最短路线问题——标数法的应用
【思维拓展】数学六年级思维拓展之标数法(附答案)
六年级思维拓展之标数法求最短路线数1.阿雅和天天到图书馆参加活动。
如果他们从学校出发，共有多少种不同的最短路线？2.球球从A步行到Z，行走方向都是向右或者向下，路线如图所示。
那么球球一共有多少种不同的行走路线？3.下图是阿雅学校附近小区的平面图。
今天阿雅放学，要去同学家写作业。
请问：从学校到同学家有多少种不同的最短路线？4.B点有一群小羊在吃草，大灰狼在A点，它想到B点吃羊，最短路线有多少条？5.皮皮和天天准备去看望养老院的李奶奶，可是市中心在修路（城市的街道如图所示），他们从学校到养老院最短路线共有几条呢？聪明的小朋友，你们知道吗？6.下图是天天家附近小区的平面图。
今天下雨，路口G有积水，不能通过。
请问：今天天天从家去学校有多少种不同的最短路线可供选择？7.天天上学需要先经过K路口去买书。
请问：天天经过K路口到达学校有多少种不同的最短路线？8.如图，一只蜜蜂从A处出发，回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？9.城市街道如下图所示，有几处街区有积水不能通行。
那么从A到B的最短路线有几条？10.天天和皮皮结伴骑车去图书馆看书，他们先去公园看大熊猫再去图书馆。
聪明的小朋友们，请你帮天天和皮皮想想他们的最短路线有多少种不同的走法？参考答案1.【解答】标数法：三步走（1）确定方向；（2）从起点出发的两个方向上每个点标1；（3）其他点来源相加。
如下图所示。
一共有10种不同的最短路线。
2.【解答】分析：标数，如下图所示。
一共有13种不同的路线。
3.【解答】分析：标数，如下图所示。
一共有10种不同的路线。
4.【解答】分析：标数，如下图所示。
一共有12种不同的路线。
5.【解答】分析：标数，断点型标数法，不能通过的点打叉或者标0如下图所示。
一共有132种不同的路线。
6.【解答】分析：标数，如下图所示。
一共有11种不同的路线。
7.【解答】分析：标数，必经点型——可标“×”或者画大圈排除，简化标数图。
六年级上册数学讲义-小升初思维训练：最短路线 (解析版)全国通用
PC 第08讲最短路线教学目标：1、探索标数法在最短路径中的应用，掌握求最短路线的各种方法；2、探索最短路径的求法，总结最短路线的计算规律并加以应用；3、培养学生仔细认真的学习态度，激发学生的学习兴趣，并能提高解决实际问题的能力。
教学重点：理解并掌握“标数法”解最短路线问题。
教学难点：掌握“标数法”解较难的最短路线问题。
教学过程：【温故知新】1、两个数的和（差）与一个数相乘，可以把两个加数（被减数和减数）分别与这个数相乘，再把这两个积相加，所得的结果不变。
这叫做乘法分配律；2、如果用字母a、b分别表示两个加数，用字母c表示因数，乘法分配律可以写成：（a＋b）×c＝a×c＋b×c或（a-b）×c＝a×c-b×c；3、会运用乘法分配律进行巧算。
【巩固作业1】计算：99×29+29解析部分：在计算时，可以把算式99×29+29中的加数29看成1×29,99个29加1个29，结果正好是100个29.运用了乘法分配律。
给予新学员的建议：让学员了解乘法分配律的含义；哈佛案例教学法：鼓励学生独立完成，课堂上分享解题方法。
参考答案：99×29+29= 99×29+1×29=（99+1）×29=100×29=2900【巩固作业2】根据乘法分配律，用两种方法进行巧算：125×88。
解析部分：把88分成8×11，然后125乘8的积再乘11，运用了乘法结合律。
或者把88分成80+8,125分别去乘80和8，最后把所得积相加。
运用了乘法分配律。
给予新学员的建议：让学员熟练使用乘法分配律巧算；哈佛案例教学法：鼓励学生独立完成，课堂上分享解题方法。
参考答案：125×88 125×88=125×（8×11）=125×（80+8）=（125×8）×11 =125×80+125×8=1000×11 =10000+1000=11000 =11000【预习】一只蚂蚁在长方形格纸上的A点，它想沿着格子线走到B点玩，但是不知走哪条路最近。
奥数标数法练习 计数之标数法经典例题讲解
奥数标数法练习计数之标数法经典例题讲解解答：第1步：在起点A处标1。
再观察点B，要想到达点B，只有一个入口A，所以在B点也标1。
第2步：再观察点C，要想到达点C,它有两个入口A和B，所以在点C处标1＋1＝2。
同理重复点F，点D，点E，点G，点H，点I【第三篇】分析:既然要走最短路线,自然是不能回头走,所以从A地到B地的过程中只能向右或向下走.我们首先来确认一件事,如下图从A地到P点有m种走法,到Q点有n种走法,那么从A地到B 地有多少种走法呢?就是用加法原理,一共有m+n种走法.这个问题明白了之后,我们就可以来解决这道例题了:首先由于只能向右或向下走,那么最上面一行和最左边一列的每一个点都只能有一种走法,(因为不可以走回头路).我们就在这些交点的旁边标记上一个数字,代表走到这个位置有多少种方法.【第四篇】有一个5位数,每个数字都是1,2,3,4,5中的一个,并且相临两位数之差是1.那么这样的5位数到底有多少个呢?(数字可以重复) 这是一道数论的题目,但是我们也可以使用标数法来解答,并且非常直观.到第一站可以有5种选择,每种选择有一种走法,那么下一站,走1号门就只有一种走法(就是第一站走的2号门),走2号门就有2种走法(第一站走1号或3号门)走3号门也是2种走法(第一站走2号门或4号门)走4号门2种走法(第一站走3号门或者5号门)走5号门只有一种走法(第一站走的是4号门)我们发现在这一站经过某个门有多少种走法,正好等于他左上和右上的两个数字和.于是我们可以将数字标全.这道题的答案就是42种,虽然很多同学会用枚举法也能做出42种,但是一旦这道题给的不是5位数,而是7位数,9位数的话,枚举法就显得无力了.这种时候标数法是个不错的选择.可以用到标数法的问题有很多，大家掌握这种方法之后可以解决很多平时看起来很麻烦的题目。
最短路线问题——标数法的应用
计数的基本方法——标数法
例1：沿着下图所显示的线段，从A 点到B 点，有多少条最短路线？
例2：沿着下图所显示的线段，从A 点到B 点，有多少条最短路线？ (1)
(2)
F
I
C
A
G
E
B
B
A
A
B
例3：沿下图所示的线段，从A 步行到Z ，但行走方向只能向东或向南，他有多少种不同的行走路线？
例4：如图，求A 到B 沿网格线的最短路线数： （1） 必须经过点C ； （2） 必须经过线段EF ； （3） 不经过点C ； （4） 不经过线段EF ；
例5：按下图箭头所指的方向行走，从A 到达Z 有多少种不同行走路线？
A
Z
A
Z
B
A
C
F
E
本章小结：
1.什么是标数法？
答：在每个点上标记出从起点出发到此点的路线数的一种计数方法。
2.如何使用标数法解决长方形网络图中的最短路线问题？
答：
1.确定标数的方向；
2.将与起点共直线的点上标上数字1；
3.画出每个小方格对角线；
4.把每个小方格内对角线顶点上的两个数字相加，和标记在剩下的那个点上；
2.如何使用标数法解决路线数问题？
答：
1.从某一点出发到另一点只有一条路线的时候，则后点上标记的数字应该和前一点相
同；
2.如果到达某一点必须经过与这个点相邻的两个或几个点时，则该点上标记的数字是能
够到达这一点的相邻的两个或几个点上标记的数字之和。
最短路径与标号法
最短路径与标号法前面我们学习过动态规划的应用，图中没明显阶段求最短路径的问题属于无明显阶段的动态规划，通常用标号法求解，求最短路径问题是信息学奥赛中很重要的一类问题，许多问题都可转化为求图的最短路径来来解，图的最短路径在图论中有经典的算法，本章介绍求图的最短路径的dijkstra算法、Floyed算法，以及标号法。
一、最短路径的算法1、单源点最短路径（dijkstra算法）给定一个带权有向图G=（V，E），其中每条边的权是一个非负实数，另外，还给定V中的一个顶点，称为源点。
求从源点到所有其他各顶点的最短路径长度。
这个问题称为单源最短路径问题。
求单源最短路径可用dijkstra算法求解。
（dijkstra算法）算法思想：设源点为x0，dist[i]表示顶点i到源点x0的最短路径长度，map[i,j]表示图中顶点i到顶点j的长度，用数组mark对所有的顶点作标记，已求出源点到达该点J的最短路径的点J记为mark[j]=true,否则标记为false。
初始时，对源点作标记，然后从未作标记的点中找出到源点路径长度最短的顶点minj，对该顶点作标记，并对其它未作标记的点K作判断：if dist[minj]+map[minj,k]<dist[k] then dist[k]= dist[minj]+map[minj,k]。
重复处理，直到所有的顶点都已作标记，这时求出了源点到所有顶点的最短路径。
算法过程：const maxn=100;varmap: array[1..maxn,1..maxn] of integer;dist: array[1..maxn] of integer;mark: array[1..maxn] of Boolean;n,k: integer;procedure dijkstra;var I,j,min,minj,temp:integer;beginfillchar(mark,sizeof(mark),0);for I:=1 to n do dist[i]:=maxint;dist[k]:=0;for I:=1 to n-1 dobeginmin:=maxint;for j:=1 to n doif (not mark[j]) and (dist[j]<min) thenbeginmin:=dist[j]; minj:=j;end;mark[minj]:=true;for j:=1 to n doif (not mar[j]) and (map[minj,j]>0) thenbegintemp:=dist[minj]+map[minj,j];if temp<dist[j] then dist[j]:=temp;end;end;end;以上只是求出了从源点到其它所有点的最短路径长度，所经过的具体路径没有保存，如果要求出具体的路径来，那么在求最短路径的过程中要将经过的中间点记录下来。
标数法： 用来解决计算最短路线问题的方法,在给出的图形中
1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 5 11 11 11 1 3 1 4 1 5 5 1 6 11 11 11 22
B
4. 采用标数法（如图） ．可得从学校到少年宫共有 90 种走法．
少年宫 90 42 48 20 6 1 28 14 5 1
14 14 9 4 1 5 5 3 1 2 2 1 1 学校
【例 6】 图中的“我爱希望杯”有多少种不同的读法。
“为什么蜈蚣出门要这么长时间呢？” “因为它要穿鞋呀… …”
1.
一只蚂蚁在长方形格纸上的 A 点， 它想去 B 点玩， 但是不知走哪条路最近． 小朋友们， 你能给它找到几条这样的最短路线呢？
A
B
2. 阿强和牛牛结伴骑车去图书馆看书，第一天他们从学校直接去图书馆；第二天他们先 去公园看大熊猫再去图书馆；第三天公园修路不能通行．咱们学而思的小朋友都很聪 明，请你们帮阿强和牛牛想想这三天从学校到图书馆的最短路线分别有多少种不同的 走法？
【例 4】
下图是大宽学校附近小区的平面图，今天从家里去上学需要先去 G 路口 办点事。请问：大宽经过 G 路口上学有多少种不同的最短路线？
【例 5】 (第七届小机灵杯三年级第 10 题) 下图中有 10 个编好号码的房间，你可以从小号码的房间周围到相邻的大号码的 房间，但是不能从大号码的房间走到小号码的房间，从 1 号房间走到 10 号房间共有 ( )种不同的走法。
1 1 n 4 t 10 i s 1
3 s 10 e 30 n
【例 1】
蚂蚁小蓝在长方形格纸上的 A 点，它想去 B 点玩，但是不知走哪条路最 近。小朋友们，你能给它找到几条最短的路线呢？
下图是海淀区某街道的平面图，大宽要从家到学校。请问，大宽有多少种不同的最短路线 可供选择？
排列组合第3阶表格最短路径问题
1. 如图，在某个城市中，M，N两地之间有南北街道5条、东西街道4条，现要求沿图中的街道，以最短的路程从M走到N，则不同的走法共有35种．
【考点】计数原理的应用．
【专题】排列组合．
【分析】根据题意，从M到N的最短路程，只能向右、向下运动，将原问题转化为排列、组合问题，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，从M到N的最短路程，只能向右、向下运动，
从M到N，最短的路程需要向下走3次，向右走4次，即从7次中任取3次向下，剩下4次向右，有C73=35种情况，
故答案为：35
【点评】本题考查排列、组合的应用，解题的关键将圆问题转化为排列、组合问题，由分步计数原理计算得到答案．
2. 如图，某城市的街道由5条东西与7条南北向马路组成．现在要从西南角的A处沿最短路线走到东北角的B处，由于修路十字路口C不能通过，那么共有多少种不同走法？
【考点】排列组合．
【专题】传统应用题专题．
【分析】利用逐步分析点的路线，列出表格，求得数据即可解决问题．
【解答】解：用标数法可以求出一共有120种走法．
答：共有120种不同走法．
【点评】本题从每个交叉点得出有2条路可走是关键，然后利用标数法得出共有的走法就比较容易了，注意C不能通过．
3.某城市有7条南北向的街，5条东西向的街.
（1）如果从城的O点走向A点，最短的走法有几种？
（2）从O点出发经过B点走向A点，最短的走法有几种？
（3）从O点出发，不经过B、C两点，走向A点，最短的走法有几种？
C
B
O
4.如图，沿着箭头从P 走到Q，有________种不同的最短路径
【考点】标数法
【答案】12
A。
matlab最短路径问题标号法
一、介绍MATLAB是一种非常流行的数学建模和仿真软件，被广泛应用于工程、科学和金融领域。
在MATLAB中，最短路径问题是一个常见的优化问题，通常会涉及到图论、线性代数和优化算法等知识。
在解决最短路径问题时，我们常常需要使用标号法来求解，本文将对MATLAB中最短路径问题的标号法进行介绍。
二、什么是最短路径问题最短路径问题是指在一个加权有向图或无向图中寻找两个顶点之间的最短路径。
在实际应用中，最短路径问题通常涉及到网络规划、路线规划、物流配送等方面。
我们需要求解城市之间的最短路径来设计公交线路，或者求解货物在仓库之间的最短路径来优化物流方案。
三、最短路径问题的标号法在MATLAB中，我们可以使用标号法（Label Correcting Algorithm）来求解最短路径问题。
标号法是一种基于节点标号的启发式算法，它通过不断更新节点的标号信息来逐步搜索最短路径。
下面是标号法的基本思路：1. 初始化：我们需要对图中的节点进行初始化，设置起点的标号为0，其他节点的标号为无穷大。
2. 标号更新：我们开始不断更新节点的标号。
对于每个节点，我们计算通过它能够到达的节点的距离，并将这些距离与当前节点的标号进行比较。
如果通过当前节点到达某个邻居节点的路径距离更短，则更新该邻居节点的标号为当前节点的标号加上当前节点到邻居节点的距离。
3. 节点选择：在标号更新的过程中，我们需要选择一个未加入最短路径的节点，并将其标记为已加入最短路径。
这个过程通常会涉及到优先级队列等数据结构的使用，以便快速找到最短路径的下一个节点。
4. 终止条件：当所有节点都已加入最短路径，或者找到目标节点时，算法终止，最短路径即为标号信息所指示的路径。
四、MATLAB实现最短路径问题的标号法在MATLAB中，我们可以利用图论工具箱和优化工具箱来实现最短路径问题的标号法。
下面是一个简单的MATLAB示例：```matlab创建图N = 5; 节点数E = [1, 2; 1, 3; 2, 3; 2, 4; 3, 4; 3, 5; 4, 5]; 边集L = [1, 2, 3, 4, 5]; 标号W = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]; 权重G = digraph(E(:, 1), E(:, 2), W);最短路径求解[s, t] = deal(1, N); 起点和终点[P, D] = graphshortestpath(G, s, t, 'Method', 'positive');```在这个例子中，我们首先创建了一个有向图G，并指定了节点数N、边集E、节点标号L和边权重W。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
计数的基本方法——标数法例1：沿着下图所显示的线段，从A点到B点，有多少条最短路线
I
C
例2：沿着下图所显示的线段，从A点到B点，有多少条最短路线
(1)
(2)
例3：沿下图所示的线段，从A步行到Z，但行走方向只能向东或向南，他有多少种不同的行走路线
例4：如图，求A到B沿网格线的最短路线数：（1）必须经过点C；
（2）必须经过线段EF；
（3）不经过点C；
（4）不经过线段EF；
例5：
本章小结：
1.什么是标数法
答：在每个点上标记出从起点出发到此点的路线数的一种计数方法。
2.如何使用标数法解决长方形网络图中的最短路线问题
答：
1.确定标数的方向；
2.将与起点共直线的点上标上数字1；
3.画出每个小方格对角线；
4.把每个小方格内对角线顶点上的两个数字相加，和标记在剩下的那个点上；
2.如何使用标数法解决路线数问题
答：
1.从某一点出发到另一点只有一条路线的时候，则后点上标记的数字应该和前一点相同；
2.如果到达某一点必须经过与这个点相邻的两个或几个点时，则该点上标记的数字是能够
到达这一点的相邻的两个或几个点上标记的数字之和。