图形计数及最短路线新

最短路线这一讲里，我们将会解决这个特殊的计数问题：最短路线问题。

怎样计数从A到B的最短路线的条数呢？我们将介绍一种非常巧妙的方法——对角线法（也叫标号法）。

一、长方形方格标号：【例1】咱们先做个游戏：在方格纸上任取一点A作为起点，再在A的右上方任取一点B 作为终点划一条由A到B的最短路线。

聪明的小朋友，你能划出来吗？总共能划出几条呢？分析：教师可提问如ACIHGFB是最短路线吗？为什么不是？如果要划从A到B的最短路线，那么从A点出发只能向上或向右（每一条都是横划2格竖划2格），可以是ACDEB、ACIEB、ACIFB、AHGFB、AHIEB、AHIFB这六条路线。

在上面这个游戏中，你是用什么方法找到从A到B的最短路线呢？如果A、B两点变成图1、2、3的位置，那么从A到B的最短路线有几条呢？分析：图1、2、3中从A到B的最短路线均为6条。

例2、按图中箭头所示的方向行走，从A点走到B点的不同路线共有多少条?AB421 1 1 1 11 14 422 3 4 52 5 9 145 14 28【分析】如下图，为了方便叙述，我们将某些点边标上字母， 按箭头所示，走1A 有一条路，到1B 有2种办法；再往下到2A 有从1A 走和2B 走两种方法，这样到2A 有3条路线；到2B 可从2A 、1B 走，有5种方法到2B ．过3A 可从2A 、2B 走，共有8条路线；到3B 可走3A 、2B ，这样共有13种走法；经过4A 可从3A 、3B 两条路走，有21种方法都到4B ；到达4B 可以走4A 和3B ，因而有34种路线到达4B ．这样由A 到B ，可经过4A 和4B 两个交叉点，共有34+21=55条路线 ，如图所示．因此，从A 点到B 点的不同路线共有55条．例3：动物园的门票1元1张，每人限购1张。

现在有10个小朋友排队买票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票.售票员没有准备零钱，问有多少种排队的方法能够使售票员找得开零钱？分析与解答：假设拿1元的5个小朋友无差别,拿2元的5个小朋友也无差别.用标数法求共有多少种排队方法.如图用横线表示拿1元的小朋友,用竖线表示拿2元的小朋友,从A 到B 只能向右或向上走(从任何一个持有2元钞票的小朋友向前看，持1元钞票的小朋友都要多一些),共有42种走法,即有42种排队方法.我们再考虑拿1元的小朋友有差别，共有 55P =5×4×3×2×1＝120（种）, 同理拿2元的小朋友有差别，共有 55P =5×4×3×2×1＝120（种）. 根据乘法原理排队方法共有42×120×120=604800（种）.二、不规则图形标号：【例4】下图是小明家和学校的示意图，你们觉得小明从家到学校一共有几条最短路线呢？分析：我们采用对角线法（如图），但本题图形有变化，，例如D点：从学校到C点有2种走法，再到D点最短路线的选择只能从C点走，所以从学校到D点有2 种走法。

请教师根据学生的理解情况灵活把握，选择几个点讲透彻。

从而得到小明可以选择的最短路线共有12条。

从而得到小明可以选择的最短路线共有12条。

分析：教师讲解时要注意阶梯形与前几题的不同。

我们采用对角线法（如图），从学校到李家村共有126种不同的最短路线。

【例5】“五一”长假就要到了，小新和爸爸决定去黄山玩。

聪明的小朋友请你找找看从北京到黄山的最短路线共有几条呢？分析：我们采用对角线法（如图）这道题的图形与前几题的图形又有所区别，在解题时要格外注意是D、G、K、E、H、L这样的点共有几条最短路线，具体是怎么走的，即由哪两点的数之和来确定另一点的。

从北京到黄山最近的道路共有10条。

【例6】大熊和美子准备去看望养老院的李奶奶，可是市中心在修路(城市的街道如图所示),他们从学校到养老院最短路线共有几条呢？聪明的小朋友，请你们快想想吧！分析：（解法1）先假设直接学校到养老院（也就是说可以经过市中心，也可以不经过市中心）对角线法共126条。

再减去必经过市中心的60 条，即得126-60=66（条）。

（解法2）可以直接求，即把含有市中心的田字格挖去（或者认为市中心那一点标“0”），共有66条。

【例7】第三届希望杯五年级2试试题）右图中的“我爱希望杯”有______种不同的读法。

（咱们三年级的小朋友都会做五年级的竞赛题了，真聪明！）分析：本题实际是最短路线问题，从我（1个）、爱（2个）、希（3个）、望（4个）、杯（5个）中组成“我爱希望杯”即相同的字只能选一个而且不能重复选，所以共有16种。

对角线法，其实最短路线问题还有【附1】类型，教师可选讲。

【附】假如直线AB是一条公路，公路两侧有甲、乙两个村庄。

现在要在公路上建一个汽车站，让两个村子的人到汽车站的路线之和最短，问汽车站建在哪？分析：找到甲村关于AB的对称点C，连接C和乙村交AB的那一点即为汽车站。

课后练习：1、从X到Y最短路线共有多少种不同的走法？分析：对角线法。

共20种。

2.如图，从A到B，最短路线有几条？分析：共有41 条3. 如图，从P点出发到Q点，走最短的路程，有多少种不同的走法？分析：共有115种。

4.小海龟在小猪家玩，它们想去游乐园坐碰碰车，爱动脑筋的小朋友，请你想一想，从小猪家到游乐园共有几条最短路线呢？分析：对角线法，共14 条。

5.（第五届希望杯六年级1试）小君家到学校的道路如右图所示。

从小君家到学校有种不同的走法。

(只能沿图中向右或向下的方向走)分析：10种。

6.从甲到乙最短路线有几条？分析：有11条。

7、学校组织三年级的小朋友去帮助农民伯伯锄草，大家从学校乘车出发，去往东南角的李家村（如图）。

爱动脑筋的嘟嘟就在想，从学校到李家村共有多少种不同的最短路线呢？8、在三角形网络的圆圈中，填有“北京欢迎你”的字样，问：可以有多少种不同的方法，沿着连有线段的方向，连成“北京欢迎你”这句话？9、如图，从X到Y最短路线总共有几种走法？分析：共有716种。

10、阿强和牛牛结伴骑车去图书馆看书，第一天他们从学校直接去图书馆；第二天他们先去公园看大熊猫再去图书馆；第三天公园修路不能通行。

咱们学而思的小朋友都很聪明，请你们帮阿强和牛牛想想这三天从学校到图书馆的最短路线分别有多少种不同的走法？几何计数内容概述几何中的计数问题包括：数线段、数角、数三角形、数长方形、数正方形、数综合图形等.通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，做到不重不漏地准确数出图形，逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力，选择适当的计数方法解决问题.经典分类：一、数线段【例1】数一数，下图中有多少条线段?小朋友们，你有几种方法有序的把它数出来？分析：我们要做到有序思考问题，做到不重、不漏，必须有一个“找”的依据，下面我将给大家展示两种常见的方法：法1：以线段的起点分类（注意保持方向的一致），如右图以A点为共同左端点的线段有： AB AC AD AE AF 5条．以B点为共同左端点的线段有： BC BD BE BF 4条．以C点为共同左端点的线段有： CD CE CF 3条．以D点为共同左端点的线段有： DE DF 2条．以E点为共同左端点的线段有： EF 1条．总数5+4+3+2+1＝15条．法2：我们规定：把相邻两点间的线段叫做基本线段，我们还可以这样分类数，由1个基本线段构成的线段有：AB、BC、CD、DE、EF 5条。

由2个基本线段构成的线段有：AC、BD、CE、DF 4条．由3个基本线段构成的线段有：AD、BE、CF 3条．由4个基本线段构成的线段有：AE、BF 2条．由5个基本线段构成的线段有：AF 1条．总数5+4+3+2+1＝15条．这两个方法你掌握的怎么样啊？细心的你从中能发现什么规律么？从这道例题中我发现了下面这个结论：（结论内容学生版没有，请教师注意帮助学生总结填写）如果一条直线上有n个点，那么线段的条数为：(n-1)+(n-2)+(n-3)+…+3+2+1=n× (n-1)÷2 (条).为巩固学生对结论的记忆及应用，教师可在此多多举例联系！【例2】有一把奇怪的尺子，上面只有“0”“1”“4”“6”这几个刻度（单位：厘米）。

请你想一想，有这把尺子一次可以画出几条不同长度的线段？分析：把“0”“1”“4”“6”看成4个点；0～1：1厘米； 0～4：4厘米； 0～6：6厘米；1～4：3厘米； 1～6：5厘米； 4～6：2厘米。

共6种不同长度的线段。

【例3】（第三届兴趣杯少年数学邀请赛预赛）数一数，右图中共有线段多少条？分析：讲解此题之前可先向学生介绍一下下题：数一数，右下图中共有多少条线段？分析：数线段要分类数：我把它分成两大类：“个人”和“集体”。

这里面AC、BD是“个人”，BC（其中包含BO、CO）、AD（其中包含AO、DO）是“集体”，思路如下：“个人”：AC、BD ，2个；“集体1”：BC、BO、CO ；“集体2”：AD、AO、DO，所以共有8条线段。

回到例题，观察可知这个图形中都是“集体”，在数的时候我们也可以对“集体”进行分类.【例2】含4个交点的集体：AG、AB中共有线段：(3+2+1)×2=12(条)；【例3】含3个交点的集体：EF，CD，BC，AC中共有线段：(2+1)×4=12(条)；所以总共有线段：12+12=24(条)．【例4】（第七届小数报数学竞赛决赛）右图中共有多少个圆 ? 把紧挨在一起的两个圆称为一对，例如圆A、B、C可以看成3对(分别是A与B，B与C，C与A)，图中这样的圆对共有多少对？分析：添加一些辅助线，如右下图所示，显然“圆对”数就是基本线段的数目：（1+2+3+4+5）×3=45（个）.二、数三角形【例5】如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？分析：仔细观察可知，每个三角形中，有两条边都是由O点引出的，而第三边是AE和FG上的线段，AE和FG上的线段条数就和三角形的个数一一对应了.于是数三角形个数的问题就转化为数线段的问题了.FG上含有的基本线段有：5×4÷2=10（条）；AE上含有的基本线段有：5×4÷2=10（条）；所以共有：10+10=20（个）三角形.【例6】（第三届迎春杯决赛）右图中有多少个三角形？分析：边长为1的正三角形，有16个；边长为2的正三角形，尖向上的有3个，尖向下的也有3个；共22个.【例7】数一数，右图中共有多少个三角形?分析：（按所含的基本图形个数分类）只含有一个基本三角形的三角形有6个；恰含两个基本三角形的三角形有3个；恰含三个基本三角形的三角形有6个；恰含四个或五个基本三角形的三角形一个也没有；恰含六个基本三角形的三角形只有1个。