连接 OA，此时 OA＋OB就是侦察员应选择的最短路线
公务员考试行测：最短路径问题
在公务员行测考试中，几何问题可以称为是必考题型之一。在这几年公务员行测考试中，最短路径问题常常出现在题卷上，掌握好一些核心原则，可以有效避免在此类题型中出现错误。
一、平面最短路径
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
“平面内连结两点的线中，直线段最短。”
在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线。像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法
比较三条路线，显然情形①中的路线最短，所以小虫从D′点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点的路线是最短路线，它的长度是5个单位长度．
②从D′点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B点．将这两个面摊开在同一平面上，同理求得在这个平面上D′、B两点间的最短路线，有：D′B2＝22+（1+4）2=29。
③从D′点出发，经过左侧面，然后进入下底面到达B点，将这两个平面摊开在同一平面上，同理可求得在这个平面上D′、B两点间的最短路线，D′B2=（2+4）2+12=37。
二、空间最短路径
想求相邻两个平面上的两点之间的最短路线时，可以把不同平面转成同一平面，此时，把处在同一平面上的两点连起来，所得到的线段还原到原始的两相邻平面上，这条线段所构成的折线，就是所求的最短路线．
13.4最短路径问题(第一课时)课件人教版
距离最短，在图中画出该点的位置．
C
在AB上求作一点P，
使得PC+PD最短．
D
A
B
初中数学
在AB上求作一点P，使得PC+PD最短．
C
作法：
D
（1）作点C关于AB的对称点C′；
A
PB
（2）连接DC′交AB于点P；
（3）则点P即为所求的点.
C′
初中数学
初中数学
练习
有两棵树位置如图，树的底部分别为A，B，地上 有一只昆虫沿着A—B的路径在地面上爬行．小树 顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大 树的树顶C处．问小鸟飞至AB之间何处时，飞行 距离最短，在图中画出该点的位置．
总结：① 将实际问题抽象成数学 ①分析题目中的定点和动点，转化为我们熟悉的最短路径问题．
有两棵树位பைடு நூலகம்如图，树的底部分别为A，B，地上有一只昆虫沿着A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处．问小鸟飞至AB之间何
处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．
问题，用数学语言表达． （2）连接CD′交AB于点P；
如图，已知点D，点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为__________.
如图，在直线 l 上求作一点C，使得CA+CB最短．
③ 用符号语言证明结论． 有两棵树位置如图，树的底部分别为A，B，地上有一只昆虫沿着A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处．问小鸟飞至AB之间何
一点M，使PM+MQ最短． 有两棵树位置如图，树的底部分别为A，B，地上有一只昆虫沿着A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处．问小鸟飞至AB之间何
求最短路径的方法
求最短路径的方法最短路径搜索是一种流行的图论技术，可以用于从一个点到另一个点查找最短的路径。
它是一个比较有用的工具，可以用于地图导航，路径规划，电路设计和物流路径规划等场合。
本文旨在为读者介绍最短路径搜索的基础原理，以及一些实用的最短路径搜索算法。
首先，让我们来回顾一下最短路径搜索的基本概念。
最短路径搜索是一种算法，它可以根据给定的情况，搜索一条从起点到终点的最短路线。
一条路径的长度是指其中所有节点之间的距离之和，可以表示为直线距离或各个节点之间的距离，也可以代表物理成本，如行驶时间，油耗等。
最短路径搜索通常要求在有效的时间内找到最优路径。
其次，最短路径搜索的算法有许多种，其中较为常见的有贪心算法、Dijkstra算法和A*算法。
贪心算法是一种用于寻找最优解的方法，其核心思想是每步都选择在当前状态上看起来最优的选择，从而得到最终的最优解。
它每次都会把最有利的选择都放在前面，从而比较容易得到最短路径。
但是，它只能用于无向图中，而且它不能保证每条路径的最短性。
Dijkstra算法也是一种最短路径搜索算法，它可以在图形中搜索最短路径，包括有向图和无向图。
它的工作原理是可以把图中的每一条边的权重看作是一个节点到另一个节点的距离，然后不断更新每个节点到源节点的最小距离，从而最终得到一条最短路径。
不过，它不能处理有负权重边的情况。
最后，A*算法也是一种最短路径搜索算法，它可以用于求解有向图和无向图中的最短路径。
它是一种基于启发式搜索算法，是基于节点之间距离估计值（即启发函数）的最短路径搜索算法。
它在搜索的过程中，可以根据预先设定的启发函数的值来选择下一个要搜索的节点，从而有效减少搜索过程中的无效搜索。
总的来说，最短路径搜索是一种有效的图论技术，求最短路径的方法有贪心算法、Dijkstra算法和A*算法等，读者可以根据实际情况选择合适的算法进行求最短路径。
最后，搜索最短路径时，可以考虑到节点之间的各种距离，如行驶时间等，以确保搜索结果的准确性。
勾股定理--与最短路径问题
17.1(11)勾股定理--与最短路径问题一．【知识要点】1.两点之间线段最短：⑴将军饮马型；⑵几何体上两点最短型2.垂线段最短型3.造桥选址型二．【经典例题】1．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm .2．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，点B 距离上边缘1cm,一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm .3．如图，圆柱形容器中，高为0.4m ，底面周长为1m ，在容器内壁．．离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．，与蚊子相对．．的点A 处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离（容器厚度忽略不计）.4.编制一个底面半径为6cm 、高为16cm 的圆柱形花柱架,需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根,如图中的111AC B ,222,A CB ,则每一根这样的竹条的长度最少是__________．5.如图，圆柱底面半径为cm ，高为9cm ，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B在同一高上，用一根棉线从A 点顺着圆柱侧面绕3圈到B 点，则这根棉线的长度最短为______.6.一只蚂蚁从长为4cm,宽为3 cm ，高是5 cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是____________cm 。
7.已知 A （1，1）、B （4，2）．P 为 x 轴上一动点，求 PA+PB 的最小值.8．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm,3 dm,2 dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是__________dm.2A B三．【题库】【A 】1.如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A 出发，在盒子的表面上爬到点C 1，已知AB=7cm ，BC=CC 1=5 cm ，则这只蚂蚁爬行的最短路程是________.2.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是________．3.如图，∠ABC ＝30°，点D 、E 分别在射线BC 、BA 上，且BD ＝2，BE ＝4，点M 、N 分别是射线BA 、BC 上的动点，当DM ＋MN ＋NE 最小时，（DM ＋MN ＋NE ）2的值为（ ）A 、20B 、26C 、32D 、36【B 】1.如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P ，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A.23 B. 26 C.3 D.6A 1B 1C 1D 1 A B C D2.如图，一个无盖的长方体长、宽、高分别为8cm 、8cm 、12cm ，一只蚂蚁从A 爬到C 1，怎样爬路线最短，最短路径是多少？3．如图，在Rt ABC ∆中，90,45,2B BCA AC ︒︒∠=∠==，点D 在BC 边上，将ABD ∆沿直线AD 翻折，点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，连接,PE PC ，则PEC ∆的周长的最小值为（ ）A ．22-B ．2C ．21+D ．14．如图，已知圆柱底面的周长为4dm ，圆柱高为2dm ，在圆柱的侧面上，过点A 和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）A ．4dmB ．2dmC ．2dmD ．4dm8cm 8cm12cm【C 】 1.（8分）如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A 和李庄B 送水，已知张村A. 李庄B 到河边的距离分别为2km 和7km ，且张、李二村庄相距13km.(1)水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短?请在图中设计出水泵站的位置；(2)如果铺设水管的工程费用为每千米1500元,为使铺设水管费用最节省,请求出最节省的铺设水管的费用为多少元?2.已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，BC=DC=5，点P 在BC 上移动，则当PA+PD 取最小值时，PA+PD 长为（ ）A ．8 B.4+15 C ．152 D ．1723.如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点 A 旋转，当 AC ′、AD ′分别与 BC 、CD 交于点 E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ）A.2B.23C.2＋3D. 44.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8，点E 是BC 中点，点F 是边CD 上的任意一点，则△AEF 的周长最小时值为( )A ．17B ．21C ．13+41 D. 13+345.如图，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ）。
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最短路线
两点之间直线最短
如图，从A到C有3条路可走，哪条路最短？
利用轴对称，转化为两点之间直线段最短。
例1
假如直线AB是一条公路，公路两侧有甲、乙两个村庄。
现在要在公路上建一个汽车站，让两个村子的人到汽车站的路线之和最短，问汽车站建在哪？
例2
如图，已知牧马营地在P处，牧童每天要赶着马群先到河边饮水，再到草地吃草，然后回到营地，请设计最短路线。
利用标数法求最短路线
标数法：
1．标记方向
2．方向沿线最外侧标1
3．对角相加
例3
下图是动物王国的街道平面图，纵横各有5条路，森林之王老虎先生通知大家去运动场开会，如果迟到就要挨罚喝100杯水。
爱睡懒觉的树袋熊一觉醒来，呀，要迟到了，想想那100杯水，树袋熊都快晕了。
善良的小朋友们，快来给树袋熊找找最近的吧！
例4
“五一”长假就要到了，小新和爸爸决定去黄山玩。
聪明的小朋友请你找找看从北京到黄山的最短路线共有几条呢？
例5
大熊和美子准备去看望养老院的李奶奶，可是市中心在修路(城市的街道如图所示)，他们从学校到养老院最短路线共有几条呢？聪明的小朋友，请你们快想想吧！
测试题
１．如图，一个牧童从甲地出发，赶着羊群先到河边饮水，再将羊群赶到乙地吃草。
已知从甲地道河边饮水点，以及从饮水点到乙地都是直线路程，请问应该怎么选择河边饮水点的位置，使羊群所走的路线为最短？请在图上表示出来并做文字说明。
A．A点
B．B点
C．C点
D．D点
2．在河中有A、B两岛(如下图)，六年级一班组织一次划船比赛，规则要求船从A岛出发，必须先划到甲岸，又到乙岸，再到B岛，划到甲岸和乙岸的哪个点，才能使路线最近？
A．CD
B．EF
C．CF
D．ED
3．小猫汤姆和老鼠杰克在博物馆看连环画，突然它们发现了一个千年藏宝图，于是它们决定去寻宝。
请爱动脑筋的小朋友们帮他们想想共有几条最短路线能到藏宝地呢？
A．120点
B．122点
C．125点
D．126点
4．小海龟在小猪家玩，它们想去游乐园坐碰碰车，爱动脑筋的小朋友，请你想一想，从小猪家到游乐园共有几条最短路线呢？
A．11
B．12
C．13
D．14
5．阿强和牛牛结伴骑车去图书馆看书，公园修路不能通行。
咱们学而思的小朋友都很聪明，请你们帮阿强和牛牛想想这三天从学校到图书馆的最短路线分别有多少种不同的走法？
A．8
B．9
C．10
D．11。